Vorlesungsskript - TU Berlin · 2012. 4. 11. · Vorlesungsskript Einführung in die optische Nachrichtentechnik 2012 Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann Technische Universität Berlin

Vorlesungsskript

Einführung in die optische Nachrichtentechnik

2012

Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann Technische Universität Berlin

Die Vorlesung beinhaltet die folgenden Abschnitte: GRU : Grundlagen

STR : Ausbreitung von Strahlwellen

EB : Ebene Wellen an dielektrischen Grenzflächen

STU : Stufenfasern

GRA : Gradientenfasern

TECH : Herstellung von Lichtwellenleitern

KOP : Koppelprobleme

L : Laser und LED, Grundlagen

LED : Lichtemittierende Dioden

HL : Halbleiterlaser

HL-STRUK: Halbleiterlaserstrukturen

MOD : Modulationsverhalten von Halbleiterlasern

SPEK : Spektrale Eigenschaften von Halbleiterlasern

ANST : Elektrische Ansteuerung von LEDs und Laserdioden

PH : Photodioden

OE : Optische Empfänger

EDFA : Einwellige optische Übertragungssysteme mit Faserverstärkern

ÜB : Beschreibung des optischen Übertragungskanals

Literaturhinweise: In wesentlichen Teilen beruht die Vorlesung auf: Unger, H.G.: Optische Nachrichtentechnik I, II Hüthig Verlag, Heidelberg, 2. Aufl., 1993, 1992

Wichtiges Nachschlagewerk: Voges, E., Petermann, K. (Hrsg.): Optische Kommunikationstechnik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002

sonstige Ergänzende deutschsprachige Literatur: Bludau, W.: Halbleiter-Optoelektronik, Hansen Verlag, München, 1995 Daum, W., Krauser, J., Zamzow, P.E., Ziemann, O.: Optische Polymerfasern für die Datenkommunikation, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001 Eberlein, D., Glaser, W., Kutza, C., Labs, J.: Lichtwellenleiter-Technik, Expert

Verlag, Renningen, 8. Auflage 2009 Geckeler, S.: Lichtwellenleiter für die optische Nachrichtenübertragung, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 3. Aufl. 1990 Glaser, W.: Photonik für Ingenieure, Verlag Technik, Berlin 1997 Grau, G., Freude, W.: Optische Nachrichtentechnik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 3. Aufl. 1991 Harth, W., Grothe, H.: Sende- und Empfangsdioden für die optische Nachrichtentechnik, Teubner Studienskripten, Stuttgart, 2. Aufl. 1998 Herter, E., Graf, M.: Optische Nachrichtentechnik, Hanser Verlag, München 1994 Hultzsch, H.: Optische Telekommunikationssysteme,

Damm Verlag, Gelsenkirchen 1996 empfehlenswerte Lehrbücher in englischer Sprache: Agrawal, G.P.: Fiber-optic communication systems,

John Wiley & Sons, New York, 4th ed. 2010 Agrawal, G.P.: Nonlinear Fiber Optics,

Academic Press, 4th ed. 2006 Gowar, J.: Optical Communication Systems, Prentice-Hall, London, 2nd Ed. 1993 bezüglich Halbleiterlaser auch: Petermann, K.: Laser Diode Modulation and Noise, Springer Netherlands (Kluwer), Dordrecht, 1991

Einführung in die optische Nachrichtentechnik GRU/1

Grundlagen (GRU)

Dieses Kapitel stellt einige wichtige Grundlagen der optischen Nachrichtenübertragung vor. Behandeltwerden ebene Wellen, Näherungsformeln für die Bestimmung der Brechzahl (Sellmeier-Verfahren) vonSiO2 und die Dämpfung von optischen Wellen in Glasfasern.

i L U 0

i PL a s e r d i o d e

L i c h t w e l l e n l e i t e r

P h o t o d i o d e

Abbildung 1: Prinzip einer faseroptischen Übertragungsstrecke. iL ist der Ansteuerstrom für den Halb-leiterlaser und ip ist der zu messende Photodiodenstrom im Empfänger.

Abb. 1 zeigt eine sehr einfache optische Übertragungstrecke, deren Elemente in späteren Kapitelnim Detail erläutert werden. Sie besteht aus einem Sender (Laserdiode), dem Übertragungsmedium(Lichtwellenleiter) und dem Empfänger (Photodiode).Eine Variation von iL führt zu einer Variation der optischen Leistung des Halbleiterlasers und damit zueiner Variation des Photodiodenstroms ip.

1 Motivation für die faseroptische NachrichtentechnikDie folgenden Punkte machen die optische Übertragungstechnik besonders interessant:

1. Die Lichtleitfaser weist eine sehr geringe Dämpfung auf.

2. Da die Frequenzen im optischen Spektralbereich sehr hoch sind, ist prinzipiell eine hohe Band-breite erreichbar.

3. Die Lichtleitfaser ist unemp�ndlich gegenüber elektromagnetischen Störungen.

4. Lichtleitfasern sind nur schwer abhörbar.

5. Lichtleitfasern weisen einen geringen Querschnitt auf, d.h. eine hohe Packungsdichte ist reali-sierbar.

TU Berlin � Prof. Dr.-Ing. K. Petermann


2 Genutzter Frequenz- und Wellenlängen- BereichDer Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts ist � = 0; 4:::0; 8 µm. Mit den Bezeichnungen

� � Wellenlänge im freien Raumc � Lichtgeschwindigkeit im freien Raum� � Frequenz

ergibt sich� =

c�

(1)

Der sichtbare Spektralbereich entspricht dabei Frequenzen im Bereich � = 750:::375THz(1THz = 1000GHz = 1012Hz).Faseroptische Übertragungsstrecken werden im allgemeinen im nahen Infrarot betrieben mit � =0; 8:::1; 6 µm und � = 375:::188THz. Wellen derartig hoher Frequenzen werden in dielektrischenWellenleitern (Gläsern) geführt.

3 Ebene WellenIm folgenden wird ein homogenes Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten " = "0 � "r ( "r =n2, wobei n die Brechzahl bezeichnet) vorausgesetzt. Für das elektrische und magnetische Feld giltfolgender Zusammenhang zwischen der Darstellung im Zeitbereich und der Zeigerdarstellung:

~E(t) = Ref~E � exp(j!t)g und ~H(t) = Ref ~H � exp(j!t)g (2)

mit ! = 2� � �.Es wird also von harmonischen Zeitabhängigkeiten ausgegangen, was damit einer monochromatischenWelle entspricht.Im optischen Spektralbereich gibt es keine eingeprägten Stromquellen, so dass sich für die Max-well'schen Gleichungen ergibt:

r� ~E = �j!�0 ~H (3)r� ~H = j!"~E = j!"0n2 ~E (4)

Dielektrische Materialien haben im allgemeinen eine relative Permeabilität �r = 1 , so dass in Gl. (3)� = �0 gesetzt wurde.Bildet man nun die Rotation von Gl. (3) und setzt Gl. (4) in die entstehende Gleichung ein, erhältman:

r� (r� ~E)� k20n

2 ~E = 0 (5)

wobei k0 = !p�0"0 gilt und k0 als Wellenzahl des freien Raums bezeichnet wird. Mit

r� (r� ~E) = r (r~E)︸︷︷︸=0

�4~E = �4~E (6)



folgt:4~E + k2

0n2 ~E = 0 (7)

Analog gilt auch:4 ~H + k2

0n2 ~H = 0 (8)

4 bezeichnet den Laplace-Operator. Der Laplace Operator verlangt die Anwendung von @2

@x2 + @2

@y2 + @2

@z2

für jede kartesische Komponente von ~E bzw ~H.r~E = 0 in Gl. (6) folgt aus der Bildung der Divergenz von Gl. (4).Gl. (7) und Gl. (8) gelten nur in homogenen Bereichen, d.h. nur dort, wo die Brechzahl n unabhängigvom Ort ist.Eine mögliche Lösung der Di�erentialgleichung (7) ist die ebene Welle mit:

~E = ~E0 exp(�j � ~k � ~r) = ~E0 exp(�j(kxx + kyy + kzz)) (9)

Dabei ist ~r =

xyz

der Ortsvektor und ~k =

kxkykz

der sogenannte Wellenvektor, mit

~k � ~k = (~k)2 = k2x + k2

y + k2z = k2

0n2 (10)

~E0 ist ein konstanter, komplexer Amplitudenvektor.Gl. (9) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase � = ~k �~r Ebenen darstellen. DiesePhasen�ächen stehen senkrecht auf dem Wellenvektor ~k , der die Ausbreitungsrichtung beschreibt.Aus den Gl. (3) und Gl. (9) folgt:

~H =~k � ~E!�0

= ~H0 exp(�j � ~k � ~r) (11)

mit~H0 =

~k � ~E0!�0

: (12)

Analog zu Gl. (11) folgt aus Gl. (4):~E = �~k � ~H

!"0n2 (13)

Aus Gl. (11) und Gl. (13) folgt, dass ~E, ~H, und ~k jeweils senkrecht aufeinander stehen.Die Welle transportiert Energie in Richtung des Poynting-Vektors ~S , dessen Richtung mit der desWellenvektors ~k identisch ist (dies gilt zumindest für isotrope Materialien mit skalarem n).

~S =12

(~E � ~H�) (14)

Der Realteil von ~S bezeichnet dabei die Wirkleistungsdichte.



Im folgenden wird eine sich in z-Richtung ausbreitende Welle behandelt. Der Wellenvektor dieserWelle zeigt dann in z-Richtung, so dass gilt ~k = ~ezk0n ( ~ez � Einheitsvektor in z-Richtung). Für daselektrische Feld folgt dann :

~E = ~E0 exp(�jk0nz) (15)

mit ~E0 =

axay

E0.

Dabei istaxay

der so genannte Jones-Vektor (mit jax j2 + jay j2 = 1 ), welcher den Polarisationszu-

stand der Welle beschreibt. Einige mögliche Polarisationszustände sind z.B.:

ax = 1 ay = 0 -in x-Richtung linear polarisierte Welleax = 0 ay = 1 -in y-Richtung linear polarisierte Welle

ax =1p2

ay =jp2

-zirkular polarisierte Welle

(d.h. 90�-Phasenverschiebung zwischen x- und y-Komponente)

Im folgenden wird eine in x-Richtung linear polarisierte Welle angenommen. Daraus folgt für das E-und das H-Feld:

Ex = E0 exp(�jk0nz); Ey = Ez = 0 (16)

Hy = H0 exp(�jk0nz); Hx = Hz = 0 (17)

wobei ~Ex und ~Hy über den Feldwellenwiderstand ZF verknüpft sind gemäÿ:

ZF =ExHy

=E0H0

=1n

√�0

"0=

120�n

(18)

Die Ausbreitungseigenschaften der Welle werden im Zeitbereich mit Gl. (2) und Gl. (16) beschriebendurch

Ex(t) = RefE0 exp(j [!t � �z ])g (19)

� = k0n wird als Ausbreitungskonstante bezeichnet. Ist E0 reell, dann folgt daraus:

Ex(t) = E0 cos(') (20)

Dabei ist ' = !t��z die Phase der Welle. Die Phasengeschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeitmit der sich die Ebenen konstanter Phase in z-Richtung fortbewegen. Es gilt:

vph =dzdt =

!�

, für !t � �z = const: (21)



E i n h ü l l e n d e

v g r

v p h

z

E x (t=c

onst)

Abbildung 2: Ex zur festen Zeit t für einen kurzen optischen Puls

Die Einhüllende (auf den Träger mit der Frequenz ! aufmoduliertes Signal wie z.B. ein Puls in Abb. 2)und damit auch die Energie eines Signals breitet sich allerdings mit der Gruppengeschwindigkeit vgraus. Sie ist gegeben als:

vgr =d!d� (22)

Mit den Beziehungen � = k0n und ko = !c ( c = 1=

p�0 � "0 ) folgt daraus für die beiden Geschwin-

digkeiten:

vph =k0ck0n

=cn

(23)

vgr =

(d(k0n(!))

d!

)�1

=c

d(!n(!))d!

=cN

(24)

c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ( � 300 � 106 ms ). N wird der Gruppenindex genannt und

ergibt sich zu:N =

d(! � n(!))d! = n(!) + !

dn(!)d! = n(�)� � dn(�)

d� (25)

Im allgemeinen gilt n 6= N und damit auch vph 6= vgr . Dies führt zu einer Dispersion. Für die Über-tragung optischer Pulse ist nur die Gruppengeschwindigkeit vgr maÿgebend, welche sich aber mit derWellenlänge ändert. Durch diese Änderung der Gruppengeschwindigkeit ändert sich auch die Gruppen-laufzeit tgr . Diese Gruppenlaufzeit ist de�niert als:

tgr =Lvgr

= L � � (26)

L bezeichnet die Länge des Übertragungsweges und � = 1vgr = N

c die Gruppenlaufzeit pro Länge. Die



Materialdispersion ist de�niert als die Ableitung von � nach der Wellenlänge �.

d�d� =

1cdNd� = ��

cd2n(�)d�2 = DM (27)

DM wird als Materialdispersionskoe�zient bezeichnet. Mit seiner Hilfe kann z.B. der zeitliche Versatz�t zweier spektraler Komponenten im Abstand �� nach Durchlaufen einer Übertragungsstrecke derLänge L bei gleichzeitiger Einstrahlung abgeschätzt werden:

�t � L � �� DM (28)

Abbildung 3: Brechzahl n, Gruppenindex N und Materialdispersion DM des reinen Quarzglases (SiO2)(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

4 Beschreibung der Brechzahl durch das Sellmeier-VerfahrenDie Brechzahl von Quarzglas (SiO2) ist recht genau vermessen worden. Diese Werte sind in Abb.4 für einen weiten Wellenlängenbereich dargestellt. Im allgemeinen wird die Brechzahl als komplexangenommen mit n = n0� jn00. Im Abschnitt 5 wird auf die physikalische Interpretation von n0 und n00eingegangen.Der Imaginärteil n00 ist im interessierenden Wellenlängenbereich von 0,8 µm bis 1,6 µm sehr klein undman berücksichtigt häu�g nur den Realteil n = Re(n) = n0.Das Sellmeier-Verfahren beschreibt den Realteil der Brechzahl als Überlagerung von resonanten Funk-tionen. Die Brechzahl n aufgrund schwingender Elektronen mit der Resonanzfrequenz !1 (siehe Vor-lesung Werksto�e der Elektrotechnik) ergibt sich bei Vernachlässigung des Dämpfungsterms zu:

"r � 1 = n2 � 1 =B1

!21 � !2 (29)



Abbildung 4: Der Verlauf des Realteils n0 (durchgezogene Linie) und Imaginärteils n00 (gestrichelteLinie) der Brechzahl über � (aus: Palik, Handbook of Optical Constants of Solids).



Gl. (29) gilt nur, solange ! von !1 (im Bereich von �1 = 2�c0=!1 � 0; 1 µm) weit genug entferntist (für faseroptische Übertragungssysteme ist dies der Fall). Für eine genauere Beschreibung müssenmehrere Resonanzen berücksichtigt werden was zu einer Summation über mehrere gleichartige Termeführt:

n2 � 1 =∑

i

Bi!2i � !2 (30)

Typischerweise werden 3 bis 5 Summationsterme verwendet. Um die Brechzahl in dem für die optischeNachrichtentechnik wichtigen Wellenlängenbereich bei 0; 8 µm < � < 1; 6 µm zu beschreiben, ergibtbereits eine Betrachtung von 2 Resonanzfrequenzen eine gute Näherung. Bei � � 0; 1 µm be�ndetsich die Elektronenresonanz und bei� � 10 µm die Molekülresonanz (siehe Abb. 4). Eine Summation über diese 2 Terme ergibt:

n2 � 1 =B1

!21 � !2 +

B2

!22 � !2 (31)

Da !2 � !, wenn �2 � 10 µm� � kann man Gl. (31) vereinfachen zu:

n2 � 1 =B1

!21 � !2 � B2

!2 (32)

Durch Einführung der Parameter !e = !1 , !d und !L sowie der Beziehungen B1 = !e � !d undB2 = !2

L folgt für n2:

n2 = 1 +!e � !d!2e � !2 � !

2L!2 (33)

Die in der Formel auftretenden Gröÿen können für Gläser verschiedener Zusammensetzung der Tabelle1 entnommen werden (! = 2� � �). Abb. 3 wurde mit Gl. (33) und den Daten aus Tabelle 1 fürQuarzglas (SiO2) berechnet. Insbesondere ist beachtenswert, dass die Materialdispersion für � �1; 3 µm verschwindet.

Molare Zusammensetzung in % �e �d �LSiO2 B2O3 GeO2 P2O5 Na2O in 1014Hz

100 32,12 35,31 0,3186,7 13,3 31,27 34,20 0,3386,5 13,5 30,21 34,99 0,2990 10 32,05 36,61 0,2958 19 23 30,53 39,34 0,3118 58 24 30,98 39,27 0,36

Tabelle 1: Dispersionsparameter der Sellmeier-Formel (33) für verschiedene Silikatgläser.



5 Dämpfung optischer Wellen in GläsernAllgemein wird eine gedämpfte Welle beschrieben, indem ein verlustbehaftetes Dielektrikum angenom-men wird, d.h. eine komplexe Brechzahl:

n = n0 � jn00 (34)

Für das elektrische Feld (in x-Richtung linear polarisierte ebene Welle) gilt dann:

Ex = Ex0 exp(�j�z � �z) (35)

� = k0n0 � = k0n00: (36)

� bezeichnet die Felddämpfungskonstante und hat die Einheit [1/km]. Es ist im Allgemeinen üblich,die Dämpfung in dB pro Längeneinheit anzugeben und die Umrechnung erfolgt dann gemäÿ:

�[dB=km] =10 � log

(P0

P0�exp(�2�L)

)

L= � � 8; 69 dB: (37)

Auf der rechten Seite von Gl. (37) hat � die Einheit [1/km]. P0 bezeichnet die Leistung der optischenWelle an der Stelle z = 0 und P0 � exp(�2�L) ist die Leistung an der Stelle z=L.Licht wird in Glasfasern im Wesentlichen durch zwei Prozesse gedämpft:

1. Streuung des Lichtes an der regellosen Molekularstruktur des Glases (Rayleigh-Streuung)

2. Absorption

Diese Prozesse sollen im folgenden näher untersucht werden.

5.1 Die Rayleigh-StreuungGlas besitzt eine regellose Molekularstruktur, was dazu führt, dass auch die Brechzahl n regelloseSchwankungen aufweist. Diese Schwankungen können in die Maxwell'sche Gl. (4) eingebracht werden,indem das gemittelte Brechzahlquadrat n2 eingeführt wird.

r� ~H = j!"0n2 ~E = j!"0n2 ~E + j!"0(n2 � n2)~E︸︷︷︸~Jef f

(38)

Der letzte Term in Gl. (38) kann dabei als eine e�ektive eingeprägte Stromdichte ~Jef f aufgefasstwerden. Nimmt man nun an, dass die Schwankungen (n2� n2) nur über eine Länge dc � � korreliertsind, so kann man die e�ektive Stromquelle in einem Volumenelement der Kantenlänge dc wie einenstrahlenden Hertz'schen Dipol au�assen, dessen Dipolmoment durch

�!I � l = ~Jef f � d3

c (39)



Abbildung 5: Strahlungscharakteristik der Rayleigh-Streuung bei linearer Polarisation

gegeben ist. Die Orientierung des Dipols entspricht derjenigen des elektrischen Feldes ~E. Die vomDipol abgestrahlte Leistungsdichte S ist abhängig vom Winkel # ( vergl. Abstrahlung des Hertz'schenDipols und Abb. 5).

S(#) � Smax sin2(#) (40)

Die gesamte von dem Dipol abgestrahlte Leistung ist:

�P =�3j�!I � l j2�2 ZF � !2

�2 j~Ej2 � 1�4 j~Ej2 (41)

Die optische Welle führt eine Leistung P � j~Ej2ZF . Daraus ergibt sich das Verhältnis:

�PP� 1�4 (42)

Damit gilt auch für die Dämpfung � aufgrund der Rayleigh-Streuung � = �S � 1�4 . Für Quarzglasfa-

sern ergibt sich eine Dämpfung von� � 0; 8�1; 2 dB

km �(µm�

)4. Der genaue Wert ist im Wesentlichen von der Dotierung der Faser abhängig.

5.2 AbsorptionSoll ein Medium optisch transparent sein, so darf die Photonenenergie W = h� nicht ausreichen,um gebundene Elektronen in ein höheres Energieband zu heben, d.h. die elektronische Absorptionmuss klein sein. Neben der elektronischen Absorption ( UV-Absorption) gibt es noch die molekulareAbsorption, deren Resonanzwellenlängen sich bis herab zu � = 3 µm ( bei SiO2 ) erstrecken. DieFlanken dieser Absorption reichen auch noch in den nahen Infrarot (Infrarot-Absorption).Wie Abb. 6 zeigt, be�ndet sich bei SiO2 das Minimum der Dämpfung aufgrund der Rayleigh-Streuungund der Infrarot-Absorption bei � � 1; 55 µm und beträgt ca. 0; 2 dB

km . Bei speziellen Gläsern (z.B. Fluor-Gläser), die eine grosse Resonanzwellenlänge für die Infrarot-Absorption haben, könnte grundsätzlich



Abbildung 6: Typischer Dämpfungsverlauf einer Quarzglasfaser ( �S � Rayleigh-Streuung, �IR �Infrarot-Absorption, �UV � Ultraviolett-Absorption, �OH � Absorption durch OH-Verunreinigungen)(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

bei höheren Wellenlängen eine noch niedrigere Dämpfung erzielt werden, experimentell konnte diesaber bisher nicht veri�ziert werden.Neben der Dämpfung durch Elektronen- und Infrarot-Absorption tragen auch Verunreinigungen derFaser zur Dämpfung bei. Besonders störend sind Verunreinigungen mit OH-Gruppen. Bezogen auf OH-Verunreinigungen von 1ppm ergeben sich folgende Dämpfungswerte bei den OH-Oberschwingungen:� = 1; 39�m ) � = 48 dB

km

� = 1; 25�m ) � = 2; 5 dBkm

� = 0; 95�m ) � = 1; 2 dBkm

Weitere Verunreinigungen werden durch Metall-Ionen (Vanadium, Chrom, Mangan, Eisen, Kobalt,Nickel) hervorgerufen, die auch zu einer Dämpfungserhöhung führen.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik STR/1

Ausbreitung von Strahlwellen (STR)

In diesem Abschnitt wird auf die Ausbreitung von Strahlwellen eingegangen, insbesondere der Gauÿ'scheStrahl wird behandelt.Im ersten Kapitel wurden ebene Wellen behandelt. Da sie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung unendlichausgedehnt sind, ist dies nur eine erste Näherung. Wellen nehmen häu�g die Form einer Strahlwellean, d.h. senkrecht zur Ausbreitungsrichtung besteht nur eine begrenzte Feldausdehnung.

1 Der Gauÿ'sche StrahlEs wird wiederum ein homogenes Dielektrikum angenommen. Betrachtet man dann z.B. die Feldkom-ponente Ex , gilt die Wellengleichung

4Ex + k20n

2Ex = 0 (1)

Diesmal wählt man einen Ansatz, bei dem Ex von x,y und z abhängt.

Ex = (x; y ; z) exp(�jk0nz) (2)

Die in Gl. (2) herausgezogene z-Abhängigkeit mit exp(�jk0nz) entspricht derjenigen einer ebenenWelle, so dass eine mit z nur langsam variierende Feldamplitude darstellt. Setzt man nun Gl. (2) inGl. (1) ein, so erhält man die partielle Di�erentialgleichung

@2 @x2 +

@2 @y2 +

@2 @z2 � 2jk0n

@ @z

= 0 (3)

Aufgrund der nur langsamen Variation von bezüglich z wird der Term @2 @z2 vernachlässigt, da

j@2 @z2 j � jk0n

@ @zj (4)

Daraus folgt die vereinfachte Di�erentialgleichung

@2 @x2 +

@2 @y2 � 2jk0n

@ @z

= 0 (5)

Eine o�ensichtliche, triviale Lösung wäre = const. Diese Lösung entspräche einer ebenen Welle.Zur allgemeinen Lösung der DGL wird sie zunächst in Zylinderkoordinaten transformiert gemäÿ

x = r cos(') y = r sin(') (6)

und4 =

1r@@r

(r@ @r

)+

1r2@2 @'2 +

@2 @z2 : (7)

Daraus folgt die DGL in Zylinderkoordinaten:

1r@@r

(r@ @r

)+

1r2@2 @'2 � 2jk0n

@ @z

= 0 (8)



Hier wird ein Ansatz gewählt, der nicht von ' abhängt, da das Feld sich nur in radialer Richtungändern soll. (x; y ; z)) (r; '; z)) (r; z)Für die transversale Variation von wird ein Gauÿ-förmiger Ansatz gemacht:

(r; z) = 0 exp

�j

[P (z) +

k0n2q(z)

r2

] (9)

Der Gauÿ-förmige Ansatz ist dadurch motiviert, dass bei einer Gauÿ'schen Feldverteilung sowohl dasNah- wie auch das Fernfeld durch eine Gauÿ-Verteilung beschrieben werden können. Dies liegt wieder-um daran ( vergl. Hochfrequenztechnik I), dass das Fernfeld als Fouriertransformierte des Nahfeldesformuliert werden kann, wobei die Fouriertransformierte einer Gauÿ-förmigen Feldverteilung wiederdurch eine Gauÿ-Funktion beschrieben werden kann.P (z) und q(z) sind so zu wählen, dass Gl. (8) erfüllt wird. Setzt man den Ansatz Gl. (9) in Gl. (8)ein, so erhält man eine Bestimmungsgleichung für P (z) und q(z).

(k0 � n � rq(z)

)2

�(

1� dq(z)dz

)+ 2k0n

(j

q(z)+

dP (z)dz

)= 0 (10)

Um Gl. (10) für beliebige Radien r zu erfüllen, müssen jeweils beide Terme in Gl. (10) zu Null werden,woraus sich ergibt:

dq(z)dz = 1 (11)

dP (z)dz = � j

q(z)(12)

Aus Gl. (11) folgt als Lösungq(z) = q0 + z (13)

mit q0 = const. Der Parameter q(z) ist im allgemeinen komplex. Durch Einführung der physikalischrelevanten Grössen w(z) (Fleckradius) und R(z) (Krümmungsradius der Phasen�ächen) ergibt sichq(z) zu

1q(z)

=1

R(z)� 2jk0nw2(z)

=1

R(z)� j��nw2(z)

(14)

Nun wird die Annahme getro�en, an der Stelle z = 0 sei eine Feldverteilung mit ebener Phasenfrontvorgegeben (d.h. R(z) =1), die einen Fleckradius w0 aufweist.

) (r; z)jz=0 = 0 exp

(� r2

w20

)(15)

Der Fleckradius w(z) ist als Radius des 1/e Abfalls de�niert (siehe Abb. 1). Das bedeutet, dass fürq(z)jz=0 gelten muss

q(z)jz=0 = q0 = jk0n � w2

02

= jn � � � w2

0�

(16)



00 , 00 , 20 , 40 , 60 , 81 , 0

1 / e

- w 0 w 0

y(r,z

=0)/y

0

r

Abbildung 1: Gauÿverteiltes Feld (r; z)jz=0

und mit Gl. (13) folgt daraus für q(z)

q(z) = jn � � � w2

0�

+ z (17)

Für den Fleckradius w(z) und den Krümmungsradius R(z) folgt aus Gl. (14) und Gl. (17)

w(z) = w0

√√√√1 +

(� � z

n � � � w20

)2

(18)

R(z) = z

1 +

(n � � � w2

0� � z

)2 (19)

Setzt man nun Gl. (17) in Gl. (12) ein, so erhält man

jP (z) = ln

(w(z)w0

)� j arctan

(�zn�w2

0

)(20)

Für Ex gilt dann

Ex =w0

w(z) 0 exp

�jk0n

(z +

r2

2R(z)

)+ j arctan

(�zn�w2

0

)� r2

w2(z)

(21)

Wird eine lineare Polarisation angenommen, so ergeben sich die anderen Komponenten zu

Ey = 0 (22)

Hz =1

j!�0� dExdr � sin('); Hy � 1

ZFEx (23)

Ez � 1jk0n

� dExdr � cos('); Hx � 0 (24)



Die sich daraus ergebenden Feldlinien zeigt Abb. 2.

Abbildung 2: Feldliniendarstellung einer Strahlwelle

In Abb. 3 werden die Gröÿen w(z) und R(z) anschaulich dargestellt. Die Kontur C2 ist durch w(z)bzw. �w(z) gegeben. Die gestrichelten Kreisbögen weisen einen Radius von R(z) auf, wobei z amSchnittpunkt des Kreises mit der z-Achse abzulesen ist. Diese Kreise beschreiben in erster Näherunggebogene Flächen konstanter Phase (nur nahe der optischen Achse). An der Stelle z = z0 = �w2

0 n=�0

wird der Krümmungsradius minimal und der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises liegt bei z = �z0.

2 Beziehung zwischen Nah- und FernfeldFür z !1, also im Fernfeld folgt aus Gl. (18) und Gl. (19)

w(z) � � � zn � � � w0

(25)

R(z) � z (26)

Diese beiden Beziehungen gelten nur, wenn w0 � �n da sonst die Näherung Gl. (4) nicht mehr gelten

würde. Für w0 � �n erfolgt die Abstrahlung im wesentlichen gemäÿ Abb. 3 in axialer Richtung, so

dass sich nur eine geringe Strahldivergenz und damit ein kleiner Abstrahlwinkel � ergeben. Im Fernfeldgilt für kleine �: � � r

z . Daraus folgt für die Fernfeldintensität IF (�)

IF (�) � exp

(� 2r2

w2(z)

)= exp

(�2�2

�20

)(27)



Abbildung 3: Längsschnitt durch einen Gauÿstrahl. Die Kontur C2 markiert den Rand des Strahls dort,wo die Leistungsdichte radial auf 1/e2 abgefallen ist. Es gilt z0 = �w2

0 n=�0 (aus: Voges/Petermann,Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

Dabei ist �0 = �n��w0

.Die Nahfeldintensität ergibt sich zu

j j2 � exp

(�2r2

w20

)(28)

w0 beschreibt die Nahfeldausdehnung, während die Fernfeldausdehnung durch �0 beschrieben wird. AlsProdukt zwischen Nah- und Fernfeldausdehnung ergibt sich

�0 � w0 =�n � � (29)

Dies ist eine Art Unschärferelation. Entweder der Strahl verfügt über eine kleine Nahfeldausdehnung,breitet sich dann jedoch unter einem groÿen Winkel aus, oder er strahlt mit kleinem Ö�nungswinkel,besitzt dafür aber eine groÿe Nahfeldausdehnung.

3 Vergleich zur Strahlenoptik und ebenen WellenEin Strahl in geometrischer Optik besitzt sowohl eine transversale Ausdehnung w0 = 0, als aucheine Divergenz �0 = 0. Dies steht im Widerspruch zu Gl. (29). Die geometrische Optik kann dahernäherungsweise nur für Wellenlängen �! 0 angewendet werden.Ein Spezialfall des Gauÿ'schen Strahls stellt die ebene Welle dar, die sich für �0 ! 0 , bzw. w0 !1ergibt.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik EB/1

Ebene Wellen an dielektrischen Grenz�ächen (EB)In diesem Kapitel wird das Verhalten ebener Wellen an dielektrischen Grenz�ächen, sowie die Re�exionebener Wellen an Vielfachschichten behandelt.

1 Ebene Wellen an dielektrischen Grenz�ächenEin Lichtwellenleiter ist in Abb. 1 skizziert. Er besteht aus einem Faserkern der Brechzahl n1 und einemFasermantel der Brechzahl n2 < n1. In einem solchen Lichtwellenleiter wird die Wellenführung durchständige Totalre�exion der Welle gewährleistet. Bei typischen Dimensionen des Lichtwellenleiters ( z.B.Faserdurchmesser 125 µm) erfolgt eine Re�exion gemäÿ Abb. 1 z.B. jeden Millimeter, so dass sich proKilometer 106 Re�exionen ergeben. Bei angenommenen Zusatzverlusten von weniger als 0; 1 dB/kmmuss dann das Re�exionsvermögen pro Re�exion gröÿer als 99; 999998% sein, so dass wirklich eine'totale' Re�exion gefordert wird. Wie muss der Wellenleiter bescha�en sein, um diese Totalre�exionzu gewährleisten?

n 1

n 2T o t a l r e f l e x i o n

L i c h t s t r a h l

A u s b r e i t u n g s r i c h t u n g ( z )

Abbildung 1: Prinzip eines Lichtwellenleiters mit n2 < n1

Zur Untersuchung der Totalre�exion soll die Re�exion einer ebenen Welle an einer dielektrischenGrenz�äche gemäÿ Abb. 2 genauer betrachtet werden. Die Vektoren ~k1, ~k10 und ~k2 in Abb. 2 bezeichnenjeweils die Wellenvektoren der einfallenden, re�ektierten und transmittierten Welle. In diesem Beispielwird ~E senkrecht zur Einfallsebene angenommen. Für die Wellenvektoren gilt

(~k1

)2=(~k10)2

= k20n

21 (1)

(~k2

)2= k2

0n22 (2)

Beispiel: Der Vektor ~k1 besitzt eine x- und eine z-Komponente. Daraus folgt

~k1 =

kx1

0kz

(3)

mit∣∣∣~k1

∣∣∣2

= k2x1 + k2

z = k20n2

1. Es gilt auch

cos(�1) =kz∣∣∣~k1

∣∣∣=

kzk0n1

(4)



n 1 n 2

z

xy

E

H k 1

k 1 '

k 2

H

EE

H

q 1

j 1

q 2

j 2

Abbildung 2: Einfall einer ebenen Welle auf eine Grenz�äche

Die Komponenten der einfallenden Welle ergeben sich zu

Ey = Ey1 exp (�j kx1 x � j kz z) (5)

Hz = Eysin (�1)ZF1

(6)

Hx = �Ey cos(�1)ZF1

(7)

Die Feldwellenwiderstände auf beiden Seiten der Grenz�äche sind

ZF1 =1n1

√�0

"0; ZF2 =

1n2

√�0

"0(8)

An der Grenz�äche ( x = 0 ) müssen die tangentialen Feldkomponenten stetig sein.) Die z-Abhängigkeit der einfallenden, re�ektierten und transmittierten Welle muss gleich sein.) Daher sind die z-Komponenten von ~k1, ~k10 und ~k2 gleich (kz).Für die transmittierte Welle gilt kz∣∣~k2

∣∣ = cos(�2) = kzk0n2

und damit

kz = k0n1 cos(�1) = k0n2 cos(�2) (9)

Dies ist das Snellius'sche Brechungsgesetz:

n1

n2=

cos(�2)cos(�1)

=sin('2)sin('1)

(10)



Wird nun cos(�1) > n2n1

oder sin('1) > n2n1, gibt es in Gl. (9) keine Lösung für ein reelles �2 und die

Welle dringt nicht mehr in das Medium 2 ein. Es liegt also Totalre�exion vor. Der Grenzwinkel für dieTotalre�exion ist

sin('1g) = cos(�1g) =n2

n1(11)

Solange �1 < �1g und damit auch '1 > '1g ist, �ndet Totalre�exion statt.

1.1 Bestimmung des Re�exionsfaktors für ebene Wellen an dielektrischenGrenz�ächen

Der Re�exionsfaktor rE ist de�niert als rE = Ey10Ey1

. Der Index E des Re�exionsfaktors rE gibt hierbeian, dass das E-Feld senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Forderung nach der Stetigkeit dertangentialen Feldkomponenten an der Grenz�äche ergibt folgende Randbedingungen

Ey1 + Ey10 = Ey2 (12)Hz1 +Hz10 = Hz2 (13)

Die Indizierung mit 1, 1' und 2 bezeichnet jeweils die einfallende, die re�ektierte und die transmittierteWelle. In beiden Medien werden nun Wellenwiderstände eingeführt:

Z1E =Ey1

Hz1= �Ey10

Hz10=

1n1 sin(�1)

√�0

"0=k0

kx1

√�0

"0(14)

Z2E =Ey2

Hz2=

1n2 sin(�2)

√�0

"0=k0

kx2

√�0

"0(15)

Nun kann man die Komponenten des H-Feldes in Gl. (13) durch die Komponenten des E-Feldesausdrücken, indem man Gl. (14) und Gl. (15) in Gl. (13) einsetzt:

Ey1Z2E

Z1E� Ey10

Z2E

Z1E= Ey2 (16)

Nach Gleichsetzen mit Gl. (12) und Umformung ergibt sich der Re�exionsfaktor rE zu

rE =Z2E � Z1E

Z2E + Z1E=n1 sin(�1)� n2 sin(�2)n1 sin(�1) + n2 sin(�2)

=n1 cos('1)� n2 cos('2)n1 cos('1) + n2 cos('2)

(17)

Wenn man nun vom Snellius'schen Brechungsgesetz Gl. (10) mit n1 = n2 sin('2)= sin('1) Gebrauchmacht, lässt sich Gl. (17) umschreiben zu

rE =sin('2) cos('1)� cos('2) sin('1)sin('2) cos('1) + cos('2) sin('1)

=sin('2 � '1)sin('2 + '1)

(18)

Eine analoge Betrachtung führt auf den Re�exionsfaktor rH für Wellen mit H senkrecht zur Einfall-sebene. Hier ergeben sich zunächst folgende Feldkomponenten der einfallenden Welle:

Hy = Hy1 exp (�j kx1 x � j kz z) (19)Ez = �Hy � sin (�1) � ZF1 (20)Ex = Hy � cos(�1) � ZF1 (21)



mit den Wellenwiderständen

Z1H = �Ez1Hy1

=Ez10Hy10

=sin(�1)n1

√�0

"0=

kx1

n21 � k0

√�0

"0(22)

Z2H = �Ez2Hy2

=sin(�2)n2

√�0

"0=

kx2

n22 � k0

√�0

"0(23)

Es ergibt sich für rH = Ez10Ez1

= �Hy10Hy1

rH =Z2H � Z1H

Z2H + Z1H=n1 sin(�2)� n2 sin(�1)n1 sin(�2) + n2 sin(�1)

=n1 cos('2)� n2 cos('1)n1 cos('2) + n2 cos('1)

(24)

Mit dem Snellius'schen Brechungsgesetz (10) lässt sich Gl. (24) umschreiben zu

rH =cos('2 + '1) � sin('2 � '1)cos('2 � '1) � sin('2 + '1)

(25)

Für vorgegebene Brechzahlen n1 und n2 können nun in Abhängigkeit von Einfallswinkel die Re�exions-faktoren bestimmt werden. Abb. 3 zeigt hierfür zwei Beispiele.

Abbildung 3: Betrag des Amplituden-Re�exionskoe�zienten an einer Grenz�äche Glas/Luft, darge-stellt als Funktion des Einfallswinkels '. Bei (a) verläuft die einfallende Welle in Luft, bei (b) imGlas.

In Abb. 3 ist auch der sogenannte Brewster-Winkel '1B dargestellt, wobei sich für '1 = '1B einRe�exionsfaktor rH = 0 ergibt. Entsprechend Gl. (25) ergibt sich '1B für '1 +'2 = �=2 , d.h. dass



dann der re�ektierte und der transmittierte Strahl senkrecht aufeinander stehen. Es gilt damit

tg('1B) =n2

n1(26)

Der Brewster-Winkel wird z.B. beim re�exionsfreien Laserresonator (Abb. 4) ausgenutzt.

j 1 B

G a s e n t l a d u n g s r a u mS p i e g e l

Abbildung 4: Schematische Darstellung des Laserresonators

Für n1 = 1 (Luft) gilt einfach tg('1B) = n2.

Beispiel: Für n2 = 1; 5 ergibt sich ein Brewster-Winkel von '1B = 56; 3� .Der sich ergebende Laserstrahl ist linear polarisiert, da nur die Polarisation mit ~H senkrecht zur Ein-fallsebene verlustfrei in den Gasentladungsraum eindringt.Für '1 > '1g wird sowohl kx2 = k0 �

√n2

2 � n21 sin2('1) , als auch Z2H imaginär.

) jrE j = jrHj = 1 (27)

In diesem Fall der Totalre�exion klingt das Feld im Bereich 2 ( Brechzahl n2) exponentiell ab mit derEindringtiefe

dx =1

j � kx2=

�

2�√n2

1 sin2('1)� n22

(28)

Für√n2

1 � n22 = 0; 2 und '1 = 90� ergibt sich beispielsweise dx = 0; 8 � � .

2 Re�exion an VielfachschichtenEs wird die Re�exion einer ebenen Welle an mehreren Schichten hintereinander in x-Richtung, mitjeweils unterschiedlicher Brechzahl untersucht.Es werden m Schichten mit den Brechzahlen ni ( i = 1:::m ) angenommen (Abb. 5). Ist der Einfalls-winkel '1 vorgegeben, so ergibt sich aufgrund der in z-Richtung konstanten Wellenzahlkomponentekz = k0n1 sin('1) die x-Komponente der Wellenzahl in der i-ten Schicht kxi zu

kxi = k0

√n2i � n2

1 sin2 ('1) (29)

und die Wellenwiderstände ZiE und ZiH wie in Gl. (14), Gl. (15), Gl. (22) und Gl. (23) zu

ZiE =k0

kxi

√�0

"0(30)

ZiH =kxin2i k0

√�0

"0: (31)



n in 1 n 2 n 3 n m

j 1

d i

x

z

Abbildung 5: m-Schichten mit den Brechzahlen ni und den Dicken di

Da man die Wellenwiderstände der Schichten direkt berechnen kann, ist es möglich, ein äquivalentesLeitungsersatzschaltbild aufzustellen (Abb. 6).

Z m EZ ( m - 1 ) Ek x ( m - 1 )k x ik x 2

Z i EZ 2 EZ 1 E

d i

Z a

B e r e c h n u n g d e s R e f l e x i o n s f a k t o r si n d i e s e r E b e n e

Abbildung 6: Äquivalentes Leitungsersatzschaltbild für ~E senkrecht zur Einfallsebene

Zur Berechnung des Re�exionsfaktors an der ersten Schicht muss der Abschlusswiderstand ZmE anden Eingang transformiert werden (z.B. mit Smith-Diagramm, siehe Hochfrequenztechnik I). Damitist das Problem allgemein gelöst. Einen besonders einfachen Spezialfall stellen dabei �4 -Schichten dar.

Z a i

d i = p / ( 2 k x i )

Abbildung 7: Ersatzwiderstand bei �=4-Schichten



Es gilt für �4 -Schichten: kxi � di = �2 . Hier ist es möglich, mit der einfachen Beziehung

Zai =Z2iE

Za(i+1)(32)

den Widerstand Za(i+1) um jeweils eine Schicht nach vorn zu Zai zu transformieren (Abb. 7). Bei �=4 -Vielfachschichten kann dann diese Transformation rekursiv angewandt werden, bis man schlieÿlich Zaerhält. Der Re�ektionsfaktor kann dann gemäÿ

rE =Za � Z1E

Za + Z1E(33)

bestimmt werden.Als Beispiel soll eine dielektrische Schicht so dimensioniert werden, dass der Übergang von Medium1 zu Medium 3 vollständig entspiegelt ist, d.h. die Welle re�exionsfrei in das Dielektrikum mit n3

einkoppelt (Abb. 8).

Z F 3Z F 2Z F 1

Z a = Z F 22 / Z F 3

B e r e c h n u n g d e s R e f l e x i o n s f a k t o r si n d i e s e r E b e n e

n 1 n 2 n 3

d 2 = l / ( 4 n 2 )

s e n k r e c h t e i n f a l l e n d ee b e n e W e l l e

Abbildung 8: Beispiel: �=4-Schicht zur Entspiegelung

Zur Vereinfachung wird dabei ein senkrechter Einfall der Welle angenommen ('1 = 0), so dass für dieWellenwiderstände gilt

ZiE = ZiH = ZF i =1ni

√�0

"0(34)

Es werden zunächst ZF2 und ZF3 zu einem Ersatzwiderstand Za zusammengefasst.

Za =Z2F2ZF3

=n3

n22

√�0

"0(35)

Für rE = rH = 0 muss nun gelten: Za = ZF1. Daraus folgt

ZF2 =√ZF1 � ZF3 ) n2 =

pn1 � n3 (36)



Auch die Dicke der Schicht kann bestimmt werden, da gelten muss

d2 � kx2 = d2 � k0 � n2 = d2 � n22��

!=�2

(37)

Daraus folgt für die Dicke der Schichtd2 =

�4 � n2

(38)


Einführung in die optische Nachrichtentechnik STU/1

Stufenfasern (STU)

In diesem Kapitel wird die Wellenausbreitung in Stufenfasern behandelt. Es wird die Feldberechnungin der Stufenfaser und die chromatische Dispersion erläutert.Die einfachste Form eines Lichtwellenleiters besteht aus einem lichtführenden Faserkern mit der Brech-zahl n1 und einem Fasermantel mit der Brechzahl n2 < n1, wobei der Unterschied im Prozentbe-reich oder sogar darunter liegt. Der Faserkerndurchmesser liegt typischerweise in der Gröÿenordnung2a � 10� 100 µm und der Durchmesser von Kern und Mantel bei D � 125 µm.

n 0 = 1

Abbildung 1: Schematische Darstellung einer Stufenfaser

Die Stufenfaser weist folgendes Brechzahlpro�l auf

n(r) =

n1 für r � an2 für a < r � D

2

(1)

�1 sei nun der Winkel der eingekoppelten Welle zur Faserachse und 1 der Winkel, unter dem die Welleaus dem freien Raum (n0 = 1) in die Faser eingekoppelt wird. Die Welle wird dann im Kern geführt,wenn �1 < �1g ist. Es gilt

sin(�1g) =√

1� cos2(�1g) =1n1

√n2

1 � n22 (2)

Mit dem Brechungsgesetz von Snellius folgt

sin( 1g) = n1 sin(�1g) =√n2

1 � n22 = AN (3)

AN wird als numerische Apertur bezeichnet und gibt den maximalen Winkel 1 an, für den die Wellenur im Kern geführt wird. Ein typischer Wert ist AN = 0; 2 , was auf einen maximalen Einfallswinkel 1g = 11; 5� führt.



1 Feldberechnung in der StufenfaserDa die Strahlenbetrachtung die Wellenausbreitung nur für �! 0 ausreichend beschreibt, stellt sich dieFrage nach der Berechnung des Feldes in der Stufenfaser. Dazu werden die sogenannten Eigenwellenbestimmt, die dadurch gegeben sind, dass sich eine bestimmte transversale Feldverteilung ~E(x; y)unverändert in z-Richtung mit der Ausbreitungskonstanten � ausbreitet. Die Brechzahl sei unabhängigvon z . Der Feldansatz ist dann

~E(x; y ; z) = ~E(x; y) exp(�j � z) (4)

Zunächst soll die Gröÿenordnung von � abgeschätzt werden. Aus der Strahlenbetrachtung in Abb. 1folgt

� = k0n1 cos(�1) (5)

Für die geführte Welle ist 0 < �1 < �1g, daher ist

k0n2 < � < k0n1 (6)

Für die kartesischen Feldkomponenten Ex und Ey gilt die Wellengleichung sowohl im Kern als auchim Mantel.

4Ex;y + k20n

2i Ex;y = 0 (7)

mit i = 1; 2 . Es folgt aus Gl. (4)@2Ex;y@z2 = ��2Ex;y (8)

und damit erhält man aus Gl. (7) die Wellengleichung

4tEx;y +(k2

0n2i � �2

)Ex;y = 0 (9)

mit dem transversalen Laplace-Operator 4t = @2

@x2 + @2

@y2 .Im folgenden setzen wir einen schwach führenden Wellenleiter mit

n1 � n2

n1� 1 (10)

voraus, so dass gilt:

jk20n

2i � �2j � �2 mit � = k0 � nef f und n2 < nef f < n1 (11)

und damitj4t j � �2 (12)

Daraus folgt ∣∣∣∣∣@@x

∣∣∣∣∣ ;∣∣∣∣∣@@y

∣∣∣∣∣� � (13)

Die Felder der ausbreitungsfähigen Wellen ergeben sich aus Gl. (7) unter Beachtung der Randbedin-gungen. Die Feldkomponenten Ez , Hz und E' , H' sind stetig für r = a , wobei a der Kernradiusist (Abb. 2).



1.1 Feldkomponenten der Eigenwellen einer schwach führenden Stufenfaser

x

y

z

rj

E j , H j

E z , H z

+ a- a

+ a

- a

F a s e r -k e r n

F a s e r -m a n t e l

Abbildung 2: Randbedingungen der Stufenfaser

Nehmen wir an, Gl. (9) sei für Ex und Ey gelöst. Es stellt sich dann die Frage nach der Gröÿe deranderen Feldkomponenten. Aus der Maxwell'schen Gleichung �r� ~E = j!� ~H folgt

Hz = � 1j!�0

(@Ey@x� @Ex

@y

)(14)

Aus der Maxwell'schen Gleichung r� ~H = j!"0n2i~E ergibt sich für Ex und Ey :

Ex =1

j!"0n2i

(@Hz@y

+ j�Hy

)(15)

Ey =1

j!"0n2i

(�@Hz@x� j�Hx

)(16)

Damit lassen sich ganz allgemein aus bekanntem Ex , Ey und Hz aus Gl. (14) Hx und Hy bestim-men. Wird nun eine schwach führende Faser angenommen (siehe Gl. (13)), lassen sich @Hz=@y und@Hz=@x in Gl. (15) und Gl. (16) vernachlässigen und man kann Hx und Hy ausdrücken als

Hx � �!"0n2i

�Ey (17)

Hy � !"0n2i

�Ex (18)

Für Ez ergibt sich

Ez =1

j!"0n2i

(@Hy@x� @Hx

@y

)� 1j�

(@Ex@x� @Ey

@y

)(19)

Damit ist gezeigt, dass sich alle sechs Feldkomponenten aus der Kenntnis von Ex und Ey ableitenlassen. Bei schwach führender Faser lässt sich dabei ni näherungsweise durch n1 ersetzen.



1.2 Stetigkeit der tangentialen FeldkomponentenDie tangentialen Feldkomponenten der Faser E', H', Ez und Hz müssen bei r = a stetig ineinanderübergehen. Für E' und H' gilt

E' = Ey cos(')� Ex sin(') (20)

H' = Hy cos(')�Hx sin(') (21)

Aus den Gl. (17), Gl. (18), Gl. (20) und Gl. (21) folgt mit ni � n1 , dass Ex und Ey stetig seinmüssen (bei r = a), wenn E' und H' stetig sein sollen. Da diese Stetigkeit für alle ' gelten soll,müssen auch @Ex

@' und @Ey@' für r = a stetig sein.

Wie schon oben in Gl. (14) und Gl. (19) gezeigt, lassen sich Ez und Hz aus Ex und Ey bestim-men, wobei dort Ex und Ey nach x bzw. y abgeleitet werden. Die Ableitungen @

@x und @@y lauten in

Zylinderkoordinaten

@@x

= cos(')@@r� 1r

sin(')@@'

(22)

@@y

= sin(')@@r

+1r

cos(')@@'

(23)

Eingesetzt in Gl. (14) und Gl. (19) folgt

Ez =1j�

(cos(')

@Ex@r� 1r

sin(')@Ex@'

+ sin(')@Ey@r

+1r

cos(')@Ey@'

)(24)

Hz = � 1j!�0

(cos(')

@Ey@r� 1r

sin(')@Ey@'� sin(')

@Ex@r� 1r

cos(')@Ex@'

)(25)

Da @Ex@' und @Ey

@' für r = a aufgrund der Stetigkeit von E' und H' stetig sein müssen, folgt aus Gl.(24) und Gl. (25), dass zusätzlich @Ex

@r und @Ey@r für r = a stetig sein müssen.

Die Bedingung der Stetigkeit von E', H', Ez und Hz lässt sich damit durch die Forderung nachStetigkeit von Ex , Ey ,

@Ex@r und @Ey

@r ersetzen.

1.3 Linear polarisierte LP-WellenDa Ex und Ey bei schwach führenden Fasern durch die Wellengleichung (9) und durch die Rand-bedingungen für r = a nicht miteinander verkoppelt sind, lassen sich Eigenwellen �nden, bei denenbeispielsweise Ey = 0 gesetzt ist. Diese Eigenwellen werden als linear polarisierte LP-Wellen bezeich-net mit z.B.

Ex = (r; ') exp(�j�z) (26)

und

(r; ') =

1(r; ') für r � a 2(r; ') für r > a :

(27)



Aus der Wellengleichung (9) wird damit die skalare Wellengleichung

4t i +(k2

0n2i � �2

) i = 0 (28)

mit i = 1; 2 und den Randbedingungen

1jr=a = 2jr=a (29)@ 1

@rjr=a =

@ 2

@rjr=a : (30)

Zunächst werden folgende Normierungen eingeführt:

Faserparameter: V = k0a√n2

1 � n22 = k0 � a � AN (31)

Normierte Ausbreitungskonstante: B =�2

k20� n2

2

n21 � n2

2=

(�k0� n2

) � ( �k0+ n2

)

(n1 � n2) � (n1 + n2)�

�k0� n2

n1 � n2(32)

Kernparameter: u = Vp

1� B = a√k2

0n21 � �2 (33)

Mantelparameter: v = VpB = a

√�2 � k2

0n22 (34)

Setzt man diese Normierungen in Gl. (28) ein, so erhält man

a24t 1 + u2 1 = 0 für r � a (35)a24t 2 � v2 2 = 0 für r � a (36)

Lösungen dieser Di�erentialgleichungen sind

1(r; ') = A1Jl(rua

){cos(l � ')sin(l � ')

}(37)

2(r; ') = A2Kl(rva

){cos(l � ')sin(l � ')

}(38)

Dabei ist Jl eine Besselfunktion und Kl eine modi�zierte Hankelfunktion ganzzahliger Ordnung. Fürniedrige Ordnungen sind sie in Abb. 3 und 4 dargestellt. Ihre Ableitungen nach dem Argument lauten

dJl(x)dx

= J 0l (x) = �Jl+1(x) +lxJl(x) = Jl�1(x)� l

xJl(x) (39)

dKl(x)dx

= K0l (x) = �Kl+1(x) +lxKl(x) = �Kl�1(x)� l

xKl(x) (40)

Damit folgt aus Gl. (29) und Gl. (30)

A1Jl(u) = A2Kl(v) (41)

A1uaJ 0l (u) = A2

vaK0l (v) (42)



Abbildung 3: Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung

Abbildung 4: Modi�zierte Bessel- und Hankelfunktionen 0. und 1. Ordnung



Dividiert man nun beide Gleichungen durcheinander, so erhält man die charakteristische Gleichung zurBestimmung der Ausbreitungskonstanten � (u und v enthalten nur � als Unbekannte).

u � J 0l (u)Jl(u)

=v �K0l (v)Kl(v)

(43)

Mit Gl. (39) und Gl. (40) folgt

�u � Jl+1(u)Jl(u)

+v �Kl+1(v)Kl(v)

= 0 (44)

mit V 2 = u2 + v2.Für vorgegebenes V und vorgegebene Umfangsordnung l kann die Ausbreitungskonstante aus Gl.(44) numerisch bestimmt werden. Die Gleichung hat im allgemeinen mehrere Lösungen, die mit p =1; 2; 3::: nummeriert werden. p bezeichnet dabei die Anzahl der Feldextrema in radialer Richtung. Daherwird die Bezeichnung LPlp-Welle mit der Umfangsordnung l und der radialen Ordnung p gewählt.(Feldverteilungen einiger LPlp-Wellen sind in Abb. 5 dargestellt.)Mit vorgegebener Dimensionierung (a; �; n1; n2) folgt V , damit kann aus Gl. (44) u und v bestimmtwerden. Daraus ergibt sich mit Gl. (33) und Gl. (34) � und mit Gl. (37) und Gl. (38) auch dieFeldverteilung (r; '). Die Lösung von Gl. (44) ist in Abb. 6 dargestellt. Sie zeigt die normiertePhasenkonstante B ( vergl. Gl. (32)) als Funktion von V .

1.4 EinwelligkeitsbereichIn Abb. 6 kann man sehen, dass nur die LP01-Welle für beliebig kleine V ( V � Frequenz) ausbrei-tungsfähig ist. Diese Welle wird auch als Grundwelle (fundamental mode) bezeichnet.Die charakteristische Gleichung der LP01-Welle lautet gemäÿ Gl. (44):

u � J1(u)J0(u)

� v �K1(v)K0(v)

= 0 (45)

Diese Gleichung führt zu Lösungen auch für beliebig kleine V . Dabei breitet sich die Welle dannallerdings im wesentlichen im Fasermantel aus, da B � 0 , woraus folgt, dass � � k0n2 . Sie ist damitschlecht geführt. Für eine bessere Führung sollte V schon etwas gröÿer sein, z.B. V > 1; 5 .Für einen Faserparameter 1; 5 < V < 2; 5 wird Gl. (45) näherungsweise gelöst durch:

v = 1; 1428 � V � 0; 996 (46)

Im Einwelligkeitsbereich darf die LP11-Welle (vergl. Abb. 6) nicht ausbreitungsfähig sein. Die charak-teristische Gleichung der LP11-Welle folgt aus Gl. (43) mit l = 1 zu:

u � J0(u)J1(u)

+v �K0(v)K1(v)

= 0 (47)



Abbildung 5: Feldverteilungen einiger LP-Moden. Von oben: LP01, LP11, LP25 und LP73 (aus: Vo-ges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)



Abbildung 6: Normierte Phasenkonstante B von LPlp-Wellen in schwach führenden Stufenfasern (aus:Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

Die Grenze der Ausbreitungsfähigkeit der LP11-Welle ist erreicht, wenn für den Mantelparameter gilt:v = 0 Mit dieser Bedingung kann aus Gl. (47) der Kernparameter uc bestimmt werden.

ucJ0(uc)J1(uc)

= 0 ) J0(uc) = 0 (48)

Der Kernparameter uc entspricht also der ersten Nullstelle der Besselfunktion J0(x). Daraus ergibtsich ein Kernparameter von uc(LP11) = 2; 405 . Mit V =

pu2 + v2 folgt daraus Vc = 2; 405 . Das

bedeutet, dass für einen Faserparameter V < 2; 405 eine einmodige Faser vorliegt ( allerdings ist diedann verbleibende LP01-Welle noch in 2 Polarisationen ( Ex und Ey ) ausbreitungsfähig). Normaler-weise wird ein Faserparameter V > 1; 5 gewählt, da die Welle sonst zu schwach auf den Faserkernkonzentriert ist.Als Beispiel sei eine Faser folgendermaÿen dimensioniert:

Faserdurchmesser: 2a = 8 µm

Relative Brechzahldi�erenz: � =n1 � n2

n1= 3 � 10�3

Numerische Apertur: AN = 0; 116

Faserparameter: V = 2; 9µm�

Mit dieser Faser wäre ein einwelliger Betrieb also für Wellenlängen 1; 2 µm < � < 1; 9 µm möglich. (r) des Grundmodes wird häu�g durch eine Gauÿverteilung angenähert:

(r) = A0 exp

(� r2

w2

): (49)



w entspricht hierbei dem Fleckradius.Bei einer Stufenfaser mit V > 1; 2 ist w

a � 0; 65 + 1;619V 3=2 + 2;879

V 6 . Mit steigendem V nimmt also derFleckradius ab. Dies entspricht einer zunehmenden Konzentration des Feldes auf den Faserkern.

2 Chromatische DispersionAuch bei einer einwelligen Faser ist zu berücksichtigen, dass die Gruppenlaufzeit der LP01-Welle wel-lenlängenabhängig ist (chromatische Dispersion), was die Übertragungseigenschaften beein�usst. DieGruppenlaufzeit der Grundwelle pro Länge ist:

� =d�d! (50)

Die Ausbreitungskonstante � kann mit Gl. (32) ausgedrückt werden als

� = k0(B(n1 � n2) + n2) (51)

) � =d(k0(B(n1 � n2) + n2))

d! (52)

Zur Vereinfachung wird die Annahme getro�en, dass die Abhängigkeit der Brechzahlen n1 und n2 von! gleich ist:

dn1

d! =dn2

d! (53)

) d(n1 � n2)d! = 0 (54)

) dANd! =

d(√

n21 � n2

2

)

d! � 0 (55)

Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Laufzeit Gl. (52) zu:

� = (n1 � n2)d(k0B)d! +

d(k0n2)d! =

n1 � n2

c� d(V � B)

dV +1cN2 (56)

Die chromatische Dispersion ist die Ableitung der Laufzeit nach der Wellenlänge:

d�d� = �n1 � n2

c � � � V d2(V � B)dV 2︸︷︷︸

DW =Wellenleiterdispersion

��c� d

2n2

d�2︸︷︷︸DM=Materialdispersion

(57)

Die chromatische Dispersion besteht damit im wesentlichen aus zwei Anteilen (Abb. 7)

1. der Wellenleiterdispersion DW und

2. der Materialdispersion DM .



Abbildung 7: Wellenleiterdispersion DW und Materialdispersion DMeiner Standard-Einmodenfaser(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

Während die Materialdispersion bereits im Kapitel GRU ausführlich behandelt wurde, ergibt sich dieWellenleiterdispersion im wesentlichen aus der Krümmung der B(V )-Charakteristik. Zur Veranschau-lichung sind in Abb. 8 die normierte Phasenkonstante B, der Term d(V � B)=dV , sowie der TermV � d2(V � B)=dV 2 als Funktion von V für die LP01-Welle einer Stufenfaser dargestellt.Für einwellige Fasern mit Faserparameter V < 2; 4 ist V � d2(V �B)=dV 2 positiv und damit die Wel-lenleiterdispersion negativ. Bei Wellenlängen von � > 1; 3 µm wird die Materialdispersion DM positiv.Dies kann dafür genutzt werden, die Faser so zu dimensionieren, dass die Nullstelle der Gesamtdisper-sion zu Wellenlängen � > 1; 3 µm verschoben wird. Insbesondere kann die Nullstelle der gesamtenchromatischen Dispersion zu � � 1; 55 µm verschoben werden, wo die minimale Dämpfung erzieltwird.Beispiele:

1. Standard-EinmodenfaserEine Standard-Einmodenfaser hat beispielsweise die folgenden Dimensionierungen: a = 4 µm ,� = n1�n2

n1= 3 � 10�3 , bzw. n1 � n2 = 4; 5 � 10�3 . Damit ergibt sich bei einer Wellenlänge

� = 1; 55 µm ein V = 1; 88 und damit gemäÿ Abb. 8 ein V �d2(V �B)=dV 2 = 0; 58 , woraus sichaus Gl. (57) eine Wellenleiterdispersion DW = �5; 6 ps

km�nm ergibt, was nur zu einer teilweisenKompensation der Materialdispersion führt. Zur Illustration zeigt Abb. 7 für eine solche Faserdie einzelnen Anteile der chromatischen Dispersion.

2. Dispersionsverschobene Einmodenfaser



Abbildung 8: Dispersionsgröÿen der LP01-Grundwelle bei schwach führenden Stufenfasern (aus: Vo-ges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)

Durch Variation der Faserparameter lassen sich auch höhere Wellenleiterdispersionswerte erzie-len, um z.B. die Materialdispersion DM = 20 ps

km�nm bei � = 1; 55 µm vollständig zu kompensie-ren oder sogar zu überkompensieren (z.B. für eine sogenannte dispersionskompensierende Faser).Gemäÿ Gl. (57) lassen sich höhere Werte der Wellenleiterdispersion für gröÿere Brechzahlunter-schiede sowie kleinere V -Werte erreichen. So erhält man beispielsweise für eine Faserdimensio-nierung mit a = 2; 4 µm , � = n1�n2

n1= 5 �10�3 , bzw. n1�n2 = 7; 5 �10�3 bei � = 1; 55 µm ein

V = 1; 46 und V �d2(V �B)=dV 2 = 1; 13 , so dass sich dann eine betragsmäÿig deutlich gröÿereWellenleiterdispersion von DW = �18; 2 ps

km�nm ergibt, mit der sich die Materialdispersion bei� = 1; 55 µm im wesentlichen kompensieren lässt. Um bei den erforderlichen kleinen V -Wertennoch eine verbesserte Wellenführung zu erreichen, wird dabei häu�g der eigentlich lichtführendeFaserkern noch von einem Brechzahl-Ring umgeben, wie schematisch in Abb. 9 dargestellt ist.



n

a r

Abbildung 9: Schematische Darstellung des Brechzahlpro�ls für eine dispersionsverschobene Faser


Einführung in die optische Nachrichtentechnik GRA/1

Gradientenfasern (GRA)

In diesem Kapitel wird die Wellenausbreitung in Gradientenfasern behandelt. Insbesondere wird auf dieAnzahl der ausbreitungsfähigen Wellen und die optimale Form des Brechzahlpro�ls eingegangen.

Die einwellige Stufenfaser hat zwar eine hohe Bandbreite (im wesentlichen nur begrenzt durch dieWellenleiter- und Materialdispersion),weist aber aufgrund des im allgemeinen kleinen FaserparametersV entweder einen geringen Kerndurchmesser oder eine geringe Numerische Apertur auf. Dies führtzu Problemen beim Verkoppeln derartiger Fasern. Bei vielwelligen Stufenfasern (hohes V ) haben dieEigenwellen jedoch im allgemeinen unterschiedliche Laufzeiten, woraus eine Impulsverbreiterung

�t � N1L2 � c � n2

1A2N (1)

folgt. N1 bezeichnet dabei den Gruppenindex im Faserkern und L die Faserlänge. Dies begrenzt dieÜbertragungsrate auf ca. 20 bis 100 Mbit/s bezogen auf 1 km Faserlänge.Aus diesen Gründen sucht man nach einem Brechzahlpro�l, bei dem alle Eigenwellen nahezu die gleicheLaufzeit haben. Man gelangt so zur sogenannten Gradientenfaser.

1qn 1

n 2

n(r)n1

n2

1q

n1

n2

n 2

n(r)

S t u f e n f a s e r G r a d i e n t e n f a s e r

Abbildung 1: Motivation für die Gradientenfaser mit strahlenoptischer Darstellung

Für Wellen mit gröÿerem �1 wird der vom Strahl zurückzulegende Weg gröÿer. Damit wird in derStufenfaser auch die Laufzeit gröÿer. In der Gradientenfaser gelangen die Strahlen mit höherem �1

jedoch in Bereiche mit kleinerer Brechzahl und werden damit schneller. Durch geeignete Wahl einesBrechzahlpro�ls n(r) können sich diese beiden E�ekte gerade aufheben.

1 FeldberechnungFür linear polarisierte Wellen ist auch in Gradientenfasern die skalare Wellengleichung

4Ex;y + k20n

2(r)Ex;y = 0 (2)



gültig. Es soll zunächst eine in x-Richtung linear polarisierte Welle der Form

Ex = (r; ') exp(�j�z) (3)

angenommen werden, so dass sich damit als skalare Wellengleichung für (r; ') ergibt:

4t +(k2

0n2(r)� �2

) = 0 (4)

und damit1r@@r

(r � @

@r

)+

1r2@2 @'2 +

(k2

0n2(r)� �2

) = 0 (5)

Die Brechzahl n(r) ist jetzt im Gegensatz zur Stufenfaser von der radialen Koordinate r abhängig.Für eine LPlp-Welle mit Umfangsordnung l gilt für (r; '):

(r; ') = r (r)

cos(l � ')

sin(l � ')

(6)

Setzt man diesen Ansatz in die Wellengleichung (5) ein, so erhält man für die radiale Feldvariable r (r):

1rddr

(rd r (r)dr

)+

(k2

0n2(r)� �2 � l2

r2

)

︸︷︷︸k2r

r (r) = 0: (7)

Dabei lässt sich

kr =

√k2

0n2(r)� �2 � l2

r2 (8)

als Wellenzahl in radialer Richtung interpretieren (Abb. 2). Die Nullstellen von k2r sind r1 und r2, die

auch innerer und äuÿerer Umkehrradius genannt werden.

k 02 n 2

2 - b 2

k 02 n 1

2 - b 2

k 02 n 2 ( r ) - b 2

l 2 / r 2

( k 02 n 2 ( r ) - b 2 ) , l 2 / r 2

r

k r2

r 2r 1

Abbildung 2: Anschauliche Darstellung der Wellenzahl in radialer Richtung kr und der Umkehrradienr1 und r2



kr -ist reell für r1 < r < r2 ) oszilliertkr -ist imaginär für r < r1 oder r > r2 ) klingt exponentiell ab

Das Feld konzentriert sich also auf den Bereich zwischen r1 und r2.Um in der Di�erentialgleichung (7) die Singularitäten für r = 0 zu vermeiden, substituiert manr = a � exp(w) Für die Wellengleichung gilt dann

d2 rdw2 +Q2

w r = 0 (9)

mit Q2w = r2 � k2

r .Es ist Q2

w = 0 für w1 und w2. Also ist r1 = a exp(w1) und r2 = a exp(w2) ,Solange jQw j genügend groÿ ist und sich nur schwach in Abhängigkeit von w (bzw. r) ändert, wirdGl. (9) näherungsweise gelöst durch die WKB-Lösung (Wentzel, Kramers, Brillouin):

r � ApQw

exp(�j∫Qwdw

)(10)

Solange Qw 6= 0 gilt, werden drei Fälle unterschieden:

1. w < w1 ) Q2w ; k2

r < 0

r � A√jQw j exp

�

w1∫

w

jQw j dw (11)

2. w1 < w < w2 ) Q2w ; k2

r > 0

r � BpQw

cos

w∫

w1

Qw dw + �

(12)

3. w > w2 ) Q2w ; k2

r < 0

r � C√jQw j exp

�

w∫

w2

jQw j dw , (13)

wobei A, B und C in Gl. (11), Gl. (12) und Gl. (13) Konstanten bezeichnen.Damit Gl. (11) und Gl. (12), bzw. Gl. (12) und Gl. (13) für w � w1 , bzw. w � w2 stetig di�erenzier-bar ineinander übergehen, folgt anschaulich aus Abb. 3, dass für w ! w1 das Argument des Cosinusin Gl. (12) den Wert ��4 und für w ! w2 den Wert m � � + �

4 (m - ganzzahlig) annehmen muss.Diese anschaulichen Überlegungen werden durch genauere Rechnungen bestätigt, wobei auÿerdem giltA = C = B

2 (siehe Flügge, Rechenmethoden der Quantentheorie, Springer, Berlin-Heidelberg 1965,S.159)



Abbildung 3: WKB-Lösung bei Problem mit (a) einem Umkehrpunkt, (b) mit zwei Umkehrpunkten(Bild aus: Timmermann, Lichtwellenleiter)

Daraus folgt

� = ��4

undw2∫

w1

Qw dw =(m +

12

)� =

(p � 1

2

)� (14)

mit der radialen Ordnungszahl p = 1; 2; 3::: der LPlp-Welle. Mit den Beziehungen dr = r � dwentspricht Gl. (14)

r2∫

r1

krdr =(p � 1

2

)� (15)

Die Gleichungen (14) und (15) gelten wegen der Näherung in Gl. (10) nur für p � 1 .Für eine bestimmte LPlp-Welle kann mit Gl. (15) die Ausbreitungskonstante � bestimmt werden. Sindl und p vorgegeben, muss � so gewählt werden, dass die Gl. (15) erfüllt ist (im allgemeinen allerdingsnur numerisch durchführbar).

r 2

r 1

L P 0 1 L P 2 1 L P 3 2

Abbildung 4: Felddarstellung von LPlp-Wellen



r 1

r 2 r 1

r 2

a ) b )

Abbildung 5: (a) Wendelförmiger Strahlweg in einer Gradientenfaser mit parabolischem Brechzahl-pro�l, (b) Querschnittsprojektion eines Strahlwegs (Bild aus: Unger, Optische NachrichtentechnikI)

2 Anzahl der ausbreitungsfähigen WellenFür jede Ordnungszahlenkombination (l ,p) gibt es:2 Wellen für l = 0 (2 Polarisationen)4 Wellen für l 6= 0 (2 Polarisationen und 2 Orientierungen, sin(l � ') und cos(l � '))Es sei ein Brechzahlpro�l n(r) vorgegeben, das für ansteigendes r ( r < a ) monoton abfällt und für r �a konstant n(r) = n2 ist. Um die Frage nach der Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen und damitder Anzahl der Ordnungszahlkombinationen (l , p) zu beantworten, wird auf Gl. (15) zurückgegri�en.Gl. (8) und Gl. (15) ergeben

(m +

12

)� =

r2∫

r1

√k2

0 � n2(r)� �2 � l2

r2 dr (16)

mit der radialen Ordnungszahl m = (p � 1) (m = 0; 1; 2; ::: ).Betrachtet man Wellenleiter mit sehr vielen Wellen, kann man (16) nähern zu:

m � � �r2∫

r1

√k2

0 � n2(r)� �2 � l2

r2 dr (17)

Die maximale radiale Ordnungszahl m = mmax wird bei vorgegebenem l für � = k0n2 erreicht.Daraus folgt:

mmax � � �r2∫

r1

√k2

0 �(n2(r)� n2

2

)� l2

r2 dr (18)

In dieser Gleichung sind r1 und r2 die Umkehrradien für � = k0n2. Die Gesamtanzahl der Wellen Mist dann gegeben durch:

M � 4 �lmax∑

l=0mmax(l) � 4 �

lmax∫

0

mmax(l)dl (19)

Der Faktor 4 folgt aus den vier möglichen Wellen für eine bestimmte Ordnungszahlkombination (l ; p),wenn l 6= 0 .



Setzt man mmax aus Gl. (18) ein, so ergibt sich:

M � 4��lmax∫

0

r2∫

r1

√k2

0 �(n2(r)� n2

2

)� l2

r2 dr dl (20)

l m ( r ) l m a x

r 2

r 1

a

00 l

r

Abbildung 6: Darstellung der Integrationsgrenzen in der r , l-Ebene

In Gl. (20) wird erst über r und dann über l integriert (Integrationsgrenzen in Abb. 6). Zur Vereinfa-chung wird die Integrationsreihenfolge vertauscht:

M � 4��a∫

0

lm(r)∫

0

√k2

0 �(n2(r)� n2

2

)� l2

r2 dl dr (21)

Die Umfangsordnung lm(r) ist dadurch gegeben, dass für l = lm(r) die radiale Wellenzahlk2r = k2

0 � (n2(r)� n22)� l2=r2 = 0 wird.

) lm(r) = r � k0

√n2(r)� n2

2 (22)

Nach der Integration über l folgt:

M = k20 �

a∫

0

(n2(r)� n2

2

)r dr (23)

Die Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen ist also proportional dem Rotationsvolumen, das durch dasBrechzahlpro�l gebildet wird.

1. Beispiel: parabolisches Brechzahlpro�l

n2(r) =

n21 �(

1� 2� � r2

a2

)für r � a

n21 � (1� 2�) = n2

2 für r > a

(24)



Dabei ist � die relative Brechzahldi�erenz: � = n21�n2

22n2

1� n1�n2

n1

Hier ergibt sich eine Wellenanzahl von:

M =V 2

4(25)

mit V = a � k0 �√n2

1 � n22 = a � k0 � n1 � p2�

2. Beispiel: Stufenpro�l

n2(r) =

n2

1 für r � an2

2 für r > a(26)

Hier ergibt sich eine Wellenanzahl vonM =

V 2

2(27)

Für eine typische vielwellige Faser mit 2a = 50�m , n1 = 1; 45 , � = 0; 01 , AN = 0; 205 und� = 1; 3�m sind für ein parabolisches Pro�l ungefähr 152 Wellen und für ein Stufenpro�l ungefähr306 Wellen ausbreitungsfähig.Die genaue Auswertung in Abschnitt STU, Abb. 6, liefert beispielsweise für V = 6 bzw. V = 8 20bzw. 34 ausbreitungsfähige Wellen, während die Näherung Gl. (27) zu 18 bzw. 32 ausbreitungsfähigenWellen führt, was im Rahmen der verwendeten Näherungen eine gute Übereinstimmung bedeutet.

3 Laufzeitunterschiede zwischen den Eigenwellen

3.1 Pro�ldispersionDas Ziel der folgenden Berechnungen ist die Bestimmung eines Brechzahlpro�ls, bei dem alle Wellennahezu die gleiche Laufzeit haben. Gemäÿ der strahlenoptischen Vorstellung wird der Weg des zueiner Welle gehörenden Strahls durch das Brechzahlpro�l n(r) und die Laufzeit der Welle entlang desStrahlweges durch den Gruppenindex N(r) beschrieben. Die Laufzeit hängt also o�enbar sowohl vomBrechzahlpro�l n(r) als auch vom Gruppenindex N(r) ab.Im folgenden wird ein linearer Zusammenhang zwischen n(r) und N(r) vorausgesetzt (Abb. 7).Dieser Zusammenhang lässt sich beispielsweise schreiben als:

N(r) =N1

n1

[(1� P ) � n(r) + n1 � P ] (28)

Der Parameter P wird als Pro�ldispersionsparameter bezeichnet. Im Fall der Gültigkeit von (28) sprichtman von linearer Pro�ldispersion. P hängt dann nur von der Wellenlänge � und nicht vom Radius rab.



~ ~

~~

N

nn 1n 2

N 1

N 2 nD

ND

PN 1 ×

Abbildung 7: Gruppenindex N(r) in Abhängigkeit der Brechzahl n(r)

Um den Begri� der Pro�ldispersion genauer zu erklären, soll der Zusammenhang zwischen �n und �Nin Abb. 7 genauer untersucht werden. Die Brechzahldi�erenz �n lässt sich schreiben als

�n =n1 � n2

n1� n1 = � � n1 mit � =

n1 � n2

n1; (29)

wobei � die relative Brechzahldi�erenz zwischen Faserkern und Fasermantel bezeichnet. Für die Dif-ferenz im Gruppenindex �N gilt analog zum Zusammenhang N = n � � dn

d� :

�N = �n � � d (�n)d� (30)

und damit

�N = � � n1 � � d (� � n1)d� (31)

= � � n1 � � � � dn1

d� � � � n1d�d� (32)

= � � N1 � � � n1d�d� (33)

Andererseits folgt aus Gl. (28)

�N =N1

n1(1� P ) � �n = � � N1 � (1� P ) (34)

womit sich nach Vergleich mit Gl. (31) die Pro�ldispersion P ergibt zu:

P =n1

N1� �

�� d�d� (35)

Damit kann die Pro�ldispersion durch Messung der wellenlängenabhängigen numerischen Apertur (unddamit �(�)) bestimmt werden.



3.2 Bestimmung der Gruppenlaufzeiten der einzelnen EigenwellenDie Gruppenlaufzeit einer bestimmten Eigenwelle (l ; p) pro Faserlänge � = d�= d! ergibt sich ausGl. (15), wenn Gl. (15) zunächst nach ! abgeleitet wird.

dd!

r2∫

r1

kr dr

= 0 =

r2∫

r1

1kr

[k0n(r)

d(! � n(r)

)

c � d! � � � �]dr (36)

Bei der Ableitung in Gl. (36) von kr nach ! wurde Gl. (8) verwendet, wobei auch von k0 = !=cGebrauch gemacht wurde. Gl. (36) lässt sich nach der gesuchten Laufzeit � au�ösen:

� =k0

� � c

r2∫r1

1kr n(r) � N(r) dr

r2∫r1

1kr dr

(37)

mit dem Gruppenindex N(r) = d(! � n(r)

)= d! gemäÿ Kapitel GRU Gl. 25.

Für jede beliebige Eigenwelle (l ; p) lässt sich so zunächst mit Gl. (8) und Gl. (15) die Phasenkonstante� und schlieÿlich mit Gl. (37) die Gruppenlaufzeit � bestimmen.

Das Brechzahlpro�l n(r) (und damit N(r) gemäÿ Gl. (28)) soll nun so optimiert werden, dass alleEigenwellen möglichst die selbe Gruppenlaufzeit � aufweisen. In dieser allgemeinen Form ist das einaufwändiger numerischer Optimierungsprozess.Wir wollen uns hier auf die Pro�lklasse der sogenannten Potenzpro�le ("power-law-pro�les") beschrän-ken (siehe Abb. 8), bei denen das Brechzahlpro�l beschrieben wird durch

n2(r) =

n21

(1� 2�

(ra

)g)für r � a

n21(1� 2�) = n2

2 für r > a

(38)

mit dem Pro�lexponenten g. Beispielsweise wird mit g = 2 das parabolische Brechzahlpro�l und mitg =1 das Stufenpro�l beschrieben.Für die Brechzahlpro�le gemäÿ Gl. (38) gilt (ohne Beweis), dass die Laufzeit � in Gl. (37) explizitnur von �, aber nicht von der (im Prinzip in kr enthaltenen) Umfangsordnung l abhängt. Unter dieserVoraussetzung lässt sich in Analogie zu Gl. (20) und Gl. (21) sowohl der Zähler als auch der Nennervon Gl. (37) ohne Verfälschung des Ergebnisses für � über l integrieren. Nach Vertauschung derIntegrationsreihenfolge (wie in Gl. (21)) lässt sich die Integration über l analytisch durchführen undes ergibt sich schlieÿlich:

� =d�d!

=1c� k0

� � r202

r0∫

0

n(r)N(r)r dr

=1c� 1

n(r0) � r202

r0∫

0

n(r)N(r)r dr =< n(r)N(r) >c � n(r0)

(39)



842g = 1

n 22

n 12

a r

n 2 ( r )

¥

Abbildung 8: Potenzpro�l für verschiedene Pro�lexponenten g

wobei r0 durch � = n(r0)=k0 (vergl. Abb. 9) gegeben ist. Die Notation < ::: > bedeutet dabei dieMittelung über den Faserquerschnitt mit r < r0 .

r 0 a

b / k 0

n 1

n ( r )

r

n 2

Abbildung 9: Parabolisches Brechzahlpro�l n(r) und der Radius r0

Um die Laufzeitunterschiede zwischen den Eigenwellen möglichst gering zu halten, muss durch einePro�loptimierung ein Brechzahlpro�l n(r) bestimmt werden, bei dem das Verhältnis zwischen Zählerund Nenner in Gl. (39) möglichst unabhängig von r0 bzw. � wird.Für ein Potenzpro�l wie in Gl. (38) und lineare Pro�ldispersion (siehe (28)) gilt

n(r)N(r) =N1

n1

((1� P ) � n2(r) + n(r) � n1 � P

) � n1N1

1� 2�

(1� P

2

)(ra

)g (40)



Mit der Näherung n(r0) � n1

(1� �

(r0a

)g)folgt aus Gl. (39)

� � 1c�n1N1

(1� 4� 1� P

2g+2

(r0a

)g)

n1

(1� �

(r0a

)g) (41)

3.3 Optimierung des Brechzahlpro�lsDie Laufzeit � wird in der Näherung Gl. (41) unabhängig von r0 und damit von � für den optimalenPro�lexponenten g = gopt , mit

gopt = 2� 2P (42)

Ohne die obigen Näherungen für n(r) ergibt sich ein genauerer Ausdruck für den optimalen Pro�lex-ponenten:

gopt = 2� 2P � �(4� 2P ) � (3� 2P )

5� 4P(43)

der sich nur unwesentlich von Gl. (42) unterscheidet. Da der Pro�ldispersionsparameter P von derMaterialzusammensetzung und der Wellenlänge abhängig ist, ist auch der optimale Pro�lexponentgopt von diesen Gröÿen abhängig (siehe Abb. 10). Aus technologischen Gründen wird für die Brech-zahlvariation n(r) überwiegend eine GeO2-Dotierung verwendet, so dass sich erhebliche Unterschiedefür die einzustellenden Pro�lexponenten ergeben, je nachdem ob die Faser z.B. bei � = 0; 8�m oderbei � = 1; 55�m eingesetzt werden soll.

Abbildung 10: Optimaler Pro�lexponent gopt für Germanium und Phosphor dotiertes Quarzglas inAbhängigkeit der Wellenlänge �



Durch die unterschiedlichen Laufzeiten der einzelnen Wellen tritt eine Pulsverbreiterung auf, die dieBandbreite begrenzt. Für die Bandbreite gilt

B � 1(�max � �min)L

(44)

Dabei sind �max und �min die maximale und die minimale Laufzeit nach Gl. (41). Für g = gopt ergibtsich mit Abb. 11 eine maximale Bandbreite von ca. 10GHz � km. Falls der Pro�lexponent g vomoptimalen Exponenten gopt abweicht, ergibt sich entsprechend Abb. 11 eine geringere Bandbreite. Inder Praxis sind bei der Lichtwellenleiterherstellung Abweichungen jg�gopt j < 0; 1 noch beherrschbar,so dass damit Bandbreiten von bis zu 1GHz � km noch realisierbar sind.

Abbildung 11: 6 dB-Bandbreite des übertragenen elektrischen Signals einer vielwelligen Gradientenfa-ser mit Numerischer Apertur AN = 0; 24

In obiger Betrachtung ist die Bandbreite umgekehrt proportional zur Faserlänge. Tatsächlich nimmtaber die Bandbreite mit zunehmender Faserlänge schwächer ab, etwa in der Form

B = B0

(L0

L

) mit = 0; 5:::0; 8 (45)

L0 ist die Faserlänge, auf die die Bandbreite B0 bezogen ist. Dies kann folgende Gründe haben:

1. Das Brechzahlpro�l unterliegt Schwankungen, so dass sich Faserstücke mit g � gopt > 0 undg � gopt < 0 abwechseln.



2. Zwischen den Wellen �nden aufgrund von Mikrokrümmungen des Faserkabels Verkopplungenstatt, so dass schnelle und langsame Wellen ihre Energie gegenseitig austauschen.

Eine typische Dimensionierung für eine vielwellige Gradientenfaser wäre beispielsweise ein Kerndurch-messer 2a = 50�m , ein Auÿendurchmesser D = 125�m , eine Numerische Apertur AN = 0; 2 undeine Bandbreite für 1 km Faserlänge von ca. 1 GHz.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik TECH/1

Herstellung von Lichtwellenleitern (TECH)

Dieses Kapitel behandelt drei verschiedenen Verfahren zur Herstellung von Vorformen für Glasfasern:das OVD-Verfahren (outside vapour deposition), das VAD-Verfahren (vapour axial deposition) unddas MCVD-Verfahren (modi�ed chemical vapour deposition). Auÿerdem wird auf die Verkabelung vonFasern eingegangen.

1 VorformherstellungDämpfungsarme Lichtwellenleiter werden am häu�gsten auf Quarzglas-Basis (SiO2) realisiert. DieBrechzahl wird über eine geeignete Dotierung eingestellt (siehe Abb. 1).

Abbildung 1: Brechzahl dotierter Quarzgläser bei � = 0; 6 µm. (Bild aus: Unger, Optische Nachrich-tentechnik I)

Die am häu�gsten zur Brechzahlerhöhung verwendeten Dotierungen sind Germaniumdioxid (GeO2)und P2O5.Die am häu�gsten zur Brechzahlsenkung verwendete Dotierung ist Fluor (F).Für dämpfungsarme Lichtwellenleiter ist ein hochreiner Herstellungsprozess notwendig, insbesonderefür den Faserkern. Daher werden Glasfasern mit Hilfe chemischer Abscheidung aus der Dampfphase(CVD � chemical vapour deposition) hergestellt. Ausgangspunkt sind dabei Halogenide, dabei insbe-sondere Chloride, beispielsweise SiCl4, woraus durch Oxidation das Quarzglas (SiO2) gewonnen wird.

SiCl4 + O2 ! SiO2 + 2Cl2 (1)

Die Reaktion kann in beiden Richtungen verlaufen, wobei die komplette Umsetzung zu SiO2 für Tem-peraturen T > 1800K erfolgt. Für den Dotiersto� GeO2 ist die Reaktion ähnlich:

GeCl4 + O2 ! GeO2 + 2Cl2 (2)



Die maximale Umsetzung zu GeO2 erfolgt bei T � 1800K . Der Umsetzungswirkungsgrad ist jedochrelativ gering und liegt in der Gröÿenordnung von maximal 25 %.

1. OVD-Verfahren (outside vapour deposition; Abb. 2)

Abbildung 2: OVD-Verfahren für Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)

SiCl4 und GeCl4 liegen bei Raumtemperatur als Flüssigkeiten vor. Sauersto� perlt durch dieseFlüssigkeiten und nimmt als Trägergas Dämpfe dieser Verbindungen auf. Als Brenner wird nor-malerweise ein H2O2-(Knallgas)-Brenner verwendet. Das Glas wird schichtweise abgeschieden.Die Steuerung des relativen Anteils von SiO2 und GeO2 und damit des Brechzahlpro�ls erfolgtdurch Steuerung des Trägergases (O2), das durch die Behälter mit SiCl4 und GeCl4 strömt. Esentsteht eine poröse Abscheidung (Glasruÿ). Die poröse Glasvorform lässt sich jedoch reinigen.Durch Spülen mit Chlorgas (Dehydrierung) kann z.B. der OH-Gehalt reduziert werden.

H2O + Cl2 ! 2 HCl︸︷︷︸Salzsäure

+12O2 (3)

Die Reaktion �ndet bei Temperaturen oberhalb von 1200� C statt. Gleichzeitig ergibt sich danneine Verglasung der porösen Vorform. Derartige Vorformen wurden mit einer Masse von bis zubeispielsweise 1800 g (11 cm Durchmesser und 80 cm Länge) hergestellt, was eine Faserlängevon bis zu ca. 50 km erlaubt.

2. VAD-Verfahren (vapour axial deposition)Beim VAD-Verfahren erfolgt die Abscheidung im Gegensatz zum OVD-Verfahren nicht radial,sondern axial (Abb. 3).Wie beim OVD-Verfahren werden auch hier H2O2-Brenner eingesetzt. Die Vorform dreht sichund die beiden Brenner passieren unterschiedliche Anteile von SiCl4 und GeCl4, so dass durcheine geeignete Anordnung der Brenner das Brechzahlpro�l bestimmt wird. Die Dehydrierungund Verglasung erfolgt beim VAD-Verfahren ähnlich wie beim OVD-Verfahren, jedoch in einemArbeitsgang.



Abbildung 3: VAD-Verfahren zur Herstellung von Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nach-richtentechnik I)

Da es sich um einen geschlossenen Prozess handelt, ist ein sehr geringer OH-Gehalt bis un-terhalb 1 ppb (parts per billion = 1 Teil OH auf 109 Teile SiO2) erzielbar. Dies entsprichteiner Dämpfungserhöhung bei � = 1; 39 µm aufgrund der OH-Verunreinigungen von weniger als0; 04dB=km.

3. MCVD-Verfahren (modi�ed chemical vapour deposition)

Ausgangspunkt ist ein Quarzrohr (es bildet später den Fasermantel), in das die Reaktionsgaseeingeleitet werden (Abb. 4).

Abbildung 4: MCVD-Verfahren zur Herstellung von Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nach-richtentechnik I)

Die Bildung von SiO2 und die Verglasung erfolgt hier in einem Schritt. Es werden ca. 30 bis 100



Schichten aufgewachsen. Eine Änderung der Brechzahl ist von Schicht zu Schicht durch eineÄnderung der Gas�üsse möglich. Da die Reaktion nur innerhalb des Quarzrohres statt�ndet,besteht nur eine geringe Gefahr von Verunreinigungen. Ein Nachteil des MCVD-Verfahrens be-steht darin, dass keine Dehydrierung möglich ist, da keine poröse Vorform entsteht. Man erhältzunächst ein Quarzrohr mit abgeschiedenen dotierten Schichten (siehe Abb. 5a). Die Vorformergibt sich nach Kollabieren des Vorformrohres. Bei Temperaturen von 2000� C zieht sich dasRohr durch Ober�ächenspannung zu einem Stab zusammen (siehe Abb. 5b). Der OH-Gehaltliegt bei MCVD-Fasern typischerweise in der Gröÿenordnung von weniger als 1 ppm.

Abbildung 5: (a) Quarzrohr mit abgeschiedenen Schichten, (b) kollabiertes Vorformrohr, (c) Herstel-lung der Faser durch Ziehen aus der Vorform



2 FaserherstellungAbb. 5 zeigt eine schematische Darstellung eines Ziehofens. Der Ziehofen ist Teil der Faserziehma-schine (Abb. 6).

Abbildung 6: Schematische Darstellung einer Faserziehmaschine (Bild aus: Unger, Optische Nachrich-tentechnik I)

Die Ziehgeschwindigkeit beträgt typischerweise mehr als 10m/s . Beim Ziehprozess werden die Fasernzum Schutz mit einer Kunststo�umhüllung (Dicke in der Gröÿenordnung von ca. 50 µm) versehen.Es gibt auch die Möglichkeit, einen Quarzfaden mit einem verlustarmen Kunststo� geringerer Brech-zahl (z.B. Silikonharz) zu beschichten. Dabei entspricht der Quarzfaden dem Faserkern und die Kunst-sto�beschichtung dem Fasermantel. Solche Fasern werden auch PCS-Fasern (plastic-clad-silica) ge-nannt. Die Dämpfungscharakteristik einer solchen Faser ist in Abb. 7 dargestellt. Solche Fasern sindVielmoden-Stufenfasern und können für kurze Übertragungsstrecken (z.B. in Fahrzeugen) eingesetztwerden.



Abbildung 7: Dämpfungscharakteristik einer Faser mit Quarzglaskern und Silikonharz-Mantel (Bild aus:Unger, Optische Nachrichtentechnik I)

3 Festigkeit von FasernDer fertige Lichtwellenleiter besteht aus der eigentlichen Quarzglas-Faser sowie der während des Zieh-prozesses (siehe Abb. 6) aufgebrachten Kunststo�umhüllung. Die erzielbare Festigkeit ist dabei aus-schlieÿlich durch die Festigkeit des Quarzglases gegeben. Tatsächlich kann Quarzglas sehr stark be-lastet werden (Bruchdehnung ca. 5 %), solange die Ober�äche nicht durch Kratzer oder ähnlichesgestört ist. Die Kunststo�umhüllung hat deshalb ausschlieÿlich die Aufgabe, die Quarzglas-Ober�ächeder Faser vor Kratzern oder sonstigen Beschädigungen zu schützen. Es ergibt sich dann eine sehrhohe Festigkeit, wobei die Festigkeit von Fasern als Prozentsatz der bei einer gegebenen Zugspan-nung � gebrochenen Fasern angegeben werden kann. Dieser Zusammenhang wird im sogenanntenWeibull-Diagramm aufgetragen. Ein Beispiel für Fasern hoher Festigkeit ist in Abb. 8 dargestellt.Aus Abb. 8 ergibt sich eine Festigkeit von ungefähr 4GPa = 4 � 109 N/m2 , d.h. für eine Faser miteinem Durchmesser von 125 µm eine Festigkeit von ca. 50 N.



Abbildung 8: Weibull-Diagramm: Fehlerraten in Abhängigkeit von der Zugspannung für 20 m und 1km Probenlänge einer hochfesten Faser (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)

4 Verkabelung von FasernDie Verkabelung sollte so realisiert werden, dass möglichst keine mechanische Beanspruchung der Faserund keine Mikrokrümmungen auftreten. Ein häu�g angewandtes Verfahren ist die Hohlader-Technik.Bis zu ca. 20 Fasern werden in eine Hohlader lose eingelegt. Im allgemeinen wird die Hohlader dann nochmit einer gel-artigen Füllmasse gefüllt. Kabel lassen sich aus Vielfachen dieser Hohlader aufbauen. DieAbbildungen 9, 10 und 11 zeigen Beispiele dafür, wobei die Verkabelungskräfte durch ein Stützelement(häu�g aus Stahl oder hochwertigen Kunststo�en, z.B. Kevlar) aufgenommen werden (siehe auch:R. Engel, "Lichtwellenleiterkabel", in E. Voges, K. Petermann, "Optische Kommunikationstechnik",Springer, 2002).

Abbildung 9: Beispiel für ein Faserkabel mit einer Hohlader, hier bezeichnet als Bündelader (Bild aus:Unger, Optische Nachrichtentechnik I)



Abbildung 10: Beispiel für 70-faseriges Kabel (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)

Abbildung 11: Beispiel für 2000-faseriges Kabel (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)


Einführung in die optische Nachrichtentechnik KOP/1

Koppelprobleme (KOP)Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Fragestellungen bezüglich der Verkopplung von Wellenleitern sowieStecker oder Spleiÿe.

1 Grundlagen: Abbildung mit LinsenZunächst werden die Linsenabbildungen mit geometrischer Optik beschrieben. Einige Grundbegri�esind (siehe auch Abb. 1):� Brennweite der Linse: f� Gegenstandsweite: a� Bildweite: b� Gegenstandsgröÿe: r1� Bildgröÿe: r2

r 1r 2

f fa b

1g

2g

d

Abbildung 1: Linsenabbildung in geometrischer Optik

Es gilt die Abbildungsgleichung1a

+1b

=1f

(1)

Wenn sowohl die Gegenstandsweite, als auch die Bildweite gröÿer sind als die Brennweite ( a > f ,b > f ), spricht man von gegenständlicher Abbildung und es gilt für den Abbildungsmaÿstab

r2r1

=ba

(2)

Beispiel: Der Gegenstand soll 1:1 auf das Bild abgebildet werden.

) r2r1

=ba

= 1 ) a = b = 2f (3)

Auf der Linse soll nun der Bereich d ausgeleuchtet werden. Wenn die Winkel 1; 2 � 1 sind, danngilt

1 � da

; 2 � db

(4)



und damit 1r1 = 2r2 (5)

Für gröÿere 1, 2 wird daraus die sogenannte Abbe'sche Sinusbedingung (ohne Beweis)

r1 sin( 1) = r2 sin( 2) (6)

oder mit den numerischen Aperturen AN1 = sin( 1) und AN2 = sin( 2)

r1AN1 = r2AN2 (7)

Nun soll eine kreisförmige Lichtquelle der Fläche F1 = �r21 und der numerischen Apertur AN1 betrach-

tet werden. Aus Gl. (7) folgt, dass diese Fläche F1 auf eine Fläche F2 = � � r22 mit der numerischen

Apertur AN2 abgebildet wird gemäÿF1A2

N1 = F2A2N2 (8)

Da die numerische Empfangsapertur AN2 nicht beliebig gesteigert werden kann, gibt Gl. (8) auch diemaximal mögliche Verkleinerung an, d.h. auf welche minimale Fläche F2 eine verlustfreie Abbildungmöglich ist. Für die numerische Apertur der abgebildeten Fläche gilt AN2 < 1 , da auf jeden Fall 2 < 90� gilt. Sind F1 und AN1 vorgegeben gilt also:

A2N2 =

F1A2N1

F2< 1 ) F2 � F1A2

N1 (9)

Das bedeutet, dass die Fläche F2, auf die verlustfrei abgebildet werden kann, mindestens die Gröÿedes Produktes aus strahlender Fläche und dem Quadrat der numerischen Apertur haben muss.Beispiel: Die Lichtquelle wird durch eine voll ausgeleuchtete Stufenfaser mit dem Kerndurchmesser2a = 50 µm und der numerischen Apertur AN1 = 0; 2 dargestellt. Die minimale Fläche, auf dieverlustfrei abgebildet werden kann ist dann F2 � �(5 µm)2 . F2 entspricht also einer Fläche mitmindestens 10 µm Durchmesser.Gl. (8) soll nun in bezug auf Stufenfasern näher betrachtet werden. Es ist

F1 = �a2 und AN1 =√n2

1 � n22 (10)

Daraus folgt

F1A2N1 = �a2

(n2

1 � n22

)=�2

4�

(2��a)2 (

n21 � n2

2

)

=�2

4�(k0aAN1)2 =

�2

4�V 2

=�2

2�M

(11)

M = V 2=2 ist die Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen in der Stufenfaser (vergl. Kapitel GRA,Gl. (27)). Allgemein kann M auch als Anzahl der Freiheitsgrade der Lichtquelle interpretiert werden.Damit lässt sich Gl. (8) auch so interpretieren, dass die Anzahl der Eigenwellen (bzw. Freiheitsgrade)



beim Durchgang durch optische Systeme erhalten bleibt. Insbesondere ist es nicht möglich, von einerFaser mit M1 Eigenwellen verlustfrei in eine Faser mit M2 Eigenwellen einzukoppeln, wenn M2 < M1.Dies ist ähnlich zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. (Ein System in Unordnung lässt sich nicht inein geordnetes System überführen.)

1.1 Absolute Grenze des Au�ösungsvermögensFür die einwellige Faser (M = 2 , wegen 2 Polarisationen) wird das Produkt F1 � A2

N1 in Gl. (11)minimal. Für M = 2 wird aus Gl. (11):

F1A2N1jmin =

�2

�(12)

Gl. (12) steht in engem Zusammenhang zur Beziehung zwischen Wirk�äche und Gewinn bei Antennen(siehe Hochfrequenztechnik I).

F 1

1g

Abbildung 2: Der Strahlkegel mit halbem Ö�nungswinkel 1 beschreibt für 1 � 1 in der Einheitskugeleine Fläche � � 2

1

Wenn für den halben Ö�nungswinkel des Strahlkegels (Abb. 2) 1 � 1 gilt, so ist AN1 � 1 ( sin x � xfür x � 1 ). Der Raumwinkel ist dann:

1 = � 21 � �A2

N1 (13)

Bei Antennen ist der Gewinn Giso de�niert als das Verhältnis des Raumwinkels des gesamten Raums( 4�=Ober�äche der Einheitskugel) zum bestrahlten Raumwinkel:

Giso =4�1

(14)

) F1

Giso= F1 � A

2N14

=�2

4�(15)

wobei sich F1 als Antennenwirk�äche interpretieren lässt. Dieses Verhältnis zwischen Wirk�äche F1

und Gewinn Giso entspricht genau der in "Hochfrequenztechnik I" abgeleiteten Beziehung.

Innerhalb der minimalen Fläche F1min in Gl. (12) lassen sich Details nicht mehr au�ösen. Unter An-nahme einer Kreis�äche erhält man mit F1min = �d2

min=4 die Au�ösungsgrenze:

dmin =2��AN1

(16)



Die gleiche Beziehung erhält man aus der Gleichung

�0 � w0 =�n � � (17)

aus dem Kapitel STR mit AN � n � �0 und dmin = 2w0 .

dmin =2��AN

(18)

Die Au�ösungsgrenze dmin gibt sowohl an, inwieweit Details aufgelöst werden können, als auch bis zuwelcher minimalen Gröÿe ein Strahl fokussiert werden kann.Beispiel: Bei einer typischen numerischen Apertur AN = 0; 3 und einer Wellenlänge � = 0; 6 µm istdie minimale Au�ösungsgrenze durch dmin � 1 µm gegeben.

2 Verkopplung von vielmodigen StufenfasernAbb. 3 zeigt die Verkopplung von zwei Stufenfasern mit einem Versatz von �x zwischen den Fasern.Es soll hier zunächst angenommen werden, dass die Fasern 1 und 2 sehr viele Eigenwellen führen, sodass die geometrische Optik anwendbar ist.

F a s e r 1 F a s e r 2

a 1a 2

g1gg2g

Abbildung 3: Verkopplung von Stufenfasern

Entsprechend Gl. (8) gilt bei Abbildungen, dass das Produkt aus strahlender Fläche und dem Quadratder numerischen Apertur

F1 � A2N1 = � � a2

1 � sin2( 1g) (19)

auch bei Abbildung erhalten bleibt. Die verlustfreie Abbildung von Faser 1 in Faser 2 ist nur für

a21 sin2( 1g) � a2

2 sin2( 2g) (20)

möglich. Andernfalls beträgt bei gleichmäÿiger Ausleuchtung von Faser 1 der maximale Koppelwir-kungsgrad

�max =

(a2 sin( 2g)a1 sin( 1g)

)2

=

(a2AN2

a1AN1

)2

(21)



bzw. mit der Anzahl der geführten Wellen in Faser 1 und 2 (M1, M2)

�max =

M2

M1für M2 < M1

1 sonst(22)

Auch für Gradientenfasern ist dies der maximal erreichbare Koppelwirkungsgrad.

2.1 Stoÿkopplung von Stufenfasern


a 1 a 2xD xD

a 1

a 2

F 1

F 2

F 1 2

( a ) ( b )

yx

Abbildung 4: Stoÿkopplung von Stufenfasern mit Versatz �x von der Seite (a) und im Querschnitt(b)

Es soll der Wirkungsgrad der Stoÿkopplung zwischen zwei Stufenfasern bestimmt werden, die einenVersatz von �x zwischen ihren Mittelpunkten aufweisen (Abb. 4). Die beiden Fasern seien durch ihreKernradien (a1, a2) und numerischen Aperturen (AN1, AN2) charakterisiert. Der Koppelwirkungsgradvon Faser 1 nach Faser 2 ist dann gegeben durch

�12 = �F � � (23)

Dabei ist

�F =F12

F1= Flächenüberlappung (24)

� =

1 für AN2 � AN1(AN2

AN1

)2

für AN2 < AN1

= Raumwinkelüberlappung (25)

Beispiel: Bei der Verbindung gleicher Stufenfasern (a1 = a2 = a, AN1 = AN2) gilt für einen Versatz,der sehr viel kleiner ist als der Kernradius der Stufenfasern (�x � a)

� = 1� �x2a�

(26)

Eventuelle Verluste durch Re�exionen sind dabei vernachlässigt.



3 Stoÿkopplung zwischen vielmodigen GradientenfasernZunächst wird angenommen, dass die Gradientenfaser nicht am Fasermittelpunkt, sondern an derStelle r mit einem Strahlkegel mit dem Ö�nungswinkel (r) beleuchtet wird (Abb. 5).

2 ar)r(g )r(q

Abbildung 5: Die Gradientenfaser wird an der Stelle r mit einem Strahlkegel (Ö�nungswinkel (r))beleuchtet.

Bei der Einkopplung wird der Strahl unter dem Winkel (r) in einen eingekoppelten Strahl mit demWinkel �(r) gebrochen (nach Maÿgabe des Snellius'schen Brechungsgesetzes, sin( (r)) = n(r) �sin(�(r)) ). Jedem Winkel �(r) lässt sich nun eine Eigenwelle mit der Phasenkonstante

� = n(r)k0 cos(�(r)) (27)

zuordnen. Da bei geführten Wellen � > n2k0 ist, folgt

cos(�(r)) >n2

n(r)(28)

und damit

sin( (r)) = n(r) � sin(�(r)) = n(r) �√

1� cos2(�(r)) <√n2(r)� n2

2!= ANl(r) = sin( m(r)) (29)

Dabei ist ANl(r) die lokale numerische Apertur und m(r) der maximale Akzeptanzwinkel, beides inAbhängigkeit von der radialen Position r des Strahlkegels. Es ist:

ANl(0) = AN =√n2

1 � n22 mit n1 = n(r)jr=0 (30)

Entsprechend Abb. 6 lässt sich die lokale numerische Apertur als Funktion von r darstellen, wobei dieseDarstellung auch als Phasenraumdiagramm bezeichnet wird. Der Flächeninhalt unter dem Graphen inAbb. 6 ist bestimmt durch

F =a2∫

0

A2Nl(r) d(r2) = 2

a∫

0

(n(r)2 � n2

2

)r dr =

2k2

0M =

�2

2�2M (31)

und ist damit proportional zur Anzahl der von der Faser geführten Wellen.



a 2

22

21 nn -

) )(( s i n 2 rg

r 2

( )( ) ( ) ( ) 22

22m

2 r s i n nrnrA N l -==g

Abbildung 6: Die lokale numerische Apertur A2Nl in Abhängigkeit vom radialen Ort r in einem Phasen-

raumdiagramm. Der schra�erte Bereich stellt dabei die für eine Einkopplung erlaubten Winkel (r)dar.

3.1 Bestimmung des KoppelwirkungsgradesDie Berechnung des Koppelwirkungsgrades ist ähnlich wie bei der Stufenfaser. Die numerische Aperturist nun jedoch ortsabhängig. Für die Kopplung von Faser 1 nach Faser 2 (vergl. Abb. 4) ergibt sichder Koppelwirkungsgrad � zu

� =∫∫S(x; y)�(x; y) dx dy∫∫

S(x; y) dx dy(32)

S(x; y) ist die Leistungsdichte in Faser 1 an der Stelle (x,y) und �(x; y) ist der lokale Koppelwirkungs-grad, für den gilt

�(x; y) =

1 für ANl2(x; y) � ANl1(x; y)

A2Nl2A2Nl1

für ANl2(x; y) < ANl1(x; y)(33)

ANl1 und ANl2 bezeichnen dabei jeweils die lokalen numerischen Aperturen der Fasern 1 und 2. Im allge-meinen nimmt man an, dass die Faser gleichmäÿig ausgeleuchtet wird (entspricht einer gleichmäÿigenAnregung aller Eigenwellen), so dass dann gilt (ohne Beweis):

S(r) � A2Nl(r) = n2(r)� n2

2 : (34)

Ein Beispiel ist die Kopplung von zwei gleichen Fasern mit einem Potenzpro�l und einem Versatz�x � a. Der Koppelwirkungsgrad ist in diesem Fall

� = 1� �x2a�� g + 2g + 1

(35)

Für den Grenzfall g !1 (Stufenpro�l) geht Gl. (35) in Gl. (26) über.

Ein Sonderfall ist die Verkopplung von zwei verschiedenen Fasern ohne Versatz (�x = 0). Hier gilt:r1 = r2 = r , so dass der Koppelwirkungsgrad mit Hilfe des Phasenraumdiagramms in Abb. 7 bestimmt



werden kann. Die Fasern seien folgendermaÿen dimensioniert:Faser 1: a1, AN1

Faser 2: a2 < a1, AN2 > AnN1

2r

( )( )rs i n 2 g22NA

21NA

22a 2

1a

F a s e r 2 , F l ä c h e F 2

F a s e r 1 , F l ä c h e F 1

F l ä c h e F 1 2

Abbildung 7: Bestimmung des Koppelwirkungsgrades � mit Hilfe des Phasenraumdiagramms

Der Koppelwirkungsgrad lässt sich dann beschreiben als

1. Faser 1 ! Faser 2:� =

F12

F1(36)

2. Faser 2 ! Faser 1:� =

F12

F2(37)

Durch Abbildungen z.B. mit Hilfe von Linsen lässt sich der Koppelwirkungsgrad bis zu �max nach Gl.(22) erhöhen (z.B. mit Linsensteckern).

4 Abbildung von Gauÿ'schen StrahlenZunächst soll untersucht werden, wie eine sphärische Linse mit der Brennweite f ein einfallendes Feldverändert.Die Funktion einer Linse besteht bezüglich eines einfallenden elektromagnetischen Feldes ausschlieÿlichdarin, eine ortsabhängige Phasenänderung herbeizuführen. Eine sphärische Linse führt dabei zu einerPhasenänderung proportional zu r2, wobei r den lateralen Abstand zur Linsenmitte beschreibt.Wenn mit Ex1 das Feld unmittelbar links neben der Linse bezeichnet wird, dann gilt für Ex2 unmittelbarrechts neben der Linse:

Ex2(r; ') = Ex1(r; ') exp

(�jP0 + j

k0r2

2f

)(38)



e i n f a l l e n d e s F e l d

),r(E 1x j ),r(E 2x j

Abbildung 8: Durchgang eines Feldes durch eine Linse

Dabei ist P0 die Phasenverschiebung für r = 0. Die Phasenänderung mit r2 wird durch den Vorfaktork02f bestimmt, wobei f die Brennweite der Linse charakterisiert, was im folgenden noch genauer deut-lich wird. Re�exionen an der Linse werden vernachlässigt.

2 w 1 0 2 w 2 0

z 1 z 2

a b

- R 2 ( - b )R 1 ( a )

Abbildung 9: Transformation eines Gauÿ'schen Strahls mit einer Sammellinse

Im folgenden soll nun die Abbildung eines Gauÿ'schen Strahls behandelt werden. Eine solche Abbildungist schematisch in Abb. 9 skizziert, wobei mit der axialen Koordinate z1 der Gauÿ'sche Strahl linksvon der Linse und mit z2 der Gauÿ'sche Strahl rechts von der Linse beschrieben werden soll. DerFleckradius der einfallenden Welle (Medium Luft: n = 1 ) am Ort z1 wird beschrieben durch (sieheauch Abb. 9)

w1(z1) = w10

√√√√1 +

(�z1

�w210

)2

(39)



Der Krümmungsradius der Phasenfront ist

R1(z1) = z1

1 +

(�w2

10�z1

)2 (40)

Mit der Felddarstellung aus dem Kapitel STR folgt daraus

Ex1(z1 = a) = E10 exp

(�jP1 � jk0

r2

2R1(a)� r2

w21 (a)

)(41)

und mit Gl. (38) folgt nach dem Durchgang durch die Linse

Ex2(z2 = �b) = E10 exp

(�jP2 � jk0

r2

2R2(�b)� r2

w22 (�b)

)(42)

mit P2 = P0 +P1 und w1(a) = w2(�b) , d.h. das Feld hat die gleiche radiale Ausdehnung unmittelbarvor und nach der Linse. Auÿerdem folgt für die Krümmungsradien:

1R2(�b)

=1

R1(a)� 1f

(43)

Für Abbildungen wie in Abb. 9 hat R1(a) positives und R2(�b) negatives Vorzeichen, d.h. für einesolche Abbildung muss gelten R1(a) > f .Als Beispiel seien 2 Fasern mit den Fleckradien w10 und w20, sowie eine Linse der Brennweite fvorgegeben. Gesucht sind nun die Abstände a und b für eine optimale Abbildung.Gemäÿ Kapitel STR lässt sich sowohl dem Strahl links der Linse ein q1(z1) und dem Strahl rechts derLinse ein q2(z2) zuordnen. In Verallgemeinerung von Gl. (43) gilt

1q2(�b)

=1

q1(a)� 1f

(44)

und es folgt

q1(a) = q10 + a mit q10 = j� � w2

10�

(45)

q2(�b) = q20 � b mit q20 = j� � w2

20�

(46)

Nach Einsetzen in Gl. (44) folgt:

(q10 + a)f = (q20 � b)f � (q10 + a)(q20 � b) (47)

Die Betrachtung des Realteiles von Gl. (47) führt auf die Gleichung

a � f = �b � f + a � b + f 20 (48)

mitf0 =

p�q10 � q20 =� � w10 � w20

�(49)



Mit den Fernfeldwinkeln �10 = ��w10

und �20 = ��w20

lässt sich f0 auch schreiben als

f0 =�

� � �10 � �20(50)

Nach Division durch a, b und f folgt aus Gl. (48) die Abbildungsgleichung für Gauÿ'sche Strahlwellen

1a

+1b

=1f

+f 20

a � b � f (51)

Für f0 ! 0 (d.h. �! 0 in Gl. (50)) geht Gl. (51) in die geometrisch optische Abbildungsgleichung(1) über. Damit ist geklärt, dass f in Gl. (38) wirklich die Brennweite der Linse darstellt.Die Betrachtung des Imaginärteiles von Gl. (47) führt auf

q10f = q20f + q10b � q20a (52)

Daraus folgtw2

10 � (f � b) = w220 � (f � a) (53)

Aus Gl. (51) und Gl. (53) folgt schlieÿlich

a = f � w10

w20

√f 2 � f 2

0 (54)

b = f � w20

w10

√f 2 � f 2

0 (55)

In Gl. (54) und Gl. (55) muss jeweils das gleiche Vorzeichen gewählt werden. Für eine möglichstkompakte Abbildung sollte f = f0 gewählt werden, was zu a = b = f führt.Beispiel: Das Licht eines HeNe-Lasers mit w10 = 0; 5mm und � = 0; 63 µm soll in eine einwelligeFaser mit w20 = 5 µm gekoppelt werden. Es ergibt sich ein f0 = 12; 5mm , so dass dann für einemöglichst kompakte Abbildung auch f � f0 gewählt werden sollte mit a = b = f0 = 12; 5mm .

4.1 Stoÿkopplung von einwelligen Fasern

xDr 1

r 2


( )jy ,re

Abbildung 10: Stoÿkopplung zwischen einwelligen Fasern mit Versatz �x



Die sich in Faser 1 ausbreitende Welle fällt auf die Stirn�äche von Faser 2. Re�exionsverluste werdenvernachlässigt. Die Feldverteilung e(r; ') der einfallenden Welle sei an der Stirn�äche von Faser 2vorgegeben. Zunächst gilt in Faser 2 allgemein für Eigenwellen der Ordnung � mit der Feldverteilung � und der Ausbreitungskonstanten �� die Di�erentialgleichung

4t � +(n2(r)k2

0 � �2�

) � = 0 (56)

Für Eigenwellen mit unterschiedlicher Ausbreitungskonstante und reellem n(r) gilt die Beziehung (Or-thogonalität der Wellen) ∫∫

A

� �� dA = 0 für � 6= � , (57)

wobei A die Querschnitts�äche der Faser ist (Beweis siehe Anhang). Es soll sich zwar hier um einwelligeFasern handeln, aber die Feldverteilungen � sollen auch Wellen beschreiben, die sich im Fasermantelausbreiten (sogenannte Mantelwellen).Da die Feldverteilung des einfallenden Feldes e im allgemeinen nicht mit der Feldverteilung 0 derGrundwelle in der Faser 2 übereinstimmt, wird die Feldverteilung des einfallenden Feldes in der Faser2 entwickelt nach den Eigenwellen der Faser 2 gemäÿ

e(r; ') =∑�C� �(r; ') (58)

Dabei ist C� der Anregungskoe�zient für die Eigenwelle der Ordnungszahl �. Wenn C� = 0 ist, wirddie entsprechende Eigenwelle in Faser 2 nicht angeregt. Gl. (58) wird nun mit ��(r; ') multipliziertund über den Querschnitt A integriert.

∫∫

A

e � �� dA =∑�C�∫∫

A

� � �� dA (59)

wobei auf der rechten Seite von Gl. (59) wegen Gl. (57) alle Terme bis auf den Term mit � = � zuNull werden, so dass sich aus Gl. (59) für den Anregungskoe�zienten C� ergibt:

C� =

∫∫A e �� dA

∫∫A � �� dA (60)

Mit Gl. (60) sind die Anregungskoe�zienten für alle Wellen in Faser 2 berechenbar. Für die einwelligeFaser interessiert die Grundwelle mit � = 0 und C� ! C0 . Die Leistung des einfallenden Feldes ist

Pe =12

∫∫

A

Ex �H�y dA � 12ZF1

∫∫

A

j e j2 dA (61)

mit dem Feldwellenwiderstand in Faser 1 ZF1 = 1n1

√�0"0

. Die Brechzahl n1 ist die repräsentativeBrechzahl für Faser 1. Die geführte Leistung in der Grundwelle in Faser 2 ist analog

P0 =1

2ZF2

∫∫

A

jC0 0j2 dA (62)



Bei gleichen Fasern ( n1 � n2 ) und Vernachlässigung der Re�exionsverluste gilt ZF1 � ZF2 . Damitergibt sich der Koppelwirkungsgrad zu

� =P0

Pe= jC0j2

∫∫Aj 0j2 dA

∫∫Aj e j2 dA

=

∣∣∣∣∣∫∫A e �0 dA

∣∣∣∣∣2

∫∫Aj e j2 dA � ∫∫

Aj 0j2 dA

(63)

Beispiel: Es soll der Koppelwirkungsgrad zwischen zwei einwelligen Fasern ohne Versatz (�x = 0 )bestimmt werden. Die Feldverteilungen seien

e = exp

(� r2

w21

)(64)

0 = exp

(� r2

w22

)(65)

Dann ist der Koppelwirkungsgrad

� =

∣∣∣∣∣∣1∫0

exp

(�r2

(1w2

1+ 1

w22

))r dr

∣∣∣∣∣∣

2

1∫0

exp(�2r2

w21

)r dr � 1∫

0exp

(�2r2

w22

)r dr

(66)

Mit 1∫

0

exp(�ar2

)r dr =

12a

(67)

(siehe Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik) lassen sich die Integrale in Gl. (66)lösen und es ergibt sich:

� =

(2 � w1 � w2

w21 + w2

2

)2

(68)

Bei einem zusätzlichen Versatz �x gilt

� =

(2 � w1 � w2

w21 + w2

2

)2

exp

(�2 � �x2

w21 + w2

2

)(69)

5 AnhangUm die Gl. (57) zu beweisen, wird zunächst Gl. (56) mit �� multipliziert und es ergibt sich

�� 4t � +(n2(r)k2

0 � �2�

) � �� = 0 (70)

Gl. (56), geschrieben für �� und multipliziert mit �, ergibt

� � 4t �� +(n2(r)k2

0 � �2�

) �� = 0 (71)



Die Di�erenz zwischen Gl. (70) und Gl. (71) ist

�� 4t � � � � 4t �� +(�2� � �2

�

) � �� = 0 (72)

Entsprechend den Rechenregeln der Vektoranalysis (vergl. VL "Theoretische Elektrotechnik") gilt

r(' � r ) = ' � 4 +r' � r (73)

Daraus folgt �� 4t � � � � 4t �� = rt ( �� rt � � � � rt ��) (74)

Der Index "t" bedeutet, dass nur transversale Komponenten berücksichtigt werden. In Anlehnung anden Gauÿ'schen Satz gilt: ∫∫

A

rt~V dA =∮

A

~V ~ds (75)

A stellt die Querschnitts�äche der Faser dar und das Längenelement ~ds erstreckt sich entlang derBegrenzungskontur von A. Da � ; � ! 0 für r !1 führt die Integration über A von Gl. (72) mitGl. (74) zu (

�2� � �2

�

) �∫∫

A

� �� dA = 0 (76)

Damit ist Gl. (57) bewiesen.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/1

Grundlagen von Laser und LED (L)

In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen von Emissions- und Absorptionsprozessen inHalbleitern behandelt.

1 Beschreibung von Photonen und ElektronenFür die optische Übertragungstechnik werden bevorzugt Halbleiterlichtquellen verwendet, da diese einehohe Leistungsdichte sowie eine gute Modulierbarkeit aufweisen. Sie basieren auf der Wechselwirkungzwischen optischer Strahlung (Photonen) und den Elektronen im Halbleiter. Die Elektronen werdenim allgemeinen mit deren Energie und Impuls charakterisiert. Für Photonen gelten ähnliche Zusam-menhänge.

Energie eines Photons: Wphot = h� (1)

Impuls eines Photons: pphot =h � �c

=h

2�︸︷︷︸~

� 2��c︸︷︷︸k0

(2)

(h-Planck'sches Wirkungsquantum, h = 6; 626 � 10�34 Ws2 ) oder vektoriell:

~pphot = ~ � ~k: (3)

Damit ist der Impuls unmittelbar mit dem Wellenvektor ~k verknüpft. Diese Verknüpfung entsprechendGl. (3) gilt dabei auch für Elektronen.Anschauliche Begründung für Gl. (2) (Vorsicht!):

Spezielle Relativitätstheorie: W = m � c2

Impuls eine Photons: p = m � c

) p =

Wc

(4)

In einem Festkörper lässt sich auch den Elektronen eine Energie und ein Impuls, bzw. eine Wellenzahlzuordnen. Die Wellenzahl beschreibt dann den Schwingungszustand der Elektronen im Kristall.In einem Kristallgitter mit der Gitterkonstante a0 gibt es verschiedene Schwingungszustände der Elek-tronen:

∣∣∣~k∣∣∣ = 0 ) Gleichphasige Schwingung aller Elektronen

∣∣∣~k∣∣∣ =

�a0

) Gegenphasige Schwingung von Elektronen benachbarter Gitterpunkte∣∣∣~k∣∣∣ < �

a0) 1. Brillouin-Zone

Der Impuls eines Elektrons ist wie beim Photon: ~pElektron = ~~k . Die Elektronenenergie W ist vonder Wellenzahl ~k abhängig. Dies gilt sowohl für gebundene Elektronen (Valenzband) als auch für freieElektronen (Leitungsband). Beispiele für W (k)-Verläufe verschiedener Halbleiter zeigt Abb. 1.



Abbildung 1: Bänderstruktur von Ge, Si und GaAs (Bild aus: Sze, Physics of Semiconductor Devices)

Die sogenannten Miller-Indizes [111] und [100] bezeichnen die Kristallrichtungen, in die der Wellen-vektor ~k zeigt. Die Stelle W = 0 in Abb. 1 entspricht der Oberkante des Valenzbandes.Bei Übergängen zwischen Leitungs- und Valenzband müssen Energie und Impuls erhalten bleiben. EinVergleich des Impulses (bzw. der Wellenzahl) von Photon und Elektron ergibt:

1. Ein Photon mit der Wellenlänge � = 1 µm hat die Wellenzahl∣∣∣~k∣∣∣ = 2� n� = 6; 28 � 106 n

m .

2. Bei einem Elektron ist 0 <∣∣∣~k∣∣∣ < �

a0mit einer Gitterkonstante im Bereich a0 � 0; 5:::0; 7 nm.

Dies führt zu einer Wellenzahl in der Gröÿenordnung∣∣∣~k∣∣∣ � 5 � 109 m�1 .

Der Impuls eines Photons ist also sehr viel kleiner als der eines Elektrons.Ein Elektron soll nun bei Emission eines Photons von einem Zustand 2 im Leitungsband auf einenZustand 1 im Valenzband übergehen. Aus der Energie- und Impulserhaltung folgt

W2 = Wphot +W1 (5)~k2 = ~kphot + ~k1 (6)

Wegen∣∣∣~kphot

∣∣∣�∣∣∣~k1

∣∣∣ ;∣∣∣~k2

∣∣∣ gilt:~k1 � ~k2 (7)

Bei Gültigkeit von Gl. (7) spricht man auch von einem direkten Übergang. Bei alleiniger Wechselwir-kung von Elektron und Photon sind nur direkte Übergänge möglich. Halbleiter, bei denen das Ener-gieminimum des Leitungsbandes und das Energiemaximum des Valenzbandes gleiche Wellenvektoren



P h o n o n

P h o t o n

-

+

WG

k

V a l e n z b a n d

L e i t u n g s b a n d

Abbildung 2: Strahlende Rekombination in einem indirekten Halbleiter mit Erzeugung eines Phonons

aufweisen, werden als direkte Halbleiter bezeichnet. So ist z.B. in Abb. 1 GaAs ein direkter Halbleiter,während Si und Ge indirekte Halbleiter sind.Wird beim Übergang eines Elektrons vom Leitungs- ins Valenzband ein Photon emittiert, so sprichtman von strahlender Rekombination. In indirekten Halbleitern ist dies nur möglich, wenn gleichzeitigein Phonon (Gitterschwingung) mit geeigneter Wellenzahl k erzeugt wird (siehe Abb. 2). Dies machtdie strahlende Rekombination im indirekten Halbleiter sehr viel unwahrscheinlicher als im direktenHalbleiter.Eine strahlungslose Rekombination ist z.B. durch sogenannte Auger-Prozesse möglich (siehe Abb.3). Dabei führt die Rekombination eines Elektrons zu einem energetischen Anheben eines weiterenElektrons, welches seine Energie allmählich durch Stöÿe mit dem Gitter wieder abgibt. Dies führt zueiner Erwärmung des Gitters.

Abbildung 3: Auger-Prozesse in einem direkten Halbleiter mit parabolischen Bändern. (Bild aus: Win-stel, Weyrich, Optoelektronik I)



2 HalbleitermaterialienIn direkten Halbleitern überwiegt die strahlende Rekombination, während bei indirekten Halbleitern imwesentlichen strahlungslose Rekombination vorliegt. Für Halbleiterlichtquellen in der optischen Nach-richtentechnik werden daher nur direkte Halbleiter verwendet. Für einen Halbleiter wird eigentlich einElement aus der Gruppe IV des Periodensystems, z.B. C, Si oder Ge, benötigt. Bei diesen Halbleiternhandelt es sich allerdings um indirekte Halbleiter, so dass sie für eine e�ziente Lichtemission nichtverwendet werden können.Um Elemente der Gruppe IV anderweitig nachbilden zu können, werden stattdessen auch Mischkristal-le verwendet, z.B. durch Kombination der Gruppe III und der Gruppe V des Periodensystems. DieseHalbleiter werden als III/V-Halbleiter bezeichnet (Es gibt aber auch z.B. II/VI-Halbleiter). Unter Ver-wendung der Elemente Al, Ga und In aus der Gruppe III und P, As und Sb aus der Gruppe V gibt esbeispielsweise die folgenden neun Kombinationsmöglichkeiten für binäre III/V-Halbleiter (binär = mit2 Elementen):

AlP, AlAs, AlSb, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, InSb.

Diese neun binären III/V-Halbleiter sind in Abb. 4 durch Punkte dargestellt.Auch bei diesen binären Halbleitern ist jeweils die Bandlückenenergie WG und die Gitterkonstante a0

festgelegt. Um eine gröÿere Flexibilität zu erreichen, ist der Übergang zu ternären (3 Elemente) odersogar quaternären (4 Elemente) III/V-Halbleitern möglich.Die Verbindungslinien zwischen den binären III/V-Halbleitern in Abb. 4 geben ternäre Halbleiter an,wobei durchgezogene Linien direkten Halbleitern und gestrichelte Linien indirekten Halbleitern entspre-chen.Von besonderer Bedeutung ist der ternäre Mischkristall Ga1�xAlxAs (x bezeichnet den Anteil, zudem Ga durch Al ersetzt wird). Wie Abb. 4 zeigt, ist das besondere an diesem Mischkristall, dassdie Gitterkonstante sich mit variabler Substitution von Ga durch Al nur geringfügig ändert. Damitist Ga1�xAlxAs mit seiner Gitterkonstanten für alle x von vornherein gut an GaAs angepasst undkann deshalb gut auf GaAs-Substrate aufgewachsen werden (Epitaxie). Für x < 0; 36 ergibt sich eindirekter Halbleiter, während sich für x > 0; 36 ein indirekter Halbleiter ergibt.GaAs hat einen Bandabstand WG = 1; 43 eV . Dies entspricht einem Photon mit der Wellenlänge� = 0; 868 µm . Ga0;64Al0;36As hat einen Bandabstand WG = 1; 92 eV , was einem Photon der Wel-lenlänge � = 0; 646 µm entspricht. Mit dem ternären Mischkristall GaAlAs lassen sich deshalb Halb-leiterlichtquellen mit

0; 646 µm < � < 0; 868 µm

realisieren.Für die Realisierung von Lichtquellen im Bereich von � � 1; 3 µm oder � � 1; 55 µm (Minimum derchromatischen Dispersion bzw. der Dämpfung von Quarzglasfasern) ist die Verwendung eines ternären



Abbildung 4: Darstellung der Gitterkonstante als Funktion des Bandabstandes WG (Bild aus: Gowar,Optical Communication Systems)



Mischkristalls mit binärem Substrat nicht ohne weiteres möglich, da beim Wachstum der epitaktischenSchichten die Gitterkonstante beibehalten werden sollte, um Gitterfehler zu vermeiden.Es gibt zwar Versuche des Wachstums von Ga1�xAlxSb auf GaSb, aber erfolgreicher sind hier qua-ternäre Mischkristalle. Von besonderer Bedeutung ist dabei der quaternäre Mischkristall InGaAsP(schra�erter Bereich in Abb. 4). Bei Verwendung von InP als Substrat wird beim quaternären Misch-kristall In1�xGaxAsyP1�y der Anteil y (y gibt den Anteil an, zu dem P durch As ersetzt wird) undAnteil x (x bezeichnet den Anteil, zu dem In durch Ga ersetzt wird) so einander zugeordnet, dass dieGitterkonstante an die Gitterkonstante von InP angepasst ist. Eine empirische Beziehung ist:

x = 0; 4 � y + 0; 067 � y2 (8)

Unter der Voraussetzung der Gitteranpassung entsprechend Gl. (8) gilt als Zusammenhang zwischenBand- abstand WG und y

WG = (1; 35� 0; 738 � y + 0; 138 � y2) eV (9)

Abbildung 5: Atomverhältnisse von In1�xGaxAsyP1�y bei Gitteranpassung an InP mit der Gitterkon-stanten a = 0; 58685 nm in der [100]-Orientierung (Bild aus: Unger, Optische NachrichtentechnikII)

Bei Gitteranpassung an InP ist In1�xGaxAsyP1�y für alle y ein direkter Halbleiter.

Mit dem quaternären Mischkristall InGaAsP mit Gitteranpassung an InP lassen sich Halbleiterlicht-quellen mit

0; 92 µm < � < 1; 65 µm

realisieren.Beispiel: � = 1; 3 µm) In0;74Ga0;26As0;6P0;4



Abbildung 6: Bandabstand und Wellenlänge der Rekombinationsstrahlung von In1�xGaxAsyP1�y beiGitteranpassung an InP (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)

3 Photonenzustandsdichte

Abbildung 7: Quaderförmiges Halbleitervolumen V = ax � ay � az

Vor der Diskussion der Wechselwirkung zwischen Photonen und Elektronen soll zunächst in Analogiezur Elektronenzustandsdichte in Halbleitern eine Photonenzustandsdichte abgeleitet werden.Wir be-trachten dazu gemäÿ Abb. 7 ein quaderförmiges Halbleitervolumen mit den Kantenlängen ax , ay undaz . In einem solchen Halbleitervolumen sind elektromagnetische Schwingungszustände möglich, diebeispielsweise durch eine Feldfunktion mit

� sin(kxx) � sin(kyy) � sin(kzz) (10)

beschrieben werden. Dabei sind kx ,ky und kz die Wellenzahlen in x , y , bzw. z-Richtung (ähnlich KapitelEB, Gl. (3)), für die gilt:

k2x + k2

y + k2z = k2

0 � n2 =(

2��c

)2n2 (11)



mit der Brechzahl n im Halbleitervolumen in Abb. 7.Der mit Gl. (10) beschriebene Schwingungszustand ist gekennzeichnet durch Randbedingungen (ähn-lich dem Halbleiter oder Hohlraumresonator), z.B. = 0 am Rand des Quaders in Abb. 7, so dassgilt

kx =�axmx ; ky =

�aymy ; kz =

�azmz (12)

mit ganzzahligen mx , my und mz . Mit Gl. (11) und Gl. (12) ergibt sich dann ein Zusammenhangzwischen der Schwingfrequenz � und den Ordnungszahlen mx , my und mz :

(�ax

)2m2x +

(�ay

)2

m2y +

(�az

)2m2z =

(2��c

)2n2 (13)

Man kann nun die Anzahl der möglichen Ordnungszahltripel (mx , my , mz) und damit der Anzahl dermöglichen Schwingungszustände dZ angeben, die zu einer Schwingfrequenz zwischen � und � + d�führen, wobei sich zunächst für eine Brechzahl n = 1 ergibt (vergl. auch H.G. Wagemann, A. Schmidt,"Grundlagen der optoelektronischen Halbleiterbauelemente", Teubner, 1998):

dZ = 8� � Vc3 �

2 d� (14)

mit dem Volumen V = ax �ay �az . In Gl. (14) ist dabei berücksichtigt, dass zu jedem Ordnungszahltripel(mx , my , mz) zwei Schwingungszustände orthogonaler Polarisation gehören.Im Halbleiter mit der Brechzahl n und dem Gruppenindex N ist Gl. (14) zu modi�zieren zu

dZ = 8� � n2 � N � Vc3 �2 d� (15)

Für die Anzahl der Photonen in einem bestimmten Energieintervall ( h�; h� + d(h�) ) gilt

dZV

= 8� � n2 � N(h � c)3 (h � �)2 d(h � �) (16)

bzw. mit W = h � � , dW = d(h � �) :

dZV

= z(W ) � dW (17)

mitz(W ) = 8� � n2 � N �W 2

(h � c)3 (18)

wobei z(W ) als Photonenzustandsdichte bezeichnet wird. Gl. (18) gibt die Anzahl der elektromagne-tischen Schwingungen (= Anzahl der möglichen Schwingungszustände von Photonen) pro Energiein-tervall dW , bezogen auf das Volumen V an.



4 Emissions- und Absorptionsprozesse im direkten HalbleiterEs soll nun die Wechselwirkung zwischen einem Zustand 2 (Energie W2) im Leitungsband und einemZustand 1 (Energie W1) im Valenzband mit jeweils gleicher Wellenzahl ~k (bzw. Impuls) entsprechendAbb. 8 betrachtet werden. Ein Übergang vom Zustand 2 zum Zustand 1 kann entweder spontan(spontane Emission) oder stimuliert (stimulierte Emission) erfolgen. Ebenso ist das Anheben einesElektrons vom Zustand 1 in den Zustand 2 unter Absorption eines Photons möglich.

4.1 Spontane Emission

W 2 0

W 1 0

W G

W = W 2 - W 1

W 1

W 2

W V ( k )

W L ( k )

W F p

W F n

W L , W v

k

Abbildung 8: Rekombination eines Elektrons

Erfolgt der Übergang des Elektrons von Zustand 2 im Leitungsband zu Zustand 1 im Valenzbandspontan und ohne Einwirkung eines externen elektromagnetischen Feldes, so spricht man von spontanerEmission.Rsp(W ) heiÿt spontane Emissionsrate. Sie bezeichnet die Anzahl der pro Zeiteinheit emittierten Pho-tonen der Energie W in einer bestimmten Eigenschwingung.Rsp ist proportional dem Produkt der Anzahl der besetzten Zustände in Zustand 2 und der Anzahl derunbesetzten Zustände in Zustand 1. Die spontane Emissionsrate ergibt sich so zu

Rsp(W ) = A21DL(W2)DV (W1)fL(W2)(1� fV (W1)) (19)

DL(W2) und DV (W1) sind die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw. Valenzband und A21

ist eine Proportionalitätskonstante.fL(W2) ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des Energieniveaus W2 im Leitungsband. Diese entsprichtder Fermiverteilung

fL(W2) =

exp

(W2 �WFn

kBT

)+ 1

�1

(20)

mit der Boltzmann-Konstante kB = 1; 38 � 10�23 WsK und dem Quasiferminiveau WFn. In Abb. 8

handelt es sich nicht um ein thermodynamisches Gleichgewicht, daher ist das Quasiferminiveau für das



Leitungsband unterschiedlich vom Quasiferminiveau des Valenzbandes (WFn 6= WFp ). Dies wird z.B.durch die Injektion von Ladungsträgern erreicht. Die Besetzungswahrscheinlichkeit des EnergieniveausW1 im Valenzband ist

fV (W1) =

exp

(W1 �WFp

kBT

)+ 1

�1

(21)

Es soll nun die spektrale Abhängigkeit von Rsp(W ) und damit die spektrale Breite der spontanenEmission genauer abgeschätzt werden.

~ e x p ( - W / kBT )

WG

fL( 1 - f

V)

W

W

G

W

DLD

V

Abbildung 9: Die einzelnen Anteile der spontanen Emissionsrate Rsp(W )

Wir nehmen zunächst an, dass sich die Quasi-Ferminiveaus innerhalb der Bandlücke be�nden, so dass

W2 �WFn � kBT (22)

undWFp �W1 � kBT (23)

gilt. Für fL(W2) gilt dann näherungsweise

fL(W2) � exp

(�W2 �WFn

kBT

)(24)

und für 1� fV (W1) gilt näherungsweise

1� fV (W1) � exp

(�WFp �W1

kBT

)(25)

und damit für das Produkt fL(1� fV ) in Gl. (19):

fL(W2) � (1� fV (W1)) � exp

(WFn �WFp

kBT

)� exp

(� WkBT

)(26)



wie auch in Abb. 9 schematisch dargestellt. Für die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw.Valenzband gilt bei parabolischen Bändern DL � pW2 �W20 und DV � pW10 �W1 , so dass sichdas Produkt

DL �DV �W �WG für W > WG

0 sonst(27)

ergibt (vergl. Abb. 9). Für die spektrale Form der spontanen Emission folgt dann aus Gl. (19)

Rsp(W ) � (W �WG) � exp

(� WkBT

)für W � WG (28)

entsprechend Abb. 10.

H a l b w e r t s b r e i t ec a . 2 - 3 k B T

W G W = h n = W 2 - W 1

R s p ( W )

Abbildung 10: Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate Rsp(W )

Eine direkte Auswertung von Gl. (28) führt zu einer spektralen Halbwertsbreite von �W = 2; 45�kBT ,was mit �W = h�� und T = 290K einer Spektralbreite von �� 15THz entspricht. Experimentellwerden bei lichtemittierenden Dioden Spektralbreiten von 2 � kBT bis 3 � kBT beobachtet.Rsp bezeichnet die spontane Emission in einem Schwingungszustand. Die gesamte spontane Emis-sionsrate Rsp, also die Anzahl der insgesamt pro Zeiteinheit emittierten Photonen erhält man nachIntegration über alle Schwingungszustände mit der Photonenzustandsdichte z(W ) als:

Rsp = V1∫

WG

Rsp(W )z(W ) dW (29)

4.2 Stimulierte Emission und AbsorptionWenn in einem Schwingungszustand Photonen vorhanden sind, können sie über die spontane Emissionhinaus durch Wechselwirkung mit den Elektronenzuständen des Halbleiters dazu beitragen, dass weiterePhotonen in dem gleichen Schwingungszustand generiert werden (stimulierte Emission) oder dassPhotonen dieses Schwingungszustands vernichtet werden (Absorption).



1. Stimulierte EmissionWenn ein in einem bestimmten Schwingungszustand im Halbleitervolumen V vorhandenes Pho-ton durch die Wechselwirkung mit dem Halbleiter den Übergang eines Elektrons vom Zustand 2in den Zustand 1 bei Emission eines Photons des gleichen Schwingungszustands auslöst, sprichtman von stimulierter Emission.Die stimulierte Emissionsrate Rstim(W ) ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der erzeugtenPhotonen pro Zeiteinheit mit der Energie W eines bestimmten Schwingungszustands zu derAnzahl der vorhandenen Photonen mit der Energie W des gleichen Schwingungszustands.Die stimulierte Emission ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand 2 mit Elektronenbesetzt und Zustand 1 unbesetzt ist. Ähnlich wie für die spontane Emissionsrate Rsp in Gl. (19)gilt

Rstim(W ) = B21DL(W2)DV (W1)fL(W2)(1� fV (W1)) (30)

mit der Konstanten B21.

2. AbsorptionEin im Halbleitervolumen V vorhandenes Photon wird absorbiert, indem ein Elektron von Zustand1 auf Zustand 2 angehoben wird.Die Absorptionsrate Rabs(W ) entspricht dem Verhältnis von pro Zeiteinheit absorbierten Pho-tonen der Energie W zur vorhandenen Anzahl von Photonen der Energie W .Die Absorption ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand 1 mit Elektronen besetzt undder Zustand 2 unbesetzt ist. Für die Absorptionsrate gilt

Rabs(W ) = B12DL(W2)DV (W1)fV (W1)(1� fL(W2)) (31)

Da die stimulierte Emission und die Absorption gleichwertige Prozesse darstellen, muss gelten: B12 =B21 . Darüber hinaus folgt aus Betrachtungen im thermodynamischen Gleichgewicht, dass der Koe�zi-ent B21 der stimulierten Emission gleich ist dem Koe�zienten A21 der spontanen Emission: B21 = A21

und damitRstim(W ) = Rsp(W ): (32)

Insgesamt gilt damitA21 = B12 = B21: (33)

Gl. (33) beschreibt die sogenannten Einstein-Beziehungen. Die Photonen innerhalb eines bestimmtenSchwingungszustands führen gemäÿ Rstim(W ) zur Erzeugung weiterer Photonen, und gemäÿ Rabs(W )zum Verlust von Photonen. Die Nettorate der stimulierten Emission Rst(W ) ist damit gegeben als

Rst(W ) = Rstim(W )� Rabs(W ) = B21DL(W2)DV (W1)(fL(W2)� fV (W1)) (34)

Interessant ist der Fall Rst > 0 ; dann werden durch vorhandene Photonen weitere Photonen erzeugtund somit eine einfallende optische Welle verstärkt. Dies wird beim LASER (light ampli�cation by



WW G W m

( W F n - W F p )

R s t

R s p

Rsp(W

),R

st(W

)

Abbildung 11: Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate Rsp(W ) und der Nettorate derstimulierten Emission Rst(W )

stimulated emission of radiation) ausgenutzt.Als Voraussetzung für eine Verstärkung gilt

Rst > 0 ) fL(W2)� fV (W1) > 0 (35)

Dies ist die Inversionsbedingung, d.h. dass die Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband für dasEnergieniveau W2 gröÿer sein muss, als die Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband für das Ener-gieniveau W1. Es ist:

fL(W2)� fV (W1) = fL(W2) � fV (W1)

(1

fV (W1)� 1fL(W2)

)(36)

und da fL(W2) > 0 und fV (W1) > 0 sind, folgt die Bedingung:

1fV (W1)

� 1fL(W2)

> 0 (37)

Mit Gl. (20) und Gl. (21) folgt:

1fV (W1)

� 1fL(W2)

= exp

(W1 �WFp

kBT

)� exp

(W2 �WFn

kBT

)> 0 (38)

und damit:W1 �WFp > W2 �WFn (39)

oder:WG < W = W2 �W1 < WFn �WFp (40)



W 2 0

W 1 0

2

1

V a l e n z b a n d

L e i t u n g s b a n d

W G

W F p

W F n

W L , W v

k

Abbildung 12: Bei diesem Übergang von 2 nach 1 ist die InversionsbedingungWG < W = W2 �W1 < WFn �WFp erfüllt und es ist Rst(W = W2 �W1) > 0 .

Gl. (40) stellt die Bedingung für Rst > 0 , also für Verstärkung dar (siehe Abb. 11); d.h der Abstandzwischen den Quasiferminiveaus muss gröÿer sein als der Bandabstand WG des Halbleiters (siehe Abb.12).Die Lage der Quasiferminiveaus hängt von der injizierten Ladungsträgerdichte ab, z.B. der Elektro-nendichte n. (Die Bezeichnung der Elektronendichte ist hier n und nicht wie üblich n, um sie von derBrechzahl unterscheiden zu können.) Die Elektronendichte ist

n =2V

1∫

W20

DL(W2)fL(W2) dW2 (41)

wobei der Faktor 2 in Gl. (41) die beiden möglichen Spin-Orientierungen berücksichtigt.Je gröÿer WFn, desto gröÿer ist fL(W2) und damit die Elektronendichte n. Die Inversion wird typi-scherweise bei Ladungsträgerdichten von n > 1018 cm�3 erreicht.Die obigen Überlegungen gelten für strenge ~k-Erhaltung und Band-Band-Übergänge. Tatsächlich sinddiese Annahmen nur bedingt erfüllt. Die prinzipiellen Zusammenhänge bleiben jedoch auch bei genaue-rer Betrachtung erhalten.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik LED/1

Lichtemittierende Dioden (LED)

Lumineszenzdioden und Halbleiterlaser werden in der optischen Nachrichtentechnik überwiegend alsDoppel-Heterostrukturdioden aufgebaut. Dabei ist die aktive Zone (hier rekombinieren die Ladungs-träger) von zwei Schichten mit einem gröÿerem Bandabstand WG umgeben. Der Name Doppel-Heterostruktur kommt daher, dass auf beiden Seiten der aktiven Zone ein Wechsel des Halbleiter-materials erfolgt (z.B. InGaAs-InP in Abb. 1).

U 0n - I n Pp - I n P n - o d e r p -

I n G a A s P( a k t i v e Z o n e )

E l e k t r o d e n

Abbildung 1: Beispiel einer Doppel-Heterostrukturdiode

In Abb. 1 ist eine derartige Diode dargestellt. Es handelt sich um eine pn-Diode, die in Flussrichtungbetrieben wird. Die Ladungsträger rekombinieren strahlend in der aktiven Zone. Bei Betrieb dieserDiode in Flussrichtung ergibt sich das Bändermodell einer solchen Doppel-Heterostrukturdiode gemäÿder Darstellung in Abb. 2. Eine Doppel-Heterostruktur zeichnet sich dadurch aus, dass die Bandab-stände der Heteroschichten WG1 und WG3 sehr viel gröÿer sind als der Bandabstand WG2 der aktivenZone.

I n G a A sn - I n P p - I n P

W F p W F n

d

W G 1 W G 2 W G 3

- - - - - - - -- -- -- -- -

- -

++++++++++ + +

Abbildung 2: Bändermodell in Fluÿrichtung

Bei einem reinen pn-Übergang ist die Inversionsbedingung WFn � WFp > WG nur bei sehr hohen



Strömen erreichbar. Der Trick der Doppel-Heterostruktur besteht darin, dass sowohl die Elektronenim Leitungsband als auch die Löcher im Valenzband Barrieren vor�nden, so dass nur in der sehr dünnenaktiven Zone der Dicke d gleichzeitig genügend Elektronen im Leitungsband und freie Plätze (Löcher)im Valenzband vorhanden sind, um eine hohe spontane und stimulierte Emission zu ermöglichen. DieDicke der aktiven Schicht beträgt bei LEDs typischerweise d � 1 µm. Bei Halbleiterlasern kann dieseDicke sogar bis auf wenige Nanometer (d.h. wenige Atomlagen) reduziert werden (siehe auch quantum-well-laser in Kapitel HL-STRUK). Dadurch kann auch bei geringen injizierten Stromdichten eine hoheLadungsträgerkonzentration in der aktiven Zone erzielt werden.

1 LumineszenzdiodenBei Lumineszenzdioden wird die Rekombination im wesentlichen durch die spontane Emission be-stimmt. Sie ist proportional zum Produkt aus Elektronendichte n im Leitungsband und der Löcher-dichte p im Valenzband.

Rsp � fL(1� fV ) � n � p (1)

Genauer:Rsp = V � B � n � p (2)

mit dem Rekombinationskoe�zienten B in der Gröÿenordnung von einigen 10�10 cm3

s .Unter der Annahme, dass n und p sehr viel gröÿer sind als im thermodynamischen Gleichgewicht, kannman die spontane Emissionsrate pro Volumen schreiben als (ohne Strominjektion):

RspV

= �dndt = �dpdt = B � n � p (3)

Man kann nun eine Bilanzgleichung für die Ladungsträger aufstellen gemäÿ

dpdt =

dndt = �Rsp

V+

Ie � V (4)

mit dem Injektionsstrom I. Das dynamische Modulationsverhalten einer LED lässt sich beschreibendurch die Lebensdauer der spontanen Emission �sp. Wenn sich z.B. die spontane Emission durchRsp=V = n=�sp beschreiben lässt, klingt beispielsweise die Ladungsträgerdichte n nach Abschaltendes Injektionsstroms I ( I = 0 ) gemäÿ

n = n0 � exp

(� t�sp

)(5)

ab, so dass damit die maximale Modulationsfrequenz ungefähr durch

fg � 12� � �sp (6)

gegeben ist.



1. Undotierte aktive Zone

Für eine undotierte aktive Zone gilt die Ladungsneutralität n = p und damit:dndt = �Rsp

V= �B � n2 != � n

�sp(7)

mit�sp =

1B � n (8)

Das heiÿt, dass die Lebensdauer bei zunehmender Ladungsträgerinjektion sinkt. Für eine schnelleModulierbarkeit ist also eine hohe Ladungsträgerinjektion (bzw. hohes n) erforderlich.Beispiel: Es sei n = 3 �1018 cm�3 und B = 2 �10�10 cm3

s . Dann ergibt sich eine Lebensdauer derspontanen Emission von �sp = 1; 7 ns.Eine derartige LED ist also bis ca. 100 MHz modulierbar.

2. Dotierte aktive Zone

In einer dotierten aktiven Zone müssen n und p nicht unbedingt sehr viel gröÿer als im thermo-dynamischen Gleichgewicht sein. Aus diesem Grund muss dann Gl. (7) modi�ziert werden.a) p-Dotierung mit der Akzeptor-Konzentration NA

p � n + NA (9)dndt = �B � n � p = �B � n � (n + NA) (10)

) �sp =1

B � (n + NA)(11)

b) n-Dotierung mit der Donator-Konzentration ND

n � p + ND (12)dpdt

= �B � p � (p + ND) (13)

) �sp =1

B � (p + ND)(14)

Für ND � p bzw. NA � n wird die Lebensdauer bei einer dotierten aktiven Zone weitgehendunabhängig von der Ladungsträgerkonzentration. Mit zunehmender Dotierung kann die LEDalso schneller moduliert werden. Dabei steigt allerdings auch die nichtstrahlende Rekombinationmit der Lebensdauer �ns . Bei hoher nichtstrahlender Rekombination ist es sinnvoll, eine e�ektiveLebensdauer �e einzuführen:

1�e

=1�sp

+1�ns

(15)



wobei bei hoher Dotierung �e relativ klein werden kann und damit eine hohe Modulationsfrequenzfg = 1

2��e erreicht wird (allerdings auf Kosten des Wirkungsgrades).

Abbildung 3: LED als Flächenemitter (Burrus-Diode)

Um eine gute Wärmeableitung zu gewährleisten, ist es wichtig, dass sich die aktive Zone nahe derWärmesenke be�ndet. Der Strom�uss muss auf einen Leucht�eck mit dem Durchmesser dL begrenztwerden. In Abb. 3 besteht die aktive Zone beispielsweise aus GaAs mit Heteroschichten aus GaAlAs aufeinem Substrat aus GaAs. Da für dieses Ausführungsbeispiel das Substrat für die Emissionswellenlängenicht transparent ist, wird in das Substrat ein Loch geätzt, in das die Faser eingeführt wird (Burrus-Diode). Die Lichtemission der LED in Abb. 3 erfolgt senkrecht zur Schichtenfolge. Eine solche LEDwird auch als Flächenemitter (surface-emitter) bezeichnet.Beispiel: Für eine typische Dimensionierung mit den Daten

dL = 30 µm Durchmesser des Leucht�ecksd = 0; 5 µm Dicke der aktiven ZoneI = 100mA Injektionsstrom

sollen n und �e (= �sp , mit der Annahme �ns =1 ) bestimmt werden.Das aktive Volumen ist V = �

4 � d2L � d = 3; 5 � 10�10 cm3 . Nach Gl. (4) und Gl. (7) gilt mit �e = �sp

im stationären Zustand ( ddt = 0):

n =�e � Ie � V (16)

Für eine undotierte Zone und �e = �sp gemäÿ Gl. (8) folgt aus Gl. (16)

n2 =I

e � V � B (17)

Mit B = 2 � 10�10 cm3

s , e = 1; 6 � 10�19 As und den oben angenommenen Daten folgt daraus eineLadungsträgerdichte n = 3 � 1018 cm�3 und damit eine e�ektive Lebensdauer �e = 1; 7 ns , was einerGrenzfrequenz fg � 100MHz entspricht.



2 Abgegebene optische LeistungDer Wirkungsgrad einer LED - also das Verhältnis von abgegebener optischer Leistung zu aufgenom-mener elektrischer Leistung - ist normalerweise relativ klein (Gröÿenordnung von einigen Prozent).Aufgrund der hohen Brechzahl der aktiven Zone ( n � 3; 5 ) wird der gröÿte Teil der spontanenEmission total re�ektiert und gelangt nicht aus dem Halbleiter heraus. Auch die nichtstrahlende Re-kombination senkt den Wirkungsgrad. Da die Gröÿe der nichtstrahlenden Rekombination von derDotierung abhängt, hängt auch die abgegebene Leistung der Diode von der Dotierung und damit vonder Grenzfrequenz fg der Diode ab (Abb. 4).

Abbildung 4: Abgegebene Leistung für Dioden unterschiedlicher Grenzfrequenz fg (Leucht�eckdurch-messer dL = 50 µm , I = 300mA)

Statt der abgegebenen Leistung P wird häu�g die Strahldichte SR angegeben. Sie ist de�niert alsdie emittierte Leistung pro Flächen- und Raumwinkeleinheit und hat die Dimension W

cm2sr ( sr= Ein-heit des Raumwinkels, eigentlich dimensionslos). Die LED als Flächenemitter weist eine LambertscheStrahlungscharakteristik auf (kreisförmiges Strahlungsdiagramm in Abb. 3):

S( ) = SR cos( ) (18)

Die gesamte emittierte Leistung beträgt damit

P0 =�4� d2L

∫S( ) d (19)

wobei die Integration in Gl. (19) über einen Halbraum erfolgt.



Daraus folgt (siehe auch Abb. 5)

P0 =�4� d2L � SR

�2∫

0

2� sin( ) cos( ) d =�2

4� d2L � SR (20)

g

1

g×g×p=W ds i n2dgd

Abbildung 5: Das Raumwinkelelement d

Beispiel: Mit den Werten SR = 100 Wcm2sr und dL = 50 µm ergibt sich eine gesamte emittierte Leistung

von P0 = 6; 2mW.

3 Kopplung von einer LED an eine StufenfaserEs wird zunächst angenommen, dass der Durchmesser des Leucht�ecks der LED gröÿer als der Durch-messer der Faser ( dL > 2a ) ist. Die LED und die Faser sollen dabei wie in Abb. 3 angeordnet sein.Die numerische Apertur der Faser soll genügend klein sein, so dass für alle Akzeptanzwinkel von einerkonstanten Leistungsdichte S( ) ausgegangen werden kann. Mit

� � a2 Fläche der Faser� � A2

N akzeptierter Raumwinkel

folgt für die in die Stufenfaser gekoppelte Leistung P1:

P1 = SR � �2 � a2 � A2N (21)

Beispiel: SR = 100 Wcm2sr , a = 25 µm , AN = 0; 2

) P1 = 0; 25mW (22)

Der Koppelwirkungsgrad ist bestimmt durch das Verhältnis von eingekoppelter Leistung P1 zur insge-samt emittierten Leistung P0.

� =P1

P0=

(2adL

)2

A2N für 2a � dL (23)

Ist der Durchmesser der Faser gröÿer als der Durchmesser des Leucht�ecks (2a � dL ), so gilt für dieeingekoppelte Leistung

P1 = SR

(� � dL

2

)2

A2N (24)



und mit Gl. (20) für den Koppelwirkungsgrad

� =P1

P0= A2

N (25)

Der Koppelwirkungsgrad von der LED in die Faser ist damit relativ klein. So ergibt sich beispielsweisefür AN = 0; 2 gemäÿ Gl. (25) ein Koppelwirkungsgrad von nur 4%.Inwieweit ist die eingekoppelte Leistung in die Faser durch geeignete Abbildung über Gl. (21) und (24)hinaus erhöhbar? Wir betrachten dazu ein allgemeines System gemäÿ Abb. 6.

F 1 , A N 1 F 2 , A N 2L e i s t u n g P 1 0 L e i s t u n g P 2 0

A b b i l d e n d e s S y s t e m

Abbildung 6: Kopplung von einer LED mit der Fläche F1 in eine Faser der Fläche F2 mit Hilfe einesabbildenden Systems

In Abb. 6 sei in einem verlustlosen System P10 die Leistung vor und P20 die Leistung nach demabbildenden System. Es gelte

P10 = P20 (26)

Wie bei der Kopplung von Fasern (Kapitel KOP) gilt die Abbildungsgleichung

F1A2N1 = F2A2

N2 (27)

Daraus folgt für die Strahldichten:

SR1 =P10

�F1A2N1

=P20

�F2A2N2

= SR2 (28)

Die Strahldichte bleibt also beim Durchgang durch verlustfreie optische Systeme erhalten. Insbesondereist damit die Strahldichte z.B. einer LED nicht erhöhbar. Daraus folgt:

1. Bei vorgegebener Strahldichte einer LED ist die maximal einkoppelbare Leistung durch Gl. (21)gegeben.

2. Ist der Durchmesser der Faser kleiner als der Durchmesser des Leucht�ecks (2a < dL ), so bringteine Abbildungsoptik zwischen LED und Faser keine Verbesserung.

3. Ist der Durchmesser der Faser gröÿer als der Durchmesser des Leucht�ecks (2a > dL ), so kanndurch eine vergröÿernde Abbildung die eingekoppelte Leistung maximal um den Faktor

(2adL

)2

erhöht werden.



Gl. (21) kann mitF1A2

N1 =�2

2�M (29)

verallgemeinert werden zu (M - Anzahl der Eigenwellen bzw. der Freiheitsgrade)

P1 = SR � �2

2�M (30)

Beispiel: Die einkoppelbare Leistung in eine einwellige Faser mit � = 0; 85 µm , SR = 100 Wcm2sr und

M = 2 ist P1 = SR � �2 = 0; 72 µW.Wegen dieser geringen Leistung ist die Verwendung von Flächenemitter-LEDs in der optischen Nach-richtentechnik nur in Verbindung mit vielwelligen Fasern sinnvoll.Wird die LED als Kantenemitter ausgeführt, können Strahldichten SR > 1000 W

cm2sr erzielt werden.Der Aufbau eines Kantenemitters ist dem Aufbau eines Halbleiterlasers bereits sehr ähnlich (siehe Abb.7).

Abbildung 7: Beispiel eines Kantenemitters


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Einführung in die optische Nachrichtentechnik HL-STRUK/1

Halbleiterlaserstrukturen (HL-STRUK)

1 Quantum-well LaserIm Abschnitt HL hatten wir im wesentlichen Halbleiterlaserstrukturen betrachtet mit Dicken d deraktiven Zone bis herab zu ca. 0:1�m = 100nm. Um bei einer gegebenen Injektionsrate möglichst hoheLadungsträgerdichten zu erzielen, ist es zweckmäÿig, das Volumen der aktiven Zone möglichst kleinzu halten. Deshalb kann es sinnvoll sein, die Dicke der aktiven Zone nochmals deutlich auf Werte vonca.d = 5:::10 nmzu reduzieren. Dies entspricht dann Dicken von nur noch ca. 10-20 Atomlagen. Weiterhin kommenderartig geringe Dicken der aktiven Zone bereits in die Gröÿenordnung der Elektronenwellenlänge, sodaÿ sich ähnlich wie bei einem dünnen dielektrischen Wellenleiter quantisierte Zustände (entsprichtbeim dielektrischen Wellenleiter den jeweiligen Eigenwellen) ergeben. Man spricht bei derartig dünnenSchichten auch von sogenannten Quanten�lmen (engl. Quantum-wells). Schichten mit Dicken d �100nm werden im Gegensatz dazu auch als �bulk�-Schichten bezeichnet. Aufgrund der Quantisierungder Zustände ergeben sich in Quanten�lmen auch andere Verstärkungscharakteristiken.

Abb. 1: Berechnete Verstärkungscharakteristik eines Quanten�lms (d = 7nm), durchgezogene Kurve,im Vergleich zum �bulk�-Material. Halbleiter: InGaAsP/InGaAs/InP [H.Burkhard, Optische Sender,Grundlagen, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,2002]

Die Verstärkung in Abb. 1 bezeichnet die Verstärkung innerhalb des Halbleiters. Zur Bestimmung



der Verstärkung im Wellenleiter ist die Verstärkung noch mit dem Füll-Faktor � (vgl. S. HL/6) zugewichten. Bei sehr dünnen Schichten ist jedoch die optische Wellenführung sehr schlecht, so daÿ inder Regel Maÿnahmen zur Verbesserung der optischen Wellenführung erforderlich sind. In Abb. 2 istdazu oben der konventionelle Aufbau einer �bulk�-aktiven Schicht (Doppel-Heterostruktur) dargestellt.Um auch bei kleineren d eine e�ektive optische Wellenführung zu erreichen, kann z.B. eine GRIN(graded index) - SQW (single quantum well) Struktur realisiert werden, bei der durch schichtweiseVeränderung der Halbleiterzusammensetzung eine Doppelheterostruktur mit gradueller Veränderungder Bandlücke entsteht. So lassen sich auch für d � 10nm Füllfaktoren von � � einige% realisieren.Aufgrund der begrenzten Anzahl der Zustände in einem Quanten�lm ist auch die Verstärkung in einemeinzelnen Quanten�lm (engl. single quantum well - SQW) begrenzt, so daÿ es zweckmäÿig sein kann,die aktive Zone aus mehreren Quanten�lmen zusammenzusetzen (MQW - multiple quantum well).Eine mögliche MQW-SCH (SCH - separate con�nement heterostructure)-Struktur ist auch in Abb. 2dargestellt.

Energ

ieban

dlück

e

Energ

ieban

dlück

e

Energ

ieban

dlück

e

" b u l k " a k t i v e S c h i c h t d

d d

d 1 0 0 n m>~

G R I N - S Q W S t r u k t u r M Q W - S C H S t r u k t u r

d 1 0 n m<~

Abb. 2: Bandstruktur von �bulk�- und Quanten�lm-Lasern

Im Gegensatz zu �bulk� aktiven Sichichten können Quanten�lme aufgrund ihrer geringen Dicke durch-aus auch verspannt sein (wobei Verspannungen durch die unterschiedlichen Gitterkonstanten her-vorgerufen werden). So ist beispielsweise auf der Basis von GaAs-Substraten mit GaAs/GaAlAs-Heteroschichten die Realisierung von verspannten InGaAs - Quanten�lmen möglich, womit z.B. Halb-leiterlaser bei � = 980nm (wie sie als Pumpquelle für Er-dotierte Faserverstärker eingesetzt werden)realisiert werden.Durch gezielte Einstellung der Verspannung in Quanten�lmen kann auch die Schwellstromdichte er-heblich reduziert werden. Als ein Beispiel für � = 1; 5�m -Laser mit ternären InGaAs- bzw. quaternärenInGaAsP-Quanten�lmen zeigt Abb. 3 die Schwellstromdichte pro Quanten�lm, wobei Werte unterhalbvon 100 A=cm2 erreicht werden können.



Abb. 3: Erreichbare Schwellstromdichten in verspannten Quanten�lmen mit Druck-(compression) bzw.Zug- (tension) Verspannung [P.J.A. Thijs et. al., OFC/IOOC'93]

Mit Quanten�lm-Lasern lassen sich sehr kleine Schwellstromdichten realisieren. Als Beispiel zeigt Abb.4 die Laserstruktur und Licht-Strom-Kennlinien eines Lasers mit 2 Quanten�lmen in InGaAs und einerGRIN-SCH-Struktur.

2 Laterale Strukturierung von HalbleiterlasernIm Kapitel HL wurde die optische Wellenführung senkrecht zur aktiven Zone diskutiert. Durch ent-sprechende laterale Strukturierung des Halbleiterlasers muÿ aber auch sichergestellt sein, daÿ parallelzur aktiven Zone eine optische Wellenführung gewährleistet ist.In der einfachsten Form (Abb. 5, oben links) besteht die laterale Strukturierung nur in der Anordnungeines schmalen Kontaktstreifens w � 5�m, was dann zu einer ortsabhängigen Ladungsträgerinjektionin die aktive Schicht und so zu einer lateralen Variation der optischen Verstärkung g führt. Man kannallein damit einen lateralen Wellenleiter de�nieren, da sich die optische Welle bevorzugt in Bereichenhoher optischer Verstärkung aufhält. Man spricht bei einem derartigen Laser von �Gewinnführung�(engl. gain-guiding).Derartige Laser tendieren zu Instabilitäten der Licht-Strom-Kennlinie (sogenannte �kinks�) und zeigengekrümmte Phasenfronten. Sie haben deshalb relativ breite laterale Fernfeldverteilungen und lassensich deshalb auch relativ schlecht in z.B. einwellige Fasern einkoppeln. Sie zeigen auch typischerweiseeine Emission in mehreren longitudinalen Moden (Multimode-Spektrum).Bessere Laseremissionseigenschaften erhält man, wenn auch die laterale optische Wellenführung ei-ne Brechzahlvariation aufweist, indem wie in optischen Wellenleitern der zentrale Bereich lateral vonBereichen kleinerer Brechzahl umgeben ist. Man spricht dann (Abb. 5 oben rechts) von einer �In-dexführung� (engl. index-guiding). Derartige index-geführte Halbleiterlaser sind zwar aufwendiger zu



a b

Abb. 4: Laserstruktur (4a) und Licht-Strom-Kennlinien (4b) eines Lasers mit 2 InGaAs-Quanten�lmen[T.R. Chen et. al., Appl. Phys. Lett., 60(1992), p. 1782]

realisieren, sie zeigen aber deutlich stabilere Emissionseigenschaften. Realisierungsbeispiele für ge-winngeführte Halbleiterlaser zeigt Abb. 6, während Abb. 7 Beispiele für index-geführte halbleiterlasermit �vergrabener� aktiver Schicht zeigt (buried-heterostructure, BH-Laser). Die Laser auf der Basisvon InP-Substraten sind dabei im allgemeinen dimensioniert für � = 1; 3:::1; 65�m, während die Laserauf der Basis von GaAs-Substraten typischerweise für � = 750:::850nm ausgelegt sind (u.U. auch� = 980nm mit InGaAs-Quanten�lmen).Bei den Lasern mit vergrabener aktiver Schicht in Abb. 7 ist sichergestellt, daÿ die aktive Zone rund-herum von Materialen kleinerer Brechzahl umgeben ist. Diese Laser können sehr kleine Schwellströmeaufweisen (siehe z.B. Abb. 4), sie sind aber aufgrund der Notwendigkeit mehrerer Epitaxieschritteaufwendig zu realisieren.Etwas einfacher zu realisieren sind �quasi�-index-geführte Halbleiterlaser in Abb. 8, bei denen die aktiveSchicht nicht unterbrochen ist. Im Vergleich zu Abb. 7 weisen diese Laser höhere Schwellströme auf,sie sind aber auch bis zu hohen optischen Leistungen betreibbar.

3 Vertikal emittierende HalbleiterlaserBisher haben wir ausschlieÿlich kantenemittierende Halbleiterlaser kennengelernt, bei denen das Lichtaus einer gespaltenen Halbleiterkristall-End�äche austritt. Leider sind derartige Laser nicht so einfachan einen Lichtwellenleiter koppelbar (zur e�zienten Lichteinkopplung ist in der Regel eine Linse er-forderlich) und sie sind aufgrund der Notwendigkeit einer gespaltenen Kristallend�äche nicht on-wafertestbar.Eine Alternative dazu stellen vertikal emittierende Halbleiterlaser dar, die auch als VCSEL (engl. verticalcavity surface emitting laser) bezeichnet werden. Das Grundprinzip eines derartigen Lasers besteht dar-in, daÿ sich die Laserschwingung nicht entlang der aktiven Schicht ausbildet, sondern senkrecht dazu,



Winkel /θ →Grad

- "kinks" wegen instabiler

lateraler Wellenführung

- starke Verrundung an

an der Schwelle wegen

hoher spontaner

Emission

w

d

x

y

p

n

Isolatorp-Kontakt

aktive Schicht

n-Kontakt

w

p-Kontakt

n-Kontakt

p

nn<nakt

10

5

00 50 100

P/m

W→

I / mA →

10

5

00 50 100

I / mA →

1.520 1.525 1.530 1.535 1.540

Wellenlänge / mµ →

1.520 1.525 1.530 1.535 1.5400.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-40 -20 0 20 400.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-40 -20 0 20 400.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Winkel /θ →Grad

w

y

z

ebene Phasenfronten

w

y

z

zylindrisch gewölbt,Astigmatismus

Inte

nsitä

t/b

el.E

inh.

→

Gewinnführung Indexführung

PI-Kennlinie:

Laserstruktur: Oxidstreifenlaser Vergrabene aktive Schicht

P/m

W→

Spektrum:

Fernfeld:

Phasenfronten:

stabiler, lateral

einmodiger Betrieb

mit kleiner Schwelle

vielmodig wegen

starker spontaner

Emission (K 10)≈

wenige Moden wegen

geringer spontaner

Emission (K 1)≈

Isolator

Wellenlänge / mµ →

Inte

nsitä

t/b

el.E

inh.

→

Inte

nsitä

t/b

el.E

inh.

→

Inte

nsitä

t/b

el.E

inh.

→

Abb. 5: Eigenschaften von Gewinn- und Index-geführten Halbleiterlasern [S. Hansmann, Laserdioden,in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]

wie in Abb. 9 schematisch skizziert ist. Es werden dabei dielektrische Spiegel mit �4 -Mehrfachschichtenund Re�ektivitäten R1; R2 nahe 1 benötigt, um ein Anschwingen zu ermöglichen.Die Anschwingbedingung (ohne Streuverluste �s) ist dann ähnlich wie in Gl. 15 (HL/10) gegebendurch

exp(2gst � d) = 1=(R1 � R2) (1)

bzw. für gst � d << 1 durch2gstd = 1� R1 � R2 (2)

Auch für VCSELs werden gern Quanten�lm-Schichten verwendet, wobei sich zum Beispiel für R1 =99%, R2 = 99; 8%, d = 10nm eine notwendige Verstärkung gst = 6000=cm ergibt. Eine solcheVerstärkung ist noch realisierbar, so daÿ sich damit VCSELs realisieren lassen.Ein konkretes Ausführungsbeispiel zeigt Abb. 10, wobei die Spiegel durch �

4 -GaAs/�4 -(Ga)AlAs-Schichtfolgen



Abb. 6: Gewinn-geführte Halbleiterlaser [S. Hansmann, Laserdioden, in: Voges, Petermann; Handbuchder Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]

+p - K o n t a k t

n - K o n t a k t

p - I n G a A s P

p - I n P

n - I n P S u b s t r a t

n - I n P

n - I n P

p - I n PI n G a A s P ( a k t i v )

2 m m

3 mmS i O 2A u Z n

A u G e

+

p + - I n G a A s P

p - I n P

n - I n P S u b s t r a t

p - I n P

p - I n P

p - I n P p - I n P

I n G a A s P ( a k t i v )

n - I n Pp - I n P

p - I n p S u b s t r a t

-6 m m

s . i . - I n P

p - I n P

n - I n P

A u G e / A u

A u Z n - K o n t a k t

3mm

S i O 2

I n G a A s P ( a k t i v )

D o u b l e - c h a n n e l p l a n a r b u r i e d h e t e r o s t r u c t u r e P i l z s t r u k t u r L a s e r( D C P B H ) L a s e r

4 mm

S i O 2A u Z n

A u G e

+

p + - G a A sp - A l G a A s

n - A l G a A s

n - G a A s S u b s t r a t

G a A s ( a k t i v )

p - A l G a A sn - A l G a A s

B u r i e d h e t e r o s t r u c t u r e ( B H ) L a s e r E t c h e d - m e s a b u r i e d h e t e r o s t r u c t u r e ( E M B H )

Abb. 7: Index-geführte Halbleiterlaser mit �vergrabener� aktiver Schicht [S. Hansmann, Laserdioden,in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]



p - A l G a A s

n - G a A s - S u b s t r a t

A u G e N i - E l e k t r o d e

n - A l G a A sG a A s ( a k t i v )

p + - G a A sC r - A u - E l e k t r o d e

+

4 m m

n - G a A s - S u b s t r a t

A u G e - E l e k t r o d e

A u Z n - E l e k t r o d e +

2 m m

n - G a A sp - A l 0 . 6 0 . 4G a A sp - A l 0 . 1 5 0 . 8 5G a A s ( a k t i v )n - A l 0 . 6 0 . 4G a A s

1.5mm

0.3mm

0 . 0 5 mm

p + - Z n - D i f f u s i o n

p - I n G a A s P

n - I n P - S u b s t r a t

n - K o n t a k t

n - I n PI n G a A s P ( a k t i v )

p - I n G a A s Pp - K o n t a k t

+4 m m

S i O 2

m e t a l - c l a d - r i d g e w a v e g u i d e ( M C R W ) - L a s e r r i d g e w a v e g u i d e L a s e r c h a n n e l e d - s u b s t r a t e p l a n a r ( C S P ) - L a s e r

Abb. 8: Quasi-index-geführte Halbleiterlaser mit nicht unterbrochener aktiver Zone [S. Hansmann,Laserdioden, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,2002]

R

R

1

2

d

Abb. 9: Schematische Darstellung eines vertikal emittierenden Halbleiterlasers mit der aktiven Schichtder Dicke d und den Spiegel-Re�ektivitäten R1; R2

realisiert werden, die an das GaAs-Substrat gitterangepaÿt sind.Ein Durchbruch ist bisher aber nur erreicht worden bei VCSELn auf der Basis von GaAs-Substraten undSpiegeln mit Mehrschicht-Paaren aus Ga(Al)As/(Ga)AlAs, so daÿ mit aktiven Zonen aus Ga(Al)Asder Wellenlänge � � 850nm und mit verspannten aktiven InGaAs-Quanten�lm-Schichten noch Wel-lenlängen bis herauf zu � � 1�m erreicht werden können. Es lassen sich sehr e�ziente Laser mitsehr kleinen Schwellströmen realisieren. So zeigt Abb. 11 einen VCSEL für � � 970nm mit einemFleckdurchmesser von 7�m, der nur einen Schwellstrom Is = 0:35mA aufweist. Gleichzeitig lassensich bei einem Strom von nur 2 mA Gesamtwirkungsgrade > 50% (�= [optische Leistung]/[elektrischeLeistung]) realisieren, so daÿ sich hier eine äuÿerst e�ektive Lichtquelle ergibt.



n

Abb. 10: Prinzipieller Aufbau eines VCSEL (links) und Realisierung eines zweidimensionalen VCSEL-arrays (rechts) [K.J. Ebeling, Laserdioden mit Vertikalresonator (VCSELs) für optische Verbin-dungssysteme, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,2002]

Abb. 11: Licht/Strom und Spannung/Strom-Kennlinien für einen VCSEL mit 7�m Durchmesser für� = 970 nm [K.L. Lear et. al., Electron. Lett., (31)1995, p. 208]


Einführung in die optische Nachrichtentechnik MOD/1

Modulationsverhalten von Halbleiterlasern (MOD)

(siehe auch: K. Petermann, Laser diode modulation and noise, Kluwer Academic, 1991)

1 BilanzgleichungenDas Modulationsverhalten von Halbleiterlasern läÿt sich am einfachsten beschreiben mit den soge-nannten Bilanz- (oder Raten-) Gleichungen.

1.1 Bilanzgleichung für die PhotonenWir betrachten einen spektral einwelligen Laser, in dessen Lasermodus sich S Photonen be�nden. Esgilt dann für die zeitliche Veränderung der Photonenanzahl im Laserresonator:

dSdt

= rst � S � S=�ph + rsp (1)

Dabei bezeichnet rst die e�ektive stimulierte Emissionsrate im Lasermodus

rst = � � Rst (2)

die nach Maÿgabe des Füllfaktors � (vgl. S. HL/6) gegenüber der Volumenrate der stimulierten Emis-sion Rst reduziert ist. Entsprechend reduziert sich auch die spontane Emissionsrate

rsp = � � Rsp; (3)

wobei wir mit dem Verhältnisnsp = rsp=rst = Rsp=Rst (4)

den sogenannten Inversionsfaktor bezeichnen. Entsprechend Seite L/11, L/12 gilt

Rst = Rstim � Rabs = Rsp � Rabs ; (5)

so daÿnsp =

RspRsp � Rabs =

11� Rabs=Rsp : (6)

Damit ist stets nsp > 1. Nur für vollständige Inversion (Besetzungswahrscheinlichkeit im ValenzbandfV = 0 bzw. Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband fL = 1) wird Rabs = 0 und damit nsp = 1(Dies entspricht übrigens auch dem Fall minimalen Rauschens für Laserverstärker, vergleiche KapitelEDFA). Typischerweise ist bei Halbleiterlasern nsp � 1; 5:::2; 5.�ph in Gl. (1) bezeichnet die sogenannte Photonenlebensdauer und beinhaltet sowohl die Streuverluste�s als auch die Spiegelverluste �m (�m = 1

2L ln( 1R1R2

) für den Fabry-Perot-Laser auf Seite HL/10)gemäÿ

1�ph

= (�s + �m)c=N (7)



mit der Lichtgeschwindigkeit c und dem Gruppenindex N im Laserresonator. Damit läÿt sich dieBilanzgleichung (1) auch schreiben:

dSdt

= rst(S + nsp)� S=�ph: (8)

Um einen Eindruck vom Ein�uÿ der spontanen Emission (nsp) zu erhalten, ist es zweckmäÿig, einetypische Photonenanzahl S im Laserresonator abzuschätzen.

1.1.1 Zusammenhang zwischen Photonenanzahl S und optischer Leistung P

Die gesamte (von beiden Spiegelfacetten) emittierte optische Leistung P des Lasers läÿt sich abschät-zen gemäÿ:

P = (h � �)�ext�i� (Anzahl stimuliert erzeugter Photonen/Zeit): (9)

Mit (vergl. Seite HL/15)�ext=�i = �m=(�s + �m); (10)

ergibt sich dann aus Gl. (9):P = (h � �)

�m�s + �m

rst � S: (11)

Wenn man weiterhin berücksichtigt, daÿ für S >> nsp im stationären Gleichgewicht ( ddt = 0 in Gl.(8)) rst ' 1

�ph gilt, erhält man mit Gl. (7) schlieÿlich folgenden Zusammenhang:

P = (h � �)�m � (c=N)S (12)

Mit typischen Parametern sowohl für kantenemittierende als auch �ächenemittierende (VCSEL) Halb-leiterlaser (�m ' 28=cm, c=N = 7 � 107m=s, � = 1; 55�m) gilt beispielsweiseS = 40:000 � [P=mW ],so daÿ sich dann für eine emittierte Leistung von 5 mW immerhin 200.000 Photonen im Laserresonatorbe�nden und damit nsp in der Bilanzgleichung (8) im allgemeinen vernachlässigt werden kann (nspbestimmt allerdings ganz wesentlich das Rauschverhalten von Laserdioden und Laserverstärkern).

1.2 Bilanzgleichung für die LadungsträgerFür die Bilanz der Ladungsträgerdichte n gilt:

dndt

=IeV� R(n)� rst � S=V (13)

Dabei bezeichnet der erste Term auf der rechten Seite (I - Injektionsstrom, e - Elementarladung, V -Volumen der aktiven Zone) die Anzahl der in die aktive Zone injizierten Ladungsträger pro Volumenund Zeit. Der zweite Term R(n) beschreibt die spontane und die nichtstrahlende Ladungsträgerrekom-bination. Der dritte Term beschreibt schlieÿlich den Ladungsträgerverbrauch aufgrund der stimuliertenEmission.



R(n) kann entwickelt werden um die Ladungsträgerdichte n = ns (ns - Ladungsträgerdichte oberhalbder Laserschwelle) entsprechend:

R(n) = R(ns) +dRdn

(n � ns) = R(ns) +1�e

(n � ns) (14)

mit der Elektronenlebensdauer �e = (dR=dn)�1.1Mit dem Schwellstrom Is = e � V � R(ns)läÿt sich (13) umschreiben:

dndt

=I � IseV

� 1�e

(n � ns)� G � S=(V � �ph); (15)

wobei noch zusätzlich die normierte Verstärkung

G = rst � �ph = g=gs (16)

eingeführt wurde.

2 Einschaltverhalten von HalbleiterlasernIdealerweise würde sich die emittierte Leistung bei moduliertem Strom durch Spiegelung an derLicht/Strom-Kennlinie ergeben, wie dies in Abb. 1 schematisch dargestellt ist.Das dynamische Modulationsverhalten ist aber komplizierter, und zunächst soll die Reaktion des Lasersauf einen Stromsprung von I0 (I0 < IS) auf I1 (I1 > IS) analysiert werden. Entsprechend Abb. 2 führtder Unterlegstrom I0 zunächst zu einer Ladungsträgerdichte n0 < nS . Wird nun der Strom sprunghaftauf I1 erhöht, steigt die Ladungsträgerdichte allmählich (bestimmt durch die Elektronenlebensdauer�e in Gl. (15)) bis auf n = nS an, wo die Laserschwelle erreicht wird und die Laseremission einsetzt.Das Einsetzen der Laseremission ist dann begleitet von Relaxationsoszillationen der Frequenz fr . DieseRelaxationsoszillationen entstehen aufgrund des Wechselspiels zwischen der Dynamik der Photonen(ausgedrückt durch die Photonenlebensdauer �ph von einigen ps) und die Ladungsträgerdynamik (aus-gedrückt durch die Ladungsträgerlebensdauer �e in der Gröÿenordnung von ns).Das dynamische Verhalten wird damit bestimmt durch die Einschaltverzögerung tS und die Relaxati-onsoszillationen der Frequenz fr .

2.1 EinschaltverzögerungDie Einschaltverzögerung tS bezeichnet die Zeit, die vergeht, bis die Ladungsträgerdichte nS erreichtwird. Während dieser Zeit ist die Photonenanzahl im Laserresonator noch sehr gering (S � 0).ZurZeit t=0 werde der Strom von I0 < IS auf I1 > IS geschaltet, und als Lösung von Gl. (15) (für S=0)ergibt sich für t � tS:

n(t)� nS =�eeV

[(I1 � IS)� (I1 � I0)exp(�t=�e)] (17)1Im Kapitel HL war vereinfachend R(n) = n=�e gesetzt worden



Abb. 1: Ideales Modulationsverhalten eines Halbleiterlasers

Für t = tS gilt n(tS) = nS woraus sich die Einschaltverzögerung tS aus Gl. (17) für t = tS ergibt:

tS = �e � ln I1 � I0I1 � IS ; (I0 < IS, I1 > IS) (18)

Die Einschaltverzögerung verschwindet für I0 = IS.Deshalb ist eine Regelung für den UnterlegstromI0 erforderlich, um Schwankungen des Schwellstroms IS z.B. aufgrund von Temperaturschwankungenauszugleichen. Sie verschwindet auch für Unterlegströme I0 > IS, allerdings ist man im allgemeinenan einem möglichst hohen Extinktionsverhältnis P1=P0 interessiert, weshalb I0 möglichst nahe amSchwellstrom IS liegen sollte. Um auf jegliche Regelung des Vorstroms I0 zu verzichten, ist mangelegentlich auch an einem vorstromfreien Betrieb (I0 = 0) des Lasers interessiert. Für I1=IS >> 1können sich u.U. genügend kleine Einschaltverzögerungen ergeben. Aus Gl. (18) folgt für I0 = 0 undI1=IS >> 1:

tS =�e

I1IS � 1

(19)

Der vorstromfreie Betrieb ist im allgemeinen auf Bitraten B � 1Gbit=s beschränkt, umB � tS << 1 zu gewährleisten.



n 0

nn S

t S 1 / f r

t

t

tP

P 1

P 0

I

I 0

I 1

( a )

( b )

( c )Abb. 2: Einschaltverhalten eines Halbleiterlasers (Injektionsstrom (a), Emittierte optische Leistung(b), Ladungsträgerdichte (c))

3 KleinsignalmodulationsverhaltenDas Modulationsverhalten wird mit den Gl. (8), (15) durch 2 gekoppelte nichtlineare Di�erentialglei-chungen beschrieben. Für einen einfachen Überblick ist es zweckmäÿig, die Bilanzgleichungen um einenfesten Arbeitspunkt herum zu linearisieren:

I = I0 + Re(�Iexp(j!mt)) (20)

S = S0 + Re(�Sexp(j!mt)) (21)

n = n0 + Re(�nexp(j!mt)) (22)

mit j �n j<< n0; j �S j<< S0; j �I j<< I0. Hier soll der Strom im Arbeitspunkt I0 > ISgewählt sein und S0, n0 bezeichnen die Photonenanzahl bzw. die Ladungsträgerdichte für I = I0.Wie schon in Gl. (15) wird auch in Gl. (8) die normierte Verstärkung G = rst � �ph eingeführt, wobeizusätzlich noch berücksichtigt werden soll, daÿ aufgrund optisch nichtlinearer E�ekte bei extrem hohenPhotonenanzahlen die Verstärkung abnimmt, so daÿ für G in Erweiterung von Gl. (16) geschrieben



werden kannG = rst � �ph � (1� �s � S) (23)

Man kann typischerweise davon ausgehen, daÿ bei einer Photonendichte S0 = � � S=V = 1016cm�3

die Verstärkung um ca. 10 Prozent zurück geht, also �s �S = 0:1 für � �S=V = 1016cm�3 und damit�s � (�=V )10�17cm3. Wenn man nsp in Gl. (8) noch vernachlässigt, gilt

�phdSdt

= (G(n; S)� 1)S (24)

Die Linearisierung von Gl. (24) mit (21), (22) ergibt:

j!m�ph�S = S0(@G@n

�n � �s�S) (25)

wobei bereits von �s � �@G=@S und G(n0; S0) = 1 Gebrauch gemacht wurde.Entsprechend ergibt sich aus Gl. (15) für die Ladungsträgerbilanz:

j!m�n =�IeV� �n�e� �SV � �ph �

S0

V � �ph (@G@n

�n � �s�S): (26)

Wenn die rechte Seite von Gl. (25) in Gl. (26) eingesetzt wird, führt dies auf:

(j!m + 1=�e)�n =�IeV� �S

V(j!m + 1=�ph) (27)

Wir sind an der Übertragung vom modulierten Strom �I zur modulierten Lichtleistung bzw. Photo-nenanzahl �S interessiert, wozu Gl. (25) nach �n aufgelöst und in Gl. (27) für �n eingesetzt wird,so daÿ von den Kleinsignalgröÿen nur �I und �S verbleiben und eine Übertragungsfunktion H(j!m)formuliert werden kann:(Annahme bei der Berechnung: �s=�e << (@G=@n)=(�ph � V ))

�S�I

=�pheH(j!m) (28)

mitH(j!m) =

11 + j!m=!d + (j!m=!r )2 : (29)

Dabei ergeben sich1!d

=K

(2�)2 +1

�e!2r

(30)

K ist eine arbeitspunktunabhängige Konstante (auch bezeichnet als 'modulation K-factor'), die gege-ben ist als

K(2�)2 = �ph +

�s � V � �ph@G=@n

(31)

Mit G = g=gs , g = � � gst , gs = �s + �m sowie �ph gemäÿ Gl. (7) läÿt sich (31) umschreiben:

K(2�)2 = �ph +

(�sV=�)(@gst=@n)(c=N)

(32)



Der Faktor K ist damit durch relativ universelle Gröÿen festgelegt. So ergibt sich mit (�sV=�) =10�17cm3 (vgl. unterhalb Gl. 23), @gst=@n = 350�10�18cm2 (siehe Seite HL/3) und c=N = 7�107m=s

K(2�)2 = �ph + 4ps (33)

�ph ist typischerweise in der Gröÿenordnung von ca. 1ps, so daÿ sich daraus insgesamt ein

K � 0; 2ns (34)

ergibt. Wie weiter unten gezeigt, sollte K für schnell modulierbare Laser so klein wie möglich sein,wobei aber einer Verringerung von K enge physikalische Grenzen gesetzt sind. Die verbleibende Gröÿe!r in Gl. (29), (30) ist gegeben durch

!r =1�ph

√@G=@n � S0

V(35)

und bezeichnet die Relaxationsresonanzfrequenz (fr = !r=2�).Wenn man wie bei Gl. (31) für

@G@n

=�gs@gst@n

=�

�s + �m@gst@n

= �ph � � � (c=N) � @gst@n

(36)

einführt, läÿt sich für die Relaxationsresonanzfrequenz fr = !r=2� aus Gl. (35) auch schreiben

fr =1

2�

√@gst@n

(S�=V )(c=N)�ph

(37)

Die Relaxationsresonanzfrequenz hängt damit unmittelbar mit der Photonendichte S0 = (S�=V ) imLaserresonator zusammen. Wie schon bei Gl. (23) erwähnt, liegt die maximale Photonendichte imLaserresonator bei ca. 1016cm�3, so daÿ sich mit �ph = 1ps, c=N = 7 � 107m=s, @gst=@n = 350 �10�18cm2 eine maximale Relaxationsresonanzfrequenz von ca.

fr jmax� 25GHz (38)

ergibt.

4 Diskussion des ModulationsverhaltensDie Übertragungsfunktion H(j!m) gemäÿ Gl. (29) ist in Abb. 3 dargestellt. Klar zu erkennen istdie Resonanz bei !r (vergl. auch Abb. 2), die allerdings mit zunehmendem !r weniger ausgesprägtist. !r ist gemäÿ Gl. (37) arbeitspunktabhängig und nimmt mit zunehmender Photonenanzahl (bzw.emittierter optischer Leistung) zu. Für !r !1 ist die Grenzfrequenz durch fg = !d=2� bzw. gemäÿGl. (30) durch

fg;max = 2�=K (39)



0 . 0 1 0 . 1 1 1 0- 1 0- 8- 6- 4- 202468

1 01 21 41 61 82 02 2

w r / w d =

w r / w d = 5

w r / w d = 0 . 5

w r / w d = 0 . 1

2

Übert

ragun

gsfun

ktion

|H(jw

m)| [d

B]

N o r m i e r t e M o d u l a t i o n s f r e q u e n z w m / w d

Abb. 3: Kleinsignalmodulationsverhalten von Halbleiterlasern

gegeben, wofür sich mit Gl.(34)fg;max � 30GHz (40)

ergibt, was ca. die maximal mögliche Modulationsbandbreite eines Halbleiterlasers angibt.Mit digitalen binären Signalen und dem geforderten hohen Ein/Aus-Verhältnis ist eine direkte Laser-Modulation bis zu Bitraten von ca. 10 Gbit/s möglich. Es muÿ jedoch berücksichtigt werden, daÿ beider Lasermodulation nicht nur die optische Leistung, sondern auch die optische Emissionsfrequenzmoduliert wird (chirp), worunter die Übertragung bei einer Langstreckenübertragung leidet, vergleicheauch die Diskussion in Kapitel ÜB, Abschnitt 3.2. Typische Halbleiterlaser weisen dabei einen chirp-Parameter �ch � 2:::6 auf. Wegen dieser chirp-Probleme werden bei Langstreckensystemen undKanalraten > 10Gbit=s überwiegend externe Modulatoren (entweder interferometrisch oder durchElektroabsorption) eingesetzt, die bis ca. 40 Gbit/s verfügbar sind.Neben der inneren Dynamik des Lasers, ausgedrückt durch die Bilanzgleichungen, ist die Modulations-bandbreite auch durch parasitäre elektrische Bauelemente begrenzt. In der einfachsten Form ist das

i n n e r e L a s e r d i o d eR SC S

Abb. 4: Prinzipielles Ersatzschaltbild eines Halbleiterlasers

elektrische Ersatzschaltbild eines Lasers in Abb. 4 dargestellt (ohne Berücksichtigung der Zuleitungs-



induktivitäten), wobei sich mit Cs ; Rs ein Tiefpaÿverhalten mit einer Grenzfrequenz

fg;el =1

2�CsRs(41)

ergibt.Bei Lasern mit einer geringen parasitären Kapazität von z.B. Cs = 0:5pF ergibt sich z.B. mit Rs = 10ein fg;el � 30GHz , so daÿ dann die erreichbare Modulationsgrenzfrequenz eher durch die innereLaserdynamik mit !d ; !r bestimmt wird.Hochfrequent modulierbare Laser erfordern auch eine entsprechende Aufbautechnik, wobei das Modu-lationssignal mit einer Leitung möglichst dicht an den Laser herangeführt wird. Ein Beispiel dazu mitder entsprechenden Modulationscharakteristik zeigt Abb. 5.

Abb. 5: Hochfrequent modulierbarer 1.55�m-Halbleiterlaser (Quelle: P.A. Morton et. al., Electron.Lett. (30)1994, pp. 2044-2046)


Einführung in die optische Nachrichtentechnik SPEK/1

Spektrale Eigenschaften von Halbleiterlasern (SPEK)

In diesem Kapitel werden die spektralen Eigenschaften von Halbleiterlasern behandelt.Die Spektren von index- und gewinngeführten Lasern (vergl. Kapitel HL-STRUK) sind unter Umstän-den stark unterschiedlich, wie in Abb. 1 beispielhaft dargestellt.

Abbildung 1: (a) indexgeführter Laser, (b) gewinngeführter Laser

Bei Vernachlässigung der spontanen Emission muss gemäÿ Kapitel HL für die Verstärkung g des Lasersgelten:

g = �s � 12L� ln(R1 � R2) (1)

3m +l 2m +l ml 1m -l 2m -l 3m -l1m +l

g

l

)(g l

g s

( 1 ) h o m o g e n e S ä t t i g u n g( 2 ) i n h o m o g e n e S ä t t i g u n g

Abbildung 2: Die Verstärkung g in Abhängigkeit von der Wellenlänge �, �m�i - Resonanzwellenlängendes Laserresonators, Kurve 1: homogene Sättigung, Kurve 2: inhomogene Sättigung

Im allgemeinen ist die Verstärkung g abhängig von der Wellenlänge (siehe Abb. 2). Unterhalb derSchwelle steigt g bei einer Erhöhung der Ladungsträgerdichte an, bis bei einer Wellenlänge � = �mdie Anschwingbedingung erreicht wird. Bei Vernachlässigung der spontanen Emission schwingt an



der Laserschwelle nur ein Lasermodus (�m) an. Oberhalb der Schwelle bleibt bei der Wellenlänge�m die Verstärkung g = gs erhalten, d.h. die Verstärkung sättigt bei g = gs . Dabei gibt es zweiMöglichkeiten:

1. homogene Sättigung der Verstärkung, d.h. die Verstärkung g(�) bleibt auch oberhalb der Schwel-le erhalten, so dass nur bei einer Wellenlänge �m die Verstärkung g = gs erreicht wird (Kurve1 in Abb. 2).

2. inhomogene Sättigung, d.h. die Verstärkung g(�) steigt mit zunehmender Injektion an und wirdnur bei den Emissionswellenlängen auf g = gs gezwungen. Dies wird auch als spectral hole-burning bezeichnet (Kurve 2 in Abb. 2).

Beim Halbleiterlaser liegt im wesentlichen homogene Sättigung vor, da der Ladungsträgerausgleichinnerhalb des Leitungs- und Valenzbandes sehr schnell erfolgt (Zeitkonstante � 10�13 s). Aus diesemGrund wird die Betrachtung des Spektrums unter Annahme einer homogenen Linienverbreiterung mitBerücksichtigung der spontanen Emission durchgeführt. Ausgangspunkt ist die Gleichung

dSdt = rst � S � S

�ph+ rsp �K (2)

aus dem Kapitel MOD. K (mit K � 1 ) ist ein zusätzlicher Korrekturfaktor für die spontane Emissionbei gewinngeführten Lasern. Für die Photonenanzahl S(��) einer Laserschwingung mit der Emissions-wellenlänge �� folgt dann im stationären Zustand ( d

dt = 0 ):

rst � S(��)� S(��)�ph

+ rsp �K = 0 (3)

Mit der normierten VerstärkungG(�) = rst � �ph =

ggs

(4)

folgt daraus mit nsp = rsp=rst :

S(��) = nsp �K � 11� G(��)

(5)

Die Verstärkung G(��) kann durch einen parabolischen Verlauf angenähert werden (siehe Abbildung3):

G(��) = G0

1�

(2 � �� m

��

)2 (6)

mit G0 = G(�m) . Da 1� G0 � 1 ist, folgt:

G(��) � G0 �(

2 � �� m��

)2

(7)



1 - G 0

D L

1

G ( l )

l m + 1 l m - 1l ml

Abbildung 3: Die parabolische Näherung der normierten Verstärkung G(�)

Damit folgt für die Photonenanzahl S(��)

S(��) � nsp �K1� G0 +

(2 � ��m��

)2 (8)

bzw. für die emittierte Leistung (vergl. Kapitel MOD)

P (��) =K � nsp � h � � � cN

(� 12L ln(R1R2)

)

1� G0 +(

2 � ��m��

)2 (9)

Die Halbwertsbreite �� des Spektrums folgt aus Gl. (9):

�� = ��√

1� G0 (10)

Die Halbwertsbreite �� kann als Funktion der gesamten emittierten Leistung P ausgedrückt werden.Mit

P =∑�P (��) (11)

und dem Modenabstand (vergl. Kapitel HL)

�� =�2

2N � L (12)

folgt für �� aus Gl. (9):

�� =c � � � h � �

2P� ln(

1R1R2

)nsp �K

(��

)2

(13)

Beispiel: R1 = R2 = 0; 32 , nsp = 2; 5 , �� = 30 nm , � = 850 nm und die Leistung pro Spiegel P2 =5mW. Mit diesen Werten ergibt sich eine Halbwertsbreite �� des Spektrums von �� = K � 0; 08 nm.



d l

l m - 3l m + 3

P ( lm )

D l

l m + 2 l m + 1 l m - 2l m - 1l ml

Abbildung 4: Lorentzförmiges Spektrum

Bei einem gewinn-geführten Laser mit K = 20 würde sich eine Halbwertsbreite von �� = 1; 6 nmergeben.Bei einem index-geführten Laser (K = 1 ) ist die Halbwertsbreite kleiner als der Abstand zwischen denResonanzwellenlängen ( �� < �� ), d.h. es handelt sich um eine einwellige Emission. Damit ist auchdas unterschiedliche Verhalten in Abb. 1 erklärt.Zwar ist für einen index-geführten Laser (K = 1 ) gemäÿ Abb. 1 auch bei Fabry-Perot-Lasern ein imwesentlichen einwelliger Betrieb möglich, allerdings ist diese einwellige Emission nicht sehr stabil undkann z.B. durch externe Re�exionen oder auch durch die Modulation des Lasers stark beeinträchtigtwerden (z.B. Modensprünge oder dynamische Multi-Mode-Emission).

d a k t

z

B r a g g - R e f l e k t o r B r a g g - R e f l e k t o r

a k t i v e S c h i c h t

0 L

Abbildung 5: Schematische Darstellung eines DBR-Lasers (Bild aus: S. Hansmann, Laserdioden, in:E. Voges, K. Petermann, Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002)

Eine stabile einwellige Emission wird erreicht, wenn die Re�ektoren R1 und R2 wellenlängenselektiv(R1(�), R2(�)) gestaltet werden, so dass dann nur die Wellenlänge anschwingt, bei der die Re�exion



maximal wird. Wellenlängenselektive Re�ektoren können am einfachsten mit Gitterstrukturen (Bragg-Re�ektoren) realisiert werden. Abb. 5 zeigt schematisch einen "distributed-Bragg-re�ector" (DBR)-Laser, bei dem die Wellenlängenselektion durch Bragg-Re�ektor-Spiegel erreicht wird. Gebräuchlichersind noch "distributed feedback" (DFB)-Laser (Abb. 6), bei denen sich eine Gitterstruktur über diegesamte Länge der laseraktiven Zone erstreckt.

x

L wn 2 n 1

d a k t

G g

G a k t

z0 L

I ( x )

Abbildung 6: Schematische Darstellung eines DFB-Lasers (Bild aus: S. Hansmann, Laserdioden, in:E. Voges, K. Petermann, Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002)

Bei einem einwelligen Laser interessiert noch die Breite einer einzelnen Spektrallinie. Aufgrund desSchrotrauschcharakters der spontanen Emission ist eine einzelne Spektrallinie nicht monochromatisch,sondern weist eine endliche spektrale Halbwertsbreite �� auf (Abb. 7).Um zumindest intuitiv die Linienbreite �� abschätzen zu können, betrachten wir Gl. (3) für K = 1(index-geführt), woraus im stationären Gleichgewicht ( d

dt = 0 ) mit rsp � nsp=�ph folgt

S �(rst � 1

�ph

)

︸︷︷︸� 1�ef f

+nsp�ph

=dSdt

!= 0 (14)

Der Quotient nsp�ph bezeichnet dabei die (mit Schrotrauschen behaftete) spontane Emission, auf die

die Photonenanzahl S im Laserresonator mit der Zeitkonstanten �ef f reagiert. Ein erster intuitiverAnsatz für die Linienbreite �� führt auf

�� =12� 1

2� � �ef f : (15)

Da die spontane Emission sowohl zu Amplituden- als auch zu Phasenschwankungen führt und die Am-plitudenschwankungen aufgrund der Wechselwirkung der Photonen (mit ihrer Bilanzgleichung, Gl. (1)in Kapitel MOD) und den Elektronen (mit der Bilanzgleichung, Gl. (13) in Kapitel MOD) unterdrücktwerden, wurde in Gl. (15) noch ein Faktor ( 1=2 ) eingeführt. Für die e�ektive Lebensdauer �ef f folgtaus Gl. (14):

�ef f =S � �phnsp

; (16)



l=u cuD

Abbildung 7: Schematische Darstellung der Linienbreite �� eines einwelligen Lasers

so dass aus Gl. (15)�� =

nsp4� � �ph � S (17)

wird. Gl. (17) stellt bereits die Schawlow-Townes-Beziehung für die Linienbreite dar. Tatsächlich istdie Fluktuation der Photonenanzahl S mit einer Fluktuation der Ladungsträgerdichte n und damitauch über �ch = dn0=dn

dn00=dn mit Fluktuationen des Realteils n0 und des Imaginärteils n00 der Brechzahlverknüpft. Dies führt zu Fluktuationen der Laserresonanzwellenlänge und damit zu einer erhöhtenLinienbreite

�� =nsp

4� � �ph � S �(

1 + �2ch

)(18)

Beispiel: Mit den Werten S = 2 � 105 (vergl. Beispiel auf Seite MOD/2), �ph = 2 ps , nsp = 2 und�ch = 5 ergibt sich beispielsweise eine Linienbreite von �� = 10MHz , was ein typischer Wert fürHalbleiterlaser ist.

Häu�g wird auch die Kohärenzzeit eines Lasers angegeben:

�c =1

2� � �� (19)

oder die KohärenzlängeLc = c � �c (20)

Mit obigen Daten würde sich eine Kohärenzlänge von ca. Lc = 5m ergeben.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik ANST/1

Elektrische Ansteuerung von LEDs und Laserdioden (ANST)

Halbleiterlaser und Lumineszenzdioden verhalten sich elektrisch im wesentlichen wie gewöhnliche pn-Dioden. Die emittierte Lichtleistung wird durch den Injektionsstrom gesteuert. Die elektrische An-steuerung soll den Injektionsstrom einprägen.Der Ansteuerverstärker sollte daher über einen hohen Ausgangswiderstand verfügen. Der di�erentielleWiderstand rD = @U=@I z.B. einer Laserdiode oberhalb der Schwelle liegt zum Beispiel in der Gröÿen-ordnung von kleiner als 10 . Aus diesem Grund sollte der Ausgangswiderstand des Verstärkers sehrviel gröÿer als 10 sein.Desweiteren soll eine schnelle Modulation des Injektionsstroms möglich sein. Daher sollten die Tran-sistoren des Ansteuerverstärkers nicht in Sättigung betrieben werden. Vorteilhaft ist die Verwendungvon Di�erenzverstärkern. Ein Beispiel für einen Di�erenzverstärker ist in Abb. 1 dargestellt.

Abb. 1: Schaltbild eines Di�erenzverstärkers

Die Modulationsamplitude ( I1 � I0 ) wird durch eine Konstantstromquelle (Transistor T3 in Abb.1)eingestellt. Dieser Strom wird zwischen den Transistoren T1 und T2 hin- und hergeschaltet.Der Unterlegstrom I0 wird zusätzlich direkt an der Laserdiode eingeprägt. In praktisch realisiertenSystemen wird die emittierte Lichtleistung z.B. von einer am hinteren Laserspiegel angeordneten Pho-todiode gemessen. Dieses gemessene Signal wird zur Regelung von I0 und ( I1 � I0 ) verwendet, umz.B. Temperaturschwankungen des Lasers auszugleichen.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik ANST/2

Mit derartigen Schaltungen ist eine direkte Modulation des Halbleiterlasers bis oberhalb von 1 Gbit/s(z.B. 2,5 Gbit/s) möglich.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik PH/1

Photodioden (PH)

Zur Detektion des optischen Signals werden in der optischen Nachrichtentechnik vorwiegend Halblei-terphotodioden eingesetzt und zwar insbesondere pin-Dioden sowie Lawinenphotodioden.

1 pin-Photodiode

-

n +

+

p +

+ -

iup

w

+

-

+ -w

n + - I n P

p + - I n G a A s ( P )u - I n G a A s ( P )

( a ) ( b )

Abbildung 1: (a) Photodiode basierend auf einem Halbleitermaterial, z.B. Si. Si-Dioden werden bei� � 1 µm verwendet. (b) Heterostrukturdiode mit rückwärtiger Einstrahlung durch das für � >0; 92 µm transparente InP-Substrat. InGaAs/InP-Dioden werden bei 1 µm < � < 1; 6 µm verwen-det.

Die Photodiode wird wie in Abb. 1 gezeigt in Sperrrichtung betrieben. Bei einer pin-Diode entsprichtdabei die Weite der Sperrschicht gerade der Weite w der i-Zone (bzw. �-Zone bei schwacher n-Dotierung oder �-Zone bei schwacher p-Dotierung). Photonen mit der Energie h � � > WG (WG=Bandabstand der i-Zone) können in der i-Zone Elektron-Loch-Paare erzeugen, die dann aufgrund deselektrischen Feldes in der Raumladungszone jeweils zu den n+- bzw. den p+-Bereichen driften. DieDriftgeschwindigkeit sättigt bei genügend groÿer Feldstärke E = U

w (U ist die Sperrspannung an derDiode) in der i-Zone.Beispiel: Das Halbleitermaterial sei Silizium. Für E � 2 V

µm tritt Driftsättigung ein und es ergibtsich eine Sättigungsdriftgeschwindigkeit von vn � 100 µm

ns für Elektronen und eine Sättigungsdriftge-schwindigkeit von vp � 50 µm

ns für Löcher.



1.1 Quantenwirkungsgrad der pin-DiodeEs werden nur dann alle ankommenden Photonen in Elektron-Loch-Paare umgesetzt, wenn die i-Zone genügend dick ist, so dass dort ein genügend groÿer Anteil der einfallenden optischen Leistungabsorbiert wird. Bei Ausbreitung in z-Richtung ist der Verlauf der optischen Leistung P gegeben durch

P (z) = P0 � exp(�2� � z) (1)

2� ist die Absorptionskonstante des Halbleitermaterials und P0 die einfallende Leistung. Die Absorp-tionskonstante steigt für h � � > WG (bzw. � = c=� < �G = h � c=WG ) steil an, wobei der Anstiegbei direkten Halbleitern steiler ist als bei indirekten (siehe Abb. 2).

Abbildung 2: Absorptionskonstante 2� und Absorptionslänge 1=2� von Halbleitern für Photodiodenals Funktion der Wellenlänge � (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)

Wenn man z.B. die Si-Photodiode von Abb. 1a zugrundelegt, so wird die einfallende optische Welle mitder Leistung P0 zunächst an der Halbleiterober�äche re�ektiert (Re�exionsvermögen R) und dringtdann zunächst in das p+-dotierte Bahngebiet ein (Dicke d). Erst die in die i-Zone eindringendenPhotonen tragen zum Photostrom bei. Für die optische Leistung an den Stellen z = d und z = d+wgilt (siehe auch Abb. 3):

P (d) = P0(1� R) � exp(�2�1 � d) (2)P (d + w) = P0(1� R) � exp(�2�1 � d) � exp(�2�2 � w) (3)

Der Quantenwirkungsgrad � ist somit:

� =

∣∣∣∣∣P (d + w)� P (d)

P0

∣∣∣∣∣ = (1� R) � exp(�2�1 � d) � (1� exp(�2�2 � w)) (4)



B a h n g e b i e t , 2 a 1

i - Z o n e , 2 a 2 w

zR

e i n f a l l e n d e o p t i s c h e W e l l e

d

Abbildung 3: Schematische Darstellung des Einfalls einer optischen Welle auf eine Photodiode

Abbildung 4: Beispiele für die Emp�ndlichkeit Ep von pin-Photodioden



Beispiel: Bei einer entspiegelten (R = 0 ) InGaAs/InP-Photodiode mit �1 � 0 und 2�2 � 104 cm�1 ,w = 2 µm und einer Wellenlänge der einfallenden Welle von � = 1; 3 µm ergibt sich ein Quantenwir-kungsgrad von � = 0; 86 .In Datenblättern wird häu�g die Emp�ndlichkeit Ep einer Photodiode angegeben. Sie ist de�niert als:

Ep =IphP0

=e � �h � � = � � �

1; 24 µmAW (5)

mit dem Photostrom Iph. Beispiele für die Emp�ndlichkeit von pin-Photodioden sind in Abb. 4 darge-stellt.

1.2 Grenzfrequenzen der pin-DiodeAbb. 5 zeigt schematisch eine einfache Empfängerschaltung. Der Eingangswiderstand des Verstärkerswird mit RE bezeichnet.

u×h

1R ER

¥C

A u s g a n g

+ U

V e r s t ä r k e r

Abbildung 5: Empfängerschaltung

Zur Diskussion der Grenzfrequenzen betrachten wir noch das Ersatzschaltbild einer in Sperrrichtungvorgespannten pin-Photodiode gemäÿ Abb. 6. Der Diodenleitwert GD in der Diodenersatzschaltung(Abb. 6) kann normalerweise vernachlässigt werden, d.h. GD � 0 . Der Bahnwiderstand RD beträgttypischerweise einige Ohm. Die elektrische Grenzfrequenz ist:

fg =1

2� � CD � (RD + R)mit R = R1jjRE =

R1 � RER1 + RE

(6)

wobei CD die Kapazität der i-Zone ist.Beispiel: Die Kapazität der i-Zone sei CD = 1 pF . Die Widerstände sollen so dimensioniert werden,dass eine Grenzfrequenz fg = 100MHz erreicht wird. Aus dieser Forderung folgt RD + R � R < 1; 6 k .Dabei ist die Wahl eines hohen Verstärkereingangswiderstands RE (mit RE � R1 ) von Vorteil, dasich dann eine hohe Verstärkereingangsleistung ergibt, allerdings auf Kosten der Grenzfrequenz.



DG1

DCp hI

DR

1R ER

P h o t o d i o d e

Abbildung 6: Diodenersatzschaltung

1.3 Grenzfrequenz aufgrund der Ladungsträgerdriftgeschwindigkeit in der pin-DiodeTri�t man die Annahme (in Abb. 1), dass die Ladungsträgerpaare in der Sperrschicht (i-Zone) un-mittelbar am p+-Kontakt erzeugt werden, so kann die Driftzeit der Löcher vernachlässigt werden, dadiese sofort in das p+-Bahngebiet gelangen. Die Elektronen driften dann mit der Driftgeschwindigkeitvn durch die i-Zone zum n+-Gebiet. Daraus folgt für die Driftzeit:

tn =wvn

(7)

Der Stromverlauf aufgrund eines driftenden Elektrons ist in Abb. 7 dargestellt.

e / t n

0 t nt

i ( t )

Abbildung 7: Der Stromverlauf aufgrund eines driftenden Elektrons

Im Frequenzbereich wird der Strom durch seine Fouriertransformierte beschrieben.

I(j!) =1∫

�1i(t) � exp(�j!t) dt (8)



Daraus folgt: ∣∣∣∣∣I(j!)I(0)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣sin(! � tn=2

)

! � tn=2

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣si(! � tn

2

)∣∣∣∣∣ (9)

Für die Grenzfrequenz fg = !g=2� mit∣∣∣∣∣I(j!g)I(0)

∣∣∣∣∣ =1p2

(10)

folgt daraus:fg =

0; 44tn

= 0; 44vnw

(11)

Beispiel: Eine Si-Photodiode mit w = 20 µm weise eine genügend hohe Feldstärke in der Sperrschichtauf, so dass die Sättigungsdriftgeschwindigkeit vn = 100 µm

ns erreicht wird. Mit diesen Werten ergibtsich eine Driftzeit tn = 0; 2 ns und damit eine Grenzfrequenz von fg = 2; 2GHz .Bei InGaAsP-Dioden spielen Drifterscheinungen eine geringere Rolle, da die Lichtabsorption höher istund somit geringere Sperrschichtweiten w realisiert werden können. Diese geringeren Sperrschicht-weiten führen allerdings zu höheren Sperrschichtkapazitäten, was gemäÿ Gl. (6) zu einer reduziertenGrenzfrequenz führt. Die Wahl der Sperrschichtweite w ist damit durch einen Kompromiss zwischenQuantenwirkungsgrad, RC-Grenzfrequenz und Ladungsträgerlaufzeit gegeben.Bei Si-Dioden müssen zusätzlich noch Di�usionse�ekte berücksichtigt werden. Diese werden durchLadungsträger, die in feldfreien Gebieten erzeugt werden und zum Photostrom beitragen, hervorgeru-fen. Dies kann zu Impulsausläufern (auch di�usion-tails genannt) von mehreren Nanosekunden Längeführen.

2 Lawinenphotodiode

Abbildung 8: (a) Si-Diode (reach through avalanche photodiode), (b) InGaAsP-Diode (separate ab-sorption multiplication diode)



Bei Lawinenphotodioden (auch avalanche-photodiode, APD) wie in Abb. 8 bildet sich am Übergangvom n+-Gebiet zum p-Gebiet (Si-Diode in Abb. 8) bei genügend hoher Spannung eine sehr hoheFeldstärke aus (siehe Abb. 9). Dadurch können driftende Ladungsträger neue Ladungsträgerpaare

p +p - Z o n epn + z

E ( z )

Abbildung 9: Das elektrische Feld in der Lawinenphotodiode in Sperrrichtung

erzeugen (ähnlich Lawinendurchbruch). Die Anzahl der dabei pro Weglänge von einem Ladungsträgererzeugten Ladungsträgerpaare wird als Ionisierungsrate �n;p bezeichnet.

� �n -Ionisierungsrate für Elektronen� �p -Ionisierungsrate für Löcher

Bei Si ist �n > �p , während bei InP �n < �p ist.Wird in der �-Zone durch ein Photon ein Ladungsträgerpaar erzeugt, so driften die Elektronen in dieHochfeldzone und erzeugen dort gemäÿ �n weitere Ladungsträgerpaare. Dies führt zu einer Verviel-fachung des Photostroms. Der gesamte Photodiodenstrom ist:

ID = M(Iph + IDV ) + ID0 (12)

�M -Multiplikationsfaktor (abhängig von der angelegten Spannung, siehe Abb. 10)� Iph -Photostrom� ID0 -Dunkelstrom, der nicht vervielfacht wird (Ober�ächenleckstrom)� IDV -Raumladungsdunkelstrom, der wie der Photostrom vervielfacht wird

Prinzipiell sind Verstärkungen bis M = 104 möglich, praktisch sinnvoll ist im allgemeinen aber nurder Bereich M � 100 . Beispielhaft ist in Abb. 10 für eine Si-Lawinenphotodiode der Zusammenhangzwischen dem Multiplikationsfaktor M und der anliegenden Sperrspannung dargestellt.



Abbildung 10: Abhängigkeit des Multiplikationsfaktors M von der angelegten Spannung für eine bei-spielhafte Si-Lawinenphotodiode



2.1 Grenzfrequenz der LawinenphotodiodeNeben den bei der pin-Diode diskutierten E�ekten treten hier noch die Laufzeiten der Ladungsträgerzur Ladungsträgervervielfachung in Erscheinung. Sehr hohe Multiplikationsfaktoren lassen sich dahernur bei kleinen Frequenzen realisieren.

M(f ) =M0√

1 +(ffg

)2mit fg =

12� �M0 � � (13)

� ist die e�ektive Laufzeit durch die Multiplikationszone. Das Produkt aus Bandbreite und Verstärkungist konstant.

M0 � fg =1

2� � � = const. (14)

Bestwerte liegen bei M0 � fg � 300GHz für Si-Dioden und M0 � fg � 100GHz für InGaAs/InP-Diodenmit speziellen Schichtstrukturen.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik OE/1

Optische Empfänger (OE)

Die optische Nachrichtentechnik hat die gröÿte Bedeutung für die Übertragung von pulsmoduliertenSignalen, insbesondere binären pulse-code-modulated (PCM)-Signalen, da die elektrooptische Wand-lung am Halbleiterlaser und die Übertragung über den Lichtwellenleiter nur eingeschränkt linear ist.

1 Idealer EmpfängerEs soll zunächst ein idealer rauschfreier Empfänger betrachtet werden, der in der Lage ist, jedeseinfallende Photon eindeutig zu detektieren.Wieviele Photonen sind dann zur eindeutigen Detektion eines Pulses notwendig?Die minimale Zahl der Photonen wird durch das Quantenrauschen beschränkt. Zur quantitativenBeschreibung des Quantenrauschens kann man davon ausgehen, dass sich die von der Lichtquelleausgesandten Photonen unabhängig voneinander ausbreiten. Die Dämpfung der Lichtwellenleiterüber-tragungsstrecke ist dann einfach ein Maÿ dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Photonden Empfänger erreicht.Wir nehmen als Beispiel an, dass eine Laserquelle N0 Photonen pro Puls emittiert. Die Dämpfung derÜbertragungsstrecke soll 20 dB betragen. Pro Puls erreichen dann im Mittel

N =N0

100

Photonen den Empfänger. Da dies ein Mittelwert ist, kann für jedes Photon eine Wahrscheinlichkeitangegeben werden, mit der es den Empfänger erreicht. Mit 1% Wahrscheinlichkeit erreicht ein be-stimmtes Photon den Empfänger. Mit 99% Wahrscheinlichkeit erreicht ein bestimmtes Photon denEmpfänger nicht.Geht man von einem idealen Empfänger aus, so wird ein Impuls detektiert, wenn von den N0 emittiertenPhotonen mindestens ein Photon den Empfänger erreicht. Die Fehlerwahrscheinlichkeit P ist also dieWahrscheinlichkeit, dass kein Photon den Empfänger erreicht.

P = p(0) (1)

Mit obigen Daten folgt:

p(0) = 0; 99N0 = exp(N0 � ln(0; 99)) � exp(�N) (2)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau n Photonen den Empfänger erreichen, gilt allgemein diePoisson-Verteilung:

p(n) = Nn � exp(�N)n!

(3)

Eine typische Forderung ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 10�9 sein soll (oder P <2 � 10�9 , weil bei einer Gleichverteilung von Nullen und Einsen die Nullen fehlerfrei übertragen werden



und somit die Einsen eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 2 � 10�9 aufweisen dürfen). Daraus folgt fürdie Anzahl der Photonen die pro Puls empfangen werden müssen:

P = exp(�N) < 2 � 10�9 oder N > � ln(2 � 10�9) = 20 (4)

Für eine Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 10�9 müssen also pro übertragenem Puls im Mittelmindestens 20 Photonen den Empfänger erreichen.Beispiel: Wie groÿ ist die benötigte Empfangsleistung bei einem idealen Empfänger, wenn PCM mit10 Gbit/s verwendet wird?Man kann annehmen, dass Nullen und Einsen gleich verteilt sind. Dann werden 5 � 109 Pulse proSekunde gesendet. Die benötigte Empfangsleistung PE bei einem idealen Empfänger für eine Fehler-wahrscheinlichkeit P < 10�9 ist dann

PE � 1011 � 1s � h � � (5)

Bei einer Wellenlänge von � = 1; 3 µm ergibt sich eine benötigte Empfangsleistung von PE � 15 nW=� 48 dBm .

2 Realer EmpfängerBeim realen Empfänger treten im wesentlichen zwei Rauschquellen auf, zum einen das thermischeRauschen und zum anderen das Schrotrauschen.

1. Thermisches Rauschen

R i R

Abbildung 1: Rauschersatzschaltbild eines Widerstands

An einem Widerstand tritt thermisches Rauschen auf (Abb. 1). Die spektrale Rauschleistungs-dichte ist

Wi(f ) =di2Rdf =

4kBTR

(6)

Das mittlere Rauschstromquadrat über eine spektrale Breite �f berechnet sich zu

i2R∣∣∣f1<f <f2

=f2∫

f1

Wi(f ) df =f2∫

f1

di2Rdf df = 4kBT � �f

R(7)



mit �f = f2 � f1.Der mittlere Rauschstrom ist also

√i2R =

√4kBT � �f

R(8)

2. Schrotrauschen

i sI 0

Abbildung 2: Rauschersatzschaltbild einer Stromquelle

Da der Strom�uss durch diskrete Ladungsträger erfolgt, ist der Strom�uss voneinander unab-hängiger Elektronen auch mit einem Rauschen, dem sogenannten Schrotrauschen (ähnlich demQuantenrauschen), behaftet (Abb. 2). Die spektrale Rauschleistungsdichte des Schrotrauschensist

Wi(f ) =di2sdf

= 2e � I0 (9)

Daraus folgt für das mittlere Rauschstromquadrat über einer spektralen Breite �f = f2 � f1

i2s∣∣∣f1<f <f2

=f2∫

f1

di2sdf

df = 2e � I0 � �f (10)

und für den mittleren Rauschstrom√i2s =

√2e � I0 � �f (11)

3 Typische EmpfangsschaltungenIm folgenden werden zwei Empfangsschaltungen mit FET-Eingangsstufen behandelt. FETs weisen imallgemeinen ein geringeres Rauschen als Bipolar-Eingangsstufen auf.



u×h

R

U

¥C

Abbildung 3: Einfache Schaltung eines Empfängers mit hohem Eingangswiderstand

p hIM × C D R

P h o t o d i o d e

1U C g 1US ×

F E T

1Uv ×-

R F

Abbildung 4: Wechselstromersatzschaltbild (ohne Rauschquellen)



3.1 Hochohmiger Empfänger (high-impedance ampli�er)In Abb. 3 ist eine einfache Empfangsschaltung skizziert. Mit dem Ersatzschaltbild der Photodiode ausdem Kapitel PH folgt das Ersatzschaltbild Abb. 4. Die Zeitkonstante des Eingangskreises in Abb. 4(ohne den Rückkoppelwiderstand RF ) ist:

� = R � (Cg + CD) (12)

Dabei ist Cg die Gate-Kapazität des FET-Transistors. Die Grenzfrequenz ist:

fg =1

2� � � =1

2� � R � (Cg + CD)(13)

Für eine möglichst hohe Eingangsspannung U1sollte auch R möglichst groÿ sein. So ergibt sich zumBeispiel für Cg +CD = 1 pF und R = 10M eine Grenzfrequenz von fg = 16 kHz . Damit weist einederartige Schaltung für Frequenzen f � fg ein integrierendes Verhalten auf. Daher wird ein nachfol-gendes Filter für die Frequenzgangkorrektur notwendig. Ein weiterer Nachteil des hochohmigen Emp-fängers ist die geringe Dynamik bezüglich variierendem Eingangspegel, da die niederen Frequenzanteilezu einer hohen Aussteuerung des FETs führen, während die hohen Frequenzen nur zu einer geringenAussteuerung des FETs führen.

3.2 TransimpedanzverstärkerEine Erhöhung der Grenzfrequenz ist in der einfachsten Form dadurch möglich, dass in Abb. 3 einkleiner Widerstand R verwendet wird. So führt z.B. ein Widerstand von R = 50 und eine Kapazitätvon Cg + CD = 1 pF zu einer Grenzfrequenz von f = 3GHz . Allerdings führt ein derartig kleinerWiderstand zu einem gemäÿ Gl. (8) erhöhten Rauschen.Eine andere Alternative bietet der sogenannte Transimpedanzverstärker, bei dem gemäÿ Abb. 4 nochein Rückkoppelwiderstand RF eingefügt wird. Die Wirkung von RF entspricht dabei mit dem Mil-ler'schen Theorem einem Eingangswiderstand RE (parallel zu R).

RE =RF

1 + v(14)

wobei v gemäÿ Abb. 4 die innere Spannungsverstärkung bezeichnet. Mit RE � R erhält man alsGrenzfrequenz des Eingangskreises:

fg =1

2� � RE � (Cg + CD)(15)

Beispiel: Es sei Cg +CD = 1 pF , RF = 10 k und v = 9 . Damit ergibt sich eine Grenzfrequenz vonfg = 160MHz .Man kann damit auch mit einem relativ groÿen Widerstand RF (und damit kleinem Rauschstrom) einrelativ kleines RE und damit eine hohe Grenzfrequenz fg realisieren. Ein praktisches Ausführungsbeispieleines Transimpedanzverstärkers für Datenraten bis ca. 600Mbit/s zeigt Abb. 5.



Abbildung 5: Beispiel für die praktische Realisierung eines Transimpedanzverstärkers (Bild aus:S.A.Siegel, D.J.Channin, RCA Rev. 45, March 1984, S. 3-22)

3.3 Rauschanalyse

p hIM × C D R

P h o t o d i o d e

1UC g

F E T

i 1 i 2 i 3 i 4R F

u 1

1Uv ×

Abbildung 6: Wechselstromersatzschaltbild (mit Rauschquellen)

Zunächst gilt für die Rauschleistungsdichte des Photodiodenrauschens i1:

di21df = 2e � ((Iph + IDV ) �M2 � F + ID0) (16)

Für M = 1 und F = 1 entspricht Gl. (16) dem Schrotrauschen in Gl. (9). F ist ein Zusatzrausch-faktor, der durch den Multiplikationsprozess in Lawinenphotodioden bedingt ist.Er hängt vom Verhältnis der Ionisierungsraten �n und �p ab, gemäÿ

k =�n�p

,wenn der Ionisierungsprozess durch Elektronen eingeleitet wird (Si-Diode)

k =�p�n

,wenn der Ionisierungsprozess durch Löcher eingeleitet wird (InGaAs/InP-Diode)

undF = k �M + (1� k) � (2� 1

M) (17)

Bei der pin-Diode ist M = 1 und damit auch F = 1 .



Gl. (16) lässt sich nun derart interpretieren, dass für eine ideale Lawinenphotodiode (ohne Zusatz-rauschen, F = 1 ) der Photostrom und damit auch der Rauschstrom durch Quantenrauschen mit Mmultipliziert wird, was für das Rauschstromquadrat den Faktor M2 in Gl. (16) zur Folge hat.Um einen möglichst geringen Zusatzrauschfaktor F zu erzielen, sollte bei der Lawinenphotodiodedie Schichtfolge so gewählt werden, dass der Multiplikationsprozess durch die stärker ionisierendenLadungsträger eingeleitet wird und damit k < 1 wird. Für die numerische Auswertung wird häu�g dieNäherung

F = Mx (18)

verwendet. Abb. 7 zeigt den Zusatzrauschfaktor F für verschiedene Photodioden mit Gl. (17) und Gl.(18).

Abbildung 7: Beispiele für den Zusatzrauschfaktor F von unterschiedlichen Photodioden

Die Rauschleistungsdichte des thermischen Rauschens i2 am Widerstand R ist gemäÿ Gl. (6):

di22df =

4kBTR

: (19)

Der Rauschstrom i3 beschreibt das thermische Rauschen des Rückkoppelwiderstandes RF . Die Rausch-leistungsdichte ist

di23df =

4kBTRF

: (20)

Der Rauschstrom i3 liegt eigentlich parallel zu RF , was gemäÿ Abb. 4 zu einer Rauscheinströmungsowohl im Eingangs- als auch im Ausgangskreis führt. Die Rauscheinströmung im Ausgangskreis kann



wegen der dort höheren Signalpegel vernachlässigt werden, so dass in Abb. 6 nur die Rauscheinströ-mung von i3 im Eingangskreis berücksichtigt wird.So kann ein Transimpedanzverstärker mit einem geringenEingangswiderstand RE gemäÿ Gl. (14) und trotzdem geringem Rauschen i3 realisiert werden. Beieinem hochohmigen Empfänger entfällt der Rauschstrom i3 allerdings.u1 und i4 sind transformierte Rauschquellen, die das Rauschen des nachfolgenden Verstärkers beschrei-ben. Sie sind unkorreliert, und für FETs gilt näherungsweise (siehe Vorlesung Hochfrequenztechnik I):

du21

df = 4� � kBTS

- Kanalrauschen des FET, mit � - Faktor der Gröÿenordnung 1 (21)

di24df = 2e � IG - Rauschen des Gate-Leckstroms IG (22)

Das Rauschen der Empfangsschaltung (ohne die Photodiode) wird durch die Rauschquellen i2:::i4 undu1 beschrieben. Da der Widerstand R im allgemeinen sehr groÿ ist (R!1 ), kann i2 vernachlässigtwerden. Das äquivalente Rauschen der Empfangsschaltung wird dann beschrieben durch

di2�adf =

di23df +

di24df +

du21

df

(1R2F

+ (2� � f )2C2

)

= 4kBT �(

1RF

+ � � 1S � R2

F

)

︸︷︷︸entfällt beim hochohmigen Verstärker

+2e � IG + 4�kBT � (2� � f )2C2

S(23)

mit C = Cg + CD .

p hIM × C = C g + C D 1Ui 1 i äR E

Abbildung 8: Vereinfachtes Wechselstromersatzschaltbild mit dem äquivalenten Rauschstrom i�a

Der Transimpedanzverstärker zeigt also ein schlechteres Rauschverhalten als der hochohmige Verstär-ker. Wichtig für geringes Rauschen sind ein kleiner Gate-Leckstrom IG und kleines C2

S .Beispiel: Die äquivalenten Rauschleistungsdichten eines hochohmigen und eines Transimpedanzverstär-kers sollen verglichen werden. Mit f = 100MHz , C = 1 pF , S = 10mS , � = 2

3 , kBT = 4�10�21 Ws ,IG = 1 nA und beim Transimpedanzverstärker zusätzlich RF = 10 k und v = 9 (also RE = 1 k)ergibt sich

di2�adf = (0; 65 � 10�12)2 A 2

Hz für den hochohmigen Verstärker

di2�adf = (1; 4 � 10�12)2 A 2

Hz für den Transimpedanzverstärker



Zum Vergleich soll nun das Rauschen der Photodiode bestimmt werden. Wenn man den Raumladungs-dunkelstrom IDV und den Ober�ächenleckstrom ID0 vernachlässigen kann, folgt aus Gl. (16) und Gl.(18) für die Rauschleistungsdichte mit F = Mx :

di21df = 2e � IphM2+x (24)

Beispiel: Die optische Empfangsleistung sei P0 = 100 nW = � 40 dBm , und die Emp�ndlichkeit derPhotodiode sei Ep = 0; 5 A

W . Daraus resultiert ein Photostrom Iph = 50 nA . Bei einer pin-Photodiode(M = 1 ) ergibt sich dann eine Rauschleistungsdichte von di21

df = (1; 3 � 10�13)2 A 2

Hz .

Ein gängiges Beurteilungskriterium für das Rauschen ist das relative Intensitätsrauschen (RIN - relativeintensity noise). Es entspricht dem Verhältnis zwischen dem Rauschstromquadrat und dem Quadratdes Photogleichstroms.

RIN =

di21df +

di2�adf

� �f

(M � Iph)2 (25)

Mit dem Transimpedanzverstärker und dem obigen Beispiel für eine pin-Photodiode ergibt sich ein RINvon RIN = 7; 9 � 10�10 �f

Hz =� 91 dB/Hz .Wird eine Lawinenphotodiode verwendet, ist ein noch geringeres RIN erzielbar. In diesem Fall folgtaus Gl. (24) und Gl. (25):

RIN =

2eIphMx +

di2�adf �

1(M � Iph)2

�f (26)

Bei einer Lawinenphotodiode hat das RIN ein Minimum für den optimalen Multiplikationsfaktor M opt .

M opt =

di2�adf �

1x � e � Iph

1x+2

(27)

Mit den Werten aus dem obigen Beispiel (Transimpedanzverstärker) und x = 0; 3 (Si-Diode) ergibtsich ein optimaler Multiplikationsfaktor von M opt = 18 und ein minimales RIN vonRINmin = 1; 8 � 10�11 �f

Hz =� 108 dB/Hz .Die Gl. (25) und Gl. (26) erwecken den Eindruck, dass durch die Wahl eines nur genügend hohenPhotostroms Iph ein beliebig kleines RIN erzielbar ist.Tatsächlich weist aber eine Lichtquelle, z.B. ein Halbleiterlaser auch zusätzliche eigene stochastischeSchwankungen auf, denen ebenfalls ein RIN zugeordnet wird, welches natürlich auch am Empfängernicht unterschritten werden kann. Dieses senderbedingte RIN ist für einen typischen index- und gewinn-geführten Halbleiterlaser in Abb. 9 dargestellt. Dieses RIN hat ein Maximum beim Schwellstrom desHalbleiterlasers, während genügend weit oberhalb der Schwelle RIN Werte kleiner als 10�15 �f/Hzentsprechend �150 dB/Hz erreichbar sind.



Abbildung 9: Gemessenes RIN für (a) index-geführten Laser und (b) gewinn-geführten Laser

Diese geringen RIN-Werte sind allerdings nur unter idealen Bedingungen erreichbar, insbesondere darfvon der optischen Übertragungsstrecke kein Licht in den Laser zurück re�ektiert werden. Eine Re�exionvon nur 10�4 (bezüglich der Leistung) kann bereits zu einem Anstieg des senderbedingten RIN aufmehr als �100 dB/Hz führen, weshalb hochwertige optische Sendermodule Richtungsleitungen (engl.isolators) beinhalten, die das Licht nur in einer Richtung passieren lassen.

4 Anforderungen an die analoge ÜbertragungBeispiel: Ein analoges Fernsehsignal mit der Bandbreite �f = 5MHz und der Trägerfrequenzf = 100MHz soll optisch übertragen werden. Für das Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signal-to-noise-ratio) soll SNR > 50 dB =105 gelten.Es wird in Abb. 10 eine Modulation des Photostroms Iph(t) mit dem Modulationsindex m betrachtet,so dass sich als Signalleistung des Photostroms ergibt:

Signalleistung � 12�M2 � I2

ph =m2

2�M2� < Iph >2 (28)

Daraus folgt für das SNR:

SNR =SignalleistungRauschleistung =

m2

2 �M2� < Iph >2

i21 + i2�a=

m2

2 � RIN(29)



< I p h >

t

I p h ( t )

><×= p hp h ImI �

Abbildung 10: Sinusförmiger Photostrom mit Iph = m� < Iph >

Es sei nun m = 0; 5 . Daraus folgt die Bedingung RIN < 1; 25 � 10�6 bezogen auf die Bandbrei-te �f = 5MHz . Bezogen auf 1Hz Bandbreite entspricht dies einem RIN = 2; 5 � 10�13 �f

Hz = �126 dB/Hz . Für M = 1 und den Werten wie im obigen Beispiel (Transimpedanzverstärker) ergibt sichein notwendiger Photostrom von Iph > 3; 5 µA . Mit einer Diodenemp�ndlichkeit von Ep = 0; 5 A

Wergibt sich eine notwendige optische Empfangsleistung von P > 7 µW =� 21; 5 dBm . Das bedeutet,dass für eine am Sender eingekoppelte Leistung von 0 dBm nur eine Dämpfung von gröÿenordnungs-mäÿig 20 dB überbrückbar ist.Das obige Beispiel macht deutlich, dass bereits die faseroptische Übertragung von nur einem analogenFernsehkanal nicht unproblematisch ist. Um aber z.B. konkurrenzfähig mit einem koaxialen Fernseh-verteilnetz zu sein, ist die Übertragung von einer groÿen Anzahl von Fernsehkanälen erforderlich. Wennwir z.B. die Übertragung von 40 Fernsehkanälen voraussetzen (sogenanntes Subträger-Multiplex, SCM- subcarrier multiplex) mit einem Modulationsindex mi = 5 % pro Kanal, so ergibt sich bei statistischerUnabhängigkeit der Kanäle ein mittlerer Gesamt-Modulationsindex me�:

me� =√∑

im2i (30)

In diesem Beispiel mit 40 Fernsehkanälen ergibt sich der mittlere Gesamt-Modulationsindex zume� =

√40 � (0; 05)2 = 0; 31 , was bezüglich möglicher Verzerrungen noch akzeptabel ist.

Mit einer etwas reduzierten Anforderung an das SNR von SNR > 47 dB folgt aus Gl. (29) einRIN < �143 dB/Hz . Dies stellt eine sehr hohe Anforderung dar und ist bereits nah am senderbeding-ten RIN in Abb. 9. Wenn man weiterhin voraussetzt, dass das RINjgesamt mit

1RINjgesamt

=1

RINjSender +1

RINjEmpfänger(31)

gleichermaÿen vom Sender und vom Empfänger hervorgerufen wird, so ist dannRINjSender != RINjEmpfänger < �146 dB/Hz zu fordern, was selbst für einen idealen Empfänger( d i2�a = d f = 0 ) mit Gl. (26) zu einem sehr hohen benötigten Photostrom Iph > 130 µA führt. Damitist eine hochwertige optische Analogübertragung nur begrenzt möglich.



Trotzdem werden derartige Lösungen für zukünftige Faser-Koax-Hybridsysteme intensiv diskutiert,wobei auch Subträger-Multiplex-Systeme mit digital modulierten Subträgern (z.B. QAM - Quadratur-Amplituden-Modulation) in die Überlegungen einbezogen werden.

5 Digitaler EmpfängerDie digitale Übertragung ist für faseroptische Übertragungssysteme vorteilhaft, da im Vergleich zuranalogen Übertragung ein geringeres SNR ausreichend ist. Allerdings ist eine höhere Bandbreite erfor-derlich, die im allgemeinen aber vorhanden ist. Abb. 11 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines digitalenEmpfängers. Im folgenden sollen nur binäre PCM-Signale untersucht werden.

Abbildung 11: Schematische Darstellung eines digitalen Empfängers. Auf die Photodiode folgt derVorverstärker, der Entzerrer und ein Filter, das für gegebenen Eingangspuls h(t) den Ausgangspulsha(t) liefert.

Die Rate der ankommenden Pulse ist

Pulsrate = Bitrate = B =1TB

. (32)

TB ist die Länge des Zeitschlitzes eines Bitintervalls. Für Eingangs- und Ausgangspulse soll die Nor-mierung 1∫

�1h(t) dt = 1 und

1∫

�1ha(t) dt = 1 (33)

gelten. Ein binäres PCM-Signal kann dargestellt werden als

P (t) =∑ndn �W0 � h(t � n � TB) (34)

mit der optischen Energie eines Pulses W0, dn = 0 für eine logische Null und dn = 1 für eine logischeEins.Zu den Zeitpunkten t = n �TB wird vom Entscheider bewertet, ob eine logische �0� oder eine logische�1� vorliegt. Um dabei Fehler durch Nachbarpulse zu vermeiden, sollte der Puls h(t) in einen Puls ha(t)



übergehen, für den ha(n � TB) = 0 bei n 6= 0 gilt. Diese Forderung wird z.B. durch folgendes ha(t)(siehe auch Abb. 11) erfüllt (raised cosine family):

ha(t) = h0 �sin(�TB t

)

�TB t

� cos(��TB t

)

1� ( 2�TB t

)2 (35)

Die Konstante h0 ist eine Normierungsgröÿe. Der Puls wird dann durch � ( 0 < � < 1 ) charak-terisiert, wobei � = 0 beispielsweise die sin(x)=x Funktion darstellt. Durch die Auswertung desAugendiagramms (Übereinanderschreiben von statistisch verteilten �0� und �1�; siehe Abb. 12) kanndas optimale � ermittelt werden. Sowohl die Pulsform als auch das Augendiagramm ist in Abb. 13dargestellt. Dabei ist die vertikale Augenhöhe unabhängig von �, aber die maximale horizontale Au-genö�nung ergibt sich für � = 1 .

Abbildung 12: Gemessenes Augendiagramm für 160 Mb/s - Signal

Damit ist die optimale Pulsform durch � = 1 in Gl. (35) gegeben mit h0 = 1TB wegen Gl. (33). Das

Spektrum des Ausgangspulses ist

Ha(j!) =1∫

�1ha(t) � exp(j!t) dt (36)

und ist in Abb. 14 dargestellt. Für � = 0 ergibt sich ein rechteckförmiges Spektrum, während sich



Abbildung 13: Pulsform und Augendiagramm für Pulse nach Gl. (35)

für � > 0 ein cosinus-förmiger Übergangsbereich ergibt und schlieÿlich für � = 1 gilt:

Ha(j!) =

cos2

(TB4!

)für

∣∣∣∣!

2�

∣∣∣∣ <1TB

= B

0 sonst(37)

0

1

Ha( j w )

b = 1

b = 0

1 / ( 2 T B ) 1 / T B

w / 2 p

Abbildung 14: Einseitiges Spektrum Ha(j!) des Ausgangspulses ha(t)

Um diesen gewünschten Ausgangspuls mit � = 1 zu erhalten, ist die Übertragungsfunktion desEmpfängers G(j!) zu wählen als:

G(j!) =Ha(j!)H1(j!)

(38)



H1(j!) ist die Fouriertransformierte des Eingangspulses h(t). Zunächst sollen nur sehr kurze Ein-gangspulse (� TB ) am Empfänger betrachtet werden. Dann gilt

H1(j!) � 1 und (39)G(j!) = Ha(j!) . (40)

5.1 Rauschbetrachtung des digitalen EmpfängersAusgangspunkt der Rauschbetrachtung ist das Wechselstromersatzschaltbild in Abb. 15 ähnlich Abb.8 mit i�a und i1 nach Gl. (23) und Gl. (24). Die Stromkomponenten i�a, i1, sowie der PhotostromM � iph(t) werden alle in gleicher Weise durch Maÿgabe der Übertragungsfunktion G(j!) = Ha(j!)zum Ausgang übertragen.

)t(iM p h× C = C g + C D i 1 i äR E u 1 ( t )( )wjH a ( t )iM p h e× i 1 e i e f f

Abbildung 15: Wechselstromersatzschaltbild mit Rauschquellen

Der äquivalente Rauschstrom des Empfängereingangs i�a wird mit der Übertragungsfunktion Ha(j!)zum Rauschstrom ief f mit

i2ef f =1∫

0

di2�adf

∣∣Ha(2�jf )∣∣2 df (41)

woraus mit Gl. (23) und Gl. (37) folgt:

i2ef f = 0; 375 � B �4kBT �

(1RF

+�

R2F � S

)+ 2eIG

+ 0; 03 � B3 �

(4�kBT � (2� � C)2

S

)(42)

Zusätzlich zum transformierten Empfängerrauschstrom ief f beinhaltet Abb. 15 noch den transformier-ten Photorauschstrom i1e . Gemäÿ Gl. (24) ist der Rauschterm i1 der Photodiode signalabhängig. DasSignal wird beschrieben durch

iph(t) = Ep � P (t) = Ep �∑ndn �W0 � h(t � n � TB) (43)

Zur Vereinfachung soll nur ein Puls betrachtet werden ( n = 0 ). Daraus folgt für den Photostrom

iph(t) = Ep �W0 � d0 � h(t) (44)

Für eine logische �0� gilt:

d0 = 0 ) iph = 0 ) i21 = 0 ) i21e = 0 (45)



Für eine logische �1� ist d0 = 1 . Dann gilt näherungsweise:

i21e = 2e� < iph(t) > �Mx+2 � �f (46)

mit der Bandbreite

�f =1∫

0

∣∣Ha(2�jf )∣∣2 df =

B2

(47)

und dem mittleren Photostrom innerhalb des Bitintervalls

< iph(t) >= Ep � W0

TB= Ep �W0 � B: (48)

Daraus folgt für das mittlere Rauschstromquadrat am Ausgang für eine logische �1�

i21e = e � Ep �W0 �Mx+2 � B2: (49)

5.2 Fehlerwahrscheinlichkeit

)( tiM p h e×

tBT- BT0

B

pp h e T

EWMi ××= 0)

ei

21

2ee f f ii +

2e f fi

Abbildung 16: Verlauf des mit Ha(j!) an den Ausgang transformierten Photostroms iphe(t) (ie -Entscheiderschwelle)

Dem mit Ha(j!) an den Ausgang transformierten Photostrom iphe(t) (siehe Abb. 16) ist ein Rauschenmit dem Rauschstromquadrat

i2R = i2ef f + i1e (50)

überlagert. Für eine logische �0� gilt i2R = i2ef f . Für eine logische �1� gilt i2R = i2ef f + i21e mit i21e gemäÿGl. (49). Zum Zeitpunkt t = 0 wird entschieden, ob eine �0� oder �1� vorliegt. Bei M �iphe(t = 0) > iewird auf �1� und bei M � iphe(t = 0) < ie wird auf �0� entschieden. ie ist die Entscheiderschwelle. ZurIllustration dient Abb. 16.



Die Fehlerwahrscheinlichkeit beim Auslesen einer �0� ist also die Wahrscheinlichkeit, dass M � iphe > ieist. Mit der Annahme einer Gauÿschen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung des Rauschens ergibt sichfür die Fehlerwahrscheinlichkeit für ein fehlerbehaftetes Auslesen einer �0� mit i = M � iphe(t) :

P (0) = p(i > ie) =1∫

ie

1√2� � i2ef f

� exp

�1

2� i2i2ef f

di �

exp(�Q2

02

)

p2� �Q0

(51)

mitQ0 =

ie√i2ef f

: (52)

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beim Auslesen einer �1� P (1) ist:

P (1) = p(i < ie) =ie∫

�1

1√2� � i2R

� exp

�1

2� (Iphe � i)2

i2R

di �

exp(�Q2

12

)

p2� �Q1

(53)

mit i2R = i2ef f + i21e für eine logische �1� und

Q1 =Iphe � ie√

i2R: (54)

Die optimale Entscheiderschwelle ist erreicht, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeiten für �0� und �1�gleich groÿ sind (P = P (0) = P (1) ). Dies ist o�ensichtlich dann der Fall, wenn

Q0!= Q1 = Q (55)

Diese Bedingung führt mit Gl. (52) und Gl. (54) auf

Q =Iphe �Q

√i2ef f√

i2R(56)

und damit aufQ =

Iphe√i2R +

√i2ef f

. (57)

Für vorgegebenes Rauschen und vorgegebene PulsenergieW0 lässt sich Q und damit die zu erwartendeFehlerwahrscheinlichkeit bestimmen. In der Praxis wird zunächst eine zulässige Fehlerrate vorgegebenund damit die notwendige Pulsenergie W0 bestimmt. Mit i2R für eine logische �1� und Iphe = M �W0 � EpTBlässt sich Gl. (57) nach W0 au�ösen und man erhält

W0 =QEp

2 � TBM

�√i2ef f︸︷︷︸

Verstärkerrauschen

+ e �Q �Mx︸︷︷︸

Quanten- und Lawinenrauschen

(58)



Für die minimal erforderliche Pulsenergie W0 kann auch eine optimale Lawinenverstärkung M opt ge-funden werden:

M opt =

2 � TB �√i2ef f

e � x �Q

1x+1

(59)

Beispiel: Ein Transimpedanzverstärker mit den Werten aus den vorangegangenen Beispielen und eineSi-Lawinenphotodiode mit Ep = 0; 5 A

W und x = 0; 3 sollen für den Empfang eines Signals miteiner Bitrate B = 140Mbit/s und einer Fehlerrate von 10�9 (entspricht Q = 6 ) eingesetzt werden.Zunächst wird das e�ektive Rauschstromquadrat am Ausgang i2ef f nach Gl. (41) bestimmt. Es ergibtsich

√i2ef f = 9; 4 nA . Daraus folgt die optimale Lawinenverstärkung M opt = 113 und die benötigte

Pulsenergie W0 = 6; 18 � 10�17 Ws .Für eine Wellenlänge � = 0; 85 µm entspricht dies 265 Photonen, die pro Puls den Empfänger errei-chen müssen. Für gleichverteilte Nullen und Einsen ergibt sich die notwendige Empfangsleistung dannzu PE = W0

2 � B = 4; 3 nW (=� 53; 6 dBm ).

Abbildung 17: Einfache Pulsformen und ihre e�ektive Dauer �; (a) Rechteckimpuls, (b) Gauÿimpuls,(c) Sprungimpuls mit exponentieller Rück�anke (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)

Bisher wurde von extrem kurzen Pulsen (� TB) ausgegangen. Als Maÿ für die Pulsdauer eines realenPulses wird z.B. die Varianz � verwendet. Sie ist de�niert als:

� =

√√√√√√1∫

�1h(t) � t2 dt �

1∫

�1h(t) � t dt

2

(60)

Beispiele für � bei verschiedenen Pulsformen sind in Abb. 17 angegeben.Bei realen Pulsen ergeben sich Emp�ndlichkeitseinbuÿen, die von der e�ektiven Dauer � abhängen(Abb. 18). Dies ist darin begründet, dass bei breiten Pulsen h(t) die Spektralanteile H1(j!) bei hö-heren Frequenzen heruntergehen, die dann durch eine entsprechende Übertragungsfunktion G(j!)entsprechend Gl. (38) wieder angehoben werden müssen. Dadurch werden auch die Rauschanteile an-gehoben und die Empfängeremp�ndlichkeit verschlechtert sich. Für alle hier betrachteten Pulsformenbleibt bleibt aber der Emp�ndlichkeitsverlust unter 1 dB, solange für die Pulsbreite

�TB

< 0; 25 (61)



gilt.Abschlieÿend zeigt Abb. 19 praktisch erreichte Empfängeremp�ndlichkeiten im Vergleich zur Quan-tenrauschgrenze.

Abbildung 18: Emp�ndlichkeitsverlust verschiedener Pulsformen

Abbildung 19: Beispiele für experimentell erreichte minimale Empfangsleistung in Abhängigkeit vonder Bitrate. Mit eingetragen ist die durch das Quantenrauschen bedingte untere Grenze < P0 >.


Einführung in die optische Nachrichtentechnik EDFA/1

Optische Faserverstärker (EDFA)

1 Einwellige optische Übertragungssysteme mit Faserverstärkern

1.1 Einführende Systembetrachtungen

Entsprechend Abschnitt RS sind optische Übertragungssysteme entweder dispersions- oder dämpfungs-

begrenzt. Zumindest die Dämpfungsbegrenzung läßt sich teilweise aufheben durch die Einführung von

optischen Verstärkern.

Optische Verstärker nutzen wie Laser die stimulierte Emission. So können beispielsweise Halbleiterla-

serverstärker aufgebaut werden, indem einfach die Kristallendflächen entspiegelt werden.

Eine größere Bedeutung haben jedoch Faserverstärker erlangt. Ein mögliches Übertragungssystem mit

Faserverstärkern ist in Abb. 1 skizziert. So ist es möglich, die einzelnen Datenkanäle auf verschiedenen

XMTR

XMTR

XMTR

O

M UX

OA OA OA

O

DMUX

RCVR

RCVR

RCVR

Data DataIn

In

In

Out

Out

Out

l

l

l

l

l

l

2

N

~90-150km

1 1

2

N

lA

l1,l2 lN

Pump laser (0.98 m)

N mW

Er-Doped Fiber

m

S~

l1 l2 lNl1 2 lN

N WS mP0

...

P

...,

Saturated

1550nm

Gain

l

~i

35 nm

Abbildung 1: Übertragungssystem mit Faserverstärkern

Wellenlängen λ1 . . . λN zu transportieren (auch bezeichnet als Wellenlängen-Multiplex), sie dann in ei-

nem Multiplexer (MUX) zusammenzufassen und sie schließlich gemeinsam in Faserverstärkern (optical

amplifier = OA) zu verstärken und so die Dämpfung der Faser auszugleichen. Im Empfänger werden

schließlich die einzelnen optischen Kanäle in einem Demultiplexer (DMUX) wieder getrennt.

Auf diese Weise sind Streckenlängen von mehr als 10000 km (Trans-Pazifik) ohne elektrische Rege-

neration der optischen Signale übertragbar.

TU Berlin – Prof. Dr.-Ing. K. Petermann


1.2 Prinzipielle Wirkungsweise eines Faserverstärkers

Ein Faserverstärker besteht im wesentlichen aus einer mit einer seltenen Erde (z.B. Er) dotierten Faser

(im allgemeinen Quarzglasfaser). Diese Er-dotierte Faser wird mit einem Laser geeigneter Wellenlänge

gepumpt (d.h. das Licht des Lasers wird in die Er-dotierte Faser eingestrahlt), um so eine Besetzungs-

inversion und damit eine optische Verstärkung in der Er-dotierten Faser zu erreichen.

Abb. 2 zeigt das Energieniveauschema von Er. So werden beispielsweise mit einem Pumplaser mit

t m

Energy Level Diagram

980nm 1480nm 1520-1570nm~10ms

1 s~

t

I

I11/2

13/2

15/24

4

4

I

Abbildung 2: Energieniveauschema von Er

λ = 980 nm Elektronen des Grundniveaus 4I1 5/2 in das Niveau 4I1 1/2 angehoben, wobei sich die

dortigen Elektronen schnell (mit einer Zeitkonstante von 1 µs) in das Niveau 4I1 3/2 entleeren. Die

Zeitkonstante im Niveau 4I1 3/2 ist mit 10 ms relativ hoch, so dass sich dort auch schon bei mäßiger

Pumpleistung hohe Elektronenkonzentrationen und damit eine Besetzungsinversion gegenüber dem

Grundniveau und damit eine stimulierte Verstärkung ergibt.

Um eine optische Verstärkung zu erzielen, genügen im allgemeinen Pumpleistungen von wenigen 10

mW, wobei bei typischen Er-dotierten Faserlängen in der Größenordnung von 10 m Verstärkungen

> 20 . . .30 dB erzielt werden. Die maximal erreichbare optische Ausgangsleistung des Faserverstär-

kers ist durch die verfügbare Pumpleistung begrenzt, wobei typische Er-dotierte Faserverstärker Sät-

tigungsausgangsleistungen von 20 . . . 50 mW (13 . . . 17 dBm) zulassen.

Das ungefähre Verstärkungsprofil eines Er-dotierten Faserverstärkers ist in Abb. 1 mit skizziert, wobei

eine Bandbreite von ca. 35 nm (dies entspricht mehr als 4 THz= 4000 GHz) erreicht wird. Im Ver-

gleich zu elektrischen Verstärkern steht damit mit dem Faserverstärker eine extrem hohe Bandbreite

zur Verfügung.

Er-dotierte Verstärker sind von besonderer Bedeutung, da sie einerseits hohe stimulierte Verstärkun-

gen bereits bei relativ kleinen Pumpleistungen ermöglichen und andererseits ihre maximale Verstärkung

gerade bei 1550 nm im Bereich des Dämpfungsminimums der Quarzglasfaser aufweisen.

Bei Dotierung mit anderen seltenen Erden sind aber auch Faserverstärker bei anderen Wellenlängen

(z.B. Pr-Dotierung für λ = 1.3 µm) möglich.



1.3 Rauschen von Übertragungsstrecken mit Faserverstärkern

Leider führen die Faserverstärker nicht nur zu einer Verstärkung des optischen Eingangssignals, sondern

sie erhöhen aufgrund der spontanen Emission (die immer mit stimulierter Emission verbunden ist) auch

den Rauschpegel und verschlechtern damit das Signal/Rauschverhältnis. Zur Analyse des Rauschens

des Faserverstärkers sei zunächst noch einmal das Quantenrauschen näher betrachtet.

1.4 Quantenrauschen

Das Quantenrauschen entspricht in seinem Erscheinungsbild genau dem Schrotrauschen (vergleiche

Hochfrequenztechnik II, Kapitel RAU). Wenn die gesamte optische Leitung P (t) dargestellt wird durch

P (t) = P0 + ∆P (t) (1)

mit der mittleren optischen Leistung P0 und der Fluktuation ∆P (t) aufgrund des Quantenrauchens,

läßt sich die spektrale Rauschleistungsdichte von ∆P (t) genau wie beim Schrotrauschen angeben,

wenn der mittlere Strom durch P0 und die Elementarladung durch (hν) ersetzt wird gemäß:

d < (∆P )2 >

df= 2 · (hν)P0 (2)

bzw. mit der Autokorrelationsfunktion

ρ∆P (τ) =< ∆P (t)∆P (t − τ) >= (hν)P0δ(τ) (3)

Die (zweiseitige) spektrale Leistungsdichte ergibt sich als Fouriertransformierte der Autokorrelations-

funktion

S∆P =

∞∫

−∞

< ∆P (t)∆P (t − τ) > exp(−jωτ)dτ = (hν)P0 , (4)

wobei für die (einseitige) spektrale Leistungsdichte von Gl. (2) gilt

d < (∆P )2 >

df= 2 · S∆P (5)

1.5 Beschreibung des Quantenrauschens mit der Nullpunktenergie

Die Beschreibung des Quantenrauschens ist auch direkt mit dem komplexen optischen Feld E(t) mit

E(t) = (E0 + ∆E0) exp(j2πν0t) (6)

möglich, wobei E0 ein monochromatisches optisches Feld mit der Frequenz ν0 bezeichnet, derart

normiert, dass |E0|2 = P0 die optische Leistung darstellt. ∆E0(t) bezeichnet die überlagerten Fluk-

tuationen entsprechend dem Quantenrauschen. Die Fluktuation ∆E0 kann beschrieben werden mit der

Autokorrelationsfunktion

< ∆E0(t)∆E⋆0(t − τ) >=

h · ν2δ(τ) , (7)



wobei h · ν/2 die sogenannte ”Nullpunktsenergie” darstellt, so dass sich für die spektrale Rauschlei-

stungsdichte

S∆E0 =

∞∫

−∞

< ∆E0(t)∆E⋆0(t − τ) > exp(−jωτ)dτ =

hν

2(8)

gerade die Nullpunktsenergie ergibt.

∆E0 ist komplex mit

∆E0 = Re(∆E0) + j Im(∆E0) , (9)

so dass sich die gesamte spektrale Rauschleistungsdichte von Gl. (8) zu gleichen Teilen auf den Real-

und Imaginärteil aufteilt:

SRe(∆E0) = SIm(∆E0) =h · ν4. (10)

Die optische Leistung P (t) ergibt sich mit Gl. (6) dann zu

P (t) =∣∣E(t)

∣∣2 = |E0|2 + 2Re(E0∆E⋆0) + |∆E0|2

= P0 + ∆P (t) , (11)

wobei für |E0| ≫ |∆E0| der Term |∆E0|2 in Gl. (11) vernachlässigt werden kann und sich

∆P (t) = 2Re(E0∆E⋆0) (12)

ergibt. Wenn man der Einfachheit halber E0 als reell annimmt, gilt ∆P (t) = 2E0Re(∆E0) und damit

für die spektrale Rauschleistungsdichte

S∆P = 4E20SRe(∆E0) = 4P0

h · ν4= (h · ν)P0 (13)

in Übereinstimmung mit Gl. (4). Damit ist gezeigt, dass das Quantenrauschen auch mit Hilfe der

Nullpunktfluktuation ∆E0 dargestellt werden kann.

1.6 Rauschzahl von Faserverstärkern

Die grundsätzliche Beschreibung des Rauschens von Halbleiterlaser - oder Faserverstärkern erfolgt

mit Abb. 3: Das Eingangssignal E0 wird mit der Leistungsverstärkung G (bzw. Amplitudenverstärkung√G) verstärkt. Darüber hinaus erscheinen am Ausgang wieder die Nullpunktfluktuationen ∆E0 mit der

Rauschen durchspontane Emission

(E + E ) exp(j2 t) npD0 0 G 0D D+ E ASE pn0exp( ) ( j2 t )Faserverstärker00 E 0+ E

Abbildung 3: Schematische Darstellung des Rauschens in Faserverstärkern



Autokorrelationsfunktion nach Gl. (7), welche vom Verstärkungsprozess unbeeinflusst sind. Weiterhin

ist mit der Verstärkung (stimulierte Emission) auch immer eine spontane Emission verbunden, die

sich als Zusatzrauschen bemerkbar macht und in Abb. 3 durch ∆EASE (ASE = amplified spontaneous

emission) berücksichtigt ist. ∆EASE läßt sich beschreiben durch die Autokorrelationsfunktion

< ∆EASE(t)∆E⋆ASE(t − τ) >= nsp(G − 1)(h · ν)δ(τ) (14)

bzw. die (zweiseitige) spektrale Leistungsdichte

S∆EASE = nsp(G − 1)(h · ν) (15)

Gl. (14) , (15) sind hier nicht bewiesen, aber sie lassen sich plausibel machen, wenn man bedenkt, dass

die spontane Emissionsrate proportional ist zur stimulierten Emissionsrate (und damit zur Verstärkung

(G − 1)) und zum Inversionskoeffizienten nsp (vergleiche z.B. S. MOD/1).

Ähnlich zu elektrischen Verstärkern läßt sich nun eine Rauschzahl F einführen gemäß

F =(SNR)|Eingang(SNR)|Ausgang

=|E0|2/ < |∆E0|2 >

G|E0|2/(< |∆E0|2 > + < |∆EASE |2 >), (16)

wobei SNR das Verhältnis zwischen Signal- und Rauschleistung beschreibt. Aus Gl. (16) folgt:

F =1

G

(

1 +< |∆EASE |2 >< |∆E0|2 >

)

=1

G

(

1 + 2nsp(G − 1))

, (17)

wenn man < |∆EASE |2 >∼ S∆EASE mit Gl. (15) und < |∆E0|2 >∼ S∆E0 mit Gl. (8) berücksichtigt.

Für hohe Verstärkungen G ≫ 1 vereinfacht sich Gl. (17) zu:

F ≈ 2 · nsp . (18)

Im Minimum kann somit die Rauschzahl eines Faserverstärkers (nsp=1) gerade den Wert 2 (≡ 3 dB)

annehmen.

Die Rauschzahl F ist in Gl. (16) bezogen auf die optischen Signal/Rausch-Verhältnisse. Man kann zei-

gen, dass die Rauschzahl F unverändert bleibt, wenn die Signal/Rausch-Verhältnisse auf die elektrische

Leistung nach der opto-elektronischen Wandlung bezogen werden.

1.7 Beispiele für Rauschzahlen

1.7.1 Passive Komponenten

Bei passiven Komponenten, z.B. verlustbehafteten Fasern, Fasersteckern oder sonstigen Koppelstellen

ist die Verstärkung GF < 1. Andererseits gilt∆EASE = 0, so dass sich die Rauschzahl F nach Gl. (17)

einfach zu

F =1

GF(19)

ergibt (vergleiche auch die Rauschzahl passiver elektrischer Netzwerke, siehe z.B. Hochfrequenztechnik

I, Abschnitt RAU)



F ,G1 21 2F ,G

Fges

Abbildung 4: Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke

1.7.2 Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke

In analoger Weise zu elektrischen Netzwerken (vgl. Hochfrequenztechnik I, Abschnitt RAU) läßt sich

zeigen, dass die Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke mit den Rauschzahlen F1, F2 und

den Verstärkungen G1, G2 entsprechend Abb. 4 zu einer Gesamtrauschzahl

Fges = F1 +F2 − 1G1

(20)

führt.

Als Beispiel sei ein Faserverstärker mit der Rauschzahl Fv und einer verlustbehafteten Koppelstelle am

Eingang mit dem Koppelwirkungsgrad η und damit einer Rauschzahl 1/η betrachtet, woraus sich eine

gesamte Rauschzahl

Fges =1

η+Fv − 1η

=Fvη

(21)

ergibt.

Bei Faserverstärkern ist aufgrund der im allgemeinen gegebenen Kompatibilität von der dotierten Faser

des Faserverstärkers und der Faser der Faserstrecke ein hoher Koppelwirkungsgrad η nahe 1 realisierbar,

so dass Faserverstärker mit Rauschzahlen 4 . . . 5 dB realisiert werden können. Bei Halbleiterlaserver-

stärkern sind für den inneren Verstärker mit nsp ≈ 1.5 (vgl. Gl. (12)) zwar ähnliche Rauschzahlen

erzielbar. Unter Berücksichtigung des Koppelwirkungsgrades zwischen Faser und der aktiven Zone im

Halbleiterlaserverstärker steigt die Rauschzahl dort auf typischerweise 8 . . .9 dB an.

1.8 Betrachtung des Rauschverhaltens kompletter Übertragungsstrecken

Zur Analyse der Rauschzahl kompletter Übertragungsstrecken wie in Abb. 1 ist zunächst die Rauschzahl

eines Segments, bestehend aus einem Faserelement und dem nachfolgenden optischen Verstärker,

gemäß Abb. 5 zu betrachten. Die Gesamtverstärkung des Segments ist 1, da der Verstärker gerade die

Verluste der Faser ausgleicht. Als Rauschzahl für dieses Segment ergibt sich aus Gl. (21) mit η = 1/G:

Fseg = G + G(Fv − 1) = G · Fv (22)

und mit der Rauschzahl Fv des Faserverstärkers gemäß Gl. (17) folgt:

Fseg = 1 + 2nsp(G − 1) . (23)



Verlust

Verstärkung

1/G

G

Abbildung 5: Segment einer optischen Übertragungsstrecke, bestehend aus der Faser und nachfolgen-

dem optischen Verstärker

N - mal

(E + E + E )0 0 ASED D(E + E )0 0D

Abbildung 6: Prinzipielle Darstellung der gesamten Übertragungsstrecke

Die komplette optische Übertragungsstrecke besteht nun aus vielen hintereinandergeschalteten Seg-

menten wie in Abb. 6.

Da jedes Segment die Verstärkung 1 aufweist (Verstärkung und Faserverluste heben sich gerade auf),

ergibt sich für die gesamte Rauschzahl Fges der hintereinandergeschalteten N Segmente:

Fges = 1 + N · (Fseg − 1) = 1 + 2Nnsp(G − 1) . (24)

Wenn die Faserlänge pro Segment mit Loa bezeichnet wird, ist der Leistungsabfall entlang der Faser

gerade mit exp(−2αLoa) (Definition von α wie auf S. GRU/8) gegeben, so dass der Faserverstärker

gerade eine Verstärkung von

G = exp(2αLoa) (25)

aufweisen muß, um die Verluste auszugleichen. Bei einer gesamten Streckenlänge L sind N = L/LoaSegmente erforderlich, so dass sich für die gesamte Übertragungsstrecke mit einem Verstärkerabstand

Loa folgende Rauschzahl ergibt:

Fges = 1 + 2nspL

Loa

(

exp(2αLoa)− 1)

. (26)

In Abb. 7 ist diese Gesamtrauschzahl für Streckenlängen von L=1000 km und L=10000 km in Abhän-

gigkeit des Verstärkerabstandes Loa dargestellt (Annahme: Faserdämpfung α = 0.2 dB/km bzw. 0.023

Np/km (GRU/8); nsp = 2 entsprechend einer Rauschzahl von 6 dB pro Faserverstärker). Wie man

Abb. (7) entnimmt, kann die Rauschzahl bei langen Übertragungsstrecken und großen Verstärkerab-

ständen durchaus hohe Werte annehmen, wobei aber ein Fges > 10000 nur in Sonderfällen akzeptabel

ist, wie später gezeigt wird.



25 50 75 100 125 150100

1000

10000

10000 km

1000 km

Rau

schz

ahl F ge

s

Verstärkerabstand Loa [km]

Abbildung 7: Rauschzahl einer optischen Verstärkerstrecke in Abhängigkeit vom Verstärkerabstand

1.8.1 Verstärkte spontane Emission am Ende der Übertragungsstrecke

Die gesamte Übertragungsstrecke von Abb. 6 läßt sich beschreiben mit der Verstärkung 1 und der

Rauschzahl Fges . Damit läßt sich auch die spektrale Rauschleistungsdichte der verstärkten spontanen

Emission ∆EASE am Ausgang ausdrücken. Mit Gl. (17) gilt:

< |∆EASE|2 >= (G · F − 1) < |∆E0|2 > (27)

bzw. für die spektralen Leistungsdichten

S∆EASE = (G · F − 1)S∆E0 , (28)

so dass sich für die Übertragungsstrecke mit G = 1 und F = Fges ergibt:

S∆EASE = (Fges − 1)S∆E0 . (29)

Das Schwankungsquadrat < |∆EASE |2 > ist mit

< |∆EASE |2 >= S∆EASE · ∆ν (30)

proportional zur optischen Bandbreite ∆ν1, wobei < |∆EASE |2 > genau der optischen Leistung der

verstärkten spontanen Emission entspricht. Mit S∆E0 = h · ν/2 aus Gl. (8) folgt für die optische

Leistung der verstärkten spontanen Emission am Ausgang

< |∆EASE |2 >= (Fges − 1)h · ν2∆ν . (31)

1Hier muß im Gegensatz zur Betrachtung in elektrischen Netzwerken die zweiseitige spektrale Leistungsdichte verwendet

werden, da entsprechend der Definition von ∆EASE positive und negative Frequenzen von ∆EASE separat betrachtet

werden müssen.



Als Zahlenwert ergibt sich für λ = 1.55 µm (ν = c/λ)

< |∆EASE |2 >= 0.064nW∆ν

GHz(Fges − 1) . (32)

Um die Leistung der verstärkten spontanen Emission (ASE) zu begrenzen, wird am Ende der Übertra-

gungsstrecke ein optisches Filter möglichst kleiner Bandbreite ∆ν verwendet (unter Umständen sind

auch innerhalb der Übertragungsstrecke optische Filter erforderlich, um eine Sättigung der Verstärker

durch zu hohe ASE zu vermeiden). Für ∆ν = 100 GHz und Fges = 1000 ergibt sich beispielsweise eine

ASE-Leistung von < |∆EASE |2 >= 6.4 µW. Für die folgende Systemanalyse wird dabei vorausgesetzt,

dass die Signalleistung sehr viel größer als die ASE-Leistung ist und damit

|E0|2 ≫< |∆EASE |2 > (33)

gilt.

Anmerkung: Die obigen Gleichungen (27)-(32) gelten für jeweils eine Polarisation. Bei Detektion

beider Polarisationen ergibt sich insgesamt die doppelte ASE-Leistung.

1.8.2 OSNR

Die Signalqualität wird häufig mit dem optischen Signal/Rauschverhältnis OSNR (optical signal-to-

noise-ratio) charakterisiert, wobei von der Detektion beider Polarisationen ausgegangen wird.

OSNR =G · |E0|2

2 < |∆EASE|2 >(34)

Für F · G ≫ 1 vereinfacht sich Gl. (34) mit Gl. (27) zu

OSNR =|E0|2

2F < |∆E0|2 >=

|E0|2F · h · ν · ∆ν . (35)

Gleichung (35) lässt sich mit |E0|2 = P0 auch schreiben

OSNR =P0

F · h · ν · ∆ν . (36)

Das OSNR wird im allgemeinen für ∆ν = 12.5 GHz angegeben, woraus sich für das OSNR in dB

(=10 lg(OSNR)dB) bei λ = 1.55µm ergibt:

OSNR|dB = 58dB + P0|dBm − F |dB. (37)

Für eine Übertragungsstrecke wie in Abb. 6 läßt sich F durch Fges ersetzen. Gleichung (24) läßt sich

für Fges ≫ 1 vereinfachen:

Fges ≃ N · Fseg (38)

Unter Verwendung von Gleichungen (22), (25) gilt:



Fseg = exp(2αLoa) · Fv (39)

und für Fges ergibt sich:

Fges ≃ N · exp(2αLoa) · Fv (40)

Man erhält dann für das OSNR am Ende der Übertragungsstrecke:

OSNR|dB = 58|dB + P0|dBm − Fv |dB − αLoa|dB − 10 lg(N)|dB (41)

Gleichung (41) erlaubt eine einfache Abschätzung, ob am Ende der Übertragungsstrecke ein genügend

hohes OSNR zur Verfügung steht.

Beispiel: Für eine Eingangsleistung P0 = 1mW(≡ 0dBm), eine Verstärkerrauschzahl von Fv = 6dB,

eine Faserdämpfung zwischen den Verstärkern αLoa von 20dB und N = 10 Segmenten ergibt sich ein

OSNR von 22dB.

1.8.3 Systemanalyse der kompletten Übertragungsstrecke

Die komplette Übertragungsstrecke gemäß Abb. 6 kann wie in Abb. 3 behandelt werden, wobei G = 1

gilt und ∆EASE entsprechend Gl. (27)-(30) verwendet wird. Entsprechend Abb. 3 gilt dann für die

Ausgangsleistung

P = |E0 + ∆E0 + ∆EASE|2 , (42)

woraus sich bei reell angenommenen Signal E0 ergibt

P = E20 + 2E0(

Re(∆E0) + Re(∆EASE))

+ |∆E0 + ∆EASE |2 (43)

mit der mittleren Leistung P0 = E20 und der Leistungsfluktuation

∆P = 2E0(


︸︷︷︸

Signal−ASE−Rauschen

+ |∆E0 + ∆EASE |2︸︷︷︸

ASE−ASE−Rauschen

(44)

Die Fluktuationen aufgrund der verstärkten spontanen Emission ∆EASE sind in der Regel sehr viel

größer als die Nullpunktfluktuationen ∆E0, so dass die Fluktuationen der optischen Leistung ∆P in

Gl. (44) in zwei Anteile zerfallen:

1. Signal-ASE-Rauschen

2. ASE-ASE-Rauschen

Im allgemeinen müssen beide Beiträge berücksichtigt werden, aber bei Verwendung schmaler optischer

Filter (kleines ∆ν in Gl. (32)) ist < |∆EASE|2 > noch relativ klein und Gl. (33) erfüllt, so dass dann

das ASE-ASE-Rauschen gegenüber dem Signal-ASE-Rauschen vernachlässigt werden kann und ∆P

näherungsweise durch

∆P = 2E0(


(45)



gegeben ist.

Für die zweiseitige spektrale Rauschleistungsdichte von ∆P ergibt sich dann in Analogie zu Gl. (13):

S∆P = 2P0(S∆E0 + S∆EASE) , (46)

woraus mit Gl. (29) folgt:

S∆P = 2P0 · S∆E0 · Fges = P0 · (h · ν)Fges , (47)

woraus sich für eine Rauschzahl Fges = 1 gerade wieder das Quantenrauschen nach Gl. (13) bzw.

Gl. (4) ergibt. Man erhält dann für die einseitige spektrale Rauschleistungsdichte

d < (∆P )2 >

df= 2S∆P = 2P0(h · ν)Fges . (48)

Die optische Leistung P wird in einem optischen Empfänger mit der Diodenempfindlichkeit

Ep = ηe/(h · ν) (49)

(η- Quantenwirkungsgrad, e-Elementarladung) in einen entsprechenden Photostrom

Iph = Ep · P (50)

umgesetzt, so dass sich für die spektrale Rauschleistungsdichte des Photostroms (unter Vernachläs-

sigung eines unter Umständen noch entstehenden Schrotrauschens) ergibt

d < i2R >

df= E2p

d(∆P )2

df= 2eIphηFges . (51)

Dieser Rauschstrom ist im allgemeinen sehr hoch, z.B. ergibt sich für Iph = 1 mA, ηFges = 1000

bereits ein √

d < i2R >

df= 566 pA/

√Hz

was den Rauschstrom des nachfolgenden Verstärkers (siehe Kapitel OE) normalerweise bei weitem

übersteigt. Man kann deshalb davon ausgehen, dass das Signal/Rauschverhältnis bzw. die Bitfehlerrate

allein durch die Schwankung der optischen Leistung entsprechend Gl. (48) bestimmt wird. Wenn

man eine binäre Pulscodemodulation mit einer Modulation zwischen den Leistungen P0 = 0 und P1betrachtet, wird die Bitfehlerrate bei optimalem Entscheider durch einen Parameter Q

Q =P1

√

< ∆P 20 >+√

< ∆P 21 >(52)

wie in Gl. (OE 57) beschrieben, wobei für eine Bitfehlerrate von 10−9 ein Q > 6 benötigt wird. Da das

Schwankungsquadrat der optischen Leistung proportional ist zur mittleren optischen Leistung (ähnlich

wie beim Schrotrauschen), gilt in dieser idealisierten Darstellung < ∆P 20 >= 0 und mit Gl. (48):

< ∆P 21 >= 2P1(h · ν)FgesB

2, (53)



wobei als elektrische Empfängerbandbreite B/2 (B-Bitrate) gewählt wurde. Damit folgt unter diesen

idealisierten Bedingungen aus Gl. (52):

Q =

√

P1(h · ν)B · Fges

, (54)

wobei sich bei einer Wellenlänge λ = 1.55 µm folgender Zahlenwert ergibt:

Q ≈ 2800√

P1mW

√

Gbit/s

B

1√Fges

. (55)

So erhält man beispielsweise bei einer Bitrate B = 10 Gbit/s, Fges = 4000 und P1 = 1 mW ein

Q = 14, was noch eine hochwertige Übertragung ermöglicht.

Gl. (52) gilt für die optimale Lage der Entscheiderschwelle, die wegen < ∆P 20 >= 0 bei P0 = 0 liegen

würde. Typische Empfänger besitzen aber eher eine Entscheiderschwelle in der Mitte zwischen P0 und

P1, wodurch sich der Parameter Q halbieren würde.

Die erreichbare Übertragungsgüte hängt nach Gl.(54),(55) auch erheblich von der optischen Leistung

P1 jeweils am Verstärkerausgang innerhalb der Übertragungsstrecke ab. Diese Leistung ist nach oben

begrenzt durch die erreichbare Verstärkerausgangsleistung sowie nichtlineare Effekte in der Übertra-

gungsfaser, z.B. Brillouin-Streuung, Raman-Streuung sowie Selbst- und Kreuzphasenmodulation und

Vierwellenmischung aufgrund des Kerr-Effekts.

Aber auch bei moderaten optischen Leistungen sind große Übertragungsstrecken möglich. So entspricht

die oben als Beispiel genannte Rauschzahl von Fges = 4000 gemäß Abb. (7) bei einem Verstärkerab-

stand von Loa = 30 km immerhin einer Gesamtübertragungsstrecke von 10.000 km (Trans-Pazifik).

Man kann nun auch das geforderte OSNR angeben, um eine vorgegebne Bitfehlerrate nicht zu über-

bzw. ein vorgegebenes Q nicht zu unterschreiten.

1.8.4 Erforderliches OSNR

Um einen Bezug zum OSNR herzustellen, kann zunächst Gl. (54) mit ∆ν erweitert werden:

Q =

√

P1(h · ν)∆ν · Fges

· ∆νB. (56)

Bei binärer OOK-Modulation (OOK: on-off-keying, d.h. jeweils Ein- und Ausschalten der optischen

Leistung) mit der mittleren Leistung P0 = P1/2 folgt aus Gl. (56)

Q =

√

2P0(h · ν)∆ν · Fges

· ∆νB=

√

2OSNR∆ν

B, (57)

wobei von Gl. (36) Gebrauch gemacht wurde. Aus (57) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der

Fehlerrate (ausgedrückt durch Q) und dem benötigten OSNR.

Beispiel: Für eine binäre OOK mit B = 42.7Gbit/s und eine Bitfehlerrate BER = 10−3 (Q =

3.1) ergibt sich aus Gl. (57) ein erforderliches OSNR (mit ∆ν = 12.5GHz) von 16.4 (≡ 12.2dB).



Tatsächlich ist dieser abgeschätzte OSNR-Wert doch etwas zu optimistisch, da oben doch erhebliche

Näherungen enthalten sind, z.B. die Vernachlässigung des ASE-ASE Rauschens.

Wenn man genauere numerische Berechnungen zugrundelegt, ergeben sich bei 42.7 Gb/s und BER =

10−3 die in der folgenden Tabelle genannten OSNR-Werte:

Modulationsformat OSNR (42.7Gb/s,BER=10−3)

NRZ-OOK 15.9 dB

50% RZ-OOK 14.4 dB

50% RZ-DPSK 11.1 dB

50% RZ-DQPSK 12.2 dB

Tabelle 1: Erforderliches "Optical Signal/Noise Ratio" (bezogen auf ∆ν = 12.5 GHz) bei einer Daten-

rate von 42.7 Gb/s. (N)RZ: (Non) return-to-zero; OOK: On/off-keying; DPSK: differential phase

shift keying; DQPSK: differential quadrature PSK. (P.J. Winzer, R.J. Essiambre: "Advanced Optical

Modulation Formats", Proceedings IEEE, vol. 94, May 2006, pp. 952 - 985).

Bei OOK und DPSK handelt es sich dabei um binäre Modulationsformate, während es sich bei DQPSK

um ein quaternäres Modulationsformat handelt (vgl. HFT II / MOD).


Einführung in die optische Nachrichtentechnik ÜB/1

Beschreibung des optischen Übertragungskanals (ÜB)

1 Begrenzende FaktorenDie maximal mögliche Übertragungsrate in faseroptischen Übertragungssystemen wird neben demRauschen (siehe Abschnitt EDFA) im wesentlichen durch folgende E�ekte begrenzt:

1. Chromatische Dispersion, womit die wellenlängenabhängige Gruppenlaufzeit in der Faser be-zeichnet wird. Sie wird bestimmt durch die Materialdispersion (vgl. Abschnitt GRU) sowie durchdie Wellenleiterdispersion (vgl. STU 11/12).

2. Unterschiedliche Laufzeiten der einzelnen Eigenwellen in Multimode-Fasern, auch bezeichnet alsLaufzeitstreuung oder (Inter-) Modendispersion (vgl. Abschnitt GRA).

3. Nichtlineare E�ekte im Lichtwellenleiter bei höheren optischen Leistungen.

2 Vorüberlegungen

2.1 ImpulsverbreitungSowohl die chromatische Dispersion als auch die unterschiedlichen Laufzeiten in Multimode-Fasernführen zu einer Impulsverbreiterung, die sich in erster Nährung quadratisch überlagern lassen:

(�t)2 = (�tc)2 + (�ts)2 (1)

wobei �tc die Impulsverbreiterung aufgrund der chromatischen Dispersion und �ts die Impulsverbreite-rung aufgrund der Laufzeitstreuung in Multimode-Fasern bezeichnen (�ts = 0 für einwellige Fasern).Für einen ersten Eindruck des Übertragungsverhaltens ist es zweckmäÿig, eine Impulsantwort h(t)bezüglich der optischen Leistung am Ende einer Faserstrecke für einen sehr schmalen Eingangspuls zude�nieren. Wenn man eine Gauÿ'sche Impulsantwort mit

+1∫�1

h(t)dt = 1 annimmt, läÿt sich schreiben.

h(t) =exp(�(t=�t)2)p

��t(2)

Die Fouriertransformierte von h(t) entspricht der Übertragungsfunktion

H(j!) � � h(t) (3)

mitH(j!) = exp(�ln2(f =fg)2) (4)

mit ! = 2�f . Die Übertragungsfunktion hat damit ein Tiefpaÿverhalten mit der Grenzfrequenz fg mitj H(j! = j2�fg) j= 1

2 . Abb. 1 zeigt schematisch h(t), wobei häu�g auch die Puls-Halbwertsbreite



1

D t

D t F W H M

1 / 21 / e

h ( t )D tp

Abb. 1: Gauÿ'sche Impulsantwort h(t)

�tFWHM (FWHM - full width half maximum) verwendet wird, die sich für einen Gauÿ'schen Puls nachAbb. 1 ergibt zu

�tFWHM = 2 � pln2 � �t (5)

Die Grenzfrequenz fg ergibt sich dann zu

fg =pln2�

1�t

=2ln2�

1�tFWHM

=0:44

�tFWHM(6)

Die weitere Betrachtung beschränkt sich auf einwellige Fasern, bei denen eine Impulsverbreitung nuraufgrund der chromatischen Dispersion zu berücksichtigen ist. Bei einer spektralen Breite der Licht-quelle �� (full width half maximum) ergibt sich dann

�tFWHM = �� L j d�=d� j (7)

mit der Faserlänge L und der chromatischen Dispersion d�=d�.

Beispiel: LED mit �� = 80nm; � = 1:55�m und einer chromatischen Dispersion d�=d� = 17ps=(km �nm). Dann ergibt sich ein �tFWHM = 1:36ns=km bzw. eine Grenzfrequenz fg = 320 MHz (km/L).

Nach (6) hätte es den Anschein, daÿ sich für �� ! 0 ein �t ! 0 und damit eine unendlich hoheBandbreite realisieren lieÿe. Tatsächlich bewirkt eine schnelle Modulation aber auch eine spektraleVerbreitung, wodurch die erreichbare Übertragungsrate begrenzt wird.

2.2 Intuitive Abschätzung der maximalen ÜbertragungsrateWir gehen von einer binären Puls-Code-Modulation (PCM) mit der Bitrate B aus, wobei dann diespektrale Breite der modulierten Lichtquelle auch ungefähr durch �� B und damit

�� = �� 2=c = B � �2=c (8)



gegeben ist. Die Grenzfrequenz fg ergibt sich dann mit (6), (7) zu

fg = 0:44 � c=(B � �2 � L� j d�=d� j) (9)

Zur Übertragung der binären Bitfolge muÿ die Grenzfrequenz

fg > B=2 (10)

sein, woraus mit (9) folgt:

BpL <

√0:88 � c

�2 j d�=d� j (11)

Man erhält also als Begrenzung durch die chromatische Dispersion ein maximalesBitraten�pL�ange-P rodukt.Wenn man eine Standardfaser mit j d�=d� j= 17ps=(km � nm) und � = 1:55�m zugrunde legt, ergibtsich als Zahlenwert

BpL < 80Gbit=s

pkm (12)

was beispielsweise bei einer Bitrate von B = 10 Gbit/s noch eine Übertragungslänge von L = 64 kmermöglicht.

3 Signalübertragung unter Berücksichtigung der chromatischenDispersion

3.1 GrundlagenBei der obigen Beschreibung handelt es sich noch um eine recht grobe Betrachtung, so daÿ hiergenauer die Ausbreitung des modulierten elektrischen Feldes entlang einer dispersiven Faser analysiertwerden soll. Wir verwenden dazu das komplexe orts- und zeitabhängige elektrische Feld

E(z; t) = A(z; t)exp(�j�0z + j!0t) (13)

A(z; t) bezeichnet dabei eine im Vergleich zur optischen Frequenz langsam variierende komplexe Am-plitudenfunktion für ein monochromatisches optisches Feld mit der optischen Frequenz !0 und derdazugehörigen Phasenkonstanten �0. Das reale elektrische Feld in der Faser (z.B. Ex für die LP01 -Welle) entspricht dabei dem Realteil von (13). Die Signalausbreitung entlang der Faser läÿt sich sehreinfach im Frequenzbereich mit der Fouriertransformierten von E(z; t) beschreiben:

E(z; t) � � E(z; j!) (14)

gemäÿE(z; j!) = E(z = 0; j!) exp(�j�(!)z) (15)

Die Phasenkonstante �(!) wird um ! = !0 in eine Taylor-Reihe entwickelt:

�(!) = �0 + �(! � !0) +12�2(! � !0)2 +

16�3(! � !0)3 + ::: (16)



mit �0 = �(!0) wie bereits in (13), der Gruppenlaufzeit pro Länge

� = d�=d! ; (17)

der chromatischen Dispersion�2 =

d2�d!2 =

d�d!

= �d�d�

(�2

2�c) (18)

und der Änderung der chromatischen Dispersion (englisch: dispersion slope)

�3 =d3�d!3 =

dd!

(d�d!

) (19)

Gl. (15) führt mit (16) auf:

E(z; j!) = E(z = 0; j!)� exp(�j�0z)exp(�j�z(! � !0))exp(�j 12�2z(! � !0)2) �

exp(�j 16�3z(! � !0)3) (20)

Mit Gl. (20) ist die Signalausbreitung prinzipiell vollständig beschrieben. Uns interessiert jedoch dieSignalausbreitung bezüglich der Amplitudenfunktion A(z; t), wobei es zweckmäÿig ist, eine retardierteZeitachse (t 0 = t � � � z) einzuführen, da die Gruppenlaufzeit des Signals im wesentlichen durch� � z gegeben ist. Für die Amplitudenfunktion wird nun eine Fouriertransformierte mit t = t 0 + � � zeingeführt:

A(z; t 0 + � � z) � � A(z; j) (21)

wobei die Frequenz der Di�erenz zwischen ! des Feldes in Gl.(14)-(16) und !0, d.h. = ! � !0,entspricht. Es ist nun das Ziel, die Signalübertragung bezüglich A(z; t) bzw. A(z; j) zu beschreiben.Die Fouriertransformation in (21) bedeutet

A(z; j) =+1∫

�1A(z; t 0 + �z)exp(�jt 0)dt 0 (22)

und damit mit t 0 = t � � � z und dt 0 = dt:

A(z; j) = exp(j�z)+1∫

�1A(z; t)exp(�jt)dt (23)

Wenn man Gl. (13) nach A(z; t) au�öst:

A(z; t) = E(z; t)exp(j�0z)exp(�j!0t) (24)

und in Gl. (23) einsetzt, ergibt sich

A(z; j) = exp(j�z)exp(j�0z)+1∫

�1E(z; t)exp(�j( + !0)t)dt (25)



und damitA(z; j) = exp(j�z)exp(j�0z)E(z; j!) (26)

Mit E(z; j!) aus Gl(20) ergibt sich schlieÿlich

A(z; j) = E(z = 0; j!)exp(�j 12�2z(! � !0)2)exp(�j 1

6�3z(! � !0)3) (27)

und damitA(z; j) = A(z = 0; j)exp(�j 1

2�2z2)exp(�j 1

6�3z3) (28)

Gl.(28) läÿt sich als Di�erentialgleichung schreiben,

@A(z; j)@z

= A(z; j)(�j 12�22 � j 1

6�33) (29)

Mit der retardierten Zeitachse t � t � �z und @=@t = j läÿt sich (29) in den Zeitbereich transfor-mieren:

@A(z; t)@z

= j�2

2@2A(z; t)@t2 +

�3

6@3A(z; t)@t3 (30)

Die Kenntnis der Signalform A(z; t) an der Stelle z ermöglicht damit die Berechnung der Signalforman der Stelle (z + �z).

3.2 Übertragung eines Gauÿ'schen PulsesGl.(30) entspricht bei Vernachlässigung von �3 genau der Ausbreitungsgleichung für Strahlwellen(STR, Gl. (3)) mit den Entsprechungen t � x; y und �2 � 1

k0n . Insofern ist es naheliegend, ähnlich wiebei der Gauÿ'schen Strahlwelle die Ausbreitung eines Gauÿförmigen Pulses entlang einer dispersivenFaser zu analysieren. Die komplexe Amplitude A(z; t) sei so normiert, daÿ für die optische LeistungP in der Faser

P (z; t) =j A(z; t) j2 (31)

gilt. Für z=0 seiP (z = 0; t) = P0exp(�[t=t0]2) (32)

und damit für die komplexe Amplitude

A(z = 0; t) =√P0exp(�1

2(t=to)2)exp(j�(t)) (33)

mit einer eventuellen zusätzlichen Phasenmodulation �(t). Beispielsweise führt die Modulation einesHalbleiterlasers (aber auch von sonstigen externen Modulatoren) nicht nur zu einer Leistungsmodu-lation, sondern auch zu einer Modulation der optischen Frequenz (chirp). Dies liegt daran, daÿ sichbei einer Modulation der optischen Verstärkung auch die Brechzahl innerhalb des Halbleiterlasers unddamit die optische Emissionsfrequenz ändert. Dies läÿt sich durch einen Parameter

�ch =�n0�n00 (34)



beschreiben, der die Kopplung zwischen einer Variation des Imaginärteils und des Realteils der Brech-zahl beschreibt. Für eine Lasermodulation gilt (siehe z.B. K. Petermann, 'Laser diode modulation andnoise', Kluwer Academic 1991):

d�dt

= 2�(�(t)� �0) =�ch

2(

1PdPdt

) (35)

woraus für den Gauÿförmigen Puls von Gl.(32) folgt:d�dt

= �(�ch=t20 )t (36)

bzw.�(t) = ��ch

2(t=t0)2 (37)

so daÿ sich die komplexe Amplitude gemäÿ Gl.(33) ergibt zu

A(z = 0; t) =√P0exp(�1

2(t=t0)2(1 + j�ch)) (38)

A(z; t) ergibt sich dann gemäÿ Gl.(29),(30).Für �3 = 0 bleibt die Gauÿ'sche Pulsform bei Ausbreitung entlang der Faser erhalten, wie beimGauÿ'schen Strahl

P (z; t) � exp(�(t=t1(z))2) (39)

mitt1(z) = t0

√(1� �ch �2z

t20

)2 + (�2zt2

0)2 (40)

Abb. 2 zeigt den Verlauf der Pulsbreite für �2 < 0 (wie bei einer Standardfaser mit � = 1; 55�m, dortist �2 � �20ps2=km). LD bezeichnet dabei die sogenannte Dispersionslänge

LD = t20= j �2 j (41)

Ohne 'chirp' (�ch = 0) ergibt sich eine monotone Pulsverbreiterung, während sich für �ch � �2 > 0auch eine Pulsverschmälerung ergeben kann. Aufgrund der Pulsverbreiterung eines Gauÿ-Pulses läÿtsich die maximal mögliche Übertragungsrate abschätzen.

3.3 Maximale Übertragungsrate ohne chirp (�ch = 0)

Ohne chirp (�ch = 0) ergibt sich die minimale Impulsbreite am Ausgang (z = L) für t20 =j �2L j zu

t21 = 2 j �2L j (42)

was ungefähr eine maximale Bitrate B < 1=(2t1) ermöglicht und damit

BpL < 1=

√8 j �2 j =

√(2�=8) � cj d�=d� j �2 (43)

in guter Übereinstimmung mit Gl.(11).



0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

b2<0

ach=0

ach=-2

ach=2

z/LD

t 1/t

0

Abb. 2: Pulsbreite als Funktion der Faserlänge

3.4 Maximale Übertragungsrate mit VorchirpMit einem geeignet gewählten 'chirp'-Parameter �ch < 0 (für �2 < 0) läÿt sich gemäÿ Abb. 2eine Pulsverschmälerung und damit eine Erhöhung der Übertragungsrate erreichen. Leider ist bei derdirekten Modulation von Halbleiterlasern normalerweise �ch > 0 (typisch �ch � 3::::6), aber mitspeziellen Modulatoren ist auch �ch < 0 möglich.Mit genügend groÿem negativen �ch lassen sich prinzipiell beliebig kleine Pulsbreiten erreichen. Fürdie Abschätzung der maximalen Übertragungsrate ist jedoch bestenfalls eine Anfangsimpulsbreite

t1(z = L) = t0 (44)

sinnvoll.Die Forderung (44) für minimales t0 = t1(z = L) führt mit (40) auf �ch = �1( f�ur �2 < 0) und

t21 (z = L) = t2

0 =j �2L j (45)

In Analogie zu (42), (43) ergibt sich ein maximales Bitraten � pL�ange-P rodukt von

BpL < 1=

√4 j �2 j (46)

d.h. daÿ sich mit Vorchirp (�ch = �1) die Übertragungslänge bei gleicher Bitrate gegenüber (43)verdoppeln läÿt.



4 Übertragungsverhalten von Lichtwellenleitern unterBerücksichtigung der Nichtlinearitäten

4.1 Grundsätzliche E�ekteBezüglich des nichtlinearen Verhaltens von Lichtwellenleitern unterscheiden wir einmal nichtlineareStreuprozesse sowie die Veränderung der Brechzahl bei hohen Leistungen (Kerr-E�ekt).

4.1.1 Nichtlineare Streuprozesse

Bei den nichtlinearen Streuprozessen �ndet eine Wechselwirkung statt mit Phononen, wodurch die op-tische Signalwelle in Wellen kleinerer Photonenenergie umgesetzt wird, was auch zu einer nichtlinearenDämpfung der Signalwelle führt. Man unterscheidet im wesentlichen zwischen der Brillouin- und derRaman-Streuung.Bei der Brillouin-Streuung wird die Signalwelle an einer akustischen Welle längs des Lichtwellenleitersre�ektiert, wobei sich aufgrund des Doppler-E�ekts eine re�ektierte Welle ergibt, die eine um ca. 10GHz reduzierte optische Frequenz aufweist. Die für die Brillouin-Streuung relevante Bandbreite istmit � 100 MHz relativ gering. Die Brillouin-Streuung führt zu erheblichen Störungen der Signalüber-tragung, sobald die optische Leistung innerhalb eines Bandbreitenintervalls von 100 MHz einige mWüberschreitet. Um trotzdem möglichst hohe Signalleistungen in der Faser zulassen zu können, ist eszweckmäÿig, Modulationsverfahren zu verwenden, die die optische Signalleistung möglichst gleichmä-ÿig auf eine groÿe Spektralbreite verteilen.Bei der Raman-Streuung handelt es sich um die Wechselwirkung mit optischen Phononen, die auch zueiner Dämpfung der Signalwelle führen kann. Die Raman-Streuung ist sehr viel breitbandiger, wobeiaber eine nennenswerte Dämpfung der Signalwelle erst bei Leistungen � 500 mW auftritt.

4.1.2 Intensitätsabhängige Brechzahl

Aufgrund des Kerr-E�ekts ergibt sich eine intensitätsabhängige Brechzahl, die sich am besten be-schreiben läÿt mit der elektrischen Polarisation ~P , aus der sich die dielektrische Verschiebung ~D ergibt

~D = �0 ~E + ~P (47)

mit~P = ~PL + ~PNL (48)

wobei~PL = �0�1 ~E (49)

den linearen Anteil der elektrischen Polarisation beschreibt. Wenn man zunächst nur den linearen Anteilder Polarisation ~P in (47) berücksichtigt, ergäbe sich ~D = �0(1 + �1)~E, so daÿ sich �1 mit

�r = 1 + �1 (50)



der relativen Dielektrizitätskonstante zuordnen läÿt. Die nichtlineare Polarisation ~PNL aufgrund desKerr-E�ekts ist im wesentlichen ein E�ekt 3. Ordnung gemäÿ

~PNL = �0�3(~E � ~E)~E (51)

Um den Ein�uÿ der nichtlinearen Polarisation besser zu verstehen, betrachten wir ein (skalar ange-nommenes) elektrisches Feld, das sich aus 2 harmonischen Komponenten zusammensetzt:

E = Re(E1exp(j!1t)

)+ Re

(E2exp(j!2t)

)=

12

(E1exp(j!1t) + E2exp(j!2t) + c:c:

)(52)

Wenn man (52) in (51) einsetzt, ergeben sich für die nichtlineare Polarisation Frequenzkomponenteninsbesondere bei !1; !2; (2!1+!2); (2!2+!1). Für die Frequenzkomponente !1 ergibt sich beispiels-weise

PNL(!1) =34�0�3(jE1 j2 +2 j E2 j2)Re(E1exp(j!1t) (53)

wodurch sich dann bei der Frequenz !1 in Erweiterung zu 50 ein e�ektives �r einführen läÿt gemäÿ

�r (!1) = 1 + �1 +34�3

(j E1 j2 +2 j E2 j2)

(54)

woraus sich dann auch für die Brechzahl n =p�r ein linearer und nichtlinearer Anteil ergibt

n j!1 = n1 + n2 � (I1 + 2I2) (55)

mit I1;2 der Intensität (= Leistungsdichte) bei der Frequenz !1 bzw. !2. Da die Phasenkonstante� proportional zur Brechzahl ist, führt gemäÿ Gl. (55) die Variation der Intensität zu einer Phasen-modulation des Signals, wobei die eigene Intensität (!1) die Phase halb so stark beein�uÿt - manspricht von Selbstphasenmodulation - wie die Intensität I2 des Signals bei der anderen Frequenz (bzw.Wellenlänge) - man spricht dann von Kreuzphasenmodulation.

4.2 Nichtlineare SchrödingergleichungSolange die Brillouin- und die Raman-Streuung noch keine Rolle spielt, genügt es, nur die nichtlinearePhasenverschiebung entsprechend 4.1.2 für die Signalausbreitung in der Faser mit zu berücksichtigen.Gl. (30) wird dazu erweitert einmal um einen Term, der die Dämpfung � in der Faser beschreibtsowie die nichtlineare Phasenverschiebung in Anlehnung an Gl. 55. Es ergibt sich dann die sogenanntenichtlineare Schrödingergleichung:

@A(z; t)@z

= j�2

2@2A(z; t)@t2 +

�3

6@3A(z; t)@t3 � �A(z; t)� j j A j2 A(z; t) (56)

wobei die nichtlineare Phasenverschiebung durch den Parameter beschrieben wird, der bei einerQuarzglasfaser den Wert

=1:31

W � km80 �m2

Aef f(57)



annimmt. Aef f bezeichnet die e�ektive wirksame Fläche der LP01-Grundwelle, die bei einer Stan-dardfaser typischerweise den Wert Aef f = 80�m2 aufweist. Die nichtlineare Phasenverschiebung kannfür ∫

P (z)dz << 1 (58)

vernachlässigt werden, wobei das Integral in Gl. (58) über die gesamte Faserstrecke (einschlieÿlich deroptischen Verstärker) zu erstrecken ist. So spielt die nichtlineare Phasenverschiebung für P (z) � 1mWund eine Streckenlänge L =100 km beispielsweise noch keine Rolle, für L =1000 km jedoch muÿ siemit berücksichtigt werden. Die nichtlineare Phasenverschiebung in Gl. (56) führt insbesondere zufolgenden E�ekten:

1. Selbstphasenmodulation

Aufgrund der intensitätsabhängigen Phasenverschiebung wird die Phase des Signals selbst mo-duliert (siehe Gl. 55), was unter Umständen zu einer erheblichen spektralen Verbreiterung führenkann.

2. Kreuzphasenmodulation

Bei einem Wellenlängenmultiplexsystem wird die Phase eines Kanals auch durch die Intensitäts-schwankungen der Nachbarkanäle moduliert (siehe Gl. 55). Dies führt zu einem Übersprechenzwischen den verschiedenen Kanälen.

3. Vierwellenmischung

Bei 3 vorhandenen Signalen der optischen Frequenzen !i , !j , !k ergibt sich z.B. ein viertes Signalbei der Frequenz !i � (!j �!k). Auch dies führt zu einem Übersprechen zwischen verschiedenenKanälen.

Eine Analyse der Signalausbreitung mit den obigen E�ekten ist im allgemeinen nur durch numerischeAuswertung von Gl. (56) möglich. Wichtig ist dabei auch die Gröÿe der chromatischen Dispersion. Imallgemeinen ist es vorteilhaft, wenn die lokale Dispersion j �2(z) j möglichst groÿ ist.

4.3 SolitonenDie nichtlineare Phasenverschiebung läÿt sich positiv ausnutzen, wenn die nichtlineare Phasenver-schiebung � j A j2 �A gerade die Dispersion (�2=2) d2A=dt2 kompensiert (Annahme: �3 = 0 unddämpfungsfreies System mit � = 0). Bei geeignet gewählten Leistungspegeln ergeben sich kurzePulse (sogenannte Solitonen), die entweder unabhängig von z sind oder zumindest eine Periodizitätentlang z mit der Solitonenperiode Lper aufweisen.Solitonen existieren nur für �2 < 0. Sie werden charakterisiert durch ihre Solitonenordnung Nsol .

N2sol =

PpT 2p

j �2 j (59)



und die SolitonenperiodeLper =

�2T 2p

j �2 j (60)

mit der Pulsspitzenleistung Pp und der halben Pulsbreite Tp. Abb. 3 zeigt Beispiele für Solitonen mitNsol=1...3.

t

Z e i t b e r e i c h F r e q u e n z b e r e i c h

t

t

z

z

z

z

z

zw

w

w

N s o l = 1

N s o l = 2

N s o l = 3

Abb. 3: Solitonen der Ordnung Nsol = 1; 2; 3 im Zeit- und Frequenzbereich

Beispiel:Es wird ein 10 Gbit/s-System betrachtet. Damit sich die Solitonenpulse nicht beein�ussen, muÿ diePulsbreite deutlich kleiner als die Bitperiode sein, also z.B. Tp = 10ps. Für eine Standardfaser bei1; 55�m mit �2 = �20ps2=km ergibt sich dann eine Solitonenperiode Lper = 8km.Hier ist zu beachten, daÿ Solitonen streng genommen nur für ein verlustfreies System mit � = 0 exi-stieren können. Diese Bedingung kann so verallgemeinert werden, daÿ innerhalb einer Solitonenperiodedie Verluste ausgeglichen werden müssen, d.h. Loa < Lper (Loa- Verstärkerabstand). Da Verstärke-rabstände Loa > 50km angestrebt werden, ist die im obigen Beispiel abgeschätzte Solitonenperiodeviel zu kurz für ein praktisches System. Dies bedeutet, daÿ ein 10 Gbit/s-Solitonen-System nur mitFasern erheblich geringerer Dispersion realisierbar ist.



Weiterführende Literatur: G.P. Agrawal, 'Fiber-optic Communication Systems', John Wiley, 2nd Ed.,1997

5 AusblickZur Beurteilung konkreter Übertragungssysteme ist im allgemeinen eine numerische Systemanalyseerforderlich. Weiterhin unterscheidet man zwischen RZ- und NRZ-Systemen (RZ- return to zero, NRZ-non return to zero). Verbreiteter sind NRZ-Systeme, bei denen die Pulsbreite gerade der Bitperiodeentspricht und somit die optische Leistung bei aufeinanderfolgenden '1'-Signalen nicht auf 0 zurückgeht(siehe Abb. 4). Bei kürzeren Pulsen erhält man dann ein RZ-Signal, wobei das Verhältnis zwischenPulsbreite und Bitintervall als Tastverhältnis � bezeichnet wird.

TB

t/TB

Dt

NRZ

RZ

Power

Power

t=Dt/TB=0.5

1 0 1 1 1 1 1 10 0 0 0

t/TB

t=Dt/TB=1

Abb. 4: Vergleich zwischen RZ- und NRZ-Modulation

Bei Solitonensystemen handelt es sich beispielsweise um ein RZ-System, wobei zur Vermeidung derWechselwirkung zwischen den einzelnen Solitonen � � 0:25 gelten muÿ. Ein Beispiel für die Analyseeines NRZ-Systems (reine Intensitätsmodulation ohne 'chirp') im Rahmen der linearen Näherung (Gl.30) zeigt Abb. 5. Die dargestellte 'power penalty' gibt die Reduktion der Ö�nung im Augendiagramman. Für eine 'penalty' von 1 dB und 10 Gbit/s ergibt sich eine Streckenlänge von 63 km (bei 40 Gbit/sjedoch nur 4 km) in guter Übereinstimmung mit Gl. (11)(12),(43).Um gröÿere Streckenlängen zu erreichen, besteht die naheliegendste Möglichkeit darin, in die Faser-strecke dispersionskompensierende Fasern einzufügen. Prinzipiell ist eine perfekte Kompensation derchromatischen Dispersion möglich, es verbleiben jedoch die Begrenzungen aufgrund der Nichtlinaritä-ten.



0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

pow

er p

enal

ty (

dB

)

length (km)

20 40 60 80 100

3.752.51.25 5 6.25

10 Gbit/s

40 Gbit/s

back-to-back

0

0

Abb. 5: Reduzierung der Augenö�nung (in dB) bei einem 10- bzw. 40 Gbit/s-System im Rahmen derlinearen Näherung (Standardfaser)


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Vorlesungsskript - TU Berlin · 2012. 4. 11. · Vorlesungsskript Einführung in die optische Nachrichtentechnik 2012 Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann Technische Universität Berlin