jorgehernandez014d.files.wordpress.com€¦ · Web viewEn el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un sucesor (el sucesor de 7 es el 8, el sucesor de –5 es el

Manejo de Espacios y Cantidades

Ing. Jorge Hernández Sánchez

Colegio de Educación Profesional Técnica del Estado de México Plantel del Sol Clave 014

Ing. Jorge Hernández Sánchez 2UNIDAD I. Aplicación de sistemas numéricos y lenguaje algebraico.Introducción. Números Reales. Clasificación.

Número Real. Conjunto formado por los racionales y los irracionales, tienen la característica de representarse por un decimal repetido o no repetido.Número Natural. Es el conjunto de números que nos permiten contar y se designan por N = {0, 1, 2, 3…}.Propiedades: El primer elemento es cero. Tiene un sucesor, que se obtiene simplemente sumándole uno.Números Cardinales. Cada uno de los enteros en abstracto.Números Primos. Son aquellos que no tienen más divisores que ellos mismos y la unidad.Números Compuestos. Los que se expresan con dos a más guarismos.Números Abstractos. Los que se refieren aa unidades de especie determinada.Números Cardinales. Cada uno de los números enteros en abstracto.Números Ordinales. Los que expresan ideas de orden o sucesión 1°, 128°, etcétera.Números Imaginarios. El que reproduce al extraer la raíz cuadrada a un número negativo

Reales

Racionales Irracionales

Mixtos

Enteros

Fraccionarios

Negativos

Cero

Naturales

Decimales

Concretos

Abstractos

Cardinales

Ordinales

Compuestos

Primos

Impares

Pares


Manejo de Espacios y Cantidades 3Números Enteros. Es el conjunto formado por los positivos, los negativos y cero. Estos números se designan por Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

El número positivo se expresa a > 0, mientras un negativo se escribe a < 0. Una cantidad que involucra más de un número se escribe por ejemplo a ≤ 0 es menor o igual que cero y a ≥ 0 es mayor o igual que cero, conocidos como intervalos.

Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a / 1.

Los números racionales son los que pueden expresarse como la razón de dos enteros a / b donde b no puede ser cero. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Los números que representan una fracción del entero se llaman fraccionarios.

En el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un sucesor (el sucesor de 7 es el 8, el sucesor de –5 es el –4), lo que no pasa con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Número irracional, son los números cuya expresión decimal tiene cifras decimales infinitas no periódicas por lo que no se pueden poner como cociente de dos números enteros, por ejemplo √2 o √3.

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado, tomando como unidad el lado del mismo; la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional (pi).

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Propiedades de los números Reales.Orden. Al establecer el Orden en los números reales recordaremos la ley de tricotomía. Al comparar dos números sólo puede suceder una de estas tres posibilidades:

Que uno sea menor que el otro a< b. Que los dos sean iguales a = b. Que uno sea mayor que el otro a> b.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 4Todo número que se encuentre a la derecha de otro en la recta numérica es mayor que el que está a la izquierda en valor relativo, incluso cuando se trate de números negativos.

Valor absoluto. Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

1.1.1 Cálculo de estimaciones y operaciones con números enteros.Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de números enteros Para sumar dos números enteros se sigue la regla:

Signos iguales: se suman los valores y se conserva el signo. 7 + 11 = 18 el orden de los sumandos no altera la suma -7 - 11 = -18 Signos distintos: se restan y se conserva el signo del mayor valor absoluto

7 + (-5) = 7 - 5 = 2 -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0

Resta de números enteros Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)Por ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

Multiplicación y división de números enteros. Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los


Manejo de Espacios y Cantidades 5factores se denomina Ley de los signos y se sintetiza del siguiente modo: Signos iguales +, signos diferentes –.+ · + = + + / + = ++ · - = – + / – = –– · + = – – / + = –– · – = + – / – = +La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a · 1 = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

1.1.2 Uso de las operaciones de potenciación radicación.Producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma.En la potencia an, a es la base y n el exponente.

Potencia de Exponente NaturalSi el exponente es un número entero mayor que 1, se define: an = a ·…· a (n factores)

En especial, a1 = a.Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes:1. a0 = 12. am · an = am + n

Por ejemplo, 52 · 54 = 56

3. (a · b)n = an · bn Por ejemplo, (2 · 5)3 = 23 · 53

4. (am)n = am · n Por ejemplo, (32)5 = 310

5. Si m > n,

Si m < n,

6.

Potencias de Exponente EnteroSi n >0, se define


Ing. Jorge Hernández Sánchez 6

Para n = 0, a0 = 1; por ejemplo, 170 = 1.Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general:Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0,

Potencias de Exponente FraccionarioSi m y n son enteros, n ≥ 2, se define

Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las de exponente entero.Raíz Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Se expresa así

La expresió n se llama radical, a es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número entero mayor que 1: n ≥ 2.La raíz de í ndice dos se llama raíz cuadrada y se escribe sin explicitar

el índice: .La raíz de índice tres se llama raíz cúbica.Si el índice es par y a es positivo, existen dos raíces enésimas reales de a, una positiva y otra negativa. Sin embargo, los números reales negativos no tienen ninguna raíz real de índice par.

Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 52 = 25 y (–5)2 = 25. Sin embargo, –25 no tiene ninguna raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25. Si el índice es impar, cualquiera que sea el número real, a, tiene una única raíz n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz

cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica que se denomina .Raíz Cuadrada. Método de resoluciónSepara la cifra de dos en dos dígitos empezando por la derechaSe busca la raíz que más se aproxime a las dos primeras cifras (empezando por la izquierda), si no es exacta se resta de la cifraSe bajan las dos siguientes cifrasSe duplica la raíz y se busca un número que acompañará a la raíz, el número duplicado se multiplica por el último número de la raíz y se resta al resultado que está dentro de la casilla, se sigue este procedimiento hasta terminar los pares de números en la raíz inicial.


Manejo de Espacios y Cantidades 7Ejemplo encuentra la raíz cuadrada de 100√1,00 1 0 -1 0 00 2 0 0Máximo Común DivisorSe denomina MCD de un conjunto de datos al mayor de sus divisores comunes. Se halla simplemente calculando el producto de las menores potencias de los factores primos que le son comunes Por ejemplo calcula el MCD de 60 y 40Descomponiendo en factores, tenemos:60 40 2 MCD = 2 x 2 x 5 = 2030 20 215 10 53 2 31 2 2

1

Mínimo Común MúltiploSe denomina mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números al menor múltiplo común a todos ellos. El m.c.m. contiene todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Ejemplo calcula el m.c.m. de 60 y 40, primero se descomponen en factores:

60 40 2 mcm = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 12030 20 215 10 53 2 31 2 2

1

Forma Exponencial de una RaízLa raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia: Por tanto,

1.1.3 Uso de operaciones con fracciones y decimales.FraccionesLos números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones o quebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a y b:

Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común. Por ejemplo, 6/8 no está en su forma reducida pues ambos, 6 y 8, son divisibles por 2: (2·3)/ (2·4); sin embargo, 3/4 es una fracción en su forma canónica.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 8Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador; –2/3 y 7/9 son fracciones propias. Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador, –-5/4 y 1/6 son fracciones impropias. Las fracciones impropias se pueden convertir en números mixtos o en enteros (por ejemplo, 3/3 = 1 y –4/2 = -2) si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fracción del denominador.

DecimalesEl concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez de escribir 2/10 o dos décimos, se puede utilizar un punto (.) de manera que 0.2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda del punto representan las unidades, decenas, centenas..., aquéllas a la derecha del punto representan los lugares de las décimas (1/10), centésimas (1/100), milésimas (1/1000) y así sucesivamente. Estos valores siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3... En general, un número como 5,428.63 se denomina quebrado o fracción decimal y se lee como: cinco mil cuatrocientos veintiocho enteros sesenta y tres centésimos.

Suma de fracciones con denominadores igualesEn este caso sólo se suman los numeradores ejemplo2/9 + 6/9 = 8/9

Suma de fracciones con denominadores igualesEn este caso se utilizan productos cruzados4/6 + 2/7 = [ (4X7) + (6X2) ] / (6X7) = [ 28 + 12 ] / 42 = 40/42 = 20/21

Diferencia de fracciones con denominadores igualesEn este caso sólo se restan los numeradores ejemplo10/11 – 6/11 = 5/11

Diferencia de fracciones con denominadores diferentesEn este caso se utilizan productos cruzados4/6 – 2/7 = [ (4X7) – (6X2) ] / (6X7) = [ 28 – 12 ] / 42 = 16/42 = 8/21

Multiplicación de fracciones En este caso sólo se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, ejemplo:2/9 X 6/7 = 2x6 / 9X7 = 12 / 63 = 4 / 21

División de fracciones En este caso se utilizan productos cruzados numerador del primero con denominador del segundo y se pone como numerador del resultado, luego denominador del primero con numerador del segundo y se pone como denominador del resultado4/6 / 2/7 = (4X7) / (6X2) = 28 / 12 = 2 ⅓


Manejo de Espacios y Cantidades 9Expansión decimal de los números racionalesCuando se tienen fracciones como ½ se puede obtener una cifra decimal realizando la división indicada, para el ejemplo se tendría 0.5 o 5 décimas o 50 centésimas, recordando que los ceros a la izquierda después del punto no cuentan. En expresiones como ⅔, la cifras se extienden a 0.666666 en forma infinita.La Recta Real o Recta Numérica.Está formada por una cantidad infinita de puntos, y a cada punto se le asocia un

número real. En esta se destaca uno de sus puntos, O, llamado origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija u (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha

de 0 y los negativos a su izquierda.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa.

La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de la representación gráfica de las funciones.

1.2.1 Traducción del lenguaje común a una representación simbólica y viceversa.Variables. Es una magnitud que puede tomar diferentes valores, por lo general se representan con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.Constante. Es una cantidad que conserva siempre el mismo valor, se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, e, algunos tienen valores específicos como = 3.14159.

Notación y uso de las letras en el lenguaje simbólico. Están compuestas por números y letras y sirven para representar algunas actividades humanas. Por ejemplo: el doble de un precio, 2 (precio) o 2p en donde p es el precio.

Términos AlgebraicosMonomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. Expresión algebraica que consta de un término. También a un número se le llama monomio. Son monomios: 4x2y; 3Ax; (4–2)x2z; xy.

Las letras de un monomio se llaman variables, pues representan números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que aparece multiplicando a las letras es el coeficiente y el signo puede ser + o –


Ing. Jorge Hernández Sánchez 10El grado absoluto de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que intervienen. Los números son monomios de grado cero. Por ejemplo: 4x2y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x2y, y grado 3, pues la x está al cuadrado y la y elevada a 1 (2 + 1 = 3).

Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal. Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. Por ejemplo: 7x2y + 11x2y – x2y = (7 +11 –1) x2y = 16x2y.

La suma de dos monomios que no semejantes no se puede simplificar y se deja indicada.

El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los monomios factores. Así:

(5x2y)(2xyz) = (5·2)( x2y xyz) = 10x3y2 z.

El cociente de dos monomios no es, en general, un monomio. Sólo lo será cuando la parte literal del dividendo sea múltiplo de la parte literal del divisor. Por ejemplo, 7x2y /2xy = (7/2)x sí es monomio porque x2y es múltiplo de xy; 7x2y /2xyz = 7x/2z no es monomio.

1.2.2 Valoración de expresiones numéricas y expresiones algebraicas. El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras es el número que resulta al sustituir las letras por sus valores y efectuar las operaciones indicadas.

El valor numérico de 4x2y para x = -5 e y = 7 es: 4 · (-5) 2 · 7 = 700.

Jerarquía de las operaciones.Signos de agrupación.( ) Paréntesis ordinario[ ] Paréntesis rectangular o corchete{ } LlavesPrioridad de orden. Procedimiento para eliminar o simplificar signos de agrupación1. Se inicia con los paréntesis que se encuentran en el interior.2. Se realizan las operaciones empezando por potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.3. Se simplifica el resultado.Leyes de las operaciones. Cerradura. La adición (o multiplicación) de números reales es un número real. Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. El orden de los factores no altera el producto. Asociativa. Se pueden asociar los sumandos sin que el resultado se altere. Se pueden asociar los factores sin que el producto se altere.


Manejo de Espacios y Cantidades 11 Elemento Neutro. Todo sumando sumado con el cero nos dará como resultado el mismo sumando. Todo factor multiplicado por la unidad nos dará como producto el mismo factor. Inversos. Todo número real sumado con su inverso aditivo nos dará como resultado cero. Todo número real multiplicado con su inverso multiplicativo nos dará como resultado la unidad. Distributiva de la multiplicación. a (b+c) = ab + ac; a (b-c) = ab - ac

Polinomio, suma de monomios, cada uno de los cuales se denomina término del polinomio. También los monomios son considerados polinomios de un solo término. Los polinomios con dos términos se llaman binomios, y los de tres, trinomios.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen.

Operaciones con expresiones algebraicas.Adición de polinomios. Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para la suma de dos polinomios se acomodan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado.

Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así: (3x4 –5x2 + 7x) + (x3 + 2x2 – 11x + 3) = 3x4 +x3 – 3x2 + – 4x + 3.

Multiplicación de polinomios. Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 5x2 + 11 y Q(x) = 2x + 4: la multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa: (5x2 + 11)(2x + 4) = 10x3 + 20x2 + 22x + 44

El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.

División entera de polinomios Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado n al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen las siguientes condiciones:


Ing. Jorge Hernández Sánchez 12P(x) = Q(x)·C(x) + R(x); grado de C(x) = m - n; grado de R(x) = n - 1

Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto.

Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = x2 + 3x + 2 y Q(x) = x + 1:

El cociente es C(x) = x + 2(x2 + 3x + 2) / (x + 1) = x + 2

El proceso es el siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador Se multiplica 1 por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x,) y se cumple la relación: P(x) = Q(x)·C(x)

Productos notablesSe denominan así algunas identidades que cumplen con reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección(a + b)2 = a2 – b2 Suma de binomios al cuadrado (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Diferencia de binomios al cuadrado(a + b)·(a – b) = a2 – b2 Binomios conjugados(a + d)·(a + e) = a2 + (d + e)a + (de) Binomios con término común(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Suma de binomios al cubo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Diferencia de binomios al cuboa3 + b3 = ( a + b)( a2 – ab + b2) Suma de cubosa3 – b3 = ( a – b)( a2 + ab + b2) Diferencia de cubos1.2.3 Reducción de expresiones algebraicas. Término o factor común.Se agrupan los términos que aparecen repetidos en cada uno de los términos en un polinomio.Ejemplo: factoriza 5q + 3p –7r + 8p +15q –45r = p(3+8) +q(5+15) +r(-7-45) = 11p + 20q –52r

Trinomio cuadrado perfectoDada una ecuación general cuadrática de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factoriza x2 + 6x + 9=01. Se reparte la variable (x + )(x + ) =0


Manejo de Espacios y Cantidades 132. Se divide el coeficiente b entre 2, para nuestro caso 6 / 2 = 33. Se completa el binomio (x + 3)(x + 3) =04. El resultado de la factorización del binomio es: (x + 3)2

Completando el trinomio Se realiza el procedimiento del trinomio cuadrado perfectoDada una ecuación general cuadrática de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factoriza x2 + 6x + 8=01. Se reparte la variable (x + )(x + ) =02. Se divide el coeficiente b entre 2, para nuestro caso 6 / 2 = 33. Se completa el binomio (x + 3)(x + 3) =04. El resultado de la factorización es: (x + 3)2 = x2 + 6x + 95. Se resta al coeficiente c una magnitud hasta que quede como la ecuación inicial x2 + 6x + 9 – 1= 06. Completando tenemos: (x + 3)2 – 12 = 07. Por productos conjugados (x + 3 + 1)(x + 3 – 1)8. Realizando la operación (x + 4)(x + 2)

Trinomio de la forma x2 + bx + c = 0 (discriminación)Es la agrupación de la variable en factores, dada una ecuación general cuadrática de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo 1: Encuentra las raíces de x2 + 7x + 10 = 0Recordando los productos notables (x + a)(x + b)= x2 + (a + b)x + (a b), entonces buscaremos dos números que multiplicados nos den 10 y sumados 7, estos números son: 5 y 2Agrupando: (x + 5)(x + 2) = 0Despejando: x = -5 y x= -2 que son raíces o soluciones de la ecuación.

Ejemplo 2: Encuentra las raíces de y2 –5y + 6 = 0Buscando dos números que multiplicados nos den 6 y sumados -5, obtenemos los números: -3 y -2Agrupando: (x - 3)(x - 2) = 0Despejando: x = 3 y x = 2 que son raíces o soluciones de la ecuación.

Por fórmula general cuadrática.La ecuación general de segundo grado (cuadrática) es: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Puede resolverse aplicando la expresión:

Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así:

Hay do s soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 141.3.1 Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incógnita con números enteros, fraccionarios y / o decimales.Estrategias de solución de ecuaciones Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 Pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6 Simplificando, 2x = 18. Despejando la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9 La solución es, evidentemente, x = 9.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

1.3.2 Resolución de ecuaciones que impliquen la presentación de la solución mediante expresiones simbólicas. Uno de los objetivos de las matemáticas es la solución de ecuaciones, ya que tanto para la vida diaria como en la ciencia y tecnología se presenta la necesidad de plantearlas y resolverlas. Las ecuaciones pueden ser aplicadas en la geometría para el cálculo de un perímetro o área, para encontrar cantidades desconocidas como edades, o las cantidades para integrar una mezcla química, o para calcular el desplazamiento de un automóvil, etc. Cómo ejemplos tenemos:

Encuentra tres números consecutivos cuya suma sea 18. Si a tres obreros cobraron $19,200 que corresponde al doble de su salario, ¿cuánto gana normalmente cada uno? Un martillo cuesta el doble de un desarmador. Si las dos piezas cuestan 48 pesos, ¿cuánto costará cada una? Encuentra los números que suman 35 y que uno es el cuádruplo del otro. Una autopista en forma circular mide 5 cm de radio. ¿cuánto mide su perímetro? Mariana le dice a Carlos, si me das un peso tendré el doble que tú, pero si te doy un peso los dos tendremos la misma cantidad. ¿Cuánto tiene inicialmente cada uno? Un terreno tiene 5 metros más de largo que de ancho, si su perímetro es de 68 metros, ¿Qué dimensiones tiene el terreno? De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte y quedan aún 1600 litros. Calcula la capacidad del contenido.


Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

Manejo de Espacios y Cantidades 15 Un distribuidor debe enviar 975 cintas a la misma dirección. Esas cintas se deben enviar en cajas grandes de cartón (que contienen 25 piezas) y en cajas pequeñas de cartón (que contienen 75 cintas). ¿Cuántas cajas pequeñas son necesarias si sólo hay cinco cajas grandes?

2.1.1 Identificación de las propiedades de los triángulos.Definición de triángulo. Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es el polígono o figura geométrica formada por tres lados que forman a su vez, entre sí tres ángulos; por tal razón el triángulo es un subconjunto de los polígonos.

Clasificación:De acuerdo a sus lados:Equilátero. Tres lados iguales.Isósceles. 2 lados iguales.Escaleno. 0 lados iguales.

De acuerdo a sus ángulos:Acutángulo. 3 ángulos interiores agudosRectángulo. 1 ángulo recto.Obtusángulo. 1 ángulo obtuso.

Los acutángulos y obtusángulos se denominan oblicuángulos, por que no tienen ángulos interiores de 90°Propiedades. Puntos

Notables y Rectas del Triángulo. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia: a< b + c; a > b – c La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180°. Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso, y entonces los otros dos en consecuencia son agudos. Si tuviera sólo un ángulo agudo y los otros dos rctos u obtusos, esntre los tres sumarían más de 180°.

Puntos notables y Rectas del Triángulo.Bisectriz es la semirecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 16Incentro. Es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Fig. 1Mediatriz de un segmento. Es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Fig. 2Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita. Fig. 2Altura. Es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Fig. 3Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Fig. 3Mediana. Es el segmento comprendido entre el vértice y el punto medio del lado opuesto. Fig. 4Baricentro. Es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Fig. 4

Área de un Triángulo. Es igual a la mitad del producto de su base por su altura, a continuación se muestran las expresiones más comunes de acuerdo al tipo de triángulo.

Teorema del Cateto. Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir: c2 = a · m, b2 = a · n y h2 = m · n


Manejo de Espacios y Cantidades 17Teorema de Pitágoras.”La suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa”. a2 = b2 + c2 en donde:

c = ( a2 + b2 ) ½ a = ( c2 – b2 ) ½ b = ( c2 + a2 ) ½ Polígonos.Definición. Proviene de las raíces griegas “polis” que significa “muchos” y “gonia” que significa “ángulos”; por lo tanto, es un trazo que contiene muchos ángulos, también se

define como la figura plana limitada por una curva cerrada, llamada poligonal o contorno.

2.1.2 Identificación de las propiedades de los cuadriláteros.Definición. Polígonos limitados por cuatro lados y que además formas entre sí cuatro ángulos.

Notación. Se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices. Notación: Polígono ABCD, Cuadrilátero ABCD.

Clasificación: Se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al paralelismo de sus lados opuestos.Lados opuestos paralelos: Paralelogramos Cuadrados Rectángulos Rombos RomboidesSólo dos de sus lados son paralelos (bases): Trapecios T. Escaleno. T. Isósceles. T. Rectángulo.Cuadriláteros que no tienen lados paralelos entre sí: Trapezoides. Simétricos. Asimétricos.

2.1.3 Identificación de propiedades de los polígonos de más de cuatro lados.Definición de Polígonos. Trazo que contiene muchos ángulos.Clasificación de los polígonos.1. Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono:



a.Cóncavos. Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno o más de sus ángulos interiores son mayores de 180°; también se pueden cruzar sus lados, en cuyo caso se les denomina “polígonos estrellados”.b.Convexos. Cuando tienen todos sus ángulos salientes, es decir, tienen ángulos menores a 180°.

2.Según la regularidad de sus elementos: Regulares e Irregulares.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.

Regulares. Son todos los que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. b.Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, cuando no son regulares.

3. Según el número de lados: algunos polígonos reciben nombres específicos.


Manejo de Espacios y Cantidades 19No. de lados Nombre3 triángulos4 cuadriláteros5 pentágonos6 hexágonos7 heptágonos

8 octágonos9 nonágonos ó eneágonos10 decágonos11 endecágono12 dodecágono

En más de 12 lados, el polígono se denomina de “n lados” por ejemplo polígono de trece lados, de catorce lados, etc.Descomposición de polígonos en triángulos.

Ejemplo: Calcula el área del polígono ABCDE mostrado.2.2.1 Transformación de figuras planas. Traslación, simetría y rotación.Definición de igualdad de un Triángulo.Criterios de congruencia:Criterio 1. Tienen los tres lados respectivamente iguales. “LLL”Criterio 2. Tiene un ángulo igual y dos lados que lo forman. “LAL”Criterio 3. Tienen dos ángulos iguales y el lado que los une. “ALA”

Criterios de semejanza:Criterio 1. Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. “AA”Criterio 2. Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. “ALL”Criterio 3. Tienen los tres lados proporcionales. “LLL”

2.2.2 Aplicación de los postulados de congruencia y semejanza de triángulos. 2.3.1 Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares. En todos los polígonos regulares el perímetro se encuentra multiplicando el número de lados n por la magnitud de uno de sus lados.Perímetro = n l n= número de lados l = magnitud de uno de sus lados.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 20El área se calcula multiplicando el perímetro por la apotema y luego dividiendo entre dos. Área = Perímetro x apotema / 2Ejemplo: Calcula el perímetro y área de un octágono de lado 6 cm. y apotema 10 cm.Perímetro = 8 x 6 cm. = 48 cm.Área = 48 cm. x 10 cm. / 2 = 480cm2 / 2 = 240 cm2

Para polígonos irregulares se debe dividir la figura (cortar) en formas geométricas conocidas para calcular el área total.

2.3.2 Identificación de los elementos y las propiedades de la circunferencia.Definición de Circunferencia. Curva cerrada y plana en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro.

Elementos de la circunferencia.Círculo. Es la parte de un plano limitada por una circunferencia. Radio. Segmento que tiene por extremos el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.Arco. Curva limitada por dos puntos en la circunferencia llamados extremos.Cuerda. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro. Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.Sector Circular. Parte del círculo limitada por un arco y los radios de sus extremos.Segmento Circular. Porción de un círculo limitada por un arco y su cuerda.

Perímetro. Longitud de una circunferencia. Si extendemos en forma lineal la magnitud de una circunferencia y medirla con su propio diámetro,

comprobaríamos que cabe 3.14159 veces, es decir, que es el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia, entonces el perímetro de una circunferencia es x diámetro. P = D.

El área del círculo se calcula mediante la expresión: A = r2

2.3.3 Cálculo de volúmenes geométricos. Prismas y Pirámides.Figuras Sólidas. Son los cuerpos que tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto. Todos los puntos que están dentro del sólido se llaman interiores, los que están fuera exteriores y los que están sobre las caras son llamados puntos frontera.


Manejo de Espacios y Cantidades 21Poliedros. Son figuras sólidas que tienen todas sus caras planas.Partes de un Poliedro. Si se tienen dos polígonos iguales unidos por segmentos de recta generamos un poliedro llamado Prisma. Cabe hacer notar que todas las caras laterales son rectángulos ó paralelogramos.

Cuando el poliedro converge en un vértice (cúspide) común y sólo tiene una base, sus caras serán triángulos, denominándose Pirámide. Las caras se unen por medio de segmentos llamados Aristas y estas a su vez se unen por medio de puntos llamados Vértices.

Áreas y Volúmenes de Prismas.Área de un sólido = Área de sus carasVolumen = Área de la base por su alturaÁrea Base = n x r2 x seno (180° / n) x coseno (180° / n)

Pirámide Volumen = (Área Base x Altura) / 3Área Lateral = AL = ½ Perímetro de la base x apotema

Ejemplo: Calcule el área total y el volumen de la figura mostrada

Área base= 6 x 52 x seno (180/6) x coseno(180/6) = 6 x 25 x 0.5 x 0.866 = 64.95 u2

Área cara = 10 x 5 = 50 u2

Área total = (64.95 x 2) + (50 x 6) = 429.9 u2

Volumen = Área de la base x Altura = 64,95 x 10 = 649.5 u2

Tabla de áreas y volúmenes de Prismas y Pirámides.



Esferas, Cilindros y Conos.Definición de Cono. Superficie engendrada por una recta móvil (Generatriz) que pasa por un punto fijo (Vértice) y se apoya en una curva cerrada (Directriz).

Cuadrado = a2

Rectángulo = ab

Paralelogramo = bh



Trapezoide = (h/2) (b1 + b2)

UNIDAD III. Argumentación de cambios y argumentaciones.3.1.1Identificación de variables involucradas en la descripción de un fenómeno y sus relaciones.Noción de variable. En el desarrollo de un proceso se utilizan literales para representar cualquier elemento del conjunto de los números reales. Así la edad en meses de cada uno de los integrantes de un grupo es E, donde E toma el valor que tiene la edad de cada uno de los alumnos del grupo,

Una función es la relación de dos variables y es necesario que a cada valor de una variable (Independiente) le corresponda un único valor a la otra variable (dependiente). Por ejemplo, si se tiene fríjol en una báscula, a mayor cantidad de grano, el peso reflejado será mayor.

En el ejemplo anterior la variable independiente es la cantidad de fríjol y el peso será la dependiente ya que depende de la cantidad de grano puesta en la báscula.

En la expresión y = 5x, x es la variable independiente (a la que se le asignan los valores), y es la variable dependiente, pues depende que valor toma x para que esta tenga un valor, ejemplo:

si x= 1 y = 5( 1 ) = 5si x= 2 y = 5( 2 ) = 10si x= 3 y = 5( 3 ) = 15

Ejemplo. Si un automóvil se desplaza a una velocidad de 40 Km. por hora, en 7, 10 y 12 horas, ¿cuantos Km. recorrerá en cada tiempo? f (X = 7 ) = 40 x7 = 280 Km.f (X = 10) = 40 x 10 = 400 Km.f (X = 12) = 40 x 12 = 480 Km.

3.1.2 Identificación de las relaciones de los elementos de una gráfica que representa el comportamiento de un fenómeno.

Esto lo podemos ejemplificar mediante el siguiente ejemplo. Un vehículo se desplaza a x Km. por hora ¿qué kilometraje recorrerá en 11horas?

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25

velocidad

Km /h


Manejo de Espacios y Cantidades 25f (x) = x Km /h X 11horas = 11 X ___ Kmy = x Km/h X 11 horas = 11 X ____Km.

Los valores de y dependerán de los valores que se le asignen a x (kilómetros por hora)Si x = 10 Km/ h, entonces y = 110 Km.Si x = 11 Km/ h, entonces y = 121 KmSi x = 12 Km/ h, entonces y = 132 KmSi x = 13 Km/ h, entonces y = 143 KmSi x = 15 Km/ h, entonces y = 165 KmSi x = 20 Km/ h, entonces y = 220 Km

Graficando estos valores utilizando el plano cartesiano

Identidad, igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica numéricamente para cualesquiera valores de las variables que intervienen.Por ejemplo, xm · xn = xm + n es una identidad porque cualesquiera que sean los valores que se le asignen a las variables x, m y n, se cumple la igualdad numérica. Así, para x = 2, m = 5, n = 3, xm · xn = 25 · 23 = 32 · 8 = 256xm + n = 25 + 3 = 28 = 256 (Utilizar otros valores de acuerdo a esp.)Es decir, 25 · 23 = 25 + 3. La igualdad numérica se cumple para estos valores, cumpliéndose también para otros valores.Las identidades algebraicas son útiles para transformar una expresión algebraica en otra más sencilla o más adecuada a la finalidad que se pretende.

Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. En la ecuación 7x3 – 2x + 3 = x/3, el primer miembro es 7x3 – 2x + 3 y x/3 es el segundo miembro.

x y10 11011 12112 13213 14315 16520 220


Ing. Jorge Hernández Sánchez 26Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo: 3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita, tiene una única solución x = 4, mientras que x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Tipos de ecuaciones Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Ecuaciones linealesLas ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.

3.2.1identificación de la proporcionalidad directa o inversa de variables que describen diferentes fenómenos. Razón, es el exceso constante entre dos términos consecutivos en una progresión. Resultado de comparar dos cantidades entre sí. Es la división indicada de la primera cantidad por la segunda: a y b. Razón = a / b.

Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”.


Manejo de Espacios y Cantidades 27Términos de la proporción. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos a y d) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios b y c).

En la proporción a:b::c:d b es el medio proporcional entre a y c, c es tercero proporcional de a y b.Teoremas1° Si a / b = c / d ad= bc2° Si a=b::c=d también b:a=d:c entonces bc=ad por lo tanto:

b / a = d / c3° Si a=b::c=d también a:d=b:c entonces bc=ad por lo tanto

a / c = b / dProporcionalidad directa. Cuando aumenta una variable la otra aumenta, o cuando una disminuye, la otra también disminuye.Ejemplo: un panadero hace 15 piezas de pan en 5 minutos, ¿cuantas realizará en 17 minutos?15 / 5 = B / 17 B = 15 x 17 / 5 = 51 piezas de pan.

¿Cuantas realizará en 1minuto?15 / 5 = C / 1 C = 15 x 1 / 5 = 3 piezas.

Proporcionalidad Inversa. Cuando una variable aumenta la otra disminuye.Ejemplo: un trabajador realiza 10 piezas en 5 minutos, dos trabajadores en cuanto tiempo las realizarán.

piezas trabajadores tiempo A= 10 x 1 x 5 = 50 = 2.5 min10 1 5 10 x 2 2010 2 A

La regla de tres simple se basa en la proporcionalidad directa. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero.

3.2.2 Construcción de gráficos y tablas relacionados con la proporcionalidad. Directa e Indirecta.3.2.3 Relación entre proporciones, razones y porcentajes.Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100, el porcentaje indica la división de un número entre 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Ejemplo: si 12 refrescos son el 100%, que porcentaje serán 3 refrescos.

12 100% P = 3 x 100 = 300 = 25%3 P 12 12


Ing. Jorge Hernández Sánchez 283.2.4 Calculo de porcentajes. Menores que uno y mayores de cien, sucesivos y promedios.UNIDAD IV. Tratamiento de la información.4.1.1 Obtención y organización de datos.Recopilación y análisis de datos.Población. Conjunto completo de individuos, objetos o medidas que tienen alguna característica común observable. Se tienen poblaciones conceptuales, tangibles, finitas, infinitas, etc.

Población finita. La que posee un tamaño limitado o contable. Por ejemplo: las personas que estudian en CONALEP.

Población infinita. Es aquella en que teóricamente es imposible observar todos los elementos, es decir no tiene fin, por lo que no es contable.

Muestra. Es un subconjunto de mediciones seleccionadas de la población.

Muestra representativa. La que contiene las características relevantes de la población, en la misma proporción de la que fue extraída ésta.

Medidas de Tendencia Central.En una tabla de distribución de frecuencias hay una zona en donde los valores son más altos, es decir, hay magnitudes de las variables que se presentan más frecuentemente. Así surge el concepto de medidas de tendencia central, que indican alrededor de qué valor se agrupa el mayor número de casos de estudio. Las mediadas de tendencia central son representativas de toda la población, las principales son: la media, la mediana y la moda.

Media X. Se le define como la suma de todos los datos entre el número total de ellos, es decir el valor promedio. Existen diversas formas de calcularla; su utilización depende del tipo de serie en que se presentan los datos: simple, de frecuencias y de clases y frecuencias.

a. Serie simple. Cuando los datos son pocos, pueden manejarse en una serie simple, por ejemplo: el promedio de las calificaciones obtenidas en un semestre de un estudiante, se puede calcular con la expresión:

x = ∑ x1 + x2 + x3 + ... + xn = ∑ xi

n nen donde:∑ significa sumax valores de cada característica o variablen número de datos o valores


Manejo de Espacios y Cantidades 29b. Serie de frecuencias. Cuando el número de datos es relativamente grande, conviene transformar la serie simple en una serie de frecuencias, si los datos están muy repetidos, de la manera siguiente:variable conteo frecuencia 5 IIIII 5 utilizando la expresión6 IIIII I 6 x = f x , tenemos:7 IIIII IIIII 10 n8 IIIII II 79 IIIII 5

x f xf5 5 25 x = 232 = 7.036 6 36 337 10 708 7 569 5 45 33 232

c. Serie de clases y frecuencias. La serie de clases y frecuencias pueden transformarse en una serie de clases y frecuencias, aplicándose a serie de números muy dispersos, aunque se corre el riesgo de que el resultado no sea tan preciso como el de los métodos anteriores.

Clase f utilizando la expresión:3-4 5 x = f P M 5-6 11 n 7-8 179-10 10 en donde P M = punto medio11-12 7 50

El punto medio se obtiene sumando los límites inferior y superior de la clase y dividiendo el resultado entre dos.

Clase f PM f PM3-4 5 3.5 17.55-6 11 5.5 60.5 x = 381 = 7.627-9 17 7.5 127.5 509-11 10 9.5 95.011-13 7 11.5 80.5 50 381.0

Clase. Es el conjunto de los números reales que tienen una frontera superior y una inferior.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 30Al agrupar variables, se pierde inevitablemente parte de la información, las variables ya no se identifican al estar agrupadas en los intervalos y son inevitables pequeños errores estadísticos.

Mediana. En el histograma de una distribución de frecuencias, la mediana es el valor en el eje horizontal x que corresponde a la vertical que divide al gráfico en dos partes de igual área. Este valor se escribe como x tildada.Para datos cuya frecuencia es la unidad, se emplea la siguiente regla para su cálculo: la mediana es valor central, si el número de datos es impar, y la media aritmética de los dos valores centrales si el número de datos es par.

Ejemplo 1. Encuentra la mediana del siguiente grupo de datos: 3, 3, 7, 11 y 19. La mediana es 7.

Ejemplo 2. Para el conjunto de datos 3, 3, 7, 11, 19 y 22. Los valores centrales son 7 y 11 y la mediana es (7+ 11) / 2 = 9, la mediana es 9.

Cuando los datos son agrupados en una tabla de frecuencias, la mediana esta dada por la siguiente expresión:En donde Li es el límite de la clase medianaN el número de datos(f1) suma de frecuencias de todas las clases por debajo de la clase medianafmediana es la frecuencia de clase medianaA es el tamaño del intervalo Ejemplo: calcular la mediana de la siguiente tabla de frecuencias

Clase fsolución127-135 5 n/2 = 35/2 = 17.5136-144 9 se busca por inspección, donde esta145-153 12 la frecuencia acumulada 17.5154-162 5 intervalo 145 – 153163-171 4

35Li = 144.5; (f1)= 5+9= 14; n= 35; fmediana = 12; c= 12

Mediana = 144.5 + 17.5 -14 9 = 147.125 12Moda o Modo Mo. Se le define como la medida o valor que se repite con mayor frecuencia. En una serie simple o de frecuencias, el modo se obtiene observando el valor que aparece más veces.Ejemplo: encuentre la moda de las siguientes series.

Edad 8, 9, 10, 9, 7 moda = Mo = 9


Manejo de Espacios y Cantidades 31Ejemplo:X 5 6 7 8 9F 2 5 9 6 3 Moda = Mo = 7

Ejemplo: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6Se tienen dos modas 4 y 5 y se considera una distribución bimodal.Cuando los datos se presentan en una serie de clases y frecuencias, se utiliza la expresión:

Mo = L1 + 1 A

donde:L1 es el límite inferior de la clase modal (donde se encuentra la frecuencia más alta)frecuencia más alta menos la frecuencia anteriorfrecuencia más alta menos la frecuencia posteriorA tamaño del intervalo de la clase modal

Ejemplo: calcule la moda de los siguientes datos:

Clase f L1= 6.5 3 – 4 5 1= 6 5 – 6 11 2= 7 7 – 8 17 clase modal A= 2 9 – 10 1011 – 12 7 50 Mo = 6.5 + 6 2 = 7.42 moda = 7.42 6 + 74.1.2 representación e interpretación de información estadística.Grafica de tallo y hojas.Es una modalidad relativamente simple de organización y representación de medidas en un formato de gráfica de barras y jerárquicamente ordenado, es un gráfico muy semejante al histograma.

Ejemplo. Realiza el gráfico de tallo y hojas de los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen.

58 88 65 96 8574 69 63 88 6585 91 81 80 9065 66 81 92 7182 98 86 100 8272 94 72 84 7376 78 78 77 7483 82 66 76 6362 62 59 87 97


Ing. Jorge Hernández Sánchez 32100 75 84 96 99

Tallo Hojas 5 8 96 2 2 3 3 5 5 5 6 6 97 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 88 0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 89 0 1 2 4 6 6 7 8 9

10 0 0

Distribuciones de frecuencias.Agrupación de datos. Para que los datos sean útiles, debemos de organizar nuestras observaciones de manera que podamos observar tendencias y llegar a conclusiones. Los datos provienen de observaciones reales o documentos que se conservan para su uso diario.

Frecuencia. Número de veces que se repite un dato.

Distribución de frecuencias. Ordenación tabular de un conjunto de datos, agrupados en clases o “renglones”.

Clase. Número de datos que pertenecen a un intervalo.

Límites de clase. Son los valores mínimo y máximo que distinguen a los datos agrupados en ésta.

Intervalos de clase. Los diferentes estratos de agrupación de la población total, que tienen una característica determinada por un valor mínimo y un máximo.

Frecuencia relativa (fr). Frecuencia de cada clase dividida entre la frecuencia total (n).

Frecuencia acumulada. Frecuencia total o sumatoria de los valores anteriores a la clase estudiada.

Ojiva. Representación gráfica de la frecuencia acumulada contra las clases o intervalos de 0% a 100%.

clase f fr fa30-39 5 11.11 11.1140-49 10 22.22 33.3350-59 20 44.44 77.7760-69 8 17.77 95.5470-79 2 4.44 100.00total 45 100


Manejo de Espacios y Cantidades 33El histograma es una representación gráfica hecha en un plano cartesiano, que consiste en una serie de rectángulos que se caracterizan por que sus bases caen en el eje horizontal x, estando referidos a las marcas de clase, y la altura de los rectángulos es igual a las frecuencias de clase en el eje vertical y.

El polígono de frecuencias es la gráfica que resulta de unir por un trazo continuo, a todas las marcas de clase. El histograma y polígono de frecuencias del ejemplo propuesto anterior esta dado por:

Grafica de pastel o pay. Consiste

en representar los intervalos de clase regularmente en porcentajes y presentarlos como porción del círculo que representa el 100 de las observaciones o datos.

4.2.1 interpretación de la probabilidad como una medida.Experimento. Es una acción bien conocida que genera datos o resultados.

Propiedades: Cada experimento tiene varios resultados posibles Los resultados tienen igual oportunidad de ocurrencia (aleatorios)

Definición de probabilidad. En sentido ordinario, la palabra probabilidad implica la certeza o posibilidad relativa con que se espera la ocurrencia de un evento.

Si un experimento se repite n veces en condiciones idénticas, entonces la probabilidad P de un evento E [se escribe P(E) y se leerá P de E], es el cociente que resulta de dividir el número de veces que acontece un evento favorable o buscado F, entre el número total de experimentos o intentos n.

P(E) = número de eventos favorables del suceso E = F número total de sucesos (favorable y no favorables) n

P(E) = # de eventos favorables o esperados = F # de eventos totales n

Ejemplo. Calcular cual es la probabilidad que al lanzar un dado al aire y posteriormente su cara superior sea un 6.


Ing. Jorge Hernández Sánchez 34F es el número de eventos favorables, sólo una cara tiene seis puntos por lo que F = 1. los dados tienen 6 caras y este es el número total de eventos totales o posibles, entonces n = 6.

P(un seis) = 1 / 6 una de seis posibilidadesCabe hacer notar que la probabilidad es un número entre 0 y 1, relacionado con el evento especificado. Una probabilidad de 1 o cercano a este, indica una máxima certeza en la ocurrencia del evento, si el valor va disminuyendo, también la probabilidad de que ocurra disminuye, si esta es 0 se considera una probabilidad imposible.

Reglas básicas de probabilidad. Las probabilidades son números reales entre 0 y 1 La probabilidad total (segura) de que ocurra un evento es 1 y la

probabilidad de un evento imposible es 0. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(AUB)= P(A) + P(B) La probabilidad P de un evento negado es P(Ac) = 1 – P(A)

Reglas para el cálculo de probabilidades.Eventos independientes. Dos o más eventos se consideran independientes entre sí, si el resultado de uno no afecta en ninguna forma el resultado del otro. Así, A y B son sucesos independientes, cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia del evento B y viceversa.

La probabilidad de ocurrencia de A y B se escribirá como: P (A y B) = P(A) x P(B)

Ejemplo: una bolsa contiene 5 fichas blancas y 3 negras; se extrae una ficha de la bolsa al azar y después se remplaza, si se saca otra ficha, encuentra la probabilidad de que las fichas extraídas sean blancas.

El primer evento no tiene efecto sobre el segundo, debido a que la ficha se remplaza; por lo que son independientes.

A= suceso de obtener una ficha blanca en el primer caso.B= suceso de obtener una ficha blanca en el segundo caso.

Hay ocho fichas blancas de ocho totales, entonces:

P(A y B) = P(A) x P(B) = 5/8 x 5/8 = 25/64

Eventos dependientes. Dos o más eventos se consideran dependientes entre sí, si el resultado de uno afecta al del otro. Así, A y B son sucesos dependientes o condicionales, cuando la ocurrencia de A afecta la ocurrencia de B. La probabilidad de que ocurra B depende de A, y así la probabilidad


Manejo de Espacios y Cantidades 35condicional de B será P(B/A) y se lee: la probabilidad de B dado que ocurra A, es: P (B) = P (A) x P (B/A)Ejemplo: del caso anterior, si la ficha no es regresada a la bolsa antes de sacar la segunda ficha, la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos será: P(A) = 5/8 P (B/A) = 4/7 dado que la primera fue blanca y no se regresó, por lo que solo quedan 7 blancas en la bolsa

P (AyB) = (5/8) (4/7) = 20 / 56 = 5 / 14

Eventos mutuamente excluyentes. Son dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno excluye completamente la posibilidad de ocurrencia de los otros eventos. Entonces la ocurrencia de un evento A o el evento B se escribe:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Donde P(A) es la probabilidad de ocurrencia de A y P(B) es la probabilidad de ocurrencia de B.

Ejemplo: al lanzar un dado, no pueden estar al mismo tiempo en la cara superior un 1 y un 2; de este modo, el evento A (extraer un 1) y el evento B (extraer un 2) son mutuamente excluyentes; además:

P (A) = 1 / 6 y P (B) = 1 / 6

Por lo tanto, si se lanza una moneda, la probabilidad de que caigan dos 1, queda definida: P (A o B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2 / 6

Regla del la multiplicación. Si en un experimento, un evento tiene la probabilidad n y otro evento tiene la probabilidad de ocurrencia de m, entonces la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos se obtiene por n x m.

Ejemplo: se tira un dado y una moneda al mismo tiempo, cual es la probabilidad de que “caigan” un sol y un 4

P (sol) = ½ y P (de un cuatro) = 1/6

P (sol y cuatro) = ½ x 1/6 = 1/12

Teorema de Bayes.Frecuentemente, tratamos de encontrar la probabilidad condicional de un suceso A, dado que un suceso B ha ocurrido en un momento anterior. Por ejemplo, podría interesarnos la probabilidad de que llueva mañana, dado que ha llovido durante los siete días anteriores.



Ejemplo: tres máquinas A, B y C producen 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de esas máquinas son: 3%, 4% y 5%. Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso y que fue producido por la máquina A. P(A) P(XA)P(AX) = P(A) P(XA) + P(B) P(XB) + P(C) P(XC)

(0.50)(0.03)P(AX) = (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05)

P(AX) = 15 / 37 4.2.2 Cálculo de probabilidades.Conteo. Diagrama de árbol. Es la representación gráfica del método de conteo, y recibe este nombre debido a su apariencia de árbol. Ejemplo si se tienen dos camisas y dos pantalones, la manera de escoger las prendas es la siguiente:

camisa 1 con pantalón 1 existen 4 formas o arreglos camisa 1 con pantalón 2 para la combinación de la camisa 2 con pantalón 1 ropa. camisa 2 con pantalón 2

en forma de árbol se tiene:

Árbol ArreglosC1 P1 C1P1

P2 C1P2

C2 P1 C2P1 P2 C2P2

Regla del producto. Si en un experimento, un evento se puede realizar de n maneras y otro evento de m maneras, entonces los dos eventos pueden efectuarse de n x m maneras totales.

Del ejemplo anterior, se pueden escoger 2 camisas y 2 pantalones, entonces, el número de formas para escoger una camisa y un pantalón es 2 x 2 = 4 formas C1P1, C1P2, C2P1 Y C2P2.

En general, si hay n1 resultados del primer evento, n2 del segundo evento, n3

del tercero y nk del késimo evento, entonces hay: n1 x n2 x n3 x ... x nk posibles resultados del los k eventos.


Manejo de Espacios y Cantidades 37Ejemplo: si se lanzan 3 dados al aire y se observan las caras superiores de éste, los posibles resultados del experimento serían: 6 x 6 x 6 = 216 arreglos. Comprobar por diagrama de árbol.Ejemplo. Se tienen 3 personas de las cuales se seleccionaran 2 para realizar una actividad ¡ de cuantas formas podemos seleccionar a las 2 personas?Antonio ABenito BCarlos C

Los arreglos son: AB BA CA AC BC CB, ya que hay arreglos repetidos como: AB=BA, AC=CA y CB=BC (ya que por ejemplo Antonio y Benito y Benito y Antonio es el mismo equipo), aplicando la expresión.



Hijo:Si quieres amarmebien puedes hacerlo.Tu cariño es oroque jamás desdeño,más quiero que comprendasque nada me debes.Ahora soy el padre,tengo los deberes.Nunca en mis angustiaspor verte contentohe trazado signosde tanto por ciento.

Ahora pequeño,quisiera orientarte:mi agente viajerollegará a cobrarte…será un hijo tuyo,gota de tu sangre.Presentará un chequede cien mil afanes…y entonces mi niño,como un hombre honradoa tu propio hijo…deberás pagarle.

Rudyard KiplingSi te quiero es porque sos

Mi amor , mi cómplice y todoY en la calle y codo a codo

Somos mucho más que dos

Mario Bennedeti

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jorgehernandez014d.files.wordpress.com€¦ · Web viewEn el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un sucesor (el sucesor de 7 es el 8, el sucesor de –5 es el