VVeeccttoorreess 44ºº AAññoo

VVeeccttoorreess

Matemática

44ºº AAññoo CC óó dd .. 11 44 00 44 -- 11 66

BB ee tt ii nn aa CC aa tt tt áá nn ee oo NN oo ee mm íí LL aa gg rr ee cc aa

DD pp tt oo .. dd ee MM aa tt ee mm áá tt ii cc aa

P O L I T E C N I C O 1

VECTORES EN EL ESPACIO

En Física muchos son los conceptos, tales como fuerzas, velocidades, desplazamientos, que

no pueden ser determinados por un único número real ya que es necesario conocer su dirección

y sentido. Estas magnitudes, llamadas magnitudes vectoriales, son representadas por elementos

geométricos conocidos con el nombre de vectores.

El estudio de vectores en el plano lo haz desarrollado anteriormente en su forma geométrica y

en su forma analítica.

Ahora efectuaremos el estudio de los vectores en el espacio

DEFINICIÓN:

Un vector es un segmento orientado.

Todo vector posee un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a

y su extremo el punto b, el vector se indicará

ab o con una sola letra minúscula y una barra

arriba o flecha. Es decir:

uuab

Los vectores se caracterizan por tener:

Módulo: es la distancia entre el punto origen y el extremo, es decir la medida del

segmento orientado. Se simboliza:

ab siendo

ab0ab

Dirección: es la de la recta que contiene al vector o cualquiera de sus paralelas.

Sentido: es el indicado por la punta de una flecha. Por ejemplo si el vector tiene por

extremo el punto b, la punta de la flecha estará en él.

GENERALIDADES

Al conjunto de todos los vectores del espacio tridimensional lo notaremos 3V .

a

b

u


Vectores

Matemática

Dado un segmento ab , se llama vector libre

ab al conjunto de todos los vectores que

tienen igual módulo, dirección y sentido que

ab , incluido el propio

ab . En lo sucesivo

será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto.

Se llama vector nulo y se simboliza

o , al vector cuyo módulo es cero. Es decir 0o

.

Este vector por tener módulo cero, se reduce a un punto, por lo cual carece de dirección y sentido. En símbolos:

0o nulo vector el es o

Dos vectores no nulos son paralelos cuando tienen la misma dirección.

En símbolos:

b de direccióna de dirección b//a

Dos vectores son iguales cuando tienen módulo cero o cuando poseen igual dirección,

sentido y módulo.

Dado un vector cualquiera

a no nulo, se llama vector opuesto de

a y se simboliza

a ,

a otro vector que tiene igual módulo y dirección que

a pero sentido opuesto.

Se llama versor a todo vector de módulo uno.

En símbolos:

a es un versor 1a

OPERACIONES EN 3V

SUMA

DEFINICIÓN:

Dados los vectores 3V a

y 3V b

, denominamos vector suma

b a a otro vector que

se obtiene de la siguiente manera:

A partir de un punto p cualquiera, se toma

a pq y con origen en q, se toma

b qs , al

vector con origen en p y extremo en s,

pq , se lo denomina vector suma de a y b .

Es decir:

ba pq


Ejemplo:

Dados los vectores: El vector suma será:

PROPIEDADES

a ;

b ;

c 3V

S1) Conmutativa:

a +

b =

b +

a

S2) Asociativa: (

a +

b ) +

c =

a + (

b +

c )

S3) Existencia del elemento neutro:

o 3V /

a +

o =

a

S4) Existencia del opuesto: -

a 3V /

a + (-

a ) =

o

DIFERENCIA

DEFINICIÓN:

Dados los vectores 3V a

y 3V b

, denominamos vector diferencia

b a a otro vector

que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. Es decir:

b ab a

Ejemplo: Dados los vectores: El vector diferencia será:

PRÁCTICA

1. Dados

a ;

b y

c determina

x gráficamente de modo que -

a +

b -

x +

c =

o

a

a

b

q

a +

b

b s

a

p

a

b

b

c

b a

a

b


Vectores

Matemática

2. Dados

a ;

b y

c del gráfico expresa

u ;

v y

w en función de

a ;

b y

c

u =

v =

w =

PRODUCTO DE UN VECTOR DE 3V POR UN NÚMERO REAL (O ESCALAR)

DEFINICIÓN:

Se denomina producto de un vector

a por un escalar (o número real) a otro vector

w

tal que:

0 oasio

0 oasi

0 si a sentido w sentido

0 si a sentido w sentido

a // w

a w

aw

Ejemplo:

w = - 2

a

PROPIEDADES

a ;

b 3V ; R; R

P1) 1

a =

a

P2) (

a +

b ) =

a +

b

P3) ( + )

a =

a +

a

P4) (

a ) = ( )

a

a

a -2w

a

b

c

v

w u


VERSOR ASOCIADO AL VECTOR DEFINICIÓN

Dado un vector

u no nulo, llamamos versor asociado al vector

u y lo simbolizamos

0u ,

al vector de módulo uno que tiene igual dirección y sentido que

u .

TEOREMA 1

Si

u es un vector cualquiera no nulo ,del espacio, entonces

u

uu 0 es su versor asociado.

Demostración La demostración fue realizada en años anteriores.

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE VECTORES

TEOREMA 2

Dos vectores

u y

v no nulos, son paralelos si y sólo si existe un número real 0 tal que

vu .

En símbolos:

Si

ou

ou :

vu que tal 0Rv//u

No se efectuará la demostración en el presente curso

ÁNGULO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN:

Dados los vectores

a y

b no nulos se denomina ángulo entre los vectores

a y

b y se

indica

ba al ángulo convexo entre 2 ;0 (es decir

ba0 ) por ellos determinado al ser

aplicados con origen en el mismo punto.

Ejemplo:

b

a

ba

b

a


Vectores

Matemática

PRÁCTICA

3. Completa según corresponda, siendo

a y

b vectores no nulos

a.

ba y

ba son ángulos ……………………………………..

b.

ba y

ba son ángulos …………………………………

c.

ba y

ba2 son ángulos ………………………………….

d.

ba y

ba son ángulos …………………………………….

4. Si

ob oa y

oc bisectriz de

aob ¿cuál es la medida de cada uno de los siguientes

ángulos?

a. v u d.

u u

b. v w e.

)w-( u

c.

)u-( u f. )v 3)(u2(

5. Explica por qué la siguiente afirmación es falsa.

“ Zk ,k2ba1bacos

”

VECTOR PROYECCIÓN

DEFINICIÓN:

Dados los vectores

a y

b no nulos al ser aplicados ambos con origen en un mismo punto p

es posible trazar por el extremo de uno de ellos, una perpendicular a la dirección del otro obteniéndose el punto q como indican las figuras.

Caso a) Caso b) Caso c)

2

ba0

2

ba

ba2

w

u

a

b

c

v

o

p a

b

q

'b

qp a

b

0'b

p a

b

'b

q


Al nuevo vector

pq se lo denomina vector proyección de

b sobre

a y se indica:

bproy vectorpq'ba

Podemos observar que:

para los casos a y c, resulta:

00 a'b /0Ra//'ba//'b (1)

para el caso b, resulta:

O'b (2)

De (1) y (2) podemos concluir que:

0a'b /R

A dicho número se lo llama proyección de

b sobre

a

Para los casos anteriores resulta: Completa según los casos anteriores el signo de

Caso a: Caso b: Caso c: TEOREMA 3

Dados los vectores

a y

b no nulos, la proyección de

b sobre

a , es igual al producto del

módulo de

b por el coseno del ángulo determinado por

a y

b .

En símbolos:

Si

0a y

0b

bacosbbproy 'ba

No se efectuará la demostración en el presente curso PRÁCTICA

6. Calcula, en cada caso, la

bproy a

sabiendo que 2b

y

a. º135ba

b. º90ba

c. º45ba

7. Sabiendo que 3bproy a

y º120ba

determina

b .


Vectores

Matemática

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES

DEFINICIÓN:

Dados dos vectores

a y

b , se llama producto escalar o interno entre los vectores

a y

b , y se simboliza

b a , al número:

b a =

ob oasibacosba

ob oasi0

PROPIEDADES

b y a , R se cumplen las siguientes propiedades:

PE1)

abba

Demostración:

(1) Si

ob yo a

a bbacosabbacosbab a)1()2()1(

(2) Si

ob o a entonces

a b0b a)1()1(

PE2)

c bc ac b a

PE3) baa b.b a.

PE4) 0aa a

2

Demostración:

(3) Si

oa

2

)4()3()1(aa. aaacos a aa a

(4) Si o a

entonces 0aa)1(

(1) Definición de Producto Escalar (2) Propiedad conmutativa de la

multiplicación

(3) 1aacos0aa

(4) Definición de potenciación


PE5)

b a0b x a :0b 0 a Si (condición de perpendicularidad entre vectores

no nulos) Demostración:

0bx a0bacosº90bab a)

b aº90ba0bacos0bacosb a0bx a)

Queda para el alumno completar las justificaciones de la demostración anterior

Nota: Puede demostrarse que

0b 0 a

bxa

a

bxabproy 0

a

PRÁCTICA

8. Siendo 2a

, determina:

a.

axa

b.

axa2

c.

axa

9. Sabiendo que 3a , 4b y 6

ba

, calcula:

a.

0axb

b.

a2 b3

c.

ba ba

d.

ba ba

e.

ba2 ba3


Vectores

Matemática

10. Explica por qué la siguiente afirmación es falsa.

“

cbcxabxa ”

11. Determina el ángulo que forman

a y

b ,sabiendo que 2

55bxa

; 5 a

y 4 b

.

PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES

DEFINICIÓN:

Dados dos vectores

bya de 3V , se denomina producto vectorial entre

bya y

se lo simboliza

cba , al vector

c tal que:

(1) Regla de la mano derecha

El sentido de

ba está dado por la regla de la mano derecha. La misma consiste en: se

coloca la mano derecha extendida con el pulgar separado de los cuatro dedos unidos, haciendo

coincidir el primer vector del producto (

a ) en dirección y sentido con esos cuatro dedos y luego

dichos dedos giran hacia

b a través del ángulo

ba . El sentido de

ba está determinado por

la dirección del dedo pulgar. Es decir, el vector apunta en el mismo sentido que el pulgar.

Gráficamente resulta:

oboasi

(1) derecha mano la de regla usando obtenido el es c de sentido

byapor odeterminad plano al arerpendiculp c de dirección

basenbacba

oboasi o

c

b

bac

ba

a

ba

bac

b

a


PROPIEDADES

bya 3V ; R; R, se cumplen las siguientes propiedades:

PV1)

abba

Demostración:

(1)

oboaSi resulta Oba

y OOab

, por definición de

producto vectorial, por lo tanto Oabba

(2) aob ;oaSi

no paralelo a

b , resulta:

Módulo:

abba

basen b aabsen a b 1ab

basen b aba

)1(

Dirección:

abyba tienen la misma dirección por ser ambos

perpendiculares al plano determinado por ayb

Sentido:

ba tiene sentido opuesto a

ab por regla de la mano

derecha, entonces

ba tiene igual sentido que

ab

De lo expuesto resulta que

ba y

ab tienen igual módulo, dirección

y sentido, por lo tanto:

abba

(3) aob ;oaSi

paralelo a

b , resulta:

Si

0absenbasenº180ba 0ºbab // a

0abba

0basen b aabsen a b 1ab

0basen b aba

)1(


Vectores

Matemática

Por lo tanto Oabba

De (1); (2) y (3) podemos concluir que

abba

PV2)

cbcac ba

PV3)

ba.b a.

PV4) Si oboa

:

0ba

b//a (propiedad de vectores

paralelos no nulos)

Demostración:

)

b//abao0ba0basenbasenba0ba 0 ba

00

)

Oba0basen b aba0basenº180ba 0ºbab // a

TEOREMA 4

Dados los vectores ob;oa

y

a no paralelo a

b , entonces

ba es el área del

paralelogramo pqrs, siendo

apq y

bps

Demostración

área pqrs =

b . h )1(

senab )2(

b a

(1)

sen . ah

a

h sen

(2) definición de producto vectorial

h

p s

q r

a

b


PRÁCTICA

12. Si

v 2a , determina:

a.

v a c.

aa

b.

v v d.

va 2

1

13. Sabiendo que 5a

, 3b

y 3

ba

, calcula:

a.

0a b c.

b a b a

b.

a3 b4 d.

b a3 b a2

14. Dados los vectores

oa y

ob , demuestra que el vector

ba es perpendicular a

ba y a

ba

15. Sabiendo que 4a , 2b y 34ba , calcula

bxa

PRODUCTO MIXTO ENTRE VECTORES

DEFINICIÓN:

Dados dos vectores cyb;a

de 3V , se denomina el producto mixto entre

cyb;a

al número que se obtiene haciendo

cb a .

Propiedades Notemos que el producto mixto verifica todas las propiedades del producto escalar.

TEOREMA 5

Si

oc ; ob;oa ;

a no paralelo a

b y cyb;a

no coplanares entonces

cb a volumen del paralelepípedo determinado por los vectores cyb;a

.

Demostración

c

a

b

c proy vector ba

ba


Vectores

Matemática

pedoparalelepí del volumenaltura base la de .supc,b acoscb a

c,b acoscb a cb ac,b acoscb a cb a

)3()2(

)2()1(

(1) definición de producto escalar (2) propiedad del valor absoluto (3) propiedades del producto vectorial y definición de razones trigonométricas

TEOREMA 6

Si

oc oboa

b paralelo no a ; cyb;a

son coplanares 0cb a

No se realizará la demostración en el presente curso PRÁCTICA

16. Calcula

cb a sabiendo

ac ;

bc ; 6

b,a

; 6a

; 3b

y 3c

.

SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL

Dado un punto cualquiera del espacio o (origen de coordenadas), y en él aplicados tres

versores i ; j y k perpendiculares dos a dos, al conjunto k;j;i;o se lo denomina sistema de

referencia ortonormal en el espacio.

Denominaremos como:

ejes coordenados “x”; “y” y “z” a cada una de las rectas que contienen a cada uno

de los versores i ; j y k , respectivamente.

planos coordenados xy; xz e yz, a los planos que contienen a los ejes x e y , a los

eje x y z y a los eje y y z , respectivamente.


espacio el en ortonormal

referencia de sistema k;j;i;o

ik

kj

ji

1kji

o f ijo punto

o

x

k

y

i i

j

z


DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR

DEFINICIÓN:

Llamaremos vector posición a todo vector con origen en el origen de coordenadas.

Dado un sistema de referencia k;j;i;o y un punto 321 p;p;pp , si por p trazamos una recta

paralela a k , ésta corta al plano xy en un punto que llamaremos p’. Como 'op , i y j están en

un mismo plano, resulta: jpip'op 21

(1).

Por otra parte,

p'p'opop

kpp'pk//p'p 3

De (1) y (2), podemos concluir que:

kpjpippo 321


PRÁCTICA

17. En un sistema de referencia k;j;i;o ubica los puntos: )3 ; 1 ; 2(a ; )1 ; 2 ; 0(b ; )0 ; 0 ; 1(c y

3) ; 0 ; (4d .

18. Dado el vector posición 321 p ; p ; pop

demuestra que 23

22

21 p p pop

(2) kp'opop 3

DEFINICIONES:

Llamamos:

o a la expresión kpjpippo 321

expresión canónica o

cartesiana del vector

op .

o a la terna ordenada de números 321 p ;p ;p componentes

escalares del vector

op en el sistema k;j;i;o .

o a los vectores p1 i ; p2 j y p3 k se los llama componentes

vectoriales de

op .

x

k

y

i

o

i

j

z

p1

p3

p2

p1 i

p2 j

p3 k

p’

p


Vectores

Matemática

VECTORES IGUALES

Los vectores 321 u ; u ; uu

y 321 v ; v ; vv

son iguales si y solo si sus componentes

son iguales. En símbolos:

OPERACIONES ENTRE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES

SUMA

Dados los vectores )a ;a ;a(a 321

y )b ;b ;b(b 321

, el vector suma se obtiene:

332211321321 ba ;ba ;bab ;b ;ba ;a ;aba

PROPIEDADES

cyb;a

3V

S1) Conmutativa:

ba =

ab

S2) Asociativa:

cba =

cba

S3) Existencia del elemento neutro: 0 0; ;0o

3V /

aoa

S4) Existencia del opuesto: -

a 3V /

oaa

DIFERENCIA


y )b ;b ;b(b 321

, el vector diferencia se obtiene:

332211321321 ba ;ba ;bab- ;b- ;ba ;a ;ababa

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Dados el vector )a ;a ;a(a 321

y el número , el vector producto de

a por se obtiene:

321321 a ;a ;aa ;a ;aa

33

22

11

vu

vu

vu

vu


PROPIEDADES

b;a 3V ; R; R

P1) 1

aa

P2) (

ba ) =

a +

b

Demostración


y )b ;b ;b(b 321

y el número :

bab ;b ;ba ;a ;a

b ;b ;ba ;a ;aba ;ba ;ba

ba ;ba ;baba ;ba ;baba

321321

)2(

321321

)1(

332211

)3(

222211

)2(

222211

)1(

(1) Suma de vectores en componentes (2) Producto de un escalar por un vector en componentes (3) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en los números reales

P3) ( + )

a =

a +

a

P4) (

a ) = ( )

a

PRÁCTICA

19. Siendo )3 ; 2 ; 1( a

; )1 ; 3 ; 4(b

y )5 ; 3 ; 5( c

, determina:

a.

b 5a c.

ab 3c

b.

c 3 d.

a 2c )3(

COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR NO POSICIÓN

TEOREMA 1

Dados los puntos )z;y;x(p 0000 y )z;y;x(p 1111 entonces las componentes escalares de

10pp

son 010101 zz;yy;xx .


Vectores

Matemática

Demostración

Recordando la definición y propiedades de la suma entre vectores y la expresión canónica de

un vector posición, resulta:

01101100 opopppopppop

)kzjyix()kzjyix(pp 00011110

k)zz(j)yy(i)xx(pp 01010110

de donde las componentes escalares de 10pp son:

010101 zz;yy;xx

PRÁCTICA

20. Siendo )3 ; 5 ; 1( a y )0 ; 1 ; 2( b y kj 2i 3v

, determina:

a. Las componentes vectoriales de

abv 3u .

b. Las coordenadas del punto medio del segmento ab .

c. Un vector colineal con

v de módulo 3.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DETERMINADO POR DOS PUNTOS

TEOREMA 2

Dados los puntos )z;y;x(p 0000 ; )z;y;x(p 1111 y el punto m, punto medio m del segmento

10pp , entonces las coordenadas de m son

2

zz ;

2

yy ;

2

xx 010101

Demostración

Como m es el punto medio de 10pp , resulta:

10 mpmp

Llamando )z;y;x( mmm a las coordenadas de m y utilizando

el teorema 1, podemos escribir:

)zz ; yy ; xx()zz ; yy ; xx( m1m1m10m0m0m

Luego, dos vectores son iguales si sus componentes son iguales, es decir:

x

k

y

i

o

i i

j

z

1p 0p

0p

1p

m


2

zz z zz z2 zzzz

2

yy y y y2y yyyy

2

xx x xx x2 xxxx

01m01mm10m

01m01mm10m

01m01mm10m

Reemplazando en

2

zz ;

2

yy ;

2

xx mresulta)z ; y ; x( m 010101

mmm

Ejemplo

Dados los puntos )3 ; 2 ; 1(p0 y )1 ; 5 ; 0(p1 , entonces:

Las componentes escalares de 10pp son )4 ; 7 ; 1(pp 10 .

La expresión canónica de 01pp es k 4j7i 1pp 01 .

La distancia entre los puntos 0p y 1p o el módulo de 10pp es

66)4(7)1(pp)p;p(d 2221010 .

Las coordenadas del punto medio del segmento 10pp son

1 ;

2

3 ;

2

1m .

PRÁCTICA

21. Determina las componentes del vector v en cada caso.

i. ii.

22. Calcula las medidas de los lados del triángulo pqr cuyos vértices son los puntos

)2 ; 3 ; 1(p ; )2 ; 1 ; 5(q y )2 ; 1 ; 1( r ¿es el triángulo pqr isósceles? Justifica la

respuesta.

23. Determina las coordenadas de los puntos simétricos de )4 ; 2 ; 0(a ; )2 ; 1 ; 3( b y

)2 ; 1 ; 0(c

a. respecto al plano coordenado xy .

b. respecto al eje x. c. respecto al origen de coordenadas.

v

x

k

y

i

o

i i

j

z

)1 ; 2 ; 4(

)3 ; 4 ; 2(

x

k

y

i

o

i i

j

z

)3 ; 0 ; 4( )1 ; 5 ; 0( v


Vectores

Matemática

24. Dados los puntos )1 ; 2 ; 4(a y )1 ; 2 ; 3(b en un k;j;i;o determina:

a. las componentes escalares de abu/u .

b. las coordenadas de m, siendo m el punto medio del segmento ab .

25. Dado los puntos )3 ; 4 ; 1(a y )5 ; 0 ; 1(b , determina el punto medio del segmento ab .

26. Un vector tiene módulo 13 y sus dos primeras componentes son 3 y 4, en ese orden;

¿Cuál es la tercera componente? ¿existe única solución?

27. Un vector de módulo 5 tiene las tres componentes iguales ¿cuáles son?

PRODUCTO ESCALAR

Dados los vectores 321 u ; u ; uu

y 321 v ; v ; vv

, el producto escalar entre u y

v se obtiene de la siguiente manera:

332211 v u v u v uvu

Aplicando propiedades del producto escalar, podemos demostrar la fórmula anterior de la siguiente manera:.

)k v j v i v()k u j u i u(vu 321321

332211

)2(

332313

322212312111

)1(

v uv uv u)kk( v u)jk( v u)ik( v u

)kj( v u)jj( v u)ij( v u)ki( v u )ji( v u )ii( v u

(1) aplicando propiedades del producto escalar. (2) Condición de paralelismo y perpendicularidad de vectores

0k ii k i k

0j kk j k j

0i jj i j i

1k k k/ / k

1j j j/ / j

1i i i/ / i

PRÁCTICA

28. Dados los vectores )0 ; 1 ; 2( a

y )4 ; 3 ; 0( b

, determina:

a.

ba

b. el ángulo que forman dichos vectores

29. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son perpendiculares?

a. )5 ; 1 ; 2( y )1 ; 1 ; 1(

b. )0 ; ; 2( y )1 ; 2 ; (

c. )0 ; 10 ; 2( y )0 ; 1 ; 5(


30. Dados los vectores kjmi a

y kmj4i2- b

, halla m para que los vectores

a y

b sean:

a. Paralelos b. Ortogonales

31. Determina si los puntos )3 ; 2 ; 1(p ; )0 ; 1 ; 2(q y )6 ; 7 ; 4(r están alineados.

32. Demuestra:

a. que si ov;v;vv 321

es un vector del espacio, entonces ivv1 ; jvv2

y kvv3

b. que la proyección de un vector sobre los versores de un k;j;i;o son las

componentes del vector en dicho sistema.

33. Si en k;j;i;o es )1 ;3 ;2(a , determina:

a. oaproy vectori

b. oaproy vectorj

c. oaproy vectork

34. Dados )1 ; 2 ; 1( p y )1 ; 3 ; 2( q en k;j;i;o , determina:

a. La expresión canónica de

qp

b.

pqqp

c.

pq a larperpendicu esv y )3 ; 2 ; (v /

d. )3 ; 0 ; 1( a siendo pq proyoa

COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

DEFINICIONES:

Llamaremos:

ángulos directores de un vector, respecto de un sistema k;j;i;o , a los ángulos

que el vector forma con cada uno de los versores del sistema.

cosenos directores de un vector, respecto de un sistema k;j;i;o , a cada uno de

los cosenos de los ángulos directores.

Ejemplo:

Dados el vector

u , tenemos:

ángulos directores de

u :

iu ;

ju y

ku

cosenos directores de

u : cos ; cos y cos

i

x

k

y

i

o

i

j

z

u


Vectores

Matemática

PRÁCTICA

35. a. Demuestra que:

“Si

ou ; u ; uu 321 , entonces

u

uiucos 1 ;

u

ujucos 2 y

u

ukucos 3 ”

b. Determina sus cosenos directores del vector )2;1;1( .

36. Prueba que:

a. Si

ou ; u ; uu 321 , entonces 1kucosjucosiucos 222

b. Si

ou ; u ; uu 321 , entonces

kucos ; jucos ; iucosu0

37. Determina el vector de módulo 5 que forma ángulos iguales con los versores i ; j y k .

38. Sabiendo que los cosenos directores de un vector son 2

1cos ;

3

1cos ;

6

23cos y módulos 5, calcula las componentes del vector.

PRODUCTO VECTORIAL

Dados los vectores 321 u ; u ; uu

y 321 v ; v ; vv

, el producto vectorial entre

u y

v

se obtiene de la siguiente manera:

k )v u v u(j )v u - v u( i )v u - v u(vu 122113312332

Aplicando propiedades del producto vectorial, podemos demostrar la fórmula anterior de la

siguiente manera:.

)k v j v i v()k u j u i u(vu 321321

k )v u v u(j )v u - v u( i )v u - v u(

)i(- v uj v ui v u)k( v u)j( v uk v u

)kk( v u)jk( v u)ik( v u

)kj( v u)jj( v u)ij( v u)ki( v u )ji( v u )ii( v u

122113312332

231332123121

)2(

332313

322212312111

)1(


(1) aplicando propiedades del producto vectorial. (2) Definición de producto vectorial

0k k k // k

0j j j // j

0i i i // i

ij k y ik j

ji k y jk i

ki j y k j i

A modo de ejemplo demostraremos que k j i . Para esto deberemos probar que j i y

k tiene igual dirección, sentido y módulo. Módulo:

1kj i

1k

1jisenjij i

211

Dirección:

k dir j i dirj i // k xyplano al larperpendicu k

xyplano al larperpendicu j i dirección

Sentido:

Aplicando la regla de la mano derecha podemos concluir que:

k entidos j i entidos

De lo anterior podemos concluir que k j i ya que tienen igual módulo, dirección y sentido.

Como regla nemotécnica para recordar la última fórmula podemos emplear el siguiente esquema:

)vuvu( k)vuvu( j)vuvu( i

vv

uu k

vv

uu j

vv

uu i

vvv

uuu

kji

vu

122113312332

)1(

21

21

)1(

31

31

)1(

32

32

321

321

Cada una de las expresiones

indicadas en )1( se denominan

determinantes de orden dos y su cálculo se realiza de la siguiente manera:

bcaddc

ba


Vectores

Matemática

PRÁCTICA

39. Dados los vectores )3 ; 1 ; 2( a

y )0 ; 1 ; 2( b

determina:

a. Las componentes de

b a

b.

b a

c. )b2a()b3a2(

d. )kb()ja(

40. Dados los vectores k 3 j i 2u

y k 2 iv

, halla

a. Las componentes de un vector perpendicular a ambos. b. El área del paralelogramo que ellos determinan.

41. Halla las componentes del versor perpendicular a los vectores )5 ; 1 ; 0(a

y

)2 ; 0 ; 3( b

simultáneamente. ¿existe única solución?

42. Si 2w ; 4

1v y º30v w

, determina:

a. w w e.

w

2

1 v w v

2

1

b. v w f. wv

c. )w v( )v w( g. wv2

d. )v w( )v w( h. v4w 3 vw 2

43. Halla el o los vectores de módulo 3 perpendicular a los vectores )0 ; 1- ; 3( c y

)2 ; 4 ; 1( d simultáneamente.

44. Dados los vectores )3 ; 1 ; 2( a y )4 ; 2 ; 0( b , determinar:

a. bproya b. aproyb

45. Determina las componentes de 321 v;v;vv sabiendo que v es paralelo al vector

ab ,

siendo 2 ;1 ;3a y 5 ;3 ;1b , 164v y

iv es obtuso.

46. Determina si los vectores 1 ;3 ;2u ; 3 ;1 ;1v y 11 ;9 ;1w son coplanares.

47. Halla el valor de x para que los vectores 1 ;5- ;3u ; 2 ;4 ;7v y x ;41 ;1w sean

coplanares.


48. Halla un vector de la misma dirección que 3 ;2 ;1v y tal que forme con

1 ;4 ;2w un paralelogramo de área igual a 25.

TEOREMAS DE ADICIÓN

Mediante el cálculo del producto escalar en componentes se puede obtener, trabajando con vectores en el plano, un conocido resultado de trigonometría que relaciona el coseno de la diferencia de dos ángulos con el coseno y el seno de esos ángulos. Coseno de la diferencia de dos ángulos

Consideremos un sistema de coordenadas en el plano y los ángulos y , con vértices

en el origen y lado inicial sobre el sentido positivo del eje x, como muestra la figura. Con centro en el origen del sistema trazamos una circunferencia de radio 1

(circunferencia trigonométrica). Ésta interseca los lados finales de y en los puntos a(a1;a2) y b(b1;b2),

respectivamente.

De este modo resultan: cos1a ; sen2a ; cos1b ; sen2b

sen αj αcosioa

sen j cosiob

Como es el ángulo entre los vectores

oa y

ob , tenemos:

11

sen sencos cos

oboa

obxoa

cos

Es decir:

sensencoscoscos

0

a

b

1b

2b

2a

1a

1

1


Vectores

Matemática

Observación: si bien los ángulos y , que figuran en el gráfico que realizamos, son del

primero y segundo cuadrante, las conclusiones son independientes de esa situación.

Al trabajar algebraicamente la relación que obtuvimos para el coseno de la diferencia de dos ángulos, se pueden obtener los siguientes resultados. Todos ellos y el anterior, en trigonometría se denominan Teoremas de adición. Coseno de la suma de dos ángulos:

sensencoscoscos

Seno de la diferencia de dos ángulos:

sencoscossensen

Seno de la suma de dos ángulos:

sencoscossensen

PRÁCTICA:

49. A partir de las expresiones conocidas del sen ( ) y cos ( ) obtiene una

expresión para tg ( ) en función de tg y tg .

50. Verifica las siguientes identidades:

a) sen2 = 2. sen .cos

b) cos2 2 = 1 – 4 sen2 .cos2

c) cos 2 = cos2 - sen2

51. ¿Verdadero o falso?.Justifica la respuesta.

a) tg 15º = 2 - 3

b) sen(x +y) – sen (x- y) = 2 cos x. sen y c) 1 + sen 2x = (sen x + cos x )2

52. Calcula cos( ) , si sen =-2

1, tg =2,siendo del tercer cuadrante


TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

En cursos anteriores aplicaste las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo en la resolución de triángulos rectángulos. Si embargo se pueden presentar problemas en los que sea necesario obtener medida de ángulos y lados de un triángulo no rectángulo(oblicuángulos) En estos casos son útiles los teoremas del seno y del coseno

TEOREMA DEL SENO

En

abc :

abcyacb;bcasiendo

sen

c

sen

b

sen

a

Demostración Consideremos el paralelogramo abpc

determinado por

cyb y el

a coincidente

con la diagonal bc .

Como Área abpc

cb

Entonces Área 2

sencb

2

cb

abc

(1)

El área del

abc también se puede calcular así:

Área 2

senac

2

senac

2

ac

abc

(2)

α

β

δ

(*)sen

a

sen

b

dondede2

senac

2

sencb

)2(y)1(Igualando

En todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos


Vectores

Matemática

De la misma forma se puede calcular el área del

abc :

Área 2

senba

2

senba

2

ba

abc

(3)

Luego se iguala (3) con (1) y se obtiene

sen

c

sen

b

(**)

Finalmente de (*) y (**)

sen

c

sen

b

sen

a

TEOREMA DEL COSENO

En el

abc :

bcayabc,cba

cacosca2cab

222

cbcoscb2cba

222

bacosba2bac

222

Demostración

Se demostrará la primera de las igualdades anteriores

En

abc :

bac

Por lo tanto :

bxbacxac

Aplicamos propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma

bxbaxacxaaxccxc

El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de sus longitudes por el coseno del ángulo que determinan


De donde

cacosac2acbbaaxc2c

222222

Observación

En el caso particular en que

ca es recto, el resultado anterior se transforma en el

conocido Teorema de Pitágoras

222

caserpor

0

222

cabcacosca2cab

Por este motivo el Teorema del coseno se lo conoce con el nombre de “Teorema de Pitágoras Generalizado”. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

¿Qué significa resolver un triángulo cualquiera? Encontrar las medidas de los lados y ángulos del triángulo, a partir de determinados datos y utilizando fórmulas de la Trigonometría que vinculen los datos. En esta oportunidad nos dedicaremos a calcular medidas de lados y ángulos de triángulos oblicuángulos, ya que en años anteriores se ha trabajado con triángulos rectángulos. Para estos triángulos son útiles dos propiedades que hemos visto: “Teorema del seno” y “Teorema del coseno”. Si bien para resolver un triángulo necesitamos tener determinada información sobre sus lados y ángulos, los criterios de congruencia de triángulos nos permitirán asegurar qué datos, en particular, debemos conocer para resolver el triángulo: Caso 1 : un lado y dos ángulos adyacentes a él. Caso 2 : dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. Caso 3 : dos lados y el ángulo comprendido. Caso 4 : tres lados. Veamos, a partir de una situación problemática, ¿qué ocurre si tenemos por datos dos lados y

el ángulo opuesto al menor de ellos?

¿Puedes construir un triángulo, sabiendo que tiene un ángulo 6

a

, el lado

A , opuesto a dicho ángulo mide 3 y otro lado B = 8?

Intentemos construirlo:

Comencemos trazando aelyac

Para determinar el vértice b, calculemos b , aplicando el Teorema de los senos, así

resulta:

B

A C

b

a c


Vectores

Matemática

18 8

. 46 2 13 3 3

senA B B sen a

sen b sen b sen bA

sen a sen b

¿Qué ocurre?, En esta situación nos ha quedado B.sena

1A

Es decir: A B.sena

Geométricamente:

Luego para determinar el vértice b, que es un punto de la ad trazamos un arco de circunferencia

de radio de medida A con centro en c

Como A B.sena

, nos queda:

El

abc no se puede construir

Entonces ¿qué condición debe cumplir A con respecto a B.sen a para que exista

abc ?

Desde ya que A B.sena

Consideremos ahora, dados el a agudo y las medidas A y B de dos segmentos.

Para construirlo, en cada caso, procederemos a trazar el a y ac . Luego para determinar el

vértice b, trazamos un arco de circunferencia con centro c y radio de medida A. Si:

B. sen a = A , existe un triángulo abc, rectángulo en

b

a c

● d

.

B sena

a c

.

B sena A

a c

A

b

.

B sena


B.sen a < A, en esta situación, existen dos triángulos

1

ab c y 2

ab c

En síntesis, observamos que en este caso, se pueden presentar situaciones en las que existen dos triángulos y , un triángulo o ningún triángulo, por tal motivo se lo conoce con el nombre de Caso ambiguo

PRÁCTICA

53. Sea un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm respectivamente y forman

entre ellas un ángulo de 42º. Calcula el perímetro y el área del paralelogramo.

54. Para hallar la altura de un globo aerostático,

realizamos las mediciones indicadas en la figura. a) ¿Cuánto dista el globo del punto a? b) ¿Cuánto dista el globo del punto b? c) ¿A qué altura está el globo?

55. Dos carreteras rectas divergen formando un ángulo de 65º. Dos automóviles salen de la intersección a las 14 hs, uno viaja a 50 km/h y el otro a 30 km/h. ¿Qué distancia los separa a las 14: 30 hs?

56. Determina el área de un triángulo de lados 12 m; 18 m y 24 m.

57. Julio y Aníbal tienen sus casas en el campo a una distancia de 500m. Ambos divisan un

helicóptero volando en línea recta entre ellos . Julio lo ve con un ángulo de elevación de 80º y Aníbal está a una distancia de 600m del helicóptero. En ese instante ¿a qué altura está el helicóptero y a que distancia se encuentra de Julio?

58. Dos pájaros que están sobre dos ramas distintas de un árbol divisan un fruto del suelo.

Al mismo tiempo se lanzan sobre él en línea recta pero con distintas velocidades y llegan los dos juntos. El de la rama más alta estaba a 6m del fruto y el otro, a 4m . Si el ángulo que forman las trayectorias de cada uno es de 60º, con estos datos ¿se puede averiguar que distancia separaba a los pájaros cuándo estaban en las ramas?. Justifica

h

b

a

g

90º 75º 72º

63º

20cm

x

a c

A

b

b1

b2

A

.

B sena


Vectores

Matemática

59. Determina la medida de ab del trapecio isósceles , según los datos de la figura

BIBLIOGRAFÍA Apunte de Vectores en el Espacio. Autoras: Noemí Lagreca y Betina Cattaneo Matemática II. Editorial Santillana. Autoras: Buschiazzo,Fongi,González y L Lagreca Lecciones de Algebra y Geometría Analítica. Autores: Ada Mascó y Roberto López

50º

20º

6m

a b

c d

Documents

VVeeccttoorreess 44ºº AAññoo