Waves in string using Diamond rule and Mathematica software

高聖凱 陳正宗時間： 2006,05,06,13:20

地點：海洋大學行政大樓一樓討論室

前言文獻回顧範例討論結論

前言 因為工數作業，讓我開始接觸 M

athematica ，並利用動畫學習波動方程式，有事半功倍之效。

波動是時空的問題，若每個波動問題都能用動畫呈現，無論在老師的教學或學生的學習，都將更有效率。

傳統學習方式

前言文獻回顧範例討論結論

One-dimensional wave motion

2 22

2 2 2

1u u kc

x c t

1 2cos cos tanT T k cons t

2

2

12 )(sinsint

uxTT

1T 2T

D’Alembert Solution( , ) ( ) ( )u x t p x ct q x ct

代入初始條件： ( ,0) ( )u x x( ,0) ( )u x x

( ,0) ( ) ( ) ( )u x p x q x x ( ,0) ( ) ( ) ( )u x cp x cq x x

1 1( , ) [ ( ) ( )] ( )

2 2

x ct

x ct

u x t x ct x ct s dsc

Diamond Rule

solutionlebert AD'1 1

( , ) [ ( ) ( )] ( )2 2

x ct

x ct

u x t x ct x ct s dsc

A B D Cu u u u

A

B

C

D

x

t

A C B Du u u u

Mathematica 基本繪圖指令：

PlotStyle{Style1,Style2,…} ： 函數圖形的格式設定，如：顏色、出圖範圍、圖形的寬度等。

Plot[f,{t,min,max}] ：繪出函數在之圖形

RGBColor[R,G,B] ： 設定顏色，以紅、綠、藍三色間的比例表示。

Thickness[ 數值 ] ：設定圖形軌跡的寬度。

PlotRange{{min,max},{min,max}} ： 設定出圖範圍，前為軸，後者為軸。。

Table[ 指令， {t,min,max, 間隔 }] ： 迴圈指令，若迴圈內的指令為 Plot 便會呈現動畫的形式。

前言文獻回顧範例討論結論

固定繩波初始條件：

1, 1 2

( ,0) ( ) 3 , 2 3

0,

x x

u x x x x

otherwise

( ,0) ( ) 0u x x ；

邊界條件：

0),6(),0( tutu

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Fixed string ( 映像法 )

以繩長 6 為一單位長，每一單位取一區間，而每一區間產生一個反對稱的影像（因端點固定不動，可假設有一反對稱波動）。依據 Huygen’s Principle 可知，其所產生之反對稱影像即為新的波源，再利用新波源去產生反對稱影像。以此原則不斷往外產生影像，即可得圖解。-10 -5 5 10 15 20

x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5ux,t

Original

Image

ImageImage

Image

Fixed string ( Fourier 級數法 )

( , ) ( ) ( )u x t X x T t

1

sin( ) cos( )n

n

n x n tP

l l

利用時空分離的觀念，將波動方程的解假設為：

0

2( )sin( )

l

n

n xP x

l l

2

12[sin( ) 2sin( ) sin( )]

2 3 6( )

n n n

n

初始條件：

1, 1 2

( ,0) ( ) 3 , 2 3

0,

x x

u x x x x

otherwise

( ,0) ( ) 0u x x ；

邊界條件：

0),6(),0( tutu

Fixed string ( Diamond Rule )

1

1( , ) [ ( ) ( )]

2u x t f x ct f x ct

x(t)=6 , y(t)=t

f(x)=x

f(x)=6-x

f(x)=6+x

f(x)=12-x

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

u(x,t)

Ⅳ

ⅡⅢ

Ⅰ

ⅤⅥ

Ⅶ

2

1( , ) [ ( ) ( )]

2u x t f x ct f x ct

3

1( , ) [ ( ) (12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

7

1( , ) [ (12 ( ) ( 12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

4

1( , ) [ ( ) (12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

5

1( , ) [ (12 ( ) (12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

6

1( , ) [ ( ) ( 12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

Daimond rule

映像法

級數法

左端固定右端自由之繩波

初始條件：

1, 1 2

( ,0) ( ) 3 , 2 3

0,

x x

u x x x x

otherwise

( ,0) ( ) 0u x x ；

邊界條件：

(0, ) 0u t (6, ) 0u t ；

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Fixed – Free string ( 映像法 )

以繩長 6 為一單位長，每一單位取一區間，在左邊每一區間產生一個反對稱的影像（因端點固定不動，可假設有一反對稱波動），而右邊的每一個區間產生一個對稱的影像（因自由端，其斜率為 0 ，可假設有一對稱的波動與之作用）。依據 Huygen’s Principle 可知，其所產生之反對稱與對稱影像即為新的波源，再利用新波源去產生反對稱與對稱之影像。同理，不斷地往外產生影像，即可得圖解。

-10 -5 5 10 15

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Original

Image

ImageImage Image

Fixed – Free string ( Fourier 級數法 )

利用時空分離的觀念，將波動方程的解假設為：

( , ) ( ) ( )u x t X x T t初始條件：

1, 1 2

( ,0) ( ) 3 , 2 3

0,

x x

u x x x x

otherwise

( ,0) ( ) 0u x x ；

邊界條件：

(0, ) 0u t (6, ) 0u t ；

2 21

48( , ) [sin((2 1) / 4) 2sin((2 1) / 6)

(2 1)n

u x t n nn

(2 1) (2 1)

sin((2 1) /12)]sin( )cos( )12 12

n x n tn

Fixed – Free string ( Diamond Rule )

1

1( , ) [ ( ) ( )]

2u x t f x ct f x ct

2

1( , ) [ ( ) ( )]

2u x t f x ct f x ct

3

1( , ) [ ( ) (12 ( ))] ( 6 ( ))

2u x t f x ct f x ct r x ct

4

1( , ) [ ( ) (12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

5

1( , ) [ (12 ( ) (12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

( 6 ( )) ( 6 ( ))r x ct r x ct

6

1( , ) [ ( ) ( 12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct 1( 6 ( ))r x ct

7

1( , ) [ (12 ( ) ( 12 ( ))]

2u x t f x ct f x ct

Daimond rule

映像法

級數法

不同介質 (Diamond Rule)

週期外力

sin(t)

前言文獻回顧範例討論結論

三種方法之比較

解題技巧 解題速度 適用性

映像法Fourier 級數法

Diamond Rule

：最優 ：次之

三種方法之比較

波動討論 程式編寫映像法

Fourier 級數法Diamond

Rule

：最優 ：次之

三種方法之比較

準確度映像法

Fourier 級數法Diamond

Rule

三種方法之比較缺點

映像法

Fourier 級數法

Diamond Rule

?

1n

t ？

？ ？

結語

波動方程是時空的函數，最理想的表達方式便是利用動畫呈現。動畫將數學式所表達的物理意義完整呈現於前，相信這對於老師的教學與學生的學習有莫大的助益。