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CHAPITRE 2: ETUDES DES CIRCUITS
LINEAIRES EN REGIMES QUASI-
STATIONNAIRES
VI. ETUDE TEMPORELLE DES CIRCUITS
DE PREMIER ORDRE:
VI.1. Circuit R-L:
Loi des mailles:
+
??
E(t) est un échelon de tension d’amplitude E0:
Réponse indicielle
Résolution d’une équation différentielle
avec second membre
: équation différentielle du 1er ordre, à coefficients constants, avec second membre
Solution sans second membre Solution en régime forcé
0
iT iP
0
xT(t)
Solution sans 2nd membre
(régime libre/transitoire)
iT(t)
Solution en régime forcé
Solution Générale
i(t) = iT(t) + iP(t)?
Le paramètre A est déterminé à partir des conditions initiales:
i(0) = 0 =
Expression finale du courant
Tangente à i(t) au point (t,i) = (0,0)
?
Constante de temps (τ)
L’équation de la tangente à la courbe de i(t) au point (0;0) est:
τ est la solution de l’intersection entre cette tangente
et la valeur du courant en régime permanent:
La valeur de la constante de temps donne un ordre de grandeur sur la durée du régime transitoire.
Généralement, on a:
Propriété 1
� Le régime transitoire est ultra-rapide.
� Déterminer la valeur de i(t) pour:
• t = τ
• t = 3τ
• t = 5τ
Exercice
Expression de la tension aux
bornes de la bobine
La bobine essaie de
s’opposer à la tension
source (loi de Lenz)
La bobine se comporte
Comme un fil conducteur
en régime continu
Forme de la tension aux
bornes de la bobine
Fonctionnement après extinction
de la source
Equation diffEquation difféérentiellerentielle
Le paramètre B est déterminé à partir des conditions initiales:
i(0) =
Expression du courantExpression du courant
Forme du courant
Expression de la tensionExpression de la tension
aux bornes de la bobineaux bornes de la bobine
Forme de la tensionForme de la tension
aux bornes de la bobineaux bornes de la bobine
SommaireSommaire
charge décharge
Mise en tension
Mise hors tension
� Le courant dans une bobine est une fonction continue dans le temps.
� La tension dans une bobine est une fonction discontinue dans le temps.
� La valeur moyenne de la tension dans une bobine est nulle.
SommaireSommaire
Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise sousmise sous--tensiontension
+= )t(Li
2
1
dt
d)t(i.R)t(p
22
� En régime permanent i = I0, l’énergie
stockée dans la bobine est:
Energie stockEnergie stockéée par la bobine e par la bobine en ren réégime permanentgime permanent
0
Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise horsmise hors--tensiontension
0
)t(Li2
1
dt
d)t(i.R)t(p
22
=
+=
Energie restituEnergie restituéée par la bobine e par la bobine
en ren réégime permanentgime permanent
� En régime permanent, toute l’énergie
stockée dans la bobine lors de la phase
de charge est complètement dissipée
par effet Joule:
0
VI. ETUDE TEMPORELLE DES CIRCUITS
DE PREMIER ORDRE:
VI.2. Circuit R-C:
Loi des mailles:
+
??
Résolution d’une équation différentielle
avec second membre
: équation différentielle du 1er ordre, à coefficients constants, avec second membre
Solution sans second membre Solution en régime forcé
uPuT
Solution Générale
u(t) = uT(t) + uP(t)
Le paramètre λ est déterminé à partir des conditions initiales:
u(0) = 0
?u(t)
Expression finale de la tension
u
Tangente à u(t) au point (t,u) = (0,0)
?
u(t)
L’équation de la tangente à la courbe de u(t) au point (0;0) est:
τ est la solution de l’intersection entre cette tangente et la
valeur de la tension en régime permanent:
τ = R.C
Constante de temps (τ)
Expression du courant de charge
du condensateur
Le condensateur se
Charge jusqu’à ce que
Sa tension atteigne E0
le condensateur se comporte
Comme un circuit ouvert
en régime continu
Fonctionnement après extinction
de la source
0
u(t) =
Forme de la tension
U(t)
Expression du courantExpression du courant
de dde déécharge du condensateurcharge du condensateur
Forme du courantForme du courant
de dde déécharge du condensateurcharge du condensateur
SommaireSommaire
Mise en tension
Mise hors tension
déchargecharge
i
E0/R
-E0/R
� La tension dans un condensateur est une fonction continue dans le temps.
� Le courant dans un condensateur est une fonction discontinue dans le temps.
� La valeur moyenne du courant dans un condensateur est nulle.
SommaireSommaire
Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise sousmise sous--tensiontension
+= )t(Cu
2
1
dt
d)t(i.R)t(p
22
)t(Cu
2
1
dt
d 2
� En régime permanent u = E0, l’énergie
stockée dans le condensateur est:
Energie stockEnergie stockéée par le condensateur e par le condensateur en ren réégime permanentgime permanent
Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise horsmise hors--tensiontension
0)t(Cu2
1
dt
d)t(i.R)t(p
22=
+=
Energie restituEnergie restituéée par le e par le
condensateur en rcondensateur en réégime permanentgime permanent
� En régime permanent, toute l’énergie
stockée dans le condensateur lors de la
phase de charge est complètement
dissipée par effet Joule:
QUIZ� Pour chacun des circuits (R-L) et (R-C),
donner lors de la phase de mise sous tension:
• Les équations différentielles,
• La solution générale de chaque équation,
• Les constantes de temps (sans
démonstration),
• La courbe du courant iL(t) et celle de la tension
uc(t) sous tension,
• Les différentes phases de fonctionnement
dans le circuit.