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MotivationMotivation
Geschichtliches zur FEM
Einsatzmöglichkeiten der FEM
Warum gerade diese Methode bei der Erzeugung von kontinuierlichen Modellen ?
Auflistung interessanter praktischer Anwendungs‐beispiele
Ziele der Präsentation:
‐ Grundlegendes Verständnis für Arbeitsweise der FEM vermitteln‐ Vorteile der FEM gegenüber anderen Methoden herausarbeiten‐ Verbreitung in der Praxis
GliederungGliederung
•Kontinuierliche Simulation und kontinuierliche Modelle
•Geschichte und Einsatzgebiete der FEM
•Erläuterung der FEM an einem Beispiel•Notwendige Grundlagen der Statik•Aufgabenstellung•Analytische Berechnung•Lösung mittels FEM
•Praktische Anwendungsbeispiele•Automobilindustrie•Luft‐ und Raumfahrt•Bauwesen / Restaurierung / Anlagenbau
•Fazit – Vorteile der FEM
•Quellen‐ und Literaturnachweis
KontinuierlKontinuierl. Simulation u. . Simulation u. kontinuierlkontinuierl. Modelle. Modelle
Kontinuierliche SimulationExperimentieren mit kontinuierlichen ModellenUnendlich viele Zustandsbetrachtungen pro Zeitintervall
Kontinuierliches ModellAbbildung eines realen Systems (meist auf Grundlagenaturwissenschaftlicher Gesetze) mittels Differentialgleichungenin einem kontinuierlichen ModellDifferentialgleichungen oft leicht formulierbaraber mathematisch komplex
Lösungsverfahren für Differentialgleichungen analytisch oder numerisch.
Finite‐Elemente‐Methode ist ein numerisches Lösungsverfahren.
Geschichte und Einsatzgebiete der FEMGeschichte und Einsatzgebiete der FEM
1960 R.W. Clough „The finite element in plane stress analysis“Erstmalige Verwendung des Ausdrucks
1969 O.C. Zienkiewicz „The Final Element Method in Structural andContinuumMechanics“ – Grundlagenwerke
1971 „The Final Element Method in Engineering Science“Bezeichnung FEM wurde zum Allgemeingut
Geschichte und Einsatzgebiete der FEMGeschichte und Einsatzgebiete der FEM
1990 Prozesssimulation
Biologie / PhysikMedizintechnikGeophysik
1980Elektronik / Mikromechanik
KonsumgüterindustrieChemische Industrie / Kunststoff
1970 Maschinenbau
AutomobilbauSchiffbau / OffshorebauBauwesen / Anlagenbau
1960 Luft‐ und Raumfahrt
Anwendungsgebiete
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielNotwendige Grundlagen der StatikNotwendige Grundlagen der Statik
Resultierende Kraft Ersetzung mehrerer an einem gemeinsamen Punkt angreifender Kräfte Fi durch Vektoraddition.
F1
WL2
WL1
F2
AP2
AP1 F1
F2
FRFR
WLRFR
F2
F1
Vereinfachung
Teilkräfte Analog lassen sich Kräfte auch in linear unabhängige Teil‐kräfte zerlegen. Somit kann mit Hilfe einer Linearkombination mit n Einheitsvektoren in einem n‐dimensionalen Raum jede beliebige Kraft dargestellt werden.
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielNotwendige Grundlagen der StatikNotwendige Grundlagen der Statik
Parallele Kräfte können so nicht zusammengefasst werden. Diese werden auf eine Wirkungslinie parallel verschoben.
Die Verschiebung einer Kraft ist im Bild unten beschrieben. Das entstehende Moment (durch das Kräftepaar) ist mit M = F * l beschrieben.
WL1WL2
F
l
WL1WL2
F
l
M = F⋅l
WL1WL2
F
l
F
F
Kräftepaar
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielNotwendige Grundlagen der StatikNotwendige Grundlagen der Statik
Gleichgewicht von Kräften und Momenten
Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment MR gleich Null sind.
→ : 0Fn
1iix =∑
=
∑=
=n
1iiy 0F↑ :
∑=
=n
1iiA 0MA :
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielNotwendige Grundlagen der StatikNotwendige Grundlagen der Statik
Gruppen paralleler Kräfte können nun zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Dabei ist der Schwerpunkt, dass heißt der Punkt, an dem die Summe aller Momente der parallelen Teilkräfte null ist.
Die gleichen Überlegungen lassen sich auch auf kontinuierliche Flächenlastenanwenden.
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAufgabenstellungAufgabenstellung
Es soll eine Haltekraft für eine Flächenlast bestimmt werden, so dass sich der starre Körper im Gleichgewicht befindet.
x
Als starrer Körper sei hier ein Balken mit elliptischer Grundfläche angenommen mit Länge 80 LE, maximale Breite 40 LE, einem Loch mit Durchmesser 20 LE und einer bestimmten (für die Lösung der Aufgabenstellung nicht relevanten) Dicke.
Als Flächenlast sei p(A) = p(x,y) = p(x) gegeben:
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAufgabenstellungAufgabenstellung
Als Kurve dargestellte Flächenlast für p0 = 1, Schnitt entlang der x‐Achse
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAnalytische BerechnungAnalytische Berechnung
Die analytische Lösung besteht hier „einfach“ in der Lösung der Integralgleichungen für die Berechnung des Schwerpunktes (xs,ys) und der Resultierenden Kraft R. Für die Haltekraft H gilt dann einfach H = ‐R(mit der gleichen Wirkungslinie wie R)
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAnalytische BerechnungAnalytische Berechnung
Analog lässt sich für ys auch mittels Lösung der Integralgleichung ein Ergebnis finden, doch ist dieses schon wegen der Symmetrie entlang der x‐Achse bekannt:
Ys = 0
Für die resultierende Kraft R gilt:
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAnalytische BerechnungAnalytische Berechnung
Damit ist nun die Größe (‐R) und der Angriffspunkt S (1,127 , 0) derHaltekraft H bekannt.
Anmerkung: Schon mit Hilfe dieses kleinen Beispiels ist zu erkennen, wie schwer es werden kann, über analytische Berechnung komplexere Differential‐/Integralgleichungen kontinuierlicher Modelle zu lösen. Für spezielle Gleichungen mag es gute analytische Lösungsverfahren geben, für die meisten Aufgaben sind jedoch numerische Rechenverfahren wie die FEM die bessere Lösungsmethode.
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
1. Schritt: geometrische Umsetzung des Modells‐Zerlegung des Körpers in kleine geometrisch einfache Elemente
x
Vereinfachung im Modell:‐Nur quadratische Elemente des selben Typs‐keine Behebung „Treppenraster“ am Rand
‐Vorteil: einfachste Berechnung des Flächeninhalts eines finiten Elements
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell:
isInModel ::(Double,Double)>BoolisInModel (x,y) = isInEllipse (x,y) && isNotInCircle (x,y) && isNotOutOfRange (x,y)whereisInEllipse (x,y) = (x/60)^2+(y/40)^2<=1isNotInCircle (x,y) = (x+20)^2+y^2>=100isNotOutOfRange (x,y) = x>=(40) && x<=40
finiteElemIsInModel::Double>(Double,Double)>BoolfiniteElemIsInModel lFE (x,y) = foldl (&&) True (map isInModel [(x,y),((x+lFE),y),(x,(y+lFE)),((x+lFE),(y+lFE))])
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Mögliche Formen von finiten Elementen:
Linien‐ (Stab‐) Elemente
Flächenelemente
Volumenelemente
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
2. Ersetzen der Differential‐/Integralgleichungen durch lokale Ansatz‐funktionen in den finiten Elementen
p(x,y+lFE)
p(x,y)
p(x+lFE,y+lFE)
p(x+lFE,y)
lFE
lFE
FFE
Randbedingungen!Kontinuierlicher Übergang der Ansatz‐Funktionen!
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell:
p::(Double,Double)>Doublep (x,y) = cos (pi/80*x) Flächenlast
fFE::Double>(Double,Double)>DoublefFE lFE (x,y) = 0.5*lFE*lFE*((p (x,y)) + p (x+lFE,y)) resultierende F in FE
fresult::[(Double,Double,Double)]>Double resultierende F ausfresult feList = sum (map (\x@(xs,ys,f)>f) feList) allen F in FE
xs::[(Double,Double,Double)]>Double xKoord. des Schwerpkt.
xs feList = (sum (map (\x@(xs,ys,f)>xs*f) feList))/fresult feList
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Programmvariante 1
makeFEList::Double>[(Double,Double,Double)]makeFEList lFE = helpFEList (40,0) lFE [] wherehelpFEList (x,y) l feList|x>40 = feList|y>40 = helpFEList (x+l,0) l feList|finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFEList (x,(y+l)) l (feList ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))])
|otherwise = helpFEList (x,(y+l)) l feList
resultFEM::Double>(Double,Int,Double,Double)resultFEM lFE = (lFE,length (makeFEList lFE),xs (makeFEList lFE),(2) * fresult (makeFEList lFE))
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Programmvariante 2
makeFELine y lFE = helpFELine ((40),y) lFE [] wherehelpFELine (x,y) l list |x>40 = list|finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFELine ((x+l),y) l (list ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))])
|otherwise = helpFELine ((x+l),y) l list
resultFEM2::Double>(Double,Int,Double,Double)resultFEM2 lFE = (lFE,foldl (+) 0 (map length (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40])), xs (map (\x>((xs x),0,(fresult x))) (filter (/=[]) (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40]))),(2) * sum (map fresult (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40])))
ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM
Ergebnisse:
Länge FEAnzahl der FE xs H rel. Fehler zu rel. Fehler zu Verfahren
berechnetem xs
berechnetem H
2 664 1,312 ‐3505,25 0,164 0,046 FEM1+21 2716 1,256 ‐3585,2 0,114 0,025 FEM1+20,5 11004 1,197 ‐3630,27 0,062 0,012 FEM20,25 44302 1,162 ‐3653,29 0,031 0,006 FEM20,125 177792 1,145 ‐3664,83 0,016 0,003 FEM20,0625 712314 1,136 ‐3670,4 0,008 0,001 FEM2
‐ ‐ 1,127 ‐3675,88 ‐ ‐ analytisch
Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleAutomobilindustrieAutomobilindustrie
sehr starke Verbreitung
Zunächst unterstützender Einsatz beider Konstruktion einzelner Baugruppen
Später Simulation Karosseriesteifigkeit, Umströmungssimulationen …
Immer rasantere Entwicklung beivirtuellen Crashsimulation
1997 Einrichtung Virtual‐Reality‐Lab bei GM aufgrund Studie Einsparpotential (ca. 750000US‐$ pro Crash‐Test)
Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleAutomobilindustrieAutomobilindustrie
Heutiger Stand bei AUDI:
Werkseigener Hochleistungsrechnerverbund mit 320 Rechnern und einerRechenleistung von über 15 TeraflopSchnellster Computer in Automobilindustrie, zählt zu den 150 schnellstenComputern weltweit
5000 Simulationen pro Woche
Durch Simulationen wird sichergestellt, dass vor Aufbau eines ersten Proto‐typs die Sicherheitsstandarts nahezu sichergestellt sind.
Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleBauwesen / Restaurierung / AnlagenbauBauwesen / Restaurierung / Anlagenbau
Probleme:‐ Besonders hohe Sicherheitsanforderungen an Bauwerken‐ Bauwerke stellen Unikate dar‐ Unterschiedlichste Anforderungen je nach Standort (Erdbebenfestigkeit,
Windkräfte, Umströmungsbedingungen …)
Eines der populärsten Beispiele für ungenügende Betrachtung von Umströ‐mungsbedingungen ist der Einsturz der Tacoma‐Hängebrücke 1940
Entgültiger Nachweis der Ursache erst 1992 mittels FEM‐berechneterSimulation
Fazit Fazit –– Vorteile der FEMVorteile der FEM
Ansatzfunktionen nur über Teilgebiete (finite Elemente)
Zu berechnende Unbekannte sind deutbare physikalische Koeffizienten.
Genauigkeitssteigerung durch feinere Aufteilung des Modells, nicht durch höhere Ansatzfunktionen
Besondere Eignung für diskontinuierliche Strukturen
Modularer Aufbaumöglichkeit der FEM, computergerecht und leichterweiterbar.
Immer einfachere Umsetzung (mittlerweile automatische Generierung des geometrischen Modells, universelle Einsatzmöglichkeiten, Erreichen immer höherer Genauigkeiten durch stetig steigende Rechenleistung, riesiges Ein‐sparpotenzial in Konstruktion und Entwicklung aber auch bei denProduktionsabläufen führen zu weiter Verbreitung der FEM. Zeitersparnis istmittlerweile existenzieller Wettbewerbsfaktor.
QuellenQuellen‐‐ und Literaturnachweisund Literaturnachweis
[1] Einführung in die Mechanik, Baalke, Springer‐Verlag Heidelberg 2006
[2] FEM‐Anwendungen, Statik‐, Dynamik‐ und Potenzialprobleme mit professioneller Software lösen, P. Groth, Springer‐Verlag Heidelberg 2002
[3] FEM für Praktiker – Band 1: Grundlagen, Günter Müller, Clemens Groth, 7. Auflage, expert Verlag 2002
[4] Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure, 3. Aktualisierte und erweiterte Auflage, Ulrich Gabbert, Ingo Raecke, Carl Hanser Verlag 2007
[5] Technische Mechanik 1, Statik, Gross/Hauger/Schnell, 5. Auflage, Springer‐Verlag Heidelberg 1995
[6] http://www.auto‐motor.at/Auto/Autos‐Neuwagen/Automarken‐Automodelle‐Neuigkeiten/Audi‐News/Audi‐Crashtest‐Computer.html