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Walter Orlando Gonzales Caicedo
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POLINOMIOS
NOTACIÓN FUNCIONAL
Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello
emplearemos letras como P, F, G,..., etc.
Ejemplo:
P(x) se lee P de x: x variable
F(x;y) se lee F de xy: x, y variable
x, y, z variables
a, b, c constantes
VALOR NUMÉRICO
Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores
determinados.
Ejemplos:
1. Hallar el V.N. de: E(x,y,z) = x2 + y3 + 3z
Para x = 3; y = 2; z = 5
Solución:
V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32
2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20
Solución:
P(3,2) es el V.N. de P(x,y)
Para x = 3; y = 2
P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomios Homogéneos
Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.
Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2
Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomios Ordenados
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Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los
exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el
orden ascendente o descendente.
Ejemplos:
Se tiene que el polinomio x4y7 – x8y10 + x5y24 Está ordenado
ascendentemente con respecto a y.
P(x) = 6 + x – 2x2 + 8x3
3. Polinomios Completos
Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos
los elementos de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive.
Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8
Es completo con respecto a x.
Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es
equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:
Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo:
Número de términos = 6
4. Polinomios Idénticos
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier
valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus
términos semejantes son iguales.
Ejemplo:
ax + by + cz = 8z + 2x – 5y
Donde:
a = 2; b = –5; c = 8
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5. Polinomios Idénticamente Nulos
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se
cumple que cada coeficiente es igual a cero.
Ejemplo: ax + by + cz = 0
Donde: a = 0; b = 0; c = 0
FACTORIZACIÓN
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica
racional entera es presentado como el producto de dos o más factores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide
exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede
descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:
El proceso: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab, es una multiplicación.
En cambio el proceso: x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización
Donde:
(x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Factor Común Monomio
Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se
extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar E(x,y) = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos
cada uno de los términos entre dicho factor común, para lo que queda en el
polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:
)127( y)E(x, 3322 xyyxyx
Factor Común Polinomio
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Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más
términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los
siguientes criterios:
- De acuerdo al número de términos
Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.
- De acuerdo a los coeficientes de los términos:
Ejemplo:
Factorizar:
E(x,y) = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y
en forma ordenada.
En cada uno de los tres grupos:
E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)
Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor
común polinomio.
))(( y)E(x, 8644 yxyx
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único
divisor que es sí mismo
Esta expresión tendrá 2 factores primos: )( 44 yx y )( 86 yx
Método de las Identidades
Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
Recordemos los siguientes:
A) Trinomio Cuadrado Perfecto
A2 2AB + B2 = (A B)2
OBSERVACIÓN:
EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIO AL
CUADRADO, SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO DE LA RAÍZ
DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO:
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Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
Luego: es un T.C.P.
B) Diferencia de Cuadrados
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos:
1. Factorizar: x4 – 4b2
Solución:
Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6
Solución:
x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos
A3 B3 = (A B) (A2 AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar: 27x3 – 8
Solución:
(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
D) ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma:
Ax2m + Bxmyn + Cy2n
Ejemplos:
Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
Tenemos:
(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)
4 -4
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ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Factorización por Factor Común
48563 .8
)1(21 .7
)2(2)2(3 .6
124-6293 5.
4024816 .4
2.
7035 .1
22232
223223
3244223
753
332
mabbxabaabba
xax
xyxx
xayxayxa
yxyxyxyx
xxx
mnm
2. Factorización por diferencia de cuadrados
25
1 .8
81
49 .7
)2()( .6
)(4 .5
9
14 .4
49 .3
12125 .2
.1
42
1210
22
22
2
121062
42
282
nn
xn
n
ba
ba
xxa
yxx
x
azyx
yx
cba
3. Factorización por cuadrado perfecto
242
44222
126
42236
49141 )4
14424 )3
81198121 )2
257049 )1
yxyx
xmxama
xx
nanamm
4 8)
)(4)(4 )7
)()(2 )6
336
25
25
1 )5
2224
22
22
24
bbaa
mnmmnm
babaaa
xx
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4. Factorización de Trinomios de la forma: cbxx2
3013 )4
406 )3
2928 )2
4013 )1
2
2
2
2
mm
nn
nn
aa
352 )8
365 )7
3314 )6
607 )5
2
2
2
2
aa
xx
aa
aa
ECUACIONES POLINOMIALES
Ecuación:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que aparece una o varias
incógnitas. Cuando la igualdad entre las dos expresiones se verifica para cualquier
valor numérico de las incógnitas se llama identidad y no se considera una ecuación.
Ejemplo 1:
a) -2x = 8 es una ecuación con una incógnita
b) x2 - 2x = y – 1 es una ecuación con dos incógnitas
c) La igualdad 3x + 6 = 3(x+2) no se considera una ecuación sino una identidad
porque se verifica para cualquier valor de la variable x. En concreto, esta igualdad es
cierta para cualquier valor de x debido a la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma.
Asimismo la igualdad (x+1)2 = x2 + 2x + 1 es una identidad.
En toda la unidad se trabaja en el conjunto de los números reales.
Una solución de una ecuación es un valor numérico de cada una de las incógnitas
para los que se verifica la igualdad.
Clases de Ecuaciones
Las ecuaciones pueden ser:
A. Polinómicas: Cuando las potencias de las variables son números naturales. Ejemplos:
x – 12 = 23
3x2 – 5x + 13 = 6
5x3 – 6x + 7 = 3x2
x4 – 5x + 6 = 0
B. Racionales. Cuando hay variables en el denominador. Ejemplos:
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22
112
2
32
xx
x
82
1
1
3
xx
C. Irracionales. Cuando hay variables dentro de radicales. Ejemplos:
63223 xx 121
312
xx
D. Exponenciales. Cuando las bases son números y en los exponentes hay variables. Ejemplos:
642x
82 432 xx
E. Trigonométricas. Cuando en la ecuación hay funciones trigonométricas. Ejemplos:
senxxxsen 4cos3 22 5,021 xsen
F. Logarítmicas. Cuando en la ecuación hay funciones logarítmicas. Ejemplos:
16log4log 22x
xx ln5ln1
Clasificación de las Ecuaciones Polinomiales.
Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado o Lineales: Una ecuación de primer
grado es siempre reducida a la forma típica: ax + b = 0; cuya solución es: x = -a
b;
siendo a y b coeficientes (números reales o expresiones algebraicas que no contienen
a x).
Si a 0, entonces la solución es determinada y única.
Si a = 0 y b 0, entonces no hay solución; la ecuación es imposible.
Si a = 0 y b = 0, entonces la solución es infinita: cualquier número; la ecuación es
indeterminada.
Ejemplo 1.
Resolver la ecuación: 6x – 5 = 2x + 7
Solución:
6x – 5 = 2x + 7
6x – 2x = 7 + 5
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4x = 12 → x = 4
12
x = 3 → S. = 3
Ejemplo 2. Resolver la ecuación: 5
3
4
52
2
3 xx
Solución:
Hallando el M.C.M. a los denominadores de cada sumando, siendo el número 20;
desarrollando se obtiene:
30x - 40 = 25x+12
30x -25x = 12+40
5x = 52
x = 5
52 → S. =
5
52
Ejemplo 3. Resolver 2x+3=2x+5
Solución:
2x-2x = 5-3
0.x = 2 → x = 0
2
No hay solución, debido a que la ecuación es imposible.
Ejemplo 4:
Resolver 9x-2x+16=7x+14+2
Entonces:
9x-2x-7x = 14+2-16
0.x =0 → x = 0
0
Tiene infinitas soluciones, la ecuación es indeterminada.
Ejemplo 5. Resolver:
(x+5x)(x+2) – 3(4x-3) = (5-x)2
Solución:
2)5()34(3)2)(5( xxxx
22 1025912107 xxxxx
910251012722 xxxxx
5x = 6
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x=2a
4acbb 2
x = 6/5 → S = 6/5
Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado:
Una ecuación de segundo grado puede ser siempre reducida a la forma ax2 + bx + c =
0; donde a es diferente de 0; a, b y c son coeficientes (números reales o expresiones
algebraicas que no contienen a x).
La resolución de una ecuación cuadrática puede realizarse ya sea por factorización,
completando cuadrados o aplicando la fórmula general.
A. Método de Factorización: consideremos el siguiente:
Ejemplo
Resolver x2 – 8x + 15 = 0
Solución:
x2 – 8x + 15=0
(x-5)(x-3)=0
x-5= 0 x-3=0
x= 5 x=3
→ S. = 5, 3
B. Método de Completar Cuadrados: consideremos el siguiente:
Ejemplo
Resolver: x2-6x+6=0
Solución:
x2-6x+6=0
x2-6x=-6
x2-6x+9=-6+9
(x-3)2=3
x-3= 3
x=3 3
Entonces:
x=3+ 3 x=3- 3
→ S. = 3+ 3 , 3- 3
C. Método de la Fórmula General: La solución de la ecuación de segundo grado es:
Estudio de las soluciones: ax2 + bx + c = 0, a 0 {a, b, c} R.
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Donde:
= b2 - 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática.
Caso I: Si, = b2 - 4ac = 0; la ecuación tiene dos raíces reales e iguales a (-b/2a)
pero tiene una única solución real.
Ejemplo:
Sea x2 - 12x + 36 = 0
Tenemos que su:
= (-12) 2 - 4(1)( 36) = 144 - 144 = 0
Luego: Se tiene sus dos raíces iguales a 12/2(1) = 6 siendo esta una única solución.
Caso II: Si; = b2 - 4ac > 0 la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.
Si el discriminante es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales racionales.
Ejemplo: x2 - 7x + 12 = 0
Tenemos: = (-7) 2 - 4(1) (12) = 49 - 48 = 1
Luego:
Si el discriminante no es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales
irracionales conjugadas.
Ejemplo: 2x2 - 13x + 10 = 0
Tenemos: = (-13) 2 - 4(2)(10) = 169 - 80 = 89
Luego:
Caso III: Si; = b2 - 4ac < 0 la ecuación tiene dos raíces complejas y conjugadas.
Ejemplo: x2 + x + 1 = 0
Tenemos: = (1)2 - 4(1)(1) = - 3 < 0 entonces la ecuación admite 2 raíces complejas
conjugadas.
Luego:
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
I. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS VARIABLES
1. x + 4 = 28
2. y – 6(5) - 5y = 31
3. 8z = 40 + 3z
3 x,4x2
17
2
1)7(x 21
1 2
( 13) 89 13 89 13 89 13 89 , x
2 2 2 2x x
1 2
1 3 1 3 1 3 , x
2 2 2
i ix x
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4. 10x = - 5x + 60
5. -15y + 3 = - 36 - 18y
6. 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12
7. -(3x + 2) - 8 = 5(x - 3) +15
8. 4(-x + 1) + 5 = -(x + 3) + 5
9. 4(3x + 2) - 8 = 2(2x -7) -1
10. -( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)
11. -(7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)
12. -18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]
13. 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x
14. x+3(x-1)= 6-4(2x+3)
15. (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4)
16. 420
45
12
83
315
710 2
x
xx
x
x
17. 2)5(2)3()73(6)1(5 22 xxxxxxx
18.
19. – –
20.
II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
21. Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.
22. Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10. 23. La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números. 24. Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es
4; determine los números. 25. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.
¿Cuáles son los números? 26. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular
la medida del lado del cuadrado. 27. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se
triplica. ¿Cuánto mide el lado? 28. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre
tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
29. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen actualmente?
30. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?
31. Una compañía fabrica un producto a un costo variable de S/ 3,50 por unidad. Si los costos fijos son de S/ 10,500, cada unidad se vende a S/ 4.50 ¿Cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de S/ 7,000?
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32. El ingreso obtenido al vender x artículos a un precio p es I = x.p Resuelva: En un tienda hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes cuyos precios son S/ 80,00 y S/ 135,00. Si la venta de todos los zapatos produjo ingresos de S/ 46.600 ¿Cuántos pares de cada marca había?
33. El costo total de producción corresponde los costos fijos más los costos variables, es decir: C = CF + CV, aplicando la definición resuelva el problema: Una fábrica de camisas paga S/ 140.000 en arriendo, el costo del material es la mitad de la mano de obra ¿Cuanto paga por materiales y cuánto por mano de obra si el costo total asciende a S/ 500.000?
34. Se define como utilidad a la diferencia entre los ingresos totales recibidos y los costos totales, es decir: U= I - C , Resuelva: Un fabricante produce semanalmente 150 artículos los que vende al doble del costo menos S/ 100,00 ¿Cuánto es el costo de cada artículo si sus utilidades son de S/ 36.000?
35. Un fabricante produce lámparas que vende a US$ 8.200. Los costos de producción son: US$ 130.000 en arriendo y US$ 3.500 en material y mano de obra por cada lámpara producida ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de US$ 246.000?
36. Una empresa de productos alimenticios desea evaluar los márgenes de utilidad de cierto producto. Los costos fijos son de S/ 40,000, y el costo variable es de S/ 5.00. Si el precio de venta es de S/ 10.. Ud. es contratado para determinar:
a. La contribución de los ingresos generados por este producto a los costos fijos por unidad.
b. La cantidad por producir que asegurará a la empresa una utilidad de 20% sobre el costo total.
c. La utilidad, expresado en unidades de producción.
37. Un total de S/. 10.000 fue invertido en dos bancos comerciales A y B. Al final del primer año ganaron 6% y 5,75% respectivamente sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original por banco si en total se ganó S/. 588,75 en intereses al año?
III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES
1. 25x2 - 1 = 0
2. x3 + 10x2 + 25x = 0
3. x3 + x2 - 6x - 6 = 0
4. x2 + 2x - 5 = 0
5. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 6. x2 = 81 7. 14x2 - 28 = 0 8. (x + 6)(x - 6) = 13 9. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 10. (x + 11)(x - 11) = 23 11. x2 = 7x 12. 21x2 + 100 = - 5
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13. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 14. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 15. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
IV. Resuelve las siguientes problemas:
1. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá
dentro de 6 años. Determina la edad actual. 2. Una persona compró cierto número de objetos en S/300. Podría haber
comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado S/ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?
3. Una excursión para bucear costó $300. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costo por persona habría sido de $5 más. ¿Cuántos miembros hay en el club?
4. Gabriel Jesús compró cierto número de lapiceros por S/24. Si cada lapicero le hubiera costado S/1 menos, pudo haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántas lapiceros compró y a qué precio?
5. Halla dos enteros consecutivos impares cuyo producto es 255 6. Pedro Antonio compró cierto número de relojes por US$192. Si el precio de
cada reloj es ¾ del número de relojes, ¿cuántos relojes compró? 7. Una fábrica de artículos de losas produce platos de tipo “A” y “B”. El costo
de producir plato “A” es de S/.2 más que el plato “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son de S/.1 500 y S/. 1 000 respectivamente, y se hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?
8. El gerente de una fábrica de muebles sabe que el costo de vender “x” juegos de dormitorios es C=20x+60 y el ingreso de vender “x” juegos de dormitorios es I=x2-8x. Encuentre el punto de equilibrio de “x” (igualar los ingresos y los costos).
INECUACIONES
1. DEFINICIÓN: Es una desigualdad.
2. DESIGUALDAD: Es una relación que nos indica que una cantidad o expresión es mayor o menor que otra. Estos se establecen solo en el campo de los números reales. Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)
diferente a mayor que menor que
También:
mayor o igual que menor o igual que
- +
| | | | | | | |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
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Si a es (+) a 0
Si a es (-) a 0
3. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Sea: a b Si se le suma o resta: c
a c b c (NO VARIA)
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA.
Si: a b ac bc
y c 0 c
a
c
b
3. Si a b c 0
Cumple:
c
b
c
a
bcac
se invierte
4. Si a b b c
a b c a c
5. Si a b c > d
Se cumple: a + c b + d
6. Si a b c d Se cumple: a – c c - d
7. Si a b c d b 0 d 0 Se cumple: ac bd Consecuencias:
Si a b siendo b 0
nn
nn
ba
ba
Menores de
cero (-) Mayores de
cero (+)
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0 2 4
+ +
8. Si: a b c d siendo b 0 c 0
Se cumple: c
a
d
b
4. CLASES DE DESIGUALDADES:
1. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.
Ejemplo:
3x – 2 13
x 5
2. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores.
Ejemplo:
a2 + 5 0
“a” toma cualquier valor real.
Solución:
a2 -5
Pero como a2 0 0 -5
a2 - 5 es OBVIO
5. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES:
1. Inecuación Posible: a. Inecuación determinada: Sea: (x – 2) (x – 4) 0
Porque 2 x 4 (ya está determinada)
b. Inecuación Indeterminada: Sea (x – 3)2 + 1 0, cuando satisface para cualquier valor de x.
2. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones: Ejemplo:
X2 -2 (es imposible)
a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.} Ejemplo:
3x – 5 2x + 1
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5x + 2 4 (x + 2)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la
forma:
ax + b 0 ó ax + b 0
Si: ax + b 0
a
bx
Si: ax + b 0
a
bx
Si a = 0, la inecuación se reduce a:
b 0
Para todo valor de x; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
3
2
2
1x2
6
2x3
5
1x2
Solución:
MCM (5, 6, 2, 3) = 30
Multiplicando por 30:
3
230
2
1x230
6
2x330
5
1x230
12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 + 20
-3x 51
x -17
Graficando:
| |
- -17 +
- x -17 ó x - , -17
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:
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ax2 + bx + c 0 ; a 0
El conjunto solución: {x R / ax2 + bx + c 0} y dependerá de la naturaleza del
discriminante.
= b2 – 4ac
Luego:
Caso 1: Si = b2 – 4ac 0 = ax2 + bx + c, tiene dos raíces reales diferentes, por
ejemplo x1, x2, con x1 x2 , entonces:
ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)
1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - x1) (x – x2) 0
a) Si a 0 x - , x1 U x2 ,
b) Si a 0 x x1 , x2
1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0
a) Si a 0 x x1 , x2
b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0
Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax2 + bx + c, tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2,
luego:
Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)2
2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)2 0
a) Si a 0 x R – {x1}
b) Si a 0 x
2.2 Ax2 + bx + c 0. a (x – x1)2 0
a) Si a 0 x
b) Si a 0 x R – {x1}
Caso 3: Si = b2 - 4ac 0 ax2 + bx +c, no tiene raíces reales:
3.1. Si a 0 ax2 +bx + c 0, x R
3.2. Si a 0 ax2 + bx + c 0 , x R
Ejemplo:
Sea: x2 – 7x + 6 0
(x - 6) (x - 1) 0
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x - , 1 U 6,
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
I. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES
1.
2.
3 . 7x2 + 21x − 28 < 0 4 . −x2 + 4x − 7 < 0
5 .
6 . 7 . X 2 – 25x + 144 < 0
8.
9 .
10. 123
1
2
13x
xx
11. 13
1)53(294
xxx
12. 103
4
15
135
5
9 xxx
13. 18
5
6
14
9
52 xxx
14. 012
1023
4
81
3
53 xxx
15. 222 )12(25)13( xxxx
16. 5623 x
17. 8542 xx
18. 0)2)(3( xx
19. 0)1()6( 2xx
20. 0)53()12( xx
21. 042x
22. 0862 xx
23. 01032 xx
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24. 016 2 xx
25. 052
13
x
x
26. 052
13
x
x
27. 01
22x
x
28. 01
252x
29. 0189
42 xx
30. 11
22x
x
31. 193
25
x
x
32. 2
1
5
12
x
x
33. xx
x5
5
34. 1
1
1
1
x
x
x
x
35. 032
62
x
x
36. 0)2()13( xxx
37. 06116 23 xxx
38. 045 24 xx
39. 04
1582
2
x
xx
II. RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS
40.
41. 231
532 2
xx
xx
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42. 1227
842
xx
x
43. 15332
12723
xx
xx
44. 51)1(3
32)1(34
x
xx
45.
31
6
67
3
33
13
2
522
xxx
xxx
46.
2
7
10
7
5
64
06
1
3
112
xxx
xx
MATRICES
1. Definición: Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:
Donde:
El elemento está situado en la fila i y en la columna j.
El número de filas y columnas mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. El número total de elementos de la matriz es mxn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.
Ejemplo:
Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.
2. Clases:
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Según la forma de la matriz, esta puede ser:
Matriz fila: tiene una sola fila. La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n. Es decir:
Ejemplo:
Matriz columna: tiene una sola columna. La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1.
Ejemplo:
Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. En una matriz
cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.
Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3
Sus elementos diagonales son:
Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn
Ejemplo:
Matriz transpuesta: dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se designa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. Es decir:
si entonces la transpuesta de A es la matriz . Esto es,
la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A, se
denota por . Por lo tanto:
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Ejemplo: Sea:
Entonces:
El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.
Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces:
Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). Es
decir: .Por tanto es simétrica:
Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal
Ejemplo: Sean:
Entonces A es simétrica y B no es simétrica.
Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que:
(los elementos de la diagonal principal son todos nulos).
Ejemplo: 022
201
210
A
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Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:
Matriz nula: todos sus elementos son cero y se denota por 0. Es decir:
Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice diagonal si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:
jia
a
a
a
A ij
nn
si0
0...00
.................
00...0
00...0
,
22
11
Ejemplo:
100
020
005
A
Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
500
050
005
A
Matriz Identidad o unidad: Matriz cuadrada tal que aij = 1 i = j, aij = 0 i j,
es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.
I=
10...00
.................
00...10
00...01
Ejemplo:
100010001
A
Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...00
............
0
...
222
11211
ij
mn
n
n
a
a
aa
aaa
A
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Ejemplo:
100
610
425
A
Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...
............
0
0...0
21
2221
11
ij
mnmm
a
aaa
aa
a
A
Ejemplo:
149
023
002
A
3. Igualdad entre matrices: Dos matrices y (del mismo
tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, es decir:
para i= 1,2,…,m
Ejemplo:
Hallar x,y,z,w si:
423
32
52
9542
wz
yx
wz
yx
Solución:
Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:
2x-4=x+2
5y+9=3-y
z+2=3z
w-5=2w-4
Luego: Despejando x,y,z,w en las ecuaciones anteriores, tenemos:
x = 6, y = -1, z = 1, w = -1
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.
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Sólo se pueden restar
sumar matrices del mismo orden. Para ello se
tanres
suman los
elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)
Entonces: A + B = (aij + bij)
Ejemplo:
Sean: 032
641
410
132BA
Entonces
422
511
043120
)6(14312,
442
773
043120
614312BABA
2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.
Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y
cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: Є R y A = (aij) entonces:
.A = ( . aij)
Ejemplo: sea 410
132A
Entonces: 1230
3963 A
3. PRODUCTO DE MATRICES.
3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.
3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:
A mxn . B nxp = C mxp
¿Cómo se multiplican?
El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así
obtenidos. Brevemente: kjik
n
kij bac
1
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Ejemplo: Multiplicar las matrices
22
23
53
46
43
01
12
x
x
BA
Solución:
23830
46
139
2354)4(33463
50)4(13061
5)1()4(23)1(62
xx
BA
OBSERVACIÓN:
El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:
A B B A.
Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.
Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la designa por A-1
4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:
4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aaA
Ejemplo: calcular el determinante de la matriz57
12A
Solución:
177107)1(5257
12A
4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:
332112113223312213312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
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Ejemplo:
1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414
473
316
234
6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A
de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que
verifica: donde es la matriz identidad.
OBSERVACIÓN:
Si |A| 0 A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).
Si |A| = 0 A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).
6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa
Método de adjuntos:
A
AA
t
ad )(1
Método de Gauss: Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcular la inversa de 210
121
011
A
Solución:
Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:
1210004
210
121
011
A
Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto;
calculamos primero los adjuntos:
11221
11
1)01(10
01101
12
011)01(
10
11202
20
01
2)02(21
01101
10
212)02(
20
11314
21
12
33
32312322
21131211
A
AAAA
AAAA
Luego: formamos la matriz adjunta:
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111
122
123
adA
Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el
determinante:
A
AA
t
ad )(1
111
122
123
111
122
123
1
11A
Ahora lo hacemos por el método de Gauss:
111100
122010
123001
111100
122010
001011
111100
011110
001011
100210
011110
001011
100210
010121
001011
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa
(multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:
100
010
001
210
121
011
111
122
123
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
I . RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1. Dadas las matrices:
415
003102
A
241
10121151
B
Calcular:
A + 3B; 2A – B; A.B; B.A; A.A; B.B
2. Dadas las matrices:
012
15
413
121
A
5
341
35
21
113
1
B
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Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³.
3. Se consideran las matrices:
122
212301
A
40
32
11
A
0
3
1
2
16
1
5
2
3
13
1
3
2
2
1
C
Calcular:
3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1
4. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:
5. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:
6. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.
a) 02
10 b)
43
21 c)
84
21
d)
114
301
211
e)
104
213
012
f)
1098
765
432
7. Calcula los productos posibles entre las matrices:
543
012C y
1
2
1
B ,
110
111
321
A
8. Para las matrices
3
1
2
D y
3001
2415
1032
C , 321
430B ,
304
211A , realiza
las siguientes operaciones:
a) AB b) A.D c) B.C d) C.D e) ATC
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f) DTAT g) BTA h) DTD i) DDT
9. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.
Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el
costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de
matrices.
Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes:
Supermercado 1: 50.80
Supermercado 2: 49.60
Supermercado 3: 50.30
10. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
a) Representar la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas
para cada uno de los modelos.
Alverjas fríjol maíz
3.3 2.5 4.2
3.4 2.3 4.0
3.6 2.8 3.5
Supermercado 1
Supermercado 2
Supermercado 3