VICERRECTORADO DE PRODUCCIÓN AGRÍCOLA · 2019. 1. 29. · poligonal). POLIGONAL TOPOGRÁFICA: Es una figura geométrica cerrada o abierta, compuesta por ángulos (rumbos o azimut)

MESADIGITALIZADORA

CURSOR

PLANO DEDIGITALIZACIÓN

COMPUTADORA

(PAPEL)

SECCIÓN A MEDIA LADERA

A BK H

DATUM 45

A´

708090

100110120

K´ H´ B´

120

1 10 10

0

90 80 90 80 70

A

KHL

B

L M

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”

VICERRECTORADO DE

PRODUCCIÓN AGRÍCOLA

PROF. RICARDO URRIOLA

Guanare, septiembre de 2005

LA UNIVERSIDAD QUE SIEMBRA

Dibujo topográfico Ricardo Urriola

1

CONTENIDO

Pág. CONTENIDO ...........................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN......................................................................................................................2 TOPOGRAFÍA ..........................................................................................................................4 PLANOS TOPOGRÁFICOS .........................................................................................................4 PLANIMETRÍA .........................................................................................................................4

POLIGONAL TOPOGRÁFICA ..................................................................................................4 RUMBO: ..........................................................................................................................4 AZIMUT:..........................................................................................................................5 DISTANCIA:.....................................................................................................................6 COORDENADAS: ..............................................................................................................6

CÁLCULO DE ÁREAS ............................................................................................................9 MÉTODO DE LA CUADRICULA ...........................................................................................9 MÉTODO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS....................................................................... 10 MÉTODO POR COORDENADAS RECTANGULARES (MÉTODO ANALÍTICO)............................ 11 MÉTODO POR COORDENADAS RECTANGULARES (MÉTODO MNEMOTÉCNICO) ................... 12 MÉTODO CON EL PLANÍMETRO....................................................................................... 13 MÉTODO POR DIGITALIZACIÓN DE LAS COORDENADAS .................................................. 14

ALTIMETRÍA ......................................................................................................................... 17 CURVAS DE NIVEL ............................................................................................................. 18 NIVELACIÓN ..................................................................................................................... 18

COTA DE UN PUNTO ...................................................................................................... 20 EQUIDISTANCIA ENTRE CURVAS DE NIVEL...................................................................... 20 PENDIENTE ................................................................................................................... 25 SENTIDO DE LAS PENDIENTES ....................................................................................... 29 LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE ....................................................................................... 29 DETERMINACIÓN DE CURVAS DE NIVEL .......................................................................... 30 INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL........................................................................... 31

PLANO DE PLANI - ALTIMETRÍA.......................................................................................... 34 DIBUJO ......................................................................................................................... 35 ANOTACIONES............................................................................................................... 35

PERFILES .......................................................................................................................... 37 CLASES DE PERFILES ..................................................................................................... 38 CONSTRUCCIÓN DE PERFILES ........................................................................................ 39 PLANO DE LOS PERFILES................................................................................................ 44

CÁLCULO DE VOLÚMENES ..................................................................................................... 49 CÁLCULO DE VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE LAS ÁREAS MEDIAS ..................................... 49 CÁLCULO DE VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE LOS PRISMOIDES ........................................ 54

REFERENCIAS ....................................................................................................................... 59


2

INTRODUCCIÓN

El dibujo topográfico comprende la elaboración de planos en los cuales se representa la forma y

accidentes de un terreno. Es necesario distinguir entre plano planimétrico o plano simplemente y

plano altimétrico o topográfico propiamente dicho. En el primero de éstos se representan

accidentes naturales y artificiales del paisaje (quebradas, lagos, carreteras, vías férreas, linderos,

entre otros) y en el segundo se incluye, además, el relieve del terreno.

En el dibujo topográfico, además del dibujo de planta, el perfil y las secciones transversales deben

realizarse cálculos gráficos. Por tanto, la precisión en la localización de puntos y líneas sobre el

plano es factor de mucha importancia.

Puesto que la superficie de la tierra es esférica y la superficie sobre la cual se dibuja es plana, no

se puede representar un territorio dado sin alguna distorsión; pero, como las áreas medidas en

topografía son relativamente pequeñas se pueden considerar como planas y, por tanto, representar

sobre un plano construido con proyecciones ortogonales. Así, un punto se puede localizar por sus

dos coordenadas o por un ángulo y una distancia.

Cuando se trata de representar una porción de superficie que por su gran extensión exige controlar

la curvatura terrestre, es preciso el uso de sistemas de representación propios de la cartografía con el fin de controlar las deformaciones que se producen en su desarrollo. En este caso, tales

documentos se conocen con el nombre de mapas. En caso de que no sean necesarias tales transformaciones cartográficas, se denominan planos.

Los planos y mapas pueden dibujarse a mano o empleando sistemas de dibujo asistidos por el

computador (CAD). Los procedimientos manuales requieren de herramientas estándar de dibujo

como escalímetros, transportadores, compases, escuadras y reglas T. En el caso de los sistemas

CAD se emplean computadoras programadas con software especiales. Estos sistemas (CAD) se han

vuelto muy comunes en las oficinas de topografía e ingeniería de todo el mundo.

El dibujo de planos y mapas con sistemas CAD tiene muchas ventajas sobre los métodos manuales

por lo cual está ganando popularidad. Sin embargo, los planos y mapas dibujados con estos

sistemas deben revisarse regularmente usando técnicas manuales. Por estas razones y debido a que los sistemas CAD operan básicamente duplicando procedimientos manuales, aún es importante

aprender los procedimientos básicos del dibujo manual de planos y mapas.


3

El levantamiento topográfico y el dibujo de planos del terreno constituyen la base de todo trabajo de ingeniería, pues la elaboración de un proyecto debe realizarse una vez se tengan los datos y

planos topográficos que representan fielmente todos los accidentes del terreno sobre el cual se va a construir la obra, por lo que es conveniente que todos los estudiantes estén familiarizados con los

métodos utilizados en esta rama del dibujo.


4

TOPOGRAFÍA: Etimológicamente, TOPO, significa “Tierra”, y GRAFOS, “descripción”, por lo

tanto topografía será, la descripción de la tierra, o una parte relativamente pequeña de su

corteza.

Concepto: Topografía es la ciencia que estudia, representa y describe los accidentes de una parte

pequeña de la superficie de la tierra. Tiene como objetivo medir extensiones de terreno de una

extensión limitada de la superficie de la Tierra, tomando los datos necesarios para representar sobre un plano, a escala, su forma y accidentes.

PLANOS TOPOGRÁFICOS: Son representaciones gráficas de porciones de la superficie

terrestre. En ellos se presentan características del terreno como: relieve, linderos de propiedades,

vías de comunicación, áreas, la propiedad de las tierras con fines catastrales, entre otras. También

se les llama “Planos de terreno” o “Planos de deslinde”, o “agrimensura”, y son elaborados con

datos resultantes de levantamientos planimétricos y altimétricos, realizados con unos aparatos

llamados teodolitos, niveles, estaciones totales y GPS.

PLANIMETRÍA La planimetría trata de los métodos para representar, en proyección horizontal, los accidentes del

terreno sobre un plano o mapa, mediante las longitudes del terreno (forma y extensión del terreno:

poligonal).

POLIGONAL TOPOGRÁFICA: Es una figura geométrica cerrada o abierta, compuesta por

ángulos (rumbos o azimut) medidos en los vértices o estaciones y unidos entre sí por los lados o

distancias.

El trazado de las poligonales se realiza mediante uno de los siguientes métodos:

• Rumbos y distancias.

• Azimut y distancias.

• Coordenadas rectangulares planas.

RUMBO: El rumbo de una línea es el ángulo agudo horizontal entre la dirección Norte - Sur y la

línea. El ángulo se mide ya sea desde el Norte o desde el Sur, y hacia el Este (E) o el Oeste (W), y

su valor varía entre 0° y 90°. El cuadrante en que se encuentra se indica comúnmente con la letra

N o la S, precediendo al valor numérico del ángulo, y la letra E o la W, después de dicho valor. Así,


5

la expresión correcta de un rumbo debe incluir letras de cuadrante y un valor angular; por ejemplo: N70°E (Fig. 1).

AZIMUT: Es el ángulo horizontal medido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj,

desde la dirección del Norte Astronómico. Su valor varía entre 0° y 360° y no necesita letras para

identificar el cuadrante (Fig. 2).

Figura 1. Rumbos.

Figura 2. Azimuts.

Como los rumbos y los azimuts se utilizan en tantas operaciones topográficas, es muy útil el

resumen comparativo de sus propiedades (Tabla 1).

Tabla 1. Comparación de rumbos y azimuts.

RUMBOS AZIMUTS

Varían de 0° a 90º. Varían de 0° a 360º.

Se indican con dos letras y un valor numérico. Se indica sólo con un valor numérico.

Se miden en el sentido de las manecillas del reloj y en el sentido opuesto.

Se miden solamente en el sentido de las manecillas del reloj.

Se miden desde el Norte o desde el Sur. Se miden sólo desde el Norte.

N

S

W E

R = N 70° ED

A

C

B

O

OA

R = S 35° EOB

R = S 55° WOC

R = N 30° WOD

N

S

AZ = 70°

D

A

C

B

O

OA

AZ =

330

°

D O

AZ = 235°

CO

AZ =

14

5°

B O


6

DISTANCIA: Es la longitud horizontal de una dirección o tramo cualquiera entre dos puntos o

estaciones hasta donde se produce un cambio de dirección que representa otro tramo o distancia

(Fig. 3).

COORDENADAS: Las coordenadas de un punto P, son las distancias a un sistema de

coordenadas rectangulares planas, con dos líneas perpendiculares entre sí, con el nombre de ejes de coordenadas o, sencillamente, coordenadas (Norte y Este). El eje que va de abajo hacia arriba

recibe el nombre de eje de ordenadas o de las YY’; por nombrárseles siempre por estas letras, y

corresponden a las llamadas latitudes o Coordenadas Norte. Y el eje que va de izquierda a derecha,

se llama eje de abscisas o de las XX’ y corresponden a las llamadas longitudes o Coordenadas Este

(Fig. 4).

Figura 3. Distancias.

Figura 4. Coordenadas rectangulares planas.

Pasemos ahora, a dibujar por medio de los tres métodos mencionados, una poligonal topográfica, según los datos de las Tablas 2, 3 y 4.

Los datos son los siguientes:

A

B

C

DH AB

DH

DH

BCC

A

N

S

W EO

P

X

Y

X'

Y'

EJE DE LAS XX'EJE DE LONGITUDESEJE DE ABCISASCOORDENADAS ESTE

EJE

DE

LAS

YY'

EJE

DE

LATI

TUD

ESEJ

E D

E O

RD

ENAD

ASCO

ORD

ENAD

AS N

ORTE


7

Tabla 2. Rumbos y distancias.

Tabla 3. Azimut y distancias.

Tabla 4. Coordenadas planas.

Esta poligonal está representada en la Figura 5.

PUNTO RUMBO DISTANCIA

A - B NF 15,42 m

B - C N 75º E 18,40 m

C - D S 11° E 24,60 m

D - A N 80º W 22,81 m

PUNTO AZIMUT DISTANCIA

A - B 0º 15,42 m

B - C 75º 18,40 m

C - D 169° 24,60 m

D - A 280º 22,81 m

COORDENADAS PUNTO

ESTE (X) NORTE (Y)

A 0,00 m 3,96 m

B 0,00 m 19,39 m

C 17,77 m 24,15 m

D 22,47 0,00 m


8

Figura 5. Trazado de la poligonal mediante los diferentes métodos de representación.

A

B

C

D0 5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

A

B

C

D

18,40 m

24,60 m

22,81 m

15,4

2 m

N

N

N

S

A

B

C

D

18,40 m

24,60 m

22,81 m

15,4

2 m

AZ = 75° N

N

N

BC

AZ = 169°

C D

AZ = 280° DA

AZ

= 0

° AB

Y N

X

E- Y

- X

R = N 75° EB

C

R =

NF

AB

R =

S 11° EC D

R = N 80° WDA

Rumbos y distancias Azimuts y distancias Coordenadas planas


9

CÁLCULO DE ÁREAS

En topografía, el área de un terreno se considera como la proyección ortogonal de su superficie

sobre un plano horizontal. La determinación del área de un terreno tiene muchas utilidades entre las cuales se pueden mencionar: se calcula con el fin de incluirla en los documentos de propiedad

del terreno, determinación del área de terrenos, lagos, etc., así como en algunos proyectos específicos, o el número de metros cuadrados que deben sembrarse, pavimentarse, etc.

Los métodos para el cálculo del área de un polígono son:

• De la cuadrícula.

• De las figuras geométricas.

• De coordenadas rectangulares (método analítico).

• De coordenadas rectangulares (método mnemotécnico).

• Del planímetro.

• De digitalización de las coordenadas.

MÉTODO DE LA CUADRÍCULA

Se utiliza una cuadrícula dibujada sobre papel transparente la cual, posteriormente, se superpone a

la poligonal del plano para contar el número de cuadros enteros y parciales. Cada cuadro

representa un área conocida, por lo que el área total del terreno será el producto del número total

de cuadros contenidos en el interior de la poligonal, por el área correspondiente en el terreno a la unidad escogida (Fig. 6).

o Cuadros enteros dentro del perímetro: 156

o Cuadros parciales sobre la línea perimetral: 21

o Suma de cuadros: 156 + 21 = 177

o Área de un cuadro: 1,5 m X 1,5 m = 2,25 m2

Área total = 177 X 2,25 m2 = 398,25 m2


10

Figura 6. Cálculo del área por el método de la cuadrícula.

MÉTODO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Se divide el área del terreno en figuras geométricas sencillas (triángulos, rectángulos y trapecios),

se calcula el área de cada uno de ellos, y su suma será el área total del terreno (Fig. 7).

Tanto el método de la cuadrícula como el de las figuras geométricas son de muy poca precisión y sólo son utilizados para conocer aproximadamente el área del terreno.

Figura 7. Cálculo del área por el método de las figuras geométricas.

B

C

D

A

ESCALA = 1: 50

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

67666564636261605958575655

68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

93929190898887868584838281

94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142

149

154153

148147

152

146145

144143

150 151

1,5 m.

1,5 m.

AREA = 1,5 X 1,5 = 2,25 m2

155 156

(2) B

C (3)

D (4)

(1) A

26,8

7 m10,18 m

19,49 m

ESCALA = 1: 50

A 1

A 2


11

Área total = ∑ (A1 + A2) = ½ * 26,87 * 10,18 + ½ * 26,87 * 19,49 = 398,62 m2

MÉTODO DE COORDENADAS RECTANGULARES (MÉTODO ANALÍTICO)

El cálculo del área de polígonos cerrados en los planos topográficos, generalmente se realiza con precisión usando el método de coordenadas rectangulares, tal como sigue:

Datos: coordenadas rectangulares arbitrarias (Tabla 5) referidas a un poste de electricidad del sector en estudio.

Tabla 5. Coordenadas rectangulares para el cálculo del área.

PTO No. ESTE (X) NORTE (Y)

A 1 701,58 m 252,95 m

B 2 701,58 m 268,37 m

C 3 719,36 m 273,13 m

D 4 724,05 m 248,99 m

Formula general:

2 Área = ∑=

n

i

Ni1

)( 11 −+ − ii EE

1N )( 42 EE − = 252,95 ( 701,58 – 724,05 ) = - 5683,79

2N )( 13 EE − = 268,37 ( 719,36 – 701,58 ) = 4771,62

3N )( 24 EE − = 273,13 ( 724,05 – 701,58 ) = 6137,23

4N )( 31 EE − = 248,99 ( 701,58 – 719,36 ) = - 4427,04

Σ = 2 Área = 798,02 2m

Área Total = 2/02,798 = 399,01 2m (siempre se toma el resultado en valor absoluto).


12

A manera de chequeo, se repite la operación en sentido contrario al realizado, es decir, en el sentido antihorario, para cuyo caso, la fórmula será:

2 Área = ∑=

n

i

Ei1

)( 11 −+ − ii NN .

1E )( 42 NN − = 701,58 ( 268,37 – 248,99 ) = 13596,62

2E )( 13 NN − = 701,58 ( 273,13 – 252,95 ) = 14157,88

3E )( 24 NN − = 719,36 ( 248,99 – 268,37 ) = - 13941,19

4E )( 31 NN − = 724,05 ( 252,95 – 273,13 ) = - 14611,33

Σ = 2 Área = - 798,02 2m

Área Total = 2/02,798− = 399,01 2m (siempre se toma el resultado en valor absoluto).

MÉTODO DE COORDENADAS RECTANGULARES (MÉTODO MNEMOTÉCNICO)

La mnemotecnia es el arte de cultivar la memoria mediante ejercicios apropiados o el empleo de

procedimientos científicos para fijar en la memoria datos difíciles de recordar. En este caso la formula general es:

2 Área = 1

1

E

N

2

2

E

N

3

3

E

N

4

4

E

N

1

1

E

N

La ecuación es una forma fácil de recordar, disponiendo las coordenadas norte y este como se indica y repitiendo al final las coordenadas del punto de partida. Se establecen los productos

indicados por las diagonales con flecha, considerando positivos los de línea fina y negativos los de línea gruesa . Luego se determina la suma algebraica de todos los

productos y se divide su valor absoluto por 2 para obtener el área:

2 Área = N1 x E2 + N2 x E3 + N3 x E4 + N4 x E1 – N1 x E4 – N4 x E3 – N3 x E2 – N2 x E1

2 Área = 252,95 x 701,58 + 268,37 x 719,36 + 273,13 x 724,05 + 248,99 x 701,58

- 252,95 x 724,05 - 248,99 x 719,36 - 273,13 x 701,58 - 268,37 x 701,58


13

Área = 2/02,798− = 399,01 m2 (siempre se toma el resultado en valor absoluto).

MÉTODO DEL PLANÍMETRO

El área de terrenos cuyos perímetros son curvos o irregulares se determina, usualmente, empleando un “PLANÍMETRO” (Fig. 8).

Figura 8. Planímetro mecánico: A, brazo polar; B, polo; C, brazo trazador; D, delineador;

E, rueda cuenta revoluciones; F, tambor de medida con nonio - rueda integral; G, nonio.

Un planímetro es un integrador mecánico; mide el área de una figura mediante la obtención de

lecturas en un dispositivo de tambor cilíndrico rodante conectado a un disco, al desplazar (en

sentido horario) una punta delineadora o trazadora sobre el contorno de la figura cuya área se

necesita determinar (Fig. 8 y 9).

Existen dos tipos de planímetros: el mecánico y el electrónico. El planímetro electrónico, trabaja en

forma similar al mecánico, excepto que los resultados aparecen en forma digital en pantalla.

La precisión lograda con el planímetro depende de la habilidad del operador, de la exactitud del

plano trazado, del tipo de papel y de otros factores. Si se trabaja con cuidado la precisión de los resultados puede variar desde 0,5% hasta 1%.

B

A

C DE

F

G


14

Figura 9. Lectura del planímetro y posición correcta del polo, 30°<α <150º (por tanteo).

MÉTODO DE DIGITALIZACIÓN DE LAS COORDENADAS

La poligonal de un terreno trazada en un plano o mapa puede colocarse sobre una mesa digitalizadora en interfaz con una computadora y registrarse rápidamente las coordenadas de sus

vértices (Fig. 10a). También se podría digitalizar directamente en la pantalla del monitor de la

computadora, utilizando para ello un escáner (RASTEADOR o lector de barrido) para transformar al

formato digital la información contenida en el mapa (Fig. 10b).

Con base en el archivo de coordenadas creado, el área puede calcularse fácilmente mediante el uso de diferentes programas de computación que permiten realizar esta operación, como por

ejemplo el Autocad, el ArcView, el Idrisi, el Cartalinx, entre otros.

La determinación de áreas mediante digitalización de mapas se está practicando actualmente en

forma amplia para crear bases de datos para los sistemas de información geográfica.

Los sistemas de información geográfica (SIG) pueden definirse como un sistema de hardware,

software, datos y estructura organizacional para recolectar, almacenar, manipular y analizar espacialmente datos “geo-referenciados” y exhibir la información resultante de esos procesos.

B.T.

B.P. B.P. B.T.

A R E A

α > 30°

α < 150°

α

α Polo

RUEDAINTEGRAL

CUENTAREVOLUC.

RUEDA

NONIO

LECTURA

Rue

da c

uent

a re

v.

7 7 4 8

Rue

da in

tegr

al N

o.Rue

da in

teg.

div

is.

Non

io c

oinc

iden

cia

0

98

7 65

4

21

7

9

80

10


15

(a)

(b)

Figura 10. Métodos empleados para la digitalización de planos y mapas.

MESADIGITALIZADORA

CURSOR

PLANO DEDIGITALIZACIÓN

COMPUTADORA FORMATO ANALÓGICO(PAPEL)

ESCÁNER

SAN MIGUEL

JUAN

CRUZ

PABLO PEREZ

LUIS VARG

AS

SAN MIGUEL

JUAN

CRUZ

PABLO PEREZ

LUIS VARG

AS

PLANO EN FORMATOANALÓGICO (PAPEL)

SAN MIGUEL

JUAN

CRUZ

PABLO PEREZ

LUIS VARG

AS

PLANO ESCANEADODIRECTAMENTE EN EL MONITOR

PLANO DIGITALIZADO

DE LA COMPUTADORA


16

EJERCICIOS:

Con base en los datos presentados en las tablas 6, 7 y 8 trace las correspondientes poligonales.

Tabla 6. Poligonal, escala = 1: 500.

Tabla 7. Poligonal, escala = 1: 10.000.

Lado Rumbos Dist. (m.)

A – B N.F. 32,00

B – C N 45º E 18,00

C – D S 40º E 42,50

D – E S 28º W 42,50

E - A N 38º23’52’’ W 32,40

Lado AZ Dist. (m.)

A – B 43º 420,00

B – C 9º 45’ 300,00

C – D 43º 290,00

D – E 90º 270,00

E - F 180º 1070,00

F - G 219º 16’ 08’’ 566,81

G - A 327º 15’ 15 825,00


17

Tabla 8. Poligonal, escala = 1: 2.500.

ALTIMETRÍA

Altimetría es la parte de la topografía que tiene por objeto estimar las elevaciones de puntos

respecto a una superficie de nivel; el nivel medio de las aguas del mar es la superficie que se toma

como referencia y se le denomina datum. En la práctica, cuando no interesa o no se tiene a la mano algún punto referido al nivel del mar, se puede elegir discrecionalmente.

Si suponemos que cortamos el terreno en una serie de planos horizontales y paralelos entre sí, y a

la misma distancia unos de otros (Fig. 11), estos planos determinan por intersección con él una

línea, la del perímetro de su base, que es la que trasladada al plano de proyección, se llama:

Curva de nivel.

Figura 11. Curvas de nivel.

Coordenadas (m.) Puntos

Este (X) Norte (Y)

A -76,00 0,00

B -23,00 92,00

C -23,00 213,00

D 0,00 314,00

E 85,00 270,00

F 80,00 -22,00

1530

0

15


18

CURVAS DE NIVEL

Una curva de nivel es una línea imaginaria que representa los puntos de la superficie del terreno

que tienen igual altura o cota o elevación respecto a un plano horizontal de referencia que se

designa: DATUM. Estos puntos necesarios nos los proporciona la nivelación. Por las curvas de nivel

conocemos la altimetría del terreno. Refleja la forma exacta de las elevaciones y depresiones, la

proyección a escala del contorno de los campos, el curso de los ríos, pendientes de carreteras y en general, todos los accidentes que el terreno presenta.

NIVELACIÓN

La nivelación es el conjunto de métodos u operaciones que tienen por objeto determinar las

altitudes de los diversos puntos del terreno referidos a un mismo plano horizontal de referencia. A estos puntos se les denomina: puntos de nivelación o puntos de nivel. Estos permiten dibujar las

curvas de nivel (el relieve del terreno).

El método empleado en la nivelación dependerá, lógicamente, de las dimensiones del terreno. Es

común realizarlas con el empleo de los niveles de precisión de burbuja o automáticos y con estaciones totales; pero en lotes pequeños (como para viviendas), es suficiente realizarlo con

reglas y niveles de albañilería o con mangueras de plástico transparente que funcionan como vasos

comunicantes.

En resumen: la nivelación nos proporciona la forma vertical del terreno (elevación y depresión), y

el levantamiento planimétrico la forma horizontal (poligonal). Todo esto nos permite tener una idea

bastante clara y aproximada de sus características, factores que deben ser tomados en

consideración, pues tiene su influencia en el costo, planeamiento y realización de cualquier

proyecto de obra que se desea ejecutar en él.

También conocer el relieve del terreno, nos permite fijar la pendiente óptima en canales y caminos,

y así calcular la cantidad de cortes y rellenos, así como también permite calcular los movimientos

de tierra, en excavación o relleno, necesarios para alcanzar la profundidad o altura de proyectos deseados.

Representación de las formas de un terreno:

Suponiendo que se representa una colina en un plano horizontal (P) (Fig. 12), se puede observar

que no es suficiente con la proyección de las dos dimensiones (largo y ancho) del contorno


19

máximo de su base contenida en el plano Q (Fig. 12-A), que representa el nivel del mar en calma de altura 0,00 m. Es preciso representar también la altura que tienen los accidentes en un

Figura 12. Representación de las formas de un terreno.

terreno, y para ello lo cortamos con otro plano (X) a 15 m, por ejemplo, del plano Q, y la línea

formada por el perímetro de la base al contacto con el plano, la proyectamos igualmente sobre el

plano P (Fig. 12-B).

Con un tercer plano, el R, realizamos otro corte al terreno a 15 m del plano X, y nos resultará otra

línea que igualmente proyectamos sobre P (Fig. 12-C).

Cada una de esas líneas representa el corte del terreno por los sucesivos planos: Q, X y R (curvas

de nivel), proyectándose sobre el plano P donde se va a representar el terreno. Estas cotas serán

positivas por estar sobre el nivel del mar (cotas negativas si están bajo el nivel del mar).

Si interrumpimos cada una de las líneas proyectadas, se anota la distancia que hay entre el plano

base Q y los diferentes planos con los que cortamos el terreno (X y R); como todos los puntos de

la línea proyectada están en el mismo plano, se sabrá la altitud de todos ellos (Fig. 12-D). De esta manera queda representado sobre un plano, el relieve de un terreno en forma de colina.

De igual forma procedemos con el relieve de la Figura 11, compuesta por dos colinas de diferentes

alturas, y vemos que sobre el plano de proyección “P”, una de ellas viene representada por tres

curvas de nivel de cotas: 0,00; 15 y 30; y la otra, por dos curvas de cotas: 0,00 y 15. De esto se

deduce que, cuanto más altura tenga un accidente, respecto a otro y dentro del mismo plano, por

más curvas de nivel estará representado.

0 15 30

A B C D


20

COTA DE UN PUNTO

Es la longitud de la vertical que lo separa de un plano de referencia, es decir, es la altura de los

puntos sobre el plano de referencia. Este plano de referencia es comúnmente el nivel medio del

mar. Por lo tanto, los puntos contenidos en una curva de nivel están a una misma altura del nivel

del mar, pues aquella está contenida en un plano de corte, paralelo al plano de referencia (cuya

cota es cero).

EQUIDISTANCIA ENTRE CURVAS DE NIVEL

(Equi: igual). Se denomina así, a la distancia vertical entre los diversos planos con que se corta

imaginariamente al terreno. Esta distancia es constante, es decir, la misma para cada plano y se

obtiene de la diferencia entre el número que va sobre las curvas de nivel. Por ejemplo, si los planos imaginarios con que se corta al terreno van verticalmente distanciados de 5 en 5 m, la

equidistancia es de 5 m (Fig. 13). En las Figuras 11 y 12, la equidistancia es de 15 m.

Figura 13. Equidistancia entre las curvas de nivel.

Existen casos en los que los números que marcan la cota de cada curva no están en todas y en cada una de ellas, sino solamente en algunas extremas (Fig. 14). En cuyo caso para hallar la

equidistancia, bastará con dividir la diferencia entre los números que marcan la cota de dos curvas, por el número de espacios existentes entre las dos numeradas. Si se quiere determinar la altura de

una curva de nivel al plano de referencia, no habrá más que saber la equidistancia, e ir mas o

menos (según sea altura o depresión) hasta llegar a la curva cuya altura se desea conocer.

25

20

15

10

5


21

Figura 14. Cálculo de la equidistancia entre las curvas de nivel.

En al Figura 14:

100 – 50 = 50 m.

5 espacios: a, b, c, d y e Equidistancia = 10 m.

50/5 = 10 m.

EJEMPLOS:

1) Hallar la cota del punto A, dadas las curvas del nivel de la Figura 15.

Figura 15. Cota de un punto sobre una curva de nivel.

Solución: Por encontrarse sobre la curva de cota 40 m, el punto “A” tendrá la misma cota de esa

curva, es decir, 40 m sobre el nivel del mar.

2) Hallar la cota del punto “P” de la Figura 16.

10 20 30 40 50 60

A

50 d c b a 100e


22

Figura 16. Cota de un punto P.

Solución:

Sólo observando la Figura 16, sabemos ya que su cota es mayor de 20 m y menor de 30 m, por

estar el punto “P” entre las curvas 20 y 30.

Para ello se traza una recta CD que pase por “P” y sea aproximadamente perpendicular a las

tangentes de las curvas de cota 30 y 20 (Fig. 17); se mide la longitud de esa recta, igual a 22 m y la distancia de “P” a “C” es igual a 7 m. Como la equidistancia entre esas dos curvas es de 10 m

(30 – 20), se establece la siguiente proporción según la Figura 18:

Figura 17. Cota de un punto P – trazado de la recta CD.

5040

3020

P

Escala = 1: 2.500

5040

3020

P

Escala = 1: 2.500

C

D


23

Figura 18. Cálculo de la cota de un punto, partiendo de la curva de nivel menor (20 m).

Si en 22 m de distancia horizontal (en el plano) ___hay 10 m de desnivel en el terreno (30 – 20).

en 7 m de distancia horizontal (en el plano) ______________________ Y

Y = 22

107x = 3,18 m.

El punto “P” se encuentra a 3,18 m de la curva de nivel “20”. Sumando esta cantidad a 3,18 m,

tendremos la cota de “P”, que sería igual a 20 + 3,18 = 23,18 m.

Como está por encima de la curva 20, sumamos. Si en vez de considerar la distancia PC, que lo

separa de la curva 20, se hubiera considerado la distancia PD, después de establecer la misma

proporción, se debe restar de 30 (Fig. 19).

C P´ D´

P

D

22 m.Y

10 m

.

20 m.

30 m.

7 m.

(30

- 20

)


24

Figura 19. Cálculo de la cota de un punto, partiendo de la curva de nivel mayor (30 m).

Si en 22 m de distancia horizontal (en el plano) ___hay 10 m de desnivel en el terreno (30 – 20).

en 15 m de distancia horizontal (en el plano) ____________ Y

Y = 22

1015x = 6,82 m.

El punto “P” se encuentra a 6,82 m por debajo de la curva de nivel “30”. Restando esta cantidad a

6,82 m, tendremos la cota de “P”, que sería igual a 30 – 6,82 = 23,18 m.

3) Señalar en el plano un punto de cota dada: (es el problema inverso a lo estudiado

anteriormente) (Fig. 20).

Figura 20. Señalar en el plano un punto de cota dada.

160140

120100

K

Escala = 1: 500

BA

C´ P´ D

P10 m

.

Y

15 m.

22 m.

20 m.

30 m.

(30

- 20

)

C


25

Solución:

En la Figura 20, señale un punto K que tenga de cota 128 m.

Se traza una línea AB, sensiblemente perpendicular a las tangentes de las curvas de cota 120 y

140, y se mide la longitud AB = 6 m.

Figura 21. Ubicar un punto de cota conocida.

Razonando (Fig. 21):

Si en 6 m de distancia horizontal (en el plano)___hay 20 m de desnivel en el terreno (140 – 120).

X ____________ en 8 m de desnivel en el terreno (128 – 120).

X = 20

86x = 2,40 m.

Señalamos a 2,4 m de A, el punto K, cuya cota será de 128 m.

PENDIENTE

Es la inclinación de una línea, superficie de terreno o plano con respecto a otro plano o línea de

comparación horizontal. Equivale a la tangente trigonométrica del ángulo (α ) que forma la recta

con el plano horizontal (Fig. 22).

A B´

K

B

20 m

.

8 m

.

6 m.

120 m.

140 m.

X

(140

- 1

20)

(128

- 1

20)

128 m.


26

Figura 22. Pendiente de una línea con respecto de un plano horizontal H.

Pendiente = horizontaloyección

alturadeDiferencia

_Pr

__ = tg α

Figura 23. Relación para el cálculo de la pendiente.

De acuerdo a la Figura 23:

PendienteB

A = tg α = B

A

B

A

DH

H∆ =

horizontalDist

Desnivel

_. =

horizontalDist

AdeCotaBdeCota

_.

)____( −

La pendiente puede expresarse de varias maneras a saber:

A

B

B'DH (Dits. Horizontal)A

B

H (Desnivel)ABPendiente

Cota de B

Cota de A

α

B

B1

α

A Proy. horizontal

diferenciade

altura


27

Por la relación entre el desnivel y su proyección horizontal (Fig. 24).

Figura 24. Relación de pendiente 2 : 3.

Por ejemplo: pendiente 2 : 3 (dos es a tres) significa que para subir 2 unidades se necesitan 3

unidades de distancia horizontal. Se usa en movimientos de tierra, taludes, techos, etc.

Por el porcentaje

En este caso la expresión de las unidades de desnivel corresponde a 100 unidades de distancia

horizontal. Por ejemplo, una pendiente de 15 % significa que cada 15 unidades de altura o desnivel

corresponden 100 unidades de distancia horizontal (Fig. 25).

Figura 25. Pendiente en porcentaje.

En ciertas ocasiones se usa la misma relación anterior, pero expresada por cada mil unidades. Por

ejemplo una pendiente de 15‰ significa que cada 15 unidades de altura o desnivel corresponden 1000 unidades de distancia horizontal. Una pendiente de 15% es igual a una de 150‰, también

se tiene como ejemplo: Tangente 45º = 1 : 1 = 100%.

Por la separación de las curvas se deducen las pendientes, si son suaves o pronunciadas, según las

curvas estén más o menos separadas respectivamente.

Pendie

nte 2 : 3

3

2

100

15

Pendiente15 %


28

Recordemos que la proyección ortogonal de una recta oblicua (Fig. 26), a un plano P, será de magnitud más pequeña, cuanto más perpendicular sea a ese plano de proyección (Fig. 26 - a, b y

c). O sea a mayor pendiente, menor proyección, más juntas estarán las curvas de nivel (Fig. 26 - c).

Figura 26. Diferentes pendientes de una línea.

Observemos los puntos D, E y F de la Figura 27 (a la derecha de la prominencia), por la poca

separación entre ellos significa que la pendiente es bastante fuerte. En cambio entre los puntos A, B y C (a la izquierda de la prominencia), observamos que la separación entre los puntos A y B es

mayor que entre los puntos B y C, por tanto es más sueva la pendiente entre A y B que entre B y

C.

Las curvas más próximas indican pendientes fuertes, y tanto menos fuerte será una pendiente cuanto más distancia exista entre las curvas, pues estas son las que marcan la proyección de la

pendiente.

Figura 27. Pendientes suaves y pendientes fuertes.

Figura 28. Sentido de las pendientes.

P

A´ B´ C´ D´ E´ F´

A

B

C D

E

F

B

100

90

80

70

60

40

50

C

E

F

D

A

P

a

A' B'

A

B

P

B' C'

C

b

P

D' E'

E

c

B

D


29

SENTIDO DE LAS PENDIENTES

Cuando nos trasladamos de un punto a otro del plano, atravesando curvas de mayor o menor cota,

subimos (dirección AB) o bajamos (dirección CD) (Fig. 28). Dependiendo del sentido, la pendiente

puede ser positiva (dirección AB) o negativa (dirección CD) según se aleje o se acerque al plano

horizontal de referencia (Fig.29). Será positiva cuando la cota del extremo de la recta sea mayor

que la cota del origen (sentido ascendente) y será negativa cuando suceda lo inverso, es decir, la cota del extremo menor que la del origen (sentido descendente).

Figura 29. Sentido positivo y negativo de las pendientes.

Si nos trasladamos en dirección más o menos paralela a dos curvas de nivel, andamos por caminos

horizontales, sin pendientes (dirección EF, Fig. 28).

LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE

Si desde lo alto de una colina se deja rodar una pelota, es indudable que ésta se dirigirá al llano

siguiendo la pendiente más fuerte, es decir, la que más se acerca a la vertical. A la línea que

seguirá esta pelota se la llama: línea de máxima pendiente. En la Figura 30-a, la línea de máxima

pendiente seria la A´B y en la Figura 30-b, seria la AĆ.

En el plano esta línea se halla al unir los puntos más cercanos entre sí, situados sobre las curvas de nivel entre los cuales se quiere determinar la línea de mayor pendiente.

Figura 30. Línea de máxima pendiente.

70

C

B

A

A

80

D

60

(a) (b)

A´ D

CB

160150140

130

120

110

Sentido positivo(ascendente)

Sentido negativo(descendente)

A D

B C


30

En la Figura 30-b, la línea de mayor pendiente, no será ni la AB, ni la AD, sino la AC, que es la línea de menor longitud de cuantas puedan trazarse.

DETERMINACIÓN DE CURVAS DE NIVEL

Los puntos de nivelación van referidos directa o indirectamente a la poligonal base del terreno, para poder determinar la posición exacta del punto de nivelación en el terreno y dibujarlo. La

nivelación se realiza generalmente sobre la base de una cuadrícula donde la separación de las

líneas paralelas se mantienen constantes y con una magnitud que varía en función de los accidentes que representa el relieve del terreno, del tamaño del terreno, fin que se persigue con la

nivelación, precisión requerida y disponibilidad económica del propietario. Pero, generalmente se usa una separación de 1, 2, 10, 20, 50 ó 100 m.

Cada intersección de las líneas de la cuadrícula representa un punto del terreno y del lado derecho

va anotada la cota de dicho punto (Fig. 31).

Figura 31. Cuadrícula con una separación entre sus líneas de 5 m, escala = 1: 250.

Cuando se procede a unir con línea sinuosa, todos los puntos que tengan una misma cota, esto

determina las curvas de nivel del terreno.

Cuando los puntos buscados de una curva de nivel no aparecen en las intersecciones de la

cuadrícula, sino entre ellos, es necesario: “interpolar” (significa: entre polos o puntos).

+ 2,00+ 1,80+ 0,90- 0,70 + 4,00

+ 4,60 + 4,90+ 3,40+ 2,40+ 1,10- 0,90

- 0,60

0,00 + 0,50

+ 0,70 + 2,20

+ 1,50 + 2,00

+ 2,80 + 3,80

+ 2,60 + 2,40

+ 2,70

+ 4,90

1

+ 4,60

Punto C-5 del terreno de cota + 4,60 m.

2 3 4 5 6

A

B

C

D


31

Por ejemplo, si se desea buscar entre esos dos puntos dados: punto A (cota + 2,00) y punto B (cota + 4,00), el punto P de cota + 3,50 (Fig. 32).

Figura 32. Ubicación de la cota de una curva de nivel.

INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL

Consiste en determinar, analítica o gráficamente, puntos para una determinada curva de nivel,

basándose en otros puntos obtenidos por la nivelación.

Por ejemplo, en la Figura 32 el punto de cota 3,50 m, fue hallado gráficamente de la siguiente

manera: el punto de la izquierda (A) es + 2,00, y el de la derecha (B) es de + 4,00. La separación entre A y B es de 5 m.

Si se está buscando el punto “P” de cota + 3,50 es suficiente con dividir esa separación en cuatro

partes iguales de 0,50 m c/u. Quiere decir que “P” estará más cerca del punto B (+ 4,00) que del

punto A (+2,00).

Analíticamente sería así (Fig. 33):

Figura 33. Interpolación de curvas de nivel.

A5 m.

B

+ 2,00 + 4,00

A0,50

B

+ 2,00 + 4,00+ 3,50

0,50 0,50 0,50P

A

X

B

+ 2,00 + 4,00+ 3,50

5 - X

P

5 m.

2,00

3,50

- 2

,00

2,00

4,00

- 2

,00

4,00

Nivel medio del Mar

Proyección Horizontal delos ptos. A, B y P (aprox.)

Proyección Vertical delos ptos. A, B y P


32

Aplicando las relaciones entre los lados de triángulos semejantes, podemos obtener que:

Si 5 m es _________ a [(+4,00) – (+2,00)]

X m es _________ a [(+3,50) – (+2,00)]

X = [)00,200,4(

)00,250,3(

−− ] 5 X = [

00,2

50,1 ] 5 X = 3,75 m.

Esto quiere decir que el punto “P”, de cota +3,50 está a 3,75 m del punta “A” y a 1,25 m de “B”.

La fórmula enmarcada, se puede aplicar para cualquier punto que se desea buscar entre dos

puntos dados, resumiéndola de la siguiente manera:

X = [)(

)(

AB

AP

−− ] DH AB ← (Fórmula para interpolación).

donde: X = distancia horizontal entre el punto dado de menor cota y el punto buscado (separación

horizontal entre A y P).

P = Cota del punto buscado.

A = Punto dado de menor cota.

B = Punto dado de mayor cota.

DH AB = Distancia horizontal entre los puntos de intersección de la cuadrícula

(separación horizontal entre A y B).

Calculemos ahora las curvas de nivelación correspondientes al terreno modelo, cuya poligonal está

dibujada en la Figura 5, y cuya nivelación fue calculada con base en una cuadrícula, tomando como

referencia la cota del BM-12, de cota 0,00 con cuadrícula equidistante a 3 m. Las cotas de las

intersecciones son las mostradas en la Figura 34.


33

Figura 34. Cotas de las intersecciones de la nivelación.

Ahora bien, sobre este terreno nos interesa tener curvas de nivel con intervalos de 50 cm. Para ello, localizamos puntos de cotas: 14,50; 15,00; 15,50; 16,00, 16,50; 17,00; 17,50 y 18,00; unos aparecerán directamente en las intersecciones de la cuadrícula y otros los conseguiremos por

interpolación. Por último, se unen con líneas sinuosas los puntos que tengan la misma altura para

formar las líneas a nivel del terreno (Fig. 35).

A

B

D

C14,50 15,20 15,70 15,90 17,40 18,00

17,40 18,00

18,2018,3018,0017,0016,00

15,3014,7014,30

14,00

14,30

14,50

14,80

14,20

14,10 14,30 16,00 16,30 17,15 18,10 18,00 17,50

15,20 16,20 16,60 17,20 18,00 18,00 17,20

15,30

15,00

14,60

14,50 14,90

15,00

15,50

16,30 16,50

16,20

15,50

15,60 17,40

17,40

17,60

17,30 18,10

18,00

18,20

18,10 18,20

18,20

18,10

18,20 17,60

17,40

17,50

18,00

A B C D E F G H I J1

2

3

4

5

6

7

8

9


34

Figura 35. Representación de las curvas de nivel.

PLANO DE PLANI - ALTIMETRÍA

Constituye el plano base para todo proyecto y debe contener fundamentalmente los siguientes

datos (Fig. 36):

A

B

D

C14,50 15,70 15,90 17,40 18,00

17,40 18,00

18,2018,3018,0017,0016,00

15,3014,7014,30

14,00

14,30

14,50

14,80

14,20

14,10 14,30 16,00 16,30 17,15 18,10 18,00 17,50

15,20 16,20 16,60 17,20 18,00 18,00 17,20

15,30

15,00

14,60

14,50 14,90

15,00

15,50

16,30 16,50

16,20

15,50

15,60 17,40

17,40

17,60

17,30 18,10

18,00

18,20

18,10 18,20

18,20

18,10

18,20 17,60

17,40

17,50

18,00

A B C D E F G H I J1

2

3

4

5

6

7

8

9

14,5

0

15,0

0

15,5

0

16,0

0

16,5

0

17,00

17,50

18,00

17,50

17,5

0

18,00


35

• La planimetría que corresponde a los linderos del terreno.

• La altimetría que corresponde a las curvas de nivel del terreno.

DIBUJO

• La escala puede variar, según el tamaño del terreno, 1:1000; 1:500; etc.

• Linderos (dibujo de la planimetría del terreno).

• Dibujo de la cuadrícula de coordenadas completa, solamente los cruces de la cuadrícula, o sólo

los extremos de la cuadrícula en el borde de la hoja, señalando el valor de las coordenadas.

• Dibujo de las curvas de nivel con intervalos de 50 cm. Se dibujan con línea llena fina y cada cinco líneas generalmente, se dibujan con líneas más gruesa (estas reciben el nombre de curvas

directoras); a intervalos regulares se marca la altura o elevación de las curvas en metros, respecto al nivel medio del mar.

• Indicación de caminos, calles, avenidas, ríos, cañadas, sitios anegados o anegadizos, etc., de

acuerdo con la simbología de cada uno de estos elementos.

• Indicar el símbolo de orientación del Norte (el Norte magnético).

• Croquis de ubicación relativa.

ANOTACIONES

• Indicaciones de las coordenadas de los vértices de la poligonal y en un cuadro se anota la

relación de vértices o/y poligonal.

• En un cuadro se anota la relación de superficie (según título - mensura).

• Indicación de los cortes del terreno (perfiles).

• Cotas del levantamiento o sus correspondientes curvas de nivel.

• Nombre de los dueños de las propiedades circundantes.

• Título, ubicación, propietario, escala, fecha.

• Referencia al sistema de coordenadas planas establecido.

• Leyenda de la simbología representada en el dibujo.


36

Figura 36. Plano de plani – altimetría.

A

B

D

C

14,50

N - 250

N - 255

N - 260

N - 265

N - 270

N - 275

E - 700

UBICACION:

PROPIETARIO:

LEVANTAMIENTO PLANI - ALTIMETRICO

PARCELA No. 23

OBSERVACIONES: PROYECTO:

CALCULADO:

DIBUJADO:

APROBADO:

FECHA: 5/07/2004

ESCALA:

TLAMANINA:

1

COORDENADASVERTICE

1: 50

NORTE ESTE

A

B

C

D

252,95 701,58

268,37 701,58

273,13 719,36

248,99 724,05

AREA SEGUN DOCUMENTO: 396,15 m2

AREA SEGUN MENSURA 399,01 m2

DIFERENCIA ( - ): 2,86 m2

RELACION DE SUPERFICIE

GUARDIA NACIONAL

No.41 DE LA

DESTACAMENTO PANAMERICA

ASERRADERO

POLARDISTRIBUIDORA

BARRIO UNION

HACIA GUANARE

HACIA ACARIGUA

E - 705 E - 710 E - 715 E - 720 E - 725

CROQUIS DE UBICACION:1 1´

14,5

0

15,0

0

15,5

0

16,0

0

16,5

0

17,00

17,50

18,00

17,50

17,5

0

18,00


37

PERFILES

Por no ser suficiente el trazado de las curvas de nivel, basándonos en ellas, es necesario dibujar los perfiles del terreno.

Se llama perfil, a la intersección producida en el terreno por un plano vertical, y que no es más que una sección o corte (Fig. 37), que puede ser en forma recta o quebrada. Representa el contorno

vertical de un corte acotado del terreno.

Esto nos permite una mejor visualización del relieve del terreno a lo largo de la línea de corte.

Figura 37. Perfil del terreno.

El perfil es uno de los dibujos más utilizados por los ingenieros para proyectos de construcción de carreteras, acueductos, ferrocarriles, cloacas, canales (con pendientes óptimas), para cálculo de los

movimientos de tierra por excavación y relleno, escogencia del nivel de explanación en la

construcción de edificios, etc., en función de la rasante.

Rasante: Es la inclinación de una línea que representa el perfil del eje de alguna construcción,

como una carretera, vía férrea, alcantarillado, canal, etc., y sirve para determinar los espesores de

corte o relleno del terreno.

20406080100120

204060

80A B

C

C

4060

A100120

80

20

4060

80B

20

140

120

100

80

60

40

20

PE

RF

IL


38

CLASES DE PERFILES

1. Dependiendo del sentido como es cortado el terreno, el perfil puede ser (Fig. 38):

• Longitudinal: si es paralelo al largo del terreno, y

• Transversal: si es perpendicular al longitudinal.

Figura 38. Clases de perfiles.

(en el dibujo de todo perfil, deben considerarse dos distancias: la horizontal y la vertical) (Fig. 37).

2. Dependiendo de la escala que se desea usar en las citadas distancias, el perfil puede ser:

• NORMAL: si la escala utilizada para las distancias son las mismas del plano (Ev = Eh= E).

• NATURAL AMPLIADO: si la escala utilizada para las distancias son mayores que las del

plano (Ev = Eh > E).

• NATURAL REDUCIDO: si la escala utilizada para las distancias son menores que las del plano (Ev = Eh < E).

• REALZADO: si la escala utilizada para la distancia vertical es mayor que para la distancia

horizontal (Ev > Eh) (generalmente Ev es 10 veces mayor que Eh). Esta es la más

Perfil longitudinal


39

empleada, porque al destacarse las diferencias del nivel del terreno, se facilita el establecimiento de rasantes.

• REBAJADO: si la escala utilizada para la distancia horizontal es mayor que para la distancia

vertical (Eh > Ev). Tiene empleo justificado cuando la equidistancia es muy pequeña y se necesita apreciar claramente las diferencias de nivel.

• COMPUESTO (DE ITINERARIO): cuando en el mismo dibujo se levanta el perfil de varias

direcciones del terreno, que entre sí forman ángulo. Esta última clase de perfil puede

combinarse con otros, originando un: perfil compuesto normal, o compuesto reducido, o

compuesto realzado, etc.

CONSTRUCCIÓN DE PERFILES

Un perfil se puede levantar sobre el plano o sobre el terreno. Puede dibujarse sobre papel transparente, o milimetrado para evitar errores y ahorrar mediciones.

Ejemplo 1: Queremos construir un perfil normal de la dirección AB, en el plano de la Figura 39, cuya escala es de 1:5.000 y la equidistancia entre sus curvas es de 10 m.

Figura 39. Construcción de perfil (ejemplo 1).

Procedimiento:

Se dibuja la recta AB y los puntos C, D, E, F, G, H e I, que corresponden a la intersección de la

dirección AB con las curvas de nivel del terreno (Fig. 40).

650

660 67

0 680

660

670

680

690

A

B

Escala = 1: 5.000Equid. = 10 m.


40

Figura 40. Trazado de la recta AB.

Trazamos una línea A’B’ paralela a AB (Fig. 41), a esto lo llamamos línea de referencia o DATUM,

que es la cota del plano horizontal como referencia para relacionar las demás cotas del perfil. Esta

será menor que la cota más baja del terreno, para evitar el uso de cotas negativas.

Figura 41. Procedimiento para el trazado del perfil entre los puntos AB.

650

660

670

680

66067

0680

690

A BC D E F G H I

650

660

670

680

66067

0680

690

A BC D E F G H I

K L M N O P QJ R

690680670660650

DATUM 605

C´ D´ E´ F´ G´ H´ IÁ´ B´

caña

da

Escala Horizontal= Escala Vertical = 1: 5.000

Equid. = 10 m.


41

Sobre ella y por cada uno de los puntos citados, levantamos perpendiculares: A’J, C’K, D’L, E’M, F’N, G’O, H’P, I’Q y B’R.

Trazamos paralelas a A’B’ a igual distancia unas de otras a la equidistancia natural reducida a la

escala del plano. Como la equidistancia entre las cuervas es de 10 m y la escala del plano es

1:5.000,

M = VG

VR → VG =

M

VR =

000.5

10m = 0,002 m = 0,2 cm.

Numeramos estas paralelas de abajo a arriba. Quiere decir que la curva de menor cota es la que

estará más cerca de la línea A’B’ cuya cota es 605 (en el plano la curva de menor cota sobre la que pasa la línea AB es la 650; es con este número con la que empezaremos a numerar la 1ra. paralela

y con 660, 670, etc., las demás).

La intersección de la distancia vertical, con las líneas horizontales proporcionará los puntos que

más tarde serán unidos para formar el perfil del terreno (Fig. 41).

NOTA: en todo perfil debe consignarse: su clase, parte o puntos del plano que abarca, plano de

referencia, escala vertical, escala horizontal, y si corta puntos característicos (poblaciones, ríos, carreteras, vías férreas, etc.), y se debe colocar fuera del dibujo, señalado por una vertical. Todo

esto, lo veremos más adelante en el plano del perfil del terreno – modelo.

Ejemplo 2: Queremos construir un perfil compuesto o de itinerario de las direcciones indicadas en

el plano de la Figura 42, cuya escala es 1:5.000 y la equidistancia entre sus curvas es de 10 m.

Figura 42. Construcción de perfil (ejemplo 2).

890 900

890

880

870860

850

840

E

F

G

H

Escala = 1: 5.000Equid. = 10 m.


42

Procedimiento:

La línea quebrada EFGH, que une los puntos entre los cuales se quiere levantar el perfil, se

rectifica, y sobre ella se construye el perfil.

Esta línea tendrá una longitud igual a la suma de los diferentes segmentos que componen la

quebrada, y en ella se marcarán los puntos donde haya cambios de dirección (Fig. 43).

El resto del procedimiento es igual al problema anterior.

El dibujo de los tres perfiles con la misma línea de referencia (DATUM) de cota 790, ahorra tiempo

y se evitan errores en las mediciones (Fig. 43).

Figura 43. Perfil compuesto o de itinerario.

Ejemplo 3: En el plano de la Figura 44, se desea saber si desde el punto “A” se ve o no el punto

“B”, y si desde el punto “K” se ve o no el punto “H”.

Procedimiento:

Se empieza por construir el perfil de la dirección AB del plano (Fig. 45). Una vez construido y

situado los puntos: A, K, H y B, se unen primero A y B para ver si esta recta no corta punto alguno del perfil, como puede verse la recta AB corta al perfil, interponiéndose la zona LM, que oculta al

punto“B” de “A”.

880870860850840

DATUM 790

FÉ´ H´

Escala Horizontal= Escala Vertical = 1: 5.000

Equid. = 10 m.

890

G´

cam

ino

cam

ino


43

Figura 44. Trazado de perfil (ejemplo 3).

Sin embargo, posteriormente uniendo con una recta “K” y “H”, observamos que dicha recta no corta el perfil, por esto, desde “K” se verá perfectamente en el terreno a “H” (Fig. 45).

Figura 45. Construcción del perfil (ejemplo 3).

Escala = 1: 5.000Equid. = 10 m.

120

110 10

0

90 80 90 80 70

A BK H

A BK H

DATUM 45

A´

Escala Horizontal= 1: 5.000

Equid. = 10 m.Escala Vertical = 1: 2.500

708090

100110120

K´ H´ B´

120

110 10

0

90 80 90 80 70

A

KHL

B

L M


44

Ahora, pasemos a construir el perfil longitudinal del terreno que tenemos disponible para el proyecto, y donde determinaremos gráficamente el volumen del movimiento de tierra, mediante el

dibujo de la rasante.

PLANO DE LOS PERFILES

(Para ver gráficamente las zonas de corte y relleno).

DIBUJO

• Las escalas pueden variar, sin embargo, se conserva la misma relación (10 x), entre la escala horizontal y la vertical.

• Se fija la progresiva gráfica (por debajo de la alineación), señalando los hectómetros y los kilómetros enteros.

• Se fija el Datum, es decir, la altura respecto a la cual se dibuja el perfil.

• Construcción del perfil del terreno, tomando las progresivas (gráficamente). Esta debe ser

dibujada con línea gruesa discontinua.

• Dibujo de la rasante (perfil del terreno modificado), de tal forma que haya el mínimo corte y

relleno (la línea de rasante debe estar cerca del perfil, y debe ser dibujada con línea gruesa continua).

ANOTACIONES: colocar la leyenda (Fig. 46) con:

• El Datum o línea de referencia.

• Distancia:

o Parciales: (que son distancias entre los puntos usados en el perfil).

o Progresivas: (distancias medidas a partir del origen. Se anotan solo los metros, omitiéndose los kilómetros).

• Cotas:

o Del Terreno: (alturas leídas en las curvas de nivel).

o Rasante o Línea de Proyecto: (se calculan de acuerdo con lo que se quiere).

• Banqueo o Corte: (el corte necesario para obtener la rasante correspondiente a la diferencia

positiva entre las alturas del terreno y rasante).

• Relleno o terraplén: (el relleno necesario para obtener la rasante correspondiente a la

diferencia negativa entre las alturas del terreno y rasante).


45

Figura 46. Perfil longitudinal del terreno, sección 1- 1´, señalada en el plano del levantamiento plani-altimétrico (Fig. 36).

UBICACION:

PROPIETARIO:

PERFIL

PARCELA No. 23

OBSERVACIONES: PROYECTO:

CALCULADO:

DIBUJADO:

APROBADO:

FECHA: 5/07/2004

ESCALA:

TLAMANINA:

2

INDICADA

ESCALA HORIZONTAL = 1: 100

ESCALA VERTICAL = 1: 10

15,0

0

PROGRESIVAS

DATUM = 14.00

PARCIALES

TERRENO

RASANTE

CORTE

RELLENO

DIS

TAN

CIA

SCO

TAS 15

,50

16,0

0

16,5

0

17,0

0

17,5

0

18,0

0

18,0

0

17,5

0

2,82 2,05 2,72 1,34 1,40 2,49 4,09 2,13

0 +

000

,00

0 +

002

,82

0 +

004

,87

0 +

007

,59

0 +

008

,93

0 +

010

,33

0 +

012

,82

0 +

016

,91

0 +

019

,04

PERFIL 1 - 1'

15,9

1

16,1

4

16,3

2

16,5

4

16,6

6

16,7

7

16,9

8

17,3

2

17,5

0

R A S A N T E

T E R R E N O

0,91

0,64

0,32

0,04

0,34

0,73

1,02

0,68

RELLENO

BANQUEO

PERFIL ORIGINAL DEL TERRENO

PERFIL MODIFICADO DEL TERRENO


46

Ejemplo 4. En el plano de la Figura 47, se desea saber:

4.1 ¿Si desde el manantial en “B” se ve el borde de la carretera en “D”?

4.2 ¿Si desde el corral de los potreros en “C” se ve el manantial en “B”?

4.3 ¿Cuál será la pendiente constante de una tubería de agua desde la casa en “A” hasta el

manantial en “B”.?

Escala 1:25.000

Equidistancia entre curvas: 10 m.


Solución:

La línea quebrada ABDC, que une los puntos entre los cuales se quiere levantar el perfil

(Fig. 47), se rectifica, y sobre ella se construye el perfil.

De acuerdo con el trazado del perfil del terreno entre los puntos ABDC se tiene (Fig. 48):

4.1 Desde el manantial en “B”, no se ve el borde de la carretera en “D”.

4.2 Desde el corral de los potreros en “C”, no se ve el manantial en “B”.

4.3 La pendiente costante de la tubería de A para B será una pendiente de caída de 4,47 %.

Ejemplo 5. Del plano de la Figura 49, a Escala 1: 5.000, y equidistancia de 50 m, obténgase un

perfil de la dirección XZ, y diga: Si se desea construir una carretera de tal forma que su pendiente

sea constante y que una los dos caseríos marcados con las letras X y Z,

• ¿Qué pendiente tendrá la carretera?

• ¿Qué excavaciones y/o rellenos se necesitaría hacer, para su construcción?

870 A

B

C900

870

870

D


47

Figura 48. Perfil (ejemplo 4).


Solución: (Fig. 50)

P Z

X =Z

X

Z

X

DH

∆Η

700

800

700700

800

700

X

Z

900

0+00

089

0

0+31

488

0

0+44

787

0

0+67

188

0

0+84

1

1+07

9

1+22

3

1+39

91+

492

170 238 144 176 93

890

890

880

870

860

A

B

C

D

ESCALA HORIZONTAL = 1: 25.000

ESCALA VERTICAL = 1: 1.500

PROGRESIVAS

DATUM = 840

PARCIALES

COTA TERRENO

860

870

880

890

314 133 224


48

P Z

X = Z

XDH

CotaXCotaZ − =

m

mm

455

700800 −

P Z

X = 0,2197802198

P Z

X = 21,97802198 %

Excavaciones: Zona XM

Relleno : Zona MZ

Figura 50. Perfil (ejemplo 5).

ESCALA HORIZONTAL = 1: 5.000

ESCALA VERTICAL = 1: 8.000

PROGRESIVAS

DATUM = 600

PARCIALES

TERRENO

RASANTE

CORTE

RELLENO

DIS

TAN

CIA

SCO

TAS

0+00

0

0+05

0

0+07

9

0+24

3

0+28

7

0+32

4

0+36

4

0+38

7

0+41

2

0+43

1

0+45

5

50 29 166 42 37 40 23 25 19 24

700

750

800

800

750

700

650

650

700

750

800

650

700

750

800

850

900

X

Z

X´ Z´

M

M´

700

711

717

754

763

771

780

785

791

795

800

00 39 83 46

13 71 130

135

91 45 00

8°

E N


49

CÁLCULO DE VOLÚMENES

El cálculo del volumen de los embalses y/o depósitos vacíos o llenos con agua, o aquellos que

están en etapa de proyecto, así como el cálculo de volúmenes de tierra que deben ser removidos para la construcción de carreteras, canales u otros son algunas de las aplicaciones de las secciones

transversales y localización de curvas de nivel.

CÁLCULO DE VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE LAS ÁREAS MEDIAS

Si se conocen las áreas de las secciones determinadas por las curvas de nivel A0, A1, A2, A3,

………….An, paralelas entre sí y separadas por las alturas d1, d2, d3, ………..dn, de un embalse, el volumen total de éste será igual a la suma de los volúmenes parciales, obtenidos por la semisuma

de dos áreas contiguas multiplicada por la distancia que las separa (Fig. 51):

VT = )2

10(

AA +d1 + )

2

21(

AA +d2 + )

2

32(

AA +d3 + ……………. )

2

)1((

AnnA +−dn

Si se producen distancias iguales entre las áreas:

VT = 2

1[ (A0 + A1)d + (A1 + A2)d + (A2 + A3)d + ………………….. ( A(n-1) + An)d ]

La expresión puede reducirse a:

VT = d ( A1 + A2 + A3 + A4 + ……………………………. 2

0 AnA +)

Si se eliminan los paréntesis y saca a “d” como factor común.

De igual forma puede calcularse el volumen de un montículo de tierra, de piedra o de cualquier

otro material.


50

Figura

51.

Cálculo de volúmenes conocidas las áreas determinas por las curvas de nivel.

En el caso de una carretera, los volúmenes de corte y de relleno dependen de la forma y

dimensiones de las secciones transversales y de la distancia entre ellas. Estas secciones

transversales pueden ser de diferente tipo. Transversales en corte completo (trinchera o ladera),

en relleno (terraplén) y con parte en corte y parte en relleno (media ladera) (Fig. 52).

Figura 52. Tipo de secciones transversales.

d3

d2

d1

A3

A2

A2

A1

A1

A0 V1 = A0 + A1

2( ) d1

V2 = A1 + A2

2( ) d2

V3 = A2 + A3

2( ) d3

VT = A0 + A1

2( ) d1 +

A1 + A22

( ) d2 +A2 + A3

2( ) d3

SECCIÓN EN TRINCHERA SECCIÓN EN LADERA

SECCIÓN EN RELLENO (TERRAPLÉN) SECCIÓN A MEDIA LADERA


51

Cuando dos secciones transversales consecutivas son del mismo tipo, ambas en corte o ambas en terraplén, el volumen total será igual a la suma de los volúmenes parciales, obtenidos por la

semisuma de dos áreas contiguas multiplicada por la distancia que las separa, medida a lo largo del eje de la carretera (Fig. 53). Aplicando la formula de las áreas medias entre dos secciones

transversales consecutivas del mismo tipo:

VT = )2

21(

AA +d donde:

V = Volumen entre las secciones 1 y 2 ……….……………………………..………….…………m3.

d = Distancia entre las secciones 1 y 2, y medida ésta a lo largo del eje ……………m.

A1 y A2 = Área de las secciones extremas 1 y 2 …….…………….…………………..……..m2.

Figura 53. Cálculo del volumen entre secciones transversales consecutivas del mismo tipo.

SECCIONES CONSECUTIVAS EN CORTE

1

2

A1

A2A2

d

EJE

1

2

A1

SECCIONES CONSECUTIVAS EN RELLENO

CL CLCL

CL CL

1

2

A1

A2CL

CL

EJE

d

A2

1

2

A1

CL

T E R R E N O

T E R R E N O

T E R R E N O

T E R R E N O

R A S A N T E

R A S A N T E

R A S A N T E

R A S A N T E


52

Cuando en un tramo se pasa de una sección en corte a una en terraplén, existe una línea de paso a lo largo de la cual el terreno coincide con la explanación, es decir no hay ni corte ni relleno. Para

simplificar el cálculo de los volúmenes, generalmente se considera la línea de paso perpendicular al eje (Fig. 54).

Figura 54. Cálculo del volumen entre secciones transversales consecutivas de diferente tipo.

Para determinar la posición de esta línea de paso tenemos, según la Figura 55:

Figura 55. Determinación de la posición de la línea de paso.

yc = Cota terreno 1 – Cota rasante 1 yr = Cota rasante 2 – Cota terreno 2

d = d1 + d2 1d

yc =

2d

yr

21 dd

yryc

++

=1d

yc

21 dd

yryc

++

=2d

yr

R A S A N T E

yc

yr

d1 d2

d

COTA TERRENO 1

COTA RASANTE 1 COTA RASANTE 2

COTA TERRENO 2

LÍNEA DE PASO

Ar 2

Ac1

d1

d2

d

CL CL

CL

LÍNEA DE PASO


53

de donde: d1 = yryc

yc

+ d y d2 =

yryc

yr

+ d

Obtenida la ubicación de la línea de paso, se calculan los volúmenes de corte hasta esta línea y se procede a calcular los volúmenes de relleno después de ella y viceversa.

Para calcular el área de las secciones transversales aplicando el método de coordenadas rectangulares (analítico), se debe tomar un sistema cartesiano de referencia cuyo origen en el caso

de una carretera puede ser el centro de la plataforma (eje de la rasante) y luego, se determinan

las coordenadas X, Y (Fig. 56). Los cortes se anotarán precedidos de un signo más y los rellenos de un signo menos, así por ejemplo:

Progresiva Sección transversal Área

0+120 0,5

0,0

−

25,10

5,10

−−

0,0

1,5−

25,6

5,2−

0,5

0,0 74,58 m2

0+140 0,5

0,0

9,10

8,11+

0,0

5,5+

0,6

0,2

−+

0,5

0,0

− 80,98 m2

Figura 56. Sistema de referenciación cartesiana de las secciones transversales.

1

2

1

2

1

2

1

2

(0; 0)(-5,0; 0,0) (5,0; 0,0)

(6,25; -2,5)

(0,0; -5,1)

(-10,25; -10,5)

(10,9; 11,8)

(5,0; 0,0)

(0,0; 5,5)

(-5,0; 0,0) (0; 0)

(-6,0; 2,0)

CL CLOrigen del sistema

de referencia

R A S A N T E

R A S A N T E

T E R R E N O

T E R R E N O

Progresiva 0+120 Progresiva 0+140

XX

Y

Y

Y

XX


54

Estas secciones se toman, generalmente, cada 20 m excepto cuando la naturaleza de la topografía las requiera más próximas o cuando haya un cambio de sección de corte a sección de relleno.

CÁLCULO DE VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE LOS PRISMOIDES

Un prismoide o prismatoide es un cuerpo de forma poliédrica con dos caras paralelas de formas y

dimensiones diferentes separadas por una distancia llamada altura. La fórmula primosidal se emplea generalmente cuando son conocidas las áreas limitadas por las curvas de nivel de un vaso

y su formula más general, es la siguiente:

V = 3

h(A 0 + 4 ∑ A 1 + 2 ∑ A 2 + A n ) donde,

h = Altura o equidistancia entre las curvas de nivel.

A 0 = Área limitada por la curva inferior o del fondo.

∑ A 1 = Suma de las áreas de las curvas de orden impar.

∑ A 2 = Suma de las áreas de las curvas de orden par.

A n = Área de la curva superior o de máximo embalse.

En el cálculo del volumen de tierra de una carretera, el método de las áreas medias proporciona

resultados prácticos satisfactorios. Sin embargo, algunas veces, interesa realizar cálculos más exactos y entonces se considera que el sólido entre dos secciones transversales es un prismoide

trapezoidal, limitado por dos caras planas paralelas (las secciones transversales) y por otras

superficies planas o alabeadas (la explanación, los taludes y el terreno original) (Fig. 57).

Figura 57. Prismoide trapezoidal.

A1

A2

Am


55

En este caso la fórmula prismoidal es:

V = 6

d (A1 + A2 + 4 Am)

donde:

V = Volumen entre las secciones 1 y 2.

A1 = Área de la sección 1.

A2 = Área de la sección 2.

Am = Área de la sección localizada en el punto medio entre A1 y A2.

d = Distancia entre las secciones A1 y A2.

Ejemplo 1: Para calcular el volumen de la represa de “Las Cruces”, en proyecto, se trazó un eje a

lo largo de una línea quebrada por medio de trompos y estacas testigos cada cien metros,

siguiendo aproximadamente el surco de la quebrada del mismo nombre (Fig. 58). Se realizó un levantamiento topográfico con una estación total, por medio de la cual se obtuvo la información de

coordenadas y cotas de diferentes puntos, los cuales permitieron representar las curvas de nivel

espaciadas cada 2 metros.

Figura 58. Represa Las Cruces.

0100

200300

400500

600700

800900

10001100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

0

2

46

810

12

Qda L

asCruces

Escala = 1: 15000

Represa Las Cruces


56

Procedimiento: Se empieza por calcular las áreas delimitadas por las diferentes curvas de nivel (Fig. 59).

Figura 59. Cálculo de las áreas limitadas por las diferentes curvas de nivel.

Aplicando el método de las áreas medias:

VT = )2

27848474097(

+2 + )

2

478699278484(

+2 + )

2

697055478699(

+2 + )

2

910110697055(

+2

)2

1123339910110(

+2 + )

2

13742141123339(

+2

VT = 8423685 m3


57

Aplicando la fórmula prismoidal:

V = 3

h(A 0 + 4 ∑ A 1 + 2 ∑ A 2 + A n )

Curva Núm. A 0 + An A 1 A 2

0 0 74097 2 1 278484 4 2 478699 6 3 697055 8 4 910110 10 5 1123339 12 6 1374214 Suma 1448311 2098878 1388809 4 ∑ A 1 8395512

2 ∑ A 2 2777618

Suma 12621441 x 2/3 Volumen 8414294 m3

Ejemplo 2: Determine la ubicación de la línea de paso (punto M) en el perfil del ejemplo 5. Procedimiento: De acuerdo con la información del ejemplo 5, se tiene (Figura 60):

Figura 60. Ubicación de la línea de paso.

PROGRESIVAS

DATUM = 600

PARCIALES

TERRENO

RASANTE

0+24

3

0+28

7

42

800

750

650

700

750

800

M

754

763 0+

243

0+28

7

800

M

TERRENO

RASANTE754750

763

46

13

42

d1 d2


58

d1 = yryc

yc

+ d y d2 =

yryc

yr

+ d

d1 = 1346

46

+ 42 = 32,75 m d2 =

1346

13

+ 42 = 9,25 m

El punto M está a 32,75 m de la progresiva 0+243, por lo tanto la progresiva del punto M es de:

Prog de M = 0+243 + 32,75 = 0+275,75.


59

REFERENCIAS

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Ballesteros, N. 1998. Topografía, editorial Limusa, S.A., México.

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French, T. y Vierck, Ch. 1954. Dibujo de ingeniería, editorial Hispano Americana, México.

García, D. 1990. Topografía, McGRAW-HILL, México. López, S. 1993. Topografía, ediciones Mundi-Prensa, Madrid.

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