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Vibrações mecânicas
Justificação da ocorrência
► Sistema mecânico em equilíbrio estável► Introduz-se uma perturbação por exemplo na forma do deslocamento► Liberta-se► Depois disso o sistema tende voltar à sua posição do equilíbrio estável► Neste passo actuam as forças de restituição (forças elásticas das molas, forças de gravidade)► O sistema em geral atinge a sua posição de equilíbrio estável com uma certa velocidade, assim o sistema “ultrapassa” a sua posição de equilíbrio, cria-se um movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação efectua-se em torno da posição de equilíbrio estável
Corpos ou sistema de corpos com 1 grau de liberdade cinemática
Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio representa sempre efeitos indesejáveis
Vibrações amortecidas
Vibrações não-amortecidas
Vibrações livres
O movimento mantém-se apenas devido às forças de restituição, a perturbação que inicia o movimento corresponde a um deslocamento
ou uma velocidade aplicada ao sistema, não há forças exteriores aplicadas ao sistema.
Vibrações forçadas
Há forças exteriores aplicadas ao sistema (e além disso pode haver um deslocamento ou uma velocidade aplicada ao sistema).
Vamos considerar somente forças periódicas.
Devido ao atrito (interno ou externo) o movimento baixa a sua amplitude (definição a seguir), passado algum tempo cessa se for livre,
mantém-se indefinidamente se for forçado.
Efeito do atrito é desprezável, o movimento continua indefinidamente.
Movimento periódico (repetitivo)
Período
Frequência
t
u
T T T T T
Tempo necessário para complementar um ciclo de movimento
T T T T
[ ]1sT1f −=
A unidade s-1 chama-se Hertz
O número de ciclos num segundoHeinrich Rudolf Hertz
1857-1894
Movimento harmónico
Movimento não-periódico
Amplitude
Gráfico descrito pelas funções de seno e coseno
t
u
t
u
Deslocamento máximo no valor
absoluto
maxu
maxu−Os termos período,
frequência e amplitude usam-se também para a força de excitação harmónica, etc.
Molas As forças de restituição são as forças elásticas
estu
Vibrações livres não-amortecidas
mola indeformada de rigidez k
+ massa m na posição
de equilíbrio estável
mg
este kuF =
kmguest =⇒
0u
+ perturbação u0, depois de “retirar” a
causa da perturbação inicia-se o movimento
oscilatório
Equação do movimento
( ) 0uukmgma est =++−
0kuum =+&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
0mkeu 2t =+λ⇒= λ Equação característica
mg
ma( )uukF este +=
na posição geral u>0
continuação do movimento
a
mki1 =λ
mki2 −=λ 0m
kω= ( ) ( )tcosCtsinCu 0201 ω+ω=
0umku =+&& vu =& avu == &&&
makuFe =
Começando doequilíbrio estático
C1 e C2 das condições iniciais (“perturbação”), condições iniciais não podem ser homogéneas, se forem, não há movimento
( ) 200 Cuu0tu =⇒==
( ) 0v0tv ==
( ) ( ) ( ) ( )( )tsinCtcosCvtcosCtsinCu 020100201 ω−ωω=⇒ω+ω=
( ) 0100 Cvv0tv ω=⇒==
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )φ+ω=φω+φω=ω+ωω
= tsinAsintcoscostsinAtcosutsinvu 0u00u0000
0
2
0
020u
0
00
u
0
0u
0 vuA&v
utansinAu&cos
Av
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+=ω
=φ⇒φ=φ=ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω=φ
0
00
vuarctan
mk
0 =ω2
0
020u
vuA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+=
( )φ+ω= tsinA)v(signu 0u0
uumax Au =
maxu−
t0
u
usinA
=φ
Au: amplitude do deslocamento
Φ: ângulo de fase0
2Tωπ
=πω
=2
f 0 f20 π=ω
ω0: frequência natural (circular)
φuA
( )
0upara2
)arctan(
0upara2
)arctan(
1vsign0v
0
0
00
<π
−=−∞=φ
>π
=∞=φ
=⇒=
( ) ( )φ+ωω= tcosvsignAv 000u
( ) ( )φ+ωω−= tsinvsignAa 0020u
Período e fase mantêm-se
0uv AA ω=
20ua AA ω=
1. Estabelecer a equação do movimento2. Alterar do modo que o coeficiente do termo de aceleração equivale a 13. Frequência natural equivale à raiz quadrada do coeficiente do parâmetro de deformação (deslocamento)
Simplificações: mola equivalente
Problemas sobre frequência natural de movimento
Amplitude
1. Resolução usando equações de movimento
Molas equivalentes
Ligação em série
Ligação em paralelo
1k2k
3k
1k 2k
3ku
uk1 uk2
uk3
321eq kkkk ++=
1k
2k
u
11uk
22uk
ukukukF eq2211e ===11uk
1kk
kk
2
eq
1
eq =+⇒
21
eq
k1
k1
1k+
=
eqk
eqk
Pêndulo
Forças de restituição são as forças de gravidade
Molas equivalentes dos elementos elásticos deformáveis
elu
P
eleqeleqe u
PkukFP =⇒==
Outros mecanismos
Forças de restituição de ambos tipos
eqk
2. Resolução usando conservação de energia mecânica
1. Escolher posição de velocidade máxima (posição do equilíbrio estático estável) como nível zero para a energia potencial2. Máxima energia potencial ocorre quando a cinética é nula (velocidade ézero), neste caso o deslocamento é máximo3. Escrever o princípio de igualdade de energia entre estas duas posições
Nota: na posição do deslocamento máximo a velocidade muda o seu sentido, ou seja passa por zero
umax Au =
Amplitude do deslocamento corresponde ao deslocamento máximo
0max0uvmax uAAv ω=ω==
Amplitude da velocidade corresponde à velocidade máxima
Problemas em que é possível dispensar o efeito do peso
Estes casos correspondem aos sistemas em que existem partes flexíveis (molas) cuja deformação é necessária para assegurar o equilíbrio estático estável.
Em outras palavras nestes casos a força elástica (estática) equilibra o peso.No entanto é possível desprezar apenas as componentes directamente
equilibradas.Para ter certeza quais as partes desprezar, é possível escrever:a) A equação do equilíbrio estático (na posição deformada);b) A equação do movimento com as forças elásticas “completas” e com o
efeito de peso e ver a parcela que se anule devido ao equilíbrio estático.
No caso de se fazer esta verificação usando o princípio de conservação de energia, é preciso ter cuidado, porque esta equação envolve quantidades pequenas ao quadrado. Por esta razão o coseno do argumento pequeno épreciso de substituir pelo (1-argumento2/2). A substituição do seno do argumento pequeno mantêm-se como na equação do movimento, ou seja seno do argumento pequeno equivale ao argumento.
Vibrações livres amortecidas
0uu 20 =ω+&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
Recorda-se a equação do movimento de vibração livre não-amortecida
O termo livre significa que não existe força harmónica que excitava este movimento, assim o lado direito da equação equivale a 0 (equação
homogénea)O termo não-amortecida significa que o amortecimento é desprezável, assim
falta o termo da primeira derivada da função variável
Quando se considera amortecimento, este habitualmente é viscoso, ou seja proporcional a velocidade, assim a equação em cima ganha mais um termo
0uumcu 2
0 =ω++ &&&
onde c [N.s/m] é o coeficiente do amortecimento viscoso
Amortecimento
Externo: forças de atrito entre ou corpos
Interno: entre as moléculas que constituem o corpo
►molaindeformada de
rigidez k► amortecedor de coeficiente c
estu
maxu
Equação do movimento
0kucvma =++
0kuucum =++ &&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
0mceu 2
02t =ω+λ+λ⇒= λ Equação característica
ma
kuFe =
na posição geral u>0
continuação do movimento
a
20
2
2,1 m2c
m2c
ω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±−=λ
0uumcu 2
0 =ω++ &&& vu =& avu == &&&
Começando doequilíbrio estático !!!
(não há peso)
cvFa =
0m2c 2
20 >⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−ω
Caso mais comum: amortecimento sub-crítico
Outras designações
0cr m2c ω=Coeficiente de amortecimento crítico
crcc
=ζFactor de amortecimento Damping ratio, muitas vezes em %
( ) 01m2c 22
0
220 >ζ−ω=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−ω ( ) a0
202,1 i1i ω±ζω−=ζ−±ζω−=λ
Outras formas da equação de movimento
0uumcu 2
0cr =ω+ζ+ &&& 0uu2u 2
00 =ω+ζω+ &&&
Raízes da equação característica complexas conjugadas
20a 1 ζ−ω=ω Frequência natural (circular) amortecida
0a ω<ωSolução
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tcosCtsinCeeDeDtu a2a1tti
2ti
10a0a0 ω+ω=+= ζω−ω−ζω−ω+ζω−
Parte periódica (harmónica)Decrescimento de amplitude, envelopes
C1 e C2 das condições iniciais
( ) 200 Cuu0tu =⇒==
( ) 0v0tv ==
( ) ( )( ) ( ) ( )( )tcosCtsinCetsinCtcosCev a2a1t
0a2a1t
a00 ω+ωζω−ω−ωω= ζω−ζω−
( ) 001a201a00 uCCCvv0tv ζω−ω=ζω−ω=⇒==
( ) ( )φ+ω= ζω− tsinvsigneAu a0t
u0
2
a
00020u
000
a0 uvuA&uv
utan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωζω+
+=ζω+ω
=φ
a
0001
uvCωζω+
=
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω+ω
ωζω+
= ζω− tcosutsinuveu a0aa
000t0
( ) ( )000 vsigndevezemusignuse0v ⇒=
tu
0eA ζω−
tu
0eA ζω−−
Amortecimento críticoAmortecimento sub-crítico
1cc
cr
==ζ 0a =ω
( ) ( ) t21
0etCCtu ω−+=Raiz dupla
Amortecimento super-crítico
Raízes reais,distintas, ambas negativas ( )12
02,1 −ζ±ζω−=λ
( ) t1
2
t1
1
20
20 eCeCtu
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −ζ−ζω−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −ζ+ζω−
+=
Construção da equação de movimento
► Não há método alternativo, como nas vibrações livres não-amorteciadas foi possível usar o princípio da conservação de energia, agora com o amortecimento há sempre uma perca de energia, assim épreciso construir a equação do movimento usando as forças de inércia
► Como a equação do movimento de uma vibração é de facto a equação de equilíbrio na direcção do movimento, ou seja não se escrevem as 3
equações como no caso geral, é possível fazer uma simplificação seguinte:
No caso do movimento angular é possível exprimir o momento de inércia do movimento em relação ao
centro de movimento. Ou seja não é preciso relacionar o momento de inércia ao centro de gravidade. Neste caso obviamente o momento
polar de inércia de massa tem que ser igualmente exprimido relativamente ao centro do movimento
angular.
Vibrações forçadas
Recorda-se a equação do movimento de vibração livre amortecida
Vamos considerar somente uma excitação harmónica (existem outras), que forma o lado direito da equação. Assim a equação do movimento corresponde a uma equação diferencial ordinária de 2ª
ordem não-homogénea
Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
0ukucum eqeqeq =++ &&&
Excitação pode ter duas formas:pela força externa harmónica ou pelo movimento de base harmónico
Vibrações forçadas não-amortecidas
( )ffeqeq tsinFukum φ+ω=+&&
makuFe =
( )tF
Excitação pela força externa harmónica
PH uuu +=Solução da equação não-homogéneatem duas partes: homogénea e particular
habitualmente ( )tsinF0 ff ω⇒=φ
tsinFukum feqeq ω=+&&
( ) ( )tcosCtsinCu 0201H ω+ω= Usando a solução da equação característica
( ) ( )tcosDtsinDu f2f1P ω+ω= De acordo com a forma do lado direito da equação do movimento
21 D,DCálculo das constantes
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tsinFtcosDtsinDktcosDtsinDm ff2f1f2f12f ω=ω+ω+ω+ωω−
( ) ( )22f
20
2f
F12 1kF
mF
mkFAD,0D
Ω−=
ω−ω=
ω−===⇒
Solução homogénea chama-se também vibração natural
Solução particular chama-se também vibração forçada
( )tsinAu fFP ω=0
f
ωω
=Ω
Condições iniciais homogéneas
( ) ( ) ( )tsinAtcosCtsinCu fF0201 ω+ω+ω=
0C0u 20 =⇒=
Ω−=ωω
−=⇒=ω+ω⇒= F0
fF1Ff100 AAC0AC0v
( ) ( ) ( )tcosAtsinCtcosCv fFf020010 ωω+ωω−ωω=
( ) ( )( )tsintsinAu 0fF ωΩ−ω=Ω−= FH AA
( )( )t-cosA2A+A+Aenvelope 0fHF2H
2F ωω±=
21 C,C das condições iniciaisCálculo das constantes
Forçada
Natural
Forçada
Natural
Condições iniciais não-homogéneas
( ) ( ) ( )tsinAtcosCtsinCu fF0201 ω+ω+ω=
( ) ( ) ( )tcosAtsinCtcosCv fFf020010 ωω+ωω−ωω=
( ) 020 uCu0tu =⇒==
( )0
Ff010Ff100
AvCvACv0tvωω−
=⇒=ω+ω⇒==
( ) ( ) ( ) ( )( )tsintsinAtsinAvsignu 0fF0u0 ωΩ−ω+φ+ω=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω=φ
0
00
vuarctan
2
0
020u
vuA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+=Como anteriormente Au e Φ
Mantêm-se tambéma análise quando v0=0
0kuum t =+&&
bt uuu += bumkuum &&&& −=+
2fmUF ω≈( ) ( )tsinmUumtsinUu f
2fbfb ωω=−⇒ω= &&
Excitação pelo movimento de base harmónico
Movimento total
( ) ( )ffb tsinUtu φ+ω=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tsinAtsinAtsinAvsign
tsinUAtsinAtsinAvsignuuu
fUt0U0u0
fU0U0u0bt
ω+ωΩ−φ+ω=ω++ωΩ−φ+ω=+=
2Ut 1UAΩ−
=
Assim nas equações anteriores basta substituir 2fmUF ω←
Quando se pretende resolver a componente relativa u
2
2
U 1UAΩ−Ω
=
( ) ( ) ( ) ( )( )tsintsinAtsinAvsignu 0fU0u0 ωΩ−ω+φ+ω=
No entanto quando é preciso resolver o deslocamento total
Ressonância
( )2F 1kFAΩ−
=
( )22
U 1UAΩ−
Ω=
Ω
211Ω−
Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da excitação coincide com a frequência natural
2Ut 1UAΩ−
=
O amortecimento elimina apenas a parte de vibração natural (regime transiente quando as duas partes actuam, ou seja
quando ainda a vibração natural não é desprezável)
A parte forçada fica (regime estacionário)
Vibrações forçadas amortecidas
Neste caso o interesse está no regime estacionário, e muitas vezes examina-se apenas a solução particular em vez de solução completa
Excitação pela força externa harmónica
( ) ( )ffFfnP tsinAsignu φ+ωω−ω=
( ) 2f
222f
2n
2F
cm
FAω+ω−ω
=( )2
n2f
ff m
carctanω−ω
ω=φ
Excitação pelo movimento de base harmónico
22
U 1UAΩ−
Ω=( )tsinAu fUP ω=Parte relativa
( )tsinAu fUtPt ω=Parte total 2Ut 1UAΩ−
=
( ) ( ) ( )de2222
f222
f2n
2F Ru
21k
F
cm
FA =Ωζ+Ω−
=ω+ω−ω
=
( ) 22n
2f
ff 1
2arctanm
carctanΩ−Ωζ
−=ω−ω
ω=φRescrevendo
Deslocamento estático devido que causava a amplitude da força de excitaçãox posição de equilíbrio estático devido a “massa” em torno do que se efectua
a vibração eu
dR Coeficiente de amplificação dinâmica
Ressonância
( )2F 1kFAΩ−
=
( )22
U 1UAΩ−
Ω=
Ω
211Ω−
Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da excitação coincide com a frequência natural
2Ut 1UAΩ−
=
Ocorre no regime não-amortecido