Verteilungen, Varianz

Tamara KatschnigTamara Katschnig

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VerteilungenVerteilungen

Gleichverteilung, z.B. GeschlechtGleichverteilung, z.B. Geschlecht Schiefe Verteilung, z.B. Anzahl Schiefe Verteilung, z.B. Anzahl

der Zugriffe auf Webseitender Zugriffe auf Webseiten Normalverteilung, z.B. Alter. Normalverteilung, z.B. Alter.

KörpergrößeKörpergröße

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Varianz, Varianz, StandardabweichungStandardabweichung

Streuungsmaße geben Auskunft Streuungsmaße geben Auskunft darüber wie ähnlich oder darüber wie ähnlich oder unterschiedlich Merkmale sindunterschiedlich Merkmale sind

Minimum = kleinster WertMinimum = kleinster Wert Maximum = größter WertMaximum = größter Wert Range (Variationsbreite) = Range (Variationsbreite) =

Differenz zw. Max und MinDifferenz zw. Max und Min

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Varianz, Varianz, StandardabweichungStandardabweichung

Bspl. 1 3 5Bspl. 1 3 5 Minimum = kleinster Wert = Minimum = kleinster Wert =

11 Maximum = größter Wert = 5Maximum = größter Wert = 5 Range (Variationsbreite) = Range (Variationsbreite) =

Differenz zw. Max und Min =4Differenz zw. Max und Min =4

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Varianz, Varianz, StandardabweichungStandardabweichung

Varianz (Streuung) = Varianz (Streuung) = mittleres Quadrat der mittleres Quadrat der Abweichungen der Abweichungen der beobachteten Werte vom beobachteten Werte vom MittelwertMittelwert

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Varianz, Varianz, StandardabweichungStandardabweichung

DichtenDichten zweier zweier normalverteilternormalverteilter ZufallsvariablenZufallsvariablen mit mit unterschiedlichen Varianzen. unterschiedlichen Varianzen. Die orange Kurve hat eine Die orange Kurve hat eine geringere Varianz geringere Varianz (entsprechend der Breite) als (entsprechend der Breite) als die grüne. Die Wurzel der die grüne. Die Wurzel der Varianz, die Varianz, die Standardabweichung, kann bei Standardabweichung, kann bei der Normalverteilung an den der Normalverteilung an den Wendepunkten ersehen Wendepunkten ersehen werden. werden.

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Beispiel 1: Zehn Frauen wurden nach Beispiel 1: Zehn Frauen wurden nach ihrer Körpergröße (in cm) gefragt.ihrer Körpergröße (in cm) gefragt.

AngabenAngaben158, 161, 162, 164, 167, 168, 168, 170, 170, 172158, 161, 162, 164, 167, 168, 168, 170, 170, 172

Mittelwert:Mittelwert: = = (158+161+162+164+167+168+168+170+170+1(158+161+162+164+167+168+168+170+170+172)/10 = 16672)/10 = 166

Median: = (167+168)/2 = 167,5Median: = (167+168)/2 = 167,5 Modi: 168 und 170Modi: 168 und 170 Varianz und Standardabweichung:Varianz und Standardabweichung:

V(x) = V(x) = (158²+161²+162²+164²+167²+168²+168²+170²+1(158²+161²+162²+164²+167²+168²+168²+170²+170²+70²+172²)/10 - 166² = 18,6172²)/10 - 166² = 18,6s = √18,6 = 4,313s = √18,6 = 4,313

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Beispiel 2: Dieselben Frauen gaben Beispiel 2: Dieselben Frauen gaben auch ihre Schuhgröße an.auch ihre Schuhgröße an.

39, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 3739, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 37 Mittelwert:Mittelwert:

= = 37+37+38+38+38+38+39+39+40+41/137+37+38+38+38+38+39+39+40+41/10 = 38,50 = 38,5

Median: = 38Median: = 38 Modus: 38Modus: 38 Varianz und Standardabweichung:Varianz und Standardabweichung:

V(y) = 37²·0,2 + 38²·0,4 + 39²·0,2 + V(y) = 37²·0,2 + 38²·0,4 + 39²·0,2 + 40²·0,1 + 41²·0,1 - 38,5² = 1,4540²·0,1 + 41²·0,1 - 38,5² = 1,45s = √1,45 = 1,204s = √1,45 = 1,204

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Beispiel 3: 4 Messwerte sind Beispiel 3: 4 Messwerte sind gegebengegeben

53 49 48 5053 49 48 50 Mittelwert:Mittelwert:

= 50 = 50 Median: = 48,5Median: = 48,5 Modus: --Modus: -- Varianz und Standardabweichung:Varianz und Standardabweichung:

V(y) = 53² + 49² + 48² + 50² - 48,5² = V(y) = 53² + 49² + 48² + 50² - 48,5² = 3,53,5s = √3,5 = 1,87s = √3,5 = 1,87

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Beispiel 4: 4 Messwerte sind Beispiel 4: 4 Messwerte sind gegebengegeben

87 32 17 6487 32 17 64 Mittelwert:Mittelwert:

= 50 = 50 Median: = 24,5Median: = 24,5 Modus: --Modus: -- Varianz und Standardabweichung:Varianz und Standardabweichung:

V(y) = 87² + 32² + 17² +64² - 24,5² = V(y) = 87² + 32² + 17² +64² - 24,5² = 744,5744,5s = √744,5= 27,29s = √744,5= 27,29

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Kenngrößen dienen…Kenngrößen dienen…

der Beschreibung von Stichprobender Beschreibung von Stichproben dem Sichtbarmachen relevanter dem Sichtbarmachen relevanter

InformationenInformationen

Mittelwert, Median, Modus, Min, Mittelwert, Median, Modus, Min, Max, Range, Varianz, Max, Range, Varianz, StandardabweichungStandardabweichung

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Übungen + LösungenÜbungen + Lösungen

http://http://www.pearson-studium.dewww.pearson-studium.de// http://http://members.chello.atmembers.chello.at//

gut.jutta.gerhardgut.jutta.gerhard//kurskurs/statistik1.htm/statistik1.htm http://www.statistics4u.info/fundstat_http://www.statistics4u.info/fundstat_

germ/wrapnt__bungen379.htmlgerm/wrapnt__bungen379.html http://www.mathe-online.at/materialihttp://www.mathe-online.at/materiali

en/Gerald.Forstner/en/Gerald.Forstner/