Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
NELINEARNE
OSCILACIJE
Livija CVETIĆANIN
Sadržaj
bull 1 Uvod
bull 2 Strogo nelinearne oscilacije ndash analitičko
rešenje
bull 3 Oscilator sa nelinearnim prigušenjem
bull 4 Analitičke metode rešavanja oscilavanja
rotora
bull 5 Elastični metamaterijali
bull 6 Deterministički haos
Zahtevi savremene
masinogradnje
bull Velika produktivnost (povećana radna brzina)
bull Ekonomičnost (manji utrošak energije i
materijala)
bull Visok kvalitet proizvoda
bull Ispunjenje kriterijuma zaštite radne i životne
sredine
Posledice vibracija
bull Smanjenje radnog
veka mašine
bull Smanjena tačnost
bull Pojava havarija i
lomova
bull Pojava buke
bull -Vibracije kao mera radne sposobnosti
bull -Vibrodijagnostika stanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Sadržaj
bull 1 Uvod
bull 2 Strogo nelinearne oscilacije ndash analitičko
rešenje
bull 3 Oscilator sa nelinearnim prigušenjem
bull 4 Analitičke metode rešavanja oscilavanja
rotora
bull 5 Elastični metamaterijali
bull 6 Deterministički haos
Zahtevi savremene
masinogradnje
bull Velika produktivnost (povećana radna brzina)
bull Ekonomičnost (manji utrošak energije i
materijala)
bull Visok kvalitet proizvoda
bull Ispunjenje kriterijuma zaštite radne i životne
sredine
Posledice vibracija
bull Smanjenje radnog
veka mašine
bull Smanjena tačnost
bull Pojava havarija i
lomova
bull Pojava buke
bull -Vibracije kao mera radne sposobnosti
bull -Vibrodijagnostika stanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Zahtevi savremene
masinogradnje
bull Velika produktivnost (povećana radna brzina)
bull Ekonomičnost (manji utrošak energije i
materijala)
bull Visok kvalitet proizvoda
bull Ispunjenje kriterijuma zaštite radne i životne
sredine
Posledice vibracija
bull Smanjenje radnog
veka mašine
bull Smanjena tačnost
bull Pojava havarija i
lomova
bull Pojava buke
bull -Vibracije kao mera radne sposobnosti
bull -Vibrodijagnostika stanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Posledice vibracija
bull Smanjenje radnog
veka mašine
bull Smanjena tačnost
bull Pojava havarija i
lomova
bull Pojava buke
bull -Vibracije kao mera radne sposobnosti
bull -Vibrodijagnostika stanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
bull -Vibracije kao mera radne sposobnosti
bull -Vibrodijagnostika stanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Otklanjanje vibracija
bull Projektovanjem
bull Konstruisanjem
bull Pravilnom izradom dela
bull Pravilnom montažom
bull Pravilnim rukovanjem mašinom
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Projektovanje i proračun
bull Statički proračun
bull Predvidjanje
korišćenjem linearnog
modela
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Periodično kretanje
Harmonijske oscilacije
02
0 uu
02
0 uu
02
0 uu
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Prigušene oscilacije
bull Prigušenje je malo
bull Prigušenje je veliko
022
0 uuu
022
0 uuu 022
0 uuu
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Prinudni linearni oscilator
bull Rezonanca
bull Podrhtavanje
)cos(2
0 tKuu
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Nelinearnosti
bull Geometrijska nelinearnost
bull Fizička nelinearnost
bull Vrsta materijala
bull Prigušenje suvo trenje viskozno trenje
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Slaba nelinearnost funkcija
pomeranja
bull Primarna rezonanca
)cos(2 32
0 tKuuuu
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Sekundarna rezonanca
bull Subharmonijska
rezonanca
bull Superharmonijska
rezonanca
03
03 03
30
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Višefrekventna pobuda
bull Linearan model
bull Nelinearan model
)cos()cos(2 222111
32
0 tKtKuuuu
)cos()cos(2 2211
32
0 tKtKuuuu
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Slaba nelinearnost funkcija brzine
Samopobudne oscilacije
Van der Polov oscilator)
3
1( 32
0 uuuu
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Prinudni nelinearni oscilator
Uticaj amplitude
prinudne sile
ldquosuzbijanjerdquo
90K
11K
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Prinudni nelinearni oscilator
bull Sinhronizacija
bull Bijenje
0
0
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Strogo nelinearni oscilator
ldquoButerfly Effectrdquo
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Haotično kretanje
bull Edward Lorenz (1961)
- butterfly effect
bull Yoshi Uuda (1961)-(1970)
bull TY Li James A Zorke Period three
implies chaos Amer Math Monthly 82
985 1975
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Haosbull Xαοσ (grčki) ndash praznina prazan prostor
bull Grčka mitologija
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Atraktori
bull Tačkasti atraktor
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Ciklični atraktor
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Haotični atraktor
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
utuuu 250cos303
0100 uu
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
2 51 1 500 50 1 51 22
1
0
1
2Zj251
51Zj1
22
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Bifurkacije
bull Postepene
bull Skokovite -
katastrofalne
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Zaključak
bull Kompleksno dinamičko modeliranje
mašinskog dela
bull Pravilna simulacija
bull Mogućnost predviđanja kretanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Primenljivost teorije
bull Analiza kretanja populacije
bull Istraživanja u oblasti neurologije i reakcija mozga
bull Dijagnostika rada srce
bull Predviđanje oko promene krvnog pritiska
bull Primena u hemiji
bull Nebeska mehanika
bull Akceleratori i proizvodnja nano čestica
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
2 STROGO NELINEARNE
OSCILACIJE ndash
Analitička rešenja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Sadržaj
bull Pojam strogo nelinearnog oscilatora
bull Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
bull Primeri primene na sisteme sa jednim dva
i beskonačno mnogo stepeni slobode
bull Zaključak
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Uvod
bull Oscilator
bull Modeliranje
bull Linearni oscilator (period frekvencija i
amplituda)
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Nelinearni reološki model
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Začetnici teorije nelinearnih
oscilacija
29111879 Petersburg Rusija
- 1151955 Moskva SSSR
Nikolaj Mitrofanovič Krilov Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov
2181909 Nižnji Novgorod
(Gorki) Rusija
1321992 Moskva Rusija
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Polje zajedničkog rada
bull Od 1930 godine rade zajedno na
problemima Nelinearna mehanike i
matematička fizike
bull - metode asimptotske integracije
nelinearnih jednačina koje modeliraju
oscilatorne sisteme
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Šta je bilo novo
bull Umesto da samo dokazuju egzistenciju
rešenja oni su sračunavali rešenja
odn određivali
bull Približna periodična rešenja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Procedure sa ldquomalimrdquo
parametrima
bull Metode za asimptotsko rešavanje
nelinearnih jednačina sa malim
parametrom koji opisuju oscilatorne
procese
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Princip naučnog rada lsquoKievske
školersquobull Globalno oceniti karakter fizičkog
problema
bull Dokazati da je problem rešiv i tada bez
obzira na poteškoće
bull Razraditi adekvatan matematički aparat za
rešavanje problema (tako stižemo do
Davida Hilberta ldquoWir mussen wissen wir
werden wissenrdquo
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Metod Krilov ndash Bogoljubov za
strogo nelinearne oscilatore
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Opšte rešenje
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Približno rešenje za nelinearan
oscilator
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Ograničenje za prvi izvod
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Jednačina oscilovanja u novim
promenljivama
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Osrednjavanje po periodu
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Strogo nelinearan oscilator
poremećen malom linearnom
silom koja zavisi od položaja x
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Amplituda i faza oscilovanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Približno rešenje
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Promenljiva masa
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Promenljiva masa
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
u=0
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Masa raste
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Masa se smanjuje
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Oscilator sa dva stepena
slobode kretanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Glasna žica
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Nove promenljive
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Nelinearna sila u sloju u lamina
propria
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Razdvojena nelinearna
jednačina oscilovanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=012
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela
linija) b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)=010
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
STACIONARNE VIBRACIJE
Dijagrami a) u-t (tanka linija) i x-t (debela linija)
b) X-t i c) y-t za
u(0)=03 i x(0)= 011894
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Robotska ruka
bull Primena u industriji
- Zavarivanje
- Farbanje
- Sečenje
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja
Primena u medicini
bull Hirurgija
Ruka sa iglom
bull Kardiovaskularna hirurgija
bull Hirurgija jetre i pankreasa
bull Laparaskopska hirurgija
Fizički model
Matematički model
Procedura za rešavanje
Jednačina koja je funkcija
pomeranja
Analiza jednačine
2 Oba člana na levoj strani jednačine su
nenegativna pa je fazna trajektorija
Lameova superelipsa u XmdashX faznoj ravni
Postoji jedna ravnotežna tačka X=X=0 ndash
centar
Sledi Rešenje je periodična funkcija x
Približno rešenje
Karakteristična jednačina
Period funkcije od x
Frekvencija funkcije
Jednačina sa vremenskom
funkcijom
Napomena
Približno rešenje za jednu
vrednost n
Frekvencija oscilovanja
Poređenje analitičkog i
numeričkog rešenja
u-x-t dijagram za α=1 u-x-t dijagram za α=12
Poređenje perioda oscilovanja
α PA (s) PN (s) Error
1 4 4 0
11 432415 434737 0537
12 468039 473146 1068
3 Oscilator sa nelinearnim
prigušenjem
Vrste prigušenja
bull Pozitivno prigušenje
ndash Suvo (Kulonovo) trenje
ndash Viskozno prigušenje
ndash Nelinearno prigušenje
bull Negativno prigušenje
Viskozno prigušenje
Linearna sila prigušenja
0)(2 h
xfxx
-Kontakt tela i površine sa tankim filmom
-Telo kroz fluid sa malim Re
Kvadratno prigušenje022 xhxx
AndronovAA VittAA Hajkin SE Teorija kolebanija Nauka Moskva 1981
Kvadratno prigušenje -Telo kroz fluid sa velikim Re
cosax
E-x dijagram za kvadratno i
linearno prigušenje
=05x0=05E0=0125 =1x0=05E0=0125
Quadratic damping =1x0=02E0=002 Quadratic damping =1x0=1E0=05
Suvo Kulonovo trenje
Sila Kulonovog trenja je const
)cos( 00 tau
Suvo i viskozno trenje
0)sgn(2 01
2
0 xxxx
)cos( 00 tax
Sistem sa malim koeficijentom
prigušenja
0)sgn(2 nm
xxxx
0 5 10 15
-08
-06
-04
-02
0
02
04
06
t
x
xA
xN
16971=A Dekrement opadanja amplitude je priblizno isti za viskozno
prigusenje (mn=1) I suvo trenje (mn=0)16971A Amplituda opada brze kod viskoznog prigusenja
nego kod suvog trenja
16971A Prigusenje je brze kod subog trenja nego viskoznog
Sistem sa prigušenjem bliskim
konstantnom suvom trenju
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
t
x
xA xN
Samopobudni mehanički oscilator
0)( 3
20
2
0 xcxcuu
Rejlijeva jednačina
Van der Polova jednačina
Van der Polovo električno kolo
Rejlijeva jednačina
(van der Polova jednačina)
Relaksacione oscilacije
vu u
1
510
v
1
31vvv
v
vv
d
dv 32
Van der Pol 1922
01 c 03 c
Linearna elastičnost Čisto kubna nelinearnost
01 c 03 c
01 c 03 c
4 Analiti~ke metode
odre|ivanja oscilacija rotora
Model vratilo-disk sistema
A B x
y
)()( cczzzzzFz z
)0( 0zz )0( 0zz
iyxz 1i
)1(
)2(
0 0)( zzzFz
)( 4321 tKKKKfz
)3(
)4(
0
))()()()(( 4321 ttKtKtKtKfz )5(
tfz )6(
Generalizacija metode Krilov-Bogoljubov
)(4
1
cct
ffK
t
f
Kz
j
j
j
04
1
j
j
j
KK
f
)8(
)7(
Odnosno
Kj
jK 4321j )9(
kja
Re1 jj Kfa Im2 jj Kfa
Re3
t
f
Ka
j
j Im4
t
f
Ka
j
j
kpKj b
kjkp ab
4321p
jp
)Re(3 jb )Im(4 jb
)( jKindexj
)10(
Kj
jK
4321j
bull Zamenom pribli`nih reenja Kj(t) u (5) dobija
se pribli`no reenje diferencijalne jedna~ine
(1)
bull Proces reavanja osrednjenih jedna~ina praen
je nizom potekoa
bull Proces osrednjavanja ponekad unosi vrlo
veliku greku pa pribli`no reenje va`i samo za
izuzetno male po~etne vrednosti i kratak
vremenski interval
1
0
T
dtT
)(2 bizzzzzz
0)0( z)0( 0zz
)(cn)exp( mtiAz 0
Unutranje priguenje
gde je )exp( 0ziA
2 2A)2(2 2
2
A
Am
0
))()((cn))(exp()( tmttitAz
)(2)( 2tAt )2)((2
)()(
2
2
tA
tAtm
)( dtt
Elipti~ki Krilov Bogoljubov metod
0nc)dnnd sn ns( 2 mmmAAA
dncn sn dnsn 2 22 b
constA 0 const )(cn0 mtzz
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
)(2
)(2
22
22
bxyxyyy
byyxxxx
Runge Kutta numeri~ki metod
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-006
-004
-002
0
002
004
006
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10b
Diferencijalne jednačine oscilovanja
)(2
)()(2
F
Ff
)0( 0 )0( 0
)0( 0 )0( 0
Po~etni uslovi
)11(
)12(
0
100
2
0
2 constK )13(
02
0)(2
f
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
0202
0
2
102
0
2
2
102
constKdfK
dfK
odn
)14(
))(22( 21
2
2
1020
df
KK
2
10
K
)15(
)16(
)0( 0 )0( 0
)(00 t )(00 t
0
)()(
2122 tKK
dt
tdK
)()(
2111 tKK
dt
tdK
Početni uslovi
))(22( 21
2
2
12
df
KK
dt
d
2
1
K
dt
d
)0( 0 )0( 0 )0( 101 KK )0( 202 KK
11101 KKK
pa je
)17(
)()(
02111
tKK
dt
tdK
)()(
02122
tKK
dt
tdK
21202 KKK
)()( 211 FtKK
)()( 212 FtKK
gde je
))22((1
100
2
20
0
1110021
00
1
0
KKK
Kdt
d
)18(
)19(
10
10
2 0012
0
111
K
dt
d
Bernulijeva jednačina
)exp()( 1010 z
0)0( 0)0(
010 K ))((2 21
2 dfK
0
Bezudarni početni uslovi
0 0
2
0
110 dt
Kt
)exp( 100 z
GIROSKOPSKA SILA
22
22 32
g
g
100 30 00 00
0
00
)(dn)(sn mtmtA )(cn mtA
2 2A )2(2 2
2
A
Am
4
42
20
AAK
0A
)(2)(
0
2
g
dt
tdK
202 constKK 10)0( 0 constA
002480m 417741
)002480417741(cn100 t
Metod prvih integrala
Giroskopska sila ne uti~e na amplitudu oscilovanja
0
0 gt
)(cn
)(sn0
0
2
2
t
dtmt
mtg
)(sn)( 22
1 mtgAtK )(2)(
0
1
g
dt
tdK
)()tndn()(1
0
mtmtmtEm
g
0m
)(cn))(exp( 00 mtgtiz
)002480417741(cn))103(exp(10 ttiz
2)(2
2)(2
22
22
xgyxyyy
ygyxxxx
050)0( x 0)0( x
08660)0( y 0)0( y
GIROSKOPSKA SILA
2)(2 zgizzzzz
)3exp(10)0( iz 0)0( z
Runge Kutta numeri~ki metod
10g
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
t
y
10)0(
3)0(
00
00
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-01
-008
-006
-004
-002
0
002
004
006
008
01
x
y
-01 -008 -006 -004 -002 0 002 004 006 008 01-025
-02
-015
-01
-005
0
005
01
015
02
025
x
ynisl1
0
0
ZAKLJU^AK
- Metod prvih integrala ima prednost u
odnosu na metod Krilov Bogoljubov jer
daje ta~nija reenja
-Drugi metod daje reenje i za one
slu~ajeve za koje prvi metod ne daje
dovljno ta~ne rezultate zbog
osrednjavanja
-Nedostatak metode prvih integrala je
potekoa oko integraljenja
2L Cveticanin Analytic approach for the solution of the
complex-valued strong non-linear differential equation of
Duffing type Physica A Vol297 No3-4
pp 348-360 2001
1L Cveticanin Some particular solutions which describe
the motion of the rotor Journal of Sound and Vibration
Vol212 No1 pp173-178 1998
3L Cveticanin Free vibration of a pure-cubic non-linear
Jeffcott rotor Mechanism and Machine Theory accepted for
publication in 2003
5 Elastični metamaterijali i
mogućnost njihove primene u
savremenoj mašinogradnji
BUKANegativni efekti buke
- 30 dB psihički problemi
- 65 dB probleme sa vegetativnim nervnim sistemom
- 90 dB problemi sa sluhom
- 120 dB fizički bol
- 175 dB uzrokuje smrt
Redukcija buke
bull Frekvencije buke koje treba da budu
absorbovane su u čujnom opsegu
čoveka od 100 Hz do 1 kHz
bull Koriste se materijali za akustičku
izolaciju
Transmisioni gubitak
Rezultat
bull Na datoj frekvenciji nivo reducije buke za 5-6 dB ostvaruje se
slojem udvajanjem sloja izolacije
bull Da bi povećao nivo gubitka pri transmisiji za 30 dB izolacioni sloj
mora da se poveća toliko da mu se težina uveća 32-64 puta
Elektromagnetni metamaterijal
bull Farba sa čeličnim kuglicama
- čelične kuglice električno izolovane karbonilom ndash specijalnih dimenzija raspodeljene po dvo-komponentalnoj epoksi farbi
- svaka od ovih mikroskopskih sfera obmotana je kvarcom (silikon dioksidom)
Specijalni kompozit
F-117A
ElektromagnetniOptički
metamaterijal
To je veštački materijal tipa kompozita koji
pri interakciji sa elektromagnetnim talasom
dovodi do absorpcije talasa na određenoj
frekvenciji
Da li je po uzoru na
elektromagnetni
metamaterijal
moguće napraviti novi
materijal za redukciju buke
i vibracija
Motivacija
bull Zahvaljujući analogiji između
elektromagnetnih i akustičkih talasa
bull 1Elektromagnetnioptički metamaterijal
koji zaustavlja elektro-magnetne talase
bull 2 Akustičkielastični metamaterijal koji
zaustavlja akustičke talase i eliminiše
vibracije određenih frekvencija
Osobine metamaterijala
bull elektromagnetini metamaterijali imaju
- negativnu permitivnost i
- negativnu magnetnu permeativnost
što rezultira negativnim indeksom refrakcije
bull Elastični metamaterijal treba da ima
- lsquonegativnu masursquo i
- lsquonegativni modul elastičnostirsquo
Sistem masa-u-masi
Rešenje jednačina
Efektivna masa za Sistem masa-
u-masi
Ekvivalentni model sistemu lsquomasa-u-masirsquo je
jednomaseno telo sa efektivnom masom meff
čije kretanje odgovara m1
Količina kretanja za oba
modela su jednaka
Efektivna masa
Efektivna masa
Diskusija
1 ωltω2 akustički mod
- efektivna masa meff je pozitivna
- Kretanje obeju masa u1 i u2 je u
fazi2 ωgtω2 optički mod
- efektivna masa meff može biti i
pozitivna i negativna
- Kretanje masa u1 i u2 je u suprotnoj
fazi (1800 )
bull Kako napraviti takvu strukturu koja će se
ponašati kao da ime lsquonegativnu masursquo a da
osciluje na stalnoj frekvenciji iznad
rezonantne
Osnovni element
metamaterijala
-sferno jezgro
-laka ljuska za
obmotavanje
-guma ili podesni
anizotropni materijal
(silikon bizmut)
Interakcija jezgra i sredine
-Jezgro osciluje u fazi sa omotačem i
talasom (ωltω2)
-efektivna masa je pozitivna
Talasi u fazi
-Za ωgtω2 jezgro osciluje sa fazom koja je
suprotna od faze talasa i omotača
- Efektivna masa je negativna gustina nanosa
je dovoljno debela
Talasi sa suprotnom fazom
Dvoredi štap od elastičnog
metamaterijala
Model od
metamaterijala u vidu
pločeIzmeđu dve ploče
postavljeni su
absorberi
Odgovarajućim
razmeštajem
elemenata spoljašnja
ploča nema vibracije
na određenoj frek-
venciji
FRF (odnos izlaznog naponskog signala u akcelerometru i
ulaznog napona pobude) u funkciji od frekvencije
Koncept nelinearnog absorbera
Uopštavanje modela
Pobudna sila multiharmonijska
Ateb funkcija
bull Period
bull gde je B - Beta funkcija koja zavisi od α
2
1
1
1B22
T
Nelinearni model
)1()1()(11
2121
2
11
tcatFcauuuukum
0)(1
2112
2
222
uuuukum
Rešenje
)1()1( 21 tBcautAcau
bull odnosno
2
1221
FBmAm
0)(1
2 122
2
BAABkBm
2
1
2
1
1
21
2
22
21
2
22
2122
1 Fm
FAm
mm
mFA
m
mmkAm
02
1
2
1
1
21
1
21
21
1
21
2122
2
mFB
m
mm
mFB
m
mmkBm
bull0
)1()1)(1()2(
1
21
2
2
2
mCm
CFCkm
B
AC
Koncept efektivne mase
22111 umumumeff
Efektivna masa
21
C
mmmeff
1
21
1
2
1
12
22
1
12
22
2
21
Bk
m
Bk
mm
mmmeff
Negativna efektivna masa
11
2
1
2
1
m
m
)1(2 2
122
1
m
Bk
L Cveticanin M Zukovic Negative effective mass in
acoustic metamaterial with nonlinear mass-in-mass
subsystems Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 51 89-104 2017
Akustički metamaterijal -
Jednodimenzionalni lanac
bull
Efektivna masa
Merene (krugovi) i
sračunate (puna linija)
vrednosti u funkciji od
frekvencije
Zaključak
bull Kada nelinearni sistem ima negativnu efektivnu masu frekvencija koja odgovara negativnoj masi predstavlja zaustavnu regiju
bull Ova oblast je najuža za linearni sistem
bull Širina te trake se povećava povćanjem stepena nelinearnosti elastičnog elementa
bull Otuda nelinearni oscilatorni sistem ima prednosti u odnosu na linearni jer je zaustavna oblast frekvencija šira
NOVA ISTRAŽIVANJA
bull Elastični metamaterijal je dokazano da je efikasan za
eliminisanje vibracija na određenoj frekvenciji
bull Da li je moguće da se vibraciona energija metamaterijala
transformiše u električnu energiju
UREĐAJI POGONJENI
MALOM ENERGIJOMbull Mikro-elektro-mehanički sistemi MEMS (senzori
aktuatori)
bull Merni i kontrolni sistemi
bull Male električne komponente i senzori kod
ndash Mašina
ndash Letelica
ndash Električnih postrojenja
ndash Građevinarstvu
bull Električni uređaji malih dimenzija (mobilni i
fiksni)
ndash Bežično napajanje
ndash Kontinualno napajanje (energetski
harvesteri)
bull Napajanje spolja nije moguće
Napajanje baterijama
bull Prednosti
ndash Efikasne
ndash Niska cena
ndash Nedostaci
ndash Ograničen vek trajanja
ndash Zagađivači okoline
bull Hemijski otpad
ZAHTEVI PRI
PROJEKTOVANJU MALIH
IZVORA ENERGIJE
bull Obnovljivost
bull Primena ambijentalne energije
ndash Vazdušna struja
ndash Promena pritiska
ndash Ljudska snaga
ndash Vibracije
ENERGETSKI
HARVESTERI (EH)
bull Uređaji koji transformišu jedan vid
energije u drugi a vrši i skladištenje
energije
ENERGETSKI HARVESTERI
PRIMERI
bull Termalni EH konvertuje toplotnu energiju u mehanički rad
ndash Temperaturne promene uzrokuju kretanje molekula i energija se transformiše
bull Foto-naponski EH konvertuje svetlost u elektricitet na atomskom nivou
ndash Foto-električni efekat materijala absorbujefotone i pomera elektrone koji stvaraju struju
MEHANIČKA U ELEKTRIČNU
ENERGIJUbull Kinetički EH
ndash Kinetička energija kretanja se transformiše u
električnu
bull Vibracioni EH
ndash Mehanička energija vibracija se konvertuje u
električnu energiju
3 TIPA GENERATORAbull Elektromagnetni generator koristi
ndash Elektromagnetna indukcija koja je rezultat relativnog kretanja između provodnika i magneta sa promenljivim fluksom
ndash Pogodan za male masa-opruga konfiguracije
ndash Prednost Nisko-naponski elektricitet i velika izlazna struja
ndash Nedostatak Problemi u spajanju i u saosnosti u elektromagnetskom sistemu sa sub-milimeterskom dimenzijom
ELEKTROSTATIČKI
GENERATOR
bull Elektrostatički generator koristi relativno
kretanje između električno izolovanih
naelektrisanih ploča kondenzatora
bull Rad elektrostatičke sile između ploča daje
energiju koja se skladišti
bull PREDNOST
ndash Gustina energije raste smanjenjem razmaka između
ploča i povećanjem površine ploča kondenzatora
ndash Elektrode daju inicijalno naelektrisanje i višegodišnje
skladišno naelektrisanje
bull NEDOSTACI
ndash Izlazni napon je relativno visok
ndash Snabdevanje i kapacitivnost je limitirana redukcijom
efikasnosti generatora
PIEZOELECTRIČNI
GENERATORI
Piezoelectrični generator konvertuje direktno strukturne vibracije u električnu enerrgiju korišćenjem piezoelektričnog materijala
Piezoelektrični materijal generiše naelektrisanje usled deformisanja Materijal je veštački i od kompozita
bull PREDNOST
bull Jednostavna konstrukcija
ndash Nema zahteva za složenom geometrijom
i brojnim dodatnim elementima
bull Mala veličina
Daje relativno visok izlazni napon i malu struju
PRONALAZAČI PIEZOEFEKTA
bull Pierre i Jacques Curie 1880
Ako se kristalni materijal (topaz kvarc)
pritisnu generiše se električna energija
Na grčkom Piezein - pritisnuti
lsquoINVERZNI PIEZOELECTRIČNI
EFEKATrsquobull Efekat je matematički potvrdio Gabriel Lippman 1881
godine
bull Primena kod piezoelektričnih
ultrasoničnih davača u I svetskom ratu
MATERIJALI ZA PIEZOEFEKAT
bull KRISTALI
ndash Kvarc (silicijum-dioksid)
bull Satovi
bull 1967 Neuchatel Švajcarska
bull Mehanička energija kretanja ruke se
transformiše u električnu energiju
ndash Topaz
ndash Saharoza
ndash hellip
bull Korak može da da električnu struju koja je
dovoljna za 2 sijalice da svetle 1 sekundu
TIPOVI PIEZOELEMENATA
bull ŠIROKI
bull TANKI
bull TRAPEZOIDNI ŠTAP
Zeleno ndash štap
Ljubičasto ndash masa
bull Da bi se to postiglo vibracioni apsorber je
snabdeven piezoelektričnim elementom za
ndash Ograničavanje vibracija i
ndash Harvesting energije
ndash - Originalna struktura je osetljiva na vibracije
ndash - Absorber je element koji ograničava
vibracionu energiju
ndash - Piezoelektrični element harvestuje energiju
Model EH sa metamaterijalom
MATRMATIČKI MODEL
bull V ndash NAPON
bull Cp ndash KAPACITIVNOST
bull Rl - OTPOR
Snaga u EH
DALJA ISTRAŽIVANJA
bull Primena elastičnog metamaterijala za električni
harvester
ndash Podesiti frekventni opseg
ndash Optimizirati odnos između energije skladištenja i
redukcije vibracija
PRIMENA U EH
bull ELEKTROAKUSTIKA MIKRO-ELEKTRO-MEHANIČKI
SISTEMI (MEMS)
PRIMENA U MEDICINI
Implanti
Pejsmejkeri
Više od 20 godina
Zamenjuju srčani mišić -
automatski daje regularne
impulse i kontrakcije
Uređaj u gornjoj desnoj
komori
bull Biomehanika EH Medicinski uređaji za
kontinualni monitoring
PRIMENA U
GRAĐEVINARSTVU
Eko-Energetski Pokrivni Sistem
Pod sa 6 slojeva(plastilni OLED table piezoelektrični slojr ldquopapirni slojrdquo baterija)
Ploče se postave na pešačkom šetalištu
Električna struja za osvetljenje reklamehellip
bull ldquoPametni putevirdquo i mostovi
PRIMENA U SAOBRAĆAJU
bull Senzori ya otkrivanje promena
Vibracije na točkovima voza
PRIMENA NA ZABAVI
bull ldquoPiezoelektrični podrdquo
bull Klub za 3 noći potroši energiju
koja je 150 puta veća nego
jednogodišnja potrošnja
četvoročlane porodice
Reference
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Non-ideal source and energy harvesting Acta Mechanica 228(10) 3369-3379 2017
bull LCveticanin M Zukovic D Cveticanin On the elastic metamaterial with negative effective mass Journal of Sound and Vibration 436 295-309 2018
bull L Cveticanin M Zukovic JM Balthazar Non-ideal energy harvester with piezoelectric coupling in Dynamics of Mechanical Systems with Non-Ideal Excitation Mathematical Engineering Springer 9783319541686 173-219 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Influence of nonlinear subunits on the resonance frequency band gaps of acoustic metamaterial Nonlinear Dynamics 93(3) 2018
bull L Cveticanin M Zukovic D Cveticanin Steady state vibration of the periodically forced and damped pure nonlinear two-degrees-of-freedom oscillator Journal of Theoretical and Applied Mechanics (PTMTS) Vol57 No2 445-460 2019
6 DETERMINISTICKI HAOS
Tacoma Narrows Bridge
1 juli 1940 ndash 7 novembar 1940
Uzroci kolapsa
bull Turbulencija i rezonanca
bull Periodicni vrtlozi I torzione oscilacije
bull Aerodinamicka nestabilnost i samopobudne vibracije
MIT meteorolog
Edward Lorenz
Otac teorije haosa
theory i lsquoleptir efektarsquo
ldquoButterfly Effectrdquo
Naziv efekta je usvojen
po naucnom radu koji
je objavio 1972
Predictability
Does the Flap of a
Butterflys Wings in
Brazil Set Off a Tornado in Texas
Deterministicki haos
bull Xαοσ ndash prazan
prostor
bull Isaac Newton
(1642-1727)
Henri Poincare
(1854-1912) (hellip) si ce joueur bat les
cartes assez longtemps il y aura un grand nombre de permutations successives et lrsquoordre final qui en reacutesultera ne sera plus reacutegi que par le hasard je veux dire que tous les ordres possibles seront eacutegalement probables
POINCAREacute (H) Science et Meacutethode Paris Ernest Flammarion 1908
Da li postoji haos u mozgu
EEG snimak
Neuronov atraktor
Dinamika rada srca
Kontrola haosa
bull 1 Ventrikularna fibrilacija I
odgovarajuca tahikardija koje
izazivaju iznenadnu smrt su
priblizno periodicna kretanja a
ne haoticni proces
bull 2 Za razliku zdravo srce
pokazuje haoticno kretanje
Iznenadna smrt se s toga
moze smatrati kao bifurkacija
iz haosa a ne u haos
Zakljucak
bull Teorija nelinearnih oscilacija I haosa
objasnjavaju neke fenomene u prirodi ali I
u tehnici
bull Manifestacije u realnim sistemima
zahtevaju prosirenje naseg saznanja o
nelinearnim sistemima
bull To ce nam dati mogucnost tacnijeg
predvidjanja