Verovatnoca i Statistika

I deo. Verovatnoca

Beleske Prof. Aleksandra Ivica

0.1 Slucajni doga -daji i osnovni pojmovi verovatnoce

Matematicka teorija verovatnoce je grana ciste matematike. Teorija verovatnoce se baviizucavanjem zakonitosti raznih slucajnih procesa i doga -daja. Kao i u svakoj matematickojdisciplini i ovde se polazi od skupa nedefinisanih objekata, a zatim se pomocu odre -denih ak-sioma razvija matematicka teorija koja odgovara nasem intuitivnom poimanju verovatnoce.Dalje, Teorija verovatnoce je polazna osnova za Matematicku Statistiku, jednu od oblastimatematike sa najvise primena. Matematicka Statistika cini drugi deo ovih beleski. Osnovnipojam u teoriji verovatnoce (koji se kao takav ne definise) je elementaran doga -daj, a skupmogucih ishoda (realizacija) nekog opita ili pojave nazivamo skup elementarnih doga -daja ioznacavamo sa Q. Slucajan doga -daj A je neki podskup Q i sadrzi sve elementarne doga -dajekoji imaju svojstvo kojim se A definise. Doga -daj Q je siguran (ili izvestan) doga -daj, a prazanpodskup (u oznaci ∅, tj. skup bez elemenata) je nemoguc doga -daj.

Ako su A1 i A2 doga -daji, onda je i A1 ∪ A2 (unija doga -daja) tako -de doga -daj koji serealizuje kada se realizuje barem jedan od doga -daja A1, A2. Tako -de

∞⋃

i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪A3 ∪ · · ·

je doga -daj ako su A1, A2, . . . doga -daji.Ako su A1 i A2 doga -daji, onda je A1∩A2 (presek doga -daja) tako -de doga -daj koji se realizuje

ako se realizuje istovremeno i doga -daj A1 i doga -daj A2. Doga -daji A1 i A2 su disjunktni akoje A1 ∩A2 = ∅, tj. A1 i A2 nemaju zajednickih elemenata.

Razlika dva doga -daja A1 i A2 (u oznaci A1\A2) je doga -daj koji se realizuje ako se realizujedoga -daj A1, a ne realizuje doga -daj A2.

Svakom doga -daju A moze da se dodeli suprotan doga -daj A, koji se realizuje ako se A nerealizuje.

Primer 1Kocka cije su strane oznacene od 1 do 6 baca se jedanput. Eksperiment se sastoji u

bacanju kocke. Elementarni doga -daji ovog eksperimenta su

ω1 = “pad jedinice”, ω2 = “pad dvojke”, . . . , ω6 = “pad sestice”.

Skup elementarnih doga -daja Q je Q = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6. Neka je A = “pad parnogbroja”, B = “pad neparnog broja”, C = “pad broja veceg od 4”, tada je

A = ω2, ω4, ω6, B = ω1, ω3, ω5, C = ω5, ω6,

1

a na osnovu gornjih definicija je

A = ω1, ω3, ω5 = B, B ∩ C = ω5,B ∪ C = ω1, ω3, ω5, ω6, A ∪B = Q.

Svakom elementu A iz Q dodeljuje se jedan realan broj koji se oznacava sa P (A) i zove severovatnoca slucajnog doga -daja A. Za verovatnocu P (A) uvek vazi 0 ≤ P (A) ≤ 1, pri cemuje P (∅) = 0 i P (Q) = 1, tj. nemoguc i siguran doga -daj imaju verovatnoce 0 odnosno 1, sto jeuostalom u skladu sa nasim intuitivnim predstavama o verovatnoci. Dalja osobina kojom sedefinise verovatnoca je

P (A1 ∪A2) = P (A1) ∪ P (A2), (zaA1 ∩A2 = ∅),

odakle je

P (A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An) = P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An),(zaAi ∩Aj = ∅, 1 ≤ i 6= j ≤ n).

Tako -de slediP (A) ≤ P (B), ako je A ⊂ B,

tj. ako je A podskup (sadrzano u) B. Vazi i

P (A) = 1− P (A), P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Dokaz prve relacije je:B = B ∪ (B\A), A ∩ (B\A) = ∅,

pa je stogaP (B) = P (A) + P (B\A) ≥ P (A).

Pored ove (tzv. aksiomatske) definicije verovatnoce, postoji i klasicna (tzv. Laplasova)definicija verovatnoce, koja se sastoji u sledecem. Neka je prostor elementarnih doga -daja,vezanih za dati eksperiment, sastavljen od elemenata ω1, ω2, . . . , ωn koji imaju ”istu sansu”da se realizuju, odnosno radi se o prostoru jednako verovatnih elementarnih doga -daja. Akose doga -daj A realizuje ako se realizuje m (bilo kojih) doga -daja ωk, onda je P (A) = m/n, tj.verovatnoca je uprosceno ”broj povoljnih ishoda podeljen brojem svih mogucih ishoda”.

Primer 2.1

Neka je Q skup iz Primera 1. Kako se obicno pretpostavlja da se pri bacanju kockesvaki broj pojavljuje sa jednakom sansom, to je P (ωi) = 1/6 (i = 1, 2, . . . , 6). Ako se kockauzastopno baca tri puta onda je verovatnoca da se sva tri puta dobije 6 jednaka 1/216.Naime, broj mogucih (jednako verovatnih) doga -daja predstavljaju trocifreni brojevi cije sucifre brojevi od 1 do 6 (sto odgovara brojevima koji se dobijaju prilikom tri bacanja kocke)kojih ima ukupno 63 = 216, a jedini povoljan doga -daj je broj 666.

Primer 2.2

U preduzecu je zaposleno 8 ekonomista i 11 pravnika. Od njih se bira nasumce delegacijaod 5 clanova. Kolika je verovatnoca da se u delegaciji nalaze 3 ekonomiste i 2 pravnika?

2

Moguci slucajevi su svi izbori 5 od ukupno 19 = 8+11 elemenata. Povoljni slucajevi suda se izaberu 3 od 8 ekonomista i 2 od 11 pravnika. Verovatnoca da se u delegaciji nalaze 3ekonomiste i 2 pravnika zato iznosi (11

3

)(82

)(19

5

) .

Primer 2.3

Cifre 0, 1, . . . , 9 pore -dane su na slucajan nacin u niz. Kolika je verovatnoca da nula ijedinica nisu susedne?

Ukupan broj rasporeda je 10!. Neka je A doga -daj da nula i jedinica nisu susedne. Doga -dajA se realizuje kao svaka permutacija devet simbola X, 2, . . . , 9 ili Y, 2, . . . , 9, gde je X =01, Y = 10, jer samo tako su 0 i 1 jedno pored drugoga u nizu od 10 cifara. Takvih permutacijaima ukupno 9! + 9!, pa je

P (A) =2 · 9!10!

=15, P (A) = 1− P (A) =

45.

Doga -daji A i B su zavisni ako realizacija doga -daja A utice na verovatnocu realizacijedoga -daja B. Sa P (B|A) se oznacava verovatnoca doga -daja B pod uslovom da se realizovaodoga -daj A i ta verovatnoca se definise kao

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A),

odakle jeP (A ∩B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).

Doga -daji A i B su nezavisni ako je

P (A ∩B) = P (A)P (B).

Ako je za doga -daje A1, A2, . . . , An zadovoljena relacija

P (Ak1 ∩Ak2 ∩ · · · ∩Akm) = P (Ak1)P (Ak2) . . . P (Akm) (1)

za svaki skup indeksa k1, k2, . . . , km ⊂ 1, 2, . . . , n (2 ≤ m ≤ n), onda se za doga -dajeA1, A2, . . . , An kaze da su nezavisni u ukupnosti.

Ako je Q = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn, a doga -daji B1, . . . , Bn se me -dusobno iskljucuju (tj.Bi ∩Bj = ∅ za 1 ≤ i 6= j ≤ n) onda je

P (A) = P (A ∩B1) + P (A ∩B2) + · · ·+ P (A ∩Bn).

Dalje vaziA = A ∩Q = A ∩ (B1 ∪ . . . ∪Bn) = (A ∩B1) ∪ . . . (A ∪Bn)

po zakonu distributivnosti za skupove. Kako su skupovi

A ∩B1, . . . , A ∩Bn

3

disjunktni, to se dobija

P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + · · ·+ P (Bn)P (A|Bn), (2)

sto se naziva formula totalne verovatnoce. Kako je

P (Bi|A) =P (Bi ∩A)

P (A)=

P (Bi)P (A|Bi)P (A)

,

onda ako se iskoristi (2), dobija se za i = 1, . . . , n

P (Bi|A) =P (Bi)P (A|Bi)

P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + · · ·+ P (Bn)P (A|Bn), (3)

sto je poznato u literaturi kao tzv. Bajesova formula.

Primer 3.1 Ako su B1, B2 proizvoljni doga -daji i P (A) > 0, pokazati da je

P ((B1 ∪B2)|A) = P (B1|A) + P (B2|A)− P ((B1 ∩B2)|A) .

Na osnovu definicije uslovne verovatnoce vazi

P ((B1 ∪B2)|A) =P ((B1 ∪B2) ∩A)

P (A)

=P ((B1 ∩A) ∪ (B2 ∩A))

P (A)

=P (B1 ∩A) + P (B2 ∩A)− P ((B1 ∩B2) ∩A)

P (A)= P (B1|A) + P (B2|A)− P ((B1 ∩B2)|A) .

Primer 3.2

Posmatrajmo tri ormana od kojih svaki ima dve fioke. Prvi orman sadrzi po zlatan novcicu svakoj fioci, drugi orman u jednoj fioci sadrzi srebrni novcic, a u drugoj zlatan, a treciorman u svakoj fioci sadrzi po srebrni novcic. Nasumice je odabran orman i otvorena jednafioka. Ako ta fioka sadrzi zlatan novcic, kolika je verovatnoca da i druga fioka istog ormanasadrzi tako -de zlatan novcic?

Neka su A1, A2, A3 doga -daji koji oznacavaju izbor prvog, drugog odnosno treceg ormana,a B doga -daj da je iz fioke izvucen zlatan novcic. Nas ustvari interesuje P (A1|B), jer samoprvi orman sadrzi i u drugoj fioci zlatan novcic. Iz postavke zadatka je P (A1) = P (A2) =P (A3) = 1/3, P (B|A1) = 1, P (B|A2) = 1/2, P (B|A3) = 0, pa (3) daje

P (A1|B) =P (A1)P (B|A1)

P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + P (A3)P (B|A3)=

23.

Primer 4.1

Neka je u preduzecu zaposleno 60% muskaraca i 40% zena, i neka fakultetsko obrazovanjeima 60% muskaraca i 55% zena. Kolika je verovatnoca da je nasumce odabrana osoba, zakoju se zna da ima fakultetsko obrazovanje, zena?

4

Neka je F doga -daj da osoba ima fakultetsko obrazovanje, M da je muskarac, a Z da jezena. Trazi se

P (Z|F ) =P (Z ∩ F )

P (F )=

P (F |Z)P (Z)P (F |M)P (M) + P (F |Z)P (Z)

,

jer jeM ∪ Z = Q, F = F ∩Q = F ∩ (M ∪ Z) = (F ∩M) ∪ (F ∩ Z).

Kako je P (M) = 3/5, P (Z) = 2/5, P (F |M) = 3/5, P (F |Z) = 0, 55, to sledi

P (Z|F ) =1129

= 0, 379310 . . . .

Primer 4.2

Neka se stanovnistvo grada sastoji od 40% muskaraca i 60% zena. Neka 50% muskaracai 30% zena pusi. Kolika je verovatnoca da je nasumce odabran pusac muskarac?

Neka je M doga -daj da je izabrana osoba muskarac, a Z da je zena. Neka P oznacavapusaca, a N nepusaca. Date informacije su:

P (P |M) = 0, 5, P (P |Z) = 0, 3, P (M) = 0, 4, P (Z) = 0.6.

Tada jeP (P ) = P (P ∩M) + P (P ∩ Z).

Ali P (P ∩ Z) = P (Z)P (P |Z) = 0, 18, P (M ∩ P ) = P (M)P (P |M) = 0, 2, tako da je P (P ) =0, 38 i najzad

P (M |P ) =P (M ∩ P )

P (P )=

0, 20, 38

= 0, 5263 . . . .

0.2 Diskretne slucajne promenljive

Diskretna slucajna promenljiva X nad skupom elementarnih doga -daja Q (prostorom verovatno-ce) je funkcija koja svakom slucajnom doga -daju A iz Q dodeljuje jedan od brojeva x1, x2, x3, . . . ,pri cemu su xi realni brojevi kojih ima prebrojivo mnogo. Tada je funkcija f definisana nadskupom realnih brojeva pomocu f(x) = P (X = x) ( za∀x ∈ R funkcija gustine diskretneslucajne promenljive X. Ocigledno je f(x) = 0 ako x nije jedan od brojeva x1, x2, x3, . . . , askup ω : X(ω) = x je slucajan doga -daj za ∀x ∈ R.

Primer 5

Neka novcic pada pismo (P ) sa verovatnocom p, a glava (G) sa verovatnocom 1 − p.Recimo da za svaki pad P dobijamo dinar, a za svaki pad G placamo (gubimo) dinar.

Ako je novcic pao tri puta, nas ukupni dobitak je 3, 1, -1 ili -3 dinara, koji mozemooznaciti sa X. Tabelarno to izgleda ovako:

5

ω X(ω) P (ω)PPP 3 p3

PPG 1 p2(1− p)PGP 1 p2(1− p)GPP 1 p2(1− p)PGG -1 p(1− p)2

GPG -1 p(1− p)2

GGP -1 p(1− p)2

GGG -3 (1− p)3

Jasno je da je X diskretna slucajna promenljiva sa funkcijom gustine f(x) za koju je

f(x) =

p3, x = 33p2(1− p), x = 13p(1− p)2, x = −1(1− p)3, x = −30, za ostale x.

Najcesce funkcije gustine diskretnih slucajnih su sledece:

1. Binomna respodela. Funkcija gustine (koja poopstava funkciju iz Primera 5) je

f(x) =

(nx

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n,

0, za ostale x,(4)

gde je n ≥ 1 prirodan broj, 0 ≤ p ≤ 1. Broj p je parametar binomne raspodele.

Raspodela (4) nastaje npr. prilikom bacanja novcica sa verovatnocom p da padne pismo.Ako f(x) oznacava verovatnocu da je, prilikom bacanja novcica n puta, x (x = 0, . . . , n) putapalo pismo, onda se lako vidi da je f(x) dato bas preko formule (4) za binomnu raspodelu.

2. Hipergeometrijska raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

(r1

x

)(r−r1

n−x

)(rn

) , x = 0, 1, 2, . . . , n,

0, za ostale x,

(5)

gde su n ≤ r, r1 ≤ r dati prirodni brojevi.

Pretpostavimo da imamo populaciju of r predmeta, od kojih je r1 prve, a r2 = r − r1

druge vrste. Recimo da je iz populacije izvucen uzorak od n (≤ r) predmeta. Neka je X brojobjekata prve vrste u uzorku. Tada je X diskretna slucajna promenljiva koja uzima vrednosti0, 1, . . . , n. Ukupan broj nacina (povoljni slucajevi) izbora n od r predmeta je

(rn

). Ako se

trazi P (X = x), onda imamo(r1

x

)nacina da izaberemo x predmeta prve vrste, i jos

(r−r1

n−x

)

nacina da izaberemo da presotalih n − x predmeta bude druge vrste. Sledi da je gustina Xhipergeometrijska raspodela (5).

6

3. Geometrijska raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . . ,0, za ostale x,

(6)

gde je 0 < p < 1 dati parametar raspodele.

4. Uniforma raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

1

n+1 , x = 0, 1, 2, . . . , n,

0, za ostale x,(7)

gde je n dati prirodni broj.

5. Puasonova raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

λxe−λ

x! , x = 0, 1, 2, 3, . . . ,0, za ostale x,

(8)

gde je λ > 0 dati parametar raspodele.

6. Konstanta slucajna promenljiva

Neka je c realan broj. Tada je funkcija X(ω) = c diskretna slucajna promenljiva, sagustinom f(c) = 1 i f(x) = 0 za x 6= c. Ovakva slucajna promenljiva se zove konstantnaslucajna promenljiva. Sa ove tacke gledista numericka konstanta moze da se posmatra kaoslucajna promenljiva.

Osobine koje karakterisu gustinu f(x) neke diskretne slucajne promenljive su:

a) f(x) ≥ 0 za svako x ∈ R,

b) Skup x|f(x) 6= 0 je konacan ili prebrojiv podskup R. Ako je taj podskup x1, x2, x3, . . . ,tada je

c) f(x1) + f(x2) + f(x3) + · · · = 1.

Osobine a) i b) su ocigledne iz definicije diskretne funkcije gustine X. Da se vidi da c)vazi, primetimo da su doga -daji ω | X(ω = xi uzajamno disjunknti, i da je njihova unijaceo prostor verovatnoce Ω. Stoga je

∑

i

f(xi) =∑

i

P (X = xi) = P

(⋃

i

[X = xi]

)= P (Ω) = 1.

Ostavlja se citaocu da proveri da je za primere 1-6 osobina c) ispunjena. Obrnuto, akoneka funkcija f(x) zadovoljava osobine a)–c), onda postoji slucajna promenljiva X i prostorverovatnoce Ω cija je gustina upravo f(x).

7

U slucaju da je dato n diskretnih slucajnih promenljivih X1, X2, X3, . . . , Xn nad istim pros-torom verovatnoce Q moze se govoriti o diskretnom slucajnom vektoru X, gde je

X(ω) = (X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω))

ili kraceX = (X1, X2, . . . , Xn) ,

tj. X dodeljuje svakom ω jednu n-torku brojeva po navedenom pravilu.n – dimenzionalna gustina f(x1, x2, . . . , xn) diskretnog vektora X definise se kao

f(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xn = xn). (9)

Ako su X1, X2, . . . , Xn diskretne slucajne promenljive sa gustinama

f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn),

onda se kaze da su te promenljive nezavisne ako je

f(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1)f2(x2) . . . fn(xn), (10)

a u protivnom su zavisne. U posebno slucaju n = 2 sledi da su X i Y nezavisne slucajnepromenljive ako je

f(x, y) = P (X = x)P (Y = y).

Zajedno sa diskretnim slucajnim promenljivama X i Y moze se posmatrati i diskretnaslucajna promenljiva Z = X +Y , koja je zbir promenljivih X i Y . Ako su fX , fY , fZ gustineX, Y odnosno Z, tada je

fZ(z) = fX+Y (z) =∑x

f(x, z − x),

no ako su X i Y nazavisne onda (10) daje

fX+Y (z) =∑x

fX(x)fY (z − x). (11)

0.3 Matematicko ocekivanje diskretnih slucajnih promenljivih

Neka je X diskretna slucajna promenljiva gustine f koja uzima vrednosti x1, x2, . . . Akoje suma |x1| f(x1) + |x2| f(x2) + |x3| f(x3) + . . . ogranicena, kaze se da X ima konacnomatematicko ocekivanje (srednju vrednost) EX koje se definise kao

EX = x1f(x1) + x2f(x2) + x3f(x3) + · · · =∑xi

xif(xi). (12)

Ukoliko suma∑

i |xi| f(xi) nije ogranicena kaze se da X ne poseduje konacno matematickoocekivanje, i onda je EX nedefinisano.

Ako su X i Y dve diskretne slucajne promenljive sa konacnim ocekivanjem onda vazi:

1. Ako je c konstantna i P (X = c) = 1, tada je EX = c.

2. Ako je c konstantna onda je E(cX) = cEX.

8

3. X + Y ima konacno ocekivanje i E(X + Y ) = EX + EY .

4. Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive, onda XY ima konacno ocekivanje iE(XY ) = EX·EY .

5. Ako je P (X ≥ Y ) = 1 onda je EX ≥ EY , a ako je EX = EY onda je P (X = Y ) = 1.

6. |EX| ≤ E |X|.Ove osobine se lako pokazuju koristeci definiciju EX. Naprimer, osobina 3 sledi jer je

E(cX) =∑

i

cxif(xi) = c∑

i

xif(xi) = cEX,

a 6. sledi jer je

|EX| =

∣∣∣∣∣∑

i

xif(xi)

∣∣∣∣∣ ≤∑

i

|xif(xi)|

=∑

i

|xi|f(xi) = E|X|.

Vazan pojam verovatnoce su tzv. momenti slucajnih promenljivih. Ako je r ≥ 0 ceo broj,a X diskretna slucajna promenljiva kaze se da X poseduje momenat reda r, ako Xr imakonacno matematicko ocekivanje. Centralni momenat reda r je momenat reda r za X − µ,gde je µ = EX cesta oznaka u teoriji verovatnoce. Za te momente vaze formule

EXr =∑x

xrf(x), (13)

odnosno,

E(X − µ)r = E(X − EX)r =∑x

(x− µ)rf(x). (14)

Posebno znacajan je drugi centralni momenat X, koji se naziva varijansa X i oznacava saVarX = σ2. Vazi

σ2 = VarX = E(X −EX)2 = E(X2)− (EX)2. (15)

Varijansa predstavlja meru odstupanja promenljive X od svoje ocekivane vrednosti EX,i kao takva ima veliki znacaj. Ocevidno VarX ≥ 0 za svaku slucajnu promenljivu X. Osimtoga, VarX = 0 ako i samo ako je X = const. sa verovatnocom 1. Zaista, ako vazi relacijaPX = c = 1, onda je EX = 1 · c = c, pa je

VarX = (c− EX)2 = (c− c)2 = 0.

Obrnuto, neka promenljiva X uzima bar dve vrednosti x1 i x2 sa verovatnocama p1 i p2. Tadaili EX 6= x1 ili EX 6= x2, pa sledi da je

VarX ≥ (x1 −EX)2p1 + (x2 − EX)2p2 > 0.

Tako -de vazi i osobina (A,B su konstante)

Var (AX + B) = E(AX + B −AEX −B)2 = E(A(X − EX)

)2= A2VarX.

9

Ako imamo dve slucajne promenljive X i Y sa konacnim drugim momentom, onda je

Var (X + Y ) = VarX + VarY + 2Cov (X, Y ), (16)

gde se Cov (X, Y ) zove kovarijansa X i Y i racuna po formuli

Cov(X,Y ) = E(XY )− EX × EY, (17)

tako da je Cov(X, Y ) = 0 ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive, kada je Var(X +Y ) =VarX + VarY . Opstije, ako su X1, X2, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive, tada je

Var (X1 + X2 + · · ·+ Xn) = VarX1 + VarX2 + · · ·+ VarXn. (18)

Vazi i nejednakost

[E(XY )2] ≤ (EX2)(EY 2) (19)

ako X i Y imaju konacan drugi momenat, sto je u literaturi poznato kao nejednakost Kosi–Svarca. Dokaz sledi iz cinjenice da je, za realno α,

0 ≤ E[(X − αY )2] = E(X2)− 2αE(XY ) + α2E(Y 2).

Ovo je kvadratna funkcija po α, ciji je minimum za

α = α0 =E(XY )E(Y 2)

.

Sledi da je

0 ≤ E[(X − α0Y )2] = E(X2)− E(XY )E(Y 2)

,

a to daje (19). Ovde se pretpostavilo da E(Y 2) 6= 0, jer je u protivnom tvr -denje trivijalno.

Neka je X nenegativna slucajna promenljiva sa konacnim ocekivanjem, a t realan broj.Neka je Y = 0 ako je X < t i Y = t ako je X ≥ t. Tada je Y diskretna slucajna promenljivakoja uzima vrednosti 0 i t sa verovatnocom P (Y = 0) = P (X < t) i P (Y = t) = P (X ≥ t).Onda je

EY = tP (Y = t) + 0 · P (Y = 0) = tP (X ≥ t).

Jasno je da je X ≥ Y , pa je i EX ≥ EY . Stoga je EX ≥ tP (X ≥ t), odnosno

P (X ≥ t) ≤ EX

t(t > 0), (20)

tj. u ekvivalentnom obliku

P (X < t) ≥ 1− EX

t(t > 0).

Iz (20) se mogu izvesti dalje relacije, izme -du kojih se izdvaja tzv. nejednakost Cebiseva

P (|X − µ| ≥ t) ≤ σ2

t2(t > 0), (21)

10

ako je X slucajna promenljiva sa EX = µ i VarX = σ2. Da se dobije (21), primenjuje se (20)na promenljivu (X − µ)2 i t2, pa je

P (|X − µ|2 ≥ t2) ≤ E|X − µ|2t2

=σ2

t2.

Kako je |X − µ|2 ≥ t2 ako i samo ako je |X − µ| ≥ t, to (21) sledi.

Na kraju dajemo matematicko ocekivanje i varijansu za diskretne slucajne promenljive izodeljka 3.1.2 u sledecoj tabeli.

MatematickoRaspodela Gustina ocekivanje Varijansa

EX VarX

Binomna (4) np npqGeometrijska (6) (1− p)/p (1− p)/p2

Uniformna (7) n/2 n(n + 2)/12Puasonova (8) λ λ

Recimo za binomnu raspodelu (4) vazi

EX =n∑

j=0

j

(n

j

)pj(1− p)n−j .

Me -dutim

j

(n

j

)=

j · n!j!(n− j)!

=n · (n− 1)!

(j − 1)![(n− 1)− (j − 1)]!= n

(n− 1j − 1

),

Ako se sad uvede smena i = j − 1 i iskoristi binomna teorema

(a + b)m =m∑

j=0

(m

j

)ajbm−j ,

onda se dobija

EX = nn∑

j=1

(n− 1j − 1

)pj(1− p)n−j

= npn−1∑

i=0

(n− 1

i

)pi(1− p)n−i−1

= np [p + (1− p)]n−1 = np.

0.4 Neprekidne slucajne promenljive

U mnogim slucajevima primene desava se da slucajna promenljiva nije diskretna vec “neprekidna”u smislu da kao vrednosti ima sve tacke nekog (konacnog ili beskonacnog) intervala. Tadamora biti

P (ω|X(ω) = x) = 0 (−∞ < x < ∞), (22)

11

ili drugim recima verovatnoca da slucajna promenljiva X ima za vrednost neko dato x je uveknula. Stoga ima vise smisla posmatrati verovatnocu

F (x) = P (X ≤ x) (−∞ < x < ∞), (23)

koja je funkcija od x i naziva se funkcija raspodele promenljive X. Naravno, ta funkcija jedefinisana i ima smisla i za diskretne slucajne promenljive, ali je od posebnog znacaja zaneprekidne slucajne promenljive, koje zadovoljavaju (22). Osnovne osobine svake funkcijeraspodele neprekidne slucajne promenljive su:

1. 0 ≤ F (x) ≤ 1,2. F (−∞) = 0, F (∞) = 1,3. F (x1) ≤ F (x2) za x1 ≤ x2,4. P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a),5. lim

x→x0+F (x) = F (x0).

(24)

Primer 6Posmatrajmo eksperiment slucajnog biranja tacke iz kruga poluprecnika R sa centrom

u koordinatnom pocetku. Neka je X slucajna promenljiva koja oznacava rastojanje iz-abrane tacke od koordinatnog pocetka. Ako je 0 ≤ x ≤ R, doga -daj ω|X(ω) = x jekrug poluprecnika x sa centrom u koordinatnom pocetku, cija je povrsina π x2. Po klasicnojdefiniciji verovatnoce vazi

P (X(ω) ≤ x) =π x2

π R2=

x2

R2, 0 ≤ x ≤ R.

X je ocevidno neprekidna slucajna promenljiva sa funkcijom raspodele

F (x) =

0, x < 0,

x2

R2 , 0 ≤ x ≤ R,

1, x > R.

Gustina raspodela neprekidne slucajne promenljive je nenegativna funkcija f(x) za koju je∫∞−∞ f(x) dx = 1 i

F (x) =∫ x

−∞f(y) dy. (25)

Stoga je

P (a ≤ X ≤ b) =∫ b

af(x) dx, (26)

a u tackama u kojima je f(x) neprekidno vazi

dF (x)dx

= F ′(x) = f(x), (27)

tj. F (x) je primitivna funkcija za f(x).

12

Kao i u slucaju diskretnih slucajnih promenljivih, i kod neprekidnih slucajnih promenljivihse definise matematicko ocekivanje µ = EX, varijansa VarX = σ2 i centralni momenti. Nekaje X neprekidna slucajna promenljiva sa gustinom f(x). Ako je

∫ ∞

−∞|x| f(x) dx

konacno, onda se kaze da X ima konacno matematicko ocekivanje EX koje se definise kao

EX =∞∫

−∞x f(x) dx. (28)

Tako -de se definise r-ti moment EXr kao

EXr =∞∫

−∞xr f(x) dx, (29)

odnosno centralni r-ti moment kao (µ = EX)

E(X − EX)r = E(X − µ)r =∞∫

−∞(x− µ)r f(x) dx. (30)

Isto kao kod diskretnih promenljivih varijansa se definise kao drugi centralni moment, tj.

σ2 = VarX =∞∫

−∞(x−EX)2 f(x) dx =

∞∫

−∞(x− µ)2 f(x) dx. (31)

Na kraju odeljka dajemo nekoliko najcescih gustina neprekidnih slucajnih promenljivih.U poglavlju o Statistici bice date jos neke osnovne gustine vezane za raspodele iz Statistike(log-normalna, Studentova, itd.).

1. Uniformna raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

1b−a , a ≤ x ≤ b (a < b)

0, za x < a ili x > b.

(32)

Slucajna promenljiva X sa gustinom f(x) ima uniformnu raspodelu nad intervalom [a, b],gde je µ = EX = (a + b)/2, a σ2 = VarX = (b− a)2/12.

2. Normalna raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 (−∞ < x < ∞), (33)

gde su µ i σ dati parametri normalne raspodele, gde je upravo EX = σ, VarX = σ2 za datoµ i σ2, te se stoga cesto i koriste oznake µ i σ2 za ocekivanje, odnosno varijansu, jer su te

13

vrednosti upravo one koje se i dobijaju kod normalne raspodele. Ove relacije se dokazuju uzpomoc klasicnog integrala ∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π.

Da se ovo pokaze, ako se integral oznaci sa I, onda se prelaskom na polarne koordinatex = r cosϕ, y = r sinϕ,

I2 = 4∫ ∞

0e−x2

dx

∫ ∞

0e−y2

dy = 4∫ π/2

0

∫ ∞

0e−r2

r dϕdr = −2∫ π/2

0dϕ

∫ ∞

0d

(e−r2

)= π.

Grafik krive normalne raspodele je zvonastog oblika, simetrican u odnosu na pravu x = µi sa maksimumom 1/

√2πσ za x = µ. Levo, odnosno desno od x = µ funkcija veoma brzo

opada i tezi nuli. Znacaj normalne raspodele ogleda se i u sledecem tvr -denju, koje se u teorijiverovatnoce naziva centralna granicna teorema:

Neka su X1, X2, X3, . . . slucajne promenljive (diskretne ili neprekidne) koje su nezavisne (v.(51)) i imaju istu raspodelu sa konacnim matematickim ocekivanjem µ i varijansom σ2. Akoje Sn = X1 + X2 + X3 + · · ·+ Xn, tada je

limn→∞P

(Sn − µn

σ√

n≤ x

)=

x∫

−∞

1√2π

e−y2

2 dy. (34)

Jednacina (36) kazuje ustvari da raspodela slucajne velicine (Sn − µn)/(σ√

n) tezi ustvarinormalnoj raspodeli sa parametrima µ = 0 i σ = 1. Funkcija

Φ(x) =1√2π

x∫

−∞e−

y2

2 dy, (35)

koja se pojavljuje u (36) je izracunata za razne vrednosti x i njene vrednosti se nalaze uposebnim tablicama. Valja napomenuti da (36) obuhvata i diskretne i neprekidne slucajnepromenljive.

Osim centralne granicne teoreme, postoji jos puno rezultata slicnog tipa iz Teorije verovatnocekoji su od velikog teorijskog kao i prakticnog znacaja. Ovde izdvajamo samo dva takvarezultata, koja kao i (36) dajemo bez dokaza, koji vaze i za diskretne i za neprekidne slucajnepromenljive.

Teorema Hincina. Neka je Xknk=1 niz nezavisnih slucajnih promenljivih sa uniformnim

ogranicenim disperzijama i istim matematickim ocekivanjem µ. Tada za svako ε > 0 vazi

limn→∞ P

∣∣∣∣∣1n

n∑

k=1

Xk − µ

∣∣∣∣∣ < ε

= 1.

Bernulijeva Teorema. Neka slucajna promenljiva X ima binomnu raspodelu sa parametriman i p. Tada za svako ε > 0 vazi

limn→∞ P

∣∣∣∣X

n− p

∣∣∣∣ < ε

= 1.

14

3. Gama raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

an

Γ(n)xn−1e−ax, 0 ≤ x ≤ ∞,

0, x < 0,

(36)

gde su a, n > 0 parametri raspodele, a gama-funkcija Γ(n) je za u > 0 definisana kao

Γ(u) =∞∫

0

xu−1e−x dx,

i zadovoljava funkcionalnu jednacinu Γ(u + 1) = uΓ(u). U slucaju da je n ≥ 1 prirodan broj,Γ(n) = (n− 1)! = 1· 2· . . . · (n− 1), a 0! = 1 po definiciji. Tako -de je, smenom x = y2, i

Γ(12) =

∫ ∞

0x−1/2e−xdx = 2

∫ ∞

0e−y2

dy =√

π,

odakle je matematickom indukcijom

Γ(n + 1

2

)=

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)2n

√π (n ∈ N).

Za gama raspodelu vazi EX = n/a, VarX = n/a2.

4. Eksponencijalna raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

a e−ax, 0 ≤ x ≤ ∞,0, x < 0.

(37)

gde je a > 0 parametar raspodele. U ovom slucaju je EX = 1/a,VarX = 1/a2.

5. Beta raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =

Γ(n+m)Γ(n)Γ(m)x

n−1(1− x)m−1, 0 ≤ x ≤ 1,

0, x > 1 ili x < 0,

(38)

gde su m,n > 0 parametri raspodele. Ovde je EX = n/(n + m).

6. Kosijeva raspodela. Funkcija gustine je

f(x) =1

π(1 + x2)(−∞ < x < ∞).

Funkcija raspodele ovde je

F (x) =12

+1π

arc tg x (−∞ < x < ∞).

15

Ukoliko se zna da slucajna promenljiva X ima konacno ocekivanje EX = µ i varijansuVarX = σ2, onda vazi nejednakost (21), tj.

P (|X − µ| > t) ≤ σ2

t2

za svako t > 0. Ovo je tzv. nejednakost Cebiseva, koja kazuje koliko X odstupa od svakogmatematickog ocekivanja µ. Mada je dosta gruba, ova nejednakost ima tu prednost da selako primenjuje. Dokaz koji je dat za diskretne slucajne promenljive (kao i za (20)) vazi i uslucaju neprekidnih promenljivih. U ovom slucaju moze se nejednakost izvesti i na sledecidirektan nacin:

P (|X − µ| > t) =∫

|x−µ|>tf(x) dx ≤

∫

|x−µ|>t

|x− µ|2t2

f(x) dx ≤ VarX

t2=

σ2

t2.

Ako je X neprekidna slucajna promenljiva sa gustinom f(x), onda se gustina slucajnepromenljive Y = X2 moze naci pomocu tzv. metode smene, koja ce na sledecem primeru bitiprikazana. Naime neka su F, G funkcije raspodele X tj. Y . Tada je G(y) = 0 za y ≤ 0. Zay > 0

G(y) = P (X2 ≤ y) = P (−√y ≤ X ≤ √y) = F (

√y)− F (−√y).

Diferenciranje daje

g(y) = G′(y) =1

2√

y

(f(√

y ) + f(−√y )),

cime je odre -dena gustina g(y) od Y , pod uslovom da je G(y) diferencijabilno. Ako to nijeslucaj, gornja formula opet vazi, sto sledi smenom promenljivih, direktnom proverom (x > 0):

∫ x

−∞g(y) dy =

∫ x

0

12√

y

(f(√

y) + f(−√y))

dy.

Smenom z =√

y dobija se

∫ √x

−√xf(z)dz = F (

√x)− F (−√x) = G(x).

0.5 Raspodela dvodimenzionalnih slucajnih promenljivih

Neka su X i Y slucajne promenljive nad istim prostorom verovatnoce. Tada se njihovazajednicka funkcija raspodele F (x, y) definise kao

F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y), (−∞ < x, y < ∞) (39)

tj. kao verovatnoca da istovremeno X nije vece od x i Y nije vece od y. Iz ove definicijeneposredno sledi

P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F (b, d) + F (a, c)− F (a, d)− F (b, c)

za a < b, c < d. Jednodimenzionalne raspodele FX i FY promenljivih X odnosno Y definisuse kao

FX(x) = P (X ≤ x) odnosno FY (y) = P (Y ≤ y) (40)

16

i nazivaju marginalne funkcije raspodele za X i Y . Vazi

FX(x) = limy→∞F (x, y), FY (y) = lim

x→∞F (x, y). (41)

Ako su X i Y diskretne slucajne promenljive, dvodimenzionalna gustina od X i Y je

P (X = x, Y = y) := f(x, y),

pri cemu jef(x, y) ≥ 0,

∑xi,yi

f(xi, yi) = 1,

gde su xi tacke u kojima P (X = xi) 6= 0, a yi tacke u kojima P (Y = yi) 6= 0.U slucaju da su X i Y neprekidne slucajne promenljive, razmatranje je sledece. Ako

postoji nenegativna funkcija f(u, v) od dve promenljive u i v tako da je

F (x, y) =∫ x

−∞

(∫ y

−∞f(u, v) dv

)du, (−∞ < x, y < y) (42)

tada je f(u, v) funkcija gustine za par neprekidnih slucajnih promenljivih X i Y , pri cemu sepodrazumeva postojanje integrala u (42). Ako F poseduje gustinu f , onda je:

P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) =∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx, (43)

fX(x) =∫ ∞

−∞f(x, y) dy, fY (y) =

∫ ∞

−∞f(x, y) dx, (44)

gde su fX(x) odnosno fY (y) (obicne) gustine slucajnih promenljivih X i Y . U tackama ukojima je dvodimenzionalna gustina f(x, y) neprekidna vazi

f(x, y) =∂2

∂x∂yF (x, y), (45)

tj. gustina je drugi mesoviti izvod funkcije raspodele.Ako su X i Y neprekidne slucajne promenljive sa zajednickom gustinom f(x, y), onda se

uslovna gustina fY |X definise kao

fY |X(y|x) =

f(x,y)fX(x) , 0 < fX(x) < ∞,

0, fX(x) = 0,

(46)

a uslovna verovatnoca P (a ≤ Y ≤ b∣∣∣ X = x) kao

P (a ≤ Y ≤ b∣∣∣ X = x) =

b∫

a

fY |X(y|x) dy, (a < b)

sto predstavlja verovatnocu da je Y izme -du a i b, ako se zna da je X = x. Vazi

fY |X(x, y) =fX(x)fY |X(y|x)

∞∫−∞

fX(x)fY |X(y|x) dx, (47)

17

sto je ustvari formula analogna Bajesovom pravilu (3) za uslovnu verovatnocu kod diskretnihpromenljivih.

Slicno kao kod jednodimenzionalne slucajne promenljive mozemo definisati matematickoocekivanje E[g(X, Y )] funkcije g(X,Y ) od slucajnih promenljivih X i Y kao

E[g(X, Y )] =∞∫

−∞

∞∫

−∞g(x, y) f(x, y) dxdy, (48)

pod uslovom da dvostruki integral u (48) apsolutno konvergira. Promenljive X i Y su neza-visne ako je

F (x, y) = FX(x) FY (y), (49)

odnosno ako je

f(x, y) = fX(x) fY (y),

te se u slucaju nezavisnih promenljivih integral u (48) obicno znatno uproscava. U statisticije od znacaja kovarijansa X i Y koja se definise kao (videti (16) i (17))

Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY )− EX × EY (50)

=∞∫

−∞

∞∫

−∞(x− E(X))(y −E(Y )) f(x, y) dxdy.

Izraz

% =Cov(X,Y )√

VarX ×√VarY(51)

naziva se koeficijent korelacije i koristi se u slucaju i diskretnih i neprekidnih slucajnihpromenljivih. Vazi −1 ≤ % ≤ 1, % = 0 ako su X i Y nezavisne promenljive, % = ±1 akoje Y = aX + b za neke konstante a, b (ovo ce biti dokazano u poglavlju o Statistici).

Gustina

f(x, y) =(

2πσxσy

√1− %2

)−1

e−Q2 , (−∞ < x, y < ∞), (52)

Q =1

1− %2

(x− µx

σx

)2

+

(y − µy

σy

)2

− 2%

(x− µx

σx

) (y − µy

σy

) (53)

se zove gustina normalne raspodele dvodimenzionalne slucajne promenljive. Ovde su

µx, µy, σx, σy, %

dati parametri, pri cemu je upravo EX = µx, EY = µy, VarX = σ2x, VarY = σ2

y , a koeficijentkorelacije X i Y je %.

Ako je Z = X + Y , tada je gustina fZ(z) promenljive Z data pomocu

fZ(z) = fX,Y (z) =∞∫

−∞f(x, z − x) dx, (−∞ < z < ∞), (54)

18

gde je f(x, y) gustina raspodele od X i Y .

Primer 1

Neka se uniformno bira tacka iz kruga poluprecnika R, sa centrom u O. Ako neprekidneslucajne promenljive X,Y oznacavaju koordinate tako izabrane tacke (x, y), onda uslov uni-formnosti kazuje da je

f(x, y) =

1πR2 , x2 + y2 ≤ R2,

0, za ostale x, y.(55)

Onda je, ako je A oblast koja lezi u krugu,

P ((X,Y ) ∈ A) =∫ ∫

Af(x, y) dxdy =

povrsinaAπR2

=povrsinaA

povrsina kruga,

sto je saglasno i sa pojmom uniformnosti i sa pojmom geometrijske verovatnoce. Marginalnagustina

fX(x) =∫ ∞

−∞f(x, y)dy =

2√

R2 − x2

πR2(−R < x < R),

a za ostale x vazi fX(x) = 0. Slicna formula vazi i za fY (y), pa se dobija

fX(x)fY (y) =4√

R2 − x2√

R2 − y2

π2R46= 1

πR2= f(x, y),

sto znaci da X i Y nisu nezavisne slucajne promenljive.

Primer 2.

Data je funkcija

f(x, y) = c exp(−1

2(x2 − xy + y2)

)(−∞ < x, y < ∞).

Da bi f(x, y) bila dvodimenzionalna gustina, potrebno je i dovoljno da je∫ ∞

−∞f(x, y)dxdy = 1.

Uz pomoc integrala ∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

izracunava se da je c =√

3/(4π).

Najzad, ako su X1, X2, . . . , Xn slucajne promenljive nad istim prostorom verovatnoce,onda je zajednicka funkcija raspodele F definisana kao

F (x1, x2, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn), (56)−∞ < x1, x2, . . . , xn < ∞,

a marginalne funkcije distribucije FXm (m = 1, 2, . . . , n) kao

FXm(xm) = P (Xm ≤ xm) (−∞ < xm < ∞). (57)

19

Nenegativna funkcija f od n promenljivih je gustina n-dimenzionalne raspodele F ako je

F (x1, x2, . . . , xn) =x1∫

−∞

x2∫

−∞· · ·

xn∫

−∞f(u1, u2, . . . , un)du1du2 . . .dun, (58)

sto je ocigledno poopstenje vec izucavanog slucaja kada je n = 2.

0.6 Karakteristicne funkcije i funkcije generatrisa momenta

Metod karakteristicnih funkcija, tj. metode Furijeove transformacije funkcije raspodele jejedan od osnovnih metoda u teoriji verovatnoce. Ako je X slucajna promenljiva, tada je

ϕX(t) = E eitX =∞∫

−∞eitx dF (x) (59)

njena karakteristicna funkcija, gde je F (x) funkcija raspodele slucajne promenljive X, t realanbroj i i =

√−1. Kompleksnu slucajnu promenljivu Z = X + iY mozemo shvatiti kao ure -denpar slucajnih promenljivih (X, Y ) koji prostor verovatnoce preslikava u kompleksnu ravan.Tada se definise

EZ = EX + iEY,

i u opstem slucaju EZr = E(X + iY )r (r > 0). Eksponencijalna funkcija se definise kao

ez =∞∑

n=0

zn

n!(∀z ∈ C).

Poznata relacijaez1+z2 = ez1ez2

ostaje u vaznosti za sve kompleksne brojeve z1, z2. Lako se dobijaju i tzv. Ojlerove formula

eit = cos t + i sin t, cos t =12(eit + e−it), sin t =

12i

(eit − e−it),

koje su prvobitno dokazane za realno t, ali vaze i za svako kompleksno t, te cesto sluze ukomplesknoj analizi za definiciju trigonometrijskih funkcija.

Gornja definicija ϕX(t) vazi i za diskretne i za neprekidne promenljive, te ako X imagustinu f onda je u tackama neprekidnosti

ϕX(t) =∑xi

eitxif(xi), (60)

ako je X diskretna promenljiva, koja uzima vrednosti xi, odnosno

ϕX(t) =∞∫

−∞eitxf(x) dx, (61)

u slucaju neprekidne promenljive X, jer je tada dF (x) = f ′(x). Ako postoji n–ti momenatslucajne promenljive X, onda je

ϕ(n)X (0) = inEXn, (62)

20

tj. momenti se jednostavno izracunavaju preko izvoda karakteristicne funkcije. Za svakukarakteristicnu funkciju ϕX(t) vazi

ϕX(0) = 1, |ϕX(t)| ≤ 1, ϕX(−t) = ϕX(t), (63)

gde je z = x− iy konjugovana vrednost kompleksnog broja z = x + iy. Ako je Y = c1X + c2

za neke konstante c1, c2, onda je

ϕY (t) = EeitY = Eeit(c1X+c2) = Eeitc1XEeitc2 = eitc2ϕX(c1t),

te je za odre -divanje karakteristicne funkcije c1X + c2 dovoljno znati samo karakteristicnufunkciju X.

U opstem slucaju, Furijeova transformacija f(α) ≡ F (α) (ovde F ne oznacava vise funkcijuraspodele) funkcije f(x) se definise kao

F (α) = f(α) =∫ ∞

−∞f(x) eiαx dx (α ∈ R),

naravno pod pretpostavkon da integral na desnoj strani postoji. Pod odre -denim uslovima izgornje relacije vazi tzv. formula inverzije za Furijeove transformacije

f(x) =12π

∫ ∞

−∞F (t)e−itxdt.

Funkcija f(α) je neprekidna za svako realno α, predstavlja linearan operator (H je linearanoperator ako je

H(α1u + α2v) = α1H(u) + α2H(v)

za skalare (brojeve) α1, α2 i vektore (funkcije itd.) u, v). Ako je f parno, onda je f parno, aako je f neparno, onda je i f tako -de neparno. Ako se konvolucija dveju funkcija f i g definisekao

(f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞f(x− y)g(y)dy (x ∈ R),

onda je operacija konvolucije (f ∗ g)(x) komutativna, asocijativna i distributivna u odnosuna obicno sabiranje funkcija. Tako -de vazi i teorema o konvoluciji

f ∗ g = f · g,

koja ima veliki znacaj u primenama, a vazi za siroku klasu funkcija f, g. Naime smenomx− y = u sledi

f ∗ g(α) =∫ ∞

−∞eiαx

∫ ∞

−∞f(x− y)g(y) dy dx

=∫ ∞

−∞g(y)

∫ ∞

−∞eiαxf(x− y) dx dy

=∫ ∞

−∞g(y)eiαy

∫ ∞

−∞eiαuf(u) dy du

= f(α) · g(α).

Na kraju ove kratke diskusije o Furijeovim transformacijama, valja pomenuti i tzv. Par-sevalovu (ili Plansarelovu) formulu:

21

∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx =

12π

∫ ∞

−∞|f(α)|2 dα.

Naime, primenom formule inverzije vazi∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx =

∫ ∞

−∞f(x)f(x) dx =

12π

∫ ∞

−∞f(x)

(∫ ∞

−∞F (t)eitxdt

)dx

=∫ ∞

−∞F (t)

(∫ ∞

−∞f(x)eitxdx

)dt =

∫ ∞

−∞|F (t)|2 dt =

12π

∫ ∞

−∞|f(α)|2 dα.

Primer 7

Neka X ima uniformnu raspodelu (31). Tada je za t 6= 0

ϕX (t) =b∫

a

eitx

b− adx =

eibt − eiat

it(b− a). (64)

Primer 8

Neka X ima eksponencijalnu raspodelu sa gustinom (37). Tada je

ϕX (t) =∞∫

0

eitxae−ax dx =a

a− it, (65)

ϕ′X

(t) =dϕX (t)

dt=

ia

(a− it)2, ϕ′

X(0) =

i

a,

pa je po formuli (61) EX = 1/a, a slicno se nalazi i VarX = 1/a2. Kako je∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx = a2

∫ ∞

0e−2ax dx =

a

2,

∫ ∞

−∞|f(α)|2 dα =

∫ ∞

−∞a2

|a− iα|2 dα = a2∫ ∞

−∞dα

a2 + α2,

to Parsevalova formula daje∫ ∞

−∞dt

a2 + t2=

π

a(a > 0),

sto se moze lako i neposredno proveriti.

Primer 9

Neka je X slucajna promenljiva normalne raspodele sa gustinom (33). Tada je

ϕX (t) =1√2πσ

∞∫

−∞eitx− (x−µ)2

2σ2 dx = e12σ2t2+iµt, (66)

22

sto sledi primenom klasicnog integrala∫∞−∞ e−x2

dx =√

π.Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive (nad istim prostorom verovatnoce), tada su

eitX i eitY tako -de nezavisne promenljive, pa vazi

ϕX+Y (t) = E(eit(X+Y )

)= E

(eitXeitY

),

tj.

ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t) (−∞ < t < ∞), (67)

dakle karakteristicna funkcija zbira je proizvod karakteristicnih funkcija. Ovo jednostavnopravilo lako se prenosi i na slucaj zbira n nezavisnih slucajnih promenljivih: ako su X1, . . . , Xn

nezavisne slucajne promenljive, onda je karakteristicna funkcija njihovog zbira proizvod nji-hovih karakteristicnih funkcija ϕX1(t), . . . , ϕXn(t).

Karakteristicna funkcija je po definiciji (58) odre -dena funkcijom raspodele, ali je i obr-nuto, funkcija raspodele odre -dena karakteristicnom funkcijom. Ako su a i b (a < b) tackeneprekidnosti funkcije raspodele F (x) slucajne promenljive X sa karakteristicnom funkcijomϕX (t), onda je

F (b)− F (a) = limT→∞

12π

T∫

−T

e−itb − e−ita

−itϕX (t) dt, (68)

sto je poznato u literaturi kao Teorema inverzije Levija. Tako -de vazi i relacija

P (X = x) = limT→∞

12T

T∫

−T

e−itxϕX (t) dt, (69)

sto je interesantno u slucaju diskretnih promenljivih. Tako -de vazi stav: ako dve slucajnepromenljive imaju istu karakteristicnu funkciju, onda one imaju i istu funkciju raspodele.

Mogu se definisati i visedimenzionalne karakteristicne funkcije. Naprimer, neka je F (x, y)funkcija raspodele za dvodimenzionalnu sluajnu promenljivu (X, Y ). U tom slucaju (t, s ∈ <e)karakteristicna funkcija je

ϕ(s, t) = E(eisX+itY ) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞eisx+ityd2F (x, y),

ukoliko integral konvergira.

Druga funkcija od znacaja u teoriji verovatnoce je funkcija generatrisa momenta MX(t).Ova funkcija se za realno t i slucajnu promenljivu X definise kao

MX(t) = EetX =∞∫

−∞etx dF (x), (70)

pa vazi

MX(it) = ϕX (t), (71)

23

gde je ϕX (t) karakteristicna funkcija X. Teskoca sa MX(t) je sto integral u (70) vrlo cestone postoji, dok ϕX(t) uvek postoj. Kada MX(t) postoji, onda iz (70) zbog linearnostimatematickog ocekivanja sledi

MX(t) =∞∑

n=0

EXn

n!tn, (72)

pa je onda

EXn =dn

dtnMX (t)

∣∣∣∣t=0

, (73)

a relacija (72) jasno kazuje zasto se MX(t) zove funkcija generatrisa momenta.

Primer 10

Neka X ima gama–raspodelu sa funkcijom gustine (36). Onda je

MX (t) =∞∫

0

etx an

Γ(n)xn−1e−ax dx =

(a

a− t

)n

,

za −∞ < t < a. Stoga je M ′X(t) = nan(a− t)−n−1, pa je po formuli (72)

EX = M ′X(0) =

n

a,

a slicno se nalazi da je VarX = E(X −EX)2 = na2 .

Primer 11

Neka X ima normalnu raspodelu sa parametrima µ i σ2. Onda je

MX (t) = EetX =∫ ∞

−∞etx 1

σ√

2πexp(−(x− µ)2/(2σ2))dx (74)

=∫ ∞

−∞et(y+µ) 1

σ√

2πe−y2/(2σ2)dy = eµt

∫ ∞

−∞1

σ√

2πety−y2/(2σ2)dy.

(75)

Ali kako je

ty − y2

2σ2= −(y − σ2t)2

2σ2+

12σ2t2,

to je

MX (t) = eµteσ2t2/2∫ ∞

−∞1

σ√

2πexp

(−(y − σ2t2)2/(2σ2)

)dy = eµteσ2t2/2 (∀t ∈ Re),

jer je gornji integral upravo integral gustine od normalne raspodele (sa parametrima σ2t, σ2).

Primer 12

Pokazati da, ako X ima binomnu raspodelu sa parametrima n, p, onda je

MX(t) = (p et + 1− p)n.

Primer 13

Pokazati da, ako X ima Poasonovu raspodelu sa parametrom λ, onda je

MX(t) = exp(λ(et − 1)

).

24