cbtis212.com.mxcbtis212.com.mx/PROGRAMAS/aritmetica.docx · Web viewCENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO industrial y de servicios No. 212 Academia de Matemáticas Curso introductorio

CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICOindustrial y de servicios No. 212

Academia de Matemáticas

Curso introductorio de MatemáticasDirigido a alumnos de Nuevo Ingreso.

Agosto 2015.

Tetla, Tlax.Nombre del alumno:_____________________________ Grupo:________

Operaciones combinadas con números naturales.Curso Introductorio Verano 2015

Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez1


OPERACIONES COMBINADAS SIN PARÉNTESIS.

SUMAS Y RESTAS SIN PARÉNTESIS

En una expresión numérica formada por sumas y restas sin paréntesis, se realizan las operaciones de izquierda a derecha en el orden en que aparecen.

1. Ejemplo: 320 + 460 - 235 - 418 + 526=

=780 - 235 - 418 + 526=

=545 - 418 + 526=

=127 + 526 = 653

Calcula.• 425 + 256 - 315 - 242 + 643 – 148=

• 2.158 - 456 - 328 + 1.560 - 576 – 218=

• 4.128 + 576 - 1.280 + 2.100 - 3.150 + 4.185=

SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES SIN PARÉNTESIS

Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez

2


En una expresión numérica formada por sumas, restas, multiplicaciones y divisiones sin paréntesis, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones; después se realizan las sumas y las restas.

Ejemplo 1:

125 + 12 x 4 – 98=

= 125 + 48 – 98=

= 173 - 98 = 75

Ejemplo 2:215 + 24 - 96 + 13 x 4=

=239 - 96 + 52=

=143 + 52=

=195

Calcula.

420 x 2 + 526 + 120 x 3=

315−423

+14−3612

=¿

1255

−17+12+13 ×6=¿

256−14 ×7+318−1305

=¿

OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS

En la expresión con paréntesis, primero se realizan las operaciones que hay dentro del paréntesis.


3


Ejemplo: (370 + 253 - 436) - (25 + 146) + 100=

=187 - 171 + 100=

=16 + 100 = 116

Calcula.

• (425 + 726 - 215) - (125 + 16 - 31) + 412=

• (1.282 - 144) - (41 + 12 x 3) - (52 + 14 x 2)=

• (2.584 - 216 + 114) – (125 - 18 + 453 ) + 16=

OPERACIONES COMBINADAS CON CORCHETES


4


En las expresión con corchetes [ ] , primero se realizan las operaciones que hay dentro del paréntesis; después se realizan las operaciones que hay dentro del corchete.

Ejemplo: [ (370 + 253 - 436) x 45 ] : 45=

=[ 187 x 45 ] : 45=

=8.415 : 45 = 187

Calcula.

• [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107=

• [(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120=

• [(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]=

Potencias. Operaciones POTENCIAS


5


• Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 64

• Casos particulares de potencias:

Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21 = 2; 31 = 3.

Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 50 = 1.

1. Completa el cuadro.Potencia 32 43 54 65 87 910 1011 1520

BaseExponente

2. Escribe en forma de potencia los siguientes productos.

8 x 8 x 8 =

7 x 7 x 7 x 7 =

9 x 9 x 9 x 9 x 9 =

15 x 15 x 15 x 15 x 15 =

8 x 8 x 7 x 7 x 7 =

5 x 5 x 5 x 6 x 6 =

7 x 7 x 9 x 9 x 9 =

10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =

3. Halla el valor de las siguientes potencias.

71 =

80 =

92 =

83 =

110 =

251 =

22 x 33 =

23 x 32 =

42 x 52 =

42 x 52 x 30 =

53 x 22 x 33 =

62 x 33 x 70 =

POTENCIAS DE BASE 10


6


• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente.

Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000

• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10.

Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107

200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108

1. Calcula.104 =

106 =

107 =

108 =

109 =

1010 =

1011 =

1012 =

2. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.3.000 =

40.000 =

600.000 =

7.000.000 =

80.000.000 =

130.000.000 =

200.000.000 =

320.000.000 =

1.000.000.000 =

2.000.000.000 =

3. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.

Tierra Urano Neptuno PlutónDistancia mediaal Sol (km)

149.500.000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000

Potencias debase 10

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASECurso Introductorio Verano 2015



El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la mismabase y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29

43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411

Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos.Después, calcula su valor.22 x 22 = 24 = 1622 x 23 =23 x 2 =24 x 2 =32 x 32 =33 x 3 =32 x 33 =33 x 33 =34 x 3 =43 x 40 =

22 x 2 x 23 =3 x 32 x 3 =42 x 42 x 4 =5 x 5 x 52 =62 x 62 x 6 =72 x 7 x 7 =82 x 8 x 83 =92 x93 x 9 =9 x 92 x 90 =10 x 100 x 102 =

Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).

26 x 2 = 28

23 x 2 = 27

64 x 6 = 610

73 x 7 = 711

84 x 8 = 812

95 x 9 = 913

108 x 10 = 1014

119 x 11 = 1115

123 x 124 x 12 = 1210

145 x 146 x 14 = 1418

157 x 152 x 15 = 1513

238 x 239 x 23 = 2320

357 x 356 x 35 = 3524

429 x 425 x 42 = 4219

537 x 534 x 53 = 5322

615 x 612 x 61 = 6119

756 x 752 x 75 = 7520

817 x 812 x 81 = 8115

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASEEl cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base ycuyo exponente es la resta de los exponentes.


8


Ejemplos: 26: 23 = 26-3 = 23

48: 42 = 48-2 = 46

Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.Después, calcula su valor.

38 : 35 = 33 = 2754 : 53 =69 : 67 =710 : 78 =812 : 810 =913 : 911 =103 : 10 =112 : 112 =123 : 12 =134 : 132 =

205 : 202 =306 : 303 =407 : 404 =503 : 502 =603 : 600 =704 : 700 =805 : 80 =906 : 902 =1007 : 100 =2005 : 1000 =


48 : 4 = 46

59 : 5 = 54

78 : 7 = 76

89 : 8 = 83

910 : 9 = 97

1016 : 10 = 1010

1115 : 11 = 114

1216 : 12 = 1212

1312 : 13 = 139

3515 : 35 = 3512

4120 : 41 = 415018 : 50 = 509

6217 : 62 = 624

7519 : 75 = 752

8021 : 80 = 8010

8230 : 82 = 8221

9045 : 90 = 9020

9532 : 95 = 9517

POTENCIA DE UNA POTENCIALa potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente esel producto de los exponentes.

Ejemplos: (23 )2 = 23 x 2 = 26


9


(44 )3 = 44 x 3 = 412

Escribe en forma de una sola potencia.

(32 )3 =(43 )2 =(52 )2 =(64 )3=(75 )2 =(84 )5 =(97 )3 =(104 )2 =(115 )6 =(127 )9 =

(234 )5 =(305 )6 =(414 )7 =(506 )4 =(653 )5 =(727 )3 =(802 )4 =(853 )2 =(973 )4 =(992 )6 =


(24 ) = 28

(32 ) = 36

(43) = 412

(54 ) = 516

(68 ) = 624

(74 ) = 736

(89 ) = 818

(95 ) = 930

(103 ) = 1018

(235 ) = 2320

(307 ) = 3021

(426 ) = 4218

(507 ) = 5042

(653 ) = 6524

(724 ) = 7216

(753 ) = 7515

(842 ) = 8420

(893 ) = 8921

POTENCIA DE UN PRODUCTO La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia. Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32

(4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53


10


Escribe el resultado como producto de potencias.

(2 x 3)3 =(4 x 2)2 =(3 x 5)4 =(5 x 7)3 =(8 x 9)5 =(7 x 10)2 =

(2 x 3 x 4)2 =(4 x 5 x 6)3 =(6 x 7 x 8)4 =(8 x 9 x 10)5 =(10 x 11 x 12)6=(13 x 14 x 15)7=

Escribe en forma de una sola potencia.

22 x 32 x 42 = (2 x 3 x 4)2

33 x 43 x 53 =56 x 76 x 86 =47 x 97 x 57 =910 x 810 x 710 =

117 x 127 X 137 =148 x 158 X 168 =217 x 207 X 197 =329 x 409 x 539 =438 x 528 X 628 =

Completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).

23 x 43 x 5 = (2 x 4 x 5)3

34 x 5 x 64 = (3 x 5 x 6)4

5 x 66 x 86 = (5 x 6 x 8)6

64 x 3 x 54 = (6 x 3 x 5)4

7 x 85 x 95 = (7 x 8 x 9)5

53 x 93 x 8 = (5 x 9 x 8)3

6 x 8 x 93 = (6 x 8 x 9)3

94 x 10 x 11 = (9 x 10 x 11)4

12 x 13 x 14 = (12 x 13 x 14)6

15 x 12 x 13 = (15 x 12 x 13)7

21 x 16 x 30 = (21 x 16 x 30)8

35 x 26 x 41 = (35 x 26 x 41)9

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Suma de Fracciones A

Objetivo:


11


Suma y resta de fracciones Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

bdbcad

dc

ba

se multiplican cruzado y los productos se suman se multiplican los denominadores

Veamos un ejemplo:

El jefe de Vero repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Vero le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Vero?

14+ 1

3=

1(3)+4(1)( 4 )(3)

=3+412

= 712

Solución: Vero tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")

¿A Vero le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?

Solución:

Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones:Curso Introductorio Verano 2015



a. Si ab= c

d entonces ad=bc

b. Si ab< c

d entonces ad<bc

c. Si ab> c

d entonces ad>bc

Volviendo a Vero, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?

712

¿ 12

entonces 7(2) > 12(1), por lo tanto 712

> 12

De modo que Vero realizó más de la mitad del trabajo.

Veamos otro ejemplo:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María?

Solución:

13+

25=

1 (5 )+3 (2)15 =

5+615 =

1115

A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Suma de Fracciones B

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:


13


1. Fracciones homogéneas ( 14

, 34

, 54 )

2. Fracciones heterogéneas ( 13

, 25

, 37 )

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y

las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

15+ 3

5=4

5 Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.

27+ 3

7=5

7

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

14+ 1

2 <Aquí es diferente, las fracciones son

heterogéneas; los denominadores son diferentes.>

Para sumar fracciones heterogéneas:

1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.


14


3. Se suman los productos para obtener el numerador.

14+ 1

2

Paso 1 : 14+ 1

2=❑

8 <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>

Paso 2 : 14 +

12=

(2 ∙1 )+(4 ∙1)8

< Se multiplicó cruzado>

Paso 3: 2+48

=68

< Se suman los productos para obtener el numerador.>

Paso 4:

6282

=34

< Se simplifica la fracción si es posible.>

Resta de Fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

59−1

9=4

9

Ejemplo 2:

23−1

2=

(2 ∙2 )−(3∙ 1 )6

=4−36

= 16

Ejercicios de Fracciones Primera Parte


15


Ejercicios:

A. Simplifique las siguientes Fracciones.

1. 3 6

2. 15 45

3. 4 9

4. 2 8

5. 6 12

6. 12 48

B. En los ejercicios 7 a 10, relaciona las siguientes parejas de fracciones, empleando el signo > o < entre ellas.

7. 611 2

9 8. 411 6

7

9. 49 12

17 10. 43 9

2

C. Suma las siguientes fracciones.

11. 95+ 1

5=¿ 12. 2

3+ 5

3=¿

13. 12+ 2

3=¿ 14. 5

6+ 1

5=¿

15. 37+ 1

2=¿ 16. 1 1

8+2 1

4=¿

17. 9

11+ 5

7=¿ 18. 3

2+ 4

3=¿

D. Resta las siguientes fracciones.


16


19. 67−1

7=¿ 20.

611

−12=¿

21. 43−5

2=¿ 22.

58−1

8=¿

23.911

−15=¿ 24. 2

12−1 1

4=¿

25. 34−1

2=¿ 26. 7

9−1

3=¿

Soluciones:

1. 1/2; 2. 1/3; 3. 4/9; 4. 1/4; 5. 1/2; 6. 1/4 ; 7. > ; 8. >; 9. < ; 10. < ; 11. 2 ; 12. 1 1/6 13. 1 1/6 ; 14. 1 1/30

15. 3 ; 16. 3 3/8 17. 118/77 18. 1/6 19. 5/7 20. 1/22 21. -7/6 22. 1/2 23. 34/55 24. 19/20 ; 25. 1/4 ; 26. 4/9

Multiplicación y División de Fracciones

Multiplicación de Fracciones Curso Introductorio Verano 2015



En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:

Ejemplo: 23

∙ 34= 6

12= 2 ∙3

2 ∙ 2∙ 3=1

2

División de Fracciones

En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.

Ejemplo:

35

÷ 43=3

5∙ 3

4= 9

20

Ejemplo:

37

÷ 12=3

7∙ 21=6

7

Fórmulas para recordar

ac+b

c=a+b

cSuma de Fracciones homogéneas


Factorización y simplificación

18


ac+ b

d=ad+bc

cdSuma de Fracciones heterogéneas

ac−b

c=a−b

cResta de Fracciones homogéneas

ac−b

d=ad−bc

cdResta de Fracciones heterogéneas

ac

∙ bd=ab

cdMultiplicación de Fracciones

ac

÷ bd=a

c∙ d

b=ad

bcDivisión de Fracciones


19

Documents

cbtis212.com.mxcbtis212.com.mx/PROGRAMAS/aritmetica.docx · Web viewCENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO industrial y de servicios No. 212 Academia de Matemáticas Curso introductorio