V

INSTI

Examens

Virvelg

TUTION

arbete C

gator i

Chri

EN FÖR G

i Meteoro

atmo

istoffer

GEOVETE

ologi Nr 1

osfären

Hallgre

ENSKAPE

1

n

n

R

Copyright © Christoffer Hallgren och institutionen för geovetenskaper, Luft-,vatten- och landskapslära, Uppsala universitet.Tryckt hos Institutionen för geovetenskaper, Geotryckeriet, Uppsalauniversitet, Uppsala, 2011.

Referat

Virvelgator i atmosfären, Christoffer Hallgren

De virvelgator som bildas i atmosfären bakom höga berg på öar påminner tillutseendet starkt om de periodiska flöden som uppstår vid strömning kring encirkulär cylinder. Friktionen mellan fluiden och cylinderns yta gör att det bildasen vak nedströms cylindern. Periodisk virvelspridning där von Kármán-virvlarsänds ut kan uppstå. Utifrån Reynolds tal går det att karaktärisera strömning-en och med hjälp av en numerisk modell kan tillstånden simuleras. Saknas enturbulensmodell i algoritmen blir resultaten för höga Reynolds tal felaktiga.De atmosfäriska virvelgatorna uppstår dock inte på grund av friktion. Iställetkrävs blockering av luftmassor och variationer i densitet för att virvlarna skautvecklas.

För att dra slutsatser om de atmosfäriska virvelgatorna har 11 satellitbildermed virvelgator analyserats. Sambandet λ = 3.9b − 5.3 (förklaringsgrad r2 =0.91) hittades mellan virvelgatans våglängd λ och bredden b på ön. Kvotenλ/b beräknades till medelvärdet 4.33 vilket är jämförbart med resultat från enliknande studie.

Nyckelord: virvelgator, virvelspridning, von Kármán-virvlar, CFD,satellitbildsanalys

Institutionen för Geovetenskaper, Uppsala universitet, Villavägen 16, 752 36Uppsala

2

Abstract

Vortex streets in the atmosphere, Christoffer Hallgren

The visual appearance of the atmospheric vortex street behind a high mountainon an island is very similar to the periodic pattern caused by the flow past acircular cylinder. The friction between the fluid and the surface of the cylin-der creates a wake downstream of the cylinder and periodic von Kármán vortexshedding occurs. The flow may be characterized by means of the Reynolds num-ber and using a numerical model the different states can be simulated. If thealgorithm lacks a turbulence model, the results for high Reynolds numbers willbe wrong. The atmospheric vortex streets do not, however, arise due to friction.Instead, blocking of air masses and density variations are needed for the vorticesto develop.

To be able to draw conclusions about atmospheric vortex streets 11 satelliteimages showing the vortex streets have been analyzed. The relation λ = 3.9b−5.3(coefficient of determination r2 = 0.91) was found, where λ is the wavelengthof the vortex street and b the width of the island. The mean value of the ratioλ/b is 4.33 which is comparable with results from a similar study.

Keywords: vortex streets, vortex shedding, von Kármán vortices, CFD,satellite image analysis

Department of Earth Sciences, Uppsala University, Villavägen 16, SE-752 36Uppsala

3

Innehåll

1. Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Grundläggande samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Navier-Stokes ekvation för atmosfären . . . . . . . . . . . . . 72.3 Potentialflöde kring en cirkulär cylinder . . . . . . . . . . . . 72.4 Visköst flöde kring en cirkulär cylinder . . . . . . . . . . . . . 9

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49 . . . . . . . . . . . . 10II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194 . 11III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260 . . . . . . . . . . 12IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000 . . . . . . . . 13

2.5 Atmosfärens skiktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Förutsättningar för atmosfäriska virvelgator . . . . . . . . . . 13

3. Metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1 Numerisk lösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Polygonyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Inställningar för integrationen . . . . . . . . . . . . . 143.1.3 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.4 Numerisk simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Analys av satellitbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. Resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Numeriska resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Mätningar i satellitbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 Utvärdering av numeriska resultat . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 Virvelgator i atmosfären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Slutsatser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Referenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Satellitbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Bilaga 1 Analytisk lösning för potentialflödet . . . . . . . . . . . . . . 24

4

5

1. InledningEtt grundläggande problem inom fluidmekaniken är att förstå fluiders beteendenär de strömmar kring ett objekt. Det kan handla om att optimera en flygplans-vinges lyftkraft, att strömlinjeforma en bil för att minska luftmotståndet ellerför elitcyklister att utnyttja det sug som bildas bakom cyklisten framför.

I den här rapporten undersöks ett av de enklaste fallen av strömning kringett objekt: då objektet är en cirkulär cylinder och fluiden antas vara två-dimensionell. Ett vardagsexempel på ett sådant system är strömmande vattensom passerar en bropelare. Nedströms pelaren bildas en sträcka med periodiskavirvlar, kallad von Kármáns virvelgata, vilken specialstuderas i rapporten.

I atmosfären kan virvelgatorna bli flera hundra kilometer långa. Dessa upp-står oftast om det blåser mot en ö som domineras av ett högt berg. De luft-strömmar som passerar nära berget tvingas ändra riktning och följden blir attvirvlarna uppstår. Virvlarna syns tydligast i en fuktig marin atmosfär domine-rad av moln på låg höjd. Molnen fungerar som en markör för virvelgatan, sesatellitbilden över Heard Island på rapportens framsida (National Aeronauticsand Space Administration (NASA) 2005). Virvlarna betraktas som ett meso-skaligt fenomen i atmosfären eftersom de är för stora för att upptäckas frånmarken men tillräckligt små för att inte påverkas av Corioliskraften (Ackerman& Knox 2007, s. 369). På de öar som ger upphov till virvlarna har man obser-verat kraftiga oscillationer av både tryck och vindriktning i samband med attvirvlarna skickats ut. Dessa förändringar kan bland annat orsaka svårigheter förflygtrafiken (Jan Mayen 2006).

Bildandet av von Kármán-virvlar kan få förödande konsekvenser. När virv-larna skickas ut periodiskt uppstår stora kraftoscillationer. Detta fenomen leddetill att Tacoma Narrows Bridge i delstaten Washington kollapsade år 1940, baramånader efter att den öppnats för trafik (Crowe et al. 2010, s. 376).

Rapportens fokus ligger på att beskriva virvelfenomenen både teoretiskt ochgenom numeriska beräkningar samt att undersöka den meteorologiska aspektenav virvelgatorna utifrån mätningar i satellitbilder.

2. Teori

2.1 Grundläggande sambandFör att beräkna hur en fluid rör sig används Navier-Stokes ekvation

∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v =

1ρ

(−∇p− ρ∇gz) +µ

ρ∇2~v (Navier-Stokes ekvation)

som uttrycker rörelsemängdens bevarande. ~v är fluidens hastighet och ρ dessdensitet. Vänsterledet beskriver accelerationen för ett fluidelement och termen∂~v/∂t svarar mot hur hastigheten förändras med tiden för en fix position irummet. I högerledet ser vi att tryckkraften/enhetsvolym är −∇p och att gra-vitationskraften/enhetsvolym är −∇gz. Den sista termen (µ/ρ)∇2~v behandlarviskositetskrafterna, vilka är karaktäristiska för fluider och beskriver skjuvnings-krafterna i en strömmande fluid. Den dynamiska viskositetskoefficienten µ angerförhållandet mellan skjuvningskrafterna och hastighetsgradienten och mäts i SI-enheten Ns/m2 (Feynman, Leighton & Sands 1971, ss. 40-1 - 40-3, Crowe et al.2010, s. 19).

6

För att härleda Navier-Stokes ekvation görs antagandet att ρ är konstant ochatt fluiden därför är inkompressibel. Detta är en bra approximation om flödetshastighet är mycket mindre än ljudets utbredningshastighet i fluiden (Feynman,Leighton & Sands 1971, s. 40-2).

Bevarandet av materia ger

∇ · (ρ~v) = −∂ρ∂t

(1)

och med konstant densitet ger denna ekvation att (Feynman, Leighton & Sands1971, s. 40-3)

∇ · ~v = 0 (Kontinuitetsekvationen)

Vorticiteten beskriver virvelstyrkan för fluiden och definieras som

~Ω = ∇× ~v (2)

För en rotationsfri fluid är ~Ω = ~0 (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 40-5).

2.2 Navier-Stokes ekvation för atmosfärenVid studier av atmosfärens dynamik måste Navier-Stokes-ekvation utökas för attbeskriva Corioliseffekten och temperaturfält. De virvlar som bildas på läsidan aven ö har liten utsträckning och därför är det rimligt att försumma Corioliskraften(Ackerman & Knox 2007, s. 369). Temperaturvariationer i en luftmassa göratt densiteten inte är densamma överallt, vilket gör att lyftkrafter uppstår.Om hänsyn tas till variationerna i densitet för lyftkraften (men ignoreras förkontinuitetsekvationen) erhålls Boussinesq-ekvationerna

∂~v∂t + (~v · ∇)~v = 1

ρ0

(−∇p− kgα (T0 − T )

)+ µ

ρ0∇2~v

∇ · ~v = 0∂T∂t + ~v · ∇T = κ∇2T

(Boussinesq-ekv.)

där T0 är temperaturen vid densiteten ρ0 och k är enhetsvektorn i z-riktningen.Koefficienterna α och κ anger styrkan för den termiska expansionen respektivediffusionen (Doering & Gibbon 2004, s. 18).

2.3 Potentialflöde kring en cirkulär cylinderFör att förenkla Navier-Stokes ekvation kan man studera det friktionsfria såkallade potentialflödet genom att sätta viskositeten till noll. För ett jämnt flöde(steady flow) är hastigheten i varje punkt konstant vilket innebär att ∂~v/∂t = ~0.

Med matematiska identiteter för vektorräkning ges

(~v · ∇)~v =12∇ |~v|2 (3)

och Navier-Stokes ekvation kan med dessa förenklingar skrivas som

−∇

(p

ρ+ gz +

|~v|2

2

)= 0 (4)

7

Integrering ger

p

ρ+ gz +

|~v|2

2= konstant (Bernoullis ekvation)

Bernoullis ekvation gäller i allmänhet längs strömlinjer i fluiden (linjer som ärhastighetstangenter och visar färdvägen för en liten partikel) men för rotations-fria flöden gäller den även mellan strömlinjer (Faber 2011).

En inkompressibel friktionsfri fluid som initalt är rotationsfri kommer attfortsätta vara det för all framtid (Crowe et al. 2010, s. 102). Denna sats förenklarekvationerna men gäller inte för en verklig fluid (µ 6= 0) eftersom hänsyn intetas till kontaktytan mellan fluiden och ett objekt (Faber 2011).

För en tvådimensionell inkompressibel fluid i en friktionsfri och rotationsfriströmning kring en cirkulär cylinder med radien a och mittpunkt i origo gårdet att hitta ett analytiskt uttryck för hastighetsfältet. Lösningen, presenteradi bilaga 1, ger hastigheten

~v =

(v0 + v0a

(y2 − x2

(x2 + y2)2

),−v0a

2xy(x2 + y2)2

)(5)

där ~v = (v0, 0) på stort avstånd från cylindern.Eftersom flödet är rotationsfritt kan Bernoullis ekvation appliceras för två

godtyckliga punkter i flödet. Flödet sker i horisontalplanet vilket medför attgravitationstermerna kan strykas. Därför gäller

p+12ρ |~v|2 = p0 +

12ρv2

0 → p = p0 +12ρ(v20 − |~v|

2)

(6)

där p0 är trycket långt bort från cylindern. Strömlinjerna och trycket för potential-flödet visas i figur 1.

Figur 1: Potentialflödet kring en cylinder. Pilarna visar fluidelementens väglängs strömningslinjerna. Tryckfältet visualiseras med en färgskala från blått(lågt tryck) till rött (högt tryck).

I figuren ses ett symmetriskt mönster för både trycket och hastigheten. Tryc-ket är som högst där hastigheten är noll (stagnationspunkterna) och där has-tigheten når sitt maximala värde är trycket som lägst.

Potentialflödet är endast en tillfredsställande teori för de områden där vor-ticiteten är noll. Eftersom till exempel flygplansvingar strömlinjeformas för att

8

hålla turbulensen (och därmed vorticiteten) på så låg nivå som möjligt kan flö-det kring dessa betraktas som ett potentialflöde (Feynman, Leighton & Sands1971, ss. 41-7 - 41-10).

2.4 Visköst flöde kring en cirkulär cylinderDet fysikaliskt sett mer intressanta fallet med visköst flöde kring en cylinderhar ingen analytisk lösning. I följande avsnitt behandlas de slutsatser man hardragit från experimentella studier.

För en verklig fluid som passerar ett objekt är hastigheten noll vid kontakt-ytan. I ett tunt lager utanpå cylindern, kallat gränsskiktet, går hastigheten frånatt vara noll till den fria strömningshastigheten. Fluiden som når cylindern följertill en början dess form väl men vid separationspunkterna avviker flödet och enturbulent vak bildas nedströms (Crowe et al. 2010, ss. 111-112). Begreppenillustreras i figur 2.

Stagnationspunkt Separationspunkt

Gränsskikt Vak

Figur 2: Vid visköst flöde kring en cylinder bildas ett gränsskikt utgående frånstagnationspunkten och en vak bakom cylindern. Det par av punkter där flödetlämnar cylinderns yta kallas separationspunkter. Trycket är lägre i vaken än påcylinderns uppströmssida (efter Crowe et al. 2010, s. 111).

För att kategorisera de olika typer av situationer som kan uppstå nedströmscylindern används de dimensionslösa Reynolds tal och Strouhaltalet

Re =ρv0D

µ(Reynolds tal)

St =fD

v0(Strouhaltalet)

därD är cylinderns diameter och f anger frekvensen i Hertz med vilken virvlarnaskickas ut (Crowe et al. 2010, s. 376).

Kraften på cylindern ges av

F = CDAρv2

0

2(7)

där CD är cylinderns motståndskoefficient och A dess referensyta. Den projice-rade referensytan definieras som ytan av ett objekts silhuett mot den huvud-sakliga flödesriktningen. För cylindern vinkelrät mot flödet är A = D · L där Lär cylinderns längd. (Crowe et al. 2010, s. 366)

De tillstånd som kan skapas vid flöde kring en cylinder klassificeras enklastmed grafer där Strouhaltalet eller motståndskoefficienten CD plottas mot Rey-nolds tal, se figur 3 och 4.

9

0.18

0.16

0.14

0.12

40 80 Re 120 160

St

Re

St

0.30

0.20

0.15

0.25

105104103102

a) b)

Figur 3: Strouhaltalet som funktion av Reynolds tal. I a) visas hur St ökar för40 < Re < 180 (graf efter Williamson 1996, figur 7) och i b) hur St varierar för102 < Re < 106 (graf efter Crowe et al. 2010, s. 376). Notera att skalorna ärolika i de båda graferna.

Re

CD

10510410310101 2

1

2

3

106 107

Figur 4: Motståndskoefficienten CD beror på Reynolds tal. I grafen visas hurCD förändras för 1 < Re < 107 (graf efter Feynman, Leighton & Sands 1971,figur 41-4).

Separationspunkternas placering påverkar vakens storlek, vilket avgör hurstora krafterna på objektet blir. Detta påverkar både motståndskoefficientenoch Strouhaltalet och generellt kan man säga att då St ökar minskar CD ochvice versa (Drazin 2002; Roshko 1954. s. 11).

Det finns fyra karaktäristiska tillstånd för flödet indelade efter Reynolds tal(baserat på Roshko 1954, s. 11, och Williamson 1996, ss. 482-491):

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49

II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194

III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260

IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000

De exakta gränserna beror bland annat på experimentuppställningen och hurpass turbulent flödet är uppströms cylindern.

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49

För mycket låga Reynolds tal (Re << 1) uppstår ett symmetrisk flöde som tillutseendet liknar potentialflödet. Vid Re ≈ 1 går det att med blotta ögat se att

10

denna symmetri brutits och för Re ≈ 10 syns att ett stabilt par av återcirkule-rande virvlar bildats på läsidan, se figur 5 (Drazin 2002). Virvlarnas styrka ochutbredning ökar i takt med att Reynolds tal växer. Samtidigt minskar insuget ivaken på grund av viskösa krafter. Separationspunkterna rör sig successivt upp-ströms längs cylindern, men symmetrin bibehålls. Det jämna flödet innebär attströmningen är identisk ut oavsett när vi tittar, eftersom ∂~v/∂t = ~0 för varjeReynolds tal i intervallet (Drazin 2002; Feynman, Leighton & Sands 1971, ss.41-7 - 41-8 och figur 41-6a; Williamson 1996, ss. 484-487).

Figur 5: Vid Re ≈ 10 syns ett par återcirkulerande virvlar i vaken precis intillcylindern (efter Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6b).

II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194

När Re överstigit 49 blir en av virvlarna bakom cylindern så lång att den brytsloss och förs bort med den strömmande fluiden. Samtidigt börjar en ny virvel attta form på dess gamla plats. Virvlarna släpper växelvis från cylinderns sidor.På så sätt bildas ett periodiskt stråk med en övre rad med negativa virvlar(medurs-rotation) och en undre rad med positiva virvlar (moturs-rotation). Ifigurerna 6 samt 7b)-f) visas skisser och fotografier som illustrerar förloppet.Fenomenet kallas von Kármáns virvelgata efter Theodore von Kármán (1881-1963) som var den förste att upptäcka att denna struktur var en inneboendeegenskap hos flödet och inte en produkt av den experimentella uppställningen,vilket man tidigare ansett. (Feynman, Leighton & Sands 1971, ss. 41-8 - 41-9;Samuelsson 2011; Williamson 1996, s. 480).

Figur 6: Skissad ögonblicksbild av von Kármáns virvelgata nedströms cylindern(efter Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6c).

För att studera hur en ny virvel bildas betraktar vi situationen då det finnstvå lika stora men motsatta virvlar i vaken nedströms cylindern. Vorticitetenskapas på grund av den stora hastighetsskillnaden mellan cylinderns yta (0m/s)och en bit därifrån. Om den fria strömningshastigheten är tillräckligt låg kom-mer vorticiteten att diffundera från ytan och ackumuleras i ett större områdeintill cylindern. Vorticitet har en förmåga att förstärka sig själv och stora virvlar

11

a) b)

c) d)

e) f)

Figur 7: Fotografier och motsvarande skisser över flödets utveckling i vaken. Idet här fallet startar cylindern från vila, i a), och observatören följer dess rörelse,fram till f) (efter Perry, Chong & Lim 1981, figur 1).

bildas (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-10). En av virvlarna transpor-teras bort av strömmen. Den virvel som är närmast cylindern fortsätter att ökai styrka men när den blivit tillräckligt lång bryts den loss. Samtidigt börjar enny virvel bildas på motsatt sida av cylindern. (Williamson 1996, s. 481). Tids-utvecklingen åskådliggörs i figur 8a)-h) som visar en period av virvelspridningen.

a) b) c)

f)e)d)

g) h)

Figur 8: Skisserna i sekvensen a) till h) visar en period av virvelspridningen(efter Perry, Chong & Lim 1981, figur 2).

Både tillstånd I (∂~v/∂t = ~0) och II (∂~v/∂t 6= ~0 men periodiskt flöde) är lami-nära (turbulensfria) flöden, vilket innebär att hastighetsfältet är exakt förutsäg-bart vid varje tidpunkt. I båda dessa tillstånd kommer störningar att dämpas(Roshko 1954, s. 16; Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6b och c).

För flöden i tillstånd II kan virvlarna aldrig bli turbulenta. Deras styrkaavtar genom diffusion när de färdas med strömmen (Roshko 1954, s. 17).

III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260

Enligt Williamson (1996, s. 488) uppstår en diskontinuitet i Strouhaltalet dåRe ≈ 194 och ytterligare en vid Re ≈ 240 samtidigt som karaktären för hur

12

virvlarna skickas ut förändras. Man tror att övergången från laminärt till tur-bulent flöde i tillstånd III alltid sker i det separerade gränsskiktet vilket innebäratt virvlarna blir turbulenta innan de bryter sig loss. Alla virvlar nedströmscylindern är därför turbulenta (Roshko 1954, ss. 16-17).

Flödet har fortfarande samma generella form som i tillstånd II men medökad turbulens blir flödet allt mer tredimensionellt. Detta medför att virvelgatanbörjar lösas upp. Turbulenta virvlar diffunderar snabbt och är utplånade inom50 diametrar nedströms cylindern (Roshko 1954, s. 17; Williamson 1996, s. 488).

IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000

Vid högre Reynolds tal (Re ≈ 500) hinner inte diffusionstransporten föra bort allvorticitet. Ju högre Reynolds tal blir desto längre uppströms på cylindern klätt-rar det turbulenta området. Vid Re ≈ 105 har det nått separationspunkternaoch CD minskar kraftigt. Flödet är nu helt turbulent nedströms cylindern vilketfrämjar diffusionen. De experimentella resultaten visar att periodiciteten ver-kar ha försvunnit (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-9). Det finns delademeningar om vad som händer för Reynolds tal utanför intervallets övre gräns.Enligt Feynman inträder en ny oscillation då hela vaken rör sig omväxlandeframåt och bakåt men exempelvis Kirk hävdar att von Kármán-virvlar finnsupp till Re = 107 (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-9; Kirk 2011).

2.5 Atmosfärens skiktningTroposfären, det skikt av atmosfären som angränsar till jordytan och där detmesta av vädret sker, är uppdelad i ett turbulent gränsskikt och den fria atmo-sfären. Gränsskiktets utsträckning från markytan beror på graden av turbulensoch kan vara allt från hundra meter till ett par kilometer (Nationalencyklopedin(NE) 2011b).

All fukt som finns i atmosfären har förts från jordytan genom gränsskiktet.Transporten sker med tredimensionella virvlar som finns i många olika storlekar,från de allra minsta med en diameter på cirka 1mm till virvlar som är lika storasom gränsskiktet (Sahlée 2010). Övergången mellan det turbulenta gränsskiktetoch den stabila fria atmosfären präglas av en temperaturinversion som gör attmolntyperna cumulus och stratocumulus formas på denna höjd (American Me-teorological Society (AMS) 2011a).

2.6 Förutsättningar för atmosfäriska virvelgatorMajoriteten av satellitbilderna där virvelgatorna kan ses är tagna när himlentill största del är täckt av stratocumulusmoln. Det finns tre kriterier som mås-te tillgodoses för att virvlarna ska uppstå i atmosfären och synas på bilderna(Japan Meteorological Agency 2002, s. 50):

1. Ett stort område av oceanen ska vara täckt av stratocumulus (eller even-tuellt stratus) och molnen ska bildas vid en kraftig temperaturinversionvid övergången mellan gränsskiktet och den fria atmosfären.

2. Det måste blåsa en relativt stark vind på låg höjd med konstant riktning.

3. Ön måste ha en bergstopp som sticker upp några hundra meter över gräns-skiktets höjd.

13

För många öar uppfylls dessa krav flera gånger per år. Den atmosfäriska virvel-gatan har samma periodiska mönster som flödet kring en cirkulär cylinder ochkan sträcka sig över 400 km från öarna. Virvlarna har normalt en diameter på20 − 40 km (Etling 1990). Våglängden λ definieras som avståndet mellan tvåvirvlar med samma rotationsriktning som följer på varandra, se figur 9.

Vindb λ

Figur 9: Öns bredd b, virvelgatans våglängd λ och vindriktningen markerade ien satellitbild över Jan Mayen, 6 juni 2001. Bilden är redigerad.

3. Metod

3.1 Numerisk lösningBeräkningsbaserad strömningsdynamik (computational fluid dynamics, CFD)är den gren inom fluidmekaniken som behandlar hur man löser flödesproblemnumeriskt. För detta ändamål finns många olika datorprogram, alla med sina re-spektive för- och nackdelar. För att simulera det tvådimensionella inkompressib-la viskösa flödet kring en cirkulär cylinder används i den här studien MATLAB-programmet Navier2d utvecklat av Engwirda (2005). Navier2d använder ettgrafisk användargränssnitt vilket gör programmet intuitivt och lättnavigerat.

Navier2d är en nodbaserad algoritm som använder finita volymmetodenpå kontrollvolymer kring varje nod. Den linjära approximationen av tids- ochrumskoordinater sker oberoende av varandra. Navier-Stokes ekvation löses meden semi-implicit Runge-Kutta-metod och LU-faktorisering används för att be-räkna trycket. Tidsutvecklingen bestäms med hjälp av en steguppdelningsmetod(fractional step method) (Engwirda 2005).

3.1.1 Polygonyta

Det första steget för att kunna beräkna fluidens rörelse är att diskretiseraproblemets domän. I Navier2d kan oregelbundna polygonytor användas. Förcylinderberäkningarna används en triangelbaserad polygonyta för en cylindermed radien 1 m, vilket visas i figur 10. Både upplösningen på polygonnätetoch trianglarnas utformning (likformiga trianglar är optimalt) är avgörande förnoggrannheten i lösningen (Engwirda 2005).

3.1.2 Inställningar för integrationen

I Navier2d finns tre möjligheter att välja hur Navier-Stokes ekvation ska lösas:Normal, Tracer och Thermal. Normal löser ekvationen för hastighets- och tryck-

14

Figur 10: Polygonytan för cylindergeometrin.

fälten och är det alternativ vi använder för cylinderproblemet. Tracer löser dess-utom transportekvationen för ett skalärfält, till exempel ett färgämne. Thermalbetraktar skalärfältet som temperatur så att värmetransporter kan beräknas.Navier-Stokes ekvation kompletteras då med en ekvation för värmekonvektionoch en kopplingsterm mellan dem (Boussinesq-ekvationerna) (Engwirda 2005).

Initialvillkoren sätts i vårt fall till (U, V ) = (1, 0) m/s. Även fluidens egenska-per och beräkningens inställningar kan justeras. Maximala antalet beräknings-steg sätts till 2500 och den kinematiska viskositeten till 0.0067 m2/s. Kinema-tisk viskositet definieras som ν = µ/ρ vilket gör att Reynolds tal kan skrivasRe = v0D/ν. I övrigt används standardinställningarna. Navier2d har ingen mo-dell för att beskriva turbulens vilket gör att resultaten inte blir tillförlitliga förhöga värden på Re (Engwirda 2005).

3.1.3 Randvillkor

Randvillkoren måste anges för alla noder på lösningsdomänens gränser. Hastig-heten kan ställas in så att U och V specificeras eller att gradienterna (längsrandens normal) sätts till noll. Det finns även två fördefinierade utflödesvillkorsom minskar den artificiella reflektionen tillbaka in i domänen. Med det ena ut-flödesvillkoret extrapoleras värden genom dp/dn = 0, det andra tvingar trycketatt vara konstant vid noderna. Generellt sett är extrapoleringsmetoden bättre,och används här, men kan vara känslig för instabiliteter. U och V sätts till nollpå cylinderns yta och i domänens vänsterkant sätts (U, V ) = (1, 0) m/s. Förde övre och undre gränserna av domänen sätts V till noll liksom dU/dn, vilketmotsvarar att väggarna inte utövar någon kraft på fluiden (Engwirda 2005).

3.1.4 Numerisk simulering

Navier2d ritar automatiskt upp en animerad graf över hastighetsfältets föränd-ring med tiden. Därutöver kan man välja fler parametrar att studera, exempelvistrycket och vorticiteten.

15

För att analysera hur väl resultaten från Navier2d stämmer överens med denteoretiska beskrivningen i avsnitt 2.4 görs körningar för olika Reynolds tal somsvarar mot tillstånden I - IV. Fluiden i beräkningarna antas vara vatten (ν =1.00 ·10−6 m2/s vid 20°C och normalt lufttryck) och U anges i intervallet 10−5−1 m/s så att motsvarande Reynolds tal blir 10, 100, 220, 500, 104 respektive 106

(Crowe et al. 2010, s. A-10). Inställningar för övriga parametrar är som tidigare.

3.2 Analys av satellitbilderFör att studera de atmosfäriska virvelgatorna har satellitbilder för sju platservalts ut, se karta i figur 11. Alla öarna i studien är av vulkaniskt ursprung.Urvalet är i första hand baserat på tillgången och kvalitén på satellitbilderna,men även för att få en stor spridning av positioner över hela jordklotet.

Guadeloupe

Selkirkön

Heard Island

Socorroön

Jan Mayen

Gran Canaria

Madeira

Figur 11: Valda platser i jämförelsen (figur efter Encyclopædia Britannica (EB)2011d)

11 satellitbilder har valts och mätningarna har gjorts på samma sätt i allabilderna. Våglängden, definierad i avsnitt 2.6, har i den här studien utsetts somkaraktäristisk parameter för att beskriva virvelgatan. Först mäts våglängdeni satellitbilden relativt öns bredd (vinkelrät mot virvelgatans utbredningsrikt-ning). Öns absoluta bredd b mäts i en karta med angiven skala och därefter kanden absoluta våglängden λ beräknas. I figur 9 är λ och b definierade. Uppgif-ter om vinden vid det aktuella tillfället hämtas ur återanalysdata från NationalOceanic and Atmospheric Administration (NOAA) (Kalnay et al. 1996).

4. Resultat

4.1 Numeriska resultatFigur 12 visar en ögonblicksbild av trycket och vorticiteten vid slutet av ensimulering utifrån indata givna i avsnitt 3.1.1 - 3.1.3. Resultatet av körningarnaför de Reynolds tal som svarar mot tillstånden I - IV visas i figur 13.

16

a)

b)

Figur 12: Simulering av von Kármáns virvelgata med Navier2d. a) Tryckets ochb) vorticitetens variation i rummet vid det sista tidssteget i körningen.

Re = 500

Re = 10 000 Re = 1 000 000

Re = 10 Re = 100

Re = 220

Figur 13: Simuleringar av vorticiteten för vattenflöde kring en cylinder för Rey-nolds tal i intervallet 10− 106.

4.2 Mätningar i satellitbilderResultatet av mätningarna för de 11 satellitbilderna presenteras i tabell 1 och ifigur 14 visas sambandet mellan den uppmätta våglängden och öns bredd.

5. Diskussion

5.1 Utvärdering av numeriska resultatEnligt Petrin (1997) krävs att en störning införs för att von Kármán-virvelgatorska uppstå. Detta är endast ett problem i matematiska lösningar eftersom verk-liga fluider alltid innehåller någon oregelbundenhet. I den numeriska simulering-en kan störningen vara ett diskretiserings- eller trunkeringsfel eller en avsiktligförändring, till exempel att vorticiteten förstärks (Wu & Thompson 1972, s.211).

I simuleringen för Re = 10 (figur 13) ses ett par återcirkulerande virvlarbildas, vilket överensstämmer med beskrivningen för tillstånd I. Under exekve-ringen växer vakens storlek successivt som en följd av vorticitetens diffusion.

17

Plats Datum(ååmmdd)

Öns bredd[km]

Öns höjd[m. o. h]

Vindstyrka[m/s]

λ[km]

Gran Canaria1 000424 45.3 1950 9− 10 155Gran Canaria 100606 45.3 1950 5− 6 161Guadeloupe2 990820 1.9 275 4− 6 22.7Heard Island3 050105 18.6 2745 12− 15 83.0Jan Mayen4 790412 15.4 2277 8− 10 45.0Jan Mayen 010606 15.4 2277 12− 15 33.1Jan Mayen 050407 15.4 2277 16− 18 24.6Jan Mayen 051019 15.4 2277 14− 16 70.3Madeira5 100821 48.8 1861 6− 7 222Selkirkön6 990915 3.3 1320 14− 16 18.9Socorroön7 100701 10.8 1130 6− 8 30.2

Tabell 1: Data för 11 tillfällen då virvelgator uppstått. Källorna för bildmateri-alet anges i referensförteckningen. Data för öns högsta berg hämtades från (1)Jakobsson 2011 (2) Anderberg 2011 (3) EB 2011a (4) Jan Mayen 2006 (5) NE2011c (6) EB 2011b (7) EB 2011c.

Våg

läng

d [k

m]

Öns bredd [km]100 20 30 40 50

100

200

150

50

0

λ = 3.9 b – 5.3.

Figur 14: Våglängden (λ) plottad mot öns bredd (b). Ett förstagradspolynomhar anpassats till datapunkterna.

Ökas antalet beräkningssteg uppnår vaken en viss storlek som därefter är kon-stant vilket stämmer med teorin som säger att flödet ska vara tidsoberoende.

I början av körningen för Re = 100 blir vaken allt mer utsträckt på sammasätt som för Re = 10. En tendens till att vaken ändrar utseende märks och denövergår snart till att vara vågformad. Strax därefter löses vaken upp och bildarenskilda virvlar som formar von Kármáns virvelgata. För Re = 220 är förloppetdetsamma. Eftersom resultatet endast studeras i två dimensioner går det inteatt avgöra om flödet blivit mer tredimensionellt i övergångstillståndet (tillståndIII) jämfört med det laminära tillstånd II.

Ju högre Reynolds tal desto kortare blir vaken. En förskjutning uppträder såatt den ena återcirkulerande virveln blir längre än den andra vilket ger en oba-lans. Detta sätter igång virvelspridningen som följer samma förlopp som visas ifigur 7. De första virvlarna som sänds ut hamnar utanför virvelgatan. Simule-ringarna i figur 13 antyder att högre Reynolds tal ger en tydligare uppdelning

18

med virvlar i två distinkta rader samtidigt som våglängden minskar.Även för Re = 104 och 106, vilka ligger utanför tillstånd IV, blir resultatet

von Kármáns-virvelgata. Det är, vilket anmärktes i beskrivningen av tillståndIV, möjligt att von Kármán-virvlarna existerar ända upp till Re = 107 (Kirk2011). Enligt Kirk uppträder en instabilitet när det Reynolds tal som ger upphovtill virvelgatan överstigs. Denna instabilitet finns kvar för alla Re större äntröskelvärdet. Även vid ett högt värde på Reynolds tal kommer instabiliteten attexistera på stor skala, och därmed även virvelgator, även om flödet är turbulentpå liten skala (Kirk 2011). En simulering för Re = 109 gjordes för att kontrollerahur väl den numeriska modellen klarar höga Reynolds tal. Den resulterandevorticitetsgrafen blev identisk med utfallet för Re = 106. Detta belyser detfaktum att Navier2d inte kan hantera turbulenta flöden eftersom programmetsaknar turbulensmodell (se avsnitt 3.1.2).

5.1 Virvelgator i atmosfärenEtt antal approximationer har gjorts i satellitbildsmätningarna. Det är svårt attexakt mäta upp våglängderna. I de flesta fall har mätningarna gjorts över fleraperioder för att ge ett medelvärde till λ. Ingen korrektion gjorts till eventuellaskalförändringar i satellitbilderna, men det är antagligen försumbart jämförtmed de andra felkällorna. Vindstyrkan har tagits ur återanalysdata från NOAA(Kalnay et al. 1996). Återanalysdata bygger på att en numerisk modell använderobservationer tagna både före och efter den angivna tidpunkten. Därefter kantill exempel vindfältet beräknas (Reanalyses 2011). Eftersom exakt informationom när satellitbilderna är tagna saknas gäller alla vinddata för klockan 12 UTCdet aktuella datumet, vilket är en liten approximation eftersom alla bilder ärtagna dagtid.

För luftströmmarna kring öar går det att göra en uppskattning av Reynoldstal trots att bergets diameter på den höjd där virvlarna uppträder är okänd.Den kinematiska viskositeten för luft är 10−5 m2/s (Crowe et al. 2010, s. A-8)och vindstyrkan ungefär 10 m/s vilket ger Re = D · 106 m−1. För att uppfyllakraven för de tillstånd som beskrivs i avsnitt 2.4 krävs att bergets diameter är istorleksordningen 0.1 mm− 0.1 m, vilket är orimligt lite. Kirks (2011) gräns påRe = 107 ger D = 10m. Istället för att definiera Reynolds tal utifrån kinematiskviskositet kan den så kallade virvlingsviskositeten användas. Virvlarna transpor-terar rörelsemängd vilket skapar en inre friktion i fluiden. Denna beskrivs meden viskositetskoefficient i storleksordningen 1 m2/s. Har berget en diameter påmindre än 100 m blir Re < 103 (Chern 2011; AMS 2011b).

Enligt Olafsson (2011) skiljer sig bildandet av atmosfäriska virvelgator påläsidan av en ö från det viskösa flödet kring en cirkulär cylinder. Olafsson menaratt virvlarna inte bildas på grund av friktion utan av att stabila luftmassor bloc-kerar varandra. Detta stöds av Sun (2011) som dessutom hävdar att virvlarnai första hand skapas av baroklinitet. Begreppet innebär att densiteten varierarlängs en isobar yta i fluiden och baroklin instabilitet är orsak till att små stör-ningar kan utvecklas till virvlar (NE 2011a). Viskositet är inte en nödvändighetför att virvlarna ska bildas (Sun 2011). Etling (1990) sammanfattar genom attskriva ”trots att strukturen för atmosfäriska virvelgator och von Kármán-virvlartill synes är ganska lika kan inte bildandet av de kvasi-tvådimensionella virv-larna med vertikala axlar i vaken av en ö förklaras utan att ta hänsyn till denstabila skiktningens dämpning av verikala rörelser”. Enligt Chern (2011) kan

19

virvlarna i vaken av en bergig ö bildas på många olika sätt, men hur de skapasskiljer sig kraftigt från laboratorieexperimenten beskrivna i avsnitt 2.4.

För att kunna dra några slutsatser om de atmosfäriska virvelgatorna bör manalltså välja att studera andra parametrar än Reynolds tal. Relationen mellanvåglängden och öns bredd framgår i figur 14. Ingen korrelation hittades mellanλ och vindstyrkan respektive öns höjd.

Det minstakvadratanpassade förstagradspolynomet i figur 14 har förklarings-graden r2 = 0.91. Av detta dras slutsatsen att det finns ett samband mellan önsbredd och våglängden för atmosfäriska virvelgator. Ju större ön är desto längreblir våglängden. Anpassningen kan endast anses gälla för öar med en bredd iintervallet 2− 50 km, eftersom alla öar i mätningen är av denna storlek.

Det verkar rimligt att ett berg med stor diameter skapar utbredda virv-lar men sambandet behöver inte vara linjärt. Även parametrar som vindhas-tighet, bergets utformning och rådande förhållanden i atmosfären (exempel-vis temperatur- och tryckvariationer) påverkar virvelgatans exakta utformning,se exempelvis de fyra fallen från Jan Mayen. I en liknande studie (Young &Zawislak 2005) där 30 satellitbilder analyserats beräknades både förhållandenah/λ = 0.42 (aspect ratio) och den dimensionslösa bredden h/b = 1.61, där hanger avståndet mellan den övre och den undre virvelraden. Utifrån dessa datakan kvoten λ/b beräknas till medelvärdet 3.83 (4.95 om hänsyn tas till jordenskrökning). Detta stämmer väl överens med mätresultaten i den här rapportensom ger medelvärdet 4.33. Värdena ligger i intervallet 1.6 − 5.7 med undantagför Guadeloupe som ger λ/b = 11.9. Anledningen till denna avvikelse är oklarmen Guadeloupe särskiljer sig från de andra öarna i undersökningen genom attha den minsta bredden samt att berget har den klart lägsta höjden.

Förhållandena h/λ och h/b undersöktes för några satellitbilder. Mätningarnagav en stor spridning kring de värden som anges av Young och Zawislak (2005)men resultatet kan antagligen förbättras om de korta avstånden mäts med högnoggrannhet och på många ställen i satellitbilderna för att ge ett medelvärde.

5. SlutsatserProgrammet Navier2d fungerar bra för att simulera tvådimensionella viskösaflöden i tillstånd I och II. För höga Reynolds tal står det klart att avsaknadenav en turbulensmodell ger resultat som inte överensstämmer fullt ut med denteoretiska beskrivningen.

Trots den uppenbara synliga likheten mellan de experimentella von Kármán-virvlarna och virvelgatorna i atmosfären behövs olika fysikaliska beskrivningarför att förklara fenomenen. De von Kármán-virvlar som uppstår vid visköst flödekring en cirkulär cylinder bildas på grund av friktionen mellan cylinderns ytaoch fluiden. I atmosfären är det däremot troligen blockering av luftmassor ochbaroklinitet som orsakar virvelgatorna.

De mätningar som gjorts i satellitbilderna visar att det finns ett sambandmellan virvelgatans våglängd och öns bredd. Relationen är sådan att desto bre-dare ö som ger upphov till virvelgatan, desto större blir våglängden.

20

TackFörst och främst vill jag rikta ett varmt tack till handledaren Erik Nilsson(doktorand i meteorologi, Uppsala universitet) som under hela arbetets gånggivit värdefulla tips och bidragit med konstruktiv kritik.

Ett stort tack till Jiundar Chern (doktor i mesoskaliga atmosfäriska proces-ser, NASA, Greenbelt), Benjamin Kirk (ingenjör i tillämpad luftvetenskap ochCFD, NASA, Houston), Haraldur Olafsson (professor i meteorologi, universite-tet i Bergen) samt Wen-Yih Sun (professor i meteorologi, Purdue University)som alla bidragit med information om hur atmosfäriska virvelgator bildas.

Darren Engwirda (PhD student i matematik, University of Sydney) somskrivit programmet Navier2d och Britton J. Olson (PhD student i aero/astro,Stanford University) som skickade koden förtjänar båda ett stort tack.

ReferenserAckerman, S. A. & Knox, J. A. (2007). Meteorology: Understanding the

Atmosphere. United States of America: Thomson Brooks/Cole.

American Meteorological Society (2011a). Glossary. Atmospheric boundarylayer. [Elektronisk] Tillgänglig: http://amsglossary.allenpress.com/glossary/search?p=1&query=Atmospheric+boundary+layer&submit=Search[2011-04-12]

American Meteorological Society (2011b). Glossary. Eddy viscosity.[Elektronisk] Tillgänglig http://amsglossary.allenpress.com/glossary/search?id=eddy-viscosity1 [2011-04-29]

Anderberg, S. (2011). Guadeloupe. I Nationalencyklopedin. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.ne.se/lang/guadeloupe [2011-04-13]

Chern, J. (2011). Goddard Space Flight Center, NASA, Greenbelt. Privatkommunikation. [2011-04-28]

Crowe, T. C., Elger, D. F., Williams, B. C. & Roberson, J. A. (2010).Engineering Fluid Mechanics, 9th edition. Asia: Wiley

Doering, C. R. & Gibbon J. D. (2004). Applied analysis of the Navier-Stokes equations. Cambridge University Press.

Drazin, P. G. (2002). Introduction to Hydrodymanic Stability . CambridgeUniversity Press.

Encyclopædia Britannica (2011a). Heard and McDonald Islands.[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/258268/Heard-and-McDonald-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011b). Juan Fernández Islands.[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/306992/Juan-Fernandez-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011c). Revillagigedo Islands.[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/500519/Revillagigedo-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011d). World map. [Elektronisk] Tillgänglig:http://www.britannica.com/EBchecked/media/69323/ [2011-04-13]

21

Engwirda, D. (2005). Navier2d Readme.

Etling, D. (1990). Mesoscale Vortex Shedding from Large Islands: A Com-parison with Laboratory Experiments of Rotating Stratified Flows.Meteorology and Atmospheric Physics, vol. 43, ss. 145-151

Faber, T. E. (2011). Fluid mechanics. I Encyclopædia Britannica.[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/211272/fluid-mechanics [2011-03-24]

Feynman, R. P., Leighton, R. B. & Sands, M. (1971). The Feynman Lectu-res on Physics. Volume II. Addison-Wesley.

Jakobsson, A. (2011). Kanarieöarna. I Nationalencyklopedin. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.ne.se/lang/kanarieöarna [2011-04-13]

Jan Mayen (2006). Jan Mayen. [Elektronisk] Tillgänglig:http://www.jan-mayen.no/ [2011-04-13]

Japan Meteorological Agency (2002). Analysis and Use of MeteorologicalSatellite Image. Meteorological Satellite Center.

Kalnay et al. (1996). The NCEP/NCAR 40-year reanalysis project, Bul-letin of the American Meteorological Society, vol. 77, ss 437-470.Återanalysdata tillgängligt: http://nomad3.ncep.noaa.gov/cgi-bin/pdisp_6p_r1.sh [2011-04-14]

Kirk, B. (2011). Lyndon B. Johnson Space Center, NASA, Houston. Privatkommunikation. [2011-04-22]

Nationalencyklopedin (2011a). Baroklin. [Elektronisk] Tillgänglig:http://www.ne.se/baroklin [2011-04-26]

Nationalencyklopedin (2011b). Gränsskikt. [Elektronisk] Tillgänglig:http://www.ne.se/gränsskikt/186907 [2011-04-12]

Nationalencyklopedin (2011c). Madeira. [Elektronisk] Tillgänglig:http://www.ne.se/lang/madeira/248131 [2011-04-13]

Olafsson, H. (2011). Univeristetet i Bergen. Privat kommunikation. [2011-04-23]

Perry, A. E., Chong, M. S & Lim, T. T (1981). The vortex-shedding processbehind two-dimensional bluff bodies. Journal of Fluid Mechanics, vol.116, ss. 77-90

Petrin, A. B. (1997). Integro-differential equation method in the hydro-dynamics of an incompressible viscous fluid. Journal of Experimentaland Theoretical Physics, vol 85, ss. 724-727

Råde, L. & Westergren, B. (2004). Mathematics Handbook for Science andEngineering. China: Elanders Beijing Printing Co.

Sahlée, E. (2010). Gränsskikt. Föreläsning 2010-10-04

Samuelsson, A. (2011). Theodore von Kármán. I Nationalencyklopedin.[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.ne.se/theodore-von-karman[2011-04-29]

Sun, W-Y. (2011). Purdue University. Privat kommunikation. [2011-04-22]

Reanalyses (2011). Reanalysis Intercomparison and Observations. [Elektro-nisk] Tillgänglig: http://reanalyses.org/ [2011-04-25]

22

Roshko, A. (1954). On the development of turbulent wakes from vortexstreets. National Advisory Committee for Aeronautics, report 1191.

Williamson, C. H. K. (1996). Vortex dynamics in the cylinder wake. An-nual review of fluid mechanics, vol 28, ss. 477-539

Wu, J. C. & Thompson, J. F. (1972). Numerical solutions of time-dependentincompressible Navier-Stokes equations using an integro-differentialformulation. Computers & Fluids, vol 1, ss. 197-215

Young, S. G. & Zawislak, J. (2005). An Observational Study of VortexSpacing in Island Wake Vortex Streets. Monthly Weather Review, vol134, ss. 2285-2294

SatellitbilderGran Canaria (2010-06-06). European Space Agency (ESA) [Elektronisk]

Tillgänglig: http://earth.eo.esa.int/cgi-bin/satimgsql.pl?show_url=2058&startframe=0 [2011-04-12]

Gran Canaria (2000-04-24). National Aeronautics and Space Administra-tion (NASA) Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:http://visibleearth.nasa.gov/view_rec.php?id=752 [2011-04-12]

Guadeloupe (1999-08-20). NASA Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:http://visibleearth.nasa.gov/view_rec.php?id=962 [2011-04-12]

Heard Island (2005-01-05). NASA Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:http://visibleearth.nasa.gov/view_rec.php?id=8184 [2011-04-12]

Jan Mayen (1979-04-12). Dundee Satellite Receiving Station. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.sat.dundee.ac.uk/gallery/gallery_imagedetails.php?id=979 [2011-04-11]

Jan Mayen (2001-06-06). Dundee Satellite Receiving Station. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.sat.dundee.ac.uk/gallery/gallery_imagedetails.php?id=125 [2011-04-11]

Jan Mayen (2005-04-07). Dundee Satellite Receiving Station. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.sat.dundee.ac.uk/gallery/gallery_imagedetails.php?id=128 [2011-04-11]

Jan Mayen (2005-10-19). Dundee Satellite Receiving Station. [Elektronisk]Tillgänglig: http://www.sat.dundee.ac.uk/gallery/gallery_imagedetails.php?id=71 [2011-04-11]

Madeira (2010-08-21). NASA Modis. [Elektronisk] Tillgänglig:http://modis.gsfc.nasa.gov/gallery/individual.php?db_date=2010-08-21 [2011-04-12]

Selkirkön (1999-09-15). NASA Landsat. [Elektronisk] Tillgänglig:http://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=625 [2011-04-11]

Socorroön (2010-07-01). National Oceanic and Atmospheric Administration(NOAA). [Elektronisk] Tillgänglig: http://www.nnvl.noaa.gov/MediaDetail.php?MediaID=447&MediaTypeID=1&MediaFileID=65 [2011-04-12]

23

Bilaga 1 Analytisk lösning för potentialflödetVi vill hitta en stationär lösning för en inkompressibel fluid i en friktionsfri ochrotationsfri strömning kring en cirkulär cylinder (i 2D) med radien a.

Lösning:

Randvillkor: Långt bort från cylindern är strömningshastigeten

~v = ~v0 = v0x (8)

Vi inför variabeln~u = ~v − ~v0 (9)

och kan då med hjälp av ekv. 8 skriva

limρ→∞

~u = ~0 (R1)

där ρ mäts från origo. Vid cylinderns yta är ~v parallell med ytan, det vill säga

~vρ=a · ρ = 0 (10)

där ρ är normal till cylinderns yta. Skrivs detta om med ekv. 9 blir vid ρ = a

~u · ρ+ ~v0 · ρ = 0 → uρ = −v0,ρ (11)

Utifrån ekv. 8 kan vi i polära koordinater (ρ, ϕ) skriva

~v0 = v0x = v0 cos (ϕ) ρ− v0 sin (ϕ) ϕ → v0,ρ = v0 cos (ϕ) (12)

vilket geruρ = −v0 cos (ϕ) (R2)

Differentialekvation: Eftersom ~v är rotationsfri är även ~u rotationsfri,∇× ~u = ~0. Det finns därför en potential φ så att ~u = ∇φ (Råde & Westergren2004, s. 248). Ekv. 9 kan nu skrivas

~v = ~v0 +∇φ (13)

En inkompressibel vätska uppfyller kontinuitetsekvationen ∇ · ~u = 0. Eftersom~u = ∇φ ger detta Laplace-ekvationen ∇ (∇φ) = ∆φ = 0. I polära koordinaterblir differentialekvationen (Råde & Westergren 2004, s. 252):

∆φ =1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1ρ2

(∂2φ

∂ϕ2

)= 0 (14)

och med ansatsen φ (ρ, ϕ) = R (ρ)V (ϕ) kan den skrivas om till

(ρ2R′′ + ρR′

) 1R

= −V′′

V= λ (15)

där λ är en separationskonstant. Detta ger två ekvationer. Den ena är

V ′′ + λV = 0 (16)

24

som har lösningen (Råde & Westergren 2004, s. 202)

V (ϕ) = A cos(√

λϕ)

+B sin(√

λϕ)

(17)

Eftersom vi har periodiska randvillkor (periodicitet 2π) får vi

Vn (ϕ) = An cos (nϕ) +Bn sin (nϕ) λ = n2 n = 0, 1, 2, ... (18)

I lösningen för R måste fallet n = 0 specialbehandlas. Då är (från ekv. 18)V0 (ϕ) = A0 = konstant. För n = 0 blir ekv. 14

1ρ

d

dρ

(ρdR0

dρ

)= 0 (19)

eftersom φ inte har något ϕ-beroende. Uttrycket i parentesen måste vara enkonstant, C0, för att ekvationen ska vara uppfylld.

ρdR0

dρ= C0 → R0 = C0 ln (ρ) +D0 (20)

För fallet n > 0 gäller från ekvationerna 15 och 18

ρ2R′′ + ρR′ − n2R = 0 (21)

Ansatsen R = Eρα ger α2 = n2 så att α = ±n och därför blir

Rn = Enρn + Fnρ

−n (22)

Eftersom ~u = ∇φ gäller även (med hjälp av randvillkoret R1) att

limρ→∞

(∇φ) = ~0 → limρ→∞

R′ = 0 (23)

Ekv. 20 ger att

R′0 (ρ) =C0

ρ(24)

och då ρ→∞ går R′0 mot 0 vilket uppfyller ekv. 23. Från ekv. 22 ser vi att

R′n (ρ) = nEnρn−1 − nFn

ρn+1(25)

och för att ekv. 23 ska vara uppfylld måste En = 0.

Potential: Lösningarna för Vn och Rn multipliceras samman vilket ger

φ = C0 ln (ρ) +D0 +∞∑n=1

ρ−n (An cos (nϕ) +Bn sin (nϕ)) (26)

där konstanterna An, Bn, C0 och D0 inte är desamma som tidigare. För attbestämma konstanterna används randvillkoret R2[

∂φ

∂ρ

]ρ=a

= uρ = −v0 cos (ϕ) (27)

25

Ekv. 26 ger[∂φ∂ρ

]ρ=a

=[C0

1ρ +

∑∞n=1−nρ−n−1 (An cos (nϕ) +Bn sin (nϕ))

]ρ=a

=

= C01a +

∑∞n=1−na−n−1 (An cos (nϕ) +Bn sin (nϕ))

(28)

För att ekvationerna 27 och 28 ska vara lika måste C0 = 0, Bn = 0 ochAn 6=1 = 0. För fallet n = 1 får vi

−a−2A1 cos (ϕ) = −v0 cos (ϕ) → A1 = a2v0 (29)

Sätts D0 = 0 ger ekvationerna 26 och 29

φ =a2v0ρ

cos (ϕ) (30)

Vi vill nu hitta en potential Φ som uppfyller ∇Φ = ~v (kom ihåg att ∇φ = ~u).

~v = ~v0 +∇φ = v0 cos (ϕ) ρ− v0 sin (ϕ) ϕ+ ∂φ∂ρ ρ+ 1

ρ∂φ∂ϕ ϕ =

=(v0 cos (ϕ) + ∂φ

∂ρ ,−v0 sin (ϕ) + 1ρ∂φ∂ϕ

)=

=(v0 cos (ϕ)− a2v0

ρ2 cos (ϕ) ,−v0 sin (ϕ)− 1ρa2v0ρ sin (ϕ)

)= ∇Φ

(31)

Detta uppfylls av potentialen

Φ = ρv0 cos (ϕ) +1ρA1 cos (ϕ) = v0

(ρ+

a2

ρ

)cos (ϕ) (32)

vilket omskrivet till kartesiska koordinater ger

Φ = v0x+ v0a2 x

x2 + y2(33)

och hastigheten

~v =

(v0 + v0a

(y2 − x2

(x2 + y2)2

),−v0a

2xy(x2 + y2)2

)(34)

26