Vida de Bernhard Riemann

Richard Dedekind

La siguiente narracion de la vida de Riemann no pretende arrojar luzsobre el significado de sus trabajos cientıficos y sus relaciones con la situacionanterior y actual de la matematica. Es mas bien apropiada solo para aquelloslectores que quisieran tener algunas noticias sobre los estudios, el caracter ylos avatares del gran matematico cuyos trabajos aparecen ahora por primeravez completamente reunidos.

Georg Friedrich Bernhard Riemann nacio el 17 de septiembre de 1826 enBreselenz, un pequeno pueblo en el reino de Hannover cerca de Dannenbergjunto al Elba. Su padre Friedrich Bernhard Riemann nacio en Boitzenburgjunto al Elba en Mecklenburg, y tomo parte como teniente bajo el mandode Wallmoden, en la guerra de la liberacion (Befreiungskriegen); allı fuepredicador y se caso con Charlotte, la hija de Ebell, consejero de la cortede Hannover. Mas tarde se establecio con su familia en la parroquia deQuickborn, a tres horas de camino de Boitzenburg.

Bernhard fue el segundo de seis hijos. Bien pronto su afan de aprender fuedespertado por su padre que le enseno en solitario hasta que fue al Instituto(Gymnasium).

Desde nino, ya a la edad de cinco anos, se intereso mucho por la Historia,las corrientes de la antiguedad y, sobre todo, por el desgraciado destino dePolonia que su padre siempre tenıa que contarle de nuevo. Muy pronto, sinembargo, esto paso a segundo plano y su energico talento para el calculose abrio camino; no conocıa ninguna diversion mayor que encontrar porsı mismo ejemplos difıciles y proponerlos a sus hermanos. Mas tarde, condiez anos, su padre se dejo ayudar en la educacion del nino por el profesorSchulz; este daba buenas lecciones de Aritmetica (cuentas) y Geometrıa,pero a menudo tenıa que esforzarse mucho para seguir la solucion de sualumno a un problema, mas rapida y frecuentemente mejor que la suya.

A la edad de trece anos y medio, Bernhard fue confirmado por su padrey dejo la casa paterna, en la que reinaba un caracter serio y piadoso y unavida hogarenamente estimulante. Los padres vieron su principal cometidoen la educacion de sus hijos; el mas estrecho carino unıa a Riemann consu familia y se mantuvo durante toda su vida; este carino se manifiesta enlas cartas que el dirigıa a sus seres queridos lejanos, en las que muestra el

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Figura 1: Riemann

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Figura 2: Situacion geografica de la vida de Riemann.Al sur de Hannover podemos ver Gottingen al norte Luneburg y Hamburgo.

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Figura 3: Situacion de Quickborn a poca distancia de Hamburgo.Luneburg un poco mas al sur y al este.

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mas apasionado interes en todo lo que tiene relacion con la casa paterna,incluso en los mas pequenos acontecimientos, y tambien les dejaba compartirsinceramente todas sus alegrıas y sus penas.

En la Pascua de 1840 fue a Hannover, donde vivıa su abuela y dondedurante dos anos —hasta la muerte de ella— asistio a la Tertia del Liceo. Alprincipio tuvo que superar algunas dificultades, como era previsible por sueducacion anterior, pero pronto se elogiaron sus progresos en las diferentesmaterias y fue siempre un alumno estudioso y obediente. De esta epoca seconservan muchas cartas de Riemann a sus queridos padres y hermanos enlas cuales cuenta los hechos del colegio, a menudo con humor feliz. Predominasin embargo la anoranza de su casa paterna. Cuando las vacaciones se acer-can pide permiso para pasarlas en Quickborn, y mucho tiempo antes piensaen los medios con que puede hacer el viaje con los menores gastos posibles.Para los cumpleanos de sus padres y hermanos hace pequenas compras conlos que procura sorprenderlos. En el pensamiento vive completamente en elcırculo familiar. Ademas, a veces hace notar con clamor melancolico cuantole cuesta relacionarse con extranos y su timidez, consecuencia natural de suencerrada vida anterior, que a su pesar le hace aparecer ante sus profesoresa una luz desfavorable. Esta timidez nunca desaparecio completamente y amenudo lo llevo a permanecer aislado y en su mundo de ideas en el que eldesarrollo la mayor audacia y tolerancia.

Despues de la muerte de su abuela, en la Pascua de 1842, Riemann fuellevado por su padre, parece que por su propio deseo, al Johanneum enLuneburg. Estuvo dos anos en Segunda y otros dos en Primera hasta sugraduacion para la Universidad. Al principio de su estancia allı, tuvo lugarel gran incendio de Hamburgo1 que le impresiono mucho y sobre el queinformo con detalle a sus padres.

La proximidad a su lugar de nacimiento y la posibilidad de pasar lasvacaciones en Quickborn con su familia, convierten el curso escolar en untiempo feliz para el. Ciertamente las idas y venidas, que en gran parte fueronhechas a pie, se realizaron con esfuerzos para los que su cuerpo no siempreestuvo capacitado. Bien se puede notar la preocupacion por su salud en lashermosas cartas de su madre (que el perderıa desgraciadamente pronto) enlas que le advierte que evite esfuerzos fısicos demasiado grandes.

El vivıa con su profesor en el Instituto Seffer, el cual se intereso viva-mente por el y en el que encontro un amigo paternal y protector, comopuede verse por sus cartas. Sus notas fueron buenas en otras asignaturas,pero en Matematicas fueron brillantes y en la graduacion sobresalientes. Sugran talento para las ciencias fue reconocido por el el esplendido directorSchmalfuss. Este le presto obras matematicas para sus estudios y muchas

1En 1842, alrededor de una cuarta parte de la ciudad fue destruida en el ‘gran incendio’.Este incendio se inicio en la noche del 4 de mayo de 1842 y se extinguio el 8 de mayo.Destruyo tres iglesias, el ayuntamiento, y muchos otros edificios, mato a 51 personas, ydejo a unas 20.000 sin hogar. La reconstruccion tardo mas de 40 anos. (Wikipedia)

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Figura 4: Incendio de Hamburgo

veces se sorprendio y quedo atonito cuando Riemann se los devolvıa al cabode varios dıas mostrando en la conversacion que los habıa estudiado y com-prendido completamente. Estos estudios, aparte de sus deberes ordinarios,le condujeron mucho mas alla de los estudios del Instituto, al terreno delas Matematicas Superiores. El conocimiento del Analisis Superior lo obtu-vo, hasta lo que sabemos, del estudio de las obras de Euler. En esta epocadebio leer tambien la Theorie des Nombres de Legendre.

A la edad de diecinueve anos y medio, en la Pascua de 1846, Riemann fuea la Universidad de Gottingen. Su padre, dedicado de corazon a la profesionsacra, tenıa la aspiracion de que Riemann se dedicara a la Teologıa. Dehecho el 25 de abril Riemann se matricula en Filologıa y Teologıa. A estadecision, que no estaba en sintonıa con su evidente inclinacion y talentopor las Matematicas, habrıa contribuido sobre todo su consideracion de lacarencia de medios de la familia con muchos hijos y la esperanza de encontrarpronto un empleo y con eso desahogar a su padre.

Ademas de las clases de Filologıa y Teologıa asistıa a clases de Ma-tematicas, en particular en el semestre de verano a las clases de Stern sobrela Solucion Numerica de Ecuaciones y de Goldschmidt sobre MagnetismoTerrestre. Ası como en el semestre de invierno 1846–1847 sobre el Metodode los Mınimos Cuadrados por Gauss y sobre Integrales Definidas por Stern.Con esta continua ocupacion con las Matematicas pronto vio lo potente queera su inclinacion por ellas y consiguio el permiso de su padre para dedicarsepor completo a sus estudios preferidos.

A pesar de que Gauss tenıa fama desde hacıa casi medio siglo de ser elmejor matematico vivo, sus actividades docentes, aunque muy estimulan-tes, se limitaban a una pequena area de las matematicas aplicadas. ParaRiemann, con el avanzado punto de partida en su conocimiento, no era deesperar un enriquecimiento sustancial ni fertilizacion con nuevas ideas enGottingen. Por eso en la Pascua de 1847 cambio de Universidad a Berlindonde Jacobi, Lejeune Dirichlet y Steiner reunıan a muchos estudiantes por

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Figura 5: Revoltosos llenos de jubilo despues de las luchas callejeras en Berlınel 18 de marzo de 1848.

el brillo de sus descubrimientos, que hicieron materia de sus clases. Allı per-manecio dos anos hasta la Pascua de 1849 y curso entre otras las clases deDirichlet sobre Teorıa de Numeros, Teorıa de Integrales Definidas y sobreEcuaciones en Derivadas Parciales y las de Jacobi sobre Mecanica Analıticay Algebra Superior. Lamentablemente, se conservan solo muy pocas cartasde esta epoca. En una de ellas (del 29. Nov. 1847) expresa su gran alegrıade que Jacobi, contra su primera intencion, se decidiera por fin a explicarMecanica. Una relacion mas estrecha tuvo con Eisenstein, del cual en el pri-mer ano asistio a su curso sobre la Teorıa de Funciones Elıpticas. Mas tarde,Riemann conto que habıan discutido sobre la introduccion de los numeroscomplejos en la Teorıa de Funciones, pero que tenıan opiniones completa-mente distintas sobre los principios basicos. Eisenstein atendıa solamentea los calculos formales mientras que el veıa la ecuacion diferencial como lapropia definicion de una funcion de variable compleja. Probablemente estasideas que seran esenciales mas adelante en su carrera, fueron elaboradas afondo por primera vez en las vacaciones del otono de 1847.

Del resto de la vida de Riemann en los dos anos de Berlin se ve poco ensus cartas. Los grandes hechos polıticos del ano 1848 le conmovieron mucho.Fue testigo ocular de la revolucion de marzo.2 Como miembro del cuerpo deestudiantes tuvo que guardar el real alcazar desde las 9 de la manana del 24de marzo hasta la 1 de la tarde del dıa siguiente.

En la Pascua de 1849, despues de haber vivido la llegada de la Delegaciondel Emperador de Frankfurt a Berlin, Riemann volvio a Gottingen. En los

2La Revolucion alemana de 1848-1849— que en terminos de la primera fase revoluciona-ria del ano 1848 se le conoce tambien como la Revolucion de Marzo— fue el acontecimientorevolucionario que tuvo lugar entre marzo de 1848 y finales de 1849 en la ConfederacionGermanica. Ocurrio en sus territorios mas poderosos, Austria y Prusia, y en sus respecti-vas zonas fuera de la Confederacion. Su objetivo fue acabar con el regimen de la nobleza,establecer un parlamento y la libertad de prensa y de opinion.

La interpretacion que prevalece de los eventos revolucionarios alemanes de 1848 ha sidola de un fracaso.

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tres semestres siguientes asistio a clases de Ciencias y de Filosofıa, entreotras y, con gran interes, las clases geniales sobre Fısica Experimental deWilhelm Weber, con el que mas tarde colaboro estrechamente y que hastasu muerte fue amigo y consejero fiel de Riemann. De esta epoca debe provenirsu interes simultaneo por los estudios filosoficos, orientados principalmentehacia Herbart, desarrollando el primer germen de sus ideas sobre filosofıanatural. Esto se deduce al menos de su intento de una concepcion unificadade la Naturaleza en un pasaje de su redaccion: Sobre el numero, distribuciony metodo de las clases cientıficas en el Instituto que escribio en noviembrede 1850 como miembro del Seminario Pedagogico y en el que dice:

“Ası, por ejemplo, es posible desarrollar una Teorıa matematicacompleta, que partiendo de las leyes fundamentales que verificanlos puntos individuales progresa hasta los fenomenos reales delespacio continuo, sin distinguir si se trata de la Gravedad, laElectricidad, el Magnetismo, o el equilibrio del Calor.”

En otono de 1850 se asocio al recien fundado Seminario Matematico Fısi-co dirigido por los profesores Weber, Ulrich, Stern y Listing. Participo espe-cialmente en los experimentos Fısicos, lo que le aparto de su tarea principal,la elaboracion de su Disertacion. En parte por esta circunstancia y en partepor la diligencia casi miedosa que Riemann aplicaba a sus escritos pensadospara la imprenta y que mas tarde le impidio realmente publicar sus traba-jos, se debe que su tratado Fundamentos para una Teorıa de Funciones deuna variable compleja no pudo someterlo a la Facultad de Filosofıa hastanoviembre del siguiente ano 1851.

Esta disertacion recibio un dictamen muy elogioso de Gauss, el cualcomunico a Riemann en su visita que desde hacıa anos preparaba un trabajosobre el mismo tema, aunque desde luego no limitado solo a esto. El examenfue el miercoles 3 de diciembre, la defensa publica y la promocion a Doctorel martes 16 de diciembre.

A su padre le escribe:

“Con mi tesis terminada creo que mis perspectivas han mejorado.Tambien espero que con el tiempo aprenda a escribir mas fluidoy mas rapido, particularmente cuando consiga relacionarme masy tenga la oportunidad de dar conferencias, por esto tengo ahoramucho animo.”

A la vez se disculpa por los gastos que ha causado a su padre y por no haberseesforzado mas para conseguir el empleo de observador en el ObservatorioAstronomico que quedo libre a la muerte de Goldschmidt.3 Y le informa

3Hay una nota de W. Weber segun la cual Gauss mismo no querıa que Riemann tomaraeste puesto. No dudaba de su capacidad teorica y practica para el mismo, pero tenıa yaen ese momento una tan alta opinion del significado cientıfico de Riemann que temıa queel puesto y sus largas tareas lo apartaran demasiado de su trabajo.

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que nada le estorbara para su habilitacion como Catedratico no numerario(Privatdozent) en cuanto termine la redaccion de su Habilitacion.

Parece que es su intencion ya en este momento seleccionar como objetode su Habilitacion la Teorıa de las Series Trigonometricas; sin embargo,tuvieron que pasar dos anos y medio hasta su Habilitacion.

En las vacaciones del otono de 1852, Lejeune Dirichlet, que conocıa muybien a Riemann de Berlın, permanecio por un largo tiempo en Gottingen yRiemann que habıa vuelto de Quickborn, tuvo la suerte de verlo casi diaria-mente. En primer lugar, en su primera visita a la colina donde Dirichlet vivıa,y al dıa siguiente, en un almuerzo en la casa de Sartorius von Waltershausen,en el cual participan los profesores Dove de Berlın y Listing, consulto conDirichlet, al que el consideraba despues de Gauss como el mejor matematicovivo de la epoca, sobre su trabajo.

“A la manana siguiente —Riemann escribe a su padre— Dirichletpaso dos horas conmigo. Me dio sus notas, que necesitaba para laredaccion de mi Habilitacion, y que estan tan completas que mefacilitan mucho el trabajo. En otro caso habrıa tenido que buscarlargo tiempo en la Biblioteca algunas cosas. Tambien ha revisadomi disertacion conmigo y sobre todo ha sido muy amable, comoapenas podıa esperar con la distancia tan grande que hay entrenosotros. Espero que no se olvide de mı mas adelante.”

Unos dıas despues Wilhelm Weber regreso a Gottingen de la Reunionde Naturalistas de Wiesbaden. En una companıa mas amplia hicieron unaexcursion muy enriquecedora a Hohen Hagen y al dıa siguiente, otra vezDirichlet y Riemann se encontraron en casa de Weber.

Estos estımulos personales eran en alto grado beneficiosos para Riemann,y, en relacion a esto, el le escribe a su padre:

“Veras que aquı no he vivido muy hogarenamente, pero debidoa ello trabaje mas industriosamente por la manana y creo queası logre mas que si hubiera estado leyendo libros todo el dıa”

En estos dıas escribe tambien sobre su habilitacion y del comienzo de susclases y de las cosas que se avecinan. Seguro que habrıa progresado muchomas rapidamente en su carrera si hubiera disfrutado mas a menudo de talesestımulos.

Evidentemente a principios de 1853 se ocupaba casi exclusivamente de laFilosofıa natural. Sus nuevos pensamientos tomaron una forma concreta, ala que volvıa reiteradamente tras cada interrupcion. Finalmente termino laredaccion de su Habilitacion. El 28 de diciembre de 1853 escribıa a su her-mano menor Wilhelm:

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“Casi he acabado con mis trabajos. He entregado mi redaccionde Habilitacion a principios de diciembre4 y he tenido que propo-ner tres temas para una clase (como prueba) de entre los cualesla Facultad elige uno. Los dos primeros los tenıa preparados yesperaba que eligieran uno de estos, sin embargo Gauss selec-ciono el tercero,5 y por esto estoy ahora apurado ya que tengoque elaborar este ultimo. Mi otra investigacion sobre la relacionentre Electricidad, Galvanismo, Luz y Gravedad la he retomadodespues de terminar la redaccion de mi habilitacion, y he avanza-do tanto que puedo publicarla sin duda en la forma actual. Cadavez estoy mas seguro de que Gauss ha trabajado varios anossobre esto, lo que comunico a varios amigos, entre ellos a We-ber, pidiendoles discrecion sobre el tema —a tı puedo escribırtelosin que me reprochen arrogancia— espero que no sea demasiadotarde y que se reconocera que lo encontre independientemente.”

Por este tiempo Riemann fue nombrado asistente de Weber en el Semi-nario Fısico-Matematico y como tal tuvo a su cargo las practicas del primersemestre y tambien algunas conferencias. Sobre el progreso ulterior de susinvestigaciones escribio a su hermano desde Quickborn, el 26 de junio de1854:

“En Navidad, creo, te escribı desde Gottingen que habıa termi-nado la redaccion de mi habilitacion a principios de diciembre yque se la habıa entregado al Decano ası como que yo me ocupe denuevo de mi investigacion sobre la conexion de las leyes funda-mentales de la Fısica, y de tal manera me absorbı en ello quecuando me dieron el tema de la clase de prueba del coloquio quedebıa desarrollar, no pude dejarlos a un lado. Pronto caı enfer-mo, en parte como consecuencia de tanto cavilar y parte porestar sentado siempre en la habitacion a causa del mal tiempo.Aparecio de nuevo mi viejo mal con gran persistencia y no pudeavanzar con mi trabajo. Solo despues de varias semanas, cuandoel tiempo mejoro y busque mas contactos, mi salud mejoro. Paraeste verano tengo alquilada una casa con jardın y desde entoncesgracias a Dios no puedo quejarme de mi salud.

Despues de terminar catorce dıas antes de la Pascua con el otrotrabajo que no pude evitar, me dedique a la elaboracion de miclase de prueba y la termine alrededor de Pentecostes. Sin em-bargo solo con mucho trabajo conseguı acabar la preparacion delcoloquio y estuve a punto de volver a Quickborn de nuevo sin

4Sobre el desarrollo de una funcion en serie trigonometrica.5Sobre las hipotesis en que se fundamenta la Geometrıa.

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haber logrado el objetivo.

Ultimamente el estado de salud de Gauss empeoro de tal formaque se teme por su muerte este ano y el se sentıa demasiadodebil para examinarme. Me pidio que, ya que solo puedo darlecciones el proximo semestre, me espere hasta agosto hasta surecuperacion. Acepte lo inevitable. De repente se decidio, antemis repetidos ruegos, “quitarse la soga del cuello de una vez”6 yla tarde del viernes siguiente a Pentecostes fijo el coloquio parael dıa siguiente a las diez y media, y, ası, el sabado a la unatermine felizmente.

—Te cuento ahora rapidamente, cual es el contenido del otrotrabajo, que me ocupo alrededor de la Pascua. En las vacacionesde Pascua, Kohlrausch —hijo del consejero de estudios superio-res y primo y cunado de Schmalfuss— que ahora es profesor enMarburg, estaba de visita por quince dıas en casa de Weber parahacer un estudio experimental sobre electricidad con el. Weberhabıa hecho los preparativos y pensado y construido los aparatospara una parte del experimento y Kohlrausch para la otra. Par-ticipe en la parte experimental y con este motivo conocı a Kohl-rausch. Algun tiempo antes Kohlrausch habıa hecho medicionesmuy precisas sobre un fenomeno inexplorado hasta entonces ( elresiduo electrico en la botella de Leiden ) y las habıa publicado.Encontre la explicacion mediante mis investigaciones sobre la co-nexion entre la Electricidad, la Luz y el Magnetismo. Hable conKohlrausch sobre este tema y por esta causa elabore la teorıa deeste fenomeno y se la envie. Kohlrausch me contesto muy ama-blemente, me ofrecio enviar mi trabajo a Poggendorff, el editorde los Anales de Fısica y Quımica de Berlın para publicarlos.Ademas me invito a visitarlo en las vacaciones de otono paracontinuar con la cuestion. Esto es importante para mı porquees la primera vez que puedo aplicar mis investigaciones a unfenomeno no conocido hasta ahora y espero que la publicacionde este resultado contribuya a que mis trabajos mas importantestengan una mejor acogida.

Aquı en Quickborn me ocupare por una parte de la impresionde este trabajo porque me mandaran las pruebas de imprenta,y por otra parte de la elaboracion de un curso para el proximosemestre.”

De la primera parte de la carta debemos tambien senalar que Riemann,al elaborar la clase de prueba sobre las Hipotesis de la Geometrıa, se preo-

6N.d.T. um die Sache vom Halse los zu werden frase de difıcil traduccion: liberarse delasunto alrededor del cuello.

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cupo de que fuera inteligible para todos, incluso para los miembros no ma-tematicos de la Facultad. El trabajo se convirtio de este modo en una obramaestra de exposicion, en la que, sin comunicar el estudio analıtico, se des-cribe el curso del mismo tan exactamente que se puede reconstruir comple-tamente con sus instrucciones. Gauss no eligio, como era el procedimientohabitual, el primero de los tres temas propuestos, sino el tercero, porque es-taba interesado en escuchar como un muchacho tan joven tratarıa un tematan difıcil. La clase sobrepaso todas sus expectativas, le sorprendio muchısi-mo, y al regreso de la reunion de la Facultad expreso a Wilhelm Weber, conuna excitacion rara en el, su mas alto reconocimiento por la profundidad delas ideas de Riemann.

Despues de una estancia larga en Quickborn, Riemann volvio a Gottin-gen en septiembre para participar en la reunion de Naturalistas. Ante losrequerimientos de Weber y Stern se decidio a dar una conferencia sobre laPropagacion de la Electricidad en aislantes. Escribio a su padre:

“Mi conferencia fue el jueves y dado que era la unica anunciadapara este dıa la elabore un poco mas la vıspera para ocupar maso menos el tiempo normal de las reuniones. Al principio sola-mente tenıa pensado hablar de la ley, pero la amplie aplicandolaa varios fenomenos y mostrando la coherencia con los experi-mentos. Mi conferencia fue por supuesto menos fluida en estaultima parte, pero sin embargo creo que gano con las adicio-nes, hable durante unos 5/4 de hora. —Hablar en publico en lareunion me da mucho animo para mis cursos. Tambien al mismotiempo he visto que gran diferencia hay entre haber clarificadolas ideas hace mucho tiempo o solo un poco antes. Espero queen medio ano mire mis clases con mas tranquilidad y que no meamarguen mi estancia en Quickborn y mi reunion con vosotrostal como la ultima vez.”

Tambien se reunio con Kohlrausch en Gottingen. Despues de otro inter-cambio de cartas Riemann decidio desistir de la publicacion de su redaccionsobre el residuo en la botella de Leiden. Probablemente porque no habrıaquerido hacer algunos cambios que le aconsejaron. En lugar de esto se pu-blico en los anales de Poggendorff su ensayo sobre la teorıa de los anilloscoloreados de Nobili, sobre los que escribe a Ida su hermana mayor:

“Este asunto es importante porque se pueden hacer medidas muyprecisas y comprobar las leyes con las que se mueve la electrici-dad.”

En la misma carta del 9 de octubre de 1854 escribe con gran alegrıa desu primera clase a la que asistieron mas oyentes de los que esperaba, mas omenos ocho. El tema de la misma fueron las ecuaciones en derivadas parciales

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y su aplicacion a problemas fısicos. Como modelo le sirvieron las clasesque Dirichlet explico en Berlin con el mismo tıtulo. Sobre su conferenciaescribio el 18 de noviembre de 1854 a su padre:

“Mi vida aquı ha tomado poco a poco una forma bastante re-gulada y uniforme. He podido hasta ahora dar regularmente misclases. Mi inicial timidez casi ha desaparecido y me acostumbroa pensar mas en el auditorio que en mı y leer en sus caras sipuedo seguir adelante o tengo que explicar mas la cuestion.”

Sin embargo no hay duda que las lecciones orales le causaron grandes dificul-tades en los primeros anos de su actividad docente. Su pensamiento brillantey su imaginacion intuitiva le permitıan dar grandes pasos, que no podıanseguirse facilmente. Esto se veıa sobre todo en conversaciones orales casualessobre temas cientıficos, y cuando uno le pedıa una discusion mas amplia desus conclusiones, el quedaba perplejo y le costaba trabajo resignarse al razo-namiento mas lento del otro y resolverle sus dudas rapidamente. Ası tambienen sus clases la observacion de las caras de sus oyentes, de las que escribemas arriba, le molestaba sensiblemente si, contra sus expectativas, se veıaforzado a probar con mas detalle una cosa que para el era casi evidente.Esto lo supero con larga practica, y el relativamente gran numero de susestudiantes no se debe solo a la atraccion de sus profundos trabajos y a sunombre famoso, sino que tambien es debido a sus clases, que preparaba muycuidadosamente y con las que conducıa a sus oyentes a afrontar las grandesdificultades que se encontraban los que penetraban en los nuevos principiosgenerados por el.

El 23 de febrero de 1855 murio Gauss y, poco despues, Lejeune Diri-chlet fue destinado de Berlın a Gottingen. En esta ocasion hubo muchaspeticiones, pero en vano, para que Riemann fuera nombrado Profesor ex-traordinario. Solo se consiguio que el gobierno le pagara una remuneracionanual de 200 taleros. A pesar de lo exigua de esta cantidad, dio a Riemannun importante alivio, quien en este momento y los tiempos que siguieronprobablemente veıa el futuro muy negro. Vinieron anos muy tristes, en losque tuvo una vicisitud detras de otra. En el ano 1855, perdio a su padrey a una hermana Clara. Tuvieron que dejar su vieja y querida patria deQuickborn y sus tres hermanas se movieron a casa de su hermano Wilhelmen Bremen que era secretario de Correos allı y que desde ese momento seencargo del mantenimiento de la familia.

Riemann volvio ahora con renovado interes al estudio ya comenzado enlos anos 1851 y 1852 de la Teorıa de las funciones Abelianas. Por primeravez las hizo objeto de sus clases desde San Miguel en 1855 a San Miguel en1856; asistieron tres alumnos: Schering, Bjerknes y su colega Dedekind.

En el verano de 1856 fue nombrado Asesor de la Seccion de Matematicasde la Sociedad Cientıfica de Gottingen. Como tal presento el 2 de noviembresu trabajo Sobre la serie de Gauss. El mismo dıa escribio a su hermano:

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“Espero que mis trabajos fructifiquen. Ahora mi tratado, como teescribı anteriormente, esta listo para imprimir, y es posible que laSociedad lo imprima en sus Actas. En todo caso es un gran honor,pues en los ultimos 50 anos solo contenıa tratados matematicosde Gauss. La Seccion Matematica de la Sociedad compuesta porWeber, Ulrich y Dirichlet al menos solicitara la impresion de mitratado despues de las manifestaciones de Weber.

Con mis clases, es decir con la asistencia a las mismas, estoy muycontento, especialmente con el numero pequeno de nuevos alum-nos. No hay matematicos entre ellos y esta debe ser la razonde que las clases de Dedekind y Westphal no se impartan. Elnumero de alumnos en los cuatro dıas que he dado clase sontres el primer dıa, el siguiente cuatro, y las ultimas dos vecescinco, pero uno de ellos era un estudiante invitado. Me gusta es-pecialmente que esta vez tengo algunos alumnos de los primeroscursos, no como antes solo del sexto y mas altos, porque conside-ro esto como una indicacion de que mis lecciones son ahora masfaciles de entender. A pesar de todo no puedo afirmar que misclases se impartiran, pues hasta ahora nadie me lo comunico, ytodavıa es posible que mis senores oyentes me abandonen. —Mitiempo libre lo dedicare ahora completamente al trabajo sobrelas funciones de Abel que te conte. Poco antes de mi regresoa Gottingen el redactor principal de la revista matematica, eldoctor Borchardt de Berlın estuvo aquı y me oferto a traves deDirichlet y Dedekind que lo mas pronto posible le mande misestudios sobre las funciones de Abel aunque sea en forma tosca.Weierstrass ahora publica mucho, pero el numero de la revistaque se acaba de publicar, segun me conto Scherk, solo contienelos primeros preparativos de su Teorıa.”

De hecho dedico todo su esfuerzo a la elaboracion de este trabajo, demanera que los manuscritos de los tres primeros pequenos tratados pudoenviarlos a Berlin el 18 de mayo y el cuarto mas largo el 2 de julio de 1857.Sin embargo su salud sufrio mucho por el esfuerzo excesivo y al final delsemestre de verano estuvo en un estado de agotamiento que oscurecio muchosu estado de animo. Para refrescar y consolidar su salud fue a Harzburg porunas semanas. Allı le acompano su amigo Ritter ( en esa epoca profesor enel Politecnico en Hannover, ahora profesor en Aachen ) por unos dıas, y mastarde su colega Dedekind con el que dio muchos paseos y excursiones maslargas por el Harz. Estos paseos le levantaron el animo, crecio su confianzaen los demas y en sı mismo, sus bromas candorosas y su conversacion sinreservas sobre temas cientıficos le convirtio en la companıa mas amable yestimulante. En esta epoca su pensamiento volvio a la filosofıa natural y unatarde, despues de una caminata agotadora, tomo el libro de Brewster Vida

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de Newton y hablo por largo tiempo con admiracion de la carta a Bentleyen la que el propio Newton afirma la imposibilidad de la accion a distanciainmediata.

Un poco despues de su regreso a Gottingen, el 9 de noviembre de 1857,fue nombrado profesor extraordinario en la Facultad de Filosofıa. Su re-muneracion aumento de 200 a 300 taleros. Pero casi al mismo tiempo lesacudio en lo mas profundo la muerte de su muy querido hermano Wil-helm. Se encargo completamente del cuidado de sus tres hermanas vivas, lesinsto encarecidamente que se mudaran durante el invierno a Gottingen. Lohicieron al comienzo de marzo de 1858, pero solo despues de que la hermanamenor Marie les fuera arrebatada por la muerte. Despues de tantos gol-pes del destino la vida con sus hermanas mejoro grandemente su estado deanimo deprimido y el reconocimiento, que desde ese momento en adelante,aunque lentamente, experimentaron sus trabajos en cırculos mas amplios,aumento poco a poco su hundida autoconfianza y le dieron animos paranuevos trabajos. Ya antes habıa escrito el trabajo que despues serıa muycomentado Contribucion a la Electrodinamica, sobre el que escribio a suhermana Ida: “He entregado a la Konigl. Soc.7 mi descubrimiento sobre laconexion entre la electricidad y la luz. Segun algunas manifestaciones, quehe oıdo sobre el, debo concluir que Gauss habıa desarrollado otra Teorıa,diferente de la mıa, sobre esta conexion y que se lo habıa comunicado a susamigos mas cercanos. Estoy muy convencido de que la mıa es correcta yque sera reconocida en unos pocos anos como tal. Como es bien sabido, estetrabajo fue retirado despues y no fue publicado, probablemente porque noestaba satisfecho con la deduccion que contenıa.

En las vacaciones de otono de 1858 conocio a los matematicos italianosBrioschi, Betti y Casorati, que viajaron a Alemania en este tiempo y pasaronalgunos dıas en Gottingen. Esta relacion fue reanudada mas tarde en Italia.

Esta es la epoca de la enfermedad de Dirichlet, a la que sucumbio el 5 demayo de 1859. Desde el principio tuvo un interes personal muy grande porRiemann, y participo en todas las ocasiones en las que podıa conseguir unamejora en las condiciones externas de Riemann. Entre tanto el significadocientıfico de este fue reconocido por todos, tanto que el Gobierno, a la muer-te de Dirichlet, renuncio al nombramiento de un matematico extranjero. Enla Pascua de 1859 se le concedio una vivienda en el Observatorio, el 30 dejulio fue nombrado profesor ordinario y en diciembre fue elegido unanime-mente miembro ordinario de la Sociedad de Ciencias. Antes, el 11 de agosto,la Academia de Ciencias de Berlın lo nombro miembro correspondiente dela Seccion de Fısica y Matematicas; esto motivo un viaje a Berlın en sep-tiembre acompanado de Dedekind, donde fue acogido con gran cordialidady reconocimiento por los eruditos Kummer, Borchardt, Kronecker y Weiers-

7N. del T. Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen (Real Sociedad deCiencias y Humanidades de Gottingen).

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trass. Una consecuencia de este nombramiento, a la que mas tarde en marzode 1866 siguio la de miembro extranjero,8 y tambien consecuencia de estavisita fue que en octubre sometio a la Academia de Berlın su trabajo sobre laDensidad de los numeros primos y envio una carta a Weierstrass, publicadadespues de su muerte, sobre las funciones multiplemente periodicas.

Un mes despues entrego a la Sociedad cientıfica de Gottingen su trabajosobre la Propagacion de Ondas Sonoras Planas de Amplitud finita.

En las vacaciones de Pascuas de 1860 viajo a Paris, donde paso un mes apartir del 26 de marzo. Desgraciadamente el tiempo fue duro y desapacible,en la ultima semana nevo y granizo durante varios dıas, ası que la visitaa los monumentos fue a menudo imposible. Por otro lado estuvo satisfechocon la amistosa acogida de parte de los eruditos parisinos, Serret, Bertrand,Hermite, Puiseux y Briot, con el cual paso una tarde muy agradable en elcampo en Chatenay en companıa de Bouquet.9

En el mismo ano termino su trabajo sobre el Movimiento de un ElipsoideFluido y se aplico a trabajar en el tema del Premio de la Academia de Parıssobre la Teorıa de la Propagacion del Calor para la que habıa adquiridoya una base con sus investigaciones sobre las Hipotesis de la Geometrıa. Enjunio de 1861 envıo su solucion escrita en latın bajo el lema: ‘Et his principiisvia sternitur ad majora”. No gano el premio, ya que le falto tiempo paracomunicar completamente la ejecucion de los calculos necesarios.

La vida feliz que pudo disfrutar Riemann en los ultimos anos llego asu punto mas alto cuando el 3 de junio de 1862 se caso con Elise Koch deKorchow en Mecklenburg-Schwerin, una amiga de sus hermanas. Ella com-partio en los anos siguientes sus sufrimientos con el y los amenizo con suincansable amor. Ya en julio del mismo ano Riemann enfermo de pleuresıa,de la que en apariencia se recupero rapidamente, pero que dejo el germen deuna enfermedad de pulmon que causarıa su temprana muerte. Cuando losmedicos le aconsejaron que pasara algun tiempo en el sur para recuperarse,Wilhelm Weber y Sartorius von Waltershausen consiguieron del gobiernono solo las vacaciones necesarias sino tambien un subsidio suficiente para unviaje a Italia que empezo en noviembre de 1862. Recomendado calurosamen-te por Sartorius von Waltershausen encontro una acogida amabilısima de lafamilia del Consul Jager en Messina, en cuya mansion en el suburbio Gazzipaso el invierno. Su estado mejoro rapidamente y pudo hacer excursiones aTaormina, Catania y Siracusa.

8En relacion a las condecoraciones exteriores que Riemann consiguio debemos senalarque la Academia Bavara de Ciencias lo nombro miembro correspondiente el 28 de noviem-bre de 1859 y miembro ordinario el 28 de noviembre de 1863, ademas la academia de Parislo nombro miembro correspondiente el 18 de marzo de 1866. Poco antes de su muerte laReal Sociedad de Londres lo eligio como miembro extranjero.

9N. d. T. Charles M. Briot (1817–1882) y Jean Claude Bouquet (1819–1885) escribie-ron en conjunto varios libros, entre ellos Theorie des fonctions doublement periodiques eten particulier des fonctions elliptiques, y Elements of Analytical Geometry of Two Dimen-sions.

Vida de Bernhard Riemann 17

En el viaje de regreso, que comenzo el 19 de marzo de 1863, visito Paler-mo, Napoles, Roma, Livorno, Pisa, Florencia, Bolonia, Milan. Durante laslargas estancias en estas ciudades, cuyos patrimonios artısticos y antigueda-des despertaron su mayor interes, conocio a los mas importantes eruditos deItalia y particularmente trabo gran amistad con el Profesor Enrico Betti enPisa, al que ya en el ano 1858 habıa conocido en Gottingen.

En suma, la estancia de Riemann durante varios anos en Italia, aunteniendo como primera razon un hecho triste, fue un punto de luz en suvida, no solo por ver la gloria de este paıs encantador. Su naturaleza y artelo hicieron infinitamente feliz, allı se sintio un hombre libre sin todas lasinhibiciones que creıa tener que tomar en Gottingen a cada paso. Todo estoy la influencia benefica que el clima maravilloso tuvo en su salud muchasveces le puso alegre y animado y pudo pasar muchos dıas felices.

Con muchas esperanzas dejo su querida Italia, pero atraveso en solitarioel paso del Splugen caminando imprudentemente una larga distancia a travesde la nieve y cogio un resfriado muy fuerte, y despues de volver a Gottingenel 17 de junio, se encontraba continuamente tan mal que muy pronto tuvoque decidir viajar por segunda vez a Italia, adonde marcho el 21 de agostode 1863. Fue primero a Meran, Venecia, Florencia, despues a Pisa, dondenacio su hija el 22 de diciembre de 1863, a la que llamaran Ida en recuerdo desu hermana mayor. De manera desafortunada el invierno fue tan frıo que elArno se helo. En mayo de 1864, se mudo a una mansion cercana a Pisa, dondeperdio al final de agosto a su hermana menor Helene; el mismo cogio ictericialo que tuvo como consecuencia un agravamiento de su problema en el pecho.

Se le ofrecio un nombramiento en Pisa para ocupar el lugar del ProfesorMosotti, que ya le habıan ofrecido anteriormente en el ano 1863 por media-cion de Betti. Pero no la acepto, en parte siguiendo el consejo de sus amigosde Gottingen, pero sobre todo con toda probabilidad porque creıa que nopodrıa cumplir con todas las obligaciones del puesto ofrecido, y por estono pudo justificar ante sı mismo el aceptarlo. Este mismo sentimiento deldeber desperto en el el urgente deseo de regresar a Gottingen y dedicarse asus tareas docentes y solo por las graves advertencias de los medicos y desus amigos decidio pasar el siguiente invierno en Italia. Lo paso en Pisa confrecuentes y agradables conversaciones sociales y cientıficas con los erudi-tos de allı, Betti, Felici, Novi, Villari, Tassinari, Beltrami. En este periodotrabajo tambien en su tratado sobre los Ceros de las funciones Theta.

Paso mayo y junio de 1865 en Livorno en unas condiciones malas de sa-lud, julio y agosto en el lago Maggiore, septiembre en Pegli cerca de Genova,donde debido a una fiebre gastrica tuvo otro empeoramiento de su salud.

Bajo estas circunstancias Riemann no pudo resistir mas su deseo cada vezmas fuerte de regresar a Gottingen. Llego el 3 de octubre y paso el invierno encondiciones bastante buenas, lo que le permitio muchas veces trabajar variashoras al dıa. Termino el trabajo sobre los Ceros de las funciones Theta yconfio la redaccion del tratado sobre las Areas Mınimas a su antiguo alumno

18 Richard Dedekind

Hattendorff.Muchas veces expreso el deseo de hablar con Dedekind sobre algunos

de sus trabajos inconclusos antes de su muerte, pero siempre se sintio debily quebrantado para disponer una visita de este a Gottingen. En los ulti-mos meses se ocupo en la elaboracion de un trabajo sobre la Mecanica delOıdo que desgraciadamente no pudo terminar y solo fue publicado como unfragmento despues de su muerte por Henle y Schering.

Terminar este tratado, ası como algunos otros trabajos le importaba mu-cho y esperaba que con una estancia de algunos meses en el lago Maggiore,donde le llevaba tambien una gran anoranza, pudiese obtener suficiente fuer-za para hacerlo. Ası decidio partir el 15 de junio de 1866, en los primerosdıas de la guerra, para su tercer viaje a Italia. El mismo fue interrumpido enCassel porque la vıa del tren fue destruida. Pero en carruaje viajo felizmentehasta Giessen, desde donde pudo continuar el viaje sin mas contratiempos.El 28 de junio llego al lago Maggiore donde vivio en la mansion Pisoni en Se-lasca cerca de Intra. Rapidamente sus fuerzas decrecieron y sintio con todaclaridad que su fin se aproximaba.

Incluso el dıa antes de su muerte trabajo en su ultima y por desgraciainconclusa obra, descansando bajo una higuera y con gran alegrıa a la vistadel hermoso paisaje. Su muerte fue muy suave, sin lucha o estremecimiento,parecıa como si siguiera con interes la separacion del alma del cuerpo. Suesposa tuvo que traerle pan y vino, le dio recuerdos para los queridos y le dijo,da un beso a nuestra hija. Oro el Padre Nuestro con el, ya no podıa hablar,en las palabras “perdona nuestras ofensas” dirigio sus ojos creyentes al cielo.Ella sintio enfriarse su mano en la suya y, despues de algunas respiracionesmas, su puro y egregio corazon dejo de latir.

El piadoso sentido que habıa en la casa de su padre, permanecio en eltoda su vida y sirvio fiel, aunque no en la misma forma, a su Dios. Con lapiedad mas grande evito molestar a otros en su fe. El examen de concienciadiario ante Dios fue segun su propia expresion lo esencial de su religion.

Reposa en el cementerio de Biganzolo en la parroquia de Selasca. Sutumba tiene la inscripcion:

Aquı reposa en DiosGEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN,

Prof. en Gottingen,nacido el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,

muerto el 20 de junio de 1866 en Selasca.A los que aman a Dios todas las cosas le sirven para lo mejor.10

10La tumba que le dedicaron sus amigos y companeros italianos, fue eliminada duranteun traslado del cementerio.

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Traducido por

Kristina DewesCorinna KaufmannAlumnas de Teorıa Analıtica de Numeros. Sevilla, Curso 2010.J. Arias de Reyna, Facultad de Matematicas, Universidad de Se-villa, Apdo. 1160, 41080-Sevilla, Spain. e-mail arias@us.es.