Embed Size (px)
Citation preview
RAK: P-VII/1/21
Osnove MKE
• izpeljava interpolacijske funkcije za štiri vozliščni volumski
tetraedrični KE upoštevajoč volumske koordinate:
Tabcj j
1234
T234 T134 T124 T123 1234
V( , , ) ( , , ) , a b c j , a,b,c 1,2,3,4
V
j 1,2,3,4 V V V V V
x y z x y z
y
),,( 111 zyx
),,( 222 zyx
),,( 444 zyx
),,( 333 zyx (0,0,1,0)
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,0,1)
Kartezijev koordinatni sistem volumski koordinatni sistem
3 2
4
T
1
3 2
1
4
T234V
T124V
T(x,y,z) T134V
T123V
x
z
RAK: P-VII/2/21
Osnove MKE
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
x x x x x
y y y y y
z z z z z
1
1 2 3 4
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
4
x x x x x
y y y y y
z z z z z
Izrazimo funkcije v odvisnosti od Kartezijevih koordinat j
Za enolično izražavo potrebujemo še eno enačbo, ki jo dobimo iz zveze
T234 T134 T124 T123 1234 1 2 3 4V V V V V 1
Tako dobimo sistem štirih enačb za štiri iskane funkcije j
1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
1 1 1 11
x x x xx
y y y yy
z z z zz
1
1
1 2 3 42
1 2 3 43
1 2 3 44
1 1 1 1 1
x x x x x
y y y y y
z z z z z
RAK: P-VII/3/21
Osnove MKE
1
1
1 2 3 42
1 2 3 43
1 2 3 44
1 1 1 1 1
x x x x x
y y y y y
z z z z z
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
a b c d 1
a b c d
a b c d
a b c d
x
y
z
j j j j j j( , , ) ( , , ) a b c dx y z x y z x y z
Izračunane vrednosti ai , bi , ci in di v inverzni matriki so seveda konstante,
odvisne od koordinat v Kartezijevem koordinatnem sistemu
Interpolcijsko funkcijo lahko sedaj zapišemo v sledeči obliki
Prednost tako zapisane oblike bomo kasneje ugotovili pri izračunu volumskih
integralov po volumskem območju štiri vozliščnega tetraedra.
RAK: P-VII/4/21
Osnove MKE
• primer izpeljave interpolacijske funkcije za dvajset vozliščni
volumski heksaedrični izoparametrični KE:
2 2 2
j 1j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j
2 2
8 j 9 j 10 j 11j 12 j 13 j
2 2 2 2 2 2 2
14 j 15j 16 j 17 j 18j 19j 20j
( , , ) 1
j 1,2,..,
x y z C C x C y C z C x C y C z
C xy C xz C yz C xyz C x y C xy
C x z C xz C y z C yz C x y z C y x z C z x y
20
Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem
y
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1( ( 1, 1, 1)
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
x~
y~
z~
2 3
7 6
1 4
8 5
8
5
1
4
6
2
3
7
16
17
12
18
20
14
10
19
15
13
9
11
10
19
14 20
18 12
16
9
17
11
15 13
( 1,0, 1)
( 1,0, 1)
(0, 1, 1) (0, 1, 1)
( 1, 1,0)
(0, 1, 1) (0, 1, 1)
( 1,0, 1)
( 1,0, 1)
( 1, 1,0)
( 1, 1,0)
( 1, 1,0)
x
z
Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem
RAK: P-VII/5/21
Osnove MKE
• interpolacijske funkcije za dvajset vozliščni volumski heksaedrični
izoparametrični KE lahko zapišemo tudi na sledeči način:
j j j j j j j
2
j j j
2
j j j
2
j j j
1( , , ) 1 1 1 2 , j 1,2,..,8
8
1( , , ) 1 1 1 , j 9,11,13,15
4
1( , , ) 1 1 1 , j 10,12,14,16
4
1( , , ) 1 1 1 ,
4
x y z x x y y z z x x y y z z
x y z x y y z z
x y z y x x z z
x y z z x x y y
j 17,18,19,20
y
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1( ( 1, 1, 1)
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
x~
y~
z~
2 3
7 6
1 4
8 5
8
5
1
4
6
2
3
7
16
17
12
18
20
14
10
19
15
13
9
11
10
19
14 20
18 12
16
9
17
11
15 13
( 1,0, 1)
( 1,0, 1)
(0, 1, 1) (0, 1, 1)
( 1, 1,0)
(0, 1, 1) (0, 1, 1)
( 1,0, 1)
( 1,0, 1)
( 1, 1,0)
( 1, 1,0)
( 1, 1,0)
x
z
Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem
RAK: P-VII/6/21
naravni koordinatni sistem
x~
y~
z~
)0,0,0(
)0,0,1(
)0,1,0(
)1,0,0(
1
2
3
4
Osnove MKE
• primer izpeljave interpolacijske funkcije za deset vozliščni volumski
tetraedrični izoparametrični KE, s krivočrtnimi robovi:
2 2 2
j 1j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j
8 j 9 j 10 j
( , , ) 1
j 1,2,..,10
x y z C C x C y C z C x C y C z
C xy C xz C yz
Kartezijev koordinatni sistem
y
3 2
1
4 z
5
9
8 6
7
10
5 5 5( , , )x y z
1 1 1( , , )x y z
8 8 8( , , )x y z
4 4 4( , , )x y z
9 9 9( , , )x y z
10 10 10( , , )x y z
3 3 3( , , )x y z
6 6 6( , , )x y z
7 7 7( , , )x y z
x
1 12 2
(0, , )
1 12 2
( ,0, )
1 12 2
( , ,0)
12
(0, ,0)
12
( ,0,0)
12
(0,0, )
5
8
6
7 9
10
RAK: P-VII/7/21
Osnove MKE
i i i( , , ) (2 ( , , ) 1) ( , , ) , i 1, 2,3,4x y z x y z x y z
5 1 2
6 2 3
7 1 3
i i 7 4
( , , ) 4 ( , , ) ( , , )
( , , ) 4 ( , , ) ( , , )
( , , ) 4 ( , , ) ( , , )
( , , ) 4 ( , , ) ( , , ) , i 8,9,10
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
(0,0,1,0)
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,0,1)
volumski koordinatni sistem
3 2
4
T
1
T234V
T124V
T134V
T123V
5
9
8 6
7
10
1 12 2
( , ,0,0)
1 12 2
(0, ,0, )
1 12 2
( ,0,0, ) 1 12 2
(0, , ,0)
1 12 2
( ,0, ,0)
1 12 2
(0,0, , )
• zapis interpolacijske funkcije za deset vozliščni volumski tetraedrični
KE, z ravnimi robovi, upoštevajoč volumske koordinate:
y
2 2 2( , , )x y z
Kartezijev koordinatni sisem
3 2
1
4
x
z
5
9
8 6
7 5 5 5( , , )x y z
1 1 1( , , )x y z
8 8 8( , , )x y z
4 4 4( , , )x y z
9 9 9( , , )x y z
10 10 10( , , )x y z
3 3 3( , , )x y z
6 6 6( , , )x y z
7 7 7( , , )x y z
10
RAK: P-VII/8/21
Osnove MKE
1
1
1 2 3 42
1 2 3 43
1 2 3 44
1 1 1 1 1
x x x x x
y y y y y
z z z z y
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
a b c d 1
a b c d
a b c d
a b c d
x
y
y
Interpolacijske funkcije so zapisane v odvisnosti od volumskih
koordinat , ki so definirane na enak način, kot pri štirivozliščnem
tetraedru
j( , , )x y z
j( , , )x y z
j j j j j( , , ) a b c dx y z x y z
in zavisijo samo od koordinat vozlišč, ki ležijo na vogalih tetraedra (j=1,2,3,4)
y
2 2 2( , , )x y z
Kartezijev koordinatni sisem
3 2
1
4
x
z
5
9
8 6
7 5 5 5( , , )x y z
1 1 1( , , )x y z
8 8 8( , , )x y z
4 4 4( , , )x y z
9 9 9( , , )x y z
10 10 10( , , )x y z
3 3 3( , , )x y z
6 6 6( , , )x y z
7 7 7( , , )x y z
Pri izbiri interpolacijskih funkcij,
izraženih z volumskimi koordinatami,
morajo robovi tetraedra ostati ravni.
10
RAK: P-VII/9/21
Osnove MKE
• matrični zapis enačbe KE za problem ustaljenega
prevoda toplote v volumnu
x x y y z z V
d
[ ] d d
T v T v T vk
x x y y z z
q n q n q n v Q v
I v{ ( , , )} , I 1,.., Nv x y z
• za posamezni KE moramo zapisati toliko enačb, kolikor ima KE vozlišč
( v vozlišču KE je neznana ena primarna spremenljivka – temperatura )
pri čemer smo uporabili Galerkinovo metodo, pri kateri se za izbiro poljubne
funkcije v izbere interpolacijske funkcije, s katerimi aproksimiramo tako
geometrijo pri izoparametričnih KE, kot tudi spreminjanje veličin po območju KE
RAK: P-VII/10/21
Osnove MKE
• upoštevajoč zvezo
v v vN N Nj j jI I I
j j j
j 1 j 1 j 1
x x y y z z I V I v
d
[ ] d d , I 1,.., N
k T T Tx x y y z z
q n q n q n Q
vNj
j i
j 1i i i
ˆ ( , , ), , ,
x y zT TT x x y z
x x x
lahko sistem Nv enačb zapišemo
I I I
x x y y z z I V I v
d
[ ] d d , I 1,.., N
T T Tk
x x y y z z
q n q n q n Q
• sistem Nv enačb za posamezni KE
RAK: P-VII/11/21
Osnove MKE
v v v
v
N N Nj j jI I I
j j j
j 1 j 1 j 1
Nj j jI I I
j
j 1
j j jI I Ij
d
d
d
k T T Tx x y y z z
k Tx x y y z z
k Tx x y y z z
v
v
v
vv v v v
N
j 1
11 12 1N 1
21 22 2N 2
v
NN 1 N 2 N N
, I 1,.., N
k M T
M M M T
M M M Tk
TM M M
• matrični zapis leve strani sistema enačb
RAK: P-VII/12/21
Osnove MKE
• matrični zapis desne strani sistema enačb
v v
x x y y z z I V I
1 1
2 2
v
N N
[ ] d d
, I 1,.., N
q n q n q n Q
q Q
q Q
q Q
RAK: P-VII/13/21
Osnove MKE
v
v
v v vv v v v
11 12 1N 1 1 1
21 22 2N 2 2 2
N N NN 1 N 2 N N
M M M T q Q
M M M T q Qk
T q QM M M
• matrični zapis sistema Nv enačb za posamezni volumski KE
j j jI I IIj jIdM M
x x y y z z
Matrika toplotne prevodnosti M je preko diagonale simetrična
d][ IzzyyxxI nqnqnqq
I V I dQ Q
Zapis elementov obeh vektorjev na desni strani matričega zapisa
RAK: P-VII/14/21
Osnove MKE
• prehod iz Kartezijevega koordinatnega sistema v
naravni koordinatni sistem
x y
z
Kartezijev koordinatni sistem
T( , , )x y z
T( , , )x y zA
B
C
A
B
C
dxdy
dzx~
z~
y~
ab
c
r
d d d dx y z
Zapis diferencialnega dela območja KE d izraženega z naravnimi
koordinatami izhaja iz zveze
x y zr x e y e z e
d , d , dr r r
a x b y c zx y z
pri čemer je
d ( )a b c
x~
z~
y~
naravni koordinatni sistem
RAK: P-VII/15/21
x y
z
T( , , )x y z
T( , , )x y zA
B
C
A
B
C
dxdy
dzx~
z~
y~
ab
c
r
d d d dx y z
d ( )a b c
x~
z~
y~
Osnove MKE
Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem
d d
d d
d d
x y z
x y z
x y z
r x y za x e e e x
x x x x
r x y zb y e e e y
y y y y
r x y zc z e e e z
z z z z
Vektorje , in tako lahko zapiše tudi z enačbami a b c
RAK: P-VII/16/21
x y
z
T( , , )x y z
T( , , )x y zA
B
C
A
B
C
dxdy
dzx~
z~
y~
ab
c
r
d d d dx y z
d ( )a b c
x~
z~
y~
Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem
d ( ) d d d J d d d J d
x y z
x x x
x y za b c x y z x y z
y y y
x y z
z z z
in sledi matrični zapis mešanega produkta ( )a b cOsnove MKE
RAK: P-VII/17/21
J J JI I IIJ
k k k kxk
k k k kyk
k k k
d
( , , )
( , , ) , k I,J
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
Mx x y y z z
I I I F x y zx x y z
I I I F x y zy x y z
I I Iz x y
kzk
IJ xI xJ yI yJ zI zJ
1 1 1
xI xJ yI yJ zI zJ
1 1 1
( , , )
J d
J d d d
F x y zz
M F F F F F F
F F F F F F x y z
Osnove MKE
• prehod iz Kartezijevega koordinatnega sistema v
naravni koordinatni sistem
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1( )1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
x~
y~
z~
RAK: P-VII/18/21
Osnove MKE
Zapis diferencialnega dela površine KE d izraženega z naravnimi
koordinatami izhaja iz zveze
x y
z
T( , , )x y zA
B
x~
z~
y~
ab
r
d d dx y d a b
d d d j d d j d
x y z
yx zx x x
yx zy y y
e e e
a b x y x y
d d , d dx y z x y z
r x y z r x y za x e e e x b y e e e y
x x x x y y y y
pri čemer smo upoštevali
d
T( , , )x y z
A
B
C
dxdy
dz
x~
z~
y~d
RAK: P-VII/19/21
Osnove MKE
1 1
x x y y z z I
1 1 z 1
1 1
x x y y z z I
1 1 z 1
1 1
x x y y z z I
1 1 y 1
1 1
x x y y z z I
1 1
[ ] j d d
[ ] j d d
[ ] j d d
[ ] j d d
q n q n q n x y
q n q n q n x y
q n q n q n x z
q n q n q n x z
y 1
1 1
x x y y z z I
1 1 x 1
1 1
x x y y z z I
1 1 x 1
[ ] j d d
[ ] j d d
q n q n q n y z
q n q n q n y z
I x x y y z z I x x y y z z I[ ] d [ ] j dq q n q n q n q n q n q n
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1( )1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
x~
y~
z~
• prehod iz Kartezijevega koordinatnega sistema v naravni
koordinatni sistem v primeru integriranja po površini
RAK: P-VII/20/21
Osnove MKE
1 1 1
I V I V I V I
1 1 1
d J d J d d dQ Q Q Q x y z
• prehod iz Kartezijevega koordinatnega sistema v
naravni koordinatni sistem
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1( )1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
)1,1,1(
x~
y~
z~
RAK: P-VII/21/21
40. Kako je definiran volumski koordinatni sistem?
41. Komentirajte matrični zapis sistema enačb za posamezni KE v primeru
ustaljenega prevoda toplote.
42. Kako pri integriranju po volumnu KE preidemo iz Kartezijevega
koordinatnega sistema v naravni koordinatni sistem?
43. Kako pri integriranju po površini KE preidemo iz Kartezijevega
koordinatnega sistema v naravni koordinatni sistem?
7. predavanje: TEORETIČNA VPRAŠANJA
