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Versuch 260
Fourieroptik
Praktikum fur Fortgeschritteneam Dritten Physikalischen Institut
der Universitat Gottingen
07. August 2008
Praktikant Johannes [email protected]
Durchfuhrung am 20.11.2007zusammen mitOliver Schonborn
Betreuer Dr. Robert Mettin
Unterschrift des Praktikanten:
Johannes Dorr - Gottingen, den 07.08.2008
INHALTSVERZEICHNIS 3
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Fraunhofersches und Fresnelsches Beugungsbild 4
3 Fouriertransformation 53.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Ahnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Fouriertransformation mit Linsen 6
5 Multiplikation zweier Beugungsobjekte 9
6 Qualitative Betrachtung 106.1 Blendengroße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Lochabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3 Lochdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Raumfrequenzfilterung 13
8 Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation 148.1 Dunkelfeldmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.2 Schlierenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9 Diskussion 16
4 2 FRAUNHOFERSCHES UND FRESNELSCHES BEUGUNGSBILD
1 Einleitung
Die Fouriertransformation spielt sowohl in der Theorie als auch in der Praxis eine wichtigeRolle. Durch die Transformation eines Signals kann mit ihr das Spektrum gewonnen werden,das Aufschluss uber die Bestandteile des Signals liefert. Beispielsweise konnen in der Audio-Technik, um nur eine Anwendung zu nennen, mit einem sogenannten Equalizer bestimmteFrequenzbereiche (z.B. die Hohen oder Tiefen) verstarkt oder abgeschwacht werden.
Abgesehen von der Transformation solcher Zeitsignale gibt es auch die optische Fou-riertransformation, bei der einfache Linsen zum Einsatz kommen. Der große didaktischeVorteil hierbei ist, dass keine Elektronik notig ist und man sich dennoch in Echtzeit dieEigenschaften der Fouriertransformation vor Augen fuhren kann.
In diesem Protokoll verzichten wir zweckmaßigerweise auf die klassische Aufteilung inTheorieteil und Auswertung, da letztere im Großteil qualitativer Art ist und die theoreti-sche Abhandlung untermauert.
2 Fraunhofersches und Fresnelsches Beugungsbild
Bei der Beschreibung von Beugungserscheinungen unterscheidet man zwei Falle. Stammendie einfallenden Strahlen von einer weit entfernten Lichtquelle und konnen aus diesemGrund als parallel angenommen werden, so spricht man von der Fraunhofer-Beugung.
Abbildung 2.1: Ubergang vom Fresnelschen zum Fraunhoferschen Beugungsbild (Quelle:Wolfgang Demtroder, Experimentalphysik 2)
Handelt es sich jedoch um divergente oder konvergente Strahlen, so hat man es mitder Fresnel-Beugung zu tun. Am Beispiel eines Spalts der Breite b liegt diese Nahzone imBereich x� b2
λ, wenn x also die Entfernung ist, in der wir das Feld betrachten wollen, und
λ die Wellenlange des Lichts. Ist die Entfernung hingegen viel großer (x � b2
λ), so findet
man das Fernfeld vor.
5
In disem Versuch werden wir nur mit dem dort geltenden, Fraunhoferschen Beugungs-bild zu tun haben, denn dieses liefert in der Brennebene einer Linse die Fouriertransforma-tion des abgebildeten Objekts, worauf in Kapitel 4 eingegangen wird.
Den Ubergang der beiden Beugungsbilder kann man sich experimentell gut veranschau-lichen, indem man einen Schirm direkt hinter die Linse halt und diesen dann immer weiterweg bewegt, wahrend man das Beugungsbild beobachtet (siehe Abbildung 2.1). Auf einequantitative Darstellung der beiden Beugungsbilder verzichten wir an dieser Stelle, da sieim weiteren Verlauf dieses Protokolls nicht benotigt wird.
3 Fouriertransformation
Bei der Fouriertransformation handelt es sich um eine sogenannte Integraltransformation.Sie findet beispielsweise haufig bei der Spektralanalyse von Zeitsignalen Anwendung, dieuber das Vorkommen von Frequenzanteilen Auskunft gibt. Mathematisch ist die Fourier-transformierte Y (ω) = F[y(t)] einer Funktion y(t) definiert durch:
Y (ω) = F[y(t)] =1√2π
∞∫−∞
y(t) · e−iωt dt . (3.1)
Durch die Rucktransformation:
y(t) = F−1[Y (ω)] =1√2π
∞∫−∞
Y (ω) · eiωt dω (3.2)
des Spektrums erhalt man wieder das Ausgangssignal. Die Fouriertransformation besitzteinige Eigenschaften, die im Folgenden angesprochen werden.
3.1 Linearitat
Die Fouriertransformation ist eine lineare Abbildung – die Transformation der Summezweier Funktionen y1(t) und y2(t) ist somit die Summe ihrere Fouriertransformierten:
F[a1 · y1(t) + a2 · y2(t)](ω) = a1 · F[y1(t)](ω) + a2 · F[y2(t)](ω) .
3.2 Ahnlichkeitssatz
Der Ahnlichkeitssatz sagt aus, dass sich eine Verkleinerung des Objekts in einer Vergroße-rung des Spektrums auswirkt. Die Amplitude des Spektrums wird hingegen geringer:
F[y(at)](ω) =1
|a|F[y(t)]
(ωa
).
6 4 FOURIERTRANSFORMATION MIT LINSEN
3.3 Verschiebungssatz
Bei der Verschiebung der Funktion y(t) um τ ergibt sich nur ein zusatzlicher Phasenfaktor:
F[y(t+ τ)](ω) = F[y(t)](ω) · eiωτ .
In der optischen Fourieranalyse geht generell jede Phaseninformation verloren, da das Augenur Intensitaten wahrnehmen kann. Aus diesem Grund bleibt die beobachtete Amplitudedes Spektrums bei Verschiebung des Beugungsobjektes unverandert.
3.4 Faltung
Die Faltung zweier Funktionen y1(t) und y2(t) ist wie folgt definiert:
(f ∗ g)(t) =
∞∫−∞
f(t) g(t− τ) dτ .
Mit ihr gilt der Faltungssatz:
F[y1(t) · y2(t)](ω) = F[y1(t)](ω) ∗ F[y2(t)](ω) .
Die Fouriertransformierte eines Produkts zweier Funktionen ist also dasselbe wie die Fal-tung der einzelnen Fouriertransformierten. Dasselbe gilt in umgekehrter Richtung:
F[y1(t) ∗ y2(t)](ω) = F[y1(t)](ω) · F[y2(t)](ω) .
Die Faltung ist zwar nicht unmittelbar anschaulich, besitzt jedoch große praktische Bedeu-tung. Beispielsweise kann mit ihr ein Gitter mathematisch beschrieben werden, das aus sichperiodisch wiederholenden Lochern besteht. Dabei faltet man die Funktion des Lochs (zumBeispiel die circ-Funktion) mit einem Dirac-Kamm (comb-Funktion), was in Abschnitt 5genauer beschrieben wird.
4 Fouriertransformation mit Linsen
Wird eine optische Vorlage wie z.B. ein Spalt oder Gitter in der Brennebene einer Linseangebracht, so findet man in der gegenuberliegenden Brennebene die Fouriertransformierteder Vorlage. Anstatt der in den vorigen Abschnitten behandelten Funktionen, die vonder Zeit abhangen, werden hier Funktionen des Ortes, also zum Beispiel die Spalt- oderGitterfunktionen, transformiert. Die Frequenz wird zur Raumfrequenz. Dennoch lassen wirim Folgenden die Bezeichnungen t und ω unverandert.
Die zu einem Bildpunkt x gehorende Raumfrequenz ν erhalt man durch die Relation
ν =x
λ · f, (4.1)
7
wenn f die Brennweite der Linse und λ die Wellenlange der Lichtes ist. Mit ω = 2πν erhaltman fur die Kreisfrequenz die entsprechende Formel.
Bei einem Spalt der Breite a erhalt man hinter der Linse eine eine sinc-Funtion, denndiese ist die Fouriertransformierte der rect-Funktion, die dem Spalt entspricht:
s(t) = rect
(t
a
)=
{1 wenn |t| ≤ a
2
0 sonst
F[s(t)](ω) =1√2π
a2∫
−a2
e−iωt dt =2√
2π ωsin(ωa
2
)=
a√2π
sinc(ωa
2
). (4.2)
Das Auge und auch der verwendete CMOS-Kamerachip konnen keine Amplituden wahr-nehmen, sondern nur Intensitaten. In Abbildung 4.1 ist das Beugungsbild eines Spaltsabgebildet, das also (nur) das Betragsquadrat der Amplitude festhalt, also ∝ sinc2.
Abbildung 4.1: Beugungsbild des Spalts
Ein ahnliches Beugungsbild (Abbildung 4.2) ergibt sich fur eine Lochblende, nur istdieses (wie die Blende selbst) rotationssysmmetrisch. In der Abbildung ist zudem das Beu-gungsbild fur mehrere Lochdurchmesser dargestellt. Offenbar haben schmale Lochblendenbreite Spektren und umgekehrt. Eine Skalierung der Zeitachse t fuhrt also zu einer Stau-chung der Frequenzachse ω, was genau die Aussage des Ahnlichkeitssatzes ist.
Mathematisch beschreibt man eine Blende mit Radius r durch die Funktion circr(tx, ty).Ihre Fouriertransformierte lautet:
F[circr(tx, ty)](ωx, ωy) =2πr√ω2
x + ω2y
J1
(r√ω2
x + ω2y
). (4.3)
Dabei ist J1 die Besselfunktion erster Ordnung.
8 4 FOURIERTRANSFORMATION MIT LINSEN
Abbildung 4.2: Beugungsbilder verschiedener Lochblenden (v.l.n.r.: 0.6mm, 0.8mm, 1mmDurchmesser)
Lassen wir nur den reinen Laserstrahl die Linse passieren, so finden wir in der hinterenBrennebene keine Veranderung vor. Die Intensitatsverteilung des Querschnitts des Laser-strahls weist ein Gaußprofil auf, und die Fouriertransformation einer Gaußfunktion istwiederum eine Gaußfunktion, was die Beobachtung erklart.
Bei periodischen Objekten wie einem Mehrfachspalt beobachtet man den Ahnlich-keitssatz oft noch deutlicher, da die Intensitatsmaxima wesentlich scharfer sind als bei-spielsweise beim einfachen Spalt. In Abbildung 4.3 sind die Beugungsbilder zweier Mehr-fachspalte abgebildet, die sich in ihrem Spaltabstand unterscheiden. Derjenige mit demkleineren Abstand besitzt das breitere Beugungsbild. Mathematisch beschreibt man einenMehrfachspalt als Dirac-Kamm:
comb(t, T ) =∞∑
k=−∞
δ(t− kT ) ,
der fouriertransformiert wiederum einen Dirac-Kamm mit inverser Periode ergibt:
F[comb(t, T )](ω) =
√2π
Tcomb
(ω
2π,
1
T
). (4.4)
Die beiden Vorlagen aus Abbildung 4.3 unterscheiden sich auch in der Lochbreite, wassich jedoch nicht auf den Abstand der Lichtpunkte (Intensitatsmaxima) auswirkt. Vielmehrwird das Beugungsbild des Mehrfachspalts durch das des Einzelspalts uberlagert, weshalbdie Intensitatsmaxima unterschiedliche Intensitaten besitzten – namlich beschrieben durchdie Verteilung des Einzelspalts. Im oberen Bild ist das Spektrum zwar breiter auf Grunddes kleineren Spaltabstands, die Intensitatsverteilung ist jedoch schmaler – die ersten Ma-xima strahlen wesentlich starker als der Rest. Im unteren Bild sind hingegen alle Maximaungefahr gleich hell. Die Spaltbreite ist dort also kleiner.
Die Auswirkung einer Verschiebung des Beugungsobjekts wurde mit einem Spalt uber-pruft. Nach dem Verschiebungssatz (siehe Abschnitt 3.3) erwarten wir bei lateraler Ver-schiebung nur eine Anderung der Phase. Diese ist jedoch nicht sichtbar, da mit dem Auge
9
bzw. dem CCD-Chip nur Intensitaten aufgenommen werden konnen, was das Experimentbestatigt.
Abbildung 4.3: Beugungsbilder von zwei Mehrfachspalten (oben: 0.8mm Spaltabstand und0.8mm Spaltbreite; unten: 1.6mm Spaltabstand und 0.1mm Spaltbreite)
5 Multiplikation zweier Beugungsobjekte
Das Ubereinanderlegen von zwei Beugungsobjekten entspricht mathematisch der Multi-plikation der Funktionen, die die Objekte beschreiben. Wollen wir das Beugungsbild deszusammengesetzten Objekts bestimmen, lasst sich der Faltungssatz anwenden, denn nachihm wird die Multiplikation bei der Fouriertransformation zur einer Faltung.
In dem Versuch wird ein Gitter, das wir bisher als unendlich ausgedehnt approximierthaben, indem der Laserpunkt immer kleiner als dieses gehalten wurde, mit einem
”Fens-
ter“ versehen. Es handelt sich also um eine Multiplikation der Gitterfunktion mit einerFensterfunktion.
Die Gitterfunktion konstruieren wir zum einen aus einem zweidimension Dirac-Kammcomb(tx, Tx) · comb(ty, Ty) ≡ combT (tx, ty). Dieser stellt das Gittermuster da. Falten wirdisese Funktion mit circR(tx, ty), so erhalten wir die Gitterfunktion, die Locher mit demRadius R im Abstand T in x- und y-Richtung besitzt. Nun wird die Gitterfunktion mit
10 6 QUALITATIVE BETRACHTUNG
der Fensterfunktion rects(tx, ty) multipliziert, die die Seitenlange s besitzt. Als Variationwird statt des Quadrats eine Kreisblende mit dem Radius r, beschrieben durch circr(tx, ty),verwendet. Damit erhalten wir die Funktion g(tx, ty) des gesamten Objekts:
g(tx, ty) = combT (tx, ty) ∗ circR(tx, ty)︸ ︷︷ ︸Gitterfunktion
·
{rects(tx, ty)
circr(tx, ty).
Das Beugungsbild ergibt sich aus der Fouriertransformation. Hierbei wenden wir den Fal-tungssatz an, sodass aus der Multiplikation eine Faltung wird und umgekehrt:
F[g(tx, ty)](ωx, ωy) = F[combT (tx, ty)] · F[circR(tx, ty)] ∗
{F[rects(tx, ty)]
F[circr(tx, ty)].
Die einzelnen Fouriertransformierten (4.2), (4.3) und (4.4) setzten wir nun ein:
F[g(tx, ty)](ωx, ωy) =2π
T 2comb 1
T
(ωx
2π,ωy
2π
)· 2πR√
ω2x + ω2
y
J1
(R√ω2
x + ω2y
)∗
∗
{s2
2πsinc
(ωxs2
)sinc
(ωys
2
)2πr√ω2
x+ω2y
J1
(r√ω2
x + ω2y
) . (5.1)
6 Qualitative Betrachtung
Wir betrachten nun die Aufname eines Gitters, uber dem eine quadratische Blende liegt,und bestimmen daraus die Große der Blende sowie Durchmesser und durchschnittlicherAbstand der Locher des Gitters. Dabei betrachten wir prinzipiell die drei Faktoren aus (5.1)separat, werden jedoch den Teil der Blende und den des Gitters eindimensional betrachten.
Der Kamerachip besitzt eine Auflosung von 512× 512 Pixeln und hat eine Seitenlangevon 6.4mm. Mit diesen Daten kann das aufgenommene Bild ausgemessen werden.
6.1 Blendengroße
Die Blendengroße s steht im direkten Verhaltnis zur Große der Bildpunkte, die entspre-chend quadratische Form haben. Ihr Intensitatsverlauf wird angegeben durch die sinc-Funktion, denn diese ist laut (4.2) die Fouriertransformierte der rect-Funktion. Die Großeder Lichtpunkte ergibt sich somit aus der ersten Nullstelle u der sinc-Funktion. Es ergibtsich mit (4.1) also:
F
[rect
(t
s
)](ω) ∝ sinc
(ωs2
)= sinc
(πus
λf
)=
sin(πusλf
)πusλf
= 0
⇒ π =πus
λf⇒ s =
λf
u.
6.2 Lochabstand 11
Statt der Nullstelle messen wir bei der Auswertung des aufgenommenen Bildes dieSeitenlange 2u eines Lichtpunktes (siehe Abbildung 6.1). Hierfur erhalten wir 2u = 6px =0.075mm. Mit der Wellenlange des He-Ne-Laserlichts von λ = 632.8nm und der Brennweiteder Fouriertransformationslinse f = 0.5m ergibt sich fur die Große der Blende s = 8.44mm.Die in diesem Versuch verwendete Blende besitzt eine Seitenlange von 6mm. Erwartungs-gemaß findet man zwischen diesem und dem eben errechneten Wert eine deutliche Abwei-chung, schließlich haben wir die Große der Blende anhand sehr kleiner Bildpunkte errech-net, die mit 6 Pixeln als Seitenlange sehr schlecht aufgelost sind.
Abbildung 6.1: Ausmessung des Beugungsbildes bei Lochabstand T = 1mm, LochradiusR = 0.15mm und Seitenlange s = 6mm der quadratischen Blende
6.2 Lochabstand
Als Nachstes soll nun der durchschnittliche Lochabstand T des Gitters bestimmt werden.Dieses wird beschrieben durch die comb-Funktion mit der Periode T , das Beugungsbildergibt sich wieder aus der Fouriertransformation nach (4.4):
F[comb(t, T )](ω) ∝ 1
Tcomb
(ω
2π,
1
T
)=
1
T
∞∑n=−∞
δ( ω
2π− n
T
)=
1
T
∞∑n=−∞
δ
(v
λf− n
T
).
Dabei ist v der Ort des Beugungsreflexes der Raumfrequenz ω und ergibt sich wiederaus (4.1). Den Abstand zweier benachbarter Beugungsreflexe erhalten wir, indem wir zwei
12 6 QUALITATIVE BETRACHTUNG
benachbarte Peaks der comb-Funktion betrachten. An den Peaks gilt:
v
λf− n
T= 0 .
Das nullte Maximun (n = 0) finden wir trivialerweise an der Stelle v = 0, das erste beiv = λf
T. Daraus erhalten wir, da wir v aus der Auswertung des Beugungsbildes kennen, den
Lochabstand:
T =λf
v.
Wir erhalten mit v = 20px = 0.325mm einen Lochabstand von T = 0.97mm. Dies ist einrecht gutes Ergebnis, der auf dem Gitter angegebene Lochabstand betragt genau 1mm.
6.3 Lochdurchmesser
Der Lochradius R macht sich im Beugungsbild durch ringformige Dunkelstellen bemerkbar.Diese Nullstellen sind diejenigen der Besselfunktion J1 in Gleichung (5.1) – sie sind an denStellen j1 = 3.8 und j2 = 7.0 zu finden. Es gilt also:
jn = R√ω2
x,n + ω2y,n =
2πR
λfwn ,
wobei nun wn nach (4.1) der gemessene Radius ist. Der zu bestimmende Lochradius ergibtsich dann aus:
R =λfjn2πwn
.
Die Radien in der Aufnahme ermitteln wir zu w1 = 90px = 1.12mm bzw. w2 = 180px =2.25mm und erhalten damit die Werte 0.17mm bzw. 0.15mm fur den Lochradius. DieseWerte weichen von der Angabe 0.3mm/2 nur gering bzw. gar nicht ab. Zwar wird prinzipielldas Ausmessen von großeren Strecken genauer, allerdings sind die hier gemessenen Radienzumindest auf unserer Aufnahme recht schlecht zu erkennen, weshalb dieses gute Ergebnisetwas uberrascht.
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7 Raumfrequenzfilterung
Mit Hilfe einer zweiten Linse kann die Fouriertransformierte in der mittleren Bildebenewieder rucktransformiert werden, sodass man wieder das ursprungliche Bild erkennt. Einensolchen Aufbau nennt man 4f-Anordnung. In der mittleren Ebene kann man nun sogenannteRaumfrequenzfilter anbringen.
Abbildung 7.1: Dunner Draht als Vorlage, aufgenommen ohne Filter (links); mit Tiefpass-filterung (mittig); mit Hochpassfilterung (rechts)
Ein Beispiel hierfur ist ein Tiefpassfilter, der lediglich eine kleine Lochblende darstellt.Durch diese werden hohe Frequenzen, die im Spektrum ja weit außen liegen, herausge-filtert. Ein Tiefpassfilter wird schon bei der ursprunglichen Versuchsapparatur in Formdes Pinholes gleich hinter dem Laser verwendet. Dadurch werden Storungen, verursachtdurch Verunreinigungen wie zum Beispiel dunne Staubteilchen, aus dem Laserstrahl ent-fernt. Insbesondere ist jedes optische Instrument auf Grund einer endlichen Offnung einTiefpassfilter.
Abbildung 7.2:”Fourierhaus“ ohne Filter (links); mit waagerechter Filtereinstellung (rechts)
Ein Hochpassfilter blendet niedrige Frequnzen aus, indem in die Mitte des Spektrums einpunktformiges Schreibchen gesetzt wird, das nur weiter außen liegende Teile des Spektrums
14 8 UMWANDLUNG VON PHASEN- IN AMPLITUDENMODULATION
durchlasst. Abbildung 7.1 zeigt die Aufnahmen eines dunnen Drahts sowohl direkt als auchhinter einem Tief- bzw. Hochpass. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Draht vom Tiefpassaus dem Bild herausgefiltert wird, wahrend er praktisch der einzige Teil des Bildes ist, dervom Hochpass durchgelassen wird.
Eine Bandsperre kann als Ring auf einer Glasscheibe realisiert werden, der einen be-stimmten Teil des Spektrums absorbiert. Analog dazu ware ein Bandpass als Aussparungin einer Dunkelblende denkbar.
Mit Hilfe eines drehbaren Spalts in der mittleren Brennebene konnen wir statt nachbestimmten Raumfrequenzen nach Orientierungen des Spektrums filtern. Als geeigneteVorlage erweist sich das sogenannte
”Fourierhaus“, in dem verschiedene Bereiche aus in ver-
schiedene Richtungen orientierten Streifen besteht (Abbildung 7.2). Mit dem Filter konnendann gezielt die einzelnen Bereiche durchgelassen werden (siehe auch Abbildung 7.3)
Abbildung 7.3:”Fourierhaus“ mit weiteren Filtereinstellungen
8 Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation
Die bisher betrachteten Vorlagen sind Amplitudenobjekte – sie absorbieren Licht und kon-nen somit vom Auge wahrgenommen werden. Es gibt jedoch auch sogenannte Phasenob-jekte, die nur die Phase des Lichtes verandern, aber ihre Amplitude konstant lassen (undsomit transparent sind). Dennoch kann man sie mit Hilfe von Raumfrequenzfiltern sichtbarmachen, was eine Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation bedeutet.
Im Versuch werden wir hiermit einen Fingerabdruck auf einer Glasplatte sowie dieerhitze Luft uber einem Widerstand sichtbar machen.
8.1 Dunkelfeldmethode
Die elektronmagnetische Welle, die das Phasenobjekt passiert, schreiben wir als:
E(tx, ty) ∝ τ(tx, ty) = a eiϕ(tx,ty) .
8.2 Schlierenverfahren 15
Dabei ist die Amplitude a konstant und die entstehende Phasenverschiebung ϕ(tx, ty) ab-hangig vom Ort im Phasenobjekt. Wir nehmen an, dass die entstehende Phasenverschie-bung nur sehr gering ist und nahern die e-Funktion an:
τ(tx, ty) ≈ a (1 + i ϕ(tx, ty)) .
Die Welle lassen wir nun eine Linse durchlaufen, wodurch eine Fouriertransformation statt-findet:
F[τ(tx, ty)] = a (δ(ωx) δ(ωy) + F[i ϕ(tx, ty)]) .
In der Brennebene wird eine Blende angebracht, die die nullte Ordnung wegfiltert. Damitfallt der erste Summand weg und fur die Rucktransformation des somit Hochpass-gefiltertenSignals τHP erhalt man:
F−1[F[τHP]] = ia ϕ(−tx,−ty) .
Somit hangt die beobachtete Intensitat, die sich aus dem Betragsquadrat ergibt, von derPhase ab. Dies bestatigt sich im Versuch: Abbildung 8.1.1 zeigt links die Aufnahme einerGlasplatte, auf der ein Fingerabdruck vorhanden ist. Dieser wird erst durch die Dunkel-feldmethode sichtbar (mittig).
Der Name der Methode kommt daher, dass die nullte Ordnung, die am meisten In-tensitat besitzt, weggefiltert wird und die entstehenden Bilder entsprechend dunkel sind.Andere Versuchsaufbauten, bei denen gerade die nullte Ebene vorhanden bleibt (Tiefpass-filter), nennt man entsprechend Hellfeldmethoden.
Abbildung 8.1.1: Fingerabdruck ohne Filter (links); Dunkelfeldmethode (mittig); Schlieren-verfahren (rechts)
8.2 Schlierenverfahren
Eine andere Moglichkeit zum Sichtbarmachen der Phasenverschiebung ist das Schlieren-verfahren. Dabei wird statt eines Hochpassfilters ein Halbebenenfilter eingefugt, der das
16 9 DISKUSSION
gesamte Spektrum zur Halfte ausblendet. Fur die beobachtete Intensitatsverteilung ergibtsich damit eine Abhangigkeit von der Ortsableitung in Richtung des Halbebenenfilters derPhasenverschiebung.
Mit dieser Methode wurde im Versuch sowohl der Fingerabdruck (siehe Abbildung8.1.1, rechts) sowie die aufgeheizte Luft uber einem Widerstand (Abbildung 8.2.1) sichtbargemacht.
Abbildung 8.2.1: Heiße Luft, sichtbar gemacht mit dem Schlierenverfahren
9 Diskussion
Mit den Ergebnissen dieses Versuchs sind wir sehr zufrieden. Die relativ kurze quantitativeAuswertung lieferte mit den Angaben gut ubereinstimmende Ergebnisse. Der ubrige quali-tative Teil macht mit den Eigenschaften der Fouriertransformation sowie der Handhabungder optischen Gerate vertraut. Die gemachten Aufnahmen sind sowohl bei der 2f- sowie der4f-Anordnung gut geworden und ließen eine problemlose Auswertung zu.
