Vlakke Analytische Meetkunde - wiswijs · Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1 Plaatsvectoren in Π O 1.1.1 Plaatsvector van een punt In de ﬁguur 1.1 kiezen we een vast punt

Vlakke Analytische Meetkunde

L. Van MaldeghemL. Van Hyfte

Handleiding voor3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5

3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde

2

Hoofdstuk 1

Vectoren en transformaties

1.1 Plaatsvectoren in ΠO

1.1.1 Plaatsvector van een punt

In de figuur 1.1 kiezen we een vast punt O dat we de oorsprong van het vlak Π noemen.We duiden op de figuur tevens een punt P aan. Het punt P correspondeert met de vector~OP , die we de plaatsvector van het punt P ∈ ΠO noemen.

Op die manier correspondeert met elk punt P ∈ ΠO een plaatsvector ~OP en omgekeerd,wijst elke vector ~OP naar een punt P van ΠO.

Bijzondere plaatsvector: De oorsprong O correspondeert met de zogenaamde nul-vector ~o van ΠO.

Figuur 1.1: De plaatsvector ~OP van het punt P

3

4 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES

Tabel 1.1: de vector ~OP met coordinaat (3, 5)

1.1.2 Coordinaat van een plaatsvector

We kiezen door O twee verschillende georienteerde (geijkte) rechten, die we de x-as en dey-as noemen (assenstelsel of coordinatenstelsel). Hierbij hoeven x-as en y-as niet loodrechtop elkaar gekozen te worden.We beschouwen in tabel 1.8 bijvoorbeeld het punt P met coordinaat (3, 5).

Het koppel (3, 5) noemen we de coordinaat van de plaatsvector ~OP en we schrijven~OP (3, 5).

De coordinaat van de nulvector ~o is (0, 0).

1.1.3 De som van plaatsvectoren

1.1.3.1 Definities

We definieren de plaatsvector ~OC als de som van de twee plaatsvectoren ~OA en ~OB enwe schrijven

~OA + ~OB = ~OC

We onderscheiden twee gevallen voor ligging van de punten O, A, B en C:

• Als de punten O, A, B niet op eennzelfde rechte liggen dan is de figuur OACB eenparallellogram waarvan [OC] een diagonaal is (teken in figuur 1.2).

1.1. PLAATSVECTOREN IN ΠO 5

Figuur 1.2: Som van twee plaatsvectoren

• Als de punten O, A en B op eenzelfde rechte liggen dan ligt C ook op deze rechte(teken in figuur 1.3).

Figuur 1.3: Som van twee plaatsvectoren

Een plaatsvector ~OP ′ is de tegengestelde plaatsvector van ~OP als hij opgeteld bij~OP de nulvector oplevert (teken in figuur 1.4).

Figuur 1.4: Tegengestelde plaatsvector

~OP + ~OP ′ = ~o

We schrijven:~OP ′ = − ~OP


Tabel 1.2: som van twee plaatsvectoren en de tegengestelde vector met coordinaten

1.1.3.2 Met coordinaten

We kiezen een assenstelsel in tabel 1.2 en we beschouwen de plaatsvectoren van tweepunten A(−1, 2) en B(3, 4).

~OA + ~OB = ~OC

We maken de som van de twee plaatsvectoren en kijken wat de coordinaat is van ~OC.De coordinaatgetallen van C zijn precies de som van de overeenkomstige coordinaatgetallenvan A en B.

We kunnen dus schrijven

(−1, 2) + (3, 4) = (−1 + 3, 2 + 4) = (2, 6)

Algemeen geldt als definitie van de som van koppels:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)


De tegengestelde vector van ~OA(−1, 2) is de vector ~OA′(1,−2) want (in tabel 1.2)

(−1, 2) + (1,−2) = (0, 0).

Algemeen geldt voor de definitie van het tegengesteld koppel van een koppel (x1, y1):

−(x1, y1) = (−x1,−y1)

1.1.4 Het verschil van twee plaatsvectoren

1.1.4.1 Definitie

Het verschil van twee plaatsvectoren is de som van de eerste plaatsvector en detegengestelde plaatsvector van de tweede plaatsvector.Met symbolen:

~OB − ~OA = ~OB + (− ~OA)


Voorbeeld: Bepaal de coordinaat van ~OB − ~OA met B(1, 2) en A(2,−1) (in tabel 1.3).

~OB − ~OA = (1, 2) + (−(2,−1)) = (1, 2) + (−2, 1) = (1− 2, 2 + 1) = (−1, 3).

Tabel 1.3: verschil van twee plaatsvectoren


OPGAVEN — 1 Werk uit en stel voor in tabel 1.4

1. (−2,−3) + (−1, 1) = · · ·

2. (4, 4)− (−3,+4) = · · ·

3. (2, 5) + (−1,−6) = · · ·

4. (−2,−3) + (2, 3) = · · ·

5. −(−2,−3) = · · ·

Tabel 1.4: opgave 1

4 DELTA 3B (oud) p.168 nr.51 4 DELTA 3B (nieuw) p.178 nr.51

1.1.5 Ontbinding van een plaatsvector in componenten

We beschouwen het punt P met coordinaat (3, 5) in tabel 1.5. We trekken door P eenrechte y′ evenwijdig met de y-as en een rechte x′ evenwijdig met de x-as. Het snijpunt


Tabel 1.5: ontbinding van een vector in componenten

van y′ met x noemen we P ′ van x′ met y noemen we P ′′. De absissen van P ′ en P ′′ opx-as en y-as zijn resp. 3 en 5.

De plaatsvector ~OP kan op die manier ontbonden worden in zijn zogenaamde compo-nenten langs x-as en y-as nl. ~OP ′ resp. ~OP ′′.

~OP = ~OP ′ + ~OP ′′

Voor de coordinaat van deze plaatsvector geldt:

(3, 5) = (3, 0) + (0, 5)

1.1.6 Veelvoud van een plaatsvector

1.1.6.1 Het begrip

• We tekenen enkele positieve reele veelvouden van een plaatsvector (in figuur 1.5).

• Om een negatief veelvoud te tekenen van een vector, tekenen we eerst de tegengesteldevector en dan nemen we het positief veelvoud van deze tegengestelde vector (in figuur1.6).


Figuur 1.5: positief veelvoud van een plaatsvector

Figuur 1.6: negatief veelvoud van een plaatsvector


We kiezen een assenstelsel in tabel 1.6 en we beschouwen de plaatsvector ~OA(2,−12) en

3 · ~OA.De coordinaat van 3 · ~OA is gelijk aan (6,−3

2) (bekijk dit in tabel 1.6).

3 · (2,−1

2) = (3 · 2, 3 · (−1

2)) = (6,−3

2)

Teken nu ook −2 · ~OA in de tabel 1.6. We zien dat de coordinaat gelijk is aan (−4, 1).

−2 · (2,−1

2) = ((−2) · 2, (−2) · (−1

2)) = (−4, 1)

Algemeen geldt voor de definitie van veelvoud van een koppel:

r · (x1, y1) = (rx1, ry1) met r ∈ R



Tabel 1.6: coordinaat van een veelvoud van een plaatsvector

1.1.7 De plaatsvector van het midden van een lijnstuk

Voorbeeld: We beschouwen de punten A(1, 3) en B(9, 4).Bepaal het midden M van het lijnstuk [AB] in tabel 1.7.

Beschouwen we het parallellogram OACB dan is

~OC = ~OA + ~OB.

De diagonalen zijn de lijnstukken [AB] en [OC] die elkaar middendoor delen in het puntM .Er geldt

~OC = 2 · ~OM

m

~OM =1

2· ~OC

m

~OM =1

2· ( ~OA + ~OB)

Hieruit volgt dat de coordinaat van M gelijk is aan

(xM , yM) =1

2((1, 3) + (9, 4)) =

1

2(10, 7) = (5,

7

2),

hetgeen we reeds uit de figuur konden afleiden.

Besluit: De coordinaat van het midden van een lijnstuk [AB] is de helft van de som decoordinaten van A en B.Met symbolen: De coordinaat van het midden M van het lijnstuk [AB] met A(x1, y1) enB(x2, y2) is gelijk aan

(xM , yM) = (x1 + x2

2,y1 + y2

2)


Tabel 1.7: plaatsvector van het midden van het lijnstuk [AB]

OPGAVEN — 2 Bepaal de middens van de zijden van de driehoek ABC met A(2, 2), B(10, 0) enC(6, 4). (Maak de tekening in tabel 1.8).

Tabel 1.8: zwaartepunt van 4ABC van opgave 2

4 DELTA 3B (oud) p.84 nrs.6-7-8-9-10; p.104 nr.57

4 DELTA 3B (nieuw) p.94 nrs.6-7-8-9-10 p.114 nr.57

1.2. VERSCHUIVINGEN 13

1.2 Verschuivingen

1.2.1 Definitie

Het punt A′ is het beeld van het punt A onder de verschuiving of translatie t metvector ~v = ~OC als en slechts als

~OA′ = ~OA + ~v = ~OA + ~OC

Notatie: t~v(A) = t ~OC(A) = A′

Omdat de plaatsvector van A′ gelijk is aan de som van de plaatsvector van A en de vectorvan verschuiving ~OC, is de figuur OAA′C een parallellogram of een lijnstuk (zie figuur1.7).Gevolg van de definitie:

t ~OC(A) = A′ =⇒ |AA′| = |OC| en AA′ ‖ OC

Figuur 1.7: verschuiving met vector ~v = ~OC


1.2.2 Het beeld van een lijnstuk

STELLING 1.1 Het beeld van een lijnstuk onder een verschuiving is een evenwijdiglijnstuk met dezelfde lengte.

Gegeven: A′ = t ~OC(A) en B′ = t ~OC(B).

Te bewijzen: AB ‖ A′B′ en |AB| = |A′B′|.

Bewijs:A′ = t ~OC(A) =⇒ AA′ ‖ OC en |AA′| = |OC|B′ = t ~OC(B) =⇒ BB′ ‖ OC en |BB′| = |OC|

1.AA′ ‖ OCBB′ ‖ OC

}=⇒ AA′ ‖ BB′ of AA′ = BB′

2.|AA′| = |OC||BB′| = |OC|

}=⇒ |AA′| = |BB′|

Uit 1 en 2 volgt dat de figuur ABB′A′ een parallellogram of een lijstuk vormt waaruitvolgt datAB ‖ A′B′ en |AB| = |A′B′|. �

Omgekeerd: hebben twee lijnstukken dezelfde lengte en zijn ze evenwijdig dan bestaat erjuist een verschuiving die het ene lijnstuk afbeeldt op het andere lijnstuk.

Figuur 1.8: beeld van een lijnstuk onder een verschuiving


1.2.3 Beeld van een figuur

Met CABRY kunnen we het beeld bepalen van een veelhoek onder een verschuiving metvector ~v.

STELLING 1.2 Een verschuiving zet een figuur om in een congruente figuur.

1.2.4 De transformatieformules

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder deverschuiving ~v(x0, y0) gegeven door

(x′, y′) = (x, y) + (x0, y0)

of {x′ = x + x0

y′ = y + y0

Deze formules drukken het verband uit tussen de coordinaatgetallen (x, y) van een punt Pen de coordinaatgetallen (x′, y′) van zijn beeld P ′. Ze worden de transformatieformulesvoor een verschuiving genoemd.

Voorbeeld: Bepaal het beeld van de driehoek ABC met A(−3, 3), B(1, 4) en C(2, 1) onderde verschuiving met vector ~v(−2,−3). Teken in tabel 1.9.De beelden van de hoekpunten van de driehoek zijn

D(−3− 2, 3− 3) = (−5, 0), E(1− 2, 4− 3) = (−1, 1), F (2− 2, 1− 3) = (0,−2).


Tabel 1.9: 4DEF = t ~OC(4ABC)

Bijzondere verschuivingen:

1. Verschuiving in de richting van de x-as

Een verschuiving in de richting van de x-as is een verschuiving met vector (x0, 0).De transformatieformules zijn:

(x′, y′) = (x, y) + (x0, 0)

of {x′ = x + x0

y′ = y

Bij een verschuiving in de richting van de x-as verandert de y-coordinaat niet. Tekenin tabel 1.10 het beeld A′B′C ′ van de driehoek ABC uit tabel 1.9 onder de verschui-ving met vector (−2, 0).

2. Verschuiving in de richting van de y-as

Een verschuiving in de richting van de y-as is een verschuiving met vector (0, y0).De transformatieformules zijn:

(x′, y′) = (x, y) + (0, y0)


of {x′ = xy′ = y + y0

Bij een verschuiving in de richting van de y-as verandert de x-coordinaat niet. Tekenin tabel 1.10 het beeld A′′B′′C ′′ van de driehoek A′B′C ′ onder de verschuiving metvector (0,−3). We bekomen de driehoek DEF uit de tabel 1.9.

Tabel 1.10: verschuiving van 4ABC als opeenvolging van twee verschuivingen

Opmerking: Uit de vorige voorbeeldjes kunnen we besluiten dat de verschuiving metvector (−2, 3) de opeenvolging is van twee verschuivingen nl. de verschuiving met vector(−2, 0) gevolgd door de verschuiving met vector (0,−3).

(−2,−3) = (−2, 0) + (0,−3)

Veralgemening:We ontbinden de vector van verschuiving ~v(x0, y0) in zijn componenten langs x-as en -y-as.

(x0, y0) = (x0, 0) + (0, y0)

De verschuiving met vector ~v(x0, y0) is de opeenvolging van twee verschuivingen, een ver-schuiving in de richting van de x-as met vector (x0, 0) gevolgd door een verschuiving inde richting van de y-as met vector (0, y0).

4 DELTA 3B (oud) p.150 nrs.4 4 DELTA 3B (nieuw) p.160 nrs.4


1.2.5 Het begrip vector

1.2.5.1 Definitie

We breiden het begrip van plaatsvector uit.Wordt het puntenkoppel (A, B) afgebeeld op het puntenkoppel (A′, B′) onder een ver-schuiving dan bepalen ze dezelfde vector. Ofwel is de figuur ABB′A′ een parallellogramofwel liggen de vier punten op dezelfde rechte.We schrijven:

~AB = ~A′B′.

Omgekeerd, als twee puntenkoppels dezelfde vector voorstellen dan is het ene puntenkop-pel het beeld van het andere puntenkoppel onder een verschuiving.

Figuur 1.9: vector ~AB = ~A′B′ – algemeen geval en speciaal geval

Omdat het beeld onder een verschuiving van een lijnstuk een evenwijdig lijnstuk is metdezelfde lengte kunnen we schrijven:

~AB = ~A′B′ ⇐⇒

AB ‖ A′B′

|AB| = |A′B′|de puntenkoppels (A, B) en (A′, B′) hebben dezelfde zin

4 DELTA 3B (oud) p.161 nr.28-29 4 DELTA 3B (nieuw) p.171 nr.28-29

1.2.5.2 Een vector als verschil van twee plaatsvectoren

Elk puntenkoppel (A, B) kan men verschuiven zodat het beeld van A gelijk is aan deoorsprong O. We noemen C het beeld van B onder deze verschuiving (zie figuur 1.10).De figuur OACB is dan een parallellogram ofwel vallen de punten A, B en C langseenzelfde rechte door O. Er geldt:

~AB = ~OC (1.1)


Volgens de definitie van som van plaatsvectoren geldt

~OB = ~OA + ~OC ⇐⇒ ~OB − ~OA = ~OC. (1.2)

Uit 1.1 en 1.2 volgt dat~AB = ~OB − ~OA

Figuur 1.10: vector ~AB = ~OC = ~OB − ~OA

1.2.5.3 De formule van Chasles-Mobius

Beschouwen we de driehoek ABC (zie figuur 1.11) dan geldt:

~AC + ~CB = ( ~OC − ~OA) + ( ~OB − ~OC) = ~OB − ~OA = ~AB

De formule

~AC + ~CB = ~AB

is de formule van Chasles-Mobius. We zeggen dat we in de vector ~AB het puntC tussenvoegen.

Figuur 1.11: formule van Chasles Mobius

Twee manieren om de som van twee vectoren praktisch uit te voeren

1. We verschuiven het ene puntenkoppel zodat zijn beginpunt samenvalt met het be-ginpunt van het ander koppel. De som wordt dan uitgevoerd zoals de som van tweeplaatsvectoren (zie figuur 1.12).

2. We verschuiven het ene puntenkoppel zodat zijn beginpunt samenvalt met het eind-punt van het ander koppel. De som wordt dan uitgevoerd zoals aangegeven door deformule van Chasles Mobius (zie figuur 1.12).


Figuur 1.12: som van twee vectoren

1.2.5.4 Tegengestelde vectoren

De vectoren ~AB en ~BA zijn tegengestelde vectoren want de som is de nulvector.

~AB + ~BA = ~AA = ~o

m~BA = − ~AB.

We zien ook in dat ~AB = ~o als A = B.

Figuur 1.13: de tegengestelde vectoren ~AB en ~BA = ~CD = ~AB′

4 DELTA 3B (oud) p.162 nr.30-31; p.163 nr.33-34-35; p.171 nr. 65-68

4 DELTA 3B (nieuw) p.172 nr.30-31; p.173 nr.33-34-35; p.181 nr. 65-68

1.2.5.5 Veelvoud van een vector

Figuur 1.14: positief veelvoud van ~AB

• Als we een positief veelvoud nemen van een vector ~AB dan verkrijgen we een vectordie dezelfde richting en zin heeft van ~AB.Voorbeeld: Teken in figuur 1.14 een puntenkoppel (C, D) zodat ~CD = 2, 5 · ~AB.

1.3. EVENWIJDIGE PROJECTIES OP EEN RECHTE 21

Figuur 1.15: negatief veelvoud van ~AB

• Als we een negatief veelvoud nemen van een vector ~AB dan verkrijgen we een vectordie dezelfde richting maar de tegengestelde zin heeft van ~AB.Voorbeeld: Teken in figuur 1.15 een puntenkoppel (C, D) zodat ~CD = −0, 75 · ~AB.

4 DELTA 3B (oud) p.164 nr.37-38-39-40; p.172 nrs.69-70

4 DELTA 3B (nieuw) p.174 nr.37-38-39-40; p.182 nrs.69-70

1.3 Evenwijdige projecties op een rechte

1.3.1 Definities

We beschouwen twee rechten x en d en x 6‖ d.Het punt A′ ∈ x is de evenwijdige projectie van A op x volgens de richting van d alsen slechts als AA′ ‖ d.De projectierichting is de richting van d (direction) en de projectierechte is de rechtex waarop we projecteren.

Notatie: A′ = pdx(A)

Figuur 1.16: De evenwijdige projectie van A op x volgens d


1.3.2 De projectie van een lijnstuk

STELLING 1.3 De evenwijdige projectie op x volgens de richting van d van een lijnstuk[AB] is

1. een lijnstuk, als [AB] 6‖ d;

2. een punt, als [AB] ‖ d.

Teken in de figuur 1.17 de twee mogelijkheden voor de projectie van een lijnstuk [AB] opx volgens de richting van d.

Figuur 1.17: De evenwijdige projectie van een lijnstuk

4 DELTA 3B (oud) en 4 DELTA 3B (nieuw) p.8 nrs.1-2; p.9 nr.3; p.10 nrs.5-6; p.24 nr.42.

1.3.3 De loodrechte projectie

Het punt A′ is de loodrechte projectie van A op x als en slechts als A′ het voetpunt isvan de loodlijn uit A op x.Notatie: p⊥

x (A) = A′ =⇒ AA′ ⊥ x

p⊥x (A) = A′ =⇒ AA′ ⊥ x

p⊥x (B) = B′ =⇒ BB′ ⊥ x

}=⇒ AA′ ‖ BB′

Hieruit volgt dat de loodrechte projectie een evenwijdige projectie is waarvan de projec-tierichtng de loodrechte richting is.

Figuur 1.18: De loodrechte projectie van A en B op x


Opgaven:

1. Teken in figuur 1.19 de volgende projectiespb

c(P ) = P ′, pac(Q) = Q′, pc

b(R) = R′ , pab ([PR]) = [P ′′R′′]

Figuur 1.19: evenwijdige projectie

2. Teken in figuur 1.21 de projectie pax(4ABC); benoem de beeldpunten met index 1.

Teken in figuur 1.21 de projectie pxa(4ABC); benoem de beeldpunten met index 2.



3. Construeer twee verschillende lijnstukken [AB] en [CB] waarvan hun lengten gelijkzijn aan de lengte van hun projectie [A′B′] op een rechte x volgens de richting vaneen rechte d.


4 DELTA 3B (oud) en 4 DELTA 3B (nieuw) p.24 nr.44; p.25 nr.44.

1.3.4 De projecties van twee gelijke en evenwijdige lijnstukken

STELLING 1.4 De evenwijdige projecties van twee evenwijdige lijnstukken met gelijkelengte zijn twee lijnstukken met gelijke lengte.

Gegeven: |AB| = |CD| en AB ‖ CDA′ = pd

x(A), B′ = pdx(B), C ′ = pd

x(C), D′ = pdx(D)

Te bewijzen: |A′B′| = |C ′D′|.Bewijs:

1. Zijn de evenwijdige lijnstukjes [AB] en [CD] evenwijdig met d dan is A′ = B′ enC ′ = D′.Er geldt dan

|A′B′| = |C ′D′| = 0


2. De lijnstukken [AB] en [CD] zijn niet evenwijdig met d.

De vectoren ~AB en ~CD zijn gelijk of tegengesteld. We onderstellen dat ~AB = ~CD.

~AB = ~CD

t ~BB′([AB]) = [EB′] =⇒ ~AB = ~EB′

t ~DD′([CD]) = [FD′] =⇒ ~CD = ~FD′

=⇒ |EB′| = |FD′|.

In 4A′B′E en 4C ′D′F geldt tevens dat

a)∧B′=

∧D′ als overeenkomstige hoeken bij EB′ ‖ FD′ en snijlijn x.

b)∧A′=

∧C ′ als overeenkomstige hoeken bij AA′ ‖ CC ′ en snijlijn x.

|EB′| = |FD′|∧B′=

∧D′

∧A′=

∧C ′

ZHH=⇒ 4A′B′E ∼= 4C ′D′F =⇒ |A′B′| = |C ′D′|. �

Figuur 1.22: De evenwijdige projecties van de gelijke en evenwijdige lijnstukken [AB] en[CD]


1.4 De stelling van Thales

STELLING 1.5 (De stelling van Thales) De evenwijdige projectie behoudt de ver-houding van de lengten van evenwijdige lijnstukken.

Gegeven: AB ‖ CD 6‖ d. We noemen A′, B′, C ′ en D′ de projecties van resp. de puntenA, B, C en D op x volgens d.Te bewijzen: We bewijzen de stelling van Thales voor een rationale verhouding van delengten van twee lijnstukken.

|AB||CD|

=|A′B′||C ′D′|

=m

nmet n, m ∈ N

Voor een irrationale verhouding aanvaarden we de stelling van Thales zonder bewijs.Bewijs: Om het bewijs concreet te maken stellen we dat

|AB||CD|

=3

7(1.3)

Als |AB| = 3|AE| met E ∈ AB dan is |CD| = 7|CF | met F ∈ CD en er geldt dat|AE| = |CF | en AE ‖ CF omdat AB ‖ CD.De gelijke en evenwijdige lijnstukjes [AE] en [CF ] worden in gelijke lijnstukjes gepro-jecteerd.

|A′E ′| = |C ′F ′|

De drie gelijke lijnstukjes waarin [AB] verdeeld is, worden geprojecteerd in drie gelijkelijnstukjes die een verdeling in drie gelijke delen vormen van [A′B′].

|A′B′| = 3|A′E ′| (1.4)

Analoog is|C ′D′| = 7|C ′F ′| = 7|A′E ′| (1.5)

Uit 1.4 en 1.5 volgt|A′B′||C ′D′|

=3|A′E ′|7|A′E ′|

=3

7

en omdat 1.3 geldt, is|AB||CD|

=|A′B′||C ′D′|

=3

7.

�

OPGAVEN — 3 Toon aan dat in een rechthoekige driehoek de lengte van de zwaartelijn op de schuinezijde gelijk is aan de helft van de lengte van de schuine zijde.

4 DELTA 3B (oud) en 4 DELTA 3B (nieuw) p.14 nrs 13-14-15; p.15 nr 16; p.24 nr.45; p.26 nrs 51-52;p.27 nrs 53-55.

1.4. DE STELLING VAN THALES 27

Figuur 1.23: De stelling van Thales

1.4.1 Constructies

1. Verdeling van een lijnstuk in n gelijke delen Om een gegeven lijnstuk [AB] in bij-voorbeeld 7 gelijke delen te verdelen, brengen we een willekeurige rechte a aan dooreen van de punten A of B, bijvoorbeeld door A. We passen met de passer op a,vertrekkende van A, 7 lijnstukjes [AA1], [A1A2], [A2A3], [A3A4], [A4A5], [A5A6] en[A6A7] af met gelijke willekeurige lengte. Vervolgens projecteren we alle verdelings-punten A1, A2, A3, A4, A5, A6 en A7 op de rechte AB volgens de richting van A7B.De gelijke lijnstukjes worden in gelijke lijnstukjes geprojecteerd.

Figuur 1.24: Verdeling van een lijnstuk in 7 gelijke delen


2. Constructie van de vierde evenredige

Construeer hierboven het lijnstuk [AB] zodat ab

= c|AB| .

3. Ijk overbrengen


4. Constructie van een rationaal getal op de getallenas

• Construeer hieronder de breuken 23, 7

4en −2

7.

• Construeer hieronder de breuk 257.


5. Een lijnstuk inwendig verdelen in twee stukken die een gegeven verhouding hebben

• Construeer hieronder het punt C ∈ [AB], zodat |AC||BC| = 1

4

We verdelen het lijnstuk [AB] in 1 + 4 = 5 gelijke delen. Zo een deel noemenwe v. C ligt op het lijnstuk [AB] en op een afstand v van A of 4v van B.

• Construeer hieronder het punt D ∈ [AB], zodat |AD||BD| = 3

4

We verdelen het lijnstuk [AB] in 3 + 4 = 7 gelijke delen. Zo een deel noemen we u.D ligt op het lijnstuk [AB] en op een afstand 3u van A of 4u van B.


1.4.2 De verhouding van twee evenwijdige vectoren

Is ~CD = r · ~AB met ~AB 6= ~o dan zeggen we dat r =~CD~AB

de verhouding is van deevenwijdige vectoren.

Voorbeelden:

• Is~CD~AB

= 3 dan hebben de evenwijdige vectoren ~AB en ~CD dezelfde zin, de lijn-

stukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en er geldt |CD||AB| = 3. De figuur ABDC is een

trapezium. Teken hieronder.

• Is~CD~AB

= −0, 6 dan hebben de evenwijdige vectoren ~AB en ~CD tegengestelde zin, de

lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en er geldt |CD||AB| = 0, 6. De figuur ABCD

is een trapezium. Teken hieronder.

• Is~CD~AB

= 1 dan is ~AB = ~CD. De vectoren ~AB en ~CD hebben dezelfde zin, delijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en hebben dezelfde lengte. De figuurABDC is een parallellogram. Teken hieronder.

• Is~CD~AB

= −1 dan is ~AB = − ~CD. De vectoren ~AB en ~CD hebben tegengestelde zin,de lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en hebben dezelfde lengte. De figuurABCD is een parallellogram. Teken hieronder.


•|AB||CD| = 3

2

AB ‖ CD

}=⇒

~AB

~CD=

3

2of

~AB

~CD= −3

2

Teken in figuur 1.25 deze twee mogelijkheden voor de gegeven lijkstukken [AB] en[CD].

Figuur 1.25: Verhouding van evenwijdige vectoren

Omdat de projecties van twee evenwijdige vectoren met gelijke (tegengestelde) zin tweevectoren zijn met gelijke (tegengestelde) zin, kunnen we nu de stelling van Thalesmet vectoren formuleren:

De evenwijdige projectie bewaart de verhouding van evenwijdige vectoren.


STELLING 1.6 (Omgekeerde stelling van Thales) Is de deelverhouding van een puntC t.o.v. (A, B) gelijk aan de deelverhouding van C ′ t.o.v. (A′, B′) en is AA′ ‖ BB′ dan isCC ′ ‖ AA′ (voor de definitie van deelverhouding zie volgende paragraaf).


1.4.3 Deelverhouding van een punt t.o.v. een puntenkoppel

1.4.3.1 Definities

Drie punten zijn collineair als en slechts als ze op eenzelfde rechte gelegen zijn.We beschouwen een puntenkoppel (A, B) en een punt C van de rechte AB.De punten A, B en C zijn dus collineair.De deelverhouding van een punt C t.o.v. een puntenkoppel (A, B) is de verhouding

van de vectoren ~CA en ~CB.

(A B C) =~CA

~CB

Deze verhouding levert een reeel getal op dat positief is als C buiten het lijnstuk [AB]ligt en dat negatief is als C tussen A en B ligt.

1.4.3.2 Gegeven de ligging van C, bepaal de deelverhouding (A B C)

• Het punt C ligt buiten [AB] of C /∈ [AB]

?(A B C) =

~CA~CB

=

−→ de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is groter dan 1

Figuur 1.27:

?(A B C) =

~CA~CB

=

−→ de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is positief en kleiner dan 1

Figuur 1.28: Deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is positief en kleiner dan 1


• Het punt C ligt binnen [AB] of C ∈ [AB]

?(A B C) =

~CA~CB

=

−→ de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is negatief en groter dan −1

Figuur 1.29: (A B C) = , de deelverhouding van C t.o.v. (A, B)

?(A B C) =

~CA~CB

=

−→ de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is kleiner dan −1

Figuur 1.30: Deelverhouding van C t.o.v. (A, B)

1.4.3.3 Gegeven de deelverhouding (A B C), bepaal de ligging van C

Voorbeelden:

• Teken in de figuur 1.31 het punt C waarvoor (A B C) = −35

en het punt D waarvoor(A B D) = −5

3.

We construeren C ∈ [AB] zodat |CA||CB| = 3

5en het punt D zodat |DA|

|DB| = 53.

Figuur 1.31: (A B C) = −35

en (A B D) = −53


• Teken in de figuur 1.32 het punt C waarvoor (A B C) = 35

en het punt D waarvoor(A B D) = 5

3.

We verdelen het lijnstuk [AB] in 5 − 3 = 2 gelijke delen. Zo een deel noemen wev. C ligt buiten [AB] en op een afstand 3v van A. D ligt buiten [AB] en op eenafstand 3v van B.

Figuur 1.32: (A B C) = 35

en (A B D) = 53

• Als de deelverhouding~CA~CB

= −1 dan zijn de vectoren ~CA en ~CB tegengesteld.Er geldt

~CA = − ~CB ⇐⇒ ~CA + ~CB = ~o

Gaan we over naar de plaatsvectoren dan geldt

~OA− ~OC + ~OB − ~OC = ~o ⇐⇒ ~OA + ~OB = 2 · ~OC ⇐⇒ ~OC =~OA + ~OB

2.

Hieruit kunnen we besluiten dat ingeval de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) gelijkis aan −1, het punt C in het midden ligt van [AB].

Figuur 1.33: (A B C) = −1 ⇐⇒ C is het midden van [AB]

•|CA||CB| = 1

2

A, B, C zijn collineair

}=⇒

~CA

~CB=

1

2of

~CA

~CB= −1

2

Figuur 1.34: A, B, C zijn collineair en |CA||CB| = 1

2


1.4.4 Bissectrices van een driehoek

STELLING 1.7 De binnenbissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de over-staande zijde in twee delen waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van deaanliggende zijden.

Gegeven: In 4ABC snijdt de binnenbissectrice van de hoek∧A de overstaande zijde [BC]

in het punt A′. We stellen |AB| = x, |AC| = y, |A′B| = x′ en |A′C| = y′.Te bewijzen:x

y= x′

y′ .

Bewijs: De binnenbissectrice van hoek∧A verdeelt de hoek

∧A in twee gelijke delen

∧A1.

∧A= 2

∧A1

We construeren C ′ ∈ AB zodat |AC| = |AC ′| = y en A ∈ [BC ′].

De 4ACC ′ is een gelijkbenige driehoek met tophoek de buitenhoek∧A2 van

∧A

∧A2= 180o − 2

∧A1 .

De basishoeken van 4ACC ′ zijn∧C ′

2=∧C2

In 4ACC ′ is de som van de hoeken gelijk aan 180o.

∧A2 +

∧C2 +

∧C ′

2= 180o ⇐⇒ 180o − 2∧A1 +2

∧C ′

2= 180o

waaruit volgt dat∧A1=

∧C ′

2 .

De hoeken∧A1 en

∧C ′

2 zijn overeenkomstige hoeken met snijlijn AB. Hieruit volgt dat

AA′ ‖ C ′C.

[A′B], [A′C] zijn de evenwijdige projecties van [AB] en [AC ′] op BC volgens de richtingvan AA′. Volgens de stelling van Thales geldt

x

y=

x′

y′.

�

1.5. HOMOTHETIEEN 37

Figuur 1.35: bissectrice van een driehoek

1.5 Homothetieen

1.5.1 Definitie

Het punt A′ is het beeld van het punt A onder een homothetie met centrum C enfactor r als en slechts als

~CA′ = r · ~CA

Notatie: hom(C,r)(A) = A′.

hom(C,r)(A) = A′

C 6= A

}=⇒ (A′ A C) =

~CA′

~CA= r

Voorbeelden:

• Teken hieronder A′ = h(C,2)(A).


• Teken hieronder A′ = hom(C, 52)(A).

• Teken hieronder A′ = hom(C, 23)(A).

• Teken hieronder A′ = hom(C,− 34)(A).

• Teken hieronder A′ = hom(C,−2)(A).

• Teken hieronder A′ = hom(C,−1)(A).Deze homothetie wordt de puntspiegeling om C genoemd.


Besluit:

• Is de factor van homothetie positief dan hebben de vectoren ~CA en ~CA′ gelijke zin,met andere woorden het punt A en zijn beeld A′ liggen aan dezelfde kant van hetcentrum C.

• Is de factor van homothetie negatief dan hebben de vectoren ~CA en ~CA′ tegengesteldezin, met andere woorden het punt A en zijn beeld A′ liggen aan weerskanten vanhet centrum C.

1.5.2 Het beeld van een lijnstuk

STELLING 1.8 Een homothetie met factor r beeldt een lijnstuk [AB] af op een even-wijdig lijnstuk en er geldt dat |A′B′| = |r||AB|.

Gegeven: A′ = hom(C,r)(A) en B′ = hom(C,r)(B).Te bewijzen: |A′B′| = |r||AB| en A′B′ ‖ AB.Bewijs:

A′ = hom(C,r)(A) =⇒ ~CA′ = r · ~CA =⇒ ~A′C = r · ~AC

B′ = hom(C,r)(B) =⇒ ~CB′ = r · ~CB

Door opeenvolgend de stelling van Chasles-Mobius toe te passen kunnen we schrijven:

~A′B′ = ~A′C + ~CB′ = r · ~AC + r · ~CB = r · ( ~AC + ~CB) = r · ~AB

~A′B′ = r · ~AB =⇒{|A′B′| = |r||AB|A′B′ ‖ AB

�

4A′B′C is het beeld van 4ABC onder een homothetie.Daarom worden 4ABC en 4A′B′C homothetische driehoeken genoemd.Zijn 4ABC en 4A′B′C twee homothetische driehoeken dan zijn de lengten van de zij-den van 4ABC evenredig met de lengten van de overeenkomstige zijden van driehoek4A′B′C.

~CA′

~CA=

~CB′

~CB=

~B′A′

~BA= r ⇐⇒ |CA′|

|CA|=|CB′||CB|

=|B′A′||BA|

= |r|

Merk op dat de overeenkomstige hoeken van deze twee homothetische driehoeken, twee aan

twee gelijk zijn aan elkaar:∧A=

∧A′,

∧B=

∧B′,

∧C=

∧C (zie figuur 1.36).


Figuur 1.36: Beeld van een lijnstuk onder een homothetie

1. Omdat volgens de stelling 1.8 geldt dat A′B′ ‖ AB hebben we de evenwijdigeprojectie pAB

BB′ . Volgens de stelling van Thales geldt (zie figuur 1.36):

pABBB′(A) = B

pABBB′(A′) = B′

pABBB′(C) = C

=⇒~CA′

~CA=

~CB′

~CB= r

2. Omdat A′A′′ ‖ BB′ hebben we de evenwijdige projectie pBB′

A′B′ . Volgens Thales geldt:

pBB′

A′B′(A) = A′′

pBB′

A′B′(A′) = A′

pBB′

A′B′(C) = B′

=⇒~CA′

~CA=

~B′A′

~B′A′′=

~B′A′

~BA= r


Figuur 1.37: Beeld van een lijnstuk onder een homothetie met r > 0

STELLING 1.9 Zijn twee lijnstukken evenwijdig dan bestaat er minstens een homoth-etie die het ene lijnstuk afbeeldt op het ander lijnstuk.

We noemen de evenwijdige lijnstukken [AB] en [PQ].

• Is |PQ| = r|AB| met r 6= 1 dan zijn er twee verschillende homothetieen die hetlijnstuk [AB] afbeelden op het lijnstuk [PQ], de ene homothetie heeft factor r ende ander heeft factor −r, nl.

hom(C,r)(A) = P en hom(C,r)(B) = Q

hom(C′,−r)(A) = Q en hom(C′,−r)(B) = P

Geval A, B, P en Q niet op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.38C en C ′. Bepaal tevens de factoren van homothetie.


Figuur 1.38: homothetieen die [AB] afbeelden op [PQ]

Geval A, B, P en Q op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.39 C.Bepaal tevens de factor van homothetie.

Figuur 1.39: homothetie die ~AB afbeeldt op ~PQ

Geval A, B, P en Q op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.40 C ′.Bepaal tevens de factor van homothetie.


Figuur 1.40: homothetie die ~AB afbeeldt op ~QP

• Is |AB| = |PQ| dan is er een homothetie die het lijnstuk [AB] afbeeldt op hetlijnstuk [PQ], nl. de puntspiegeling met centrum het snijpunt van AP en BQ (ofAQ en BP ). Duid het centrum van de homothetie aan in figuur 1.41 in geval A, B,P en Q niet op eenzelfde rechte gelegen zijn en wel op eenzelfde rechte gelegen zijn.

Figuur 1.41: homothetie die [AB] afbeeldt op [PQ]

4 DELTA 3B (oud) p.19 nrs.30-31-32; p.25 nr.47; p.27 nr.54; p.28 nr.57; p.31 nr.2; p.39 nrs.14-15; p.40nr.19; p.42 nrs.24-25; p.45 nr.31; p.46 nrs.32-34; p.48 nr.38; p.49 nrs.40-42; p.50 nr.44; p.52 nrs.50-51.4 DELTA 3B (nieuw) p.19 nrs.30-31-32; p.25 nr.47; p.27 nr.54; p.28 nr.57; p.31 nr.2; p.41 nrs.15-16; p.42nr.20; p.44 nrs.25-26; p.48 nr.33; p.49 nrs.34-36; p.55 nr.47; p.56 nrs.49-51; p.58 nr.55; p.60 nr.61-62.


1.6 Gelijkvormige figuren

1.6.1 Definities

Twee figuren zijn gelijkvormig als en slechts als de ene figuur congruent is met hetbeeld van de andere figuur onder een homothetie. De factor van homothetie wordt degelijkvormigheidsfactor van de gelijkvormige figuren genoemd.

1.6.2 Gelijkvormige driehoeken

1.6.2.1 Homothetisch gelijkvormige driehoeken

Twee driehoeken zijn homothetisch gelijkvormig als en slechts als de ene driehhoek hetbeeld is van de andere driehoek onder een homothetie.

Figuur 1.42: homothetisch gelijkvormige driehoeken met 4PQR

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 45

STELLING 1.10 Bij twee homothetisch gelijkvormige driehoeken zijn de hoeken tweeaan twee gelijk en zijn de lengten van de zijden van de ene driehoek evenredig met delengten van de overeenkomstige zijden van de andere driehoek.

• De overeenkomstige hoeken zijn gelijk omdat ze som of verschil zijn van overeenkom-stige hoeken (zie figuur 1.42).Druk hier de gelijkheid van de hoeken uit als som of als verschil.

• Omdat de ene driehoek het beeld is van de andere driehoek onder een homothetiemet centrum C en factor r geldt:

|P ′Q′| = |r||PQ| ⇐⇒ |P ′Q′||PQ|

= |r|

|P ′R′| = |r||PR| ⇐⇒ |P ′R′||PR|

= |r|

|Q′R′| = |r||QR| ⇐⇒ |Q′R′||QR|

= |r|

Hieruit volgt|P ′Q′||PQ|

=|P ′R′||PR|

=|Q′R′||QR|

= |r|

Schrijf hieronder al naar gelang de waarde van de factor van homothetie de oppervlaktevan 4PQR groter of kleiner is dan de oppervlakte van 4P ′Q′R′:



1.6.2.2 Gelijkvormige driehoeken

De gelijkvormigheidskenmerken:

STELLING 1.11 (HH) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de enedriehoek gelijk zijn aan resp. twee hoeken van de andere driehoek.

Figuur 1.43: Gelijkvormigheidskenmerk HH

Gegeven: Twee driehoeken 4ABC en 4A′B′C ′.

∧A=

∧A′ en

∧B=

∧B′

Te bewijzen: 4ABC ∼ 4A′B′C ′.Bewijs: Neem B′′ ∈ [AB] zodat |AB′′| = |A′B′| en C ′′ ∈ [AC] zodat |AC ′′| = |A′C ′|.

|AB′′| = |A′B′||AC ′′| = |A′C ′|

∧A=

∧A′

ZHZ=⇒ 4AB′′C ′′ ∼= 4A′B′C ′ =⇒

∧B′′

1=∧B′

∧B

geg=

∧B′

∧B′′

1=∧B′

=⇒∧B=

∧B′′

1

Uit de gelijkheid van deze overeenkomstige hoeken volgt dat

B′′C ′′ ‖ BC

en daaruit volgt dat de driehoeken 4AB′′C ′′ en 4A′B′C ′ homothetisch zijn.

4A′B′C ′ ∼= 4AB′′C ′′

4ABC ∼ 4AB′′C ′′

}=⇒4A′B′C ′ ∼ 4ABC

�


STELLING 1.12 (ZHZ) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als een hoek van de enedriehoek gelijk is aan een hoek van de andere driehoek en de lengten van de aanliggendezijden van de ene driehoek evenredig zijn met de lengten van de overeenkomstige aan-liggende zijden van de andere driehoek.

Figuur 1.44: Gelijkvormigheidskenmerk ZHZ


∧A=

∧A′ en

|A′B′||AB|

=|A′C ′||AC|

Te bewijzen: 4ABC ∼ 4A′B′C ′.Bewijs: Neem B′′ ∈ [AB] zodat |AB′′| = |A′B′| en C ′′ ∈ [AC] zodat |AC ′′| = |A′C ′|.

|AB′′| = |A′B′||AC ′′| = |A′C ′|

∧A=

∧A′

ZHZ=⇒ 4AB′′C ′′ ∼= 4A′B′C ′

Uit het gegeven |A′B′||AB| = |A′C′|

|AC| volgt dat |AB′′||AB| = |AC′′|

|AC| .

Hieruit volgt dat de driehoeken 4ABC en 4AB′′C ′′ homothetisch zijn.

4A′B′C ′ ∼= 4AB′′C ′′

4ABC ∼ 4AB′′C ′′

}=⇒4A′B′C ′ ∼ 4ABC

�


STELLING 1.13 (ZZZ) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de verhoudingen van delengten van de overeenkomstige zijden gelijk zijn.

Figuur 1.45: Gelijkvormigheidskenmerk ZZZ


|A′B′||AB|

=|B′C ′||BC|

=|A′C ′||AC|

= r

Te bewijzen: 4ABC ∼ 4A′B′C ′.Bewijs: We passen op 4ABC een homothetie toe met centrum A en factor r (uit hetgegeven). Het beeld van B is B′′ en van C is C ′′. Hieruit volgt dat

BC ‖ B′′C ′′ en|AB′′||AB|

=|A′B′||AB|

= r

Uit dit laatste volgt dat|AB′′| = |A′B′|

Analoog tonen we aan dat

|AC ′′| = |A′C ′| en |B′′C ′′| = |B′C ′|

|AB′′| = |A′B′||AC ′′| = |A′C ′||B′′C ′′| = |B′C ′|

ZZZ=⇒4AB′′C ′′ ∼= 4A′B′C ′

4A′B′C ′ ∼= 4AB′′C ′′

4ABC ∼ 4AB′′C ′′

}=⇒4A′B′C ′ ∼ 4ABC


�

4 DELTA 3B (oud) p32 nrs.3-4; p.40 nr.18; p.43 nr.28; p.44 nr.29; p.48 nr.37; p.49 nrs.39-41; p.51 nr.45.

4 DELTA 3B (nieuw) p32 nrs.3-4; p.42 nr.19; p.45 nr.29; p.47 nr.31; p.55 nr.46; p.56 nrs.48-50; p.58nr.56.


1.6.3 Omtrek en oppervlakte van gelijkvormige figuren

We beschouwen twee gelijkvormige driehoeken 4ABC en 4A′B′C ′ met gelijkvormig-heidsfactor r, de hoogte [CD] op de zijlijn AB en de hoogte [C ′D′] op de zijlijn A′B′.Er geldt: |A′B′| = |r||AB|, |B′C ′| = |r||BC|, |C ′A′| = |r||CA| en |C ′D′| = |r||CD|.

• Voor de omtrek van gelijkvormige driehoeken

omtr(4A′B′C ′) = |A′B′|+ |B′C ′|+ |C ′A′| = |r||AB|+ |r||BC|+ |r||CA|= |r|(|AB|+ |BC|+ |CA|) = |r|(omtr(4ABC)) (1.6)

• Voor de oppervlakte van gelijkvormige driehoeken

opp(4A′B′C ′) = |A′B′|·|C′D′|2

= |r||AB|·|r||CD|2

= r2 |AB|·|CD|2

= r2(opp(4ABC)) (1.7)

We kunnen 1.6 en 1.7 voor driehoeken veralgemenen voor vlakke figuren in het algemeen.

STELLING 1.14 Zijn twee figuren gelijkvormig met gelijkvormigheidsfactor r dan geldtdat:

• de omtrek van de ene figuur gelijk is aan de omtrek van de andere figuur ver-menigvuldigd met |r|:

• de oppervlakte van ene figuur gelijk is aan de oppervlakte van de andere figuurmenigvuldigd met r2.

.

Figuur 1.46: Gelijkvormige figuren

4 DELTA 3B (oud) p.19 nrs.27-28-29; p.32 nrs.4-5; p.33 nr.6; p.40 nr.17; p.43 nrs.26-27; p.44 nr.30; p.47nrs.35-36: p.52 nr.52.4 DELTA 3B (nieuw) p.19 nrs.27-28-29; p.32 nrs.4-5; p.33 nr.6; p.42 nr.18; p.45 nrs.27-28; p.47 nr.32;p.54 nrs.44-45.


1.6.4 Middenparallel van een driehoek

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijdenverbindt.Een driehoek heeft drie middenparallellen.

Figuur 1.47: middenparallellen van een driehoek

STELLING 1.15 Een middenparallel is evenwijdig met een zijde van de driehoek enzijn lengte is de helft van de lengte van die zijde.

Gegeven: 4ABC

Mc is het midden van [AB]Mb is het midden van [AC]

}=⇒ [McMb] is een middenparallel van 4ABC

Te bewijzen:1) McMb ‖ BC2) |BC| = 2|McMb|.

Bewijs:

Mc is het midden van [AB] ⇐⇒ ~AB = 2 ~AMc

Mb is het midden van [AC] ⇐⇒ ~AC = 2 ~AMb

}=⇒

{B = hom(A,2)(Mc)C = hom(A,2)(Mb)

Omdat een homothetie een lijnstuk afbeeldt op een evenwijdig lijnstuk waarvan de lengteverdubbelt omdat de factor 2 is, geldt

McMb ‖ BC

en|BC| = 2|McMb|.

Analoog voor de andere twee middenpallellen. �


STELLING 1.16 Een lijnstuk door het midden van een zijde van een driehoek en even-wijdig met een andere zijde, is een middenparallel van de driehoek.

Gegeven:4ABCMb is het midden van [AC]MbN ‖ BCN ∈ AB

Te bewijzen:[NMb] is een middenparallel van 4ABC

Bewijs: Omdat MbN ‖ BC kunnen we de evenwijdige projectie pBCAB = pa

c beschouwen.

pac(A) = A

pac(Mb) = N

pac(C) = B

=⇒ |AMb||MbC|

=|AN ||NB|

(1)

Omdat Mb het midden is van [AC] geldt |AMb| = |MbC| =⇒ |AMb||MbC| = 1 (2).

Uit(1) en (2) volgt dat |AN ||NB| = 1 =⇒ |AN | = |NB| =⇒ N is het midden van [AB].

Mb is het midden van [AC] (geg)N is het midden van [AB]

}=⇒ [NMb] is een middenparallel van 4ABC.

�

Figuur 1.48: middenparallell van een driehoek


1.6.5 Zwaartepunt van een driehoek

Een zwaartelijn van een driehoek is een lijnstuk dat een hoekpunt van de driehoekverbindt met het midden van de overstaande zijde.Omdat de drie zwaartelijnen van een driehoek door eenzelfde punt gaan kunnen we datpunt definieren als het zwaartepunt van de driehoek.

STELLING 1.17 Het zwaartepunt van een driehoek ligt op een zwaartelijn op twee der-den van een hoekpunt van de driehoek en dus op een derde van het midden van de over-staande zijde van dat hoekpunt.

Gegeven : 4ABCMb is midden van [AC]Mc is midden van [AB]{Z} = BMb ∩ CMc

Te bewijzen: |ZC| = 23|CMc| en bijgevolg |ZMc| = 1

3|CMc|.

Figuur 1.49: zwaartepunt van een driehoek

Bewijs: MbMc is middenparallel van 4ABC.

Volgens de stelling over de middenparallellen van een driehoek geldt:

MbMc ‖ BC en |BC| = 2|McMb|.

Er bestaan twee homothetieen die [MbMc] afbeelden op [BC], de ene heeft factor 2 en deandere heeft factor −2.De homothetie met centrum Z waarbij {Z} = BMb ∩CMc, heeft als factor −2 omdat delijnstukken [MbMc] en [CB] aan weerskanten van Z liggen.

hom(Z,−2)(Mc) = Chom(Z,−2)(Mb) = B

}=⇒

~ZC

~ZMc

=~ZB

~ZMb

= −2 =⇒{|ZC| = 2

3|CMc|

|ZMc| = 13|CMc|.


Analoog voor de andere zwaartelijnen. �

Andere formuleringen van de opgave van de stelling:

• Het zwaartepunt van een driehoek is het centrum van homothetie die de driehoekgevormd door de middenparallellen van de driehoek afbeeldt op de driehoek en defactor is −2.

• De deelverhouding van het zwaartepunt Z t.o.v. (A, Ma) is −2

(Z A Ma)~ZA

~ZMa

= −2.

1.7. STELLINGEN IN RECHTHOEKIGE DRIEHOEKEN 55

1.7 Stellingen in rechthoekige driehoeken

STELLING 1.18 Het kwadraat van de lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde ineen rechthoekige driehoek is gelijk aan het product van de lengten van de stukken waarinze de schuine zijde verdeelt.andere formulering:De lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is mid-delevenredig tussen de lengten van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.

Gegeven : 4ABC is rechthoekig in C →∧C= 90o (zie figuur 1.50)

CC ′ ⊥ ABC ′ ∈ [AB]

.

Te bewijzen : h2 = a′ · b′ ⇐⇒ ha′ = b′

h

Figuur 1.50: stelling in rechthoekige driehoek I

Bewijs: In de rechthoekige driehoeken 4ABC, 4ACC ′ en 4BCC ′ geldt:

∧A +

∧B= 90o

∧A +

∧C1= 90o

∧C2 +

∧B= 90o

=⇒

∧B=

∧C1

∧A=

∧C2

HH=⇒4C ′AC ∼ 4C ′CB

Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkom-stige zijden.

|C ′A||C ′C|

=|AC||CB|

=|C ′C||C ′B|

=⇒ b′

h=

b

a=

h

a′=⇒ h2 = a′ · b′

�


STELLING 1.19 Het kwadraat van de lengte van een rechthoekszijde van een rechthoekigedriehoek is gelijk aan het product van de lengte van de schuine zijde en de lengte van deloodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.Andere formulering:De lengte van een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussende lengte van de schuine zijde en de lengte van haar loodrechte projectie op de schuinezijde.

Gegeven : 4ABC is rechthoekig in C →∧C= 90o (zie figuur 1.50)

CC ′ ⊥ ABC ′ ∈ [AB]

Te bewijzen: b2 = c · b′ ⇐⇒ bc

= b′

b(en a2 = c · a′ ⇐⇒ a

c= a′

a).

Figuur 1.51: stelling in rechthoekige driehoek II

Bewijs: In de rechthoekige driehoeken 4ABC en 4ACC ′ geldt:

∧A +

∧B= 90o

∧A +

∧C1= 90o

=⇒∧B=

∧C1

HH=⇒4ACC ′ ∼ 4ABC

Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkom-stige zijden.

|AC||AB|

=|AC ′||AC|

=|CC ′||BC|

=⇒ b

c=

b′

b=

h

a=⇒ b2 = c · b′

Analoog bewijzen we data

c=

a′

a

�

4 DELTA 3A (oud) : p.19 nr.33; p.22 nr 47 (6) 4 DELTA 3A (nieuw) : p.19 nr.33; p.24 nr 49 (6)

1.8. COORDINAAT VAN EEN VECTOR 57

1.8 Coordinaat van een vector

De coordinaat van de vector ~AB met A(x1, y1) en B(x2, y2) is de coordinaat van de

plaatsvector ~OC die gelijk is aan ~AB. In het vervolg stellen we een vector gelijk aan zijncoordinaat.

~AB = ~OC = ~OB − ~OA = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1)

Tabel 1.11: A(−2, 2) en B(3, 3) coordinaat van ~AB is (3 + 2, 3− 2) = (5, 1)

4 DELTA 3B (oud) p.168 nrs.46-48-50; p.169 nr.54

4 DELTA 3B (nieuw) p.178 nrs.46 1.-47-48-50; p.179 nr.54

1.9 Lengte van een lijnstuk met coordinaten

Zijn A(x1, y1) en B(x2, y2) twee punten dan is de afstand tussen A en B gegeven door

|AB| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

We merken op dat (x2 − x1, y2 − y1) de coordinaat is van ~AB.

Voorbeeld: Voor de punten A en B van tabel 1.8 is |AB| =√

52 + 12 =√

26.

4 DELTA 3B (oud) p.81 nr.1; p.82 nr.2; p.84 nr.8; p.85 nr.10; p.89 nrs.20-21-22.

4 DELTA 3B (nieuw) p.91 nr.1; p.92 nr.2; p.94 nr.8; p.95 nr.10; p.99 nrs.20-21-22.


1.10 Homothetie met centrum O

1.10.1 Transformatieformules

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder dehomothetie met centrum O en factor r gegeven door

(x′, y′) = r · (x, y)

of {x′ = rxy′ = ry

De formules worden de transformatieformules voor een homothetie genoemd.

Voorbeelden:

• Gegeven is het lijnstuk [AB] met A(1, 2) en B(3, 1).

1. Bepaal het beeld [A′B′] van [AB] onder de homothetie met factor 2.Bepaal tevens de lengte van [A′B′].

We construeren het beeld [A′B′] in tabel 1.12.De transformatieformules zijn

(x′, y′) = 2 · (x, y)

of {x′ = 2xy′ = 2y

De beelden van A en B zijn:

A′(2, 4) en B′(6, 2),

hetgeen we hier ook uit de tekening kunnen afleiden.De lengte van [AB]:

~AB = (3− 1, 1− 2) = (2,−1) =⇒ |AB| =√

22 + (−1)2 =√

5

en bijgevolg is|A′B′| = 2 · |AB| = 2

√5.

1.10. HOMOTHETIE MET CENTRUM O 59

Tabel 1.12: de beelden van [AB] onder een homothetie met factor 2 en −1

2. Bepaal het beeld [A′′B′′] van [AB] onder een puntspiegeling om O.Bepaal tevens de lengte van [A′′B′′].

We construeren het beeld [A′′B′′] in tabel 1.12.De transformatieformules zijn

(x′, y′) = −1 · (x, y)

of {x′ = −xy′ = −y

De beelden van A en B zijn:

A′′(−1,−2) en B′′(−3,−1),

hetgeen we hier ook uit de tekening kunnen afleiden.De lengte van [A′′B′′] is

|A′′B′′| = | − 1| · |AB| =√

5.


• Bepaal het beeld van de driehoek ABC met A(6, 0), B(−3, 4) en C(−3,−2) ondereen homothetie met centrum O en factor r = −2

3.

Bepaal de oppervlakte van driehoek ABC, alsook de oppervlakte van het beeld.Eerst tekenen we het beeld van de driehoek in tabel 1.13 en tegelijk controleren wemet de berekening.De transformatieformules zijn:

(x′, y′) = −2

3· (x, y)

of {x′ = −2

3x

y′ = −23y

De coordinaten van de beelden van de hoekpunten van de driehoek zijn

A′(−12

3, 0) = (−4, 0), B′(

6

3,−8

3) = (2,−8

3), C ′(

6

3,4

3) = (2,

4

3).

~AB = (−3− 6, 4) = (−9, 4), ~BC = (−3 + 3,−2− 4) = (0,−6)

en ~AC = (−3− 6,−2) = (−9,−2).De lengten van de zijden van 4ABC zijn:

|AB| =√

92 + 42 =√

97, |BC| = 6, |AC| =√

92 + 22 =√

85

en de lengten van de zijden van 4A′B′C ′ zijn

|A′B′| = |− 2

3|√

97 = 6, 6, |B′C ′| = |− 2

3|6 = 4, |A′C ′| = |− 2

3|√

85 = 6, 1.

De oppervlakte van 4ABC is6 · 92

= 27

en de oppervlakte van 4A′B′C ′ is

(−2

3)2 · 27 =

4

9· 27 = 12.

1.10. HOMOTHETIE MET CENTRUM O 61

Tabel 1.13: beeld van de 4ABC onder een homothetie met factor −23


Tabel 1.14: beeld van de cirkel en het lijnstuk [AB] onder een homothetie met factor 2, 5

OPGAVEN — 4 Teken in tabel 1.14 de cirkel met middelpunt (1, 1) en straal√

2 en bepaal het beeldvan deze cirkel onder een homothetie met centrum O en factor 2, 5.

5 Bepaal de lengte van het lijnstuk [AB] met A(2, 0) en B(5, 3) en teken in tabel 1.14 het beeld [A′B′]van het lijnstuk onder een homothetie met centrum O en factor 2, 5. Bepaal de lengte van [A′B′].

4 DELTA 3B (oud) p.150 nr.1; p.151 nr.7-8 4 DELTA 3B (nieuw) p.160 nr.1; p.161 nr.7-8

1.11. UITREKKINGEN 63

1.11 Uitrekkingen

1.11.1 Uitrekking in de richting van de x-as met centrum O

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder deuitrekking in de richting van de x-as met centrum O en factor r gegeven door{

x′ = rxy′ = y

De formules worden de transformatieformules voor een uitrekking in de richtingvan de x-as genoemd.Voorbeeld: Bepaal in tabel 1.15 de beelden onder een uitrekking in de richting van de x-asmet centrum O en factor 3 van �ABCD en �PQRS met A(1, 1), B(1,−1), C(−1,−1),D(−1, 1), P (2, 5; 5), Q(2, 5; 3), R(0, 5; 3) en S(0, 5; 5).De transformatieformules zijn {

x′ = 3xy′ = y

De coordinaten van de beelden zijn: A′(3, 1), B′(3,−1), C ′(−3,−1), D′(−3, 1), P ′(7, 5; 5),Q′(7, 5; 3), R′(1, 5; 3) en S ′(1, 5; 5).

Tabel 1.15: beeld van �ABCD onder een uitrekking met factor 3 in de x-richting

OPGAVEN — 6 Ga na hoe een vierkant verandert na uitrekking in de richting van de x-as metcentrum O en factor 3.


1.11.2 Uitrekking in de richting van de y-as met centrum O

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder deuitrekking in de richting van de y-as met centrum O en factor r gegeven door{

x′ = xy′ = ry

De formules worden de transformatieformules voor een uitrekking in de richtingvan de y-as genoemd.

OPGAVEN — 7 Is het mogelijk een uitrekking in de riching van de y-as te bepalen waarvoor het beeldvan een rechthoek een vierkant is? Bepaal zo een uitrekking.

Opmerkingen:

• Een figuur wordt door een uitrekking in een richting met factor r vergroot in dierichting als

r < −1 ∨ r > 1

• Een figuur wordt door een uitrekking in een richting met factor r verkleind in dierichting als

−1 < r < 1

• Een figuur blijft door een uitrekking in een richting met factor r even groot als

r = −1 ∨ r = 1

• Als we een figuur uitrekken in twee verschillende richtingen met dezelfde factor rdan wordt die figuur uitgerokken in alle richtingen met factor r en is de opeenvolgingvan die twee uitrekkingen een homothetie met factor r.

1.12. SPIEGELINGEN OM RECHTEN 65

1.12 Spiegelingen om rechten

1.12.1 De spiegeling om de x-as

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder despiegeling om de x-as volgens de richting van de y-as gegeven door

(x′, y′) = (x,−y)

of {x′ = xy′ = −y

De formules worden de transformatieformules voor de spiegeling om de x-as vol-gens de richting van de y-as genoemd.

1.12.2 De spiegeling om de y-as

Is (x, y) de coordinaat van ~OP dan is de coordinaat (x′, y′) van het beeld ~OP ′ onder despiegeling om de y-as volgens de richting van de x-as gegeven door

(x′, y′) = (−x, y)

of {x′ = −xy′ = y

De formules worden de transformatieformules voor de spiegeling om de y-as vol-gens de richting van de x-as genoemd.

Tabel 1.16: spiegeling om de x-as —- spiegeling om de y-as

HERHALINGSOPGAVEN: 4 DELTA 3B (oud) p.150 nrs.2-3 p.153 nr.10-13

4 DELTA 3B (nieuw) p.160 nrs.2-3 p.163 nr.10-13


Hoofdstuk 2

De rechte in het vlak

2.1 Herhaling: eerstegraadsfuncties

De vergelijking y = ax + b is het voorschrift van een eerstegraadsfunctie als a 6= 0.De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte.

Betekenis van de coefficienten a en b :

• b is de doorgang op de y-as van de rechte.

• a is de richtingscoefficient van de rechte.

. a > 0: de functie stijgt;

. a < 0: de functie daalt;

Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie :Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie is de x-waarde waarvoor de functiewaardegelijk is aan nul of de x-waarde van het snijpunt van de grafiek met de x-as, die we de

doorgang van de rechte op de x-as noemen. −→ ax + b = 0a 6=0⇐⇒ x = − b

a.

Het voorschrift van alle eerstegraadsfuncties met x1 als nulpunt is van de gedaante,

y = a(x− x1) (2.1)

Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie kan in de gedaante 2.1 gebracht worden:

y = a(x +b

a) ⇐⇒ y = a(x− (− b

a)) ⇐⇒ y = a(x− x1)

De vergelijking y = ax + b als a = 0, wordt y = b . Deze vergelijking is het voorschriftvan een constante functie. De grafiek is een rechte evenwijdig met de x-as.De richtingscoefficient is gelijk aan nul.

67

68 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK

Figuur 2.1: richtingsruimte van de rechte a

2.2 Vergelijking van een rechte

2.2.1 De richting van een rechte - richtingsvector

De richting van een rechte a is de verzameling van alle rechten parallel met a.

Elke vector in het vlak, verschillend van de nulvector, duidt een richting van een rechteaan. Zo duidt de vector ~OP de richting aan van de rechte OP = aO en van elke rechteevenwijdig met OP . We beschouwen op een tekening een rechte a evenwijdig met aO.

Verschillende plaatsvectoren kunnen de richting van de rechte a aanduiden zoals de vec-toren ~OP , ~OQ en ~OQ′ op de tekening. De punten P , Q en Q′ liggen dan op de rechte aO

evenwijdig met a door de oorsprong.Al deze vectoren worden richtingsvectoren van de rechte a genoemd.De rechte aO bevat alle punten waarvan de plaatsvectoren richtingsvectoren zijn van a enwordt daarom de richtingsruimte van de rechte a genoemd.

STELLING 2.1 Elk veelvoud verschillend van nul van een richtingsvector is richtingsvec-tor van dezelfde richting en omgekeerd, zijn alle richtingsvectoren van eenzelfde richtingveelvouden van elkaar.

2.2.2 Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte

Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte is de coordinaat van eenrichtingsvector van die rechte.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 69

Tabel 2.1: richtingsgetallen van een rechte

Voorbeelden:

• de rechte OP door de oorsprong en door het punt P (2,−3) heeft (2,−3) als een stelrichtingsgetallen.Een ander stel richtingsgetallen is bvb. (−1, 3

2) dat hoort bij een veelvoud van de

vector ~OP , nl. −12

~OP .We schrijven

(2,−3) ∼ (−1,3

2) ∼ (1,−3

2).

• de rechte bepaald door de punten A(6, 3) en B(1, 4) heeft ~AB als richtingsvector.

~AB = ~OB − ~OA = (1, 4)− (6, 3) = (−5, 1)

Algemeen:

Zijn (x1, y1) en (x2, y2) de coordinaten van resp. A en B van de rechte AB dan is

~AB = ~OB − ~OA = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1)

een stel richtingsgetallen van de rechte AB.


OPGAVEN — 8 Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte AB met

(a) A(1, 5) en B(−6, 3), (b) A(7,−5) en B(11, 3) (c) A(−2, 3) en B(−2, 11)

2.2.3 Onderzoek van de collineariteit van drie punten

Voorbeeld: Onderzoek of de punten A(8, 6), B(9, 3) en C(11,−3) collineair zijn.Om dit te onderzoeken, gaan we na of de rechten AB en AC, die het punt A gemeen-schappelijk hebben ook dezelfde richting hebben.

~AB = ~OB − ~OA = (9− 8, 3− 6) = (1,−3)~AC = ~OC − ~OA = (11− 8,−3− 6) = (3,−9)

Omdat (3,−9) ∼ (1,−3), geldt AB ‖ AC. De punten A, B en C zijn collineair.

Tabel 2.2: zijn de punten A, B en C collineair?

OPGAVEN — 9 Zijn volgende punten A(7,−5), B(−14, 10) en C(1,− 57 ) collineair?

4 DELTA 3B (oud) p.88 nr.15; p.169 nr.55. en 4 DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.15; p.179 nr.55


2.2.4 Herkennen van speciale veelhoeken via vectoren

Voorbeelden:

• Onderzoek of de vierhoek ABCD een parallellogram is met A(−4, 1), B(−1,−4),C(1,−3) en D(−2, 2).

~AB = (−1 + 4,−4− 1) = (3,−5)~DC = (1− (−2),−3− 2) = (3,−5)

(3,−5) = (3,−5) =⇒ ~AB = ~DC

Dit betekent dat ~DC het beeld is van ~AB onder een verschuiving metvector ~AD = (−2− (−4), 2− 1) = (2, 1).De punten A, B, C en D zijn niet collineair want

(3,−5) 6∼ (2, 1) =⇒ AB 6‖ AD

Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een parallellogram is.

Tabel 2.3: is ABCD een parallellogram?

4 DELTA 3B (oud) p.89 nr.18 en 4 DELTA 3B (nieuw) p.99 nr.18


• Onderzoek welk soort vierhoek ABCD is met A(4,−32), B(7, 0), C(0, 2) en D(−2, 1).

~AB = (7− 4, 0− (−32)) = (3, 3

2)

~DC = (0− (−2), 2− 1) = (2, 1).

(3,3

2) =

3

2(2, 1) =⇒ (3,

3

2) ∼ (2, 1) =⇒ AB ‖ DC

We moeten nog controleren of A, B, C en D niet collineair zijn. Het is voldoendede richtingsgetallen te berekenen van AD of CB. We nemen CB want die hebbende eenvoudigste coordinaatgetallen.

~CB = (7− 0, 0− 2) = (7,−2)

(2, 1) 6∼ (7,−2) =⇒ DC 6‖ CB.

Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een trapezium voorstelt.

Tabel 2.4: welke vierhoek is ABCD?

4 DELTA 3B (oud) p.89 nr.22; p.164 nr.40 en 4 DELTA 3B (nieuw) p.99 nr.22; p.174 nr.40

• Bewijs op een zo kort mogelijke manier dat de vierhoek ABCD een ruit is metA(3, 3), B(−2, 1), C(−4,−4) en D(1,−2).

~AB = (−2− 3, 1− 3) = (−5,−2)~DC = (−4− 1,−4− (−2) = (−5,−2)

(−5,−2) = (−5,−2) =⇒ ~AB = ~DC

Dit betekent dat ~DC het beeld is van ~AB onder een verschuiving metvector ~AD = (1− 3,−2− 3) = (−2,−5).De punten A, B, C en D zijn niet collineair want

(−5,−2) 6∼ (−2,−5) =⇒ AB 6‖ AD


Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een parallellogram is.Het parallellogram ABCD is een ruit als |AB| = |AD|.

|AB| =√

(−5)2 + (−2)2 =√

29

|AD| =√

(−2)2 + (−5)2 =√

29

}=⇒ |AB| = |AD|

Tabel 2.5: welke vierhoek is ABCD?

4 DELTA 3B (oud) p.88 nr.14; p.89 nr.19; p.104 nr.55

4 DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.14; p.99 nr.19; p.114 nr.55.


2.2.5 De richtingscoefficient van een rechte

1. We kennen een stel richtingsgetallen van de rechteMet CABRY tekenen we enkele punten op eenzelfde rechte door de oorsprong. bij-voorbeeld zijn de punten P (3, 2), Q(5, 29; 3, 53) en R(−2, 57;−1, 71) (op 2 decimalennauwkeurig) collineair met O. Er geldt:

2

3=

3, 53

5, 29=−1, 71

−2, 57= 0, 67.

Wegens de gelijkvormigheid van driehoeken geldt dat het tweede richtingsgetalgedeeld door het eerste richtingsgetal van de stellen richtingsgetallen van dezelfderichting hetzelfde getal oplevert.

We noemen dat vast quotient, de richtingscoefficient van de rechte OP en vanelke rechte evenwijdig met OP .

Omgekeerd, als 23

de richtingscoefficient is van een rechte dan zijn bvb. de koppels(1, 2

3) en (3, 2) twee stellen richtingsgetallen van de rechte.

Bijzondere geval: Nemen we enkele punten van de x-as.(1, 0), (6, 0), (−3, 0) zijn stellen richtingsgetallen van de x-richting.De richtingscoefficient van de x-as is 0.

Belangrijke opmerking: Nemen we enkele punten van de y-as.(0, 1), (0,−7), (0, 5) zijn stellen richtingsgetallen van de y-as.

De richtingscoefficient van de y-as bestaat niet .

2. We kennen twee punten van de rechte

Een stel richtingsgetallen van de rechte door A(x1, y1) en B(x2, y2) is (x2−x1, y2−y1).Hieruit volgt dat de richtingscoefficient van de rechte AB gelijk is aan

y2 − y1

x2 − x1

.

Dit quotient kenden we reeds van bij de eerstegraadsfuncties.

Besluit:

(l,m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a 6‖ y (l 6= 0)

⇐⇒ m

lis de richtingscoefficient van a

ω is de richtingscoefficient van a ⇐⇒ (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a

4 DELTA 3B (oud) p.88 nr.13 en 4 DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.13.


Tabel 2.6: Teken door het punt (1,−2) de rechte met richtingscoeficient −0, 8 en tekendoor het punt (−2,−4) de rechte met richtingscoeficient 5, 5.

Tabel 2.7: richtingscoefficient van een rechte AB naar keuze

3. We kennen de hoek tussen de rechte en de x-as

We hebben reeds gezien dat de richtingscoefficient van een rechte die een hoek insluitmet de x-as (hoek tussen twee rechten is per definitie altijd de scherpe hoek tussende rechten) gelijk is aan de tangens van die hoek met een + of een - al naargelangde rechte stijgt of daalt.

4 DELTA 3B (oud) p.91 nr.27 en 4 DELTA 3B (nieuw) p.101 nr.27

Besluit:

De richting van een rechte wordt bepaald door een stel richtingsgetallen.Is een rechte niet evenwijdig met de y-as dan kan zijn richting ook bepaald worden doorzijn richtingscoefficient.


Tabel 2.8: richtingscoefficient van een rechte die een hoek van 30o insluit met de x-as

2.2.6 Vergelijking van een rechte door de oorsprong

Een vergelijking van een rechte is de (nodige en voldoende) voorwaarde waaraan decoordinaat (x, y) van een punt P moet voldoen opdat het op de rechte zou gelegen zijn.

2.2.6.1 Opstellen van een vergelijking van een rechte door de O

Voorbeelden:

• We beschouwen de rechte ao door O en het punt A(3, 2). De coordinaatgetallen xen y van elk punt P (x, y) van de rechte OA zijn evenredig met (3, 2).

x

3=

y

2⇐⇒ 2x− 3y = 0

Deze verbanden tussen x en y zijn vergelijkingen van de rechte OA. Willen we eenpunt bepalen van ao dan moeten we een oplossing zoeken van de vergelijking, bvb.(−6,−4).

• Geef de vergelijking van de rechte bo door de oorsprong met richtingsgetallen (−1, 2).De rechte b heeft als vergelijking

x

−1=

y

2⇐⇒ 2x + y = 0 ⇐⇒ y = −2x

Een ander punt van de rechte bo is bvb. (3,−6).

• Geef de vergelijking van de rechte co door de oorsprong met richtingscoefficient 87.

De vergelijking van de rechte c is

y =8

7x ⇐⇒ 8x− 7y = 0

Een punt van de rechte is bvb. (7, 8).


Tabel 2.9: de rechten x3

= y2

x−1

= y2

y = 87x

• Wat is de eigenschap van de coordinaat (x, y) van een punt P dat gelegen is op dex-as? De eigenschap is dat het tweede coordinaatgetal y gelijk is aan nul.De vergelijking van de x-as is dus

y = 0.

• Wat is de eigenschap van de coordinaat (x, y) van een punt P dat gelegen is op dey-as? De eigenschap is dat het eerste coordinaatgetal x gelijk is aan nul.De vergelijking van de y-as is dus

x = 0.

Besluit:

• Een vergelijking van de rechte door de oorsprong en door het punt (l,m) is(x

l=

y

mmet l 6= 0 m 6= 0

)=⇒ mx− ly = 0

• Een vergelijking van een rechte door de oorsprong en met richtingscoefficient ω is

y = ωx

• Een vergelijking van de x-as is y = 0.

• Een vergelijking van de y-as is x = 0.


2.2.6.2 Algemene vergelijking van een rechte door O

Voorbeelden:

• De rechte met vergelijking 5x + 4y = 0 is een rechte door de oorsprong. De een-voudige oplossing (4,−5) is de coordinaat van een punt van de rechte en tevens eenstel richtingsgetallen van de rechte.Lossen we de vergelijking op naar y dan krijgen we de vergelijking:

y = −5

4x

waaruit we gemakkelijk de richtingscoefficient kunnen aflezen als coefficient van x,nl. −5

4.

• De rechte 7x− 4y = 0 is een rechte door de oorsprong en door het punt (4, 7).(4, 7) is tevens een stel richtingsgetallen van de rechte.Lossen we de vergelijking op naar y dan krijgen we de vergelijking:

y =7

4x

en 74

is de richtingscoefficient van de rechte.

Tabel 2.10: de rechten 5x + 4y = 0 7x− 4y = 0


Besluit:

De algemene vergelijking van een rechte aO door de oorsprong is van de gedaante

ux + vy = 0 met (u, v) 6= (0, 0).

Daarin is de eenvoudige oplossing (v,−u) een stel richtingsgetallen van de rechte.

algemene vgl. de vgl.opgelost richtings- grafischevan de rechte naar y of x coefficient voorstelling

u 6= 0, v 6= 0 ux + vy = 0 y = −uvx −u

vschuine

rechte dr.Ou = 0, v 6= 0 vy = 0 y = 0 0 horizontale

rechte = x-asu 6= 0, v = 0 ux = 0 x = 0 geen verticale rechte

= y-asu = 0, v = 0 0 = 0 R2

identisch nul gans het vlak(zie 2)

1

OPGAVEN — 10 Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte met vergelijking 3x−5y = 0 en tekende rechte.

11 Bepaal de vergelijking van de rechte door de oorsprong met richtingsgetallen (−1, 3).

4 DELTA 3B (oud) p.91 nrs.24-25-26; p.92 nr.29

4 DELTA 3B (nieuw) p.101 nrs.24-25-26; p.102 nr.29

1identisch nul betekent hier: gelijk aan nul voor elke waarde van x en y.


2.2.7 Vergelijking van een rechte

2.2.7.1 De rechte is bepaald door een punt en een richting

We beschouwen de rechte door de oorsprong aO : 3x− 2y = 0.

We wensen een vergelijking op te stellen van de rechte a evenwijdig met aO en gaandedoor het punt (4, 3). Deze rechte is het beeld van aO onder een verschuiving met vector~v(4, 3) .

Met CABRI verschuiven we de rechte aO over de vector (4, 3). We laten CABRI devergelijkingen van beide rechten erbij schrijven.

Hoe kunnen we een vergelijking van a bekomen door berekening?

De transformatieformules van een verschuiving met ~v(4, 3) zijn{x′ = x + 4y′ = y + 3

m{x = x′ − 4y = y′ − 3

De punten P (x, y) van aO voldoen aan de vergelijking 3x − 2y = 0. We zoeken nu eenvergelijking waaraan de beelden P ′(x′, y′) voldoen.Daartoe vervangen we (eventueel met DERIVE) in de vergelijking 3x− 2y = 0 de x doorx′ − 4 en de y door y′ − 3. We bekomen de vergelijking

3(x′ − 4)− 2(y′ − 3) = 0 ⇐⇒ 3x′ − 2y′ − 6 = 0.

De beelden P ′(x′, y′) voldoen aan het verband 3x′ − 2y′ − 6 = 0.Bijgevolg is

3x− 2y − 6 = 0

een vergelijking van het beeld a van de rechte aO onder de verschuiving.

We verschuiven de rechte 3x− 2y = 0 ook nog over de vector (0,−3) (verticaal).{x′ = x + 0y′ = y − 3

⇔{

x = x′

y = y′ + 3−→ 3x′ − 2(y′ + 3) = 0 ⇔ 3x′ − 2y′ − 6 = 0

De vergelijking van het beeld is

3x− 2y − 6 = 0


We verschuiven de rechte ook nog over de vector (2, 0) (horizontaal).{x′ = x + 2y′ = y + 0

⇔{

x = x′ − 2y = y′

−→ 3(x′ − 2)− 2y′ = 0 ⇔ 3x′ − 2y′ − 6 = 0

De vergelijking van het beeld is3x− 2y − 6 = 0

We verkrijgen dus telkens dezelfde rechte.Beschouwen we in het bijzonder de vergelijking opgelost naar y dan zien we in de verge-lijking de bijzondere verschuiving zitten nl. deze in de riching van de y-as over de vector(0,−3) want uit deze vergelijking blijkt dat −3 de doorgang is met de y-as.

y =3

2x− 3.

Tabel 2.11: de rechte evenwijdig met 3x− 2y = 0 en door (4, 3)


• Stel een vergelijking op van de rechte b door het punt B(−3, 4) en met richtingscoefficient25. Een vergelijking van de rechte bO door de oorsprong met richtingscoefficient 2

5is

y =2

5x ⇐⇒ 2x− 5y = 0

We verschuiven bO over de vector ~OB(−3, 4).{x′ = x− 3y′ = y + 4

⇔{

x = x′ + 3y = y′ − 4

−→ 2(x′+3)−5(y′−4) = 0 ⇔ 2x′−5y′+26 = 0.

Een vergelijking van b is2x− 5y + 26 = 0.

• Stel een vergelijking op van de rechte c door het punt C(−5,−1) en evenwijdig metde rechte d : x + 3y + 3 = 0.We verschuiven dO : x + 3y = 0 over de vector ~OC(−5,−1).{

x′ = x− 5y′ = y − 1

⇔{

x = x′ + 5y = y′ + 1

−→ (x′ +5)+3(y′ +1) = 0 ⇔ x′ +3y′ +8 = 0

Een vergelijking van c isx + 3y + 8 = 0.

Tabel 2.12: de rechten bepaald door een punt en een richting


• Stel een vergelijking op van de rechte a door het punt A(4, 1) en met richtingsgetallen(−2, 3). Een vergelijking van de rechte bO door de oorsprong met richtingsgetallen(−2, 3) is

x

−2=

y

3⇐⇒ 3x = −2y ⇐⇒ 3x + 2y = 0

We verschuiven aO over de vector ~OA(4, 1).{x′ = x + 4y′ = y + 1

⇔{

x = x′ − 4y = y′ − 1

−→ 3(x′−4)+2(y′−1) = 0 ⇔ 3x′+2y′−14 = 0.

Een vergelijking van b is3x + 2y − 14 = 0.

Tabel 2.13: rechte evenwijdig door punt A(4, 1) en met richtingsgetallen (−2, 3)


• Bepaal een vergelijking van de rechte e door het punt E(1, 53) en evenwijdig met

x-as. We verschuiven x : y = 0 over de vector ~OE(1, 53).{

x′ = x + 1y′ = y + 5

3

⇔{

x = x′ − 1y = y′ − 5

3)−→ y′ − 5

3= 0 ⇔ y′ =

5

3

De rechte e heeft vergelijking

y =5

3⇐⇒ 3y − 5 = 0.

Merk op dat

– in een vergelijking van een rechte evenwijdig met de x-as de x-termontbreekt.

– enkel het tweede coordinaatgetal van het punt E speelt een rol.

• Bepaal een vergelijking van de rechte f door het punt F (−5, 0) en evenwijdig met

y-as. We verschuiven y : x = 0 over de vector ~OF (−5, 0).{x′ = x− 5y′ = y + 0

⇔{

x = x′ + 5y = y′

−→ x′ + 5 = 0 ⇔ x′ = −5

De rechte f heeft vergelijking

x = −5 ⇐⇒ x + 5 = 0.

Merk op dat

– in een vergelijking van een rechte evenwijdig met de y-as de y-termontbreekt.

– enkel het eerste coordinaatgetal van het punt F speelt een rol.


Tabel 2.14: rechte evenwijdig met x-as en rechte evenwijdig met y-as

Besluit voor een vergelijking van een rechte bepaald door een punt eneen richting

Om een vergelijking op te stellen van een rechte zoeken we altijd eerst de vergelijking vande rechte door de oorsprong die de richting heeft van de gevraagde rechte. Vervolgenspassen we een verschuiving toe met als vector de plaatsvector van een punt van de rechte.

• De rechte a gaat door (x0, y0) en is evenwijdig met de rechte aO : ux + vy = 0 .Een vergelijking van de rechte is

u(x− x0) + v(y − y0) = 0

(beeld van aO onder de verschuiving met vector ~v(x0, y0)).

• De rechte gaat door (x0, y0) en is evenwijdig met de x-as. Een vergelijking van derechte is (de x-term ontbreekt)

y = y0

.

• De rechte gaat door (x0, y0) en is evenwijdig met de y-as. Een vergelijking van derechte is (de y-term ontbreekt)

x = x0

.

4 DELTA 3B (oud) p.94 nrs.32-33; p.95 nrs.37-38; p.101 nr.50; p.104 nr.59

4 DELTA 3B (nieuw) p.104 nrs.32-33; p.105 nr.37; p.106 nr.38; p.111 nr.50; p.114 nr.59


2.2.7.2 De rechte is bepaald door twee punten

• We beschouwen de rechte a bepaald door de punten A(1, 2) en B(4, 3).

~AB = ~OB − ~OA = (4− 1, 3− 2) = (3, 1).

De gevraagde rechte gaat door het punt A (of B) en heeft (3, 1) als een stel richt-ingsgetallen . We zijn dus herleid tot het bepalen van een vergelijking van een rechtedoor een punt en een richting.We verschuiven de rechte

aO :x

3=

y

1⇐⇒ x = 3y ⇐⇒ x− 3y = 0

over de vector (1, 2).{x′ = x + 1y′ = y + 2

⇔{

x = x′ − 1y = y′ − 2

−→ x′− 1− 3(y′− 2) = 0 ⇔ x′− 3y′ + 5 = 0.

Een vergelijking van de rechte AB is

x− 3y + 5 = 0.

Tabel 2.15: de rechte AB


Tabel 2.16: vergelijking van een rechte evenwijdig met een coordinaatas

• Beschouwen we de punten A(3, 2) en B(3,−4) dan is (0, 6) een stel richtingsgetallenvan AB. De rechte AB is dus evenwijdig met de y-as.Een vergelijking van AB is

x = 3

Opmerking: De punten A en B hebben allebei het eerste coordinaatgetal gelijkaan 3. Alle punten van de rechte AB hebben het eerste coordinaatgetal gelijk aan3. Vandaar is een vergelijking van AB x = 3.

• Beschouwen we de punten C(5,−1) en D(3,−1) dan is (2, 0) een stel richtingsge-tallen van CD. De rechte CD is dus evenwijdig met de y-as.Een vergelijking van CD is

y = −1

Opmerking: De punten C en D hebben allebei het tweede coordinaatgetal gelijkaan −1. Alle punten van de rechte CD hebben het tweede coordinaatgetal gelijkaan −1. Vandaar is een vergelijking van CD y = −1.


2.2.7.3 De rechte is bepaald door zijn doorgangen op x-as en y-as

Is een rechte bepaald door zijn doorgangen p 6= 0 en q 6= 0 op resp. de x-as en de y-as,dan gaat de rechte door de twee punten A(p, 0) en B(0, q).Een stel richtingsgetallen van a = AB is (0− p, q − 0) = (−p, q).

We verschuiven de rechte ao : x−p

= yq

over de vector ~OA(p, 0).{x′ = x + py′ = y

⇔{

x = x′ − py = y′

−→ x′ − p

−p=

y′

q⇐⇒ x′

−p+ 1 =

y′

q.

De vergelijking van AB isx

p+

y

q= 1.

Deze laatste vergelijking wordt de vergelijking van de rechte met zijn doorgangenop de assen genoemd.

Voorbeeld: De vergelijking van de rechte bepaald door de punten (7, 0) en (0, 4) is

x

7+

y

4= 1 ⇐⇒ 4x + 7y − 28 = 0.

Opmerking: De vorm van de vergelijking met de doorgangen is zeer handig als men vlugeen rechte wil schetsen. We brengen de vergelijking van de rechte in deze gedaante en welezen de doorgangen af in de noemers van x en y.

Tabel 2.17: de rechte met zijn doorgangen op x-as en y-as

4 DELTA 3B (oud) p.98 nr.44 4 DELTA 3B (nieuw)


Besluit voor als een rechte bepaald is door twee verschillende punten:

Is een rechte a = AB met A(x1, y1) en B(x2, y2) dan is (x2 − x1, y2 − y1) = (l,m) eenstel richtingsgetallen van a.

We stellen een vergelijking op van aO : mx− ly = 0.

De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector ~OA (of ~OB).

Bijzondere gevallen:

1. Is x1 = x2 dan is AB evenwijdig met de y-as en een vergelijking van AB is

x = x1

2. Is y1 = y2 dan is AB evenwijdig met de x-as en een vergelijking van AB is

y = y1

3. Zijn p en q de doorgangen met resp. de x-as en de y-as dan is een vergelijking vanAB (A(p, 0) en B(0, q))

x

p+

y

q= 1.


Nog enkele rechten om een vergelijking van op te stellen: (Teken in figuur 2.18)

• de rechte door A(2, 3) en B(7,−5): een stel richtingsgetallen is (2 − 7, 3 + 5) =(−5, 8). De richtingsruimte van AB is x

−5= y

8⇐⇒ 8x + 5y = 0. We verschuiven

AB over de vector ~OA = (2, 3). Een vergelijking van AB is

8(x− 2) + 5(y − 3) = 0 ⇐⇒ 8x + 5y − 31 = 0.

• de rechte door C(−4, 3) en D(−4, 0) is evenwijdig met de y-as. Een vergelijking is

x = −4.

• de rechte door E(1,−4) en F (2,−4) is evenwijdig met de x-as. Een vergelijking is

y = −4.

• de rechte heeft doorgangen −3 en 2 op resp. x-as en y-as. Een vergelijking is

x

−3+

y

2= 1 ⇐⇒ 2x− 3y + 6 = 0.

OPGAVEN — 12 Stel de vergelijking op van de rechte bepaald door de punten

1. (5, 4) en (−1,−2);

2. (3,−1) en (3, 4);

3. (2,−4) en (5,−4).

13 Gegeven de punten A(4, 2) en B(−3, 6)Gevraagd:

1. Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte AB;

2. Bepaal de vergelijking van de rechte c door het punt C(1, 0) en evenwijdig met AB en maak eentekening;

3. Bepaal de vergelijking van de rechte AB.

4 DELTA 3B (oud) p.97 nr.42; p.98 nrs.43-45; p.99 nr.46; p.101 nrs.49-52; p.104 nr.60; p.105 nr.65;p.106 nr.68.4 DELTA 3B (nieuw) p.107 nr.42; p.108 nrs.43-45; p.109 nr.46; p.111 nr.49; p.112 nrs.51(2)-52; p.114nr.60; p.115 nr.65; p.106 nr.68.


Tabel 2.18: de rechten:


2.2.7.4 Tekenen van rechten

De manier waarop we een rechte tekenen, hangt af welke informatie we hebben over dezerechte. We illustreren met een aantal voorbeelden (teken in figuur 2.19).

• Teken de rechte a met vergelijking 3x − 4y + 8 = 0. Uit de vergelijking leiden wegemakkelijk af dat 2 de doorgang is op de y-as en dat (4, 3) een stel richtingsgetallenis.

• Teken de rechte b met vergelijking 6x + 5y + 18 = 0. We zien gemakkelijk dat −3de doorgang is met de x-as en een stel richtingsgetallen is (5,−6).

• Teken de rechte c met vergelijking 3x + 4y + 12 = 0. De vergelijking van de rechteis gemakkelijk in de volgende gedaante te brengen

x

−4+

y

−3= 1

waaruit volgt dat de doorgangen met x-as en y-as resp. −4 en −3 zijn.

• Teken de rechte d met vergelijking y = 43x + 3. De rechte heeft 3 als doorgang op

de y-as en heeft richtingscoefficient 43.


Tabel 2.19: de rechten:


2.2.7.5 Algemene vergelijking van een rechte

Een algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante

ux + vy + w = 0 met (u, v) 6= (0, 0).

Daarin is de eenvoudige oplossing van (v,−u) van a0 : ux + vy = 0 een stel rich-tingsgetallen van de rechte.

algemene vgl. de vgl.opgelost richtings- grafischevan de rechte naar y of x coefficient voorstelling

u 6= 0, v 6= 0 ux + vy + w = 0 y = −uvx− w

v−u

vschuine

w 6= 0 rechteu 6= 0, v 6= 0 ux + vy = 0 y = −u

vx −u

vschuine

w = 0 rechte door Ou = 0, v 6= 0 vy + w = 0 y = −w

v0 horizontale

w 6= 0 rechte‖ met x-as

u = 0, v 6= 0 vy = 0 y = 0 0 horizontalew = 0 rechte = x-asu 6= 0, v = 0 ux + w = 0 x = −w

ugeen verticale rechte

w 6= 0 ‖ met y-asu 6= 0, v = 0 ux = 0 x=0 geen verticale rechtew = 0 = y-asu = 0, v = 0 w = 0 φw 6= 0 strijdige vgl. (zie 3)u = 0, v = 0 0 = 0 R2

w = 0 identisch nul gans het vlak(zie 2)

2 3

2identisch nul betekent hier: gelijk aan nul voor elke waarde van x en y.3φ betekent: de ledige verzameling of de verzameling waar geen enkel element inzit.


STELLING 2.2 • Twee vergelijkingen ux + vy + w = 0 en u′x + v′y + w′ stellenevenwijdige rechten voor als en slechts als (u, v) en (u′, v′) veelvouden zijn van elkaar.

• Twee vergelijkingen ux + vy + w = 0 en u′x + v′y + w′ stellen dezelfde rechte voorals en slechts als (u, v, w) en (u′, v′, w′) veelvouden zijn van elkaar.

Geef enkele voorbeelden van strikt parallelle rechten:

Geef enkele verschillende vergelijkingen van dezelfde rechte:

OPGAVEN — 14 Teken de rechten met vergelijking a : 6x+3y−12 = 0 en de rechte a′ : 2x+y+8 = 0.Hoe is de onderlinge ligging van a en a′? Waarom?

15 Teken de rechten met vergelijking a : 3x− y = 6 en de rechte b : y = −3x− 6. Hoe is de onderlingeligging van a en b? Waarom?

16 Teken de rechten met vergelijking a : 3x+12 = 0 en de rechte b : x = 4. Hoe is de onderlinge liggingvan a en b? Waarom?

17 Teken de rechten met vergelijking a : 4y − 3 = 0 en de rechte b : y = − 34 . Hoe is de onderlinge

ligging van a en b? Waarom?

18 Bestaat er een verschuiving die de rechte a : 6x+3y−12 = 0 afbeeldt op de rechte a′ : 2x+y+8 = 0?Leg uit waarom. Bepaal eventueel een vector van verschuiving.

19 Gegeven de rechte met vergelijking a : 3x− 5y = 15 en het punt A(−1, 2).

1. Teken de rechte a en het punt A;

2. Stel de vergelijking op van de rechte a′ door het punt A evenwijdig met de rechte a en teken a′;

3. Bepaal de vergelijking van de rechte a′′ die we bekomen door de rechte a te verschuiven over devector (3,−5);

4. Bepaal een stel richtingsgetallen van a;

5. Bepaal de richtingscoefficient van a;

6. Over welke vector kan men de rechte a verschuiven om de rechte b : 6x−10y−15 = 0 te bekomen?Maak een tekening.

4 DELTA 3B (oud) p.92 nr.28; p.101 nr.50. 4 DELTA 3B (nieuw) p.102 nr.28; p.111 nr.50.


Inhoudsopgave

1 Vectoren en transformaties 3

1.1 Plaatsvectoren in ΠO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Plaatsvector van een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Coordinaat van een plaatsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 De som van plaatsvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3.2 Met coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Het verschil van twee plaatsvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4.2 Met coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Ontbinding van een plaatsvector in componenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Veelvoud van een plaatsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6.1 Het begrip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6.2 Met coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.7 De plaatsvector van het midden van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Verschuivingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Het beeld van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Beeld van een figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4 De transformatieformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.5 Het begrip vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5.2 Een vector als verschil van twee plaatsvectoren . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5.3 De formule van Chasles-Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5.4 Tegengestelde vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

97

98 INHOUDSOPGAVE

1.2.5.5 Veelvoud van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Evenwijdige projecties op een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 De projectie van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 De loodrechte projectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4 De projecties van twee gelijke en evenwijdige lijnstukken . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 De stelling van Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 Constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.2 De verhouding van twee evenwijdige vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.3 Deelverhouding van een punt t.o.v. een puntenkoppel . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.3.2 Gegeven de ligging van C, bepaal de deelverhouding (A B C) . . . . . . . 33

1.4.3.3 Gegeven de deelverhouding (A B C), bepaal de ligging van C . . . . . . . 34

1.4.4 Bissectrices van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Homothetieen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.2 Het beeld van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6 Gelijkvormige figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.2 Gelijkvormige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.2.1 Homothetisch gelijkvormige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.2.2 Gelijkvormige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.3 Omtrek en oppervlakte van gelijkvormige figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.6.4 Middenparallel van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.6.5 Zwaartepunt van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.7 Stellingen in rechthoekige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.8 Coordinaat van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.9 Lengte van een lijnstuk met coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.10 Homothetie met centrum O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.10.1 Transformatieformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.11 Uitrekkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.11.1 Uitrekking in de richting van de x-as met centrum O . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.11.2 Uitrekking in de richting van de y-as met centrum O . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.12 Spiegelingen om rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.12.1 De spiegeling om de x-as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.12.2 De spiegeling om de y-as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

INHOUDSOPGAVE 99

2 De rechte in het vlak 67

2.1 Herhaling: eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2 Vergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2.1 De richting van een rechte - richtingsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2.2 Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2.3 Onderzoek van de collineariteit van drie punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2.4 Herkennen van speciale veelhoeken via vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.5 De richtingscoefficient van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2.6 Vergelijking van een rechte door de oorsprong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2.6.1 Opstellen van een vergelijking van een rechte door de O . . . . . . . . . . 76

2.2.6.2 Algemene vergelijking van een rechte door O . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2.7 Vergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2.7.1 De rechte is bepaald door een punt en een richting . . . . . . . . . . . . . 80

2.2.7.2 De rechte is bepaald door twee punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.2.7.3 De rechte is bepaald door zijn doorgangen op x-as en y-as . . . . . . . . . 88

2.2.7.4 Tekenen van rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.2.7.5 Algemene vergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Documents

Vlakke Analytische Meetkunde - wiswijs · Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1 Plaatsvectoren in Π O 1.1.1 Plaatsvector van een punt In de ﬁguur 1.1 kiezen we een vast punt