Vezbe

TEKSTOVI ZADATAKA SAVEZBI IZ MATEMATIKE 3

drzanih tokom zimskog semestra skolske 2008/09. godineza studente Fizickog fakulteta, smera Teorijska i eksperimentalna

fizika

Marek SvetlikBeograd, zima 2009.

Za fizicare bi bilo najbolje da Matematika uopste ne postoji.Albert Einstein (1879-1955)

1 Redovi

Numericki redovi1. Ispitati konvergenciju niza

sn =nk=1

1k

2. Ispitati konvergenciju niza

qn =nk=1

1k2

3. U zavisnosti od realnog parametra q odrediti limes niza

gn =nk=0

qk

4. Ispitati konvergenciju reda+n=1

1lnn

5. Ispitati konvergenciju reda

+n=1

n2

(2 + 1n )n


+n=1

(n!)3

((2n)!)2


+n=1

(cos1n

)n2

8. Neka su a, b R i a, b > 0. Ispitati konvergenciju reda+n=1

an

nan + bn


+n=1

n2 + n+ 1n2 n+ 1

n

1


+n=1

nn+1n

(n+ 1n )n


+n=1

(1)n nnlnn

12. U zavisnosti od realnog parametra x ispitati konvergenciju reda

+n=1

xn

1 + x2n

13. Neka su p, q R i p, q > 0. Koje uslove treba zadovoljavaju p i q da bikonvergirao red

+n=1

np

1 + nq

Redovi funkcija14. Dat je red funkcija

+n=1

xn

odrediti oblast konvergencije i sumirati ga.15. Odrediti oblast konvergencije sledecih redova funkcija

+n=1

sinx2n

+n=1

sinx

2n

+n=1

n

xn

16. Ispitati da li red+n=1

(1)n11 x2 + n

ravnomerno konvergira na oblasti konvergencije.17. Ispitati ravnomernu konvergenciju reda

+n=1

cosnxnn

18. Ispitati obicnu, apsolutnu i ravnomernu konvergenciju reda

+n=1

n2n!

(xn + xn)

za x {x R : 12 |x| 2}.19. Dokazati da je zbir dva ravnomerno konvergentna reda ravnomerno kon-vergentan red.20. Dokazati da red

+n=1

(1)nx2 + nn2

2

ravnomerno konvergira na svakom konacnom intervalu, ali nije apsolutno kon-vergentan ni za jedno x R.21. Dokazati da red

+n=1

(1)n1x2(1 + x2)n

konvergira apsolutno i ravnomerno na R, ali da red

+n=1

x2

(1 + x2)n

ne konvergira ravnomerno na R.22. Izracunati

limx+

+n=1

x2

(1 + n2x2)

23. Dokazati da je funkcija

f(x) =+n=1

sinnxn3

definisana, neprekidna i neprekidno diferencijabilna na R.24. Odrediti domen, skup tacaka u kojima je neprekidna i skup tacaka u kojimaje diferencijabilna za funkciju

f(x) =+n=1

|x|n(n+ 1) + x4

25. Odrediti poluprecnik konvergencije i oblast konvergencije za sledece redove

+n=1

xn

n2n

+n=1

(1)nn33n

(x+3)n+n=1

(x 1)nln (1 + n)

26. Razviti sledece funkcije u Maclaurin-ov red i odrediti oblast konvergencijetog reda

f(x) =1

2 + 3xg(x) = coshx h(x) = sin (x pi

4)

27. Razviti sledece funkcije u Taylor-ov red oko tacke x0 i odrediti oblastkonvergencije tog reda

f(x) =1x, x0 = 3 g(x) = sinx, x0 = pi2

28. Neka je

f(x) =+n=1

(1)nxnn2

odrediti oblast definisanosti D funkcije f , dokazati da je monotona i naci mak-simum skupa f(D).

3

29. Razviti funkciju f(x) = ln (x+x2 + 1) u Maclaurin-ov red, odrediti

oblast konvergencije tog reda i izracunati sumu

f(x) =+n=1

(1)n (2n 1)!!(2n)!!

12n+ 1

30. Naci sumu reda12

++n=2

xn1

n(n+ 1)

31. Naci sumu reda+n=1

n2 + 3n+ 1n!

32. Izracunati pi2

0

tanx ln sinxdx

Fourier-ovi redovi33. Funkciju f(x) = sgnx gde je x (pi, pi), produziti tako da bude 2piperiodicna i odrediti njen Fourier-ov red. Zatim, izracunati sumu

+n=0

(1)n2n+ 1

34. Funkciju f(x) = arccos(sinx) razviti u Fourier-ov kosinusni red na intervalu[0, pi] i izracunati sume

+n=0

1(2n+ 1)2

+n=1

1n2

+n=0

(1)n(2n+ 1)3

35. Funkciju f(x) = cos3 x razviti u Fourier-ov red na intervalu [pi, pi].36. Odrediti Fourier-ov kosinusni red funkcije

f(x) ={

1 x ako x [0, 1]0 ako x (1, pi]

i izracunati sumu reda+n=1

sin2 n2n2

2 Diferencijalne jednacine

Diferencijalne jednacine prvog reda37. [Jednacina koja razdvaja promenljive] Resiti DJ

2xyy + (1 + y2) = 0

38. [Homogena jednacina] Odrediti opste resenje DJ

xy = y + xeyx

4

a zatim ono koje zadovoljava uslov y(1) = ln 2.39. [Jednacina koja se svodi na jednacinu koja razdvaja promenljive] Resiti DJ

y = cos (x y 1)

40. [Jednacina koja se svodi na homogenu jednacinu] Resiti DJ

y =x+ y 2y x 4

41. [Linearna diferencijalna jednacina prvog reda] Odrediti opste resenje DJ

y (cotx)y = 2x sinx

za x (0, pi). Odrediti i ono resenje koje zadovoljava uslov y(pi2 ) = 1.42. [Bernoulli-jeva diferencijalna jednacina] Odrediti opste resenje DJ

xy + y = y2 lnx

43. [Riccati-jeva diferencijalna jednacina] Odrediti opste resenje DJ

y + y2 +1xy 4

x2= 0

44. Resiti DJ(y)2 + (y x)yy xy3 = 0

45. Resiti DJey

+ y = 1

46. Resiti DJy = (y)2ey

47. Resiti DJey

+ y = x

48. [Lagrange-ova diferencijalna jednacina] Resiti DJ

(y)2 2xy + y = 0

Diferencijalne jednacine reda n, (n 2)49. Odrediti opste resenje DJ

y(4) = (tanhx)y(3)

50. Resiti Cauchy-jev problem

y + 18 sin y cos3 y = 0 y(0) = 0 y(0) = 3

51. Odrediti opste resenje DJ

yy + y2 = 1

52. Odrediti opste resenje DJyy = y2

5


x2(lnx 1)y xy + y = 0

54. Data je DJ

x(a x)y + (bx2 a)y + 2(1 bx)y = 0

Odrediti realne brojeve a i b tako da funkcija y(x) = e2x bude resenje DJ.Odrediti opste resenje DJ. Odrediti ono resenje koje zadovoljava uslove y(0) = 1i y(1) = 1 + e2.55. Odrediti opste resenje DJ

y 4y + 4y = 0


y y = 0


y y = 0


y + y = cosx 2 sinx


3y(5) 2y(4) + 6y(3) 4y(2) + 3y 2y = cos 2x+ sin 2x

60. Neka je data DJ L(y) pny(n)+ +p0y = f1(x)+ +fk(x) i neka je ypipartikularno resenje jednacine L(y) = fi(x). Tada je yp1 + +ypk partikularnoresenje jednacine L(y) = f1(x) + + fk(x).61. Odrediti opste resenje DJ

y 2y + 5y = 10 sinx+ 17 sin 2x

62. U zavisnosti od realnog parametra p odrediti opste resenje DJ

y + 2py + y = ex


y 2y + 5y = ex((8x+ 4) cos 2x+ 6 sin 2x)

64. Neka je n N. Odrediti opste resenje DJ

y 6y + 9y = e3x

xn


(x2 1)y + (x 3)y y = (x 1)ex

x+ 1

6


x2y xy 3y = (3 lnx+ 2)67. Odrediti opste resenje DJ

(2x+ 3)2y 4(2x+ 3)y + 8y = 14x2 + 12x+ 10

68. Koristeci stepene redove resiti Cauchy-jev problem

(6x2 5x+ 1)y + 2(12x 5)y + 12y = 0 y(0) = 1 y(0) = 0Sistemi diferencijalnih jednacina69. Odrediti opste resenje sistema SDJ

y(x) = z(x)z(x) = y(x)

70. Neka je t (0,+). Odrediti opste resenje SDJtx(t) = 2x(t) + 2y(t) + tty(t) = x(t) 5y(t) + t2

71. Odrediti opste resenje SDJ

y = 1 1zz = 1yx

a zatim i ono koje zadovoljava uslov y(0) = 1,z(0) = 1.72. Odrediti opste resenje SDJ

y = xzzyz = yxzy


t2x(t) + tx(t) y(t) = 2tx(t) y(t) = ln t


y = x + 2xy z

z = 2z


x = 3x y + zy = x + 5y zz = x y + 3z


x = 2x yy = x + 2y

7


y = y 2z + 2exz = 3y + 4z + ex


x = 4x + 2y + 5zy = 6x y 6zz = 8x + 3y + 9z

3 Integrali

Dvostruki i trostruki integrali79. Neka su a, b R i a, b > 0. Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsimaS1 : z = 0, S2 : z = x2 + y2, S3 : x = 0, S4 : y = 0, S5 : x = a, S6 : y = b.80. Izracunati

G

(x+ y2)dxdy

gde je G figura u ravni ogranicena krivama y = x i y = x2.81. Izracunati zapreminu tela ogranicenu povrsima S1 : x2 + y2 = 1 i S2 :x2 + z2 = 1.82. Izracunati zapreminu dela tela ogranicenog povrsima S1 : z = x2 + y2,S2 : z = 0, S3 : y = x2, S4 : y = 2 x2 koji se nalazi u prvom oktantu(x, y, z 0).83. Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene krivama c1 : x2 = y, c2 : x2 =2y, c3 : y2 = x, c4 : y2 = 2x.84. Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima S1 : z = 0, S2 : z = xy,S3 : (x 1)2 + (y 2)2 = 1.85. Odrediti zapreminu tela ogranicenog povrsima S1 : z = x2y, S2 : y2 = x,S3 : z = 0, S4 : x+ y = 2.86. Neka su a, b R i a, b > 0. Izracunati

[0,a][0,b]emax {b

2x2,a2y2}dxdy

87. Neka su a, b R i a, b > 0. Izracunati povrsinu figure u ravni kojuogranicava kriva c :

(xa +

yb

)4 = 4xy.88. Neka je a R i a > 0. Izracunati povrsinu figure u ravni koju ogranicavakriva c : (x2 + y2)2 = a(x3 3xy2).89. Izracunati

T

xyzdxdydz

gde je T zatvorena oblast ogranicena povrsima S1 : z = 0, S2 : z = y, S3 : y =x2, S4 : y = 1.90. Izracunati zapreminu elipsoida.91. Izracunati

T

x2 + y2 + z2dxdydz

8

gde je T zatvorena oblast ogranicena sferom S : x2 + y2 + z2 = z.92. Izracunati zapreminu tela koje u prvom oktantu ogranicava povrs

S :x

5+ 3y

4+ 4z

3= 1

Krivolinijski integrali93. Izracunati

L

(x+ y)dl

gde je L trougao cija su temena O(0, 0), A(1, 0) i B(0, 1).94. Neka je R R i R > 0. Izracunati

L

xyzdl

gde je L deo krive, koja je presek povrsi S1 : x2+y2+z2 = R2 i S2 : x2+y2 = R2

4 ,koji se nalazi u prvom oktantu (x, y, z 0).95. Izracunati duzinu dela spirale c : = od koordinatnog pocetka do prvogpreseka sa pozitivnim delom x ose.96. Neka je a R i a > 0. Izracunati

L

(x2 + y2 + z2)dl

gde je L = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = a2, x+ y + z = 0}.97. Neka je R R i R > 0. Izracunati

L

(x+ y)dl

gde je L kraci deo kruznice {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2, y = x} ogranicentackama A(0, 0, R) i A(R2 ,

R2 ,

R2).

98. Neka je a R i a > 0. IzracunatiL

(x43 + y

43 )dl

gde je L kriva c : x23 + y

23 = a

23 .

99. Izracunati L

(x2 2xy)dx+ (y2 2xy)dy

gde je L luk parabole p : y = x2 od tacke A(1, 1) do tacke B(1, 1).100. Neka su a R i a > 0 i neka je (pi2 , pi2 ). Izracunati

L

(y z)dx+ (z x)dy + (x y)dz

gde je L pozitivno orijentisana kruznica

{(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2, y = x tan}

9

101. Neka je R R i R > 0. IzracunatiL

ydx+ zdy + xdz

gde je L kriva koja je presek povrsi S1 : x2 + y2 = R2 i S2 : x + z = R. Smerintegracije je obrnut smeru kretanja kazaljki na satu gledajuci iz tacke (R, 0, R).102. Neka su a, p R i a, p > 0. Izracunati

OA

(ex sin y py)dx+ (ex cos y p)dy

gde je OA gornja polukruznica kruznice k : x2 + y2 = ax odredjena tackamaO(0, 0) i A(a, 0).103. Neka je R R i R > 0. Izracunati

L

e(x2+y2) cos 2xydx+ e(x

2+y2) sin 2xydy

gde je L = {(x, y) R2 : x2 + y2 = R2}, orijentisana pozitivno.104. Izracunati

L

yx2 + y2

dx+x

x2 + y2dy

gde je L pozitivno orijentisana, zatvorena deo po deo glatka kriva u R2.Povrsinski integrali prve vrste105. Neka je R R i R > 0. Izracunati

S

(x+ y + z)dS

gde je S polusfera {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2, z 0}.106. Izracunati

S

1(1 + x+ y)2

dS

gde je S granica tetraedra T = {(x, y, z) R3 : x 0, y 0, z 0, x+y+z 1}.107. Izracunati povrsinu granice tela

T = {(x, y, z) R3 : z 2x2 + y2, x+ z 3}

108. Neka je a R i a > 0. Izracunati S

(xy + yz + zx)dS

gde je S deo konusne povrsi z =x2 + y2 unutar cilindra x2 + y2 = 2ax.

109. Izracunati povrsinu torusa.Parametarski integrali110. Izracunati izvod funkcije y+1

y1

sinxyx

dx y [2, 3]

10

111. Dokazati da integral +1

y2 x2(x2 + y2)2

dx

konvergira ravnomerno po parametru y na R.112. Izracunati +

0

arctantt(1 + t2)

dt

gde je R.113. Izracunati pi

2

0

ln (2 cos2 x+ 3 sin2 x)dx

gde je R {0}.114. Neka je

I() = +0

sinxx+

dx

gde je (0,+). Dokazati da je I () + I() = 1 i da je I() neprekidna.115. Izracunati

(12

)

116. Izracunati 10

1 lnxdx

117. Neka je p R i 0 < p < 1. Izracunati pi2

0

tanp tdt

118. Izracunati +0

5x

(1 + x3)2dx

119. Izracunati pi2

0

cos2 x 3

cotxdx

11

Documents

Vezbe