Weak lensing の新たな解析法

１： Weak lensing

２： shear

３：高次展開４：利点５：問題点

M2 大倉

重力レンズとは

１： Weak lensing

　レンズ方定式の基本式はソース位置を β 、イメージ位置を θ として

レンズ質量 M が点としていい場合は

レンズが質量分布を持っている場合は

となる。ここで Σ は表面質量分布で

さらに

として

この α からポテンシャル ψ が

と導かれる。さらにポアソン方程式より

２： shear

　レンズ方程式はソースの点とイメージの点を結んだ式である。しかし、実際にはイメージは大きさを持ちイメージの各点での変換の値が異なるためソースとイメージは同じ輝度分布にはならない。

　このゆがみはレンズ方程式から求められるものなので、逆にゆがみからレンズの性質を求めることができる。

βθ

β ＋ｄ β に対するレンズ方程式は

なので

と表記する。ここで

は spin0 、

は spin2 の性質を持つ。

ソースとイメージの変換にこの値がどう現れるかを見るまず、 Quadra pole moment を

と定義する。ここで

とし、 　　を

と定義する。 χ は楕円率を表すパラメーターであり、 spin2 の性質を持つ。

ソースの　　　とイメージの　　　は

で変換できる。

この変換を χ に入れると

と変換される。 Weak lensing の場合、 2 次以上は無視してもかまわないので

よって、ソースの χ とイメージの χ の差から g を測定することができる。しかし、ソースの χ は測定することができないので楕円率のランダム性を利用してアンサンブルを行う。　ソースの楕円率は完全にランダムとし

が成り立つとする。これより平均すると

よってイメージの χ が２ｇとなる。この χ はフーリエ変換することでκ に変換することができ、それは質量分布を復元することになる。

　３：高次展開

　 shear を測定したときよりも高次を見る。よって dβ は

f を ψ でかくと

D を spin1 の F と spin3 の G に分解すると

さらに

とおく

ここからは shear 部分と分離させて高次の部分のみを見る。　 χ と同じように高次の形を定義する。まず oct ploe moment を

とし、

と定義する。 ζ は spin1 、 δ は spin3 を持つ。

　

まず χ に対する高次の影響を見る。　 quadro pole moment の変換は

となるので　　　の変換にも F,G が関わってくる、２次まで計算すると

となるが、 Weak lens 近似で２次以上を無視すると結局

となる。

同じように ζ と δ の変換を計算すると

よって Weak lens 近似だと

と変換される。ここで λ と η は１６重極モーメントで定義されるパラメーター

４：利点

　　 F も G もフーリエ変換を行えば κ を出すことができる。よって単純に考えて測定する量が３倍に増え、それだけ精度が上げられると考えられる。　さらに、ソースが持っている値、 intrinsic noise は χ よりも ζ や δ の方が圧倒的に少ないと思われるので平均を取るのに必要な量が減る、つまりスムージングスケールが短くなることによって細部を見ることが可能になってくる。

５：問題点

　　 F と G はレンズ効果がその大きさに比例して受ける。つまり、レンズの背景にあるような小さいソースではレンズ効果も小さい。よって、大気や CCD のノイズの影響は多く受けてしまうことが考えられる。

　そして、 F に限っては中心位置　　がソースの中心位置　　と対応できなくなることが考えらる。この効果は δ や χ には２次で無視できるが ζ には直接影響が現れると考えられる。

　　左がソース、右が F を強く受けたイメージ

　　　イメージを観測するとソースの中心位置と　 　　　一致する白点ではなく赤い点を中心として　 　　　計測してしまう。

Zoom of the central MS1054 region

3 arcmin

MS1054-03

８０億光年かなたの銀河団

実際の観測

2001

by Umetsu, Futamase, Yamada

Weak Lens によって発見された銀河団