82

VII ) E-M DALGALAR VE ÖZELLİKLERİ

A. HELMHOLTZ ÇÖZÜMLERİ

B. E-M DALGALAR

C. E-M ENERJİ VE MOMENTUM

D. RADYASYON BİÇİMLERİ

E. RADYASYON YÖNLERİ

83

A) HELMHOLTZ ÇÖZÜMLERİ

Uzayın 0 , 0J sağlayan, kaynak terimsiz bölgelerinde Maxwell

denklemleri :

0E B

Et

0B 2

1

EB

c t

,

2 W W W özdeşliği yardımı ile E-M alanlar için

2 0E ; 2 0B dalga denklemlerine dönüşür.

2 0 dalga denkleminin kartezyen çözümleri

'Değişkenlerin Ayrıştırılması' metodu ile , : exp or t r ik ct olarak

bulunur. Sabitler arasındaki 2 2 2 2 2 2

1 2 3 0o ok k k k k k ilişkisi

2 2 o ok k k kc

eşitliklerini verir.

Kartezyen dışı koordinat sistemlerinde çalışabilmek için , : exp or t r ick t

çözümü 2 0 dalga denklemine yerleştirilerek 2 2 0k r

Helmholtz denklemine erişilir. Bu denklemin 2 2 k k ket denkleminin

r bra'sı ile çarpımı sonucu elde edildiği açıktır. 2 k k k oluşundan

k , dolayısıyla kartezyen koordinatlarda

exp r r k ik r çözümü elde edilir.

Yaygın kullanımı olan örnek çözümler :

Silindir : 2 2

1 2 k k ; m : Tamsayı olmak üzere

3, , : exp exp

m

m

J ss z im ik z

N s

84

Küresel : : Pozitif Tamsayı ; m : Tamsayı , m

olmak üzere

ˆ ˆ, : m

j krr r Y r

n kr

Küresel dalgaların kaynaktan çok uzaktaki davranışını incelemek üzere 0

için dalga denkleminin 2 2

2

1

d dr k

r dr dr

ve çözümünün

exp

ikr

r Br

oluşundan yola çıkılır. Bir fonksiyonun diferansiyel özelliklerini

anlamanın en kestirme yolunun türev alma olduğu düşünülerek

2

exp 1 exp

ikr ikrikr

r r

bulunur. Kaynaktan çok uzakta,

1r kr sağlayan bölgede bu denklem

2

exp exp 1 exp

ikr ikrikrikr ik

r r r

şeklini alır. Buradan

üstel fonksiyonda yer alan r 'nin değişken, ancak paydadaki r 'nin ise bir sabit gibi

davrandığı görülür ! exp

ikr

Br

küresel dalga çözümünün kartezyen

expA ik r düzlem dalga çözümü ile karşılaştırılması, küresel dalgaların, kaynaktan

uzakta B

r gibi yavaş değişen bir genliğe sahip ve ˆ ˆ k r sağlayan düzlem

dalgalar gibi davrandığını gösterir.

B. E-M DALGALAR

expoE E i k r kct , exp oB B i k r kct

çözümlerinin kaynaksız Maxwell denklemlerine yerleştirilmeleri sonucu önemli fiziksel

bulgular elde edilir :

85

0 0E k E

0 0B k B

B

E k E k cBt

Bu denklemlerden , , E B k vektörlerinin birbirlerine dik oldukları ve E cB

olduğu görülür. E cB eşitliğinin vF q E B Lorentz kuvvet

denklemi çerçevesinde incelenmesi, maddenin dış elektronları için geçerli olan

v 1 %B

E

F

F c ilintisine, dolayısıyla radyasyonun madde ile ilişkisinde elektrik

alanın, magnetik alandan çok daha etkin olduğuna işaret eder. Bundan dolayı E daha

önemlidir ve E : Polarizasyon yönü olarak adlandırılır.

0E B

Et

0B 2

1

EB

c t

kaynaksız Maxwell denklemlerini aynı bırakan

cos sin E E cB

sin cos cB E cB ,

mesela ; E cB cB E

dönüşümleri 'Polarizasyon Dönmesi' olarak adlandırılır.

C. E-M ENERJİ VE MOMENTUM

2

2

o oo o o o

E E EB E B E

t t t

2 1

2

B B BE B E B

t t t

86

denklemlerinin farkı alınarak ve E B B E E B

özdeşliği kullanılarak elde edilen

2 21 0

2o oE B E B

t

ilişkisi

o

E BS

,

2 21

2 2

o

o

u E B

tanımları ile 0

uS

t

biçiminde yazılır.

0Jt

denklemi ile 'Yük Korunumu' ilişkisi hatırlanarak bir korunum

yasası elde edildiği açıktır. 1

, * , 0S uc Sc t

korunum

yasasında yer alan S 4-vektörü için , * , 0S S uc S uc S

olduğu açıktır. Böylece ˆ 1 , S uc k ile onun türevleri

1 ˆ 1 , S u kc

ve 2

1 ˆ 1 , u

S kc c

için fiziksel yorum boyut analizi

yoluyla yapılır ve cu : Şiddet = Güç / Alan , u : Enerji Yoğunluğu = Basınç ,

u

c : Momentum Yoğunluğu olarak belirlenir. Bir yan ürün de Açısal Momentum

Yoğunluğu'nun 2 o

r Sr E B

c

biçiminde tanımlanmasıdır.

E-M dalgaların enerji yoğunluğu analizi toplam enerjiye elektrik ve magnetik alan

katkılarının eşit olduğunu gösterir.

Gazların kinetik teorisinden bilinen Basınç = Hız * Momentum Yoğunluğu

ilişkisi E-M radyasyon için

S

cBasınç ( Yutulma ) ;

2S

cBasınç ( Yansıma ) ile verilir ve

2

2(2) (2) (2)

o

o

S BE

c

Basınç olur.

87

Elektrik alanının enerji yoğunluğunu değişik bir yoldan elde etmek için hareketsiz noktasal

yüklerin elektrostatik etkileşmelerinin toplam potansiyel enerjisi

, ,

1 1 1

4 2 4

i j i j

E

i j i jo i j o i ji j i j

q q q qU

r r

ifadesinden yola çıkılır.

3

1 1

2 2E i i

i

U q V r d r r V r

3 2

oEU d r E r V r

ara sonucunda

W W W veya

E V V E E V özdeşliğini kullanarak

3 3 2 2 2

o oE

S

U d r V E d r E

3 2 2 2

o o

S

V E dS d r E

bulunur. Söz konusu S yüzeyi ile

sınırlandırılmış hacmının tüm evreni kapsaması durumunda yüzey integralinden

katkı gelmeyeceği için 3 2 2

2 2

o o

E EU d r E u E

sonucuna ulaşılır. Enerji yoğunluğuna magnetik alan katkısını benzer yolla elde etmek biraz

daha zahmetli bir işlemdir. Elektrostatik için geçerli o oV J A ifadesi

magnetostatik için J A olacaktır.

D. RADYASYON BİÇİMLERİ

2 2 0k E r ve 2 2 0k B r

Helmholtz denklemlerini sağlayan iki tane vektör alanı çözümünde başlangıç noktası,

çözümü bilinen 2 2 0k r skalar alan için Helmholtz denlemi

88

olacaktır. Daha soyut düzeyde 2 2 E k Ek ve

2 2 B k Bk

problemlerinin çözümünde başlangıç noktası 2 2 k k ket denklemidir.

Skalar alandan vektör alanı yaratmanın yolu 2 , k 0 sağlayan bir

operatörü bulmaktır.

2 2 k k 2 2 2 k k k

işlemlerinden, eğer skalar bir Helmholtz çözümü ise 'in bir vektör

Helmholtz çözümü olduğu görülmektedir. çözümünden türetilecek E ve

B çözümlerinin k vektörüne ve birbirlerine dik olmaları gerekmektedir. Bu şartlar

i) 2k ile komütatörü sıfır olan,

ii) k ile skalar çarpımları sıfır olan,

iii) Birbirleriyle skalar çarpımı sıfır olan

iki tane vektör operatör bulmaya eşdeğerdir. Bu vektör operatörlerden birinin SO(3)

grubunun ( boyutsuz ) jeneratörleri olan 1 L olarak seçilebileceği kolayca görülür.

2, L k 0 kullanılarak elde edilen

2 2 2 2 2 k k

k L k k L L

ifadesinden L 'nin bir çözüm olduğu açıktır. İkinci vektör operatörü için : k

ve ilk çözüm L ile skalar çarpımın sıfır olma gereğinden ilham alarak 2 k L

olarak seçilir. Bu operatör, tanım gereği hem k , hem de L 'ye diktir ve

2 ,

k k L 0 şartını sağlar. Bu noktada eldeki iki tip çözüm :

E L ve B k L : TE ( Transvers Elektrik )

B L ve E k L : TM ( Transvers Magnetik )

89

olarak adlandırılır. İki tip çözüm de zaten tanım gereği k 'ya dik olduğu için Transvers,

yani dik olma kavramı k ile ilgili değildir; bu adlandırmada dik olunan değişken r

olmaktadır. r L 0 , ancak k Lr 0 oluşu önemlidir.

E. RADYASYON YÖNLERİ

E-M radyasyonun şiddeti I r , E cB olduğu için istenirse 2E 'ye, istenirse

de 2B 'ye orantılı olarak ifade edilebilir. Kolaylık açısından TE durumunda E , TM

durumunda ise B kullanılır ve 2

I r r L

hesaplanır.

k m ve ˆ r r k r m olduğu için

2

2

ˆ I r j kr r mL ile verilir. r rejiminde

1

j krr

davranışı gösterdiği için radyasyon kaynağından uzaklaştıkça şiddetin,

beklendiği gibi, 2

1

r olarak azaldığı görülmektedir. Radyasyonun yön dağılımı ise

2

ˆ ˆ mI r r m L ile verilir.

L vektörünü 1 2

+

ˆ ˆe ee

2

i ;

1 2ˆ ˆe e

e 2

i

olmak üzere

1 2 3 + 31 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e + e + e e e e

2 2

L LL L L L L

olarak yazınca

1 1m m m m L

1 1m m m m

L

bağıntıları yardımı ile

90

2

1

1 ,

2m m

m mI w Y w

+

2 22

1

1 , ,

2m m

m mY w m Y w

olarak bulunur. Bu formüle mY fonksiyonları yerleştirilerek 'Çok Kutup' radyasyon

yönleri

Monopol : 00 0I

Dipol : 2

10 1I w ; 2

11 11 1I I w

Kuadrupol : 2 4

20 I w w ; 2 4

21 21 1 3 4I I w w

4

22 22 1I I w bağıntıları ile verilir.

ˆ m m mI r I w I fonksiyonlarını göz önünde canlandırmak için

küresel polar koordinatın 0 kesiti, yani x > 0 olmak üzere x-z düzlemi alınır ve

: z-ekseninden sapma açısı , mr I olmak üzere çizilir. 1 , 2

örnekleri aşağıda sunulmaktadır :

91

3-Boyuttaki dağılım bu eğrilerin z-ekseni etrafında döndürülmüş biçimi olacaktır.

92

PROBLEMLER

P.1 ) İç yarıçapı a , dış yarıçapı b olan H uzunluğunda iki eş eksenli iletken

silindire Q ve Q yükleniyor. , a b H rejiminde toplam alan enerjisini

hesaplayın.

P.2 ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yarıçaplı bir küresel kabuğun toplam alan

enerjisini hesaplayın.

P.3 ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yarıçaplı bir kürenin toplam alan enerjisini

hesaplayın.

P.4 ) Q yükünün düzgün dağıldığı, iç yarıçapı a , dış yarıçapı b olan kalın bir

küresel kabuğun toplam alan enerjisinin a

b olmak üzere

2 2 3

22

1 0.6 1.2 1.8 0.9

4 1 o

QU

b

ile verildiğini gösterin. Küre ve

Küresel kabuk limitlerini kontrol edin.

P.5 ) Q yükünün ; 0Nr A r N biçiminde dağıldığı R yarıçaplı

bir kürenin toplam alan enerjisini sadece , , Q R N hesaplayın.

P.6 ) 0 , 0 , 0 noktasında 1Q , 0 , 0 , D noktasında ise

2Q yükü

bulunuyor. Alan enerjisi integralini yazın, sonsuzluk veren özenerji terimlerini atın, geri

kalan terimi hesaplayın ve sonucu yorumlayın.

P.7 ) 31

2

E o oU d r J A ifadesinin magnetik biçimi 31

2

BU d r J A

integralini kullanarak 21

2

B

o

u B

ilişkisini elde edin.

93

P.8 ) E-M radyasyon için 'Enerjinin Eşit Dağılımı' ilkesini ispat edin.

P.9 ) Bir E-M dalganın elektrik alanı :

1 2 0ˆ ˆ 1 4 exp 12 3 4 zE e e E i t x y z ile veriliyor.

a) 0 ?zE , b) ? , c) ?B

P.10 ) 100 W tüketen bir ampulden 2 metre uzaklıktaki elektrik alanı nedir ? Hangi

uzaklıkta E max = 15 V / m olur ?

P.11 ) Tam yansıtıcı aluminyum folyodan yapılan bir güneş yelkenine radyasyon basıncının

uyguladığı itme kuvveti, kütle çekimine denk olması için yelkenin alan yoğunluğu

ne olmalıdır? MKS birimlerinde :

Güneş kütlesi = 2 10 30 , Güneş gücü = 3.8 10 26

G = 6.67 10 11 , c = 3 10 8

P.12 ) Güneş radyasyonunun dünyaya uyguladığı toplam kuvveti hesaplayın.

Bu kuvvet dünya yörünge yarıçapını ne kadar arttırır ?

Dünya – Güneş uzaklığı = 8 ışık dakikası , Dünya yarıçapı = 6400 km

P.13 ) 2 2 2 2 2 2

1 1 ~ 1 2 m m m mI w P w m m P w m P w

olduğunu gösterin. 0 , 1 , 2 içim mI ifadelerini hesaplayıp, grafiklerini

çizin. İpucu :

!2 1ˆ 1 exp

4 !

m

m m

mY r P w im

m