VIII-Taller de arte y geometria - gent.uab.catgent.uab.cat/mequeedo/.../files/TallerarteygeometriaCS_1angulos.pdf · Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias

Badillo, E., Edo, M. (2004). «Taller de arte y geometría en el ciclo superior de primaria I: Ángulos», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En: Tomás, C. y Casas, M. (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Barcelona: CISSPRAXIS. CD-Rom, 28 pàg.

VIII. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA EN ELCICLO SUPERIOR DE PRIMARIA: ÁNGULOS

Edelmira Badillo y Mequè Edo i Basté

• Presentación• Planteamiento teórico• Objetivos generales del taller• Contenidos matemáticos desarrollados• Desarrollo de actividades• Bibliografía• Anexos

1. PRESENTACIÓN

Nuestra propuesta tiene su origen en la línea de trabajo desarrollada los últimos años por Edoy otros, consistente en diseñar y aplicar situaciones didácticas en las que se relacionan arte ymatemática en Educación Infantil y el Ciclo Inicial de primaria (Edo, 1999, 2000, 2003). Unade las ideas fundamentales de este enfoque consiste en transmitir a los alumnos una forma demirar el entorno cultural y social que les ayude tanto a construir conceptos geométricos como adesarrollar sentimientos estéticos. Creemos que la contemplación, descripción y creación de for-mas artísticas a partir de cuerpos, figuras y líneas, estáticas o en movimiento, genera un contex-to adecuado para que los alumnos intuyan y construyan sus primeras nociones geométricas almismo tiempo que se genera una atmósfera que invita a expresar y compartir sentimientos yemociones estéticas.

Desde este referente en donde se sugiere el diseño de actividades didácticas que integren lageometría y el arte en educación infantil y primeros cursos iniciales de primaria, hemos pro-puesto el desarrollo de una unidad didáctica en la que se da un tratamiento integrado y coor-dinado entre la geometría y el arte, como un espacio de reflexión que nos permite trasladar alaula de geometría una visión dual de la matemática, es decir, que ayude a los niños a integrary trasladar la visión que tienen de los conocimientos matemáticos como un sistema formal abs-tracto de autocontenido hacia entenderlos como un instrumento que permite la resolución deproblemas prácticos en contextos reales (Onrubia y otros, 2001).

Lo interesante de esta experiencia es que, conjuntamente maestra y alumnado se involucranen un proceso de reflexión sobre la funcionalidad de los conceptos geométricos para interpretary crear «producciones artísticas», en donde se resalta con igualdad de importancia las emociones,sentimientos y valores que encierra el estudio y creación de una obra de arte, sin dejar de lado

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Taller de arte y geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos

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el desarrollo de competencias matemáticas tales como: el papel de la definición, la importanciadel uso del lenguaje matemático en el aula, el uso de diferentes representaciones de los con-ceptos matemáticos, etc.

Todo esto concebido desde una visón constructivista de la enseñanza y aprendizaje de lamatemática, en la que tanto maestra como alumnos se comprometen en la construcción de losconceptos matemáticos, alternando entre procedimientos intuitivos, geométricos y algebraicos,que contribuyan a desarrollar un pensamiento geométrico en los niños del ciclo superior de pri-maria, que les permita justificar, interpretar y explorar los elementos artísticos y espaciales de suentorno inmediato (Gil y De Guzmán, 2001).

Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias de enseñanza y de diferentestipos de evaluación, en la que la responsabilidad del proceso de regulación de la construccióndel conocimiento sea compartida entre alumnos y maestros. Por tanto, se tendrá en considera-ción: la auto-evaluación, la hetero-evaluación y la co-evaluación como parte integral de la for-mación de los alumnos (Badillo, 2003a).

2. PLANTEAMIENTO TEÓRICO

Los planteamientos teóricos que sustenten este taller se basan en las siguientes ideas. La acti-vidad matemática que se genera en el aula debe tener en cuenta los siguientes criterios:

— Contextualizar el aprendizaje de las matemáticas en actividades auténticas y significativaspara los alumnos.— Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensión y la resolución de proble-mas, teniendo en cuenta variedad de sistemas de representación (gráficos, tablas, ecuacio-nes, etc.) y traducción entre sistemas de representación.— Vincular el lenguaje formal matemático con su significado referencial o su uso en la coti-dianidad.— Activar y utilizar, como punto de partida, el conocimiento matemático previo, formal einformal, de los alumnos.— Avanzar de manera progresiva hacia niveles más altos de abstracción y generalización:construcción del conocimiento mediante un proceso de abstracciones reflexivas que empie-cen en acciones; éstas se interioricen en procesos; finalmente estos procesos se encapsulanen objetos (Teoría APOE, Dubinsky y otros, 1997; Badillo, 2003b).— Promover sistemáticamente la enseñanza en la interacción y la cooperación entre alum-nos. Por tanto, resaltamos la importancia del trabajo cooperativo.— Ofrecer a los alumnos las oportunidades suficientes de «hablar de matemáticas» en elaula.— Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y dominiode las matemáticas (Onrubia y otros, 2001; págs. 498).

Las actividades y contenidos que desarrollaremos a continuación fueron diseñadas teniendoen cuenta cada uno de los aspectos anteriormente resaltados: la naturaleza dual de la matemá-tica (relación del pensamiento intuitivo geométrico y el pensamiento formal matemático), el usode representaciones, la importancia de la definición matemática y el uso del lenguaje matemá-tico, y la autorregulación del proceso de enseñanza y aprendizaje.

3. OBJETIVOS GENERALES DEL TALLER

Los objetivos generales que nos planteamos al diseñar e implementar el taller de geometríafueron los siguientes:

a) Utilizar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de con-ceptos geométricos (conceptual).

b) Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométri-cos desarrollados (conceptual/procedimental).

c) Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los concep-tos geométricos desarrollados (procedimental/conceptual).

d) Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores delas obras seleccionadas (actitudinal).

4. CONTENIDOS MATEMÁTICOS

Con el propósito de trasladar al taller de geometría, simultáneamente, tanto el uso estáticocomo el uso dinámico del concepto de ángulo, hemos propuesto la siguiente secuencia de con-tenidos que implica tanto el estudio en el plano (uso estático) como en la tridimensionalidad(uso dinámico).

1. Ángulos1.1. Elementos del ángulo (conceptual).1.2. Representación, medida y construcción de ángulos (procedimental).1.3. Tipos de ángulos: agudo, recto, obtuso, plano, nulo y completo (conceptual/procedi-

mental).1.4. Operaciones con ángulos: ángulos suplementarios y ángulos complementarios (concep-

tual/procedimental).1.5. Resolución de problemas de aplicación (procedimental/conceptual).

5. DESARROLLO DE ACTIVIDADES

5.1. Material para maestros y maestras

5.1.1. Hoja para el diseño de la portada del dossier

Con el propósito de favorecer la creatividad de los alumnos se les proporciona una imagende la pintura de Paul Klee Batalla armonizada y se les da libertad para que construyan la porta-da del dossier. Se hace énfasis que tomen como referencia el convenio establecido para descri-bir una obra de arte famosa: Apellido y nombre del autor, año de creación, título de la obra,dimensiones, técnica utilizada, y lugar de exposición.

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5.1.2. ACTIVIDAD 1. Familiarización e introducción al tema

a) Objetivos

Se presentarán dos tipos de actividades de familiarización. Un primer grupo (1.1) de activi-dades buscan, por un lado, que los alumnos construyan las relaciones entre arte y geometría y,por otro lado, obtener las ideas previas de los alumnos en relación con los conceptos ángulo,partes del ángulo y tipos de ángulos. Un segundo grupo de actividades se centran en el estudiode los rasgos más significativos de la vida y obra de los pintores escogidos (1.2.-1.3.). Los obje-tivos que nos planteamos con estas actividades son:

— Identificar las ideas previas que tienen los niños sobre ángulos, elementos y tipos de ángu-los a partir de la pintura Batalla armonizada de Paul Klee (1.1.).— Introducir a los niños en la interpretación de las obras de arte, emitiendo juicios valora-tivos, expresando los sentimientos y emociones que les transmite el autor, resaltando los ele-mentos artísticos y las técnicas que se utilizan, a partir de la contemplación de las formas geo-métricas esbozadas en el cuadro de Klee (1.1.-1.2.).— Motivar a los niños hacia la investigación de los rasgos más importantes de la vida y obrade este pintor, centrándonos en la relación con la Geometría (1.2.-1.3.).— Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden en el estudio deestos conceptos (1.3.).

b) Materiales

1. Alumnos— Fotocopia de la portada del dossier (figura 2)— Fotocopia de la actividad 1. Comentario de la imagen de la figura 1— Fotocopia de la figura 1

2. Maestra— Retroproyector.— Transparencia de la figura 1.— Transparencia de la figura 2 (Pintura de Klee completa).— Transparencias: interpretación personal de la obra, descripción de la obra

(Anexo I) y objetivos del taller (Anexo II).— Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Klee.— Papel (colocado en la pizarra) para escribir las ideas de los alumnos.— Rotuladores.

c) Agrupamiento

Trabajo en gran grupo, en pequeño grupo y exposición del profesor.

d) Desarrollo de la actividad 1

Comentamos la imagen de las figuras 1 y 2

Se presenta la figura 1, de la pintura de Klee, donde sólo se ven líneas y ángulos, para:

— Formular hipótesis del contenido de estas líneas, respondiendo interrogantes del tipo:cuándo ves esta imagen, ¿qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué crees que forman?, ¿Dedonde crees que las hemos sacado?, ¿Dónde las podrías encontrar?, ¿Qué objetivo tiene lapresentación de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en clase de matemática?, etc.

Se presenta la pintura completa de Paul Klee [sin hacer ninguna aclaración respecto a ella] para:

— Observar las impresiones de los niños, respondiendo interrogantes del tipo: ahora, cuan-do ves esta imagen ¿qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué crees ahora qué es?, ¿De dóndecrees que la hemos sacado?, ¿Dónde la podrías encontrar?, ¿Qué objetivo tiene la presenta-ción de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en clase de matemática?, etc.— Sacar conclusiones de las dos imágenes presentadas (intentando remarcar tanto elemen-tos constructivos del cuadro como medida, relación, proporción, peso, agrupamiento, direc-ción, movimiento, ritmo; y también algunos elementos expresivos, y armonía/contraste,equilibrio/inestabilidad, neutralidad/acento, unidad/fragmentación).— Observar las ideas previas de los niños sobre líneas paralelas y perpendiculares, y sobreángulos y tipo de ángulos. Por eso, se les entrega una fotocopia de la figura 1 y de la activi-dad 1, donde se les plantean los siguientes interrogantes.

[En una hoja se anotarán las aportaciones de los niños antes del desarrollo de las actividades]

— Cuándo observas esta imagen ¿qué palabras relacionadas con la Geometría te imaginas?Es decir, ¿qué elementos geométricos identificas?

[Se especifica que de momento sólo nos centraremos en las líneas]

— ¿Cómo son las líneas? ¿Ves diferentes tipos de líneas? ¿Cuáles? ¿Puedes definirlas o expli-carles con tus palabras? ¿Qué son?

[Se pondrá énfasis en el uso del lenguaje formalizado de las matemáticas mediante el uso depalabras sinónimas que ayuden a la comprensión de los términos matemáticos]

— ¿Qué forman las líneas cuando se cortan, se tocan o se interceptan?— ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir qué es un ángulo?— ¿Podéis identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes crees que tiene un ángulo? — ¿Ves diferentes tipos de ángulos? ¿Cuáles? ¿Podríais enumerarlos? ¿Puedes explicar o defi-nir con tus palabras cada uno de ellos?— ¿Cómo podemos explicar, comprobar o demostrar que un ángulo es de un tipo o de otro,por ejemplo que uno es más grande que otro o más pequeño que otro o iguales?

[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemático, de la demostración matemática,tanto gráfica como algebraica]

— ¿Conoces el transportador? ¿Para qué sirve esta herramienta o instrumento geométrico?¿Sabes utilizarlo?

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— Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, ¿qué observamos quetiene? Si lo comparamos con una regla, ¿qué significado pueden tener estas líneas? ¿En quéunidades se miden los ángulos?

[Se presenta, nuevamente, la pintura completa de Paul Klee, para buscar la interpretación per-sonal de los alumnos (Anexo I)]

— ¿Qué significado tiene esta imagen?— ¿Qué podría ser?— Coloquémonos en el lugar del pintor. ¿Qué idea o sentimientos creéis que quiere trans-mitir con esta obra?— ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocaciónde las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos vemos? ¿Cuál creemosque es el principal y por qué? etc.— ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?

Descripción por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a (Anexo II):

— Título: Batalla armonizada (1937)— Autor: Paul Klee— Objetivos del taller de matemática (Anexo III): Las matemáticas como herramientapara interpretar y para crear obras de arte.

Motivación para investigar de forma individual sobre:

— Características más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos más enla relación con las matemáticas (Geometría).— Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar estetema: ángulos, tipo de ángulos, etc.

5.1.3. ACTIVIDAD 2. Definición de ángulo. Construcción

a) Objetivos

Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo:

— Construir progresivamente los siguientes conceptos: ángulo, elementos del ángulo y tiposde ángulos.

b) Materiales:

1. Alumnos— Transparencias.— Rotuladores permanentes.— Fotocopias actividad 2.— Material de consulta: libros de texto de matemática de primaria, diccionarios, etc.

2. Profesora:— Retroproyector.— Transparencia de la figura 1.— Transparencia de la figura 2 (Pintura de Klee completa).— Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Klee.

c) Agrupamiento

Trabajo individual, en pequeño grupo y en gran grupo.

d) Desarrollo de la Actividad 2

En la construcción de la definición del concepto de ángulo tendremos en cuenta tres fases:

1. Definición individual del concepto.2. Confrontación entre iguales para compartir, mejorar y llegar a un acuerdo de las defini-

ciones propuestas inicialmente.3. Consenso e institucionalización de la definición.

En la siguiente tabla ampliamos las tres fases de definición para la construcción del conceptode ángulo:

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FASE IDefinición individual

(ideas previas)

1. En tu ficha responde porescrito a las siguientespreguntas:a) ¿Qué es para ti un

ángulo?b) ¿Qué partes tiene

un ángulo?c) ¿Cuántos tipos de

ángulos conoces?¿Puedes enunciarlosy representarlos?

FASE IIConfrontación entre iguales

1. Comenta con tus compa-ñeros del grupo las defi-niciones anteriores.

2. Comparadlas con las quete presentan los libros detexto para ver qué lefalta, qué incorporarías, ypropongan una nuevadefinición para:a) Ángulo.b) Partes y tipos de

ángulos.3. Elaborad una transpa-

rencia con el conceptode ángulo que creáiscorrecto (como si edita-ran un libro de geome-tría).

FASE IIIConsenso e introducción

de la definición

1. Puesta en común de lasdefiniciones y acuerdosobre la definición quecompartiremos en la cla-se para:a) Ángulo.b) Partes y tipos de

ángulos.2. Elaborad individualmen-

te un mapa conceptualdel concepto de ángulo.

3. Puesta en común delmapa conceptual y elec-ción de los aspectos másrelevantes.


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FASE I

Creemos conveniente resaltar que es importante que inicialmente los alumnos de formaindividual consignen por escrito sus definiciones previas sobre ángulo. Esto nos ayudará a ver losaciertos y los posibles errores o dificultades que tienen con relación a los conceptos a desarro-llar. A continuación, presentamos ejemplos de las respuestas dadas por dos estudiantes de sexto.Encontramos en las definiciones que dan las dos estudiantes elementos significativos que comomaestros se han de mejorar y tener en cuenta en la gestión que hacemos durante el proceso deconstrucción, por parte de los estudiantes, del concepto de ángulo, y son, entre otros:

1. Aspectos de la definición [diferenciar términos como: punto, recta, semirrecta, segmento, etc.;igualmente, detectar errores como la idea de Angelina de que ángulo es el punto, etc.].

2. Las representaciones del concepto [Hacer énfasis en las partes: lados, vértice, etc.]. 3. La necesidad del uso de los símbolos matemáticos [en el caso de Judit, para facilitar la

diferenciación de los diferentes elementos, por economía al escribir, etc.].

FASE II

Esta fase, al igual que la anterior, consideramos que es importante porque estamos conven-cidas que es precisamente en la interacción entre iguales donde se logran detectar y mejorar

muchas de las dificultades que muestran los estudiantes. La interacción entre iguales crea unambiente propicio para el diálogo, el intercambio de ideas en un contexto de igualdad. La con-frontación de ideas y la unificación de criterios que se desprenden en esta fase, ayuda a los estu-diantes al respeto por las ideas del compañero, a la negociación entre posturas y a la verifica-ción, mediación y enriquecimiento de las mismas, mediante el buen uso de la información queles proporcionan otros referentes. En este caso las definiciones de otros libros de texto, el usode diccionarios y, en general, el manejo de otras fuentes de información.

Otro aspecto a resaltar de esta fase es la motivación por la creatividad que intentamos pro-mover en los estudiantes a la hora de asumir el rol de editores de libro para diseñar la páginaque incluya la definición del concepto de ángulo. Esto nos permitió observar la influencia quetiene el trabajo en pequeños grupos, pues se dieron evoluciones en las definiciones que inicial-mente daban algunos de los estudiantes. Los ejemplos que presentamos a continuación, son lastransparencias finales del grupo de las mismas alumnas que presentamos en la fase anterior, Judity Angelina. La elección de estos dos ejemplos obedece a las siguientes razones:

1. Nuestra intención de mostrar la evolución en las definiciones iniciales que dieron las dosalumnas seleccionadas, influenciadas en gran medida por las aportaciones de los com-pañeros del grupo.

2. Mostrar dos aspectos del concepto de ángulo que nos resultan interesantes e importan-tes de trasladar al aula de clase: la visión estática (definición del grupo de Judit) y la visióndinámica (grupo de Angelina).

3. La variedad en la representación y uso de símbolos que utilizan los diferentes grupos. 4. Se puede observar en la transparencia del grupo de Angelina, como el trabajo en grupo

ayudó a que Angelina introdujera cambios significativos en su definición inicial.

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5. La transparencia del grupo de Judit, muestra muchos de los elementos que aparecenen su definición inicial mejorados con algunas aportaciones de los demás miembrosdel grupo. Esta transparencia nos fue útil para reflexionar con los alumnos sobre laimportancia del uso del lenguaje matemático (símbolos), partiendo de la confusiónque se originaba cuando les pregunté a los miembros del grupo que me señalaran ellado 1, y unos señalaban un lado y otros el otro lado. Esta confusión nos llevó al con-senso de que en clase usaríamos el lenguaje matemático para representar las partesde un ángulo, así:

Todos los aspectos anteriormente expuestos, se han de gestionar y tener en cuenta en el aulade clase en el momento de exposición del representante del grupo, para llegar al consenso dela definición buscando una mayor aproximación del conocimiento escolar al conocimientomatemático.

5.1.4. ACTIVIDAD 3. Definición de ángulo. Aplicación (FASE III)

a) Objetivos

El objetivo que nos plantemos con esta actividad es consensuar y reconstruir las definicionespropuestas por los alumnos en las fases I y II, teniendo como marco de referencia las visionesestáticas y dinámicas de este concepto, el uso de variedad de representaciones de este conceptoy la importancia del uso de ejemplos, no ejemplos y contraejemplos del concepto en la resolu-ción de problemas.

b) Materiales

1. Alumnos— Mapa conceptual construido individualmente en una hoja de papel.

2. Maestra— Retroproyector.— Transparencias.— Rotuladores.

c) Agrupamiento

Trabajo individual y en gran grupo.


Antes de explicar el desarrollo de la actividad, creemos conveniente presentar algunos ras-gos teóricos de lo que es un mapa conceptual que sirva de guía a los maestros que no seencuentran familiarizados con el uso de este recurso didáctico en el aula de primaria.

¿Qué es un mapa conceptual?

Es un recurso esquemático para representar un conjunto de significados conceptuales incluidosen una estructura de proposiciones. Los mapas conceptuales centran su atención en las ideasimportantes en las que debe centrarse cualquier tarea específica de enseñanza/aprendizaje.

Características de los mapas conceptuales

Dado que los mapas conceptuales son un diagrama gráfico-semántico jerárquico que pro-cura reflejar el conocimiento que ha sido incorporado en la estructura cognitiva de un sujeto,luego de haber estudiado un tema, podemos remarcar algunas de sus características más impor-tantes:

— Son jerárquicos.— Resumen esquemático de todo lo aprendido.— Las relaciones de subordinación o superordenación pueden variar según el campo deconocimiento que se tenga de la materia.— Deben representar los conceptos que poseemos y las relaciones entre conceptos queconocemos.— Son personales, no existe «el mapa conceptual de… » en el sentido de ser el único ymejor.

Pautas para la construcción de un mapa conceptual (ver Anexo IV)

Los mapas conceptuales están formados por nodos y líneas de unión entre nodos. Losnodos, que representan conceptos o atributos específicos del tema o disciplina desarrollada, semuestran enmarcados en círculos, rectángulos, óvalos, etc., y se unen mediante trazos. Estasconexiones representan las relaciones que unen a dichos conceptos, y pueden (o no) llevar unaleyenda que aclare el significado de dicha relación. Palabras de enlace tales como de, donde,el, para, entonces, con, si... entonces, y, o, no, etc., son utilizadas, tanto como verbos y sustan-tivos, para construir proposiciones que se leen entre los nodos.

Les sugerimos para la construcción de los mapas conceptuales los siguientes pasos:

1. Escribe palabras clave que creas que son las más importantes del tema objeto de estudio,con relación a la asignatura que explicas.

2. Trata de organizar las palabras anteriores en jerarquías, y escribe éstas en la hoja de papeldonde desarrollarás tu mapa conceptual definitivo.

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3. Conecta los pares de conceptos y relaciónalos mediante conectores o palabras enlace,aunque recuerda que también puedes utilizar palabras, por ejemplo verbos, que hagansencilla la comprensión del mapa.

Después de esta breve introducción sobre los mapas conceptuales, presentamos, a manerade ilustración, dos mapas conceptuales del concepto de ángulo. El primer mapa conceptual fueelaborado por una niña de sexto de primaria. Creemos conveniente aclarar que los niños de laescuela donde se implementó la unidad didáctica se encuentran familiarizados con el uso deesta herramienta. El mapa conceptual del concepto de ángulo construido por Laia, es un buenejemplo para ilustrar la complejidad de los objetos matemáticos que construimos en la primeray segunda fase de la actividad de definición. En esta tercera fase, el objetivo es remarcar sobrelos elementos conceptuales que como profesores queremos que los alumnos construyan delconcepto de ángulo.

Analizando el mapa de esta alumna, observamos que aspectos como el uso del lenguajematemático y la visión dinámica del concepto de ángulo (como giro) no son contemplados. Porello, esta actividad nos resulta rica y provechosa, en el sentido que el intercambio en grupo gran-de de los diferentes mapas de los alumnos y la gestión de la maestra puede ayudar a incorpo-rar en los esquemas de los alumnos aspectos de la definición del concepto que no han queda-do suficientemente «claros».

Posteriormente, de la presentación y justificación de los mapas de los alumnos, la maestrapuede construir con las aportaciones de los alumnos el mapa conceptual consensuado por todala clase del concepto en cuestión. En nuestro caso particular, el mapa conceptual consensuadopara el concepto de ángulo es el que aparece a continuación. Sin embargo, debemos hacerénfasis que este mapa es una opción de las múltiples que pueden surgir al elaborar un mapaconceptual de este concepto. Lo que sí es importante, es que intentemos que el mapa concep-tual sea lo más rico posible. Por tanto, como se puede observar a continuación, hemos insistidoen los siguientes aspectos:

1. Integrar las visiones estática (Región del plano entre dos semirrectas de igual origen) ydinámica del concepto de ángulo (como giro).

2. Hacer énfasis en el uso de diferentes representaciones del concepto de ángulo: verbal(definición), representación gráfica sin caer en el manejo absoluto de prototipos (ángulosen diferentes posiciones y no en la típicas que suelen ser representadas que pueden pro-mover errores en los alumnos. Por ejemplo: el ángulo recto representado así: , y nocomo usualmente se presenta: ).

3. Resaltar la importancia del sistema de medida de referencia y de los instrumentos demedida. Aquí se enfatiza en la validez de los diferentes procedimientos para comprobarla medida de un ángulo: gráficos, algebraicos e intuitivos (aproximaciones y la importan-cia del error en matemática).

4. Hablar matemáticamente. Es decir, el uso de una terminología matemática correcta, pro-moviendo siempre el significado de los términos.

5.1.5. ACTIVIDAD 4. Construcción y medida de ángulos

a) Objetivos

Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión sobrela importancia que tiene, en la construcción y medición de un ángulo, tanto:

1. El sistema de medida de referencia como el uso de diferentes instrumentos de medición. 2. El valor de la exactitud y la aproximación en los diferentes procesos de medición de mag-

nitudes matemáticas.3. El conocimiento y la función de los diferentes elementos que conforman al concepto de

ángulo: vértice, lados (significado de semirrecta, recta, segmento), etc.

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4. La riqueza y variedad de representaciones de los ángulos (no caer en el uso exclusivo deprototipos).

5. Del uso de ejemplos, no ejemplos y contraejemplos que promuevan la argumentación yla contrargumentación en la resolución de problemas.

b) Materiales

1. Alumnos— Transportador (uno o más).— Papel.— Rotuladores.— Hoja con las Figura 1 y Figura 2 (Cuadro de Paul Klee: Batalla armonizada).

2. Maestra— Retroproyector.— Transparencias (Anexo V).— Rotuladores.

c) Agrupamiento

Trabajo individual, en pequeño grupo y en gran grupo.


En esta actividad inicialmente se hace una introducción de las unidades de medida de ángu-los, teniendo como referencia el sistema Sexagesimal (ver anexo V). Sugerimos, en este nivel deescolaridad, centrarnos en la medición de ángulos utilizando como unidad básica el grado,dejando a decisión del maestro el tratamiento de los submúltiplos de esta unidad (minutos ysegundos). Es necesario matizar que el instrumento que permite medir ángulos en este sistemaes el transportador. Igualmente, tenemos que hacer énfasis de la variedad de modelos que hayen el mercado de transportadores y por tanto de las diferencias que hay en el uso de los mis-mos. De allí que sugerimos que esta actividad inicie con un reconocimiento del transportadorque utilizará cada niño, resaltando los aspectos que aparecen en el siguiente esquema:

Posteriormente, proponemos la resolución de una serie de problemas en las que se tratancon igualdad de importancia los siguientes aspectos:

1. El pensamiento conjetural, con el propósito de que los estudiantes usen las definicionesde los diferentes tipos de ángulos en la medición aproximada de diferentes ángulos repre-sentados gráficamente (Ejercicio 1, 5, 6 i-ii-iii).

2. Introducir el procedimiento geométrico, que consiste en la utilización del transportadorcomo instrumento que permite una medición exacta de ángulos a partir de su represen-tación gráfica (Ejercicio 1, 5, 6 iv).

3. Construcción y reproducción gráfica de ángulos mediante procedimientos geométricos apartir de su representación algebraica o numérica (Ejercicio 2, 3, 4).

5.1.6. ACTIVIDAD 5. Construcción de producciones artísticas

a) Objetivo

Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión sobrela importancia que tiene, en la construcción de una producción artística que relacione arte ygeometría, la justificación de los siguientes aspectos:

1. El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una producción artís-tica.

2. Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción de losobjetos geométricos (ángulo, triángulo, etc.) que conforman la producción artística.

3. Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de la pro-ducción artística.

4. Título del cuadro, nombre del autor, y la descripción de los sentimientos que quieretransmitir con su producción artística.

b) Materiales

Cualquier tipo de material y técnica plástica es aceptado. Los alumnos deben escogerla y jus-tificar su elección.

c) Agrupamiento

Producción individual, descripción y justificación gran grupo.

d) Desarrollo de la actividad 5

A continuación presentaremos tres ejemplos de trabajos realizados por niños de sexto de pri-maria del CEIP Escola Bellaterra donde implementamos por primera vez el taller. Todos los ejem-plos que presentamos siguen el modelo, expuesto en el apartado a), que sugerimos a los niñosy niñas sobre la construcción de producciones artísticas. Concretamente en el primer ejemplo,la alumna se centra en los conceptos de ángulos complementarios y bisectriz de un ángulo,resaltando el uso de procedimientos geométricos.

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El segundo ejemplo seleccionado también se centra en el concepto de ángulos complemen-tarios y, aunque utiliza la misma técnica, muestra la variedad en las producciones y justificacio-nes que pueden surgir en el aula.

Finalmente, con el tercer ejemplo queremos resaltar la importancia de la autonomía del niñoen la toma de decisiones justificadas. En este caso, el alumno justifica los diferentes tipos de líne-as utilizadas en la producción artística y la libertad para construcciones libres no enmarcadas enlos procedimientos sugeridos.

Orobitg. J. (2003). Oscuro el plano y vivo de color las semirrectas.

He hecho una composición de ángulos complementarios. Para poder hacerlos ángulos he utilizado el procedimiento geométrico.1. Primero he hecho, en diferentes tamaños, ángulos rectos.2. Después del vértice he hecho líneas, para que se formara un ángulo com-

plementario.3. Cuando me quedaba un ángulo, le he hecho una bisectriz (con el com-

pás y la regla).

La técnica que he utilizado ha sido las ceras blandas. He utilizado mediahoja.1. Primero he pintado la media hoja, a trozos, con colores vivos sin fregar.2. Después he pintado toda la hoja con una cera negra.3. Y para acabar, con un palillo he formado los ángulos complementarios.

Los sentimientos que quiero transmitir son:1. Que en una cosa siempre hay alguna que llama más la atención (en este

caso los ángulos).2. También quería transmitir OSCURIDAD y CLARIDAD.3. He querido hacer diferentes tamaños de ángulos para dar alegría, para

que no fuese tan formal, para darle un poco más de felicidad. Creo quela diferencia lleva la alegría.

Sánchez, A. (2003). Molino de viento con colores entrelazados.

Procedimiento utilizado para hacer el cuadro:1. Pensar qué quería hacer y hacer un esquema del cuadro.2. Pintar a franjas de diferentes colores toda la hoja.3. Pasar el dedo de arriba a bajo, de abajo a arriba, etc., hasta tener toda

la hoja cubierta.4. Calcar el dibujo geométrico que había dibujado por detrás utilizando

un procedimiento geométrico, o sea, con transportador dibujé un cua-drado resaltando unos ángulos agudos que son complementarios en elinterior que parece un molino.

Técnica:Ceras blandas. Dedo, lápiz, regla y transportador.

Sentimientos:Cuando miro este cuadro me transmite que la figura geométrica delmedio fuese como un molino de viento que produce aire de alegría yviento de todos los colores, que se mezclan entre ellos y forman más colo-res diferentes.

5.1.7. ACTIVIDAD 6. Operación con ángulos: suplementarios

a) Objetivos

Los objetivos que nos plantemos con esta actividad son:

— Indagar sobre operaciones con ángulos suplementarios.— Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebrai-co), para abordar la solución de situaciones que involucren ángulos suplementarios, median-te el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

b) Materiales

1. Alumnos— Transportador (uno o más).— Papel.— Rotuladores.— Ficha del dossier de la actividad 6.

c) Agrupamiento

Trabajo individual y grupo grande.


El tratamiento de las operaciones con ángulos suplementarios lo hacemos mediante la reso-lución de situaciones/problemas que ayuden a los estudiantes a visualizar el concepto y les faci-lite la construcción del mismo. Para ello, proponemos a los alumnos el análisis de la figura 3,tomada del cuadro batalla armonizada de Paul Klee, y les proponemos la respuesta de una seriede preguntas que ayuden a los estudiantes a expresar sus ideas sobre ángulos suplementarios y,

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Muñoz, J. (2003). Batalla de colores.

Procedimiento para formar ángulos:Los ángulos que he utilizado son agudos y obtusos, completos, rectos yplanos. Y el procedimiento que he utilizado no es ni algebraico ni geo-métrico, simplemente como me ha venido.

Técnica utilizada:Yo he hecho servir acuarelas y las he mezclado pasando un pincel moja-do con agua. Más tarde, cuando se ha secado he hecho ángulos con reglay un rotulador negro grueso.

Sentimientos:Los sentimientos que quiero transmitir es que en la vida hay mucha varie-dad de objetos, por eso he hecho líneas rectas y curvas. Algunos son ángu-los y de diferentes tipos porque hay muchas diferencias entre los objetos.Y le he llamado batalla de colores porque quiero que se vea que la vidaestá llena de colores que dan alegría y optimismo.


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posteriormente, orientar la construcción colectiva e individual de este concepto mediante lasaportaciones de cada alumno y la gestión del maestro.

Consideramos que la figura 3 puede facilitar la visualización del concepto de ángulo suple-mentario por la fuerza visual de los colores que forman cada uno de los ángulos. Así, el ángulode 180º (color naranja) se ve formado por dos ángulos, uno agudo (color crema) y otro obtuso(color marrón oscuro). Consideramos que como maestros podríamos gestionar esta situaciónpara llevar a los alumnos a realizar los siguientes procesos que ayuden a la construcción del con-cepto:

1. Realizar hipótesis sobre la medida de los ángulos (ejercicio 1 a). [Tratamiento del proce-dimiento intuitivo y aplicación de los tipos de ángulos tratados en sesiones anteriores(ángulo plano, agudo y obtuso)]. Uso de no ejemplos y contraejemplos de los tipos deángulo (ejercicio 1 a). [puesto que muchos alumnos tienden a identificar, erróneamente,los ángulos de color marrón y el crema como ángulos rectos. Por tanto, es el momento dedar importancia para trabajar en el aula no ejemplos de ángulo rectos].

2. Comprobación de las medidas aproximadas y de la hipótesis de que los dos ángulos for-man al ángulo plano mediante el uso del transportador [Remarcar la importancia del pro-cedimiento geométrico o gráfico para verificar las medidas aproximadas].

3. Tratamiento de diferentes sistemas de representaciones del concepto de ángulossuplementarios. Es decir, promover que los alumnos utilicen el lenguaje matemáticoalgebraico, el numérico y el gráfico para representar un mismo concepto matemáti-co. Así:

— Lenguaje gráfico o geométrico: estudio de la figura 3 a partir de la aplicación prácti-ca de los tipos de ángulos ya estudiados en sesiones anteriores.— Lenguaje verbal: la figura 3 nos muestra que el ángulo plano lo conforman dos ángu-los, uno agudo que mide 85º y otro obtuso que mide 95º.— Lenguaje numérico: 85º + 95º = 180º— Lenguaje algebraico: 85º + x = 180º, si x = 95º

95º + x = 180º, si x = 85º95º + 85 º = x, si x = 180º

4. Promover la generalización por parte de los estudiantes de la situación particular ana-lizada, como lo es el estudio de la figura 3, para llevarlos a definir ángulos suplemen-tarios.

Figura 3

ACTIVIDAD 7. Operación con ángulos: complementarios

a) Objetivos

Los objetivos que nos plantemos con esta actividad son:

— Indagar sobre operaciones con ángulos complementarios y sobre la recta bisectriz.— Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y alge-braico) para abordar la solución de situaciones que involucren ángulos suplementariosmediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométri-cos utilizados.

b) Materiales

1. Alumnos— Transportador (uno o más).— Papel.— Rotuladores.— Ficha del dossier de la actividad 6.

c) Agrupamiento



Dado que en el cuadro Batalla armonizada no encontramos ninguna figura que nos permi-tiera estudiar simultáneamente ángulos complementarios y el concepto de bisectriz, diseñamosuna situación que, si bien es cierto no tiene la fuerza visual de la anterior actividad, nos resultóefectiva para el tratamiento simultáneo de estos dos conceptos.

Al igual que en la actividad anterior, partimos del análisis de una situación/problema paraintroducir los conceptos de operaciones con ángulos complementarios y recta bisectriz. Para ellotomamos el caso particular de la recta bisectriz de un ángulo de 90º, que divide al ángulo rectoen dos ángulos de 45º, que son a su vez complementarios entre sí. A partir de preguntas y situa-ciones donde se intenta el tratamiento de los procesos cognitivos descritos en la actividad ante-rior, se lleva a los alumnos a la construcción de estos dos conceptos.

Es importante resaltar que adicionalmente se trabaja el procedimiento gráfico de construcciónde la recta bisectriz de un ángulo, alternando entre diferentes traducciones entre representacio-nes. El procedimiento que sugerimos a los alumnos para trazar la bisectriz fue el siguiente:

— Escoge un ángulo cualquiera. [En el caso que presentamos a continuación Judit esco-gió un ángulo de 90º]— Marca un segmento de igual medida sobre cada uno de los costados [2 cm. en cadauno de los lados]— Traza una circunferencia que tenga de radio la misma medida del segmento escogidoy centro en cada uno de los puntos, sobre los lados del ángulo, que corresponden a dichamedida.

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— Marca el punto de intersección de las dos circunferencias y únelo con el vértice delángulo seleccionado. La recta resultante es la bisectriz del ángulo.

A continuación mostramos un ejemplo de construcción de la recta bisectriz de un ángulorecto, realizado por Judit en la evaluación final del taller.

ACTIVIDAD 8. Resolución de problemas de operaciones con ángulos

a) Objetivos

Con este grupo de situaciones/problemas nos proponemos afianzar las operaciones conángulos, teniendo en cuenta las dos dimensiones del concepto de ángulo tratadas (estática ydinámica). Igualmente, queremos reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos,algebraico, numérico e intuitivo en la resolución de problemas prácticos.

b) Materiales

1. Alumnos

— Transportador (uno o más)— Papel— Rotuladores— Ficha del dossier de la actividad 6

c) Agrupamiento

Trabajo individual y en grupo grande.


La actividad 8 cuenta con tres situaciones/problemas, diferentes entre sí, propuestas a losestudiantes para desarrollar diferentes aspectos de las relaciones entre arte y geometría.

La primera situación, contextualizada en la interpretación de los conceptos geométricos pre-sentes en el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, requiere la aplicación de procedimientosalgebraicos y gráficos para solucionar un problema enunciado en un lenguaje numérico, así:

— Lenguaje numérico: enunciado de los ángulos suplementarios de 95º y 85º.— Lenguaje algebraico: llevarlos a que planteen la ecuación:

95º + 85º = x, entonces x = 180º porque son suplementarios.— Lenguaje geométrico o gráfico: Reproducción gráfica mediante procedimiento geo-métrico de los ángulos encontrados en el cuadro de Paul Klee.

La segunda situación, busca la construcción libre de una composición de ángulos comple-mentarios, y la comprobación de la misma por medio de procedimiento algebraico. Por tanto,aquí fomentamos la autonomía de los estudiantes por el uso de diferentes estrategias de reso-lución al problema planteado. Así, encontramos que en el aula pueden aparecer gran variedadde estrategias propuestas por los alumnos, donde lo más importante no es el resultado, sino lajustificación que den de las mismas. Resaltamos entre otras posibles:

1. Alumnos que comienzan planteando la operación algebraica entre dos ángulos com-plementarios y la demuestran por medio de procedimiento geométrico mediante la cons-trucción o representación gráfica de la misma.

2. Alumnos que comienzan planteando la representación gráfica entre dos ángulos com-plementarios y la demuestran por medio de procedimiento algebraico.

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30º 60º

Situación: X + 30º= 90º X = 60º Demostración:

30º X

Situación:

Demostración: 30º +X = 90º, complem. Entonces X = 60º


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Finalmente, la tercera situación busca que los estudiantes participen en el diseño de situa-ciones/problemas con un triple objetivo:

1. Afianzar los conceptos tratados.2. Comprometerlos y motivarlos en la generación de la actividad matemática necesaria para

consolidar los conceptos desarrollados.3. Implicarlos responsablemente en la elaboración de las situaciones/problemas que se eva-

luarán al final del taller.

A continuación presentamos una aportación, hecha por Joan, un alumno de sexto, sobreposibles preguntas y situaciones/problemas que podríamos trabajar en clase y tenidas en cuen-ta para la evaluación final. Es interesante observar como los estudiantes, si se hace un trabajoriguroso y constante, aplican los diferentes aspectos que el maestro desarrolla y enfatiza en elaula. Es así como vemos en el aporte de Joan aspectos que hemos venido insistiendo a lo largodel taller, tales como:

— La importancia de la definición matemática.— El uso de un lenguaje matemático en el aula.— La formulación de hipótesis.— La importancia de la verificación de los argumentos en matemáticas mediante el usode los diferentes procedimientos, geométrico o gráfico, algebraico, etc.— La construcción gráfica de los elementos geométricos.— La argumentación de la actividad matemática que se realiza, etc.

¿Qué son ángulos complementarios y suplementarios, pon un ejemplo y resuelve lassiguientes preguntas:

a) ¿Podrías hacer ángulos complementarios usando ángulos agudos y obtusos? ¿Por qué?

b) Calcula la amplitud de los ángulos que forman la bisectriz con los lados de cada caso

c) Dibuja la bisectriz de cada ángulo y comprueba que tus cálculos son correctos

36º

124º

205º

5.1.10. ACTIVIDAD 9. Resolución de problemas

a) Objetivos

Con este grupo de situaciones problemas nos proponemos los siguientes objetivos:

— Afianzar todos los conceptos desarrollados en el taller de ángulos, teniendo en cuenta lasdos dimensiones del concepto tratadas: estática y dinámica. — Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos, algebraico, numérico eintuitivo en la resolución de problemas prácticos.— Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricostratados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones/problemasprácticos y significativos.

b) Materiales

1. Alumnos

— Transportador (uno o más)— Papel— Rotuladores— Ficha del dossier de la actividad 9

c) Agrupamiento



En esta actividad planteamos un grupo de nueve situaciones/problemas, en los que se tratancon igual importancia las visiones dinámicas y estáticas del concepto de ángulo. Es así como pro-ponemos que los estudiantes resuelvan obligatoriamente situaciones enunciadas en diferentescontextos:

— Matemático (visión estática). En este grupo tenemos las situaciones 1, 2, 4, 5, 8 y 9.— Artístico (visión estática). En este grupo tenemos las situación 7.— Cotidiano (visión dinámica). En este grupo tenemos las situaciones 3 y 6.

El conjunto de las situaciones/problemas propuestos ayudan a afianzar y construir diferentesaspectos que hemos venido mencionando reiteradamente a lo largo de todo el taller, tales como:

— El pensamiento conjetural, con el propósito de que los estudiantes usen las definicionesde los diferentes tipos de ángulo en la medición aproximada de diferentes ángulos repre-sentados gráficamente; planteen hipótesis y las justifiquen. (Ejercicio 1, 3, 4, 5, y 8).— Introducir el procedimiento geométrico, que consiste en la utilización del transportadorcomo instrumento que permite una medición exacta de ángulos a partir de su representa-ción gráfica (Ejercicio 2, 5, 6, 7 y 8).

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— Construcción y reproducción gráfica de ángulos mediante procedimientos geométricos apartir de su representación algebraica o numérica (Ejercicio 5, 7, y 9).

5.1.11. ACTIVIDAD 10. Resolución de problemas: ampliación y evaluación

a) Objetivos

Al igual que con la actividad anterior, con este grupo de situaciones/problemas nos propo-nemos los siguientes objetivos:

— Afianzar todos los conceptos desarrollados en el taller de ángulos, teniendo en cuenta lasdos dimensiones del concepto tratadas: estática y dinámica. — Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométrico, algebraico, numérico e intui-tivo en la resolución de problemas prácticos.— Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricostratados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones/problemasprácticos y significativos.

b) Materiales

1. Alumnos— Transportador (uno o más).— Papel.— Rotuladores.— Ficha del dossier de la actividad 10.— Internet.

c) Agrupamiento

Trabajo individual y tutoría individualizada del maestro.


Al igual que en la actividad anterior, se presentan un grupo de actividades que complemen-tan el trabajo realizado a lo largo del taller. Las situaciones/problemas que presentamos en estaactividad permiten un uso práctico del concepto de ángulo y de los demás conceptos tratadosen contextos reales.

5.2. Material para el alumnado

Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en Taller de Arte y Geometría: ángu-los, en la pestaña de Desarrollo Curricular.

6. BIBLIOGRAFÍA

6.1. Referencias citadas

BADILLO, E. (2003a). «La Matemática como herramienta para interpretar y crear Obras deArte». Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (JAEM).

BADILLO, E. (2003b). La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza yaprendizaje en profesores de matemática de Colombia. Tesis Doctoral. Universitat Autònoma deBarcelona.

CASTELNUOVO, E. (1981). La matemática. La Geometría. Barcelona: Ketres Editora S.A.DUBISNKY, E. y otros (1997). «A Framework for Research and Curriculum Development in

Undergraduate Mathemathics Education». Research in Collegiate Mathemathics Education. 2,págs. 1-32.

EDO, M. (2003). «Intuir nociones geométricas desarrollando emociones estéticas. Ponencianúcleo temático 3». Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemá-ticas (JAEM).

EDO, M. (2000). «Mundo matemático. Formas en el espacio». En: Anton, M. y Moll, C.(Coord.). Educación infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años). CISSPRAXIS. SA, Barcelona.págs. 301-409.

EDO, M. (1999). «Reflexiones para una propuesta de geometría en el parvulario», en Suma,32, págs. 53-60.

ONRUBIA, J. y otros (2001). «La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: una pers-pectiva psicológica». En: Coll, C., Palacios, J., Marchesi, A. (Comp.). Desarrollo psicológico yeducación 2. Psicología de la educación escolar. Alianza. Madrid. págs. 487-508.

6.2. Libros de texto consultados

BARBA, D. y otros (1984). Matemàtiques. Cicle mitjà. 4rt. EGB. Editorial Barcanova. Barcelo-na.

FRAILE, J. (2002). Matemàtiques 6. Matemàtiques Educació Primària Cicle Superior. VicensVives. Barcelona, págs. 190-199.

MANSILLA, S. y otros (1995). Matemàtiques. Cicle superior 2on. Educació primària 6. Editorialcruïlla. Barcelona.

SERRA, T. (1995). Tres de set Matemàtiques 2. Cicle superior. Educació primària. Editorial Bar-canova. Barcelona.

7. ANEXOS

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ANEXO IInterpretación personal. Pautas para la interpretación del cuadro

Batalla armonizada de Paul Klee

- ¿Qué significado tiene esta imagen? ¿Qué podría ser?

– Colócate en el lugar del pintor y piensa sobre: ¿Qué ideas o sentimientos crees que quieretransmitir con esta obra?

– ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación delas líneas, la secuencia de las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos ves? ¿Cuál crees que es elprincipal y por qué? etc.

– ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?

ANEXO IIDescripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Paul Klee

Título: Batalla armonizada (1937)

Autor: Paul Klee

Biografía: Nació en Suiza (Münchenbuchsee cerca de Berna) el 18 de diciembre de 1879, peroera ciudadano alemán. Estudió música por influencia de sus familiares, pero le gustaba la litera-tura y la pintura. Escogió la profesión de pintor como un acto de rebelión contra sus padres.

(1912) Conoció a Kubin, Macke y Kandinsky, y estableció contactos con el grupo El jinete azul.

(1914) Comenzó la segunda guerra mundial e hizo un viaje a Túnez donde encontró su propioestilo como pintor: «el color ha tomado posesión de mí. Yo no necesito ir en pos deél. Sé que ha tomado posesión de mí para siempre. Este es el sentido de la hora feliz:yo y el color somos uno. Soy pintor». Por tanto, Klee comenzó a meditar sobre el colory se alejó de dibujar a la naturaleza y a los seres vivos. Y se concentró en el frío roman-ticismo de la abstracción (surrealismo).

(1920-1930) Trabajó en la escuela de Bauhaus como maestro de oficio.

(1937) Inició una nueva etapa en la que pintó cuadros de laberintos. Un ejemplo es el cuadroBatalla armonizada. En esta obra se resalta la síntesis de contenido figurativo y estruc-tura pictórica que busca Klee en el pictograma y en los jeroglíficos.

(1940) Murió en Locarno-Muralto el 29 de junio.

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ANEXO IIIPresentación del taller de Arte y Geometría

TÍTULO: Los conceptos geométricos como una herramienta para interpretar y crear obras dearte.

NIVEL: Sexto de primaria

OBJETIVOS:

- Usar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de conceptosgeométricos (conceptual).

- Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométricosdesarrollados (conceptual/procedimental).

- Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptosgeométricos desarrollados (procedimental/ conceptual).

- Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de lasobras seleccionadas (actitudinal).

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ANEX

OIV

MO

DEL

O D

E M

APA

CO

NC

EPTU

AL C

ON

SEN

SUAD

O P

OR

LA C

LASE


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ANEXO VAspectos teóricos desarrollados sobre los tipos de ángulos y sus representaciones

TIPOS DE ÁNGULOS NOM BRE DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN

Recto

Son los ángulos que miden 90º. Por tanto, hacemos un cuarto de giro.

Elem entos: AB BC B = Vértice

b

b = 90º

Agudos

Son los ángulos que miden menos de 90º. Por tanto, la abertura del giro que hacemos es más cerrada de 90º. Elem entos: PN

NM N = Vértice

n

n < 90º

Obtuso

Son los ángulos que miden más de 90º. Por tanto, la abertura del giro que hacemos es más abierta de 90º Elem entos: OP

PQ P = Vértice

p

p > 90º

Plano Son los ángulos que miden 180º. Por tanto, hacemos medio giro. Elem entos: RS

ST S = Vértice

s

s =180º

Com pleto

Son los ángulos que miden 360º. Por tanto, hacemos un giro entero. Elem entos: XY

YZ Y = Vértice

y

y = 360º

Nulo Son los ángulos que miden 0º. Por tanto, no hacemos ningún movimiento.

Elem entos: AB = Lados A = Vértice

a = 0º

= Lados

Y

AB

C

M

NP

OP

Q

R S T

XZ

AB

= Lados

= Lados

= Lados

= Lados

ANEXO VIMEDIDA DE ÁNGULOS

1. INSTRUMENTO: Transportador

2. UNIDADES

I. Sistema sexagesimalGrados (Se representa así: º)Minutos (Se representa así: ’)

Segundos (Se representa así:’’)

II. Relación entre las unidades:1º = 60’1’ = 60 ’’

Por ejemplo: se utilizan para una mayor exactitud en la medida de algunos ángulos que al usarel transportador no coinciden con las rayitas de la escala. Â = 35º 24’ 35 ’’.

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Documents

VIII-Taller de arte y geometria - gent.uab.catgent.uab.cat/mequeedo/.../files/TallerarteygeometriaCS_1angulos.pdf · Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias