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“CARTA DE BIENVENIDA A LA FIESTA MATEMÁTICA”
Mula, curso 2010-2011
Queridos/as amigos/as:
Bienvenidos/as al Taller de la Fiesta de los Números.
¿Qué es Matemática? Matemática eres tú, la matemática es parte de tu forma de pensar y de ser. Todos llevamos un matemático dentro que crece y crece, cuando encuentra un ambiente propicio donde no se enjaule el pensamiento entre barrotes de fórmulas sin alma. Nuestro pensamiento tiene que revolotear libremente como una mariposa en el jardín de los números y en los paisajes de las formas.
Aprender matemáticas “con las manos” haciendo muchas experiencias con cariño matemático ayuda y anima a entender mejor el significado de los números y de las formas a todo el mundo.
Quiero que sintamos juntos la emoción de la aventura por los paisajes del Universo Matemático, en un ambiente festivo de alegría y bullicio, al experimentar con las medidas, los números, las formas, las proporciones, los equilibrios, el azar…
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Un fuerte abrazo y números cordiales.
Pedro Buendía Abrilwww.animadormatematico.com
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1. METE EL LÁPIZ Y SACA EL METRO:EL EDIFICIO DE LAS MEDIDAS
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Lo más natural es empezar midiendo con
nuestro cuerpo: pulgadas, palmos, pies, pasos…
La cinta métrica nos lleva a encontrar la primera
piedra del edificio de la medida: el metro.
Resulta divertido presentar los personajes de la
medida: la tira del metro, la cartulina del metro
cuadrado, el metro cúbico humano, la caja del
litro, la caja de garbancito, el tic-tac del reloj, el
euro…
La mejor manera de familiarizarse con
las unidades de la medida es verlas, tocarlas,
recortarlas, conocerlas a través de los sentidos.
Así se sientan las bases sobre las que cada
alumno irá construyendo el edificio de la
medida. Es muy conveniente hacer
escenificaciones, juegos… y vivir situaciones de
medidas en el aula y fuera del aula.
EXPERIENCIAS CON LAS MEDIDAS:
1. Construimos el “Edificio de la medida”
La primera piedra: el metro.
El solar de metro cuadrado.
La casa de metro. El cajón de metro. El metro cúbico humano.
La caja de litro o de decímetro cúbico. Es más grande de lo que parece.
La cajita de garbancito, también llamada centímetro cúbico y mililitro.
2. Aprendemos un poco de latín y griego, para saber las veces de las cosas:
MÁS PEQUEÑO VECES MÁS GRANDEdeci (décima) 10 deca
centi (centésima) 100 hectomili (milésima) 1000 kilo
3. Tomamos la sopa de centilitro en centilitro. Una cuchara sopera tiene una
capacidad de un centilitro.
4. Endulzamos un decilitro de manzanilla con un decagramo de azúcar.
EXPERIENCIAS PASADAS POR AGUA:
1. ¿FLOTARÁ O SE HUNDIRÁ?
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Se recomienda la lectura “¿FLOTARÁ O SE HUNDIRÁ?”, páginas 51-53
del libro “DIARIO DE MATEMÁTICA DESNUDA”, que puedes descargar
gratis en la página web www.animadormatematico.com.
2. NÚMEROS BAJO LA LLUVIA.
Se recomienda la lectura “NÚMEROS BAJO LA LLUVIA”, páginas 46-50
del libro “DIARIO DE MATEMÁTICA DESNUDA”.
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CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES
La mejor forma de acordarse de las fórmulas de áreas y volúmenes es recordarlas con memoria inteligente, si se han descubierto previamente con experiencias sencillas.
Se recomienda la lectura “EL PAISAJE DE LAS FORMAS”, páginas 117-155 del libro “DIARIO DE MATEMÁTICA DESNUDA”.
Cuadro de fórmulas para recordar con memoria inteligente:Área del rectángulo = largo x ancho
Área del triángulo = (base x altura)/2
Área del círculo = π r2, donde r es el radio del círculo
Área de la esfera = 4 π r2
Volumen del prisma (y del cilindro) = base x altura
Volumen de la pirámide (y del cono) = (base x altura)/3
Volumen de la esfera = (4 π r3)/3
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2. ECUACIONES
¡Hacer ecuaciones es como montar en bicicleta: lo importante es mantener el equilibrio!
1. ECUACIONES DE PAPEL:
“Salimos de compras con el monedero lleno, nos gastamos en un libro la tercera parte, vamos al cine que nos cuesta 3 € y regresamos con la mitad del dinero”. ¿Cuánto llevaba el monedero al principio?
Estrategia: Primero puedes resolver el problema doblando papel (la hoja entera representa el monedero). Después lo puedes hacer traduciendo los datos a una ecuación.
2. ECUACIONES EN LA PERCHA:
“Una naranja pesa 100 gramos más la mitad de su propio peso. ¿Cuánto pesa la naranja?”
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3. HACEMOS UNA PELÍCULA: ENCUENTRO DEL CAMINANTE CON EL CICLISTA
Jugamos con el espacio y el tiempo, viviendo situaciones de cambio:
Dos actores móviles van al encuentro por el eje de las posiciones, uno andando (con un bastón) y otro en bicicleta o patinete, mientras va avanzando por el otro eje el actor del tiempo (con un gran reloj). Otros dos actores, simulando llevar cada uno de ellos una cámara de cine que mira al móvil y al tiempo, van dejando la huella del seguimiento de cada uno de los dos móviles en función del tiempo. Lo más interesante es cuando chocan los cámaras justo al cruzarse los móviles. Lo que está ocurriendo es que sentimos la emoción de meternos en la situación, y estamos representando la solución de un problema de dos ecuaciones (la del caminante y la del ciclista) con dos incógnitas (la posición en que se encuentran y el tiempo), de
una forma divertida y alegre.
4. TRADUCIMOS LA PELÍCULA A LENGUAJE MATEMÁTICO:
Datos: El ciclista sale de casa y se aleja a 4 m/s, y el caminante, que se encuentra a 24 metros de casa, se acerca a 2 m/s. Incógnitas: x (el punto de encuentro), t (el tiempo transcurrido)Ecuación del ciclista:Ecuación del caminante:¡En nuestra mano y en nuestra mente está la posibilidad para hacer que las dos ecuaciones colaboren y nos ayuden a saber dónde (x) y cuándo (t) se encuentran los móviles!
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¡Que disfrutéis de la película!
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3. SISTEMAS DE ECUACIONES
1. PROBLEMA COMENTADO: “ALUMNOS DEL CEA RÍO MULA”En el grupo de Acceso hay 10 alumnos entre los de Mula, Bullas y
Campos del Río. El triple de los de Bullas, más los de Campos del Río es igual a los Mula. Y el número de los de Bullas es doble de los de Campos del Río. ¿Cuántos alumnos hay de cada localidad?
SOLUCIÓN:Es un problema típico donde necesitamos saber tres cosas y
afortunadamente tenemos tres informaciones. Combinando con vista las tres informaciones (ecuaciones) podemos descubrir las tres cosas (incógnitas).
Primero identificamos las tres incógnitas:x= alumnos de Mulay= alumnos de Bullasz= alumnos de Campos del Río
A continuación organizamos la información y planteamos las tres ecuaciones:
x+y+z=103y+z=xy=2z
Ahora combinamos las tres ecuaciones:y=2z3(2z)+z=x, 6z+z=x, 7z=x, x=7z7z+2z+z=10, 10z=10, z=10/10, z=1
Ya podemos saber las tres incógnitas:z=1y=2z, y=2·1, y=2x=3y+z, x=3·2+1, x=7
Por último comprobamos la veracidad de la solución:x+y+z=10, 7+2+1=10 (comprobado y correcto)3·y+z=x, 3·2+1=7 (comprobado y correcto)y=2z, 2=2·1 (comprobado y correcto)
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2. PROBLEMA: “VIVERO DE FLORES”
El importe de las ventas mensuales de geranios, margaritas y claveles, asciende a 1475 €. Vende un total de 450 plantas.También se sabe que la suma de las plantas de geranios y claveles es el doble que las margaritas.
Para verlo más claro puedes organizar los datos en una tabla:Precio Plantas vendidas
GeraniosMargaritasClaveles
Solución: 100 geranios, 150 margaritas y 200 claveles
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Geranio, 3 € Margarita, 2,5 € Clavel, 4€
Problema CFGS: “TRES MEDIDAS DIFERENTES PARA LLENAR UN DEPÓSITO DE 36 LITROS”
¡Ver problema 1!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2003.
Se dispone de un depósito de 36 litros de capacidad y de tres medidas diferentes que llamamos A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble que del de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida?
Problema CFGS: “FORMACIÓN EN LA EMPRESA”
¡Ver Problema 4!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Comunidad Autónoma de la Región de Murcia, Convocatoria 2008.
Una empresa dispone de 29.600 euros para actividades de formación de sus cien empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de 400 euros, para el curso B es de 160 euros y de 200 para el curso C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿Cuántos empleados siguen cada curso?
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Problema CFGS: “FURGONETA CON SACOS DE SAL”
¡Ver problema 1!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos Grado Superior, Junta de Andalucía, Convocatoria Junio 2009.
1. Un transportista lleva en su furgoneta sacos de sal de dos pesos distintos. Los sacos grandes tienen un peso de 30 kilogramos, mientras que los pequeños pesan un 20% menos. El conductor recuerda que el número de sacos pequeños es el triple del de sacos grandes, y que el peso total de la mercancía es de 714 kilogramos. Calcula el número de sacos de cada tipo que son transportados.
SOLUCIÓN:Lo primero es organizar los datos que conocemos, y los desconocidos
(incógnitas).Cada saco grande pesa 30 kg. Cada saco pequeño pesa un 20% menos
que el grande, es decir, pesa un 80% del grande. Pensando con la sencilla lógica del “tanto por uno”, cada saco pequeño pesa 30 kg·0,8 veces = 24 kg.
Ahora podemos estructurar la información en una tabla de doble entrada para verlo más claro:
Peso saco (kg) Número de sacos Peso total (kg)Sacos grandes 30 x 30xSacos pequeños 24 y 24y
714
Y planteamos dos ecuaciones con los dos recuerdos del transportista:y = 3x30x + 24y = 714
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos la solución:
30x +24(3x) = 714; 102x = 714; x = 7x = 7 sacos grandes.y = 21 sacos pequeños.
Y comprobamos si es correcto el resultado:30 kg · 7 sacos + 24 kg · 21 sacos = 714 kg.
(Comprobado y correcto).
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4. VIVIENDO SITUACIONES SOBRE PROPORCIONALIDAD(COMO LA CABEZA AL SOMBRERO)
Vivimos envueltos en situaciones de proporcionalidad. Cuando comparamos parejas de cosas en la vida, unas están “proporcionadas al derecho” como la cabeza y el sombrero, bocas y bocadillos, el volumen de trabajo pendiente y el número de trabajadores necesario para terminarlo; otras están “proporcionadas al revés” como la velocidad y el tiempo para llegar a un sitio, el tiempo que disponemos para terminar un trabajo y el número de trabajadores contratados, o las horas de trabajo diario y el número de días para realizar un trabajo; y otras no tiene nada que ver como la velocidad y el tocino por ejemplo.
Este tipo de problemas conecta muy bien con el pensamiento y se puede resolver de diversas maneras, desde las estrategias personales como el “cálculo mental” o “pasar las cuentas por el uno”, hasta la utilización de la herramienta matemática de las ecuaciones (regla de tres):
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Por tanteo. Es una herramienta muy útil para el cálculo y muy
beneficiosa para la mente.
Pasando las cuentas por “el uno”, bailando los números al ritmo
de tu propio pensamiento.
Por la “regla de tres”: Como ecuación, a la vista de los ojos del
entendimiento, cuando la mente esté lo suficientemente madura
para afrontarla con elegancia desde el Álgebra, como el
equilibrio entre dos comparaciones.
SITUACIÓN 1: REPOBLANDO UN BOSQUECILLO EN BICICLETA(libro Diario de Matemática Desnuda):
- EL MAESTRO: Podemos imaginar una pandilla de personas aficionadas a la bicicleta y que a su vez se haya propuesto colaborar en la reforestación de un bosquecillo, que esté más pelado que un calvo, con plantas autóctonas. Por imaginación que no quede.EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: Si suponemos que esa pandilla somos nosotros mismos, mejor todavía, porque es una manera de acercarnos a la situación, de meternos en ella, de ser los protagonistas del problema que tenemos que resolver. Lo mejor sería que el problema no fuera supuesto sino real, pero a falta de pan buenas son tortas.- EL MAESTRO: Y supongamos además que están o que estamos dispuestos a repoblarlo en dos sábados seguidos, llevando las encinas desde el vivero municipal hasta el monte, que dista un par de leguas, en los portaequipajes de las bicis. Si en el primer día participaran en esta digna labor medioambiental 15 ciclistas plantando 150 encinas, que seguro que agradecerán nuestros hijos, nietos..., para el segundo día quedaría pendiente trasplantar 50 encinas. ¿Qué necesitaríamos saber? ¿Cuál sería la pregunta que nos plantearíamos?- EL GRUPO: ¿Cuántos ciclistas tendrán que participar si se transporta el mismo número de encinas por bicicleta?- EL MAESTRO: Nuestro ordenador personal, el que llevamos incorporado en la cabeza, puede resolver este problema por distintos caminos, poniendo en juego distintos razonamientos; algo así como un ordenador de verdad que pudiera activar diferentes programas, que sirvieran para obtener un mismo resultado en función de los datos introducidos vía teclado. Uno de estos razonamientos posibles, eso sí, algo rebuscado, no nos engañemos, conecta con el mecanismo interno de la regla de tres, que es como la descarga de un razonamiento a través de la punta del lápiz, fruto de imágenes que afloran en la mente:15 bicicletas...........................................150 encinas? bicicletas...........................................…50 encinas
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Solución:
-EL MAESTRO: La mente está segura de que si comparamos el “antes” y el “después” de las dos cantidades de bicicletas, se dará la misma relación, la misma proporción que si comparamos el “antes” y el “después” de las cantidades de encinas.- ANA: ¿Por qué?- EL MAESTRO: Sencillamente por lógica, rollos aparte, la misma proporción que guardan entre sí las encinas, deberán guardar las bicicletas, que por eso las han llevado sobre sus portaequipajes. Ambas proporciones están en equilibrio. En el ejemplo se ve muy claro, si las encinas del primer sábado son el triple que las del segundo, las bicicletas del primer día también serán a la fuerza triple que las del segundo, si porta cada una igual cantidad de encinas, es lógico, es justo y es una proporcionalidad al derecho. Por tanto, comparar las cantidades de encinas es como comparar las de bicicletas. Equilibrio. Ecuación.
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SITUACIÓN 2: EXCURSIÓN A PIE Y EN BICICLETA.(libro Diario de Matemática Desnuda):
- ÁNGEL: Yo he pensado otro problema de velocidad y tiempo, que están proporcionados al revés. Cuando fuimos de excursión en bicicleta desde Mula al Berro, como hicimos algunas personas del Centro de Educación de Adultos «Río Mula», el 24 de abril de 1996, con motivo de una convivencia, dentro de la Semana Cultural, tardamos 1 hora sacando una media de 20 kilómetros por hora. ¿Cuánto hubiéramos tardado en caso de ir andando a 5 kilómetros por hora? ¿Sería un buen ritmo de paso?- EL MAESTRO: Por supuesto sabemos que para calcularlo no hace falta ni siquiera hacer cuentas, y en caso de que se hagan deberían estar de acuerdo con nuestros propios y elegantes razonamientos, en principio. Sin embargo podemos llegar a plantear una ecuación, que nos deje abierta una vía alternativa de solución por los caminos del Álgebra, cuando entendamos bien el baile de los números con las letras.Una pista os puedo dar en forma de pregunta. ¿En qué separecen estas dos sillas?- EL GRUPO: En que son iguales.- EL MAESTRO: ¿Y en qué se diferencian?- EL GRUPO: En que una está al derecho y la otra está al revés.- EL MAESTRO: ¿Qué habrá que hacer para que queden igual?- EL GRUPO: Darle la vuelta a la que está boca abajo y así sirven las dospara sentarse.
También se podría poner boca abajo la que está derecha pero eso pareceque tiene menos gracia.- EL MAESTRO: ¿Está claro ahora cómo hay que colocar los datos de la excursión al Berro para combinarlos en equilibrio?
Llegó el momento de plantear el problema:
20 kilómetros por hora............................................1 hora5 kilómetros por hora............................................x horas
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Solución:
EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: Las fronteras entre las distintas parcelas del saber matemático, se difuminan muchas veces en los razonamientos, como acabamos de comprobar en este ejemplo. Se podría decir que la cosa matemática vive en una especie de aldea global en la mente humana.-EL MAESTRO: Por tanto la ecuación que se plantea es esta:
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SITUACIÓN 3: SENDERISMO AL RÍO CUERVO.(libro Diario de Matemática Desnuda):
EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: Estos dos casos (la situación 1 del bosquecillo y la situación 2 de la excursión) son puros, sencillos, con una proporción al derecho o con una proporción al revés, pero a veces la realidad es más compleja, pudiendo entrar en juego más de dos parejas e incluso mezclando la proporcionalidad directa y la inversa, metiéndonos en un buen berenjenal.- EL MAESTRO: A ver, entre todos podemos inventar una situación lo más cerca posible de la realidad para analizar cómo se comportan los datos, los del derecho y los del revés, respecto de los que están en el punto de mira, compuesto por la comparación entre un dato conocido y una incógnita, para pasarlos por el equilibrio de una ecuación, con el objetivo de descubrir al desconocido, mediante la regla de tres. EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: La utilización de la regla de tres no debe restarle ninguna importancia al método del tanteo ni al de las cuentas pasadas por el uno, dicho de otra manera no debe quitarle protagonismo alguno a ninguno de los razonamientos autónomos del ser humano.- EL MAESTRO: Mediante la regla de tres o de cualquier otra forma.- PAQUI: Este verano pienso hacer senderismo. Posiblemente en dirección al Río Cuervo, en Cuenca.- ALGUNOS: Buena idea, nos apuntamos a la caminata.- ÁNGEL: Tengo unas amistades en Toledo, que practican este ejercicio físico. Si nos ponemos en contacto, podríamos tener un encuentro en Cuenca.- LOS INTERESADOS: Vale, nos parece muy buena idea.- ÁNGEL: Ellos suelen ir cada año. Me contaron que el año pasado estuvieron andando de lunes a viernes a razón de 8 horas diarias para cubrir el recorrido de Toledo al Río Cuervo, de unos 200 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardaríamos nosotros, los murcianos, en caminar los 400 kilómetros que nos separan, si andamos sólo 4 horas al día para no cansarnos mucho, siempre que llevemos el mismo ritmo de paso?
Lo primero que hicimos fue plantear la situación paralela de ambos grupos:
Toledanos 5 días 200 kilómetros 8 horas diarias.Murcianos ? días 400 kilómetros 4 horas diarias.
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Solución:
De tres maneras se llegó al mismo resultado:
Una. Por tanteo. Si los murcianos tenemos que recorrer el doble de camino, tardaremos el doble de días, siempre que moviéramos las piernas durante 8 horas cada día; pero como tenemos previsto moverlas la mitad de horas, tardaremos otra vez el doble de días, lógico. Por tanto tardaremos el doble del doble de 5 días, o sea 20 días.
Dos. Haciendo unas cuentas pasadas por el uno.1º) Descubrimos el uno sacándole el jugo a los datos de los toledanos. 5 días a 8 horas diarias, igual a 40 horas en total, en todo el camino. Repartiendo, por lógica, todo el camino entre todas las horas, 200 kilómetros entre 40 horas, igual a 5 kilómetros en una hora. Ese es su ritmo de paso, que coincide con el nuestro, por tanto hemos descubierto el punto de enlace a través del ritmo de paso que se sigue en las dos caminatas, lo que no cambia, lo que se conserva, lo constante, el jugo del camino al repartirlo entre el tiempo.2º) Aprovechando ese dato común de toledanos y murcianos, podemos hacerle unos números a la caminata de estos últimos. 5 kilómetros en 1 hora, por 4 horas al día, igual a 20 kilómetros al día, lógico. Para dejar atrás 400 kilómetros, día a día, uno detrás de otro, basta con hacer un simple reparto. 400 kilómetros entre tramos de 20 kilómetros, igual a 20 tramos, 20 días, y lo hemos conseguido.
Tres. La regla de tres o el equilibrio de dos caminatas.Datos de ambas caminatas:
Toledanos 5 días 200 kilómetros 8 horas diariasMurcianos ? días 400 kilómetros 4 horas diarias
Para equilibrar los datos de las dos caminatas:
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Notas para aclarar la relación de las distancias y las horas diarias con el punto de mira de los días:1. A más camino, más días, pareja al derecho. Está en equilibrio con el punto de mira.2. A más horas al día, menos días, pareja al revés. Para mantener el equilibrio con el punto de mira se le da la vuelta, lógicamente.
Esta es una forma intuitiva de comprender el sentido del planteamiento equilibrado de las parejas proporcionadas. La resolución de la ecuación del encuentro de toledanos y murcianos es muy fácil, siguiendo el ritmo del baile de los números con las letras.
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Problema: “EN UNA VAQUERÍA”
¡Ver Ejercicio 1!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Comunidad de Castilla La Mancha, Modelo orientativo 2010.
En una vaquería, un rebaño de 20 vacas se come, en 15 días 2400 kg de pienso. Determinar:a) Cuántos días durarán 4200 kg a 75 vacas.b) Cuántas vacas se comerán los 4200 kg de pienso en 21 días.c) Cuántos kg de pienso se comerán 43 vacas en 25 días.
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5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
¡La raíz cuadrada es la orilla de una cosa cuadrada!¡Las ecuaciones de segundo grado pasan por el cuadrado!
1. RESOLVEMOS “ECUACIONES POR EL SUELO” CON UN DIBUJO
Las siguientes figuras representan suelos de habitaciones. Intenta trocearlas buscando el cuadrado más grande posible. La orilla de ese cuadrado es la solución, es el valor de la x.
A)
x2 = 16 metros cuadrados
B)
x2 + x = 12 metros cuadrados
C)
2x2 + x + 1 = 22 metros cuadrados
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2. DESCUBRIMOS LA “FÓRMULA DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO”
Empezamos doblando una servilleta para darnos cuenta que el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual a la suma del cuadrado de a más el doble de a·b más el cuadrado de b.
4 2
4 42 4·2
2 4·2 22
(Un ejemplo con números)
Ahora despejamos la x paso a paso:Pasamos la c al segundo miembro ax2 + bx = -cCon un poco de vista multiplicamos ambos miembros por 4a y les sumamos b2, resultando 4a2x2 + 4abx + b2= -4ac + b2
Observando esta figura concluimos que
a b
a a2 ab
b ab b2
2ax b
2ax 4a2x2
2abx
b 2abx b2
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Regla mnemotécnica:“Equis es igual a menos bosque más menos raíz cuadrada de bosque cuadrado menos 4 árboles cortados partido todo de 2 árboles”.
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3. HACEMOS EL TEATRO DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
¡La incógnita x es la cosa desconocida!
Personajes: 1) el acompañante del cuadrado de la incógnita (a) 2) el cuadrado de la incógnita (x2) 3) el acompañante de la incógnita (b) 4) “la cosa” desconocida o incógnita (x) 5) el número solitario (c) 6) el signo igual, que mantiene el equilibrio (=) 7) el “cero” (0)
Puesta en escena: Entran los personajes en acción formando una fila ordenada
para darle vida a la ecuación, decidiendo unos valores concretos para “a”, “b” y “c”.
A continuación los personajes “a”, “b” y “c” colocan su valor sobre la pizarra en la expresión que nos dará la solución.
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4. RESOLVEMOS “ECUACIONES POR EL SUELO” CON LA FÓRMULA
EL ANCHO DE LA HABITACIÓN
“La estructura del suelo de una habitación responde a la fórmula 2x2 + x + 1 = 22 metros cuadrados”. Aplica la fórmula para saber la anchura de la habitación.
EL ANCHO DEL PASILLO
“Para cubrir el suelo de este pasillo de 59 metros cuadrados, lo hacemos con tres grandes cuadros de x metros de lado, otro trozo de 2 metros por x metros y 3 metros cuadrados en el extremo donde le falta un trozo al rectángulo.” ¿Cómo podremos calcular la anchura del pasillo?
¡Enhorabuena al matemático que llevas dentro!
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x
6. EL TEOREMA DE PITÁGORAS(EL PATIO DE PITÁGORAS)
1. EXPERIENCIA: “LA CUERDA DE LOS DOCE NUDOS”
Nos espera una sorpresa si la sujetamos entre tres personas por los nudos 3, 7 y 12.
2. HACEMOS TEATRO “HABITANDO LAS HABITACIONES CUADRADAS ALREDEDOR DEL PATIO DE LA CASA DE PITÁGORAS”
3. BUSCAMOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN NUESTRA AULA (En las mesas, en las losas del suelo, en los armarios…)
Por curiosidad, podemos medir los catetos (los dos lados del ángulo recto), calcular la hipotenusa (orilla del cuadrado grande) y comprobar el resultado midiendo después con el metro.
¡Eres un Pitágoras!
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PROBLEMA: “LA DIAGONAL DEL AULA”
Primero tomamos medidas del largo y el ancho del aula (o de cualquier sala rectangular).
A continuación calculamos la diagonal del aula por el teorema de Pitágoras.
Y por último verificamos nuestro cálculo midiendo la diagonal con una cinta métrica.
PROBLEMA: “ESCALERA APOYADA EN LA PARED”
Disponemos de una escalera de 2,25 metros, que debemos apoyar a 0.75 metros de la pared para darle estabilidad. ¿Dónde llega la escalera en la pared?
PROBLEMA: “PIEZA TRIANGULAR”
Tenemos una pieza de cartulina con forma de triángulo equilátero que mide 6 centímetros de lado.
Vamos a recoger los datos de sus medidas en la siguiente tabla:
lado (cm)
perímetro (cm)
altura (cm)
área (cm2)
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PROBLEMA: “SALÓN RECTANGULAR”
Este es el plano a escala de un salón rectangular que tiene una extensión de 150 m2. Y sabemos que es 5 m más largo que ancho.¿Cuáles son sus dimensiones?
Solución: 15 m de largo y 10 m de ancho
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PROBLEMA: “PARQUE CON CANALETA DE AGUA”
Queremos construir una canaleta de tejas a lo largo de la diagonal de un parque rectangular. Dicho parque mide 20 metros de largo y 15 metros de ancho. Las tejas son de 40 cm de largas. ¿Cuántas tejas necesitaremos?
Solución: 62,5 tejas
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Problema CFGS: “LAS PULGADAS DE LOS TELEVISORES”¡Ver Ejercicio1!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos Grado Superior, Junta de Andalucía, Convocatorias Anteriores a 2008.
Ejercicio 1. Los televisores vienen caracterizados por el tamaño de la diagonal de la pantalla en pulgadas y el formato que es la relación entre el ancho y el alto de pantalla (4:3 ó 16:9). En el dibujo se representa una pantalla en formato 16:9.DATO: una pulgada son 2,54 cm.
Responder a las siguientes cuestiones:a) Si compramos un televisor en formato 4:3 y de diagonal tiene 20
pulgadas, calcula las dimensiones del ancho y alto del televisor en centímetros.
b) Calcula la medida de la diagonal (en pulgadas) de un televisor en formato 16:9 si el ancho es de 708 mm.
c) ¿Qué televisor tiene más superficie de pantalla uno en formato 4:3 u otro en formato 16:9 si ambos son de 30 pulgadas?
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ancho
alto
ancho alto 16:9
diagonal en pulgadas
SOLUCIÓN:
a) Si compramos un televisor en formato 4:3 y de diagonal tiene 20 pulgadas, calcula las dimensiones del ancho y alto del televisor en centímetros.
Primero aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la relación en partes (veces) entre el ancho, el alto y la diagonal. Si aplicas el teorema descubres que este formato de televisión tiene 4 partes de ancha, 3 partes de alto y 5 partes de diagonal.
Para calcular el ancho planteamos una ecuación teniendo en cuenta la proporcionalidad. Y traducimos de pulgadas a centímetros.
Para calcular el alto planteamos una ecuación teniendo en cuenta la proporcionalidad. Y traducimos de pulgadas a centímetros.
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relación ancho alto 4:3
diagonal = 5 partes
20 pulgadas alto = 3 partesy pulgadas
ancho = 4 partesx pulgadas
b) Calcula la medida de la diagonal (en pulgadas) de un televisor en formato 16:9 si el ancho es de 708 mm.
Primero aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la relación en partes (veces) entre el ancho, el alto y la diagonal. Si aplicas el teorema descubres que este formato de televisión tiene 16 partes de ancha, 9 partes de alta y 18,36 partes de diagonal. Y traducimos los milímetros a pulgadas. Cada pulgada tiene 2,54 cm o bien 25,4 mm.
Para calcular la diagonal planteamos una ecuación teniendo en cuenta la proporcionalidad.
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ancho = 16 partes708 mm (27,87 pulgadas)
alto = 9 partesdiagonal = 18,36 partes
relación ancho alto 16:9
x pulgadas
c) ¿Qué televisor tiene más superficie de pantalla uno en formato 4:3 u otro en formato 16:9 si ambos son de 30 pulgadas?
Aquí vemos uno junto al otro los dos televisores. Ambos tienen la misma diagonal. ¿Cuál de ellos tendrá más superficie de pantalla a ojo de buen cubero?
Para corroborar nuestra observación podemos hacer los cálculos del ancho y alto de cada uno de los televisores, y así poder saber exactamente las superficies de pantalla de cada uno de ellos. Se trata de plantear las ecuaciones adecuadas teniendo en cuenta la proporcionalidad.
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relación ancho alto 4:3x pulgadas de anchoy pulgadas de alto
relación ancho alto 16:9x pulgadas de anchoy pulgadas de alto
30 pulgadas 30 pulgadas
diagonal = 18,36 partesdiagonal = 5 partes
7. LO REDONDO Y EL PI
Un poema para empezar:
Lo redondo empieza en pi,lo redondo empeza en ti,en las niñas de tus ojos,en las formas de tu caraen las curvas de tu cuerpo.
EXPERIENCIA PARA DESCUBRIR LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: “LA RUEDA DE LA BICICLETA”
Aquí tenemos ahora una rueda de bicicleta.
a) Estimamos los metros que avanza en una vuelta.
b) Comprobamos si hemos acertado midiendo el camino que avanza en una vuelta.
c) Comparamos la longitud de la circunferencia de la rueda (el alrededor) con su diámetro (el atajo) para descubrir el número de veces que la circunferencia contiene a su diámetro. ¿Qué nombre tiene este famoso número?
39
“EL CUENTO DEL CARPINTERO”
Había una vez un carpintero al que un caprichoso le encargó una mesa de camilla…
EXPERIENCIA PARA DESCUBRIR EL ÁREA DEL CÍRCULO: “PESAMOS EL PI”
Utilizamos una balanza. Colocamos un círculo de cartulina en un platillo. Y vamos colocando cuadrados del radio en el otro hasta que se equilibran. Acabamos de descubrir el área del círculo: π r2, “TRES COMA CATORCE VECES APROXIMADAMENTE LA TABLA CUADRADA DEL RADIO”.
40
NOTICIA DE ÚLTIMA HORA: UN CUBO CON AGUA DE LLUVIA
¡Por fin han llegado las lluvias este fin de semana!
El viernes por la noche, cuando empezaron a caer las primeras gotas, puse en la terraza un cubo para recoger el agua de lluvia.
Me parece una buena oportunidad para practicar matemáticas haciéndole números al agua de lluvia que ha recogido el cubo.
Mula, 29 de noviembre de 2010, Pedro Buendía Abril.
EXPERIENCIA: “MEDIR EL AGUA DEL CUBO PARA SABER CUÁNTO HA LLOVIDO POR METRO CUADRADO”
Materiales: Agua de lluvia en el cubo, metro y jarra graduada. Estrategia: Comparar la boca del cubo con el cuadrado de metro.
Para calcular la superficie de la boca del cubo, que es un círculo, podemos recordar el cuento del carpintero al que le encargaron una mesa de tablero redondo.
¡Aprovechemos la lluvia para hacer matemáticas!41
Problema: EL POZO DE LOS MINEROS(¿EN UN POZO DOBLE DE ANCHO QUE OTRO SE TENDRÁ QUE PICAR EL DOBLE?)
Ambientación musical: “Yo soy minero”.
Hoy vamos a vivir unas experiencias donde tendremos que combinar la proporcionalidad con lo redondo y el pi. HOMENAJE A DON ÁLVARO
“A D. Álvaro, que con su arte de maestro despertaba en sus alumnos el cariño hacia los números porque no enjaulaba el pensamiento”
Un día llegó a clase y nos planteó la siguiente cuestión: ¿Por dónde saldrá más agua, por un tubo ancho que tenga un cierto diámetro o por dos tubos estrechos que cada uno de ellos tenga la mitad de diámetro que el tubo ancho? Recuerdo que no nos dio la solución por mucho que insistimos. Prefirió dejarnos pensar durante un buen rato y con el pensamiento de todo el grupo ayudados por el maestro descubrimos la solución, que no es la que pensábamos al principio.
TEATRO SOBRE CÍRCULOS DELIMITADOS CON CUERDASVamos a delimitar un círculo sobre el suelo y dentro de éste vamos a
delimitar dos círculos más pequeños. Cada uno de ellos tendrá la mitad de diámetro que el grande. Ahora propongo que habitemos el círculo pequeño, como si fuéramos mineros, para ver las personas que entramos en él. Y a continuación que habitemos todo el círculo grande para ver cuántas veces contiene al pequeño.
42
CÍRCULOS RELLENOS DE ALMENDRAS
Comprueba que entran las mismas almendras en los cuatro círculos pequeños juntos que en el círculo grande.
EL POZO DE LOS MINEROS(UN PROBLEMA CON MUCHA HISTORIA)
El siguiente problema está sacado de un viejo libro de aritmética de fecha 28 de abril de 1898 (siglo XIX), que encontré en una casa de campo. Y dice así:
“Cuatro mineros, en 5 días, trabajando 6 horas cada día, han abierto un pozo de 26 metros de profundidad y 1’5 metros de diámetro. ¿Cuántos mineros se necesitarían para abrir otro pozo de triple profundidad y doble diámetro que el anterior, en la mitad del tiempo antes empleado, trabajando doble número de horas cada día y en un terreno cuya resistencia fuese el cuádruplo que la del terreno anterior? R. 192 mineros. 96
Observación: Casi siempre hay varias maneras de encontrar la solución de un problema. Propongo que primero busquemos la solución con un modelo de papel. Y después lo intentemos con una ecuación (regla de tres) poniendo los datos en equilibrio.
¡Ojo! ¡El doble no siempre se corresponde con el doble!
43
44
8. FUNCIONES Y GRÁFICAS
¡Dibujando conseguimos que las matemáticas nos entren también por los ojos!
1. COMPRANDO PATATAS EN EL MERCADO (Proporcionalidad directa)FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO
Música: “Como la cabeza al sombrero”, El último de la fila.
“Un kilo de patatas cuesta 0,5 €. Expresa gráficamente sobre los ejes cartesianos el coste de las patatas en función de los kilos comprados, estudiando el caso desde uno hasta 10 kilos.”
Anotamos datos en una tabla:
¿Qué nos dice la gráfica obtenida?
x kilos 0,5x euros
45
x
y
kilos
euros
2. EXTENDIENDO UN METRO CUADRADO (Proporcionalidad inversa)FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Música: “Un metro cuadrado”, Jarabe de palo.
“Empezamos extendiendo un metro cuadrado de tiras de cartulina sobre el suelo.
Después colocamos las tiras de tal manera que ganamos largura a cambio de perder anchura.
Y representamos los datos en una gráfica.”
Anotamos datos en una tabla:
x “lado eje x” 1/x “lado eje y”
¿Qué nos dice la gráfica obtenida?
46
x
y
3. ACELERANDO EN LA SALIDA y=x 2 FUNCIÓN CUADRÁTICA
“Los actores representan la salida de un móvil con movimiento uniformemente acelerado.
Un actor acelera por el eje de las posiciones (el camino), en función de otro actor que marca el ritmo del tiempo por el otro eje. Un tercer actor hace de cámara y va dejando una huella a su paso, que se materializa en una cuerda, al seguir a los otros dos actores.”
Anotamos datos en una tabla:
¿Qué curva nos sale en la representación gráfica posición-tiempo?
x segundos 0,5x metros
47
x
y
tiempo
posición
4. LA POTENCIA DE UN SACO DE TRIGO FUNCIÓN EXPONENCIAL
Lectura:“La potencia de un saco de trigo o “cómo entender intuitivamente
que cualquier número elevado a cero es uno”. Imaginemos un agricultor que tiene un saco de trigo cuyo rendimiento es de 3 sacos. Si lo siembra cuando haya pasado 1 año recoge 3 sacos (3^1 año = 3 sacos), si vuelve a sembrar cada uno de esos 3 sacos consigue 9 sacos al cabo del segundo año (3^2 años = 9 sacos), y así sucesivamente en el tiempo adelante. ¿Y ahora mismo, en el “año cero”, ahora que todavía no ha sembrado el saco porque no ha pasado el tiempo, cuántos sacos tiene? Evidentemente la intuición nos dice que tiene el saco (3^0 años = 1 saco). Y para verlo más claro en el transcurso del tiempo, nos podemos preguntar cuánto trigo sembraría el año anterior, y llegamos a la conclusión fácil de saber que tuvo que sembrar la tercera parte del saco (3^-1 año = 1/3 sacos). Y dos años atrás en el tiempo se ve muy claro que tuvo que sembrar la tercera parte de la tercera parte del saco (3^-2 años = 1/9 sacos) Y así sucesivamente en el tiempo atrás. El modelo del saco sirve para ver claro eso de que cualquier número elevado a cero es uno.”
Anotamos datos en una tabla:
x años 3x sacos
¿Qué nos dice esta gráfica?
48
x
y
5. Problema CFGS: “FUNCIÓN DISPOSITIVOS PARA AVIONES”
¡Ver problema 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Comunidad Autónoma de la Región de Murcia, Convocatoria 2008.
“Una empresa dedicada al montaje de dispositivos para aviones ha calculado que la media de dispositivos que prepara cada trabajador viene dada por la siguiente función
f(x)= 60x/(x+5)siendo x el tiempo en días que el trabajador ha acudido al centro de trabajo.a) ¿Cuántos dispositivos prepara un trabajador el primer día?b) Cuántos prepara el quinto día?c) ¿Y el trigésimo día?d) ¿Al cabo de cuántos días prepara 50 dispositivos?e) Discute qué ocurre cuando el número de días es muy grandey explica
su significado.
FUNCIÓN RACIONAL
Primero recogemos datos en una tabla:
x días 1 2 3 4 5 … 29 30 … 50 … 100 … 100060x/(x+5) dispositivos
¿Cómo podemos interpretar esta gráfica?
49
x
y
días
disp
ositi
vos
50
8. bis. SOLUCIONARIO (GRÁFICAS DE FUNCIONES)
1. COMPRANDO PATATAS EN EL MERCADO (GeoGebra)
2. EXTE
NDIENDO UN METRO CUADRADO (GeoGebra)
51
y=0,5x
y=1/x
3. ACELERANDO EN LA SALIDA (GeoGebra)
4. LA POTENCIA DE UN SACO DE TRIGO (GeoGebra)
52
y=x2
y=3x
5. PROBLEMA Nº 3 CONVOCATORIA 2008 CFGS (HOJA DE CÁLCULO EXCEL)
y=60x/(x+5)
0
10
20
30
40
50
60
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
53
54
9. VIVIENDO SITUACIONES DE PROBABILIDAD (I)
Experiencia: “LANZANDO UN DADO”
Azar viene de flor de azahar, que se dibujaba en el lado de un dado, ese lado es el que daba suerte.
¿Cuál será la probabilidad de que salga un 3?, ¿y que salga un número par?, ¿y que salga un número menor que 2 y que sea par?, ¿y que salga un número del 1 al 6?
La probabilidad de salir el número 3 es 1/6, la probabilidad de salir un número par (2 o 4 o 6) es 3/6=1/2, la probabilidad de que salga un número menor que 2 y que a la vez sea par es 0/6 (suceso imposible), y la probabilidad de salir de salir del 1 al 6 es 6/6=1 (suceso seguro).
La probabilidad de que ocurra un suceso en un experimento aleatorio se expresa siempre con un número que habita en el pequeño territorio que hay entre el 0 y el 1.
Para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso A se reparte el número de casos favorables (la parte) entre el número de casos posibles (el todo).
55
Experiencia: “SUMANDO LOS PUNTOS DE DOS DADOS”
Aquí tenemos dos dados. Si los lanzamos y sumamos los puntos de ambos seguro que suman un mínimo de 2 puntos y un máximo de 12 puntos.
a) Estudia todos los resultados posibles de la suma.Es muy importante imaginar el lanzamiento de los dados y practicar
técnicas personales de recuento. Para estudiar los resultados conviene organizar todas las posibilidades
de la suma de los puntos de ambos dados en una tabla. Hay un total de 6 por 6 igual a 36 casos (sumas) posibles.
1 y 1 ( ) 2 y 1 ( ) 3 y 1 ( ) 4 y 1 ( ) 5 y 1 ( ) 6 y 1 ( )1 y 2 ( ) 2 y 2 ( ) 3 y 2 ( ) 4 y 2 ( ) 5 y 2 ( ) 6 y 2 ( )1 y 3 ( ) 2 y 3 ( ) 3 y 3 ( ) 4 y 3 ( ) 5 y 3 ( ) 6 y 3 ( )1 y 4 ( ) 2 y 4 ( ) 3 y 4 ( ) 4 y 4 ( ) 5 y 4 ( ) 6 y 4 ( )1 y 5 ( ) 2 y 5 ( ) 3 y 5 ( ) 4 y 5 ( ) 5 y 5 ( ) 6 y 5 ( )1 y 6 ( ) 2 y 6 ( ) 3 y 6 ( ) 4 y 6 ( ) 5 y 6 ( ) 6 y 6 ( )
b) ¿Tendrán todas las sumas la misma probabilidad de salir? Haz un estudio de la probabilidad de cada una de las sumas.
Para saber la probabilidad de cada una de las sumas, anotamos las veces que sale cada resultado. La probabilidad se calcula comparando (repartiendo) el número de casos favorables entre el número de casos posibles.
suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12casos (veces)probabilidad
c) Realiza una representación gráfica anotando los resultados de la suma (de 2 a 12) en el eje X (horizontal), y la probabilidad de cada una de las sumas (de 0 a 1) en el eje Y (vertical).
56
Problema: “DIFERENCIA EN EL LANZAMIENTO DE DADOS”¡Ver Ejercicio 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Junta de Andalucía, Convocatorias años anteriores.
Carmen y Daniel han inventado un juego con las siguientes reglas:- Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de
puntuación entre ambos resultados.- Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2, Carmen gana.- Si resulta una diferencia de 3, 4 o 5, gana Daniel.a) ¿En qué casos gana Carmen? ¿Qué probabilidad tiene Carmen de
ganar?b) ¿En qué casos gana Daniel? ¿Qué probabilidad tiene Daniel de
ganar?
Para estudiar los resultados conviene organizar todas las posibilidades de la diferencia de puntos de ambos dados en una tabla. Hay un total de 6 por 6 igual a 36 casos (diferencias) posibles.
1 y 1 ( ) 2 y 1 ( ) 3 y 1 ( ) 4 y 1 ( ) 5 y 1 ( ) 6 y 1 ( )1 y 2 ( ) 2 y 2 ( ) 3 y 2 ( ) 4 y 2 ( ) 5 y 2 ( ) 6 y 2 ( )1 y 3 ( ) 2 y 3 ( ) 3 y 3 ( ) 4 y 3 ( ) 5 y 3 ( ) 6 y 3 ( )1 y 4 ( ) 2 y 4 ( ) 3 y 4 ( ) 4 y 4 ( ) 5 y 4 ( ) 6 y 4 ( )1 y 5 ( ) 2 y 5 ( ) 3 y 5 ( ) 4 y 5 ( ) 5 y 5 ( ) 6 y 5 ( )1 y 6 ( ) 2 y 6 ( ) 3 y 6 ( ) 4 y 6 ( ) 1 y 6 ( ) 6 y 6 ( )
Para saber la probabilidad de cada una de las diferencias, anotamos las veces que sale cada resultado. La probabilidad se calcula comparando (repartiendo) el número de casos favorables entre el número de casos posibles.
Carmen Danieldiferencia 0 1 2 3 4 5casos (veces)
probabilidad p(Carmen)= p(Daniel)=
Realiza una representación gráfica anotando los resultados de la diferencia (de 0 a 5) en el eje X (horizontal), y la probabilidad de cada una de las diferencias (de 0 a 1) en el eje Y (vertical).
57
58
59
10. VIVIENDO SITUACIONES DE PROBABILIDAD (II)
Experiencia: “SACANDO CARAMELOS DE UN BOTE”
Se propone vivir una dulce experiencia de azar con caramelos de naranja y limón. Una de las personas de nuestro grupo (CARMELO) mete en un bote 6 caramelos de naranja y 2 caramelos de limón. Y otra persona (CARMELA) mete 1 caramelo de naranja y 1 caramelo de limón.
a) ¿Cuál será la probabilidad de coger un caramelo de naranja al azar?
b) Si el caramelo es de limón, ¿cuál será la probabilidad de que haya sido introducido en el bote por el Carmelo?
Sugerencia: Organizar los datos en forma de diagrama de árbol.
¡La representación gráfica ayuda a ver más claras las matemáticas!
0,80
0,20
CARMELO
CARMELA
0,25
0,75
0,50
0,50
1
Naranja
Limón
Naranja
Limón
60
Situación : “CARAMELOS EN LA CONFITERÍA”
Una confitería ha recibido el 60 % de los caramelos del proveedor A y el resto del proveedor B. El proveedor A le ha servido el 20 % de caramelos de menta y el 80 % de fresa. El proveedor B le ha servido la mitad de caramelos de menta y la otra mitad de fresa.
a) ¿Cuál será la probabilidad de coger un caramelo de menta al azar?b) Si el caramelo es de fresa, ¿cuál será la probabilidad de que haya
sido suministrado por el proveedor A?
Sugerencia: Organizar los datos en forma de diagrama de árbol.
A
B
1
Menta
Fresa
Menta
Fresa
61
Problema: “TORNILLOS DEFECTUOSOS”
¡Ver problema 2!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2008.
De los tornillos que se producen en una fábrica, el 60 % son producidos por la máquina A, y el resto, por una máquina B. E 12 % de los tornillos producidos por A son defectuosos y el 8 % de los producidos por B son defectuosos.
a) Elegido al azar un tornillo producido por esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
b) Se elige al azar un tornillo y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A?
62
63
11. VIVIENDO SITUACIONES DE PROBABILIDAD (III)
Experiencia: “SACANDO BOLAS DE UN BOTE”
En este bote tenemos 4 bolas amarillas (A), 2 bolas rojas (R) y 2 bolas verdes (V).
a) Si sacamos una bola al azar, haz un estudio de probabilidades anotándolas en la siguiente tabla:
SACANDO UNA BOLA probabilidad (p)(de 0 a 1)
p(Amarilla) p(A)=
p(Roja) p(R)=
p(Verde) p(V)=
p(Amarilla o Roja) p(A o R)=
p(Amarilla o Verde) p(A o V)=
p(Roja o Verde) p(R o V)=
p(Amarilla o Roja o Verde) p(A o R o V)=
64
Para hacer el estudio “sacando dos bolas”, como se plantea en los apartados b) y c), lo mejor es hacer un esquema en árbol, para calcular fácilmente la probabilidad de cada suceso siguiendo las ramas del árbol:
b) Si sacamos dos bolas al azar, con reemplazamiento, haz un estudio de probabilidades anotándolas en la siguiente tabla:
SACANDO DOS BOLAS CON REEMPLAZAMIENTO
probabilidad (p)(de 0 a 1)
p(las dos Amarillas) p(A)p(A/A)=
p(las dos Rojas) p(R)p(R/R)=
p(1ªAmarilla y 2ªRoja) p(A)p(R/A)=
p (una Amarilla y otra Roja) p(1ªA)p(R/A)+p(1ªR)p(A/R)=
c) Si sacamos dos bolas al azar, sin reemplazamiento, haz un estudio de probabilidades anotándolas en la siguiente tabla:
65
Roja
Verde
Amarilla
Amarilla
Roja
Verde
Amarilla
Roja
Verde
Amarilla
Roja
Verde
1ª bola 2ª bola
SACANDO DOS BOLAS SIN REEMPLAZAMIENTO
probabilidad (p)(de 0 a 1)
p(las dos Amarillas) p(A)p(A/A)=
p(las dos Rojas) p(R)p(R/R)=
p(1ªAmarilla y 2ªRoja) p(A)p(R/A)=
p (una Amarilla y otra Roja) p(1ªA)p(R/A)+p(1ªR)p(A/R)=
¡La probabilidad habita en el pequeño territorio de los números que hay entre el cero y el uno!
66
Problema: “URNA CON BOLAS ROJAS, NEGRAS Y AZULES”
¡Ver problema 4!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2009.
Una urna contiene 10 bolas rojas, 15 bolas negras y 15 bolas azules.
Si sacamos una bola al azar halle la probabilidad:
a) de que esta bola sea roja.b) de que esta bola sea negra o azul.
Si sacamos dos bolas al azar, halle la probabilidad:
c) de que las 2 bolas sean negras suponiendo que cada vez que sacamos una bola la volvemos a meter en la urna.
d) de que una bola sea negra y la otra roja suponiendo que cada vez que sacamos una bola la volvemos a meter en la urna.
e) de que una bola sea negra y la otra roja suponiendo que cada vez que sacamos una bola no la volvemos a meter en la urna.
67
12. VIVIENDO SITUACIONES DE ESTADÍSTICA
Experiencia:“EL NÚMERO DE HERMANOS EN NUESTRO GRUPO”
Anotamos los datos en una tabla para organizarnos:
xi
(valor de la variable)
fi
(frecuencia absoluta)fri
(frecuencia relativa)%
012345
N= 1 100
Representamos los datos de las frecuencias absolutas en un diagrama de barras para verlo más claro:
frecuencia
Nº de hermanos
Calculamos las medidas de centralización (media, mediana y moda) 68
y las medidas de dispersión (recorrido, varianza, desviación típica y coeficiente de variación) para tener información condensada en números:
Media ( ) =
Mediana (Me) es el valor que está en el centro, ordenando los datos de menor a mayor.
Moda (Mo) es el valor que se repite más veces.
Recorrido, rango o amplitud es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Varianza =
Desviación típica: σ (sigma) =
Coeficiente de variación:
xi fi fixi fixi2
012345
N=
69
Para entender mejor la información que nos dan las medidas de dispersión, manteniendo el mismo número total de hermanos para que no varíe la media, podemos jugar a variar la distribución de frecuencias de una manera más caprichosa, más forzada, más rara…. Por ejemplo que algunos miembros del grupo no tengan ningún hermano mientras que los otros miembros tengan muchos hermanos cada uno; o que haya una distribución muy equilibrada en el número de hermanos del grupo. Se trata de observar el comportamiento de la varianza y la desviación típica en función de las variaciones caprichosas que introducimos para sacar conclusiones.
Media ( ) =
Mediana (Me) es el valor que está en el centro, ordenando los datos de menor a mayor.
Moda (Mo) es el valor que se repite más veces.
Recorrido, rango o amplitud es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Varianza =
Desviación típica: σ(sigma) =
Coeficiente de variación:
xi fi fixi fixi2
012345
N=
70
Problema: “LAS ESTATURAS EN UN GRUPO DE 20 PERSONAS DE ACCESO A C.F.G.S.”
Estas son las estaturas de 20 estudiantes, expresados en centímetros:
Calcula la media, la moda (intervalo modal), la varianza y la desviación típica.
SOLUCIÓN:
Para facilitar el recuento podemos ordenar los datos (en la fila de arriba están las unidades y en la columna de la izquierda las decenas y las centenas):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 915 x x x16 xx x x xx xx xx17 x xx x x18 x x
Agrupamos los valores en intervalos de 5 centímetros.
Calculamos las medidas de centralización (media e intervalo modal) y las medidas de dispersión (varianza y desviación típica):
170 178 163 168 165 166 162 173 152 153 173 180 166 165 157 168184 164 175 162
Intervalos xi (marcas de clase)
fi fixi fixi2
[150-155[ 152,5 2 2*152,5=305 46512,5[155-160[ 157,5 1 1*157,5=157,5 24649[160-165[ 162,5 4 4*162,5=650 105625[165-170[ 167,5 6 6*167,5=1005 168337,5[170-175[ 172,5 3 3*172,5=517,5 89268,75[175-180[ 177,5 2 2*177,5=355 63012,5[180-185[ 182,5 2 2*182,5=365 66612,5
TOTAL: N=20 3355 564018
71
Media ( ) = =3355/20 = 167,75 cm
Moda (Mo) es el valor que se repite más veces.Es el intervalo modal [165-170[
Varianza = = 564018/20 – 167,752 =
60.83
Desviación típica: σ(sigma) = = 7,8 cm
72
Problema: “EL TUTOR ANOTA EL NÚMERO DE HERMANOS/AS DE CADA UNO DE SUS ALUMNOS/AS”
¡Ver problema 4!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Junta de Andalucía, Convocatoria Junio 2009.
En una clase el tutor ha anotado el número de hermanos/as que tiene cada uno de sus alumnos/as, obteniendo el siguiente listado:
A. Construye la tabla de frecuencias.
B. Representa estos datos mediante un diagrama de barras.
C. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética.
D. Halla la desviación típica.
1 0 2 1 42 2 3 1 31 3 0 2 32 3 1 2 22 1 2 1 3
73
13. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se llama así porque en algunos experimentos aleatorios sólo se pueden dar dos resultados posibles (binomial): saber un tema o no saberlo, ser de un equipo o no, pertenecer a una asociación o no, tener un título o no, ganar un partido o perderlo, verdadero o falso, ser de una nacionalidad o no, vivir en una localidad o no, padecer una enfermedad o no, meter un gol o no, llegar puntual al trabajo o no, trabajar en una empresa o no, tener bicicleta o no, haber visto una película en el cine o no, llegar a tiempo a tomar el tren o no… ¡tener éxito o fracaso!
La manera de expresar una distribución binomial es B(n, p), donde “n” es el número de pruebas del experimento y “p” es la probabilidad de éxito en cada prueba. La probabilidad de conseguir “r” éxitos en “n” pruebas es:
A continuación vamos a hacer unas experiencias para aprender a utilizar la herramienta de la distribución binomial. Las dos primeras experiencias son para familiarizarnos con el cálculo de números combinatorios. Y la tercera experiencia es para sentir la emoción de la distribución binomial en nuestro grupo en relación con la probabilidad de vivir en Mula.
EXPERIENCIA 1: “SALUDOS MATEMÁTICOS” Cuando nos encontramos un grupo de amigos es normal
que nos saludemos dándonos la mano por parejas. Pero, ¿nos hemos preguntado alguna vez cuántos saludos se hacen en total en un grupo de n personas?, o lo que es lo mismo, ¿cuántas combinaciones de parejas se pueden formar?
Se propone que nos saludemos todo el grupo, colocados en fila y dándonos la mano por parejas de forma ordenada, analizando el número de combinaciones posibles. ¡Es muy divertido! Y anotamos las
parejas que se han formado. =
EXPERIENCIA 2: “FORMAMOS EQUIPOS DE TRABAJO”Se propone que probemos a formar grupos de 3
personas de entre un total de 5 personas, anotando todas las combinaciones posibles.
74
EXPERIENCIA 3: “ÉXITO O FRACASO DE VIVIR EN MULA” Primero se pide a cada uno de los miembros del grupo que deposite
en un bote un papel donde escriba si vive o no en Mula. Con estos datos ya podemos saber la probabilidad (“p”) de que al elegir una persona viva en Mula.
A continuación elegimos 5 personas del grupo para estudiar las probabilidades de éxito (vive en Mula) o fracaso (no vive en Mula), anotándolas en esta tabla:
PROBABILIDAD pQue ninguna viva en Mula
p(X=0)=
Que una viva en Mula
p(X=1)=
Que dos vivan en Mula
p(X=2)=
Que tres vivan en Mula
p(X=3)= p3·(1-p)2
Que cuatro vivan en Mula
p(X=4)=
Que las cinco vivan en Mula
p(X=5)=
Que al menos cuatro vivan en Mula
p(X=4) + p(X=5)=
Con el ejemplo de “la probabilidad de que tres personas de las cinco elegidas vivan en Mula”, podemos hacer una especie de radiografía, para ver las 10 combinaciones de las cinco personas elegidas de tres en tres: MMM--, MM-M-, MM--M, M-MM-, M-M-M, M--MM, -MMM-, -MM-M, -M-MM, --MMM. Dentro de cada una de esas combinaciones la probabilidad de éxito es tres (MMM) y la de fracaso es dos (--).La probabilidad total es: 10 veces·p(vive en Mula)3·p(no vive en Mula)2
¡Controlamos el azar con los números combinatorios!(Recuerda las combinaciones del saludo matemático)
75
Problema: “SUERTE AL ELEGIR DOS TEMAS AL AZAR SI HEMOS ESTUDIADO 20 TEMAS SOBRE 80 TEMAS”
¡Ver problema 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2007.
En unas oposiciones con 80 temas se eligen dos al azar. Si un opositor ha preparado solamente 20, se pide:
a) La probabilidad de saber al menos un tema de los dos elegidos.b) La probabilidad de saber los dos temas elegidos.c) El incremento de probabilidad que se produce al pasar de estudiar 20
a estudiar 25 temas (de que al menos un tema haya sido elegido).
76
Problema: “ESTUDIO DE PROBABILIDAD DE AUSENCIA EN EL TRABAJO EN UN DÍA DETERMINADO”
¡Ver problema 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2006.
En una empresa de 20 trabajadores se ha comprobado que cada uno de ellos falta al trabajo el 4% de los días. Calcula la probabilidad de que en un día determinado:
a) No se registre ninguna ausencia.b) Falten al trabajo menos de tres trabajadores.c) Falte un único empleado.
77
Problema: “EFECTOS SECUNDARIOS DE UN MEDICAMENTO”
¡Ver problema 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2005.
Un laboratorio afirma que un medicamento causa efectos secundarios en una proporción de 4 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que administra este medicamento.
Determine.a) Probabilidad de que ningún paciente tenga efectos secundarios.b) Probabilidad de que al menos dos tengan efectos secundarios.c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio
que sufran efectos secundarios si elige 350 pacientes al azar?
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14. DISTRIBUCIÓN NORMAL EN SITUACIONES DE LA VIDA COTIDIANA
Muchas variables aleatorias que encontramos en la vida cotidiana, como el peso y la estatura en una determinada población de personas, se pueden representar en una gráfica que se parece a una campana, la famosa campana de Gauss.
Área bajo la curva normal N (0,1)
k0
p(Z≤k)
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SITUACIÓN: LA ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES DE CFGS
Supongamos que la estatura de los alumnos que estudian este curso CFGS en la Región de Murcia se adapta a una “distribución normal” con una media de 165 cm y una desviación típica de 10 cm y que hay 400 alumnos.
a) ¿Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura inferior a 160 cm?¿Cuántos serán?
b) ¿Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura superior a 180 cm?¿Cuántos serán?
c) ¿Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura entre 160 y 180 cm?¿Cuántos serán?
Estrategia:Cambiamos la variable X de la distribución normal que estamos estudiando
N(μ, σ) por la variable Z que se adapta a la distribución normal estándar N(0,1). Los valores de Z se encuentran en una TABLA.
Solución: a) Vamos a calcular la probabilidad y el porcentaje de los alumnos más bajos:
Consultando en la tabla vemos que el 0,5 se corresponde con una probabilidad de 0,6915. Aplicando la lógica a la tabla y teniendo en cuenta la simetría de dicha tabla podemos deducir que la probabilidad de estudiantes con estatura menor que 165 cm es 1-0,6915 = 0,3085, es decir un 30,85 %. Son 400*0,3085 = 123 estudiantes.
b) Para calcular la probabilidad y el porcentaje de los más altos de 180 cm:
Consultamos la tabla y encontramos que el valor 1,5 se corresponde con 0,9332, lo que quiere decir que la probabilidad que buscamos es 1-0,9232 = 0,0768, o se un 7,68%. Son 400*0,0768 = 31 estudiantes.
c) La probabilidad de encontrar estudiantes entre 160 cm y 180 cm es 1- (0,3085 + 0,0768) = 1 – 0,3853 = 0,6147, es decir 61,47%. Son 400*0,6147 = 246 estudiantes.
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15. TRIGONOMETRÍA: EL SENO, EL COSENO Y LA TANGENTE
OBSERVACIÓN: HERMANAMIENTO ENTRE EL ÁNGULO, EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EL CÍRCULO DE RADIO UNIDAD
¿Has oído hablar alguna vez de seno, coseno y tangente de un ángulo rectángulo?,
¿sabes lo que significan?, ¿tienes alguna idea de para qué sirven?... Para entender mejor su significado podemos pensar que a cada ángulo de un determinado número de grados (o de radianes) le podemos asociar también el valor de su seno, el valor su coseno y el valor de su tangente. Estos tres valores son exclusivos de dicho ángulo, son como su DNI.
El seno de un ángulo se calcula repartiendo el lado opuesto (“lo parado”) entre la hipotenusa (“lo inclinado”) para ver las veces que la contiene, que se ve claramente que es como mucho una vez en el ángulo de 90 grados. En el dibujo es la línea vertical que está en el interior o seno del círculo, por eso se llama seno.
El coseno de un ángulo es el número de veces que el cateto contiguo (“lo acostado”) contiene a la hipotenusa (“lo inclinado), que como mucho puede ser una vez en el ángulo de 0 grados. En el dibujo también vemos como habita en el interior del círculo, es el com-pañero del seno, es el coseno.
La tangente de un ángulo es el número de veces que el cateto opuesto (“lo parado”) contiene al cateto contiguo (“lo acostado”). Comparando el triángulo pequeño con el grande ya que son semejantes, vemos su valor en la tocante al círculo, por eso se llama tangente (tocante en un punto). La tangente está libre, vive fuera del círculo y se puede permitir el lujo de crecer y crecer hasta el infinito cuando el ángulo crece hasta 90 grados.
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seno
tangente
coseno
Gracias a los valores del seno, coseno y tangente, que identifican a cada ángulo se pueden resolver gran cantidad de problemas con una facilidad asombrosa. Según las situaciones que se presenten será más conveniente utilizar alguna de estas tres expresiones:
seno α =
coseno α =
tangente α =
Si sabemos el ángulo, con la calculadora científica podemos calcular el seno, el coseno y la tangente. Veamos un ejemplo:
sin 30º = 0,5cos 30º = 0,866tan 30º = 0,577
Si sabemos los valores del seno, el coseno y la tangente, con la calculadora científica podemos calcular el valor del ángulo. Veamos un ejemplo:
sin-1 0,5 = 30ºcos-1 0,866 = 30ºtan-1 = 30º
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cateto opuesto(lo parado)
cateto contiguo(lo acostado)
hipotenusa(lo inclinado)
α
PRÁCTICA: “TOCANDO EL SENO, EL COSENO Y LA TANGENTE”
Materiales: tira de cartulina de 25 cm, regla, transportador y calculadora científica.
Apoya con la inclinación que quieras la tira de cartulina sobre la pared, delimitando un triángulo rectángulo. Calcula el seno, el coseno y la tangente midiendo los catetos y la hipotenusa. Después mide el ángulo de inclinación sobre la horizontal con un transportador para calcular el seno, el coseno y la tangente con la calculadora. Compara tus cálculos con los de la calculadora. Y también puedes hacerlo al revés, introducir en la calculadora los valores del seno, el coseno y la tangente para comprobar si te da el ángulo.
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Problema: “LA ESCALERA QUE FORMA UN ÁNGULO DE 50º CON LA HORIZONTAL(EL SUELO)”
¡Ver problema 2!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2009.
Una escalera de 35 metros está apoyada sobre una pared formando con la horizontal (suelo) un ángulo de 50º:
a) ¿A qué distancia de la pared está colocada la escalera?b) ¿A qué distancia del suelo se encuentra el extremo superior de esta
escalera?c) ¿Qué ángulo debe formar la escalera y el suelo para que el extremo
superior de esta escalera se encuentre a una altura de 25 m.?
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16. LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA
Gracias a la Trigonometría podemos encontrar soluciones fáciles ante situaciones de la vida cotidiana como las siguientes:
SITUACIÓN 1: MIDIENDO LA ALTURA DE UN ÁRBOL (o de un edificio).
Herramienta matemática:La tangente de un ángulo (“lo parado” entre “lo acostado”):
Propuesta:Calcular la altura de la palmera más alta de las tres que hay en la
Plaza de los Soportales (Mula).
Estrategia: Primero necesitamos tomar unos datos.
Miramos a la copa del árbol con el clinómetro (inclinómetro) para saber el ángulo de elevación. Por otra parte medimos la distancia desde nuestros pies al pie del árbol en horizontal. Para calcular la altura del árbol sólo queda introducir los datos en la ecuación de la tangente. Y añadir después la altura de nuestros pies a nuestros ojos.
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SITUACIÓN 2: MIDIENDO LA ALTURA DE UNA MONTAÑA.
Herramienta matemática:La tangente de un ángulo (“lo parado” entre “lo acostado”):
Propuesta: Calcula la altura de la montaña del castillo de Mula visto desde la
Plaza de los Soportales.
Estrategia:Tomamos el ángulo del punto más alto, nos acercamos una cierta
distancia y volvemos a medir el ángulo. Es la manera de tener dos informaciones (dos ecuaciones) con dos incógnitas, para saber la altura. Este es un esquema a modo de ejemplo.
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x
y
50º40º
20 m
SITUACIÓN 3: RECONSTRUYENDO UNA PIEZA TRIANGULAR.
Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar la herramienta matemática del “teorema del seno”.
Teorema del seno:
Propuesta:Aquí tenemos una pieza de cartulina a la que se le ha roto una de las
tres esquinas. Disponemos de una regla para medir el lado completo que le ha quedado, y un transportador de ángulos para medir los dos ángulos de las esquinas que no se han roto. ¿Podremos conocer lo que miden el ángulo desaparecido y los dos lados rotos?
Estrategia:Plantear las ecuaciones que más convengan extraídas del teorema del
seno para calcular cada uno de los dos lados desconocidos.
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C ab
A B
c
SITUACIÓN 4: CALCULANDO LA DISTANCIA ENTRE DOS OBJETOS MÓVILES QUE CAMINAN POR DOS LÍNEAS RECTAS QUE FORMAN UN CIERTO ÁNGULO.
Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar la herramienta matemática del “teorema del coseno”.
Teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 -2b·c·cos α
Propuesta: Vive la experiencia de los caminantes: Dos personas que parten de
un mismo punto caminan a velocidades diferentes, una a 1 m/s y la otra a 2 m/s, por dos líneas que forman un ángulo de 40º. ¿A qué distancia estarán al cabo de tres segundos?
Estrategia:Traza los caminos con cuerdas, utilizando metro para medir las
distancias, transportador de ángulos para marcar la abertura de las dos cuerdas y “cronómetro de palmadas (una palmada = un segundo)” para el paso del tiempo.
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ab
c
α
Problema: “EL CONTROLADOR AÉREO”
¡Ver problema 2!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria Junio 2006.
Un controlador aéreo observa en la pantalla a dos aviones A y B que distan respectivamente 6 y 10 km del aeropuerto.Si desde la torre de control se puede observar estos aviones con un ángulo de 42º. ¿Qué distancia hay entre los dos aviones?
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17. LA HERRAMIENTA MATEMÁTICA DE LA DERIVADA EN LAS SITUACIONES DE CAMBIO Y LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
El “espíritu diferencial” se adueñó del siglo XVII. Inoculando en el saber una sensibilidad microscópica,
fue la época en que en diversos campos se trató de “ver desde más cerca”. Los “infinitamente pequeños”,
¿qué eran esos nuevos entes?...se les hizo actuar. ¡Y produjeron resultados milagrosos!
(DENIS GUEDJEl teorema del loro
Novela para aprender matemáticas)
Hay muchas situaciones de la vida real, situaciones de cambio, donde una variable depende de otra, donde nos viene como anillo al dedo el utilizar la herramienta matemática de las funciones y sus representaciones en gráficas para verlo más claro.
La expresión general y = f(x), nos dice que la variable dependiente “y” está en función o depende de la variable independiente “x”. Podemos pensar en la posición de un móvil según el paso del tiempo: y = 5+12t-3t2, o la ganancia de una empresa conforme pasan los años: G(t) = -t2+8t+16.
Las gráficas nos dicen cosas, nos hablan… Observando la gráfica del título vemos que empieza creciendo hasta llegar a un máximo y justo después empieza a decrecer hasta llegar a un mínimo y a continuación vuelve a crecer. ¡Es muy sencillo!
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máximo
mínimo
Aquí vemos tres tangentes
Ahora nos vamos a fijar en la inclinación que toma una varita apoyada en cada uno de los puntos de la gráfica. Dicha inclinación nos habla del ritmo de crecimiento. Sabemos que una división sirve para repartir una cantidad de una cosa entre una cantidad de otra cosa para descubrir lo que le toca al uno. Ejemplo 40 kg de fruta entre dos cajas para descubrir que le tocan 20 kg a una caja. Pues bien, si dividimos en cada uno de los puntos de la gráfica el pequeño crecimiento de la variable “y” (lo parado) entre el pequeño crecimiento de la variable “x” (lo acostado) tendremos el ritmo de crecimiento de una cosa respecto a otra. Intuitivamente vemos que en la gráfica anterior, conforme nos vamos acercando al máximo, el ritmo de crecimiento es cada vez menor hasta que deja de crecer justo en el máximo. Observamos que justo cuando la gráfica pasa por el máximo la división (derivada) se hace cero (la varita está acostada en horizontal). La varita también se acuesta en el mínimo. A ese ritmo de crecimiento le llamamos derivada. (En el diccionario encontramos: Deriva f. Mar. Desvío de una nave de su rumbo por efecto del viento.) Podemos materializar la derivada apoyando una varita (el bolígrafo nos puede servir) que toque (tocante o tangente) en cada punto a la gráfica.
Saber calcular los máximos y los mínimos de las funciones es muy útil porque está relacionado con problemas de optimización. Algunos ejemplos ilustran sus aplicaciones:
Saber el máximo de superficie rectangular que podemos delimitar con una cierta cantidad de metros lineales de valla.
El consumo mínimo de carburante de un automóvil en función de su velocidad.
Las medidas de un envase para que el coste de material sea mínimo.
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SITUACIÓN: “UN COCHE FRENA HASTA DETENERSE”
Un coche que circula a 12 m/s empieza a frenar 5 metros después de cruzar la meta según la siguiente función: y = 5+12t-3t2. ¿Cuánto tarda en frenar?
Intuitivamente vemos en la gráfica posición-tiempo que conforme pasa el tiempo, que empieza a contar cuando ha pasado 5 metros desde la meta, cada vez el ritmo de crecimiento de la posición de alejamiento respecto al tiempo es menor hasta que se anula en el máximo de la gráfica. Justo en ese máximo la derivada (imagina el bolígrafo acostado) se hace cero.
La derivada de la función y = 5+12t-3t2 1es y’= 0+12 - 2·3tIgualando la derivada a cero encontramos el tiempo que tarda en frenar.0+12-2·3t = 0; -2·3t = -12; -6t = -12; t = -12/-6; t = 2 segundos
1 Para hacer la derivada se divide un pequeñísimo incremento de la posición (∆y) entre un pequeñísimo incremento de tiempo (∆t):
Observa que la derivada de la constante 5 es cero, que la derivada de 12t es su acompañante 12, y que la derivada del término cuadrado es el exponente 2 multiplicado por el coeficiente 3 y multiplicado por la variable t, que ha perdido un grado pasando de t2 a t.
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(Gráfica realizada con GeoGebra)
Problema CFGS: “LAS GANANCIAS ANUALES DE UNA COMPAÑÍA”
¡Ver problema 3!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Región de Murcia, Convocatoria 2009.
Las ganancias anuales de una compañía vienen dadas por la expresión: G(t) = -t2 +8t +16 millones de euros, siendo t el tiempo transcurrido desde el año 2000.a) ¿Cuántos millones ganó la empresa el año 2000?b) ¿En qué años ganará la empresa 31 millones de euros?c) Representa la función G(t).
d) ¿En qué año tuvo la empresa una ganancia máxima?e) ¿Qué le ocurrirá a la empresa el año 2010?
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(Gráfica realizada con GeoGebra)
18. LOGARITMOS O “NÚMEROS ARTIFICIALES”
LECTURA: “La potencia de un saco de trigo o cómo entender intuitivamente que cualquier número elevado a cero es uno”:
Imaginemos un agricultor que tiene un saco de trigo cuyo
rendimiento es de 3 sacos. Si lo siembra cuando haya pasado 1 año recoge 3 sacos (3^1 año = 3 sacos), si vuelve a sembrar cada uno de esos 3 sacos consigue 9 sacos al cabo del segundo año (3^2 años = 9 sacos), y así sucesivamente en el tiempo adelante. ¿Y ahora mismo, en el “año cero”, ahora que todavía no ha sembrado el saco porque no ha pasado el tiempo, cuántos sacos tiene? Evidentemente la intuición nos dice que tiene el saco (3^0 años = 1 saco). Y para verlo más claro en el transcurso del tiempo, nos podemos preguntar cuánto trigo sembraría el año anterior, y llegamos a la conclusión fácil de saber que tuvo que sembrar la tercera parte del saco (3^-1 año = 1/3 sacos). Y dos años atrás en el tiempo se ve muy claro que tuvo que sembrar la tercera parte de la tercera parte del saco (3^-2 años = 1/9 sacos) Y así sucesivamente en el tiempo atrás. El modelo del saco sirve para ver claro eso de que cualquier número elevado a cero es uno.”
¿QUÉ ES UN LOGARITMO?
Logaritmo significa “número para calcular”. La primera idea de logaritmo se le ocurrió al suizo Bürgi. Después el escocés Napier, que les llamó “números artificiales”, publicó en 1614 “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).
El logaritmo de un número N en la base decimal es el exponente al que hay que elevar la base 10 para que nos dé N.
Por ejemplo: log 1000 = 3 10^3 = 1000
Para entender mejor esta definición vamos a pensar en el “saco de trigo”. Podemos decir: “El logaritmo del número 1000 sacos es el exponente 3 años (que deben pasar) al que hay que elevar la base 10 sacos que produce el saco en un año”:
log 1000 sacos = 3 años 10sacos ^ 3 años = 1000 sacos
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¿PARA QUÉ SIRVEN LOS LOGARITMOS? Los logaritmos sirven para facilitar los cálculos porque transforman
las multiplicaciones en sumas y las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y las raíces en divisiones.
Te invito a que lo compruebes en los siguientes ejemplos:
log 1000·100 (multiplicación) = log 1000 + log 100 (suma)log 1000/100 (división) = log 1000 – log 100 (resta)
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Problema: “ECUACIÓN LOGARÍTMICA”
¡Ver Ejercicio 2!, Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, Comunidad Valenciana, Modelo orientativo 2010.
Calcula la siguiente ecuación logarítmica:
log x + log (x+2) = log (6x +4) –log 2
Estrategia : Podemos transformar la suma del primer miembro (delante del signo igual) en una multiplicación, y la resta del segundo miembro (detrás del signo igual) en una división. Así podemos quitar logaritmos de los dos miembros y resolver la ecuación.
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