dr inż. Arkadiusz BorowiecWyższa Szkoła Bankowa

Katedra Ekonomii

Prawie wszyscy wiedzą, że pewna suma pieniędzy ma dziś większą wartość niż ta sama suma w przyszłości. Mówi się, że „pieniądz traci na wartości”. Używając bardziej precyzyjnej terminologii trzeba powiedzieć o zmiennej wartości pieniądza w czasie.

 Pieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska:

  Ryzyko. Tysiąc złotych ma dziś większą wartość niż obietnica tego

samego (w sensie wartości nabywczej) tysiąca złotych za rok. Obietnica może bowiem być niedotrzymana, przeto otrzymanie tysiąca złotych za rok jest obarczone ryzykiem.

Preferowanie bieżącej konsumpcji (natychmiastowość). Człowiek z natury przywiązuje większą wagę do bieżących przyjemności niż do przyszłych.

Możliwość inwestowania. Posiadany zasób umiejętnie zainwestowany może w przyszłości mieć znacznie wyższą wartość.

A. Borowiec

Zakłada się, że pewna suma pieniędzy jest inwestowana na n lat według stopy procentowej r, a dochody (odsetki) kapitalizowane są raz w roku. Stosuje się tu wzór:

FVn=PV(1+r)n, gdzie

FVn – wartość przyszła (future value) sumy pieniężnej po n latach

PV – wartość początkowa sumy pieniężnejr – stopa procentowa (w skali rocznej)n – liczba lat

A. Borowiec

Zakłada się, że pewna suma pieniędzy jest inwestowana na n lat według stopy procentowej r, a dochody (odsetki) kapitalizowane są częściej niż raz w roku. Stosuje się tu wzór:

FVn=PV(1+r/m)nm, gdzie 

m – liczba kapitalizacji dochodów w ciągu roku

Wartość przyszła sumy pieniężnej jest tym wyższa, im:- wyższa jest wartość początkowa,- wyższa jest stopa procentowa,- większa jest liczba lat,- częstsza jest kapitalizacja dochodów.

 

A. Borowiec

Wpływ częstości kapitalizacji na wartość przyszłą oznacza, że częstsza kapitalizacja przy rocznej stopie procentowej w rezultacie daje wyższą stopę procentową. Jest to tzw. efektywna stopa procentowa. Określa ją następujący wzór:

 re=(1+r/m)m-1, gdzie

re – efektywna stopa procentowa (w skali rocznej)

A. Borowiec

Jest to zagadnienie odwrotne do zagadnienia 1. Należy określić ile warta jest dziś suma pieniędzy otrzymana po n latach, przy inwestowaniu według stopy procentowej r i rocznej kapitalizacji dochodów. Stosuje się tu wzór:

 PV =FVn/(1+r)n

 Wartość bieżąca inaczej nazywana jest wartością zdyskontowaną, a czynnik wartości bieżącej również nazywany jest czynnikiem dyskonta.

 

A. Borowiec

Jest to zagadnienie odwrotne do zagadnienia 2. Należy określić ile warta jest dziś suma pieniędzy otrzymana po n latach, przy inwestowaniu według stopy procentowej r i częstszej niż roczna kapitalizacji dochodów. Stosuje się tu wzór:

 PV =FVn/(1+r/m)nm

   Wartość bieżąca sumy pieniężnej jest tym wyższa im:  - wyższa jest wartość końcowa,

- niższa jest stopa procentowa,- mniejsza jest liczba lat,- rzadsza jest kapitalizacja dochodów. 

A. Borowiec

W finansach często mamy do czynienia z sytuacją, w której pod koniec okresu (np. roku) płacona jest stała suma pieniężna. Tę stałą płatność nazywa się rentą, przy czym po zapłaceniu renty dochody są kapitalizowane. Do określenia wartości przyszłej renty stosuje się wzór:

FVAn=PMT[(1+r)n-1]/r, gdzie FVAn – wartość przyszła renty po n latachPMT – wielkość renty 

Wzór ten można również stosować w przypadku, gdy renta płacona jest z inną częstotliwością niż roczna. Trzeba tylko pamiętać, że n jest liczbą tych okresów (tzn. rent), stopa procentowa dotyczy okresu płatności renty, a ponadto okres kapitalizacji jest zgodny z okresem płatności renty.

 Wartość przyszła renty jest tym wyższa, im:

- większa jest renta,- większa jest liczba rent,- wyższa jest stopa procentowa

A. Borowiec

Jest to zagadnienie odwrotne do zagadnienia 6. Należy tu określić wielkość renty, która powinna być płacona, aby można było otrzymać w przyszłości pewną wartość. Zagadnienie to nazywane jest problemem wielkości depozytu. Stosuje się tu wzór:

 PMT=FVAnr/[(1+r)n-1]

 Powyższy wzór można również stosować w przypadku, gdy renta płacona jest z inną częstotliwością niż roczna. Renta jest tym wyższa im:

- większa jest wartość przyszła renty,- mniejsza jest liczba rent,- niższa jest stopa procentowa.

A. Borowiec

Jest to uogólnienie zagadnienia 6, z tym że zamiast równych płatności (rent), płatności mogą być różnej wielkości, jednak płacone są regularnie (np. co roku). Stosuje się tu wzór:

 

TV – wartość przyszła, inaczej wartość końcowa regularnych płatnościCt – płatność w roku t

  

Powyższy wzór można również stosować w przypadku, gdy okres płatności jest inny niż rok. Trzeba tylko pamiętać, że stopa procentowa dotyczy okresu płatności, a ponadto okres kapitalizacji jest zgodny z okresem płatności. 

n

1t

tnt )r1(CTV

A. Borowiec

Jest to zagadnienie odwrotne do zagadnienia 8. Stosuje się tu wzór: 

 PV – wartość bieżąca  

Powyższy wzór można również stosować w przypadku, gdy okres płatności jest inny niż rok. Trzeba tylko pamiętać, że stopa procentowa dotyczy okresu płatności, a ponadto okres kapitalizacji jest zgodny z okresem płatności.

n

1t

tt )r1/(CPV

A. Borowiec

Jest to podstawowe zagadnienie spotykane w analizie inwestycji. Wartość bieżąca netto określana jest według wzoru:

  

NPV – wartość bieżąca nettoCt – dochód otrzymywany na koniec roku tI0 – inwestycja początkowa 

Jeżeli NPV jest dodatnia, oznacza to, że suma wartości bieżących dochodów w okresie inwestowania jest wyższa niż nakład początkowy, czyli inwestycja powinna być realizowana. Oczywiście odwrotnie jest w przypadku ujemnej NPV. 

n

1t0

tt I])r1/(C[NPV

A. Borowiec

Podstawową miarą dochodu z inwestycji jest stopa zwrotu. Stopa zwrotu w okresie inwestowania określona jest według wzoru: 

R=(FV/PV)-1  

Najczęściej stopę zwrotu określa się w skali rocznej. Wówczas stosuje się następujący wzór:

 R=(FV/PV)1/n-1

A. Borowiec