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Contenido
Hola a Todos!!!
Este blog pretende ser una herramienta de ayuda y reforzamiento a los temas tratados en las clases de Representación Gráfica de
Funciones. Espero que sea de su agrado y que poco a poco se vayan integrando a ella y que la enriquezcan a través de las
aportaciones que puedan realizar.
René Descartes
René Descartes (en italiano Renatus Cartesius) nació en La Haye enFrancia (actual Descartes) el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo el 11 de febrero de 1650) fue un filósofo, matemático y científico francés y es considerado como el Pionero de la Filosofía Moderna y el creador de la noción de sujeto. Desde temprana edad tuvo afición por las matemáticas debido a “la incertidumbre de sus resultados y a la sencillez de su lógica“. Creía que a fin de descubrir la verdad, uno debe empezar por dudar de todo, incluyendo la propia existencia; esto lo condujo a formular quizá la frase más conocida de toda la filosofía “Pienso, luego existo“. En su libro Discurso del Método, describió lo que ahora se conoce como el plano cartesiano. Esta idea de combinar el algebra con la geometría permitió por vez primera a los matemáticos “visualizar” las ecuaciones que estudiaban, y el filosofo Jhon Stuart Mill dijo que esta invención era “el paso individual más grande alguna vez realizado en el avance de las ciencias exactas”.
Descartes gustaba de levantarse tarde y quedarse en cama por las mañanas pensando y escribiendo. Invento el plano coordenado al observar a una mosca desplazarse en el cielo raso y razonar que podía describir la localización exacta de la mosca al saber a qué distancia estaba de dos paredes perpendiculares entre sí. En 1649 Descartes se convirtió en el tutor de la Reina Cristina de Suecia, la cual gustaba recibir sus lecciones a las 5 en punto de la mañana cuando, decía, su mente estaba más despejada. Sin embargo, para Descartes el cambie en sus hábitos usuales y la helada biblioteca donde estudiaban resulto inadecuado. En febrero. En febrero de 1650, justo después de dos meses, contrajo pulmonía y falleció.
Plano Cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersecan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se
tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su
creador, el matemático y filósofo francés René Descartes.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal o Abscisa y otra Vertical u Ordenada que
se cortan en el punto P (0,0)
El plano cartesiano se utiliza para poder ubicar la posición de un punto mediante sus coordenadas cartesianas expresadas en forma
de pares ordenados.
Distancia entre dos Puntos
Se denomina distancia entre dos puntos A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 )del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos
A y B. Puede calcularse con la siguiente fórmula:
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1).
Ejercicios resueltos.
1.- Calcular la distancia entre los puntos: A (2, 1) y B (-3, 2).
2.- Calcular el perímetro del triángulo formado por los puntos:
A (-3, 6), B (6, 5) y C (-2, 1).
3.- Determinar si el triángulo formado por los puntos A (0,0), B (6,5) y C (1,6) es Isósceles, Escaleno o Equilátero.
Área del Triángulo
Para determinar el área de un triángulo cuyos vértices son conocidos se utiliza la siguiente fórmula:
Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos vértices son: A (-4,4), B (2,6), C (8,1).
Solución:
Baricentro
Es aquel punto donde se concentra la masa de un cuerpo, es decir si un cuerpo se apoya sobre su baricentro permanecerá en
equilibrio por lo que también se le conoce como centro de gravedad y se representa mediante la letra G.
El baricentro de un triángulo se encuentra en la intersección de las medianas, donde la mediana es la línea que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto.
Para calcular las coordenadas del baricentro se utiliza la siguiente fórmula:
Ejemplo: Calcular el baricentro del triángulo formado por los puntos A (1, 4), B (8, 1), y C (12, 11).
Punto MedioPara determinar las coordenadas del punto ubicado en medio de los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) se utiliza la siguiente ecuación:
Ecuación para calcular el Punto Medio
Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto P que es encuentra entre A y B, si se sabe que A = (1, 2) y B = (9, 7)
El punto medio está ubicado en P = (5, 4.5)
Sea: Punto A: x1 = 1, y1 = 2 Punto B: x2 = 9, y2 = 7
Reemplazando estos datos en la formula tenemos:
Ejercicios resueltos:
1.- Dados los puntos A (3, -2) y B (1, 7), hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.
2.- Los puntos A (-4, – 5), B (4, 2) y C (1, 6) forman un triángulo. Graficar el triángulo que se forma al unir los puntos medios de cada
lado del triangulo original.
3.- Un segmento de recta está determinado por los puntos A y B, y el punto medio esta dado por M. Si las coordenadas de A son
(-1,3) y de M son (5, 8), calcular las coordenadas del punto B.
4.- Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (2, 0) y B (9, 4).
Las coordenadas del centro M son M (4, 3.). Hallar las coordenadas de los otros dos vértices C y D.
Ecuaciones de la RectaEcuación Clásica de la Recta
La ecuación clásica de la recta está dada por: donde m es la pendiente de la recta y n indica el
punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas (eje y). En ocasiones n se representa también por la letra b.
Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-5,3) y B (12, 7)
Al construir la gráfica:
Ecuación Simétrica de la Recta
Se utiliza cuando se conocen los puntos de intersección de la recta con los ejes, y se expresa como:
Donde a y b son los puntos de intersección con los ejes x e y respectivamente.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la siguiente recta:
Ecuación General de la Recta Está dado por:
y la pendiente se obtiene usando los coeficientes A y B:
Ejemplo: Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A (-4, 6) y B (5, -6)
Distancia de un Punto a una Recta
Es la distancia más corta del punto a una recta. De hecho, para que la distancia sea la más corta es necesario que la recta que pasa
por el punto A y la recta L1 sean perpendiculares. Para determinar la distancia de un punto a una recta se necesita la ecuación
general de la recta y las coordenadas del Punto:
Ejemplo: Calcular la distancia del punto Po (2,1) a la recta L de ecuación: 3 x + 4 y - 2 = 0
Pendiente de una Recta
La pendiente (m), es la inclinación de una recta con respecto al eje de las abscisas (eje horizontal), y se define como la relación que
existe entre la variación en el eje Y, respecto al eje X, es decir:
También se puede expresar la pendiente como la tangente del ángulo entre la recta y el eje horizontal:
Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta formada por los puntos A (10,8) y B (-2,6)
Bibliografía:
Oteyza, E. de. Lam, E. Gómez, J.A. Ramírez, A., Hernández, C. Geometría Analítica,. México, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 2004.
Smith, Stanley A. y otros. Álgebra, trigonometría, y geometría analítica, Pearson Education, México, 1998. Páginas web:
• http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas• http://www.sectormatematica.cl/libros.htm• http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm• http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/• http://www.editorialimpacto.cl/?pag=productos&cod=L007• http://bloghost.cl/bernuli/2009/01/27/todo-gratis/• http://www.igroz.com/GeoAna/ENTRADA5.htm
