Vibración Ambiental

Estudio de vibración ambiental en estructuras

Dr. Guillermo Martínez Ruiz

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Taller Teórico-Práctico (8 horas)

ESTUDIO DE VIBRACIÓN AMBIENTAL EN ESTRUCTURAS

Dr. Guillermo Martínez Ruiz Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Morelia, Michoacán, México, 2014

1. Introducción

2. Vibración ambiental

2.1 Definición

2.2 Cuantificación de los niveles de vibración

2.3 Escalas de frecuencia y amplitud lineales

2.4 Escalas de frecuencia y amplitud logarítmicas

3. Instrumentación y formas de onda

3.1 Sensores sísmicos

3.2 Unidades de registro

3.3 Correcciones por Respuesta Instrumental

3.4 Almacenamiento de datos

3.5 Ruido sísmico

4. Procesamiento de señales

4.1 Filtrado

4.2 Análisis espectral

5. Instrumentación de estructuras

5.1 Selección del modelo de una estructura

5.2 Métodos de identificación de parámetros

5.3 Análisis en el dominio del tiempo

5.4 Análisis en el dominio de la frecuencia

5.5 Análisis modal operacional

6. Ejemplos de aplicación a estructuras de puentes

6.1 Medición práctica

6.2 Procesamiento

6.3 Identificación



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1. INTRODUCCIÓN

Las estructuras son sistemas físicos sujetos a cargas variables en el tiempo, de manera que su análisis y diseño requiere del entendimiento de su comportamiento dinámico. Dentro de los parámetros que rigen de manera significativa la respuesta dinámica de un sistema estructural, se encuentran los asociados a su rigidez y capacidad para disipar energía, cuya determinación implica siempre un nivel de incertidumbre. Siendo las estructuras sistemas mecánico deformables, que pueden estar sujetos a severos movimientos en su base cuando se encuentran ubicadas en zonas sísmicas, el conocimiento adecuado de los parámetros mencionados, es de suma importancia. En ocasiones, el efecto de los sismos en una estructura, se traduce en la variación de sus principales propiedades dinámicas: frecuencias de vibrar, porcentajes de amortiguamiento y formas modales. Estas variaciones son el reflejo del comportamiento no lineal del sistema, el cual puede estar asociado a cambios en su estado físico y a la aparición de un posible nivel de daño que pueda afectar la seguridad de la estructura. Lo anterior, convierte al estudio del comportamiento dinámico de los sistemas estructurales en un problema de relevancia. En la ingeniería estructural, a través del desarrollo de equipos de medición, de la aplicación de los principales conceptos de la dinámica y del análisis estructural y de señales, se han podido establecer técnicas y procedimientos para intentar comprender, simular y predecir adecuadamente el comportamiento de estos sistemas ante solicitaciones dinámicas y estar en la posibilidad de reducir incertidumbres. Una herramienta para entender el comportamiento dinámico de estructuras, ha sido la instrumentación, ya que ha dado la posibilidad de contar con información real sobre el comportamiento de las estructuras, sobre todo ante solicitaciones sísmicas. De manera paralela a la instrumentación, se han desarrollado técnicas para elaborar y validar modelos matemáticos y analíticos, que produzcan soluciones aceptables entre la respuesta real y la predicha con un modelo. Dentro de los enfoques desarrollados en este sentido, se encuentran los denominados métodos de identificación de parámetros, que de manera general se basan en la utilización de la información experimental obtenida en el sistema físico real, para establecer condiciones de entrada-salida, y poder determinar mediante diversos métodos, los parámetros desconocidos del sistema.



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En el presente taller, se destaca la importancia de la instrumentación de estructuras de cara a la identificación de los principales parámetros dinámicos de las mismas. Se partirá del funcionamiento de los sensores como parte fundamental para la adquisición de la señal, pasando por el muestreo, almacenamiento y procesamiento de la información, para de manera compacta y práctica al final del mismo, estar en condiciones de poder evaluar satisfactoriamente el comportamiento dinámico de las estructuras de manera experimental.



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2. VIBRACIÓN AMBIENTAL

2.1 DEFINICIÓN Conocida también como ruido sísmico, ruido cultural, vibración ambiente, microtrepidaciones, etc., es la vibración que presenta la tierra producto de su dinámica externa e interna (corrientes de convección, oleaje, viento, etc.) además de la vibración producto de la actividad humana. 2.2 CUANTIFICACIÓN DE LOS NIVELES DE VIBRACIÓN Hay varias maneras de cuantificar la amplitud de vibración de una señal en el dominio del tiempo. En la figura 2.1 se muestra la forma de vibración más simple, la cual representa una partícula oscilando con respecto a una posición de referencia con iguales condiciones de movimiento a intervalos de tiempo fijos. El intervalo de tiempo mostrado se conoce como periodo de vibración (T ). La amplitud de la vibración varía sinusoidalmente con el tiempo.

Figura 2.1 Vibración armónica simple. La amplitud de la señal puede ser desplazamiento,

velocidad o aceleración.

La amplitud de la señal puede ser descrita utilizando los siguientes descriptores: Nivel RMS (Roth Mean Square): Provee la descripción más usual de los niveles de vibración. La raíz cuadrada de la función cuadrática tiempo-promedio integrada está relacionada con la energía de vibración, y por tanto con el potencial de daño.

El valor RMS de una onda sinusoidal es igual a 2

1 veces el valor de la amplitud

pico.



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Nivel Pico (Peak Level): Define el máximo nivel medido y es útil en el registro de señales de corta duración. Sin embargo, no toma en cuenta la historia temporal de la señal. Pico a Pico (Peak-to-peak): Aunque de alguna utilidad en la descripción de los desplazamientos este descriptor es poco utilizado. Nivel medio (Average Level): Toma en cuenta el tiempo de la vibración pero no es una relación útil entre el valor promedio y cualquier otra cantidad física. En la figura se muestra también el valor medio de la onda sinusoidal rectificada. Factor de cresta (Crest factor): Define la relación del valor pico de la señal y el valor RMS. De la definición previa del RMS, el factor de cresta para la onda

mostrada en la figura es 2 . A medida que la vibración se torna más aleatoria o impulsiva, el factor de cresta se incrementa. 2.3 ESCALAS DE FRECUENCIA Y AMPLITUD LINEALES Cuando se requiere una alta resolución en la medición de vibraciones se emplea la amplitud lineal y las escalas de frecuencia. Una escala lineal de frecuencia ayuda a separa componentes de frecuencia poco espaciadas. La escala lineal de frecuencia tiene como ventaja adicional que las componentes armónicas de frecuencia de la señal son fácilmente identificadas. 2.4 ESCALAS DE FRECUENCIA Y AMPLITUD LOGARITMICAS Los sensores sísmicos pueden realizar mediciones de vibración sobre amplios rangos de frecuencias, por lo que para obtener una interpretación conveniente de los resultados se hace necesario lo siguiente:

1. Una escala de amplitud que acomode las amplitudes de la vibración desde los valores más bajos detectables hasta amplitudes de choque, la cual pueda además simplificar la comparación entre dicha amplitudes de vibración.

2. Una escala de frecuencia con el mismo porcentaje de resolución sobre todo el ancho del gráfico registrado.

Los dos objetivos anteriores se pueden lograr utilizando lo siguiente:

1. Una escala de decibeles.- Aunque es más comúnmente asociada a mediciones acústicas, el decibel (dB) es igualmente útil en la medición de vibraciones. Se define como la relación de una amplitud a otra, y está



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expresado en forma logarítmica. Para relaciones de amplitud en vibraciones se utiliza la siguiente expresión:

refref

a

a

a

adBN 10

2

2

10 log20log10)( (2.1)

Donde:

N es el número de decibeles

a es la amplitud de la vibración medida

refa es la amplitud de referencia

De acuerdo con la norma ISO 1683:2008 (Acoustics- Preferred Reference Values for Acoustical and Vibratory Levels) las amplitudes de referencia son las siguientes:

Aceleración = 26 /10 sm

Velocidad = sm /10 9

Desplazamiento= m1210

2. Una escala logarítmica de frecuencias.- Este tipo de escala tiene el efecto de expandir los rangos de frecuencias bajas y comprimir los rangos de frecuencias altas. El resultado es una igual resolución sobre el eje de frecuencias (en la pantalla o sobre papel), y el tamaño de la escala se conserva dentro de una proporción razonable. Por lo anterior, la escala logarítmica para frecuencias es empleada con mayor regularidad.



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3. INSTRUMENTACIÓN Y FORMAS DE ONDA

3.1 SENSORES SÍSMICOS Los sensores sísmicos miden el movimiento del terreno o la estructura y los transforman a voltaje. El movimiento de la estructura (o el suelo) puede describirse matemáticamente como desplazamiento, velocidad o aceleración. Ya que la medición se realiza en un marco de referencia en movimiento (el sensor se mueve con el terreno), el principio de inercia establece que solo pueden ser medidos los movimientos que causen aceleración (cambio de velocidad). Por lo tanto, el principio de todos los sensores es que una masa debe moverse relativamente a una referencia, en respuesta a la aceleración del terreno o la estructura (Figura 3.1).

Figura 3.1 Principio del sismómetro. Una masa magnética está suspendida por un resorte y el movimiento (velocidad) es detectado por una bobina, la cual genera una salida de voltaje proporcional a la velocidad de la masa. R es un dispositivo de amortiguamiento.



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Este sismómetro simple detectará el movimiento vertical del suelo o la estructura. Consiste en una masa suspendida de un resorte. El movimiento de la masa se amortigua usando un dispositivo de amortiguamiento de tal manera que la masa no oscilará excesivamente cerca de la frecuencia de resonancia. Intuitivamente la masa se moverá relativa a la estructura (o el suelo) cuando se vea sujeta a una

cierta aceleración. El sistema tiene una frecuencia natural 0f la cual depende de la

rigidez del resorte k y el peso de la masa m .

m

kf

2

10 (3.1)

La sensitividad del sistema para medir el movimiento del suelo o la estructura decrece rápidamente cuando la frecuencia está por debajo de la frecuencia natural del sismómetro. Si la masa es magnética y se añade una bobina alrededor de la misma, se obtendrá una salida eléctrica que es proporcional a la velocidad de la masa. Este es el principio de los sismómetros pasivos. Este tipo de sensor está

caracterizado por tres parámetros: la frecuencia natural 0f del sistema de

oscilación libre, la constante de amortiguamiento h , la cual es una medida de

cuanto es amortiguado el sistema ( h =1 significa que el sistema no oscilará) y la

constante de generador G (1ms

V ), la cual es una medida de la sensitividad de

salida de la bobina a la velocidad del terreno. Con estos tres parámetros, la respuesta de un sismómetro (relación entre la salida y la entrada) mayormente conocida como “función de respuesta frecuencia-desplazamiento”, puede ser calculada como:

20

222220

3

4)(

)(

h

GAd

(3.2)

Donde:

00 2 f es la frecuencia circular natural del sistema

f 2 es la frecuencia de la señal

G es la constante de generador La respuesta de desplazamiento significa que cuando la señal es corregida, la salida es un desplazamiento. A continuación se muestra un ejemplo de un sismómetro estándar de periodo corto con las siguientes características:



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Hzf 1

7.0h

1200

msVG

Debido a que este sensor arroja una salida que es linealmente proporcional a la

velocidad, cuando la frecuencia está por encima de la frecuencia del sistema 0f ,

este tipo de sensor es comúnmente llamado “Sensor de Velocidad”, y su respuesta de velocidad es frecuentemente mostrada en lugar de su respuesta de

desplazamiento. Para obtener la respuesta de velocidad vA , la ecuación 3.2 se

divide entre , resultando:

20

222220

2

4)(

)(

h

GAv

(3.3)

En la siguiente figura se muestran las curvas de respuesta para velocidad y desplazamiento para el sensor considerado como ejemplo:

Figura 3.2 Respuesta de desplazamiento (derecha) y de velocidad (izquierda) para el sismómetro de periodo corto con periodo de 1segundo, amortiguamiento de 0.7 y una

constante de generador de 1

200ms

V .

Para obtener la respuesta de aceleración, bastará entonces con dividir la ecuación 3.3 entre .

Como se puede ver, la sensitividad cae drásticamente cuando la frecuencia está por debajo de Hz1 . En Hz1 la salida del sismómetro, cuando el movimiento del

terreno es nm1 (un nanómetro, típicamente ruido sísmico), será igual a

VV 110 6 (un microvoltio), mientras que a Hz01.0 la salida teórica es igual a

V1201 . Mientras que V610 puede ser obtenido con los equipos actuales, no



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existen equipos que puedan manejar V1210 .Para tener una idea general, lo

anterior se puede comparar con los valores de frecuencias típicas generadas por diferentes fuentes sísmicas:

Frecuencia (Hz) Tipo de medición

0.00001-0.0001 Mareas terrestres 0.0001-0.001 Oscilaciones libres de la tierra (sismos)

0.001-0.01 Ondas de Superficie (sismos) 0.01-0.1 Ondas de Superficie, ondas P y S,

sismos de magnitud M > 6

0.1-10 Ondas P y S, sismos de magnitud M > 2

2-5 Vibraciones ambientales en el terreno 10-100 Ondas P y S, sismos de magnitud M <

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Cuando el terreno o la estructura se desplazan, el movimiento de la masa del sensor será desplazado relativamente con respecto a la base, a lo cual se le conoce como cambio de la fase (phase shift). Si usamos una función )(xsen donde

x es el tiempo, el ángulo de fase será )( xsen tal y como se muestra en la

figura 3.3, donde se puede apreciar una señal de desplazamiento que originalmente en el terreno tiene 5Hz se desfasa 0.059 segundos. El periodo de la señal es 0.2 seg que corresponde a 360°, así que el cambio de fase de 106° corresponde a (106/360)0.2s. Este es el cambio de fase para un sismómetro de 1Hz.



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Figura 3.3 El principio del cambio de la fase. Una onda sinusoidal de 5Hz se muestra junto con una onda sinusoidal de 5Hz desfasada 0.059s debido a un cambio de fase de 106°.

Hoy día, los sensores puramente mecánicos se construyen para tener frecuencias de resonancia alrededor de 1Hz (sismómetro piezoeléctrico de periodo corto ó SP), mientras que los sensores que pueden medir frecuencias más bajas están basados en el principio de Acelerómetro de Balance de Fuerza (FBA), en el cual se mide la aceleración directamente (Figura 3.4).



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Figura 3.4 Principio del Acelerómetro de Balance de Fuerza. El transductor de desplazamiento normalmente usa un capacitor (ó condensador) C (electrónicamente hablando un capacitor son dos láminas conductoras aisladas entre sí, que pueden almacenar carga eléctrica), cuya capacitancia varía con el desplazamiento de la masa. Una corriente, proporcional a la salida del transductor de desplazamiento, forzará a la masa a permanecer estacionaria relativamente al marco de referencia (terreno o estructura).

El sensor FBA tiene una bobina de retroalimentación, la cual puede ejercer una fuerza igual y opuesta a la fuerza de inercia debida a cualquier rango de aceleración deseado. El transductor de desplazamiento envía una corriente a través de esta bobina de fuerza y a través de una resistencia (ó resistor) R (electrónicamente hablando un resistor genera oposición al paso de una corriente eléctrica), dentro de un bucle de retroalimentación (feedback) negativo. La polaridad de la corriente es tal que se opone a cualquier movimiento de la masa, y prevendrá que la misma se mueva con respecto al marco de referencia. Una pequeña aceleración permanente sobre la masa resultará entonces en una pequeña corriente permanente y una aceleración grande en una corriente grande. Esta corriente es de hecho linealmente proporcional a la aceleración del terreno, así que el voltaje sobre la resistencia dará una medida directa de la aceleración. Los sensores de Balance de Fuerza se utilizaron para hacer instrumentos de movimiento fuerte.



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El principio de Balance de Fuerza es también el corazón de casi todos los sensores modernos de banda ancha, los cuales registran en un amplio rango de frecuencias que puede ir de 0.01-50Hz (0.02-100seg). Conectando un circuito integrado, ya sea en el bucle de retroalimentación o después del mismo, la salida del sensor puede ser un voltaje linealmente proporcional a la velocidad. Sin embargo, debido al principio de inercia, tiene que haber un límite de baja frecuencia (la velocidad es cero para una frecuencia cero) y este límite es fijado por las cualidades mecánico-eléctricas del sensor. Actualmente, el mejor sensor de banda ancha tiene un límite de alrededor de 0.0025Hz (400seg), mucho más bajo que lo que fue posible con los sensores puramente mecánicos. Los sensores de banda ancha tienen funciones de respuesta similares a la mostrada en la figura 3.2 excepto por la frecuencia natural que es más baja y la constante de generador es usualmente más alta. Habrá también un filtro que corte las altas frecuencias para lograr estabilización electrónica. El acelerómetro tiene una respuesta muy simple ya que su salida es linealmente proporcional a la aceleración y no se presente cambio de fase. El acelerómetro es ahora tan sensitivo que puede utilizarse para registrar sismos con magnitud menor a 2 a 100km de distancia y puede por tanto en algunos casos reemplazar al sensor Piezoeléctrico. Algunos acelerómetros incorporan un filtro pasa altas para remover el ruido de baja frecuencia, por lo que consecuentemente estos ya no son linealmente proporcionales a la aceleración en bajas frecuencias. Resumen de los principales sensores utilizados Sensores pasivos (SP) con bobina electromagnética.- Utilizados para sismos locales, observaciones globales de ondas P y exploración sismológica. El ancho de banda de velocidad es de 1.0-100Hz con una ganancia

de 30-300 1/ msV (Figura 3.5).

Figura 3.5 Sensor SP de la marca Brüel & Kjær.



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Sensores activos de banda ancha (BB).- Es el sensor más común hoy día y es utilizado en todo tipo de observaciones sismológicas. El ancho de banda lineal para velocidad es 0.01-50Hz y la ganancia

de 100-5000 1/ msV (Figura 3.6).

Figura 3.6 Sismómetro digital 6TD de Guralp Systems.

Acelerómetros.- Se emplean para mediciones de movimiento fuerte. Estos sensores miden aceleración dentro de una banda de frecuencias de 0-100Hz y con una ganancia de 1-100V/g donde g es la aceleración de la gravedad igual a

9.8 2/ sm (Figura 3.7).

Figura 3.7 Sensores marca Kinemetrics ES-T (izquierda) y ES-U2 (derecha).



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3.2 UNIDADES DE REGISTRO (Seismic Recorders) Las señales obtenidas con los sensores deben ser registradas para hacer un sismograma (Figura 3.8). En los sistemas antiguos esto se hacía amplificando y filtrando la señal, la cual se grababa sobre un papel o un tambor. Actualmente las señales se registran solamente de manera digital.

Sistema análogo

Filtro Amplificador

Unidad de registro de

tambor

Generador de la marca de tiempo

Input al

Sensor

Referencia de tiempo externa

Radio ó GPS

Input al

Sensor

Convertidor Analógico a

digital

Computadora

GPS



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Sistema digital

Figura 3.8 Arriba: Unidad de registro análoga. La marca de tiempo es un reloj de tiempo real que debe ser sincronizado con una referencia de tiempo externa. Abajo: Unidades principales de una unidad de registro digital. El GPS da el tiempo aproximado un puede ser conectado a la unidad de registro.

De manera común para ambos sistemas se tiene que la señal debe ser amplificada y filtrada antes de ser grabada. El digitizador es la unidad que convierte la señal analógica a series de números discretos que serán leídos, procesados y almacenados en una computadora. El digitizador es usualmente también la unidad que estampa la unidad de tiempo sobre la señal, ahora exclusivamente mediante un GPS. Para la mayoría de los sistemas digitales la amplificación y filtrado de la señal se lleva a cabo en el digitizador. Idealmente se quiere tan poco filtrado como sea posible con la finalidad de conseguir la señal del sensor. Un ejemplo de un filtro sencillo es el conocido como RC o paso bajo (Figura 3.9), el cual consiste en un capacitor C y una resistencia Rc, que permite el paso de las frecuencias por debajo de una frecuencia de corte.

Figura 3.9 Izquierda: Un filtro RC paso bajo (high cut filter) consistente en un capacitor C y una resistencia Rc. La resistencia del capacitor decrece con el incremento de la frecuencia por lo que el efecto de la combinación RC es filtrar las altas frecuencias.

Derecha: Respuesta de amplitud (salida )( fy dividida entre la entrada )( fx ) del filtro

RC.

En el ejemplo de la figura se tiene un filtro pasa bajas (o corta altas) con una frecuencia de esquina (frecuencia para la cual se ha alcanzado un nivel de

707.02/1 ó - 3dB que se calculan como )707.0log(20 ) 0f de 1.0Hz. La función

de respuesta (o también llamada Función de Transferencia) es:



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)(

)(

1

1)(

20

2

X

YwA

(3.3)

Donde:

RC1

0

R es la resistencia en ohmios ( ) C es un capacitor o capacitancia en Faradios (un faradio es igual a 96485.33 )

A la expresión anterior se le conoce como un filtro de 1 polo ya que la amplitud

decae proporcional a n ó nf , 1n . Un filtro RC es un filtro pasivo (sin

amplificador involucrado). Como se verá más delante, un ejemplo común de filtro activo (usando amplificadores) es el filtro Butterworth, el cual se puede hacer fácilmente para tener muchos polos (por ejemplo n=8). Un inconveniente de estos dos filtros es que dan un cambio de fase en la señal que a menudo implica una gran parte de la pasa banda y el cambio de fase se incrementa con el número de polos.

Un digitizador mustrea los datos a un cierto número de veces por segundo (tasa de muestreo), típicamente a 100Hz para registrar sismos locales y a 40Hz para registrar sismos regionales y globales. Rigurosamente el muestreo consiste en la conversión de una señal analógica (tiempo continuo) a una señal digital (tiempo discreto).

La señal eléctrica recibida de cada canal es “muestreada” a intervalos regulares de tiempo. Cada muestra es un valor de amplitud de la señal, medido en microvoltios. De esta forma y como se mencionó anteriormente, no se tiene un registro continuo de la señal (analógico), sino valores numéricos de su amplitud a intervalos, por ejemplo, 0.5 milisegundos. Si se efectúa un registro de 1 segundo de duración, con un intervalo de muestreo de 0.5 milisegundos, entonces se tendrían 2000 valores de amplitud por cada traza. Los valores de amplitud de las muestras solo pueden ser valores enteros dentro de un cierto rango, es decir, la señal está cuantizada.

La representación digital de amplitudes es en base 2 debido a lógica binaria de los circuitos electrónicos, por lo que el rango de valores de amplitud que puede manejar el digitizador dependerá de cuantos bits se usen por muestra. Valores típicos para los equipos actuales son 8, 10, 12, 16 18 y en los más modernos 24 bits por muestra. Cuanto más bits, mayor es el rango de amplitudes, menores la posibilidad de que una señal supere el máximo representable y más costoso es el equipo.



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La toma de muestras limita la frecuencia más alta que puede ser empleada a la

mitad de la frecuencia de muestreo (frecuencia de Nyquist Nyf ) y todas las

señales con frecuencia por arriba de Nyf deberán ser removidas antes de

digitalizar la señal, de cara a evitar efectos de Alias (Aliasing) que pueden distorsionar las señales de baja frecuencia de las señales de alta frecuencia, lo cual se verá en la parte 4.

El Aliasing ocurre como el muestreo discreto en el tiempo dentro de un espectro periódico en el dominio de la frecuencia. La periodicidad en el dominio de la

frecuencia se produce con Nyf2 y si la señal contiene energía por arriba de la

frecuencia Nyf , la señal digitalizada a frecuencias por debajo de Nyf estará

contaminada, en otras palabras, decimos que ocurre Aliasing cuando la frecuencia de muestreo es inferior al doble de la máxima frecuencia contenida en el espectro de la señal analógica, Fs =1/ Ts > 2 fmax (Frecuencia de Nyquist).

Ya que un filtro anti alias debe eliminar toda la energía por arriba de la frecuencia Nyquist y tan poca como sea posible por debajo de la misma e idealmente no proporciona un cambio de la fase, un filtro Butterworth no puede ser utilizado y se requerirá entonces un filtro con un corte muy acusado. La mayoría de los digitizadores emplean un filtro conocido como FIR (Finite Impulse Response Filter), Filtro de respuesta a impulso finito, el cual está especificado por una serie

de constantes de filtro en el dominio del tiempo. Si la señal de entrada es ix y la

señal de salida iy , donde i va de menos infinito a infinito, el funcionamiento del

filtro es simplemente una convolución (ver parte 4):

1

0

N

k

kkii wxy (3.4)

donde kw indica las N constantes de filtro. Las constantes w indican la forma del

filtro. La figura 3.10 muestra un ejemplo de un filtro FIR. Como se puede ver, la frecuencia de esquina del filtro FIR está a 45Hz, dando un filtro extremadamente acusado. En la misma figura se hace una comparativa con dos filtros Butterworth. El filtro de 25Hz tiene una atenuación de 42dB a 50Hz, mientras que el filtro de 10Hz tiene una atenuación de 112Hz. Así que obviamente se consigue un mayor ancho de banda usando filtros FIR que Butterworth, además de que no se presenta cambio de fase en la pasa banda. Una desventaja de los filtros FIR es que son “acausales”, es decir que posteriormente a la aplicación del mismo, parte de la energía de la señal es desfasada y vista en el tiempo antes de que la señal llegue. Esto se conoce como un “ringing precursor” que puede ser un problema cuando se esté trabajando con fases (Figura 3.11).



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Figura 3.10 Comparativa de un filtro FIR con filtros Butterworth. El filtro FIR tiene una ganancia de -150dB a los 50Hz de frecuencia Nyquist, mientras que los filtros Butterworth de 10 y 25Hz tienen ganancias de -42 y -112dB respectivamente.



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Figura 3.11 Efecto de un ringing precursor de un digitizador. La imagen del izquierda muestra la señal con baja resolución y la derecha muestra una ampliación de P.

3.3 CORRECIÓN POR RESPUESTA INSTRUMENTAL

Un sismógrafo puede entenderse como un sistema lineal donde la entrada es el movimiento de la estructura o el terreno (desplazamiento) y la salida es el desplazamiento sobre el sismograma o bien el número de “cuentas” en la grabación digital. Para un instrumento dado, la función de respuesta de amplitud-frecuencia puede ser determinada de tal manera que para un dado movimiento armónico del terreno )(U , la salida )(Z puede ser calculada como:

)()()( dAUZ (3.5)

Donde )(Z es la salida del sismógrafo (salida de voltaje de un sismómetro o

cuentas de un sistema digital), y )(dA es la amplitud de respuesta de

desplazamiento. )(dA es el efecto combinado de todos los elementos dentro del

sismógrafo (sensor, amplificador, filtro y digitizador).

Las señales registradas bien sean analógicas o digitales, rara vez nos proporcionan el movimiento real de la estructura o del suelo. Los sensores de velocidad darán una salida linealmente proporcional a la velocidad para frecuencias por arriba de la frecuencia natural del instrumento, sin embargo por debajo de esta frecuencia natural no existe ese tipo de relación. Además tanto los sismólogos como los ingenieros generalmente desean medir el desplazamiento del suelo o la estructura, por tanto, una tarea importante es recuperar ese desplazamiento en una señal registrada. Este proceso de recuperación se le suele llamar corrección por respuesta del instrumento.

De la expresión 3.5 se puede recuperar tal desplazamiento )(U como:

)(/)()( dAZU (3.6)

A )(dA tradicionalmente se lo conoce como la “magnificación” o “ganancia” ya

que nos da el número de veces que la señal es amplificada en un dispositivo analógico; por ejemplo, si el desplazamiento de la estructura es 0.1mm y la magnificación es igual a 100, la amplitud sobre el sismograma será 100(0.1)=10mm.



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De manera similar si deseamos determinar la velocidad del terreno, tendríamos:

)(/)()( vAZU (3.7)

Donde vA es la respuesta de velocidad. Esta simple corrección instrumental ha

sido utilizada ampliamente para determinar el máximo desplazamiento de la estructura o el terreno en instrumentos analógicos. Por otra parte, para señales registradas con sensores de banda ancha, esta corrección no se puede hacer de la manera tan simple como se explica, y se debería de trabajar con todo el rango de frecuencias, lo cual lleva a análisis muy elaborados que no se tratarán en el presente taller.

3.4 ALMACENAMIENTO DE DATOS

Cada canal de datos de la forma de onda consiste en una serie de muestras (valores de amplitud de la señal) que normalmente están igualmente espaciadas en el tiempo (intervalo de muestreo). El tiempo por lo regular está dado por el tiempo de la primera muestra y la tasa de muestreo.

Los datos de las formas de onda históricamente han sido registrados y almacenados en una gran variedad de formatos, lo cual para fines del estudio de estructuras específicas con vibración ambiental no suele ser un problema, a diferencia de las estaciones sísmicas ubicadas en diferentes partes del mundo donde al momento de intercambiar archivos se generan grandes conflictos.

Para evitar los problemas anteriores actualmente existe una gran colaboración internacional para un formato único conocido como “Data exchange format”, el cual por ser el más completo suele ser el más complejo.

3.5 RUIDO SÍSMICO

Todas las trazas sísmicas contienen ruido el cual puede tener dos orígenes: ruido instrumental y ruido sísmico “real” del terreno. Normalmente, el ruido instrumental debe de estar muy por debajo del ruido sísmico, pero esto pudiera no verse fácilmente a menos que uno estuviera familiarizado con las características de la estación en particular.

Para el caso de la medición de vibración ambiental o ruido sísmico, resulta importante evitar fuentes que pudieran generar ruido de tipo instrumental, el cual contaminaría los resultados obtenidos. En las ciudades o sobre las estructuras, nos encontramos muy cerca de fuentes de energía (cableados de energía eléctrica, antenas de telefonía móvil, etc.) al hacer las mediciones de vibración



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ambiental, razón por la cual algunas empresas blindan sus cables para evitar este tipo de problemas.

Un caso particular donde el ruido instrumental suele incrementarse de manera dramática, es durante las mediciones de ruido sísmico en las subestaciones eléctricas, llegando inclusive al extremo de tener que apagarlas por completo durante la prueba; un equipo que podría ser de utilidad en estos casos sería los Vibrometros de Laser Doppler (LDV), los cuales realizan las mediciones sin hacer contacto con las estructuras (Figura 3.12).

Figura 3.12 Vibrómetro de laser Doppler (www.ometron.com).

4. PROCESAMIENTO DE SEÑALES

4.1 FILTRADO

Previamente se comenzó a hablar sobre algunos filtros que con frecuencia se utilizan en cualquier tipo de señal para resaltar ciertas características y suprimir otras. Un filtro tiene el propósito de remover parte de la señal en un rango particular de frecuencias y tres tipos de filtro son generalmente utilizados:

Filtro pasa altas (o corta bajas) a la frecuencia 1f : Remueve señales por

debajo de la frecuencia 1f .

Filtro pasa bajas (o corta altas) a la frecuencia 2f : Remueve señales por

encima de la frecuencia 2f .

Filtro pasa banda a las frecuencias 1f a 2f : Remueve señales por arriba

de 2f y por debajo de 1f .



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Las frecuencias 1f y 2f se conocen como frecuencias de esquina del filtro y están

definidas como el punto donde la amplitud ha decaído a 0.7 de la parte no filtrada de la señal. Estos filtros se muestran de manera esquemática en la figura 4.1.

Figura 4.1 Representación esquemática de los filtros.

En el dominio log-log, los filtros son usualmente representados por segmentos de línea rectos. La ganancia ó razón entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada es frecuentemente dada en decibeles (dB) definido como:

)(log20 gananciadB (4.1)

Esto significa que la frecuencia de esquina es 20log(0.7) = - 3 relativa a la parte plana de la respuesta del filtro (por debajo de la parte plana). La precisión del filtro se determina por la pendiente n , frecuentemente dada como el número de polos

del filtro. Dentro del procesamiento, n usualmente se encuentra entre 1 y 8 y típicamente es de 4, aunque puede ser mayor a 8.

La precisión del filtro algunas veces también está dada por el decaimiento de la

amplitud en dB/octava. Una octava se define como 2/ 12 ff , por lo que para un

filtro de un polo la amplitud se reduce por 6dB/octava, mientras que para un filtro de 4 polos corresponde a 24dB/octava.

Existen muchos tipos de filtros, sin embargo para análisis prácticos, se utilizan los filtros Butterworth ya que presentan algunas propiedades favorables: no existe “ringing” (ondas), dentro de la pasa banda y en las frecuencias de esquina permanece constante para cualquier orden del filtro. La amplitud de respuesta de un filtro Butterworth pasa bajas es:



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nB

20 )/(1

1)(

(4.2)

Se puede apreciar en la ecuación y en la figura 3.7 que este filtro tiene una respuesta muy suave. Ya que el filtro inicia en un extremo y trabaja a través de la señal, la energía será removida hacia atrás en la señal, o en otras palabras, habrá un cambio de fase el cual se puede eliminar pasando el filtro hacia atrás a través de las series temporales.

Es importante tener precaución de los filtros que son aplicados como parte del proceso de digitalización. Los digitizadores más modernos aplican directamente filtros anti-alias.

4.2 ANÁLISIS ESPECTRAL

La base de muchas técnicas de análisis digital utiliza métodos espectrales. La transformada de Fourier nos permite mover las señales entre los dominios del tiempo y la frecuencia, lo cual permite versatilidad de elección dependiendo de cada caso particular.

Si definimos la señal como función del tiempo )(tx , el espectro de Fourier

complejo )(X (al cual también se le conoce como Auto-espectro) está dado por:

dtetxX ti

)()( (4.3)

donde:

f 2

La expresión anterior se puede escribir como:

dtsentxidttxX

)(cos)()( (4.4)

donde se observa claramente la parte real e imaginaria de la amplitud de Fourier.

Adicionalmente, el Espectro de Densidad de Potencia ó Espectro de Potencia )(P está dado como:

Arnold

Resaltado



25

2)()( XP (4.5)

El espectro de potencia solo tiene valores reales.

Debido al proceso de digitalización de la señal, en lugar de la expresión 4.3 (aplicable a señales analógicas) se suele emplear la Transformada rápida de Fourier, dada por la expresión 4.6:

tinexX )( (4.6)

En las figuras 4.2 y 4.3 se muestran un espectro de Fourier y uno de Potencia respectivamente, obtenidos a partir de señales de vibración ambiental medidas sobre estructuras.

Figura 4.2



26

Figura 4.3

5. INSTRUMENTACIÓN DE ESTRUCTURAS

Toda instrumentación debe contribuir a la comprensión de la respuesta de una estructura. Para ello se requiere generar una metodología propia de acuerdo a las características de las estructuras representativas de un lugar determinado, y del tipo de instrumentación con que se disponga.

En diversos países a raíz de los desastres ocasionados por sismos de magnitud considerable, surge el interés de realizar estudios experimentales en estructuras reales mediante diversos métodos, con el fin de comprender mejor su comportamiento. En México se realizan pruebas de vibración ambiental en estructuras reales para conocer sus propiedades dinámicas, y a la par se promueve la instrumentación de edificios, con el fin de contar con información experimental real de la respuesta estructural sobre todo en edificios desplantados en suelos arcillosos. La Instrumentación de estructuras

Arnold

Resaltado

Arnold

Resaltado



27

La disposición y ubicación de los acelerógrafos en un sistema estructural, se diseña en esencia para poder tener registros detallados de su movimiento durante la prueba de vibración ambiental. Dentro de los aspectos importantes a tomar en cuenta en la instrumentación de estructuras, en particular en la medición de vibraciones ambiente se tienen los siguientes:

Contar con una buena documentación técnica de la estructura y facilidad de acceso.

Los puntos de medición se deben de determinar en función de la disponibilidad de instrumentos.

En la Figura 5.1 se muestran algunos arreglos típicos de instrumentos en edificios de acuerdo al número de aparatos con los que se disponga.

En caso extremo, Figura 5.1a, si se cuenta con tan solo dos aparatos, se recomienda colocar uno en el terreno y el otro en azotea. Con este arreglo se estará en posibilidad de obtener las frecuencias y los porcentajes de amortiguamiento del sistema.

Si se tiene la posibilidad de colocar aparatos en pisos intermedios, figura 5.1b, se recomienda colocarlos a 1/3 y 2/3 de la altura, ya que generalmente es donde se encuentran los puntos de inflexión o panzas de los modos superiores de vibrar.

Generalmente, si la estructura se encuentra desplantada en suelo blando, se recomienda instrumentar la base con al menos tres aparatos en las esquinas, figura 5.1c, con el objeto de estar en posibilidades de estudiar la influencia de los efectos de interacción suelo-estructura, en su respuesta dinámica.

El arreglo de la figura 5.1c, representa una instrumentación sumamente completa, de la cual se puede obtener información referente a frecuencias de vibrar, porcentajes de amortiguamiento, formas modales, efectos de interacción suelo-estructura y de torsión.

La respuesta de un sistema estructural se realiza en intervalos discretos de tiempo, y solamente en los puntos de la estructura donde se localizan los aparatos de registro. Estas restricciones son factores de importancia, y de las cuales se desprenderán algunas de las características de los posibles modelos matemáticos a aplicar en el análisis dinámico de la estructura.

Arnold

Resaltado



28

Figura 5.1 Algunos arreglos típicos de instrumentación en edificios.

En las figuras 5.2 y 5.3 se muestran algunos arreglos típicos para la medición de vibración ambiental en puentes, los cuales buscan identificar las primeras formas de vibrar de los mismos.

Figura 5.2 Arreglo de sensores para determinar las frecuencias de vibración verticales en

tableros de puentes simplemente apoyados.

(a) (b) (c)



29

Figura 5.3 Arreglo de sensores para determinar las frecuencias de vibración verticales en tableros de puentes continuos.

En las figuras 5.4 y 5.5 se muestran las primeras formas modales verticales de tableros o vigas simplemente apoyadas y continuas respectivamente.

1er. Modo

3er. Modo

2º. Modo

4º. Modo

Figura 5.3 Primeras cuatro formas modales para puentes simplemente apoyados.

Figura 5.4 Primer modo de vibración para puentes continuos de 2, 3 y 4 luces.

5.1 SELECCIÓN DEL MODELO DE UNA ESTRUCTURA

El tamaño de los modelos matemáticos de una estructura, dependerá de los grados de libertad que sean considerados para establecer las condiciones de equilibrio dinámico. Al suponer algunas hipótesis en el comportamiento estructural, el número de parámetros a considerar en el modelo se puede reducir, y su

Arnold

Resaltado



30

aproximación a la respuesta real, dependerá de una adecuada selección de la forma y número de parámetros que se incorporen en él. De manera general, en la ingeniería estructural, están bien establecidas las leyes que rigen el comportamiento físico de un sistema, por lo que en ocasiones, con el uso de modelos simples, en los cuales algunos de los parámetros menos significativos no sean considerados, se pueden obtener soluciones de carácter práctico.

El tamaño del modelo se debe establecer con base en las características esenciales del sistema, y por la cantidad y calidad de información disponible, que en este caso, es producto de la instrumentación. Considerando los aspectos anteriores, es posible establecer los grados de libertad del modelo. Los grados de libertad se establecen en función de las características de los movimientos que requieren ser considerados. En estructuras con instrumentación muy completa, se tiene la posibilidad de proponer desde modelos muy simples para obtener soluciones prácticas, hasta modelos con un alto nivel de complejidad para realizar estudios más completos. A continuación, se mencionan algunos de los posibles modelos que se pueden establecer, que están en función del número de instrumentos con los que se cuenta y de los movimientos considerados: Modelos de un grado de libertad, en donde se evalúan parámetros de rigidez, frecuencias de vibrar y amortiguamiento del sistema, en un solo punto de la estructura y un componente de movimiento. Este tipo de modelos, se podría establecer con los tres tipos de instrumentación mostrados en la figura 5.1. Modelos de dos o tres grados de libertad, en los que es posible considerar la participación de modos superiores de traslación en un componente determinado y poder determinar su correspondiente configuración modal. Estos modelos, se pueden establecer para el análisis dinámico de sistemas estructurales instrumentados como en las figuras 5.1b y 5.1c. Modelos de tres grados de libertad, para estudiar efectos de interacción suelo-estructura. Para establecer estos modelos, se requiere de una estructura instrumentada en su base, como se muestra en la figura 5.1c. Si no se tiene una instrumentación tan completa, al menos deben existir en la estructura, tres puntos de medición en su base, con los cuales poder determinar los efectos de cabeceo y traslación, en un componente de movimiento determinado. Aunados a los modelos anteriores, de la instrumentación más completa, figura 5.1c, se podrían obtener los siguientes modelos:



31

Modelo de cinco grados de libertad, con la ventaja de poder obtener modos superiores y efectos de interacción suelo-estructura simultáneamente, al considerar tres movimientos de traslación asociados a la estructura, y uno de traslación y otro de cabeceo en su base. Modelos de tres a nueve grados de libertad, que corresponderían al estudio del acoplamiento entre los movimientos horizontales y de torsión de la estructura. Se podría establecer un modelo que asociara los dos movimientos horizontales en azotea con el producido por la torsión, o bien, considerar los dos movimientos horizontales en cada uno de los tres entrepisos instrumentados con el respectivo de torsión. El movimiento de torsión en ambos casos se obtiene de la diferencia que existe entre los registros de la esquina y el centro, en una dirección y un punto determinados. Así, propuesto un modelo, mediante algún método de identificación, se pueden evaluar los parámetros desconocidos que rigen la respuesta dinámica del sistema estructural. 5.2 MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS

Uno de los propósitos principales de hacer mediciones de vibración ambiental es evaluar experimentalmente las propiedades dinámicas de las estructuras. La mayoría de los artículos publicados sobre el tema tratan con diferentes técnicas para identificar las formas modales, frecuencias y amortiguamientos, pudiéndose de manera general agrupar en métodos de identificación en el dominio del tiempo y la frecuencia. A continuación se presenta una revisión general de este tipo de metodologías. 5.3 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Las técnicas de identificación en el dominio del tiempo estiman los parámetros modales directamente de las series temporales medidas. Los parámetros modales medidos son la frecuencia modal, el amortiguamiento y las formas modales. Se puede decir entonces que estamos ante “Técnicas Paramétricas”, ya que se cuenta con una señal de entrada en el dominio del tiempo. Las técnicas de Identificación de Subespacio Estocástico (Overschee y Moor, 1996), con sus siglas en inglés SSI (Stochastic Subspace Identification), son aplicadas en el dominio del tiempo y son uno de los métodos más conocidos. Esta técnica se ajusta a un espacio de estado estocástico discreto en el tiempo, siguiendo la ecuación 5.1.

Arnold

Resaltado

Arnold

Resaltado



32

kk

kkx

Cxy

Axx

11 (5.1)

Donde A es la matriz de transición de estado, kx es el vector de estado que

contiene al estado actual del sistema en el instante de tiempo k , y 1k es el

proceso de ruido blanco Gaussiano que se está desarrollando en el sistema. La

salida del sistema está localizada dentro de ky y se obtiene mediante la pre-

multiplicación de kx por una matriz observación C .

Considerando un sistema muestreado con intervalos a T segundos, el eingenvalor

continuo en el tiempo ( ) y la forma modal ( ) están dados por la

eigenestructura ( ; ), tal y como se muestra en la ecuación 5.2.

C

eT

(5.2)

El amortiguamiento y la frecuencia natural se obtienen directamente de .

El objetivo ahora es identificar los eigenvalores de la estructura ( ; ) con el

algoritmo de Identificación de Subespacio Estocástico, también conocido como algoritmo de Componente Principal No Ponderada (Overschee y Moor, 1996), por

medio de los datos de salida ky en los instantes de tiempo Nk ,....,1 .

Se seleccionan a p y q como índices variables con p + 1 ≥ q indicando la calidad de las estimaciones, donde valores grandes de p conducen a mejores estimados, y para el orden máximo del sistema debe ser ≥ qr, donde r es el número de canales de medición. Normalmente, se elije p = q - 1, pero para el caso de medición de ruido se considera que p = q - 1 + l es un mejor valor, donde l es el orden para el ruido. Se construyen entonces dos matrices de datos para la salida:

Npqpq

pNqq

pNqq

p

yyy

yyy

yyy

Y

:

::::

:

:

21

132

21

1 ,

qpN

pNqq

pNqq

q

yyy

yyy

yyy

Y

:

::::

:

:

21

21

11

(5.3)



33

Para el algoritmo de Componente Principal no Ponderada, se construye una matriz de Hankel ponderada a partir de las dos matrices anteriores, resultando:

111,1 )( q

Tqq

Tqpqp YYYYYH (5.4)

Por el gran tamaño resultante de la matriz 5.4, en la práctica para su solución se suele emplear una descomposición QR (una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R). La matriz de Hankel ponderada (5.4) puede también expresarse como función de la matriz Op+1 y como una secuencia de los vectores de estado Xq .

p

p

qpqp

CA

CA

C

O

XOH

:

,

1

1,1

(5.5)

La matriz Op+1 es obtenida mediante una descomposición de Valores Singulares (Singular Value Decomposition, SVD) de la matriz Hp+1, q, y su truncamiento para el orden del modelo deseado es:

2/1

111

2

1

2

121

,1

,0

0

UO

V

VUU

VUH

p

T

T

TqP

(5.6)

La matriz observación C se encuentra entonces en el primer bloque de filas de la matriz Op+1. La matriz de transición de estado A se obtiene de los bloques de filas restantes de Op+1, definidas como se muestra en la ecuación 5.7, minimizando la

norma de AOO pp con respecto de A.

AO

CA

CA

CA

O p

p

p

:

2

(5.7)



34

5.4 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Para propósitos de identificación modal esta técnica es una de las más comunes para sistemas estructurales donde las cargas son desconocidas (Técnicas no paramétricas). Como se vio anteriormente la aproximación clásica se basa en un proceso simple de la señal utilizando la Transformada Discreta de Fourier (DFT), utilizando el hecho de que se pueden estimar modos bien separados entre sí; esta técnica también es conocida como Técnica Básica en el Dominio de la Frecuencia (BFD) ó Técnica Peak Picking (Bendat y Piersol, 1989).

Una extensión de esta aproximación clásica (Brincker et al, 2000) establece que la relación entre las entradas (inputs) desconocidos )(tx y los puntos medidos )(ty ,

puede ser expresada como:

Txxyy jHjGjHjG )()()()( (5.8)

Donde )( jGxx es la matriz ( rr ) de Densidad Espectral de Potencia (PSD) de la

entrada, r es el número de inputs o entradas, )( jG yy es la matriz ( mm ) de

respuestas, m es el número de respuestas, )( jH es la matriz ( rm ) de Función

de Respuesta para la Frecuencia (Frequency Response Function, FRF), la barra testada denota complejo conjugado y T matriz transpuesta.

La función de respuesta para la frecuencia (FRF) puede escribirse en fracciones parciales como:

n

k k

k

k

k

j

R

j

RjH

1

)(

(5.9)

donde n es el número de modos, k es el polo y kR es el residuo que está dado

por:

TkkkR (5.10)

donde k y k son respectivamente la forma modal y los vectores de participación

modal. Supongamos que la entrada es ruido blanco (por ejemplo su densidad

espectral de potencia (PSD) es una matriz constante, o sea CjGxx )( ,

entonces la ecuación 5.8 se convierte a:

n

s k

k

k

kn

k

yyj

R

j

RjG

11

)(

H

s

s

s

s

j

R

j

RC

(5.11)

Arnold

Resaltado

Arnold

Resaltado

Arnold

Resaltado



35

donde el superíndice H denota tanto al complejo conjugado como al operador transpuesto. Multiplicando ambos factores en fracciones parciales, haciendo uso del teorema de Heavyside y simplificando, la densidad espectral de salida puede reducirse a la siguiente forma polo/residuo:

n

k k

k

k

k

k

k

k

kyy

j

B

j

B

j

A

j

AjG

1

)(

(5.12)

donde kA es la k ésima matriz residual de densidad espectral de potencia (PSD)

de salida. Debido a que esta matriz por sí misma es una mm matriz Hermitiana

la cual está dada por:

n

s sk

Ts

sk

Ts

kkRR

CRA

1

(5.13)

La contribución al residuo del modo k ésimo está dado como:

k

Tkk

k

RCRA

2 (5.14)

donde k es menos la parte real del polo kkk j .

Como está expresado, este término domina cuando el valor de amortiguamiento es pequeño, por lo que el residuo se vuelve proporcional al vector de la forma modal:

Tkkk

Tkk

Tkkkkk dCRCRA (5.14)

donde kd es una constante escalar. Para alguna cierta frecuencia solo un

número limitado de modos contribuirán significativamente a la respuesta, en general, uno o dos modos. Denotemos a este conjunto de modos por )(Sub . Por

lo tanto, en el caso de una estructura ligeramente amortiguada, la respuesta de densidad espectral puede escribirse (Brincker et al, 2000) como :

)(

)(

Subk k

Tkkk

k

Tkkk

yyjj

d

jj

djG (5.15)



36

Para establecer un procedimiento de identificación usando FDD (Descomposición

en el Dominio de la Frecuencia) la estimación de la matriz de densidad espectral

de potencia (PSD) puede considerarse como un primer paso. El valor estimado

para la PSD de salida a frecuencias discretas, se modifica mediante la

Descomposición de la matriz en Valores Singulares (Singular Value

Decomposition, SVD).

Hiiiiyy USUjG )(ˆ (5.16)

donde iU es una matriz unitaria formada por los vectores singulares iju y iS es

una matriz diagonal formada por valores escalares ijs .

Localizarse cercano a un pico correspondiente al modo k ésimo dentro del espectro significa que ese modo en específico (o un modo cercano) será dominante. Si solo el modo k ésimo es dominante habrá un solo término en la

ecuación 5.16. Así, en este caso, el primer vector singular 1iu será un estimado de

la forma modal.

1ˆ

iu (5.17)

y el correspondiente valor singular será la función de densidad espectral de

potencia del correspondiente sistema de un grado de libertad, referido a la

ecuación 5.16. Esta función de densidad espectral de potencia es identificada

alrededor del pico comparando el estimado de la forma modal, ̂ , con los vectores

singulares para las líneas de frecuencia alrededor del pico. Utilizando el Criterio de

Garantía Modal (Modal Assurance Criteria, MAC), mientras se encuentra un vector

singular que tenga un valor de MAC alto para ̂ , los correspondientes valores

singulares pertenecerán a la función de densidad del sistema de un grado de

libertad.

A partir de la función de densidad del sistema de un grado de libertad obtenido

alrededor del pico, se podrán obtener finalmente la frecuencia natural y el

amortiguamiento. Algunos paquetes de software comercial para identificación, una

vez que obtienen la función de densidad del sistema de un grado de libertad, la

regresan al dominio del tiempo mediante la Transformada Inversa de Fourier, de

donde mediante técnicas convencionales se obtienen tanto frecuencias como

amortiguamientos.



37

6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN A ESTRUCTURAS DE PUENTES

6.1 MEDICIÓN PRÁCTICA

Se realizarán pruebas de vibración ambiental a algunas estructuras reales.

6.2 PROCESAMIENTO

Se realizará el procesamiento de las señales obtenidas mediante el software SeismoSignal (www.sesimosoft.com).

6.3 IDENTIFICACIÓN

Se llevará a cabo el proceso de identificación de las frecuencias fundamentales para las estructuras medidas.

http://www.sesimosoft.com/

Arnold

Resaltado



38

Referencias

Beck, J.L. y Jennings, P.C. (1980), "Structural Identification Using Lineal Models and Earthquake Records", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 8, pp. 145-160

Bendat, J.S. y Piersol, A.G. (1989), “Random Data. Analysis and Measurement Procedure”, Wiley Interscience, New York.

Brincker, R., Zhang L and Andersen P. (2000), “Modal Identification from Ambient Responses using Frequency Domain Decomposition”.

De Brito, A., Varum H. (2013). “Accelerometers, Principles, structure and applications”, Nova publishers, New York.

González Alcorta, R. (1995), “Análisis y predicción de comportamiento dinámico de estructuras usando técnicas de identificación de sistemas y linealización equivalente”. Tesis de Doctorado. División de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería, UNAM.

Havskov, J., Alguacil, G. (2004), “Instrumentation in Earthquake Seismology”, Springer.

Havskov, J., Ottemoller, L. (2010), “Routine Data Processing in Earthquake Seismology”, Springer.

Jara, J.M., Rojas, R., Martínez, G. (2011). “Time Domain vs. Frequency Domain

System Identification of the Dynamic Parameters for a Group of Bridges located in Mexico”, EURODIN2011, 8th. International Conference on Structural Dynamics, Leuven, Belgium. Murià-Vila D, Macias Castillo. M. A., Rodríguez Gutiérrez G., Soto Correa. U. (2000), “Análisis de los registros sísmicos obtenidos en el edificio PC de 1990 a1999”. Proy 0520, Instituto de Ingeniería, UNAM, octubre 2000. Overschee P. V., Moor B. D., (1996), Subspace Identification for Linear Systems, Theory, Implementation, Applications, Kluwer. Rodríguez Gutiérrez G, Macias C. M. A, Murià-Vila D, Palacios Villalva C. (2001) “Respuesta sísmica de un edificio instrumentado en unperiodo de 10 años”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Guadalajara, Jalisco, noviembre de 2001. Toro J. A. M. (1997) “Estimación de Parámetros Estructurales de un edificio



39

Instrumentado con un Planteamiento Modal”, X Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Mérida, Yucatán, noviembre de 1996, p 327 a 336. Zapata E. A. (2001). “Estudio de la Respuesta Dinámica de un Edificio Instrumentado”, Tesis de Maestría. División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería, UNAM.

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