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Departamento de Aeronáutica
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
VIBRACIONES
TRANSMISIBILIDAD
Mecánica y Mecanismos
Pablo L. Ringegni / Andrés Martínez del Pezzo
Revisión 1
La Plata 2018
Transmisibilidad Rev. 0
2
AISLACION DE VIBRACIONES
Por razones estructurales y de confort no es conveniente que las vibraciones
producidas por los equipos se transmitan totalmente a la base o fundación sobre la que
están montados o a otras partes. Así, son ejemplos: un motor (de cualquier tipo) que
transmite vibraciones a la fundación o a las personas que viajan en el mismo o un equipo
electrónico montado sobre un vehículo que recibirá vibraciones de la estructura de este,
por efecto de las irregularidades del camino (o ráfagas de viento o turbulencias en el caso
de un avión). En algunos casos, el efecto que se transmite deja de ser vibratorio para
convertirse en un efecto impulsivo (choque).
Las consecuencias de una transmisión directa de estos efectos desde la fuente de
vibración a un equipo, persona o estructura pueden llegar a ser críticas en muchos casos
y molestas en otros. Surge entonces la necesidad de introducir algún tipo de aisladores o
atenuador de vibraciones (o choque) con el objeto de atenuar, los efectos que esa fuente
vibratoria provoca. La función de tal atenuador será entonces reducir tanto como se pueda
la magnitud de las fuerzas o de los movimientos transmitidos desde la fuente según sea el
caso.
De esta manera, las formas de reducir estas vibraciones son:
1º) Suprimir la fuente de la vibración en la mayor proporción posible.
2º) Diseñar un sistema de aislación, que puede establecerse según dos situaciones o
casos:
A.- Aislando la fuente de vibración del sistema de interés o sistema que se quiere
resguardar. Esta situación es analizada en términos de reducir la fuerza transmitida
por la fuente a los puntos de montaje sobre la base. Este es el caso BASE FIJA –
OBJETO MOVIL
B.- Aislando el equipo o sistema de interés de la fuente de vibración. Esta situación
contempla el análisis en términos de reducir el desplazamiento de vibración
transmitido desde la base, que es la que se mueve, hacia el equipo o sistema. Este es
el CASO BASE MOVIL – OBJETO MOVIL
Transmisibilidad Rev. 0
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CASO A: BASE FIJA Y OBJETO MÓVIL
(TRANSMISIBILIDAD DE FUERZAS)
Figura 1
El desplazamiento de la masa m, con una Fuerza actuante F, un resorte de constante k, y
un amortiguador con una constante c, en forma genérica es:
𝑥 = 𝐴𝑜. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜃)
Reemplazando la amplitud Ao queda:
𝑥 = (𝐹𝑜
𝑚) . (
1
√(𝑤02 −𝑤2)2 + 4. ℎ2. 𝑤2
) . 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 − 𝜃)
Y también se puede escribir de la forma:
𝑥 = (𝐹𝑜
𝑘) .
(
1
√(1 − (𝑤2
𝑤02))
2
+ 4. ℎ2. (𝑤2
𝑤02)
)
. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 − 𝜃)
La fuerza transmitida (ft) a la base es:
𝑓𝑡 = 𝑘. 𝑥 + 𝑐. �̇�
Que reemplazando por el desplazamiento (x) y la derivada de este (�̇�) se obtenemos:
𝑓𝑡 = 𝐴𝑜. [𝑘. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜑) + 𝑐.𝑤. cos(𝑤𝑡 − 𝜃)]
m
F (t)=Fo sen(wt)
x
Bloque aislador k c
Transmisibilidad Rev. 0
4
𝑓𝑡 = 𝐴𝑜.√𝑘2 + (𝑐. 𝑤)2. [𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜃)]
Donde la amplitud máxima de la fuerza transmitida (fot) es:
𝑓𝑜𝑡 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴𝑜.√𝑘2 + (𝑐.𝑤)2
Donde si se reemplaza la amplitud queda:
𝑓𝑜𝑡 = (𝐹𝑜𝑚) . (
√𝑘2 + (𝑐.𝑤)2
√(𝑤02 − 𝑤2)2 + 4. ℎ2. 𝑤2
)
𝑓𝑜𝑡 = (𝐹𝑜𝑚) .
(
𝑘√1 + (
𝑐𝑘.𝑤)2
𝑤𝑜2√(1 −𝑤2
𝑤02)2
+𝑐2
𝑚2.𝑤2
𝑤02 .𝑚𝑘)
𝑓𝑜𝑡 = 𝐹𝑜.
(
√1 + 4.
𝑐2
𝑐𝑐2 .𝑤2
𝑤02
√(1 −𝑤2
𝑤02)2
+ 4.𝑐2
𝑐𝑐2 .𝑤2
𝑤02)
Entonces, el coeficiente de transmisibilidad se denomina TF, (TRASMISIBILIDAD
FUERZA) y es igual a:
𝑇𝐹 =𝑓𝑜𝑡𝐹𝑜
𝑇𝐹 =
(
√1+ (2.
𝑐𝑐𝑐.𝑤𝑤0)2
√(1 −𝑤2
𝑤02)2
+ (2.𝑐𝑐𝑐.𝑤𝑤0)2
)
=
(
√1 + (2. 𝜀.
𝑤𝑤0)2
√(1 −𝑤2
𝑤02)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤0)2
)
(A)
Transmisibilidad Rev. 0
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GRAFICANDO
Figura 2
En la región donde:
𝑤
𝑤𝑜> √2 → 𝑇𝐹 < 1 → Fuerza transmitida (fot) < 𝐹 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝐹0) (Zona
conveniente de trabajo).
Convendría trabajar con 𝑐 = 0, pero para evitar fuertes picos cuando se pase
por resonancia (𝑤
𝑤𝑜= 1), se colocará un amortiguador.
Aislador:
- k pequeño o “aumentar la masa”.
- c adecuadamente importante según en qué zona este por encima de √2
En la región donde:
𝑤
𝑤𝑜< √2 → 𝑇𝐹 > 1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
TF
w/w0
Transmisibilidad
C/C0 = 0
C/C0 = 0,25
C/C0 = 0,5
C/C0 = 1
√2 Aislación Amplificación
Incremento de
C/C0
Transmisibilidad Rev. 0
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Se debe adoptar 𝑐
𝑐𝑐 lo mayor posible para un dado valor de
𝑤
𝑤𝑜.
Conviene gran amortiguamiento y resorte duro.
Aislador:
- k grande (“resorte duro”).
- c grande (amortiguamiento importante).
En la zona donde:
𝑤
𝑤𝑜≅ 1 (RESONANCIA)
TR queda totalmente determinado por el valor de 𝜀 =𝑐
𝑐𝑐
CASO B: BASE MOVIL - INSTRUMENTO MÓVIL
(TRANSMISIÓN DE DESPLAZAMIENTO)
La base que vibra se vincula al cuerpo de masa m. mediante un bloque o sistema resorte
amortiguador. La base vibra con un movimiento conocido y = Y.sen(w.t). y se transmite al
cuerpo
Figura 3
El desplazamiento relativo z
estará dado por:
𝑧 = 𝑥 − 𝑦
Donde:
x: movimiento absoluto de la
masa m
y: movimiento absoluto de la
base
z: movimiento relativo de la masa
respecto de la base
Planteando ∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 la ecuación de movimiento de movimiento absoluto de la masa m
es:
Transmisibilidad Rev. 0
7
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑧 + 𝑐. 𝑧 = 0
Que reemplazando por la expresión de z queda:
𝑚. �̈� + 𝑘. (𝑥 − 𝑦) + 𝑐. (�̇� − �̇�) = 0
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 + 𝑐. �̇� = 𝑘. 𝑦 + 𝑐. �̇�
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 + 𝑐. �̇� = 𝑘. 𝑌. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) + 𝑐. 𝑌. 𝑤. cos (𝑤𝑡)
La solución particular de esta ecuación será la suma de la solución particular
con la fuerza entrada del amortiguador: 𝑐. 𝑌. 𝑤. cos(𝑤𝑡) → 𝑋𝑝(1), y la de la fuerza entrada
del resorte: 𝑘. 𝑌. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) → 𝑋𝑝(2)
Entonces dividiendo la última por la masa m se tiene:
�̈� + 𝑤𝑜2. 𝑥 + 2. ℎ. �̇� = 2. ℎ. 𝑤. 𝑌. cos(𝑤𝑡) + 𝑤𝑜2. 𝑌. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
Reemplazando h = w0 se obtiene:
�̈� + 𝑤𝑜2. 𝑥 + 2. 𝜀. 𝑤𝑜. �̇� = 2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜. 𝑌. cos(𝑤𝑡) + 𝑤𝑜2. 𝑌. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
Sustituyendo:
𝐹𝑜
𝑚= 2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜. 𝑌
En la ecuación de la solución de la ecuación de movimiento para un sistema F, k, c.
Para 𝑥𝑝(1):
𝑥𝑝(1) =
2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜. 𝑌
√(𝑤𝑜2 −𝑤2)2 + (2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜)2. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜃1)
𝜑1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔.2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜
𝑤𝑜2 −𝑤2
Para 𝑥𝑝(2):
𝑥𝑝(2) =
𝑤𝑜2. 𝑌
√(𝑤𝑜2 −𝑤2)2 + (2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜)2. 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 𝜃2)
𝜃2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔.𝑤𝑜
2. 𝜀. 𝑤𝑜
Por principio de superposición:
𝑥𝑝 = 𝑥𝑝(1) + 𝑥𝑝
(2)
Luego
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𝑥𝑝(𝑡) = 𝑤𝑜. 𝑌. √𝑤𝑜2 + (2. 𝜀. 𝑤)2
(𝑤𝑜2 − 𝑤2)2 + (2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜)2. cos (𝑤𝑡 − 𝜃1 − 𝜃2)
Si definimos X (amplitud máxima del desplazamiento de la masa m) como:
𝑋 = 𝑌.√1 + (2. 𝜀.
𝑤𝑤𝑜)2
(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2. cos (𝑤𝑡 − 𝜃1 − 𝜃2)
𝑇𝐷 =𝑋
𝑌= √
1 + (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2
(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2
Esta última expresión da la relación de amplitud entre el desplazamiento
máximo del cuerpo y el desplazamiento máximo de la entrada (base móvil). Se denomina
TRANSMISIBILIDAD DESPLAZAMIENTO
Graficando se obtiene la misma gráfica que la de la figura 2.
-En resonancia se transmite el máximo desplazamiento de la base al cuerpo.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
TD
w/w0
Transmisibilidad
C/C0 = 0
C/C0 = 0,25
C/C0 = 0,5
C/C0 = 1
(B)
Transmisibilidad Rev. 0
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-Para 𝑤
𝑤𝑜< √2 → 𝑇𝐷 > 1 (el movimiento de la masa es una amplificación del movimiento
de la base y depende del amortiguamiento).
-Para 𝑤
𝑤𝑜> √2 → 𝑇𝐷 < 1 (ídem análisis anterior)
NOTA: Esta expresión (C) tiene la misma forma que la expresión (A). Es importante notar
que, aunque tengan la misma forma representan diferentes problemas de aislación y
describen distintos fenómenos.
Para este problema particular, otra expresión importante es la fuerza transmitida
a la masa como resultado del movimiento de la base.
𝐹(𝑡) = 𝑘 ∙ (𝑥 − 𝑦) + 𝑐 ∙ (�̇� − �̇�)
Esta fuerza balancea la inercia de la masa m.
∴ 𝐹(𝑡) = −𝑚. �̈�(𝑡)
En el régimen permanente la solución para el desplazamiento x se obtiene
reemplazando en esta última con la segunda derivada de la expresión (B):
𝐹(𝑡) = 𝑚.𝑤2. 𝑤𝑜. 𝑌. √𝑤𝑜2 + (2. 𝜀. 𝑤)2
(𝑤𝑜2 −𝑤2)2 + (2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜)2. cos(𝑤𝑡 − 𝜃1 − 𝜃2)
La amplitud de la fuerza transmitida (FT) es:
𝐹𝑇 = 𝑚.𝑤2. 𝑤𝑜. 𝑌.√
𝑤𝑜2 + (2. 𝜀. 𝑤)2
(𝑤𝑜2 −𝑤2)2 + (2. 𝜀. 𝑤.𝑤𝑜)2
Y si la dividimos por w0 FT nos queda:
𝐹𝑇 = 𝑘. 𝑌. (𝑤
𝑤𝑜)2. √
1 + (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)
2
(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)
2
Que expresándolo en forma adimensional se puede escribir como:
(D)
Transmisibilidad Rev. 0
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𝐹𝑇𝑘. 𝑌
= (𝑤
𝑤𝑜)2. √
1 + (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2
(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)
2
Esta relación adimensional expresa la fuerza Ft que percibe la masa m ante un
desplazamiento de la base Y. Se aprecia como el desplazamiento de la base resulta en
una fuerza aplicada a m.
Al analizar las expresiones (B) y (D) se puede concluir que la fuerza transmitida a la masa
m es en fase con el desplazamiento de la masa.
0,01
0,1
1
10
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5FT/k
.Y
w/w0
Fuerza transmitida adimensional
C/C0 = 0,01
C/C0 = 0,1
C/C0 = 0,2
C/C0 = 1
√2
Transmisibilidad Rev. 0
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TRANSMISIBILIDAD RELATIVA – INSTRUMENTOS DE MEDICION
Partiendo del caso de transmisibilidad desplazamiento, si se analiza la
coordenada relativa Z (es decir, lo que indica la aguja sobre la carcasa del instrumento,
que representa una medida de lo que se mueve la base), se puede utilizar este sistema
como instrumento para medir la vibración de la base. Este instrumento se llama
Acelerómetro, Velocímetro o Sismómetro según el rango de frecuencia de la vibración que
se busca medir.
El esquema para analizar este sistema es:
De forma análoga a lo planteado en el caso de transmisibilidad desplazamiento
se puede plantear:
𝑥 = 𝑧 + 𝑦
Despejando z:
𝑧 = 𝑥 − 𝑦
La ecuación de movimiento se expresa:
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑧 + 𝑐. �̇� = 0
𝑚. (�̈� + �̈�) + 𝑘. 𝑧 + 𝑐. �̇� = 0
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑧 + 𝑐. �̇� = −𝑚. �̈�
�̈� + 𝑤𝑜2. 𝑧 + 2. ℎ. �̇� = 𝑌.𝑤2. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
Hay que notar que queda la expresión en la coordenada de movimiento relativo
Donde: 𝑌.𝑤2 =𝐹𝑜
𝑚
Por analogía la solución es:
𝑧 = (𝑌.𝑤2
√(𝑤𝑜2 −𝑤2)2 + 4. ℎ2. 𝑤2) . 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 − 𝜑)
m
k
c
z
y=Y.sen(w.t)
Des
x (coordenada absoluta de m)
Coordenada
absoluta de la
base
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𝑧 =(𝑚. 𝑌.𝑤2
𝑘)
√(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2
. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜑)
𝑧 =(𝑌.𝑤2
𝑤𝑜2)
√(1 −𝑤2
𝑤𝑜2)2
+ (2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜)2
. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 𝜃)
Lo que marca la aguja sobre la caja da una medida de la vibración de la superficie.
Representa lo que mide el instrumento.
∴ |𝑇𝑅| =|𝑍|
|𝑌|=
𝑤2
𝑤𝑜2
√(1−𝑤2
𝑤𝑜2)2
+(2.𝜀.𝑤
𝑤𝑜)2
𝑤
𝑤𝑜> 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑧
𝑌= 1 El desplazamiento relativo y el desplazamiento de la base tienen
igual magnitud.
𝑧 = 𝑌 Mido amplitud (resorte blando y masa grande).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Z/Y
w/w0
Relación de desplazamiento relativo
C/C0 = 0,01
C/C0 = 0,25
C/C0 = 0,5
C/C0 = 1
Sismómetro Vibrómetro
Acelerómetro
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→ El instrumento puede ser usado para medir desplazamiento de la base si la
frecuencia de vibración de la base es mayor a tres (3) veces la frecuencia del instrumento.
𝑤
𝑤𝑜→ 0 (
𝑤
𝑤𝑜 Pequeño, 𝜀 pequeño) →
|𝑧|
𝑌≅
𝑤2
𝑤𝑜2 → 𝑧 ≅ 𝑌.
𝑤2
𝑤𝑜2
→ Para frecuencia 𝑤
𝑤𝑜 bajas, la posición relativa 𝑧(𝑡)es proporcional a la aceleración de
la base Y.w0
→ Rango de operación del instrumento como acelerómetro 0 <𝑤
𝑤𝑜< 0,2
𝑤
𝑤𝑜→ 1 → 𝑇𝑅 =
𝑧
𝑌=(𝑤𝑤𝑜)2
2. 𝜀.𝑤𝑤𝑜
→ 𝑧 =1
2. 𝜀. 𝑤𝑜.𝑤. 𝑌
→ Mido con el instrumento velocidad de la base 𝑤. 𝑌
