Sudionici projekta:1. Ivan Dodig

2. Tomislav Šesnić 3. Jure Šimundić

1. Uvod2. Fourierova transformacija. Stacionarnost signala.

VF rezolucija3. Vremenski kratka Fourierova transformacija4. Kontinuirana wavelet transformacija5. Huang - Hilbertova transformacija6. Analiza glazbenog signala7. Zaključak

1. Uvod- vremensko – frekvencijska analiza signala (problem

rezolucije) i notna rekonstrukcija

- prijelaz sa Fourierove transformacije (eng. FT) na vremenski kratku Fourierovu transformaciju (eng. STFT) i kontinuiranu wavelet transformaciju (eng. CWT)

- problem linearne Fourierove frekvencijske skale i logaritamske prirode glazbenih tonova →CWT

- problem analize nelinearnih i/ili nestacionarnih signala →Huang – Hilbertova transformacija

2. Fourierova transformacija. Stacionarnost signala.

VF rezolucija- stacionaran signal - signal čiji se frekvencijski sadržaj ne mijenja u vremenu (suprotno tomu nestacionaran signal)

x(t)=cos(2π*10*t)+cos(2π*25*t)+cos(2π*50*t)+cos(2π*100*t)

2. Fourierova transformacija. Stacionarnost signala. VF rezolucija

-Heissenbergov princip neodređenosti: Ne možemo znati koja se točno frekvencija pojavljuje u točno određenom vremenskom trenutku! (problem VF rezolucije)

Visoke frekvencije se bolje rezolviraju u vremenu dok se one niske bolje rezolviraju u frekvenciji!

3. Vremenski kratka Fourierova transformacija

- engl. Short time Fourier Transform (STFT)- prijelaz sa Forurierove transformacije prema wavelet transformaciji

- problem fiksnog vremenskog otvora

t

jwtdtettwtxwt )]'()([),'(STFT *wX

STFT

4. Kontinuirana wavelet transformacija

- Bitan zaokret u odnosu na STFT u dva pogleda:• nad odsječenom frakcijom signala ne računa se Fourierova transformacija• širina prozora je promjenjiva zavisno o frekvenciji za koju izvršavamo transformaciju

dts

ttx

ssCWTX )()(

1),( *

-Vremensko – frekvencijska rezolucija

5. Huang – Hilbertova transformacija

– koristi se za analizu nelinearnih i nestacionarnih signala- sastoji se od dva dijela: 1. Empirijske dekompozicije signala (eng. empirical mode decomposition - EMD)→ rastav na svojstvene funkcije (engl. intrinsic mode function - IMF)

Pronaći sve lokalne ekstreme u signalu X Povezati sve maksimume cubic spline funkcijom ..isto za minimume.. Izračunati srednju vrijednost te dvije interpolacijske funkcije (m) Izracunati X-m=h1 te ponavljati postupak dok se ne dobije željena točnost

2. Hilbertova transformacija

Za svaki IMF Y=hilbert(X); daje Z=X+jY; Arg(Z)=arctg(Y/X); W=diff (Arg(Z))

Glas ‘A’ s labosa ...

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Orginalan signal

Uzorci

Am

plitu

da

Locirani ekstremi

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Oznaceni ekstremi

Uzorci

Am

plitu

da

Gornja anvelopa..

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Gornja anvelopa

Uzorci

Am

plitu

da

... I donja...

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1..i donja..

Uzorci

Am

plitu

da

Srednja vrijednost (m)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Njihova srednja vrijednost

Uzorci

Am

plitu

da

Iteracija 1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Prva iteracija

Uzorci

Am

plitu

da

Iteracija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Druga iteracija

Uzorci

Am

plitu

da

Iteracija 3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Treca iteracija

Uzorci

Am

plitu

da

Konačan IMF, SD = 0.005

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04Konacan IMF, SD = 0.005

Uzorci

Am

plitd

a

2, 3 i 4 IMF

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.05

0

0.05IMF 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.04

-0.02

0

0.02

0.04IMF 3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.04

-0.02

0

0.02

0.04IMF 4

Vrijeme – frekvencija -energijafr

eque

ncy

time

Hilbert-Huang spectrum

50 100 150 200 250 300 350 400 4500

1000

2000

3000

4000

5000

Dva harmonika

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Spori i brzi signal

Am

plitu

da

Uzorci

IMF funckije

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Intrinsic Mode Function

Uzorci

Am

plitu

da

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5IMF oduzet signalu

Uzorci

Am

plitu

da

6. Analiza glazbenog signala

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

Spektar

frequ

ency

time

Hilbert-Huang spectrum

1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

7. Zaključak

- Fourierova transformacija omogućuje dobar uvid u frekvencijski sadržaj signala i adekvatan je transformacijski alat za stacionarne signale

- Wavelet transformacija omogućuje vremensko-frekvencijsku analizu signala

- zbog Heissenbergovog principa neodređenosti nije moguće nijednom transformacijom egzaktno rekonstruirati partituru (ipak moguće je prilagoditi analizu shodno rezolviranju frekvencija)

- HHT - adekvatan alat za VF analizu nestacionarnih i nelinearnih signala

Hvala na pažnji!