giefasha.files.wordpress.com€¦ · Web viewBilangan merupakan sistem matematika yang sudah dikenal selama ini. Bilangan yang pertama dikenal dan digunakan adalah bilangan asli (natural

(8x()MODUL

MATEMATIKA

UNTUK SMK KELAS X

SEMESTER 1dan 2

(Alhamdulillah, puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunianya sehinggga ModulMatematika ini dapat selesai sebagai sarana pencapaian kompetensi yang diharapkan oleh kurikulum Modul ini ditulis selain sesuai kurikulum 2006 juga disesuaikan dengan RPP yang telah disusun MGMP Matematika dan menekankan pada proses peningkatan mutu pendidikan dalam aspek pembelajaran .Modul ini memuat pilihan materi pokok, tugas-tugas siswa dan uji kompetensi. Soal-soal latihan disajikan sesuai dengan Kompetensi Dasar serta tuntutan indikator yang hendak dicapai. Semoga Modul ini dapat memberikan manfaat khususnya bagi siswa. . Akhirnya kepada Allah jualah kami berharap, semoga Allah SWT, senantiasa meridhai seluruh amal usaha kita semua.Amin Ya, Rabal ‘alamiin……KATA PENGANTAR)

(Tim MGMPMATEMATIKA SMKKAB. PURBALINGGA)

(TIM MGMPMATEMATIKA SMKKAB. PURBALINGGA)

(Setting – Lay Out)

(Setting – Lay Out :MGMP MATEMATIKA SMKKAB. PURBALINGGA)

Standar Kompetensi:Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real.

Kompetensi Dasar:1. Menerapkan operasi pada bilangan real.

2. Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat.

3. Menerapkan operasi pada bilangan irasional.

4. Menerapkan konsep logaritma

Tujuan Pembelajaran:1.Siswa dapat menerapkan operasi pada bilangan real.

2.Siswa dapat menerapkan operasi pada bilangan berpangkat.

3.Siswa dapat menerapkan operasi pada bilangan irasional.

4.Siswa dapat menerapkan konsep logaritma

A. Macam-macam Bilangan

Bilangan merupakan sistem matematika yang sudah dikenal selama ini. Bilangan yang pertama dikenal dan digunakan adalah bilangan asli (natural number). Bilangan asli adalah bilangan yang anggotanya dimulai dari 1,2,3, … dst, dilambangkan dengan huruf “A” dan ditulis A= dst.

Bilangan real meliputi:

a. Bilangan rasional

· Bilangan bulat positif

· Bilangan cacah (bilangan asli dan nol)

· Bilangan bulat negatif

· Pecahan

b. Bilangan irasional

B. Operasi Bilangan Real

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan

· Sifat komutatif

Contoh :

a. 5 + 3 = 3 + 5

b. 29 + (-12) = (-12) + 29

· Sifat asosiatif

Contoh :

a. 3 + (4 +(- 5)) = (3 + 4) + (-5)

b. 12 + (13 + 14) = (12 + 13) + 14

2. Operasi Perkalian dan pembagian

· Sifat komutatif

Contoh :

a. 5 x 3 = 3 x 5

b. 29 x (-12) = (-12) x 29

· Sifat asosiatif

Contoh :

a. 3 x (4 x(- 5)) = (3 x 4) x (-5)

b. 12 x (13 x 14) = (12 x 13) x 14

C. Perbandingan, Skala dan Persen

1. Perbandingan

a. Perbandingan senilai

X

P

Y

Q

X : Y = P : Q

Q X = P Y

Contoh :

1. Jika 5 liter minyak mempunyai massa 4 kg, maka 10 liter minyak mempunyai masa berapa ?

2. Jika pada suatu waktu yang sama, tinggi gedung adalah 12 meter, bayangan gedungnya adalah 20 meter. Terdapat Andi yang sedang berdiri dengan tinggi 1,5 meter, berapa tinggi bayangan Andi tersebut ?

Penyelesaian :

1. 5 : 10 = 4 : x

=

5x= 4(10)

5x = 40

x=

= 8

Jadi dengan 10 liter minyak mempunyai masa 8 kg.

2. 2 : 1,5 = 20 : x

=

12x = 1,5(20)

12x = 30

x =

=

= 2

Jadi, tinggi bayangan Andi adalah 2 meter.

b. Perbandingan berbalik nilai

X

P

Y

Q

X : Y = Q : P

P X = Q Y

Perbandingan berbalik nilai biasanya digunakan dalam soal seperti berikut :

Contoh :

1. Suatu pekerjaan dikerjakan oleh 8 orang pekerja dalam 5 hari. Jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 10 orang pekerja, berapa hari pekerjaan tersebut selesai dikerjakan ?

2. Gedung dikerjakan oleh 6 orang selama 10 hari. Jika gedung tersebut dikerjakan selama 5 hari, berapa pekerja yang diperlukan untuk membangun gedung tersebut?

Penyelesaian :

1. 8(5) = 10x

40 = 10x

10x= 40

x =

= 4

Jadi pekerjaan tersebut selesai selama 4 hari apabila dikerjakan oleh 10 orang pekerja.

2. 6(10)= 5x

60 = 5x

5x = 60

x=

= 12

Jadi gedung tersebut dibangun oleh 12 pekerja apabila diselesaikan selama 5 hari.

LATIHAN SOAL

1. Jika Indah berjalan dengan jarak 5 km menempuh waktu 3 jam, Rani berjalan dengan jarak 6 km, berapa waktu yang diperlukan Rani ?

2. Suatu bak mandi yang isinya 250 liter air diperlukan waktu 2 jam untuk mengisi sampai penuh, jika bak mandi yang isinya 500 liter air, berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi bak mandi sampai penuh ?

3. Suatu jembatan dikerjakan oleh 8 orang pekerja selama 6 hari, jika jembatan tersebut dikerjakan oleh 4 orang pekerja, berapa hari jembatan tersebut akan selesai dikerjakan?

4. Rumah Ayah dikerjakan oleh 15 orang pekerja selama 30 hari, jika rumah Ayah dikerjakan selama 90 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan rumah Ayah ?

2. Skala

Skala =

Jarak sebenarnya=

Jarak pada peta = jarak sebenarnya x skala

Contoh :

1. Jarak antara Purbalingga ke Purwokerto pada peta adalah 3 cm, sedangkan skala peta adalah 1 : 500.000. Berapa jarak sebenarnya antara Purbalingga ke Purwokerto?

2. Bandung sampai ke Jakarta adalah 75 km, jika skala 1 : 6.000.000. Berapa jarak pada peta antara Bandung ke Jakarta ?

3. Surabaya ke Bali adalah 30 km, jika pada peta adalah 5 cm, tentukan skala peta tersebut ?

Penyelesaian :

1.

Jarak sebenarnya =

=

= 3 x 500.000 cm

=1.500.000 cm

= 15 km

Jadi jarak sebenarnya antara Purbalingga ke Purwokerto adalah 15 km.

2. Jarak sebenarnya = 75 km = 7.500.000 cm

Jarak pada peta =jarak sebenarnya x skala

=7.500.000 x

=

=1,25

Jadi jarak pada peta antara Bandung ke Jakarta adalah 1,25 cm.

3.Jarak sebenarnya 30 km = 300.000 cm

Skala=

=

=

= 1 : 6.000

Jadi skala petanya adalah 1 : 6.000

LATIHAN SOAL

1. Ayah pergi dari Medan sampai Jakarta berjarak 250 km. Jika skala peta adalah 1 : 2.000.000. Tentukan jarak antara Medan sampai Jakarta pada peta ?

2. Jarak antara Semarang ke Madiun pada peta adalah 15 cm. Jika jarak antara Semarang ke Madiun sebenarnya adalah 300 km. Tentukan skala petanya !

3. Jika diketahui jarak pada peta antara Jakarta ke Purwakarta adalah 50 km, dan skalanya adalah 1 : 6.000. Berapa jarak sebenarnya antara Jakarta ke Purwakarta ?

3. Persen

Contoh :

1. Ayah membeli rumah seharga Rp. 50.000.000. Jika setahun kemudian Ayah menjual rumahnya dengan harga Rp.75.000.000. Tentukan berapa % keuntungan yang Ayah terima ?

2. Kakak menjual Handphonenya dengan harga Rp. 1.200.000 dia rugi 20 %. Berapa harga beli handphone Kakak dulu ?

3. Rossa menjual perhiasannya seharga Rp. 500.000 dan dia untung sebesar 25 %. Berapa harga beli perhiasan Rossa ?

Penyelesaian:

1. Harga beli = Rp. 50.000.000

Harga jual = Rp. 75.000.000

Untung = Harga jual – Harga beli

= Rp.75.000.000 – Rp. 50.000.000

= Rp. 25.000.000

% untung =

=

=

= 50 %

2. Harga jual = Rp. 1.200.000

Rugi = 20 %

Harga beli =

=

=

= 1.500.000

Jadi harga belinya adalah Rp. 1.500.000

3. Harga jual = Rp. 500.000

Untung = 25 %

Harga beli =

=

= Rp. 400.000

Jadi harga belinya Rp 400.000

2. Bilangan berpangkat ( Eksponen )

Secara umum misalnya a suatu bilangan real dan n bilangan bulat

an merupakan hasil perkalian dari a sebanyak n faktor.

(6. 7. )Sifat – sifat bilangan berpangkat :

1.

2.

3.

4.

5.

a0 = 1

a-n =

Contoh :

1.

Tentukan bentuk sederhana dari : !

Penyelesaian :

= 8

2.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 25 = 125

Penyelesaian :

25 = 125

3. Logaritma

Logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen (perpangkatan) yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil pengkatnya sudah diketahui.

1. 23 = …(Perpangkatan)

2. ...3 = 8 (Mencari akar)

3.

= … (Logaritma)

Secara umum:

Logaritma x dengan bilangan pokok a ditulis

alog x = n an = x

a = bilangan pokok , a > 0 dan a ≠ 1

x = numerus

n = hasil logaritma (dapat positif, negatif atau nol )

Catatan :

1. Untuk logaritma persepuluh / Briggs dengan bilangan pokok 10, maka bilangan 10 boleh tidak ditulis.

2. Untuk bilangan logaritma yang dikuadratkan (alog x)2 = alog2 x

3. Pahami sifat berikut:

Sifat – sifat logaritma :

(6. 7. 8.)

1.

2.

3.

4.

5. qlog p=

Contoh :

1.

Tentukan penyelesaian dari :

Penyelesaian :

2. Tentukan penyelesaian dari : 4log (5x + 2) = 2

Penyelesaian :

4log ( 5x + 6 ) = 2

4log ( 5x + 6 ) = 4 log 4 2

4log ( 5x + 6 ) = 4 log 16

( 5x + 6 ) = 16

5x = 16 – 6

5x = 10

x = 2

4. Bilangan Akar

Akar senama ialah akar-akar yang mempunyai pangkat akar yang sama.

tidak senama dengan

tidak senama dengan

senama dengan

Sifat-sifat bentuk akar:

1.

2.

3.

4.

5.

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Artinya: membuat penyebut menjadi bentuk rasional.

Pahami sifat-sifat berikut :

a.

Bentuk

Caranya:

Contoh :

= x

= =

b.

Bentuk

Caranya:

Contoh :

1.

= x

=

=

=

=

2.

=

c.

Bentuk

Caranya:

LATIHAN SOAL

Rasionalkan penyebut pecahan di bawah ini !

136 1dan 2 Modul Matematika SMK – X

135

Modul Matematika SMK – X 1 dan 2

1.

2.

3.

4.

5.

I. Pilihlah salah satu penyelesaianan yang paling tepat!

1.

Bentuk sederhana dari

A. B. C.D. E.

2.

Jika a = 27 dan b = 32 maka nilai dari adalah …

A. -25B. -16C. 0D. 16 E. 25

3. Jarak kota A ke kota B pada peta 60 cm. Jika skala peta 1: 250.000, maka jarak kedua kota sebenarnya adalah … km

A. 1,5B. 15C. 150D. 1.500E. 15.000

4. Sebuah tempat air berbentuk balok digambar dengan menggunakan skala 1: 100 mempunyai ukuran 4cm x 2cm x 2cm . Volume tempat air itu sebenarnya … m2.

A. 0,16B. 1,6C.`16D. 160E. 1600

5. Harga suatu barang setelah dikenakan diskon 15 % adalah Rp. 127.500,00 maka harga barang sebelum dikenakan diskon adalah …

A. 146.625,00C.152.500,00E. 191.250,00

B. 150.000,00D. 172.500,00

6. Seorang mendapat hadiah Rp. 100.000.000,00. dipotong pajak 20 %. Setelah dipotong pajak lalu disumbangkan 25 % kepadan yayasan yatim piatu, disumbangkan 15 % kepada panti jompo dan sisanya ditabung. Maka besar uang yang ditabung adalah …

A. 32.000.000,00C. 48.000.000,00`E. 80.000.000

B. 40.000.000,00D. 60.000.000,00

7.

senilai dengan …

A. B. C. D. E.

8.

Bentuk sederhana dari adalah …

A. B. C.D.E.

9. Perbandingan gaji seorang suami dengan istrinya adalah 5:3. Jika gaji suami Rp. 2.600.000,00 maka gaji istrinya adalah Rp …

A. 1.480.000,00C. 1.550.000,00E. 1.620.000,00

B. 1.520.000,00D. 1.560.000,00

10. Empat orang tukang dapat menyelesaikan pengecatan suatu gedung dalam waktu 300 jam. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 6 orang, maka pengecatan itu selesai dalam waktu … jam

A. 50B. 75C. 200D. 450E. 1800

11.


A. B.C. D.E.

12.


A. B. C.D.E.

13. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 9 bulan oleh 280 orang pekerja. Pekerja yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut dalam waktu 6 bulan adalah …

A. 320B. 420C. 460D. 520E. 560

14. Sebuah lantai kamar berbentuk persegi panjang digambar menggunakan skala 1: 200 dengan panjang 3 cm dan lebar 2 cm. Luas lantai kamar sebenarnya adalah … m2.

A. 6B. 8C. 10D. 12E. 24

15.


A. B. C. D. E.

16.


A. B.C. D. E.

17.

Jika diketahui log x = a dan log y = b. Maka = ...

A. B. C.D.E.

18.

Jika dan maka

A. 2,236B. 2,336C. 3,237D. 4,236E. 4,326

19. Nilai dari

A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2

20. Diketahui dan maka

A. B. C.D.E.

II. Penyelesaianlah pertanyaan berikut dengan benar!

1)

Hitunglah nilai dari !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2)

Jika a = 27 , b = 4 dan c = 4, hitunglah nilai dari !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3)

Jika dan , hitunglah nilai dari p + q !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) Tentukan nilai x untuk persamaan log 15 – log x = log 3 !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5) Sebuah kereta api berjalan selama 7,5 jam dengan kecepatan rata-rata 64 km/jam. Apabila pada saat yang berlainan kereta api lain melintas jalan yang sama dalam waktu 6 jam. Berapa kecepatan rata-ratanya!

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Standar Kompetensi:Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi kesalahan.

Kompetensi Dasar:1. Menerapkan konsep kesalahan pengukuran.

2. Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran.

Tujuan Pembelajaran:1.Siswa dapat menentukan antara kegiatan membilang dan mengukur.

2.Siswa dapat menentukan salah mutlak dan salah relatif hasil pengukuran.

3.Siswa dapat menentukan persentase kesalahan.

4.Siswa dapat menentukan toleransi hasil pengukuran.

5.Siswa dapat menentukan jumlah maksimum dan minimum dari hasil pengukuran.

6.Siswa dapat menentukan selisih maksimum dan minimum dari hasil pengukuran.

7.Siswa dapat menentukan hasil kali maksimum dan minimum dari hasil pengukuran.

A. Menerapkan Konsep Pengukuran

1. Pengertian Membilang dan Mengukur

· Membilang atau menghitung hasilnya merupakan bilangan eksak (pasti), misal menghitung jumlah penduduk Indonesia, menghitung jumlah buku di perpustakaan, menghitung jumlah kendaraan dan lain sebagainya (hasilnya bulat).

· Mengukur hasilnya merupakan pembulatan atau pendekatan yang disebut aproksimasi, seperti pengukuran terhadap panjang, luas, massa dan waktu. Pada pengukuran tingkat ketelitiannya sangat tergantung dari keperluan (maksud) pengukuran itu sendiri. Misal sama-sama mengukur berat, tingkat ketelitian menimbang emas dengan gula adalah berbeda (lebih teliti mengukur berat emas).

Ada tiga cara pembulatan hasil pengukuran, yaitu:

a. Pembulatan kesatuan terdekat

Menggunakan aturan sebagai berikut :

Jika angka setelah angka satuan lebih atau sama dengan 5, maka angka satuannya ditambah 1. Jika angka setelah angka satuan kurang dari 5, maka angka dibelakang angka satuan dihilangkan.

Contoh :

Bulatkan bilangan berikut kesatuan terdekat

a. 23,45

b. 2,34

c. 118,5

Penyelesaian :

a. 23,45 dibulatkan menjadi 23,5

b. 2,34 dibulatkan menjadi 2,3

c. 118,5 dibulatkan menjadi 119

b. Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal

Cara pembulatannya ke berapa angka yang berada di belakang koma yang dikehendaki.

Contoh :

Bulatkan 6,3826 ke :

a. tiga tempat desimal

b. dua tempat desimal

c. satu tempat desimal

Penyelesaian :

a. 6,3826 dibulatkan ke 3 tempat desimal = 6,383

b. 6,3826 dibulatkan ke 2 tempat desimal = 6,38

c. 6,3826 dibulatkan ke 1 tempat desimal = 6,4

c. Pembulatan ke banyaknya ngka-angka signifikan (penting)

Cara pembulatannya dengan menetapkan banyaknya angka-angka penting.

Contoh :

a. 16,7 mempunyai 3 angka penting.

b. 16 mempunyai 2 angka penting

c. 0,016 mempunyai 2 angka penting

d. 0,160 mempunyai 3 angka penting

Angka penting adalah semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran. Angka penting terdiri dari angka-angka pasti dan satu angka taksiran sesuai tingkat ketelitian dari alat ukur yang digunakan.

Contoh :

Hasil pengukuran panjang paku dengan jangka sorong didapat hasil 34,6 mm, maka terdapat 3 angka penting yaitu 2 angka pasti (angka 3 dan 4), sedangkan angka 6 adalah angka taksiran.

Semakin banyak angka penting, maka semakin teliti hasil pengukurannya.

Aturan mengenai angka penting adalah sbb :

1. Semua angka bukan nol adalah angka penting.

Contoh : 432,5 mm mengandung 4 angka penting.

2. Angka nol yang terletak diantara dua angka bukan nol adalah angka penting.


3. Angka nol disebelah kanan tanda desimal yang mengikuti angka bukan nol termasuk angka penting.


4. Angka nol disebelah kanan angka bukan nol tetapi tanpa tanda desimal bukanlah angka penting.

Contoh : 1.000 cm mengandung 1 angka penting.

5. Angka nol yang terletak dikiri angka bukan nol, baik yang terletak dikiri

atau kanan tanda desimal bukan angka penting.

Contoh : 0,042 m mempunyai 2 angka penting.

6. Angka penting dapat dibatasi dengan garis bawah.

Contoh : 325.000 m memiliki 5 angka penting

2. Kesalahan

Perbedaan atau selisih antara pengukuran sebenarnya dengan hasil pengukuran disebut kesalahan. Orang selalu berusaha untuk memperkecil kesalahan hasil pengukuran dengan menggunakan alat ukur yang lebih teliti, namun tidak mungkin kesalahan dihilangkan seluruhnya. Oleh karena itu, kita kenal beberapa jenis kesalahan, yaitu:

a. Salah mutlak

Misalkan hasil pengukuran panjang sebuah tali 15 cm, ini tidak berarti panjangnya tepat 15 cm. Hasil pengukuran ini dibulatkan sampai 2 angka signifikan dengan satuan pengukuran terkecil 1 cm.

Sedangkan panjang sebenarnya dekat dengan 15 cm yaitu terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm. Selisih antara 14,5 cm dan 15,5 cm dengan 15 cm yaitu sebesar 0,5 cm disebut salah mutlak (kesalahan terbesar).

· Salah Mutlak (SM) sama dengan setengah dari Satuan Ukuran Terkecil (SUT).

SM = ½ x SUT

· Batas Atas (BA) pengukuran sama dengan hasil pengukuran (HP) ditambah salah mutlak (SM).

BA = HP + SM

· Batas Bawah (BB) pengukuran sama dengan hasil pengukuran dikurangi salah mutlak (SM).

BB = HP – SM

Contoh :

1. Diketahui hasil pengukuran tali 23,2 cm.

Tentukan ;

a. Satuan pengukuran terkecil

b. Salah mutlak

c. Batas atas pengukuran

d. Batas bawah pengukuran

Penyelesaian :

a. SUT = 0,1 cm

b. SM = ½ x SUT = ½ x 0,1 cm = 0,05 cm

c. BA = HP + SM = 23,2 + 0,05 = 23,25 cm

d. BB = HP – SM = 23,2 – 0,05 = 23,15 cm

2. Massa sebuah benda 35,12 kg, maka :

a. SUT = 0,01 kg

b. SM = ½ x SUT = ½ x 0,01 cm = 0,005 kg

c. BA = HP + SM = 35,12 + 0,005 = 35,125 kg

d. BB = HP – SM = 35,12 – 0,005 = 35,115 kg

b. Salah relatif (nisbi)

Perhatikan kesalahan pengukuran berikut :

Kesalahan 1 gram pada pengukuran berat gula relatif tidak penting disbanding dengan pengukuran berat emas.

Yang dimaksud salah relatif yaitu perbandingan antara salah mutlak dengan hasil pengukuran.

SR =

Contoh :

Panjang hasil pengukuran tali = 4,5 cm, tentukan salah relatifnya!

Penyelesaian :

Salah mutlak = 0,05 cm

SR = = =

c. Persentase kesalahan dan toleransi

1. Persentase Kesalahan

Persentase kesalahan sama dengan salah relatif kali seratus persen.

Persentase Kesalahan (PK) =

Contoh :

Tentukan salah relatif, dan persentase kesalahan dari hasil pengukuran = 2,5 m.

Penyelesaian :

Hasil pengukuran = 2,5 m

Salah mutlak= 0,05 m

Salah relatif= =

Persentase Kesalahan (PK) = = = 2%

2. Toleransi

Toleransi dalam pengukuran adalah selisih antara pengukuran terbesar dengan pengukuran terkecil yang masih dapat diterima.

Misal suatu perusahaan pipa menerima pesanan pipa yang berdiameter 15 cm, ukuran yang masih diperbolehkan berkisar antara 14,75 cm dan 15,25 cm.

Selisih antara batas-batas itu 0,5 cm dan disebut toleransi.

Ukuran pesanan pipa tersebut dapat ditulis (15 0,25) cm.

Contoh ;

Ukuran benda yang dapat diterima ditulis (1,5 0,02) m.

Tentukan :

a. Pengkuran terbesar,

b. Pengukuran terkecil, dan

c. toleransi

Penyelesaian :

a. Pengkuran terbesar= 1,5 + 0,02 = 1,52 m

b. Pengukuran terkecil= 1,5 – 0,02 = 1,48 m

c. Toleransi= 1,52 – 1,48 = 0,04 m

B. Menerapkan Konsep Operasi Hasil Pengukuran

1. Jumlah Hasil Pengukuran

Berapakah jumlah hasil pengukuran 8 m dan 4 m masing-masing telah dibulatkan ke meter terdekat?

· Panjang hasil pengukuran pertama terletak pada jangkauan (8 0,5) m, yaitu 7,5 m dan 8,5 m.

· Panjang hasil pengukuran kedua terletak pada jangkauan (4 0,5) m, yaitu 3,5 m dan 4,5 m.

Jadi, jumlah maksimum hasil pengukuran = (8,5 4,5) m = 13 m

jumlah minimum hasil pengukuran = (7,5 3,5) m = 11 m

Ini berarti 12 m memiliki salah mutlak 1 m, yang merupakan jumlah salah mutlak pengukuran semula.

Salah mutlak dari jumlah hasil-hasil pengukuran ialah jumlah dari masing-masing salah mutlak dalam tiap-tiap pengukuran asal.

2. Selisih Hasil Pengukuran

Sebagai contoh, berapa selisih antara hasil pengukuran 9 m dan 5 m, masing-masing telah dibulatkan ke meter terdekat.

· Hasil pengukuran pertama terletak pada jangkauan (9 0,5) m, yaitu 8,5 m dan 9,5 m.

· Hasil pengukuran kedua terletak pada jangkauan (5 0,5) m, yaitu 4,5 m dan 5,5 m.

· Selisih maksimum akan diperoleh jika nilai terbesar (I) dikurangi nilai terkecil (II) yaitu (9,5 – 4,5) m = 5 m.

· Selisih minimum akan diperoleh jika nilai terkecil (I) dikurangi nilai terbesar (II) yaitu (8,5 – 5,5) m = 3 m.

Selisih max= Batas atas (I) – Batas bawah (II)

Selisih min= Batas bawah (I) – Batas atas (II)

Dari contoh di atas, selisih maksimum = 5 m dan selisih minimum = 3 m.

Ini berarti salah mutlaknya dari selisih pengukuran adalah 1 m.

Salah mutlak dari pengurangan hasil-hasil pengukuran adalah jumlah dari masing-masing salah mutlak dalam tiap-tiap pengukuran asal.

3. Perkalian Hasil Pengukuran

Perhatikan contoh berikut!

Berapa batas-batas luas persegi panjang dengan panjang 4,5 cm dan lebar 2,5 Cm?

Penyelesaian :

Jangkauan panjang (4,5 + 0,05) cm, berarti

batas atas = 4,5 + 0,05 = 4,55

batas bawah = 4,5 – 0,05 = 4,45

Jangkauan lebar ( 2,5 + 0,05) cm, berarti

batas atas = 2,5 + 0,05 = 2,55 cm

batas bawah = 2,5 – 0,05 = 2,45 cm

Luas maksimum = batas atas panjang x batas atas lebar

= 4,55 x 2,55

= 11,6025 cm2

Luas minimum = batas bawah panjang x batas bawah lebar

= 4,45 x 2,45

= 10,9025 cm2

Jadi batas-batas luas yang mungkin 11,6025 cm2 dan 10,9025 cm2.

Hasil kali max= Batas atas (I) x Batas atas (II)

Hasil kali min= Batas bawah (I) x Batas bawah (II)

A. Pilihlah salah satu penyelesaianan yang paling tepat !

1. Hasil pengukuran panjang suatu banda adalah 80,24 mm. mutlaknya adalah ….

a. 0,1 mmd. 0,005mm

b. 0,05mme. 0,001 mm

c. 0,01mm

2. Jika hasil pengukuran suatu benda adalah 80,24 mm. Salah mutlaknya adalah….

a. 0,00133 gramd, 0,00136 gram

b. 0,00134 grame. 0,00137 gram

c. 0,00135 gram

3. Jika dibulatkan ke 4 tempat desimal, angka 2,476048 menjadi………….

a. 2,4760d. 2,5000

b. 2,4761e. 2,476

c. 2,47605

4. Hasil penimbangan suatu benda 52,40 kg. Hal ini karena dibulatkan ke….

a. perseratus kilogram terdekatd. puluhan yang terdekat

b. persepuluhan kilogram terdekate. ratusan terdekat

c. satu kilogram terdekat

5. Jarak dua buah kota tercatat 42000 km. Satuan ukuran terkecil yang digunakan adalah…

a. 10 kmd. 0,01 km

b. 1 kme. 0,001 km

c. 0,1 km

6. Suatu hasil pengukuran tertukis 0,03090 m. Angka tersebut menggunakan pembulatan ke…

a. 2 angka signifikand. 5 angka signifikan

b. 3 angka signifikane. 6 angka signifikan

c. 4 angka signifikan

7. Jika dibulatkan ke ratusan km terdekat dari 42.645 km menjdai..

a. 426,54 kmd. 42.700 km

b. 4 264 500 kme. 426 km

c. 42 600 km

8. Salah mutlak dari pengukuran 0,50 cm adalah…

a. 0,01 cmd. 0,5 cm

b. 0,1 cme. 0,005 cm

c. 0,05 cm

9. Penulisan 930.000 mm, menggunakan pembulatan ke…

a. 2 angka signifikand. 5 angka signifikan

b. 3 angka signifikane. 6 angka signifikan

c. 4 angka siginifikan

10. Salah relatif dari hasil pengukuran 0,01 m adalah…

a. 5d. 0,005

b. 0,5e. 0.0005

c. 0,05

11. Seorang instruktur di bengkel memerintahkan kepada anak buahnya untuk membuat baut yang panjangnya ditentukan dengan ukuran ( 2,0 ±0,1) cm. Toleransi yang diberikan adalah…

a. 0,1 cmd. 0,2 cm

b. 0,01 cme. 2,1 cm

c. 0,005 cm

12. Berikut ini yang mempunyai 3 angka signifikan adalah…

a. 0,00120d. 125,0

b. 0,12e. 120,120

c. 12, 50

13. Suatu pabrik pembuat baut dengan panjang 15 cm dan diberi toleransi 0,5 cm. Maka ukuran panjang baut yang dapat diterima adalah…

a. 14,50 cmd. 15,30 cm

b. 15,25 cme. 14,70 cm

c. 14,65 cm

14. Sebuah cincin emas memiliki berat 0,6 gram. Prosentase kesalahan dari pengukuran cincin tersebut adalah….

a. 83,3 %d. 0,833 %

b. 8,33 %e. 0,00833 %

15. Hasil penimbangan diketahui massa suatu benda 4,2 kg. Salah relatif hasil penimbangan benda tersebut adalah….

a. 1/84d. 1 / 4,2

b. 1/42e. 2/42

c. 5/42

16. Satuan pengukuran terkecil dari 10,05 adalah….

a. 0,1d. 0,05

b. 0,01e. 0,005

c. 0,001

17. Spesifikasi diameter suatu baut ditulis 10 ± 0,1 mm. Toleransinya adalah….

a. 0,1 mmd. 0,4 mm

b. 0,2 mme. 0,5 mm

c. 0,3 mm

18. Hasil pengukuran berat suatu barang 7,5 kg. Prosentase kesalahan dari hasil pengukuran tersbut bila dibulatkan sampai 2 tempat desimal adalah….

a. 0,05 %d. 0,66 %

b. 0,50 %e. 0,67 %

c. 0,56 %

19. Jika diketahui hasil pengukuran yang diterima antara 7,3 cm, dan toleransinya adalah….

a. 0,03 cmd. 0,5 cm

b. 0,05 cme. 5 cm

c. 0,8 cm

20. Toleransi pengukuran 13,615 liter air adalah….

a. 0,1 literd. 0,02 liter

b. 0,01 litere. 0,2 liter

c. 0,001 liter

B. Penyelesaianlah pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1. Tentukan ukuran terkecil dari hasil pengukuran 25,071 m !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. Tentukan salah mutlak dari hasil pengukuran 2,437 km.

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Tentukan salah relatif dari 6,75 kg .

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. Tentukan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran 9,5 m !

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5. Jika hasil pengukuran 72,5 liter, maka tentukan batas bawah dan batas atasnya .

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Standar Kompetensi: Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep fungsi, persamaanlinear,danfungsikuadrat.

Kompetensi Dasar:1. Mendeskripsikanperbedaankonseprelasidanfungsi.

Tujuan Pembelajaran:1.Siswa dapat menentukannotasidarisuatufungsi,

2. Siswa dapat menyatakansuatufungsidengandiagrampanah,serta

3. Siswa dapat menyatakandiagrampanahdenganhimpunanpasanganberurutan

A. RELASI DAN FUNGSI

1. Pengertian Relasi

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah perkawanan atau pemasangan (korespondensi) antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B dengan aturan yang telah ditentukan.

Relasi antar himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:

1) Diagram panah

2) Himpunan pasangan berurutan

3) Diagram / Grafik Cartesius

Contoh:

Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 2, 4, 7, 10 }

Jika relasi A ke B adalah ”faktor dari”, maka nyatakan relasi A ke B dengan 3 cara.

Penyelesaian:

1. (A ”faktor dari” B A B 2 f 2 3 4 4 7 5 10)Diagram panah

2. Himpunan pasangan berurutan

D = { 2, 3, 4, 5 } dan K = { 2, 4, 7, 10 }

R = {(2,2);(2,4);(2,10);(4,4);(5,10)}

Daerah asal disebut domain(D), daerah kawan disebut kodomain(K) dan daerah hasil disebut range(R).

3. Diagram/ Grafik Cartesius

(YX10 4 2 2 4 5)

2. Pengertian dan Notasi Fungsi (Pemetaan)

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang mengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Jika suatu fungsi f memetakan setiap (domain) ke (kodomain), maka:

·

notasi fungsinya ” (dibaca f memetakan x ke y)

·

rumus fungsinya (y disebut bayangan (peta/ image) dari x oleh f)

Jadi, perbedaan relasi dengan fungsi adalah bahwa setiap fungsi merupakan relasi tetapi setiap relasi belum tentu fungsi.

Contoh:

1.

Diketahui fungsi , dengan kodomain bilangan real.

Jika domainnya A = { -2, -1, 0, 1, 2 }, tentukan range, himpunan pasangan berurutan dan diagram cartesius.

Penyelesaian:

a).

Rumus fungsinya , dengan demikian

(Y 8 5 2 -1X -4)

R = { -4, -1, 2, 5, 8 }

b). Himpunan pasangan berurutan

{ (-2,-4);(-1,-1);(0,2);(1,5);(2,8) }

c). Diagram Cartesius

2. Diketahui fungsi yang rumusnya f(x) = px + q. Jika bayangan dari -2 adalah 1 dan bayangan dari 1 adalah 4, tentukan nilai p dan q!

Penyelesaian:

Bayangan/ peta dari -2 adalah 1, ditulis f(-2) = 1

Bayangan/ peta dari 1 adalah 4, ditulis f(1) = 4

Karena f(x) = px + q, maka

f(-2) = p(-2) + q = 1

= -2 p + q = 1… (i)

f(1) = p(1) + q = 4

= p + q = 4... (ii)

(i) -2p + q = 1

(ii) p + q = 4

-3p = -3

p = 1

(ii) 1 + q = 4

q = 4 – 1 = 3

Jadi, nilai p = 1 dan q = 3

Latihan Soal

1. Carilah mana yang fungsi dan mana yang relasi dari diagram panah berikut!

a. ABb. AB

c. ABd. AB

e. ABf. AB

2.

Diketahui fungsi dengan domain dan kodomain , tentukan:

a). range

b). himpunan pasangan berurutan

c). gambar grafik

B. FUNGSI LINIER

1. Bentuk umum fungsi linear

Grafik fungsi berpangkat satu selalu merupakan garis lurus, oleh karena itu disebut fungsi linear.

Untuk a, b bilangan real, dan a0, fungsi linear f dapat dinyatakan dengan:

a)

Notasi fungsi

b) Rumus fungsi f(x) = ax +b

c) Persamaan grafik fungsi y = ax + b

2. Persamaan Garis Lurus melalui Sebuah Titik dengan Gradien Tertentu

a). Gradien Garis Lurus

(XY)Gradien garis lurus atau koefisien garis adalah ukuran kemiringan suatu garis terhadap sumbu X positif. Gradien suatu garis dinyatakan dengan notasi ”m”. Gradien merupakan perbandingan dari selisih kedua absis dari dua titik dalam satu garis yang sama.

Perhatikan gambar di atas!

·

Bila titik dan ,maka berlaku rumus gradien AB

·

Jika terdapat persamaan garis lurus , maka m = gradien

· Jika persamaan garisnya dalam bentuk ax + by + c = 0, maka rumus

Contoh:

1. Tentukan gradien garis lurus dari persamaan berikut:

a).

b).

2. Tentukan gradien garis yang melalui titik P(2,5) dan Q(3,7).

Penyelesaian:

1.

Persamaan garis lurus , m = gradien, maka:

a).

, gradiennya = 3

b).

atau gradiennya dapat ditentukan dengan rumus:

Jadi gradiennya = 2

2.

Jadi, gradien garis PQ adalah 2.

b).

Persamaan Garis Lurus melalui dengan Gradien m

Persamaan umum garis lurus adalah:, m = gradien maka persamaan garis lurus melalui titik dengan gradien m adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(3,8) dengan m = 2.

Penyelesaian:

Persamaan garisnya:

Jadi, persamaan garisnya adalah

c).

Persamaan Garis Lurus melalui Dua Titik dan

(persamaan garis ) (gradien )

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(2,2) dan B( 0,4).

Penyelesaian:

Persamaan garis AB:

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(3,6) dan Q(5,-8).

Penyelesaian:

Persamaan garisnya juga dapat ditentukan dengan mencari gradiennya terlebih dahulu:

Persamaan garis yang melalui titik P(3,6) dengan gradien m = –7 adalah:

Latihan Soal

1. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik berikut:

a). (2,1) dan (4,7)c). (-2,4) dan (6,-8)

b). (-2,0) dan (0,5)d). (10,6) dan (0,1)

2. Tentukan gradien dari persamaan berikut!

a).

c).

b).

d).

3. Tentukan persamaan garis melalui titik di bawah ini dan gradien yang diketahui:

a).

(3,1), m =

b). (0,3), m = -9

4. Tentukan persamaan garis yang melalui pasangan titik di bawah ini

a). (5,0) dan (-3,-8)

b). (0,3) dan (-5,1)

d). Menggambar Grafik Garis Lurus

Persamaan garis lurus secara umum dinyatakan dalam bentuk:

Cara menggambar grafik garis lurus dari persamaan garis yang telah diketahui:

1). Tentukan titik-titik potong garis pada masing-masing sumbu:

· Memotong sumbu X, syaratnya y = 0

· Memotong sumbu Y, syaratnya x = 0

2). Tarik garis dan hubungkan titik potong masing-masing sumbu.

Contoh:

Lukislah grafik fungsi yang persamaannya

Penyelesaian:

x

0

-2

y

4

0

(x, y)

(0,4)

(-2,0)

((0,4)(-2,0)XY)

Contoh:

1. Tentukan titik potong dua garis lurus y = x – 1 dan y = -x +5

Penyelesaian:

y = x – 1

y = -x +5-

0 = 2x – 6

y = x – 1 = 3 – 1 = 2

Jadi, titik potongnya (3,2)

2. Tentukan titik potong garis y – 2x + 4 = 0 dengan sumbu Xdan sumbu Y.

Penyelesaian:

· Titik potong dengan sumbu X maka y = 0

0 – 2x + 4 = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (2,0)

· Titik potong dengan sumbu Y maka x = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-4)

e). Hubungan antara Dua Garis Lurus

· Dua garis saling tegak lurus

Syarat dua garis saling tegak lurus:

Jika gradien garis pertama dan gradien garis kedua , maka berlaku:

Contoh:

Tentukan gradien garis lurus yang memotong tegak lurus garis

Penyelesaian:

Syarat tegak lurus: , maka

atau

Jadi, gradiennya adalah

· Dua Garis Lurus Sejajar

Syarat dua garis sejajar:

Jika gradien garis pertama dan gradien garis kedua , maka berlaku:

Contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(2,3) dan sejajar garis

Penyelesaian:

Syarat sejajar adalah

Persamaan garisnya adalah:

Jadi, persamaan garis lurusnya

Latihan Soal

1. Tentukan koordinat titik potong antara dua garis di bawah ini dan periksalah dengan menggambar grafiknya.

a). y = x – 3 dan y = 3 – 2x

b). 2x + y = 3 dan sumbu x

2. Hitunglah p supaya jedua garis di bawah ini sejajar.

a). 2x + py +3 = 0 dan x – 3y +6 = 0

b). px + (p + 1)y = 2 dan (p + 4)y – 4px = 6

3. Tentukan harga t supaya kedua garis di bawah ini saling tegak lurus.

a). 2x + y – 3 = 0 dan 5x – ty + 2 =0

b). 5y – 4x – 1 = 0 dan 2x + (3 – t)y – 1 = 0

4. Tentukan persamaan garis lurus yang:

a). melalui (4,1) dan tegak lurus 2x – y + 3 = 0

b). melalui titik potong x – y = 10 dan 3x + 7y =8 serta melalui (-2,4)

5.

Garis k melalui (-2,1) dengan gradien 2 dan garis h melalui dengan gradien . Tentukan titik potong antara garis k dan h.

C. FUNGSI KUADRAT

1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat f dinyatakan dalam bentuk umum:

a).

Notasi fungsi

b).

Rumus fungsi

c).

Pasangan grafik fungsi : , dengan

2. Nilai Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi: dapat ditulis: dengan

a).

Jika nilai fungsi f(x) = 0 maka akar-akar persamaan kuadrat disebut pembuat fungsi nol.

b).

Jika a > 0, maka fungsi mempunyai nilai ekstrim minimum, , untuk sehingga titik balik minimumnya

c).

Jika a < 0, maka fungsi mempunyai nilai ekstrim maksimum, , untuk sehingga titik balik maksimumnya :

Contoh:

Diketahui fungsi f dengan rumus . Tentukan:

a. pembuat nol fungsi

b. nilai minimum fungsi

c. koordinat titik balik minimum fungsi

Penyelesaian:

atau

a.

Pembuat nol fungsi, syarat

Jadi, pembuat nol fungsi adalah

b.

Nilai minimumnya adalah 1.

c.

Jadi koordinat titik balik minimum adalah .

3. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola .

Untuk menggambar grafik perlu diperhatikan hal-hal berikut:

·

Jika dapat difaktorkan, maka:

(i).

Titik potong grafik dengan sumbu Y dapat ditentukan dengan mengambil harga

(ii).

Titik potong grafik dengan sumbu X dapat ditentukan dengan mengambil harga harga x dihitung.

(iii).

Persamaan sumbu simetri :

(iv).

Nilai ekstrim (maksimum/ minimum):

(v).

Koordinat titik balik/ titik puncak/ titik ekstrim

·

Jika dapat difaktorkan, maka :

(i).

Titik potong grafik dengan sumbu Y dapat ditentukan dengan mengambil harga

(ii).

Koordinat titik balik

(iii).


(iv).

Nilai ekstrem (maksimum/ minimum):

(v). Titik-titik lain dapat ditentukan dengan mengambil harga-harga x di sebelah kiri dan kanan sumbu simetri.

· Jika a > 0, maka grafik parabola menghadap ke atas.

Jika a < 0, maka grafik parabola menghadap ke bawah.

· Jika D > 0, maka grafik parabola memotong sumbu X di dua titik.

Jika D = 0, maka grafik parabola memotong sumbu X di satu titik.

Jika D < 0, maka grafik parabola tidak memotong sumbu.

Sketsa gambar parabola adalah sebagai berikut:

Bentuk parabola

D > 0

D = 0

D < 0

a > 0

a < 0

Contoh:

1.

Lukislah sketsa grafik fungsi

Penyelesaian:

a.

Titik potong dengan sumbu Y:

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0,-3)

b.

Titik potong dengan sumbu X:

, D merupakan kuadrat sempurna berarti dapat difaktorkan.

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (-3,0) dan (1,0)

c. Titik ekstrem / titik balik


Nilai ekstrem (minimum)

Jadi, titik balik minimum adalah (-1,-4)

( y-3 1 x(-1, -4) )Grafiknya:

2.

Lukislah sketsa grafik fungsi

Penyelesaian:

a.

Titik potong dengan sumbu Y:

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,2)

b. Titik potong dengan sumbu X:

;

Karena 12 bukan kuadrat murni, maka tidak dapat difaktorkan.

c. Titik ekstrem / titik balik

Persamaan sumbu simetri:

Nilai ekstrem (maksimum)

Jadi, titik balik maksimum adalah (1,3)

d. Titik-titik lain dapat ditentukan dengan mengambil nilai- nilai x di sebelah kanan dan sebelah kiri sumbu simetri.

x

-2

-1

0

1

2

3

4

( Y (1, 3) X)y

-6

-1

2

3

2

-1

-6

Grafiknya:

4. Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang mempungai nilai ekstrem y = -3 dan x = 2 serta melalui titik (4,1)

Penyelesaian:

Koordinat titik balik

Persamaan fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat dengan harga ekstrem (puncak) yp = -3 dan xp = 2 adalah:

Grafik melalui titik (4,1), maka:

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

D. APLIKASI FUNGSI

Hubungan antara dua faktor atau lebih yang saling mempengaruhi dalam persoalan-persoalan ekonomi dapat diselesaikan secara matematik dengan bentuk fungsi. Misalnya, hubungan antara tinggi rendahnya harga (P = price) dengan banyak sedikitnya permintaan barang (Q = quantity), antara harga dengan penawaran, antara biaya produksi dengan jumlah barang yang diproduksi dan lain sebagainya.

Fungsi-fungsi dalam ekonomi umumnya menggunakan notasi P untuk menyatakan harga dan Q untuk menyatakan banyaknya barang. Untuk menggambarkan grafik fungsi ekonomi dalam koordinat Cartesius ditetapkan bahwa:

(Sumbu Q adalah sumbu mendatar ( = sumbu x )Sumbu P adalah sumbu tegak( = sumbu y ))

1. Fungsi Permintaan

Fungsi permintaan menyatakan hubungan antara harga (P) dan banyaknya barang (Q) yang diminta sedangkan faktor-faktor lain dianggap tetap.

Pengertian fungsi permintaan dapat didefinisikan sebagai berikut:

Jika Q menunjukkan banyaknya barang yang diminta dan P adalah harga satuan untuk barang tersebut maka sebuah fungsi yang terbentuk adalah: P = f(Q)

Dasar yang digunakan dalam fungsi permintaan adalah hukum permintaan yang menyatakan:

” Jika harga barang naik maka jumlah permintaan akan menurun, dan sebaliknya jika harga turun maka jumlah permintaan akan bertambah”

Dari definisi di atas dapat dikatakan jika Q = 0 (tidak ada permintaan barang), maka P = b. Harga P = b dinamakan harga tertinggi yang dicapai barang tersebut. Jika P = 0 (tidak ada harga), maka Q = a, keadaan semacam ini dinamakan barang bebas di pasaran.

Beberapa bentuk umum dan sketsa grafik fungsi permintaan:

(i) Fungsi permintaan linier

P = b – aQ dengan a,b > 0

P = harga (price)

Q = banyaknya permintaan barang (quantity)

(Permintaan baranghargaP)

(ii) Fungsi permintaan kuadrat

a).

(QP) dengan a,b,c > 0

b).


Contoh:

1. Diketahui fungsi permintaan linier, jika harga barang Rp. 100,00 maka akan terjual 10 unit, dan jika barang Rp. 80,00 maka akan terjual 20 unit. Tentukan rumus fungsi permintaan tersebut dengan gambarnya!

Penyelesaian:

Bentuk umum fungsi permintaan linier P = b – aQ

Untuk P = 100 dan Q = 10100 = b – 10a

P = 80 dan Q = 20 80 = b – 20a -

20 = 10a

a = 2

a = 2 100 = b – 10a

100 = b – 10(2)

100 = b – 20

b = 100 + 20

b = 120

Jadi, rumus fungsi permintaan tersebut adalah P = 120 – 2Q.

(P = 120 – 2QPQ)P = 120 – 2Q

Q

0

60

P

120

0

Grafiknya :

2.

Fungsi permintaan suatu barang dinyatakan oleh

a). Lukislah sketsa grafik tersebut

b). Tentukan permintaan pada posisi 5

c). Tentukan harga tertinggi sehingga pembeli tidak mau membeli barang tersebut

d). Tentukan permintaan jika barang bebas di pasaran

Penyelesaian:

a).

Q

0

1

2

3

P

9

8

5

0

(PQ)Grafiknya :

b).

Jadi, jumlah barang yang diminta pada harga 5 adalah 2.

c). Harga tertinggi terjadi jika Q = 0

Untuk

Jadi, jika harga pada tingkat 9 satuan harga, maka pembeli tidak mau membeli barang tersebut.

d). Barang tersebut barang bebas jika P = 0

Untuk

Jadi, jumlah permintaan jika barang bebas adalah 3.

2. Fungsi Penawaran

Dasar yang digunakan dalam fungsi penawaran adalah hukum penawaran yang menyatakan:

” Jika harga barang naik maka jumlah penawaran akan bertambah, dan sebaliknya jika harga turun maka jumlah penawaran akan berkurang”

Fungsi penawaran ada dua, yitu:

(i) Fungsi penawaran linier

P = aQ + b dengan a,b > 0

P = harga (price)

(Penawaran baranghargaPQ)Q = banyaknya penawaran barang (quantity)

(ii) Fungsi permintaan kuadrat


Contoh:

Fungsi penawaran suatu barang dinyatakan sebagai P = 2Q + 6

a. Lukiskah grafiknya

b. Tentukan penawaran pada posisi harga 18 satuan

c. Tentukan harga jika penawaran 3

d. Tentukan harga barang jika tidak ada penawaran

( 8 6 1PQ)Penyelesaian:

a. P = 2Q + 6

Q

0

1

P

6

8

Grafiknya :

b.

Untuk

Jadi, banyaknya penawaran jika harga 18 adalah 6.

c.

Untuk

Jadi, harga barang 12 jika penawaran 3.

d. Jika tidak ada penawaran, maka Q = 0.

Untuk

Jadi jika tidak ada penawaran, maka harga barang adalah 6.

3. Keseimbangan Pasar

Keseimbangan suatu pasar terjadi jika banyaknya permintaan suatu barang sama dengan banyaknya penawaran. Keseimbangan suatu pasar dapat terjadi jika kurva permintaan dan penawaran saling berpotongan. Koordinat titik potong menentukan tingginya harga barang dan banyaknya barang dalam harga setimbang.

adalah titik keseimbangan pasar

P1 = harga keseimbangan pasar

Q1 = kuantitas keseimbangan barang

Contoh:

Tentukan banyaknya dan harga barang dalam keadaan seimbang jika fungsi permintaan P + Q = 9 dan fungsi penawaran 3P – Q = 15, kemudian gambarkan kedua fungsi itu dalam satu koordinat.

Penyelesaian:

Fungsi permintaan (FM) : P + Q = 9 atau P = 9 – Q...(i)

Fungsi penawaran (FN) : 3P – Q = 15 atau Q = -15 + 3P ...(ii)

Keseimbangan pasar terjadi jika FM = FN, sehingga dengan metode subsitusi diperoleh:

P + Q = 9

Untuk

Jadi, harga keseimbangannya (P) = 6, dan banyaknya barang (Q) pada keadaan seimbang = 3.

( 9 7 5 E(6,3) 4 5 6QP)

Grafiknya:

P + Q = 9

Q

0

5

P

9

4

Q = -15 + 3P

Q

0

6

P

5

7

Latihan Soal

1.

Fungsi permintaan suatu barang dinyatakan oleh

a). Gambarlah grafik fungsi tersebut

b). Tentukan permintaan pada posisi harga 3

c). Tentukan pada tingkat harga berapa, pembeli tidak mau membeli barang tersebut?

d). Tentukan permintaaan bila barang bebas (harga jual nol)

2. Fungsi penawaran suatu barang dirumuskan oleh P = 3Q + 5

a). Gambarlah grafiknya

b). Tentukan penawaran pada posisi harga 20

c). Tentukan harga barang jika tak ada penawaran

d). Tentukan harga barang jika penawaran 2

4. Pajak dan Subsidi

a. Pengaruh pajak terhadap kurva permintaan dan penawaran

Setiap penjualan barang dan jasa pada umumnya dikenai pajak oleh pemerintah. Besarnya pajak akan dapat mempengaruhi perubahan harga di pasar.

1). (FN1FNE1ERQPDBS)Pajak yang dikenakan per unit

(FM dan FN adalah fungsi permintaan dan penawaran sebelum pajak. Pemerintah membebani pajak t rupiah per unit. Agar beban pajak sebagian ditanggung pembeli, maka penjual menaikan harga menjadi (P + t) rupiah. Dengan demikian variabel harga P berubah menjadi , yang mengakibatkan penawaran FN menggeser ke atas menjadi FN1.)

Dari grafik diatas diperoleh:

(i) E adalah titik imbang sebelum pajak

(ii) E1 adalah titik imbang sesudah pajak

(iii) BD = PE1 – PE adalah pajak yang ditanggung pembeli

(iv) SD = t adalah besarnya pajak dari pemerintah

(v) SB = t – BR adalah pajak yang ditanggung penjual

(vi)

Luas DE1RS = QE1 t adalah pendapatan pemerintah

Contoh:

Diketahui fungsi permintaan (FM):Q=11– P dan fungsi penawaran (FN):Q = 2P– 4. pemerintah mengenakan pajak Rp. 3,00 per unit.

a). Tentukan keseimbangan sebelum pajak

b). Tentukan keseimbangan sesudah pajak

c). Tentukan pajak yang ditanggung pembeli

d). Tentukan pajak yanmg ditanggung penjual

e). Tentukan pendapatan pemerintah dari pajak

Penyelesaian:

disubstitusikan ke Q = 2P – 4 diperoleh

FN : Q = 2 (P1 – 3) – 4 sehingga FN1 : Q = 2P – 10

a). Keseimbangan sebelum pajak (E) diperoleh dari perpotongan FM dan FN.

FM : Q = 11 – P

FN : Q = 2P – 4 -

0 = - 3P + 15

3P = 15

P = 5

Jadi, keseimbangan sebelum pajak adalah E (6,5) maka PE = 5.

b). Keseimbangan setelah pajak E1 diperoleh dari perpotongan FM dan FN1.

FM : Q = 11 – P

FN1: Q = 2P –10 -

0 = - 3P + 21

3P = 21

P = 7

Jadi, keseimbangan setelah pajak adalah E1 (4,7), maka PE1 = 7

c). Pajak yang ditanggung pembeli : PE1 – PE = 7 – 5 = 2

d). Pajak yang ditanggung penjual : t – (PE1 – PE) = 3 – 2 = 1

e).

Pendapatan pemerintah dari pajak : QE1 t = 4 3 = 12

b. Pengaruh Subsidi terhadap kurva permintaan dan penawaran

(SFNSFNES (QES,PES)E (QE,PE)PESPEQEPQQES)Subsidi merupakan bantuan yang diberikan pemerintah berarti lawan dari pajak. Penyelesaian persoalan yang berkaitan dengan subsidi seperti penyelesaian persoalan dengan pajak dengan mengganti (t) menjadi (-t). Harga penawaran baru = harga penawaran lama dikurangi dengan subsidi (P1 = P – t), sehingga kurva penawaran akan bergeser ke bawah.

Contoh:

Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang dirumuskan dan Q = P – 2. Jika pemerintah memberikan subsidi per unit, tentukan:

a) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi

b) Penurunan harga pasar

c) Banyaknya pengeluaran pemerintah

Penyelesaian:

a)

FN: Q = P – 2

Jadi FN1 :

E diperoleh dari FM :

FN : Q = P – 2

FM = FN :

Jadi keseimbangan pasar sebelum mendapat subsidi adalah

E1 diperoleh dari FM :

FN1 :

FM = FN1 :

Jadi keseimbangan pasar sesudah mendapat subsidi adalah

b)

Jadi penurunan harga pasar = PE – PE1 =

c)

Pengeluaran pemerintah untuk subsidi = QE1 x t =

d) Fungsi Biaya dan Pendapatan

Biaya produksi suatu barang dapat dibedakan atas :

a. Biaya tetap (Fixed Cost) = FC

Biaya ini besarnya tidak tergantung pada banyak sedikitnya barang yang diproduksi.

b. Biaya variabel (Variable Cost) = VC

Besarnya biaya ini berbanding langsung dengan banyak sedikitnya barang yang diproduksi.

c. Biaya total (Total Cost) = TC

Biaya total merupakan jumlah antara biaya total dan biaya variabel.

d. Pendapatan Total (Total Revenue) = TR

Pendapatan total merupakan jumlah hasil dari penjualan barang.

Besarnya TR ini berbanding langsung dengan jumlah barang yang terjual. Jika Q = jumlah barang, maka didapat hubungan-hubungan:

· FC = A (tetap), berupa garis sejajar sumbu mendatar

· VC = mQ, garis melalui O (0,0) dengan gradien m

· TC = FC + VC, maka TC = A + mQ

· TR = m1Q, garis melalui O (0,0) dengan gradien m1

(kREPQFCVCTCTR)

E = titik keseimbangan pasar (break even point) didapat jika TR = TC

(i) Sebelum titik E, produsen masih mengalami rugi.

(ii) Setelah titik E, produsen laba dan besarnya laba (profit) = P = TR – TC

(iii) k = titik dimana biaya tetap kembali ( FC = TR)

Contoh:

Seorang produsen menjual hasil produksinya dengan harga Rp. 1.000,00 per unit. Biaya tetap produksi Rp. 3.000.000,00 dan biaya variabelnya 40% dari pendapatan. Tentukan:

a). Fungsi FC, VC, TC, dan TR, kemudian sketsa grafiknya.

b). Titik impas ( Titik Pulang Pokok)

c). Titik dimana biaya tetap kembali

d). Labanya, apabila terjual 7000 unit

Penyelesaian:

a). Misal terjual Q satuan, maka TR = 1.000 Q

FC = 3.000.000 = 3.106

VC = 40 % TR

VC =

VC = 400 Q

TC = FC + VC

TC = 3.106 + 400 Q

b). Titik impas E( Titik Pulang Pokok), didapat jika TR = TC

Q = 500

TR = 1.000 Q = 1.000

Jadi, titik impasnya E (5.000 ; 5.106)

c). Titik biaya tetap kembali (k) didapat jika TR = FC

1.000 Q = 3.106

Q = 3.000

Jadi, titik dimana biaya tetap kembali adalah k (3.000 ; 3.106)

d).

Terjual Q = 7.000 maka TR = 1.000 Q = 1.0007.000 = 7.106

TC = 3.106 + 400Q

TC = 3.106 + 400 (7.000)

= 3.106 + 2.800.000

= 5.800.000

Jadi, labanya P = TR – TC

= 7.106 - 5.800.000

= 1.200.000

Latihan Soal

Seorang produsen menjual hasil produksinya dengan harga Rp. 1.500,00 per unit. Biaya tetap produksi Rp. 3.600.000,00 dan biaya variabelnya 40% dari pendapatan. Tentukanlah :

a). Fungsi FC, VC, TR, dan Tc kemudian gambar sketsa grafiknya

b). Titik impas

c). Titik dimana biaya tetap kembali

d). Labanya, jika terjual 6.000 unit

I. Berilah tanda silang (X) pada salah satu huruf A, B, C, D, atau E pada penyelesaianan yang paling benar!

1.

Diketahui f(x) = 3x – 2, maka = ... .

A.

B. C. D. E.

2. Gradien dari garis 3y – 2x + 4 = 0 adalah ... .

A.

B. C. D. E.

3.

Persamaan garis lurus yang tegak lurus garis y = x + 5 dan melalui titik (2, –4)adalah ... .

A. y = 10x – 3C. 3x – y – 10 = 0E. 3x + y + 10 = 0

B. y = 3x – 1 D. 3x – 2y +10 = 0

4.

Persamaan garis lurus yang sejajar garis y = x – 7 dan melalui titik (–2, 3) adalah ..

A. 2x + 3y + 5 =0 C. 3x + 2y – 5 = 0E. 2x – 3y + 5 = 0

B. 2x + 3y – 5 = 0D. 3x – 2y – 5 = 0

5. Diketahui titik P(–1, –8) dan Q(3, –6). Persamaan garis lurus yang melalui titik P dan Q adalah … .

A. –x + 2y – 15 = 0C. x + 2y + 15 = 0E. x – 2y – 15 = 0

B. –x – 2y – 15 = 0D. x – 2y +15 = 0

6. Titik potong garis 3x + 4y = 7 dengan 5x -2y = 3 adalah ... .

A. (2,1)B. (1,2)C. (2,2)D. (1,1)E. (0,1)

7. Fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (3, –4) dan melalui titik (0, 5) adalah ... .

A. y = x2 – 6x + 5C. y = 2x2 – 6x + 5E. y = 2x2 – 6x – 5

B. y = x2 + 6x – 5D. y = 2x2 + 6x + 5

8. Fungsi kuadrat y = 2x2 +3x – 9 mempunyai titik ekstrim ... .

A. C. E.

B. D.

9. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2x – 8 memotong sumbu X di titik ... .

A. (–4, 0) dan (–2, 0)C. (0, –4) dan (0, 2)E. (–4, 0) dan (2, 0)

B. (4, 0) dan (2, 0)D. (0, 4) dan (0, –2)

10. Sumbu simetri dari fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5 adalah ... .

A. x = 2D. x = 4

B. x = –2E. x = –5

C. x = –4

11. Persamaan parabola f(x) = 2x2 + 7x – 4 maka parabola akan … .

A. Memotong sumbu x = 4

B. Memotong sumbu y = 4

C. Memotong sumbu X di dua titik

D. Menyinggung sumbu X

E. Tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X

12. Persamaan fungsi kuadrat dari grafik berikut adalah:

(y60 1 3 x)

A. y = x2 - 4x + 3

B. y = 2x2 - 4x + 3

C. y = 2x2 - 8x + 6

D. y = x2 + 4x + 6

E. y = x2 + 4x + 3

13. Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2x – 3 adalah … .

( y 0 3 x) ( y 3 -1 0 3 x) ( y 3 -3 0 1 x)

A.C. E.

( y -1 0 3 x -3) ( y -3 0 1 x -3)

B. D.

14. Fungsi permintaan suatu barang FM: P = –4Q + 16 dan fungsi penawaran FN: P = Q + 1. Jika p menyatakan harga barang dan Q menyatakan jumlah barang, maka jumlah permintaan barang pada saat terjadi keseimbangan pasar adalah ... .

A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6

15. Harga barang saat keseimbangan pasar terjadi dari fungsi FM: P = 12 – 3Q dan FN: P = 2Q + 2 adalah ... .

A. A. Rp. 3,00B. Rp. 4,00C. Rp. 5,00D. Rp. 6,00E. Rp. 7,00

16.

Fungsi permintaan FN : , saat terjadi penawaran terendah maka harga … .

A.

P = 2C. P = 5E. P =

B.

P = 3 D. P =

17. Jika harga barang Rp. 4,- jumlah barang 3 unit dan jika harga barang Rp. 5,- jumlah barang 2 unit, maka persamaan fungsi permintaan terhadap barang tersebut adalah....

A. P = Q – 7C. P – Q = 7E. P + Q = 7

B. Q = P – 7D. P = 7 – Q

18. Diketahui pendapatan total (TR) = 200 Q, biaya variabel (VC) = 100/unit, biaya tetap (FC) = 30.000 maka jumlah barang saat titik dimana biaya total kembali adalah ….

A. 100C. 200E. 300

B. 140D. 250

19. Jika TR = 800 Q dan TC = 100.000 + 300 Q. maka jumlah barang saat keseimbangan pasar terjadi adalah … .

A. Q = 1.600C. P + Q = 7E. Q = 300

B. Q = 200D. Q = 10.000

20. Diketahui fungsi permintaan FM: Q = 10 - P dan fungsi penawaran FN: Q = P - 4. Jika pemerintah mengenakan pajak Rp. 2,00 per unit, maka keseimbangan pasar sebelum pajak adalah

A. (6, 2)B. (2, 6)C. (2, 4)D. (6, 4)E. (4,6)

II. Penyelesaianlah pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1. Diketahui himpunan pasangan berurutan {(-2,3), (-1,4), (0,5), (1,6)}. Tentukanlah:

a. Domain dan kodomain

b. Relasi yang sesuai

c. Apakah relasi di atas merupakan fungsi ? jelaskan!

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2.

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis k: 2x – 3y – 5 = 0 dan garis g: x + 2y + 1 = 0 serta tegak lurus garis y = x + 9

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3.

Jika fungsi kuadrat , tentukan:

a. Sumbu simetric. Titik ekstrim

b. Titik potong grafik dengan sumbu Xd. Sketsa grafiknya

Penyelesaian:_________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. Diketahui FN : P = aQ + b

Jika harga 19, jumlah barang 3 unit dan harga 13, jumlah barang 2 unit. Tentukan:

a. Nilai a dan bb. Fungsi FN

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5. Diketahui FM : Q =100 – P, FN : Q = -2 + 2P, pajak 1, Subsidi 2, tentukan:

a. Titik keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak.

b. Titik keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena subsidi.

c. Gambar grafiknya.

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

STANDAR KOMPPETENSI

1. Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pertanyaan yang berkuantor.

KOMPETENSI DASAR

1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka).

2. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan ingkarannya.

3. Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi.

4. Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka).

2. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan ingkarannya.

3. Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi.

4. Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan.

A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan pernyataan

1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat berita yang dapat dinilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang belum dapat dinilai benar atau salah.

3. Kuantor

Kuantor ada dua macam, yaitu;

a. Kuantor universal

Dinotasikan: “” di baca “ Setiap atau semua”

Contoh:

· Semua siswa jurusan Teknik Gambar Bagunan lulus semua

· Setiap siswa diwajibkan mengikuti upacara bendera setiap tanggal 17

b. Kuantor ekstensial

Dinotasikan: “” di baca “ada atau beberapa”

Contoh:

· Beberapa siswa kelas XI terlambat masuk kelas

· Ada siswa kelas XI tidak mengumpulkan tugas matematika

Latihan soal 1

I. Pilihlah satu penyelesaianan yang paling tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e!

1. Diantaara kalimat berikut mana yang bukan pernyataan…

a.

b. 20 adalah bilangan ganjil

c. 3 adalah bilangan prima

d. 345 habis dibagi 10

e. Orang itu cantik parasnya

f. Solo terkenal sebagai kota batik

2.

3. Diantara kalimat – kalimat berikut manakah yang termasuk kalimat terbuka…

a.

b. Dia seorang guru

c. 2 + 3 = 5

d. Bunga melati berwarna putih

e. Satu tahun ada 12 bulan

f. 2x + y = 6

4.

5. Diantara pernyataan berikut, pernyataan yang bernilai benar adalah…

a.

b. Solo terletak di Jawa Tengah

c. 3 bilangan yang habis dibagi dua

d. 3 + 4 = 10

e. Jakarta terkenal kota hujan

f. Jika x = 2 maka x + 4 = 6

6.

7. Di bawah ini yang bukan pernyataan adalah…

a.

b. Jakarta ibu kota Republik Indonesia

c. Ada bilangan prima yang genap

d. Semua bilangan prima ganjil

e. Harga dollar naik semua orang pusing

f. Semua segitiga jumlah sudutnya 1800

8.

9. Dibawah ini merupakan kalimat terbuka kecuali…

a.

b. 3 lebih besar dari -3

c. Apakah 2 bilangan prima?

d. Wanita yang memakai jubah adalah muslimah

e. Tutup pintu itu!

f. Kota Paris letaknya jauh

10.

11. Kalimat berikut yang merupakan pernyataan dan bernilai benar adalah…

a. Pria yang berambut gondrong jahat

b. Matematika termasuk pelajaran yang menyenangkan

c. Banyaknya himpunan bagian dari adalah 24

d. Diagonal – diagonal sebuah belah ketupat saling tegak lurus

e. Andi anak yang rajin

12. “Segitiga siku –siku salah satu sudutnya adalah 90o” merupakan…

a.

b. Kalimat terbuka

c. Kalimat biasa

d. Pernyataan

e. Pernyataan yang bernilai salah

f. Pernyataan yang bernilai benar

13.

14. “24 dan 25 habis dibagi 3” merupakan…

a.

b. Kalimat terbuka

c. Kalimat tertutup

d. Pernyataan



15.

16. “Buanglah sampah pada tempatnya!” merupakan…

a.

b. Kalimat terbuka

c. Kalimat tertutup

d. Pernyataan



17.

18. Dibawah ini yang merupakan pernyataan dan bernilai salah adalah…

a. Semua bilangan prima adalah ganjil

b. Ada hari libur selain hari minggu

c. Setahun terdiri dari 12 bulan

d. Semua anak yang mengikuti ujian nasional adalah kelas XII

e. 2 adalah bilangan prima yang genap

19. Kalimat terbuaka 2(4x + 5) + 6 = 15, agar memiliki kebenaran, maka nilai x adalah…

a.

a. 7

b. 2

c.

b. 8

c. 9

20.

21. Pernyataan – pernyataan berikut yang bernilai benar adalah…

a.

b. a x (b + c)= (a x b) + (a x c)

c. a – b = - (a + b)

d. –a + b = a – b

e. a + b = -a + b

f. (a + b) c = (a – b) c

22.

23. Berikut ini yang termasuk kalimat terbuka adalah…

a. Log (x + 4) = log x + 4

b. Jika diskriminan (D) > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata dan berlainan

c. 0p = 0

d. 0-p = tak terdefinisikan

e. 23.24 = 27

24. Nilai x dari kalimat terbuka 22x + 1 = 16 agar menjadi pernyataan bernilai benar adalah…

a.

b. 3

c. 2

d. 1,5

e. 0,5

f. 0,25

25.

26. Berikut ini yang merupakan pernyataan yang bernilai salah adalah…

a. Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis dan satu titik

b. 1o = 60’

c. 1” =

d. 1 radian =

e. 1 radian = 0,001746 rad

27. Berikut ini yang merupakan pernyataan yang bernilai benar adalah…

a. Segitiga merupakan bangun datar yang memiliki empat buah sisi yang sama panjang

b. Segitiga sama kaki memiliki ketiga besar sudutnya sama

c. Segi empat memiliki jumlah keempat sudutnya 360o

d. Jajar genjang merupakan segiempat yang memiliki keempat sisi yang sama panjang

e. Keliling persegi panjang adalah panjang ditambah lebar

28. Kalimat berikut ini yang merupakan kalimat terbuka adalah…

a. Ketiga ujung sisi segitiga saling bertemu membentuk sudut

b. Segi empat adalah bangun datar yang memiliki empat buah sisi yang sama panjang

c. Belah ketupat merupakan segi empat yang keempat sisinya sama panjang dan sisi – sisi yang berhadapan sejajar

d. W. W8 = W9

e.

29. Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah…

a.

b. 1 + tan2 x = sec2 x

c. Cot2x + 1 = cosec2x

d. 2 radian = 360o

e. 1 rad = 57,325o

f. 1o = 0,017 rad

30.

31. Kalimat berikut merupakan pernyataan, kecuali…

a. Kuala Lumpur ibukota Malaysia

b. Hari ini adalah hari kamis

c. Akar dari persamaan 2x2 + 8 = 0 adalah 4

d. Satu jam sama dengan 360 detik

e. Apakah dua merupakan bilangan prima

32. Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah…

a.

b. Trapesium sama kaki kedua diagonalnya tidak sama panjang

c.

d. Jumlah sudut lingkaran adalah 360o

e. Trapesium sembarang adalah segi empat yang sepasang sisinya sejajar

II. Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar!

Tentukan mana diantara kalimat berikut yang merupakan pernyataan?

1. Pontianak berada di pulau kalimantan

2. Surabaya lebih jauh dari Jakarta

3. Kerjakan soal latihan dalam buku ini dengan baik!

Penyelesaian: _________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Tentukan mana diantara kalimat berikut yang merupakan pernyataan yang benar atau salah!

4. New Delhi adalah ibu kota India

5. Banyaknya titik sudut pada balok adalah 8

Penyelesaian: _________________________________________________________________

______________________________________________________________________

B. Mendiskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi,biimplikasi, dan ingkarannya

1. Konjungsi

Konjungsi adalah kalimat majemuk yang kata hubungnya “ dan, tetapi, meskipun, dan sejenisnya”. Rumus penulisanya: p q di baca “ p dan q”

Catatan : p q bernilai benar jika p dan q benar

Tabel kebenarannya:

P

q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Contoh:

Buatlah pernyataan berikut ini menjadi sebuah konjungsi dan tentukan nilai kebenarannya!

a. P: 3 + 4 =7 (B)

q: 6 bilangan genap (B)

penyelesaian: 3 + 4 = 7 dan 6 bilangan genap (B)

b. P: Satu minggu terdiri dari 7 hari (B)

q: Hari libur selalu hari minggu (S)

Penyelesaian: Satu minngu terdiri dari 7 hari dan hari libur selalu hari minggu (S)

2. Disjungsi

Disjungsi adalah kalimat majemuk yang kata penghubungnya “atau”. Rumus penulisannya . Disjungsi dari dua pernyataan bernilai salah jika dan hanya jika keduanya salah. Selain itu bernilai benar.

Catatan : bernilai salah jika dan hanya jika keduanya salah

Tabel kebenarannya:

P

q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Contoh:

Buatlah pernyataan berikut ini menjadi sebuah disjungsi dan tentukan nilai kebenarannya !

a. p : 2 x 2 = 4 (B)

q : Gajah lebih besar dari semut (B)

Penyelesaian : 2 x 2 = 4 atau gajah lebih besar dari semut (B)

b. p : 5 x 6 = 30 (B)

q : 3 > 5 (S)

Penyelesaian : 5 x 6 = 30 atau 3 > 5 (B)

3. Implikasi

Implikasi adalah kalimat majemuk yang memuat kata :”Jika…maka…”. Rumus penulisannya: , dibaca “jika p maka q” . implikasi akan bernilai salah jika pernyataanp bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah. Selain itu bernilai benar.

Catatan : bernilai salah jika pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah

Tabel kebenarannya:

p

q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini!

a. Jika x = 3 maka x2 = 9

b. Jika 140o sudut lancip maka 50o sudut lancip

c. Jika siswa SMK baik maka tidak taat peraturan

Penyelesaian:

a.

b.

c.

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang memuat kata: “ …jika dan hanya jika…”. Rumus penulisannya: , di baca p jika dan hanya jika q. biimplikasi bernilai benar jika pernyataan p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. Selai itu bernilai salah.

Catatan : bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama, selain itu salah

Tabel kebenarannya:

P

Q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini !

1. x = 3 jika dan hanya jika x2 = 9

2. 140o sudut lancip jika dan hanya jika 50o sudut lancip

3. Siswa SMK baik jika dan hanya jika tidak taat peraturan

Penyelesaian:

1.

2.

3.

5. Negasi

Negasi adalah pernyataan yang mengingkar atau melawan atau menidakkan dari pernyataan yang dinegasi

Notasi: “ “ di baca “ tidak benar p atau tidak p”

Contoh:

· P : Hari minggu adalah hari libu

: Hari minggu bukan hari libur

Tabel kebenaran:

p

B

S

S

B

Negasi pernyataan majemuk

Rumus yang berlaku:

·

·

·

·

Negasi kalimat berkuantor:

·

·

Contoh:

Negasi dari “Setiap siswa SMK terpelajar” : Terdapat siswa SMK yang tidak terpelajar.

Negasi “Beberapa anak tidak suka permen” : Semua anak suka permen

6. Ekuivalensi

(Rumus yang berlaku:)Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan – pernyataan komponennya, di tulis dengan lambang .

Latihan Soal 2

Pilihlah satu penyelesaianan yang paling tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e!

1. Negasi dari “Semua siswa SMK rajin dan jujur” adalah…

a. Ada siswa SMK yang tidak rajin atau tidak jujur

b. Semua siswa SMK tidak rajin atau jujur

c. Semua siswa SMK tidak rajin dan tidak jujur

d. Semua siswa SMK tidak rajin atau tidak jujur

e. Sebagian siswa SMK tidak rajin atau jujur

2. Negasi dari pernyataan “Jika semua anak lulus ujian maka semua guru bergembira “ adalah…

a. Jika ada anak tidak lulus maka ada guru sedih

b. Jika ada anak tidak lulus maka semua guru tidak bergembira

c. Jika ada guru tidak bergembira maka semua anak tidak lulus ujian

d. Semua anak tidak lulus ujian dan ada guru tidak bergembira

e. Semua anak lulus ujian dan ada guru tidak bergembira

3. Negasi dari pernyataan “ Jika x2 = 25, maka x = 5 “ adalah…

a. Jika x2 25 maka x 5

b. Jika x2 25 maka x = 5

c. Jika x = 25 maka x2 = 5

d. x2 = 25 dan x 5

e. x2 25 dan x = 5

4. Negasi dari pernyataan “Jika upah buruh naik maka harga barang naik “ adalah…

a. Jika upah buruh naik maka harga barang naik

b. Jika harga barang naik maka upah buruh naik

c. Upah buruh naik dan harga barang tidak naik

d. Upah buruh naik dan harga barang naik

e. Harga barang naik jika dan hanya jika upah buruh naik

5. Pernyataan yang sesuai dengan pernyataan “Jika anda datang maka saya tidak pergi” adalah…

a. Jika saya pergi maka anda tidak datang

b. Jika saya tidak pergi maka anda datang

c. Jika anda pergi maka saya pergi

d. Jika anda tidak datang maka saya tidak pergi

e. Jika saya pergi maka anda datang

6. Negasi dari pernyataan “Ani memakai seragam atau memakai topi “ adalah…

a. Ani tidak memakai seragam atau tidak memakai topi

b. Ani tidak memakai seragam atau tidak memakai topi

c. Ani tidak memakai seragam dan tidak memakai topi

d. Ani memakai seragam dan tidak memakai topi

e. Ani tidak memakai seragam tetapi memakai topi

7. Negasi dari pernyataan “Badu pergi kesekolah atau pergi ke mall “ adalah…

a. Badu pergi kesekolah atau tidak pergi ke mall

b. Badu tidak pergi ke sekolah atau tidak pergi ke mall

c. Badu tidak pergi kesekolah dan tidak pergi ke mall

d. Jika Badu pergi ke sekolah maka pergi ke mall

e. Jika Badu tidak pergi kesekolah maka tidak pergi ke mall

8. Nilai kebenaran dari pernyataan dalam tabel berikut adalah…

P

q

(BBSSd.BSBSBBSBe.BSSSBSBB)

B

B

…

B

S

…

S

B

…

S

S

(Nilai kebenaran yang tepat untuk melengkapi tabel tersebut adalah…BSBBd.SBSBBBSBe.BBBSBSSB)…

9. Perhatikan tabel berikut !

P

q

B

B

…

B

S

…

S

B

…

S

S

…

10. Jika p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah maka pernyataan bernilai salah adalah…

a. d.

b. e.

c.

11. Jika pernyataan p bernilai salah dan q pernyataan bernilaai benar maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah…

a. d.

b. e.

c.

12. Ingkaran dariadalah…

a. d.

b. e.

c.

13. Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan “ Jika waktu istirahat tiba maka semua peserta meninggalkan ruangan “ adalah…

a. Jika semua peserta meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba

b. Jika waktu istirahat tidak tiba maka ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan

c. Jika ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba

d. Waktu istirahat tiba dan ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan

e. Waktu istirahat tiba atau ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan

14. “Jika Amel lulus ujian maka akan bekerja “ senilai dengan pernyataan…

a. Amel lulus ujian atau tidak akan bekerja

b. Amel tidak lulus ujian atau akan bekerja

c. Amel lulus ujian dan akan bekerja

d. Amel lulus ujian dan tidak akan bekerja

e. Jika Amel tidak lulus ujian dan tidak akan bekerja

15. Implikasi dari p q pasti bernilai benar jika :

(1). p bernilai salah

(2). p bernilai benar

(3). q bernilai benar

(4). q bernilai salah

Pernyataan yang benar adalah…

a.

b. (1), (2) dan (3)

c. (1) dan (3)

d. (2) dan (4)

e. (4) saja

f. Semua benar

16. Pernyataan bernilai benar jika:

(1) p benar, q benar, r salah

(2) p salah, q benar, r salah

(3) p salah, q salah, r salah

(4) p salah, q salah, r benar

Pernyataan yang bernilai benar adalah…

a.

b. 1, 2, 3

c. 1 dan 3

d. 2 dan 4

e. (4) saja

f. Semua benar

17. Jika pernyataan “Jika sekarang hari minggu maka saya lari – lari pagi “ bernilai salah, maka pernyatan berikut yang bernilai salah adalah…

a. Sekarang hari minggu jika dan hanya jika saya lari – lari pagi

b. Sekarang bukan hari minggu atau saya lari – lari pagi

c. Jika saya tidak lari – lari pagi maka sekarang bukan hari minggu

d. Saya lari – lari pagi dan sekarang hari minggu

e. Saya tidak lari – lari pagi atau sekarang hari minggu

18. Pernyataan yang bernilai salah adalah…

a. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

b. Tan 30o = jika dan hanya jika sin 30o = ½

c. Jika Surabaya ibukota provinsi Jawa Tengah maka Surabaya kota pahlawan

d. 5 adalah bilangan ganjil atau 5 bilangan prima

e. Ada bilangan prima yang genap

19. Nilai kebenaran dari adalah…

a. SBSBd.BBSS

b. SSBBe.BSSB

c. SBBS

20. Pernyataan berikut yang senilai dengan pernyataan “Jika p benar maka q salah “ adalah…

a. p benar atau q salahd.Jika q benar maka p salah

b. Jika p benar maka q salahe.maka q benar jika p salah

c. Jika q salah maka p benar

II. Kerjakan soal berikut dengan baik dan benar!

1. Tentukan negasi dari pernyataan “Semua siswa kelas XI menyukai pelajaran Matematika “

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. Tentukan nilai kebenaran dari:

a. 20 : 5 = 4 dan Surabaya ibu kota provinsi Jawa Tengah

b. Jika satu minggu terdiri dari 7 hari maka satu tahun terdiri dari 12 bulan

c. 2 +3 = 5 jika dan hanya jika 5 – 2 = 3

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut!

3. Jika semua siswa tidak terlambat maka proses belajar mengajar akan berjalan lancar

4. Ibu pergi ke pasar atau ke rumah nenek

5. Ani bisa mengerjakan ulangan Matematika jika dan hanya jika ia belajar Matematika

Penyelesaian: _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

C. Mendiskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi

Dari sebuah pernyataan implikasi dapat disusun pernyataan - pernyataan implikasi baru yang berbentuk:

1. Konvers

Pernyataan maka konversnya adalah

2. Invers

Pernyataan maka inversnya adalah

3. Kontraposisi

Pernyataan maka kontraposisinya adalah

Contoh:

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari pernyataan “ Jika Andi siswa SMK kelas XI maka harus ikut PRAKERIN “

Penyelesaian:

a. Konvers : Jika Andi ikut PRAKERIN maka ia siswa SMK kelas XI

b. Invers: Jika Andi bukan siswa SMK kelas XI maka tidak ikut PRAKERIN

c. Kontraposisi : Jika Andi tidak ikut PRAKERIN maka bukan siswa kelas XI

Latihan soal 3

Pilihlah salah satu penyelesaianan yang paling tepat dengan member tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d dan e!

1. Invers dari pernyataan “Jika ia tidak datang maka saya pergi “ adalah…

a. Jika ia datang maka saya pergi

b. Jika ia datang maka saya tidak pergi

c. Jika ia tidak datang maka saya tidak pergi

d. Jika saya pergi maka ia tidak datang

e. Jika saya tidak pergi maka ia datang

2. Invers dari pernyataan “Jika Budi naik kelas, maka ia di belikan sepeda baru “ adalah…

a. Jika Budi di belikan sepeda baru maka ia tidak naik kelas

b. Jika Budi tidak di belikan sepeda baru maka ia tidak naik kelas

c. Jika Budi tidak naik kelas maka ia tidak dibelikan sepeda baru

d. Jika Budi naik kelas maka ia tidak di belikan sepeda baru

e. Jika Budi naik tidak kelas maka ia di belikan sepeda baru

3. Invers dai pernyataan “Jika petani menanam padi maka harga beras turun “ adalah…

a. Jika petani menanam padi maka harga beras tidak turun

b. Jika petani tidak menanam padi maka harga beras turun

c. Jika harga beras turun maka petani menanam padi

d. Jika harga barang – barang turun maka petani tidak menanam padi

e. Jika petani tidak menanam padi maka harga beras tidak turun

4. Diketahui implikasi “Jika 2 bilangan prima maka 3 bilangan ganjil “, invers dari implikasi tersebut adalah…

a. Jika 2 bukan bilangan prima maka 3 bilangan ganjil

b. Jika 2 bilangan prima maka 3 bukan bilangan ganjil

c. Jika 2 bukan bilangan prima maka 3 bukan bilangan ganjil

d. Jika 3 bilangan ganjil maka 2 bilangan prima

e. Jika 3 bukan bilangan ganjil maka 2 bilangan prima

5. Invers dari pernyataan “Jika anda siswa maka anda harus belajar “ adalah…

a. Jika anda bukan siswa maka Anda tidak harus belajar

b. Jika Anda harus belajar maka Anda siswa

c. Jika Anda tidak belajar maka Anda bukan siswa

d. Jika Anda belajar maka Anda bukan siswa

e. Jika Anda siswa maka Anda tidak harus belajar

6. Invers dari pernyataan “Jika saya pandai matematika mak saya ikut olpmpiade “ adalah…

a. Jika saya ikut olimpiade matematika maka saya pandai matematika

b. Jika saya tidak pandai matematika maka saya tidak ikut olimpiade matematika

c. Jika saya tidak ikut olimpiade matematika maka saya tidak pandai matematika

d. Saya tidak pandai matematika atau saya tidak ikut olimpiade matematika

e. Saya pandai matematika dan saya tidak ikut olimpiade matematika

7. Invers dari pernyataan “ ” adalah…

a. d.

b. e.

c.

8. Konvers dari pernyataan “Jika 2 < 5 maka 2(-3) > 5(-3) “ adalah…

a. Jika 2(-3) > 5(-3) maka 2 < 5d.Jika 2 5 maka 2(-3) 5(-3)

b. Jika 2(-3) < 5(-3) maka 2 <5e.Jika 2 > 5 maka 2(-3) < 5(-3)

c. Jika 2(-3) 5(-3) maka 2 < 5

9. Konvers dari pernyataan “Jika Dahlan sakit maka Dahlan tidak masuk sekolah“ adalah…

a. Jika Dahlan tidak sakit maka masuk sekolah

b. Jika Dahlan tidak masuk sekolah maka Dahlan sakit

c. Jika Dahlan masuk sekolah maka Dahlan sakit

d. Jika Dahlan masuk sekolah maka Dahlan sakit

e. Jika Dahlan tidak masuk sekolah maka Dahlan sakit

10. Konvers dari pernyataan “Jika Anda orang Indonesia maka Anda cinta rupiah“ adalah…

a. Jika Anda cinta rupiah maka Anda orang Indonesia

b. Jika Anda bukan orang Indonesia maka Anda tidak cinta rupiah

c. Jika Anda tidak cinta rupiah maka Anda bukan orang Indonesia

d. Jika Anda orang Indonesia maka Anda tidak cinta rupiah

e. Jika Anda tidak cinta rupiah maka Anda orang Indonesia

11. Konvers dari pernyataan “Jika nilai ijazahnya tinggi maka ia anak pintar “ adalah…

a. Jika nilai ijazahnya tidak tinggi maka ia bukan anak pintar

b. Jika ia bukan anak pintar maka nilai ijazahnya tidak tinggi

c. Jika ia anak pintar maka nilai ijazahnya tinggi

d. Jika ia anak pintar maka nilai ijazahnya tidak tinggi

e. Jika nilai ijazahnya tinggi maka ia bukan anak pintar

12. Konvers dari pernyataan “David seorang turis maka ia orang inggris “ adalah…

a. Jika David bukan orang inggris maka David bukan seorang turis

b. Jika David seorang turis maka David belum tentu orang inggris

c. Jika David bukan seorang turis maka David bukan orang inggris

d. Jika David bukan orang inggris maka david tentu seorang turis

e. Jika David orang inggris maka David seorang turis

13. Kontraposisi dari implikasi “Jika semua manusia baik maka dunia aman“ adalah…

a. Beberapa manusia baik tetapi dunia tidak aman

b. Jika dunia tidak aman maka beberapa manusia tidak baik

c. Jika dunia tidak aman maka semua manusia baik

d. Jika dunia tidak aman maka semua manusia tidak baik

e. Jika beberapa manusia tidak baik maka dunia tidak aman

14. Kontraposisi dari “Jika PQRS layang – layang maka PR dan QS tidak sama panjang“ adalah…

a. Jika PR dan QS tidak sama panjang maka PQRS layang – layang

b. Jika PQRS bukan layang – layang maka PR dan QS tidak sama panjang

c. Jika PR dan QS sama panjang maka PQRS layang – layang

d. Jika PQRS bukan layang – layang maka PR dan QS tidak sama panjang

e. Jika PR dan QS sama panjang maka PQRS bukan layang – layang

15. Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan “Jika waktu istirahat tiba maka semua peserta meninggalkan ruangan“ adalah…

a. Jika semua peserta meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba

b. Jika waktu istirahat tidak tiba maka ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan

c. Jika ada peserta tidak meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tidak tiba

d. Waktu istirahat tiba dan ad peserta yang tidak meninggalkan ruangan

e. Waktu istirahat tiba atau ada peserta yang tidak meninggalkan ruangan

16. Kontraposisi dari pernyataan “Jika semua siswa menyukai matematika maka guru matematika akan senang mengajar matematika“ adalah…

a. Jika semua siswa tidak menyukai matematika maka guru matematika tidak akan senang mengajar matematika

b. Jika ada siswa menyukai matematika maka guru matematika tidak akan senang mengajar matematika

c. Jika ada siswa tidak menyukai matematika maka guru matematika tidak akan senang mengajar matematika

d. Jika guru matematika tidak akan senang mengajar matematika maka ada siswa tidak menyukai matematika

e. Jika guru matematika tidak akan senang mengajar matematika maka ada siswa menyukai matematika

17. Kontraposisi dari pernyataan “Jika 2 x 3 = 6 maka 2 + 3 = 5“ adalah…

a. Jika 2 x 3 6 maka 2 + 3 5d.Jika 2 + 3 = 6 maka 2 x 3 = 5

b. Jika 2 x 3 6 maka 2 + 3 = 5e.Jika 2 + 3 6 maka 2 x 3 = 6

c. Jika 2 + 3 5 maka 2 x 3 6

18. Kontraposisi dari adalah…

a. d.

b. e.

c.

19. “Jika Tia pandai maka ia lulus ujian“, kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah…

a. Tia pandai dan ia lulus ujian

b. Tia pandai jika ia lulus ujian

c. Jika Tia tidak lulus ujian maka ia tidak pandai

d. Jika Tia tidak pandai maka ia tidak lulus ujian

e. Jika Tia lulus ujian maka belum tentu ia pandai

20. “Jika BBM tidak naik maka harga sembako tidak naik“, kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah…

a. Harga BBM tetap dan harga sembako stabil

b. Harga BBM naik dan harga sembako tidak stabil

c. Jika BBM naik maka harga sembako naik

d. Jika harga sembako tidak stabil maka harga BBM turun

e. Jika harga sembako naik maka BBM naik

Kerjakan soal dibawah ini dengan baik dan benar!

1. Tentukan invers dari pernyataan “Jika tidak ada pegawai korupsi, maka pembangunan berjalan lancar “!

Penyelesaian: _________________________________

Documents

giefasha.files.wordpress.com€¦ · Web viewBilangan merupakan sistem matematika yang sudah dikenal selama ini. Bilangan yang pertama dikenal dan digunakan adalah bilangan asli (natural