1

Vågfysik

Fortskridande vågor Knight, Kap. 20

Vilka typer av vågor finns det?

� Mekaniska vågor � Elektromagnetiska vågor� Materievågor

2

Vad är en våg?

� En fortskridande våg är en lokal störning som utbreder sig på ett organiserat sätt med en väldefinierad våghastighet.

� Störning, källa, …� Medium (elastiskt)� Energiöverföring,

inte materieöverföring

Longitudinell vågt.ex. ljud

Transversell vågt.ex. våg i en sträng, elektromagnetiska vågor (ljus, radiovågor,…)

Störning

Vågens riktning

StörningVågens riktning

Mekaniska vågor i 1D

3

• Följ en punkt på strängen.

T = spänningen i strängen

Transversell mekanisk våg (1D)

Punkten rör sig uppåt, accelererar, saktar ner, vänder, rör sig neråt.

Vågens rörelse ≠ mediets partiklarnas rörelse

• I vilken riktning rör sig vågen?• I vilken riktning rör sig mediets partiklar?

Våghastighet för 1D-våg i en sträng• Sträng (längd L, massa m):

– Linjär täthet: karakteriserar typ av sträng

• Vågfarten:

• Ts, spänning i strängen

• Våghastigheten: vektor! (har även riktning)

µ=m/L [kg/m]

Ts=w=Mg

Exempel:

Ts = w = M.gVåghastigheten beror på mediets egenskaper !

4

1D-våg: 2 variabler !

• Våg ∆y(x,t) ≠ partikel x(t)

Vid t = t1: ∆y(x) : foto (”snapshot”)

2 variabler• Vad händer med vågen som

funktion av tid? • Hur rör sig x1?

Vid x=x1: historisk graf ∆y(t)

tid

Vid t=t1: foto ∆y(x)

?

v

5

Longitudinell mekanisk våg (1D)• Våg ∆x(x,t)

Vid t=t1: foto ”snapshot”

Generalisering • Mekaniska vågor: ∆y(x,t) och ∆x(x,t) är förflyttningen av mediets partiklar, t.ex. del av strängen, liten volym av luft eller vatten, från jämviktpositionen.

• Elektromagnetiska vågor: Avvikelsen av fältstyrkan från jämvikt

► elongation D (engelska ”Displacement”) = avvikelsen från jämvikt.

• amplituden A : den maximala elongationen. Dmax = A ; Dmin = -A

• D(x,t) = en funktion som beskriver elongationen vid tidpunkt t för en partikel på position x.

• För att D(x,t) skall beskriva en våg måste den beskriva en förflyttning med konstant hastighet som inte påverkar vågens form.

6

GeneraliseringExempel: f(x) = x2 , parabol

Allmänt: f(x) vågpuls

f(x-d) och f(x) ser likadant utExempel:D(x,t) = (x-vt)2

D(x,t) = sin(x-vt)

Villkor för D(x,t): D(x,t) = D(x-vt)D(x,t) = D(x+vt)

f(x)=f(x-d)

Vågekvationen

2

2

22

2 1

t

D

vx

D

∂∂=

∂∂

Allmänna vågekvationen

Vågen beskrivs av elongationen D(x,t).Elongationen skall vara en lösning av vågekvationen.

Övning: Visa att varje funktion av formen D(x,t)=D(x-vt) eller D(x,t)=D(x-vt)är en lösning av vågekvationen.

7

Harmonisk rörelse

I en enkel harmonisk rörelse är förflyttningen av ett objekt proportionell mot dess acceleration men riktad åt motsatt håll.

xm

ka

dt

xdmkx

maF xx

−=

=−

=

2

2

Newtons lag:

Hookes lag: kxFx −=

k = fjäderkonstanten

Experiment

ger oss D(x,t)

• Källan, här pennan, oscillerar med en harmonisk rörelse (a proportionell mot x).• Tavlan förflyttar sig till vänster med konstant hastighet.

dvs formen för en harmonisk våg!

8

Sinusvåg - Frekvens och våglängd

Våglängden är avståndet en våg rör sig under en period.

Frekvens ff=1/T [tid]

Våglängd λ[längd]

Samband:

λ.fv

λ/Tv

==

Definiera:

För alla harmoniska vågor:

Obs! två olika sinusvågor

Sinusvåg – vågtal & vinkelfrekvens

Definiera:π/λk

fπω

2

2

== .Vinkelfrekvens:

Vågtal:

Startsituation: D(0,0)=Asinφ0

9

Sinusvågens matematik

Allmänna formen för en harmonisk våg i 1 dimension:

)φωt-sin(kAt),D( 0+= xx

2D-vågVågfronter är cirklar. Cirkulär våg

10

3D-vågSfärisk våg

t.ex. ljud, ljus,…

plan våg D(x,t) 1-dim.

)φωtsin(kr-A(r)t)D(r, 0+=

r = avståndet från källan

Vågfronter är sfärer.

Allmänna formen för en harmonisk våg i 3 dimensioner:

Fas och fasskillnad

)φωtsin(kr-A(r)t)D(r, 0+=

)φωt(kr-φ 0+= = fas

Vågfronter är ytor med konstant fas.

fasskillnad = 12 φφ∆φ −=

)xπ/λ(x2∆φ 12 −=

1. Fasskillnad mellan två punkter på en våg *

* Vi återkommer senare om fasskillnad mellan två vågor.

11

Ljud & Ljusljud ljus

• Mekanisk våg • Longitudinell våg.• Förtätningar och förtunningar av molekyler i luft.

Hörbara frekvenser: 20 Hz - 20 kHz Ljudhastigheten i luft (20°C) = 343 m/s.Något högre vid högre temperatur.Fortare i vätskor eller fasta material.

• Elektromagnetisk våg • Transversell våg.• Kan utbreda sig i vakuum – medium?• Svängning av elektromagnetiska fältet

Synligt ljus: våglängder 400 – 700 nmFärg är kopplad till frekvens.Ljushastighet i vakuum = c = 3 x 108 m/s.Långsammare i materia än i vakuum.

Det elektromagnetiska spektret

12

Ljus färdas genom materiaBrytningsindex

vc

n =Brytningsindex =

Luft, n = 1

Vatten, n

λ=λvac/n

vågfronter

Effekt & Intensitet• Vågor överför energi.• En vågs effekt, P, är hur fort den överför energin, i joule per sekund (eller Watt). • Intensitet, I, är effekten per ytenhet som bestrålas, i Watt per m2.

• Ljusstyrka (”brightness”)• Ljudstyrka (”loudness”)

I = P/a

24πra =Sfärisk våg:

21

22

2

1

rr

II =a = arean på ytan som tar emot energin.

13

DopplereffektLjudkällan förflyttar sig från Pablo till Nancy.

• Högre frekvens från en källa som närmar sig lyssnaren.

• Lägre frekvens från en källa som förflyttar sig ifrån lyssnaren.

Nancy: f+ > f0Pablo: f- < f0

Dopplereffekt

v

vf

fvv

vf

v

vf

fvv

vf

ss

ss

+=

+=

−=

−=

−

+

1

1

00

00källa som närmar sig lyssnaren

källa som förflyttar sig från lyssnaren

Källa som rör sig

Lyssnare som rör sig

lyssnare som närmar sig källan

lyssnare som förflyttar sig från källan00

00

1

1

fv

vf

vvv

f

fv

vf

vvv

f

obsobs

obsobs

−=−=

+=+=

−

+

(vs = källans hastighet relativt mediet)

(vobs = observatörens hastighet relativt mediet)

14

Dopplereffekt för ljus

• Ljuskälla åker till oss: blue-shift

• Ljuskälla åker ifrån oss: red-shift

0

0

1

1

1

1

λλ

λλ

cv

cv

cv

cv

s

s

red

s

s

blue

−

+=

+

−=

vs = källans hastighet relativt observatören! (inte relativt mediet)

Galaxernas red-shift ► Universums expansion!

Inget medium!

Redshift i spektrallinjer i ett optiskt spektrum av en superkluster av fjärran galaxer (höger), jämfört med Solens spektrum.