Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
1.1. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element za .
a b c dx y z bazične konjukcije1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 0 01 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 0 0
Bazične konjukcije prikazujemo u obliku DNF i analitičkim postupkom minimiziramo:
Isto trebamo dobiti i Vejčovim postupkom:
x x
y y
z z
Logički element:
1
1.2. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element za .
a b c d F(x,y,z)x y z bazične konjukcije1 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1 0
Vejčov postupak:
x x
y y
z z
Logički element:
2
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
1.3. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element za .
a b c d e F(x,y,z)x y z bazične konjukcije1 1 1 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1 1 0 0
Vejčov postupak:
x x
y y
z z
Logički element:
3
1.4. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element .
a b c d F(x,y,z)x y z bazične konjukcije bazične disjunkcije1 1 1 1 1 0 1 11 1 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 0 11 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 10 0 0 1 1 0 0 1
Već se iz tablice vidi rješenje (rješenje je negacija onog što nije rješenje):
Prema Vejčovom postupku dobiva se:
x x
y y
z z
daljnjom analitičkom minimizacijom dobiva se:
Logički element:
1.5. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element
a b c d e F(x,y,z)x y z bazične
konjukcijebazične disjunkcije
4
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
1 1 1 0 0 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 0 00 1 1 1 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 0 1 1 0 1 0 1 10 0 0 1 0 1 0 1 1
Prema tablici rješenje je:
Vejčovim postupkom se treba dobiti isti rezultat:
x x
y y
z z
Logički sklop:
1.6. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element ako je .
a b c d e f bazičnex y z konjukcije1 1 1 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 1 0 0
5
0 1 1 1 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 1 00 0 1 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 1 1
Vejčov postupak:
x x
y y
z z
6
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
2.1. Dane su matrice
.
Odredite matricu X koja ispunjava uvjet -B + AX = A-1.
A A-1
2 3 -2 1 0 0 34 -1 -2 0 1 0 *0 1 0 0 0 1 114 0 -8 1 3 0 -44 -1 -2 0 1 0 -14 0 -2 0 1 1 *-2 0 0 1 -1 -4 *0 -1 0 0 0 -14 0 -2 0 1 1 2-2 0 0 1 -1 -4 /-20 -1 0 0 0 -1 /-10 0 -2 2 -1 -7 /-21 0 0 -1/2 1/2 20 1 0 0 0 10 0 1 -1 1/2 7/2
7
Copyright
1998. Krunoslav Tom
ašković (042) 370-714, ktom
2.2. Za matricu A izračunajte .
2.3. Riješite jednadžbu
.
8
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
2.4. Riješite sustav2x - y + 2v + 2 = 0
3y + z - 4v - 3 = 0x - 3z + 6v + 4 = 0
3x + y + z = 0
2x - y + 2v = -23y + z - 4v = 3
x - 3z + 6v = -43x + y + z = 0
x y z v B2 -1 0 2 -2 +0 3 1 -4 3 (-3)1 0 -3 6 -43 1 1 0 0 *5 0 1 2 -2 *-9 0 -2 -4 3 21 0 -3 6 -4 33 1 1 0 0 (-1)5 0 1 2 -2 (-5)1 0 0 0 -1 *16 0 0 12 -10 (-16)-2 1 0 -2 2 20 0 1 2 31 0 0 0 -10 0 0 12 6 / :120 1 0 -2 00 0 1 2 3 (-2)1 0 0 0 -10 0 0 1 1/2 *0 1 0 -2 0 20 0 1 0 21 0 0 0 -10 0 0 1 1/20 1 0 0 1
9
2.5. Ispitajte ima li sustav netrivijalno rješenje i, ako ima, nađite opće rješenje tako da t bude parametar.
2x + 3y - z - t = 0x - y - 2z - 4t = 0
3x + y + 3z - 2t = 06x + 3y - 7t = 0
Sustav ima netrivijalno rješenje ako je D = 0.
x y z t B2 3 -1 -1 0 *1 -1 -2 -4 0 -23 1 3 -2 0 36 3 0 -7 02 3 -1 -1 0 -1-3 -7 0 -2 0 7/3
9 10 0 -5 0 -10/3
6 3 0 -7 0 *-4 0 -1 6 011 0 0 -55/3 0 *-11 0 0 55/3 0 16 3 0 -7 0-4 0 -1 6 0 /-111 0 0 -55/3 0 /110 0 0 0 0 nul-jednadžba6 3 0 -7 0 /34 0 1 -5 0 -41 0 0 -5/3 0 *2 1 0 -7/3 0 -20 0 1 -5/3 01 0 0 -5/3 00 1 0 1 01 0 0 -5/3 00 1 0 1 00 0 1 -5/3 0
Rješenje .
10
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
2.6. Odredite vrijednosti parametra t tako da sustav
ima i netrivijalna rješenja. Za takav jedan t nađite opće rješenje sustava.
x y z B2 0 4 01 -1 3 0 13 1 5 0 *2 0 4 0 /24 0 8 03 1 5 01 0 2 0 *4 0 8 0 -43 1 5 0 -31 0 2 00 0 0 00 1 -1 0
x + 2z = 0y - z = 0
z = p
Rješenje(-2p, p, p)
2.7. Za koje vrijednosti x je matrica
singularna?
11
REGULARNE matrice - imaju inverznu matricu det A 0SINGULARNE matrice - nemaju inverznu matricu det A = 0
12
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
2.8. Izračunajte realne brojeve a,b,c ako je AT·A = I (A je ortogonalna matrica) i
.
2.9. Riješite sustav
-3x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = -12-x1 + 5x2 - 3x3 - 4x4 = -392x1 + x3 + 4x4 = 143x1 - 4x2 + x4 = 33
x1 x2 x3 x4 B-3 2 4 2 -12 (-4)
13
-1 5 -3 -4 -39 32 0 1 4 14 *3 -4 0 1 33
-11 2 0 -14 -68 145 5 0 8 3 (-8)2 0 1 4 14 (-4)3 -4 0 1 33 *31 -54 0 0 394 /31-19 37 0 0 -261-10 16 1 0 -1183 -4 0 1 331 -54/31 0 0 394/31 *
-19 37 0 0 -261 19-10 16 1 0 -118 103 -4 0 1 33 (-3)1 -54/31 0 0 394/31
0 121/31 0 0 -605/31 /121/31
0 -44/31 1 0 282/31
0 38/31 0 1 -159/31
1 -54/31 0 0 394/31 54/31
0 1 0 0 -5 *0 -44/31 1 0 282/31 44/31
0 38/31 0 1 -159/31 -38/31
1 0 0 0 40 1 0 0 -50 0 1 0 20 0 0 1 1
Rješenje(4,-5,2,1)
14
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
2.10. Riješite sustav
x + y - 2z = 02x + y - 3z = 02x - y - z = 06x - y - 5z = 07x - 3y - 4z = 1
x y z B1 1 -2 0 *2 1 -3 0 (-1)2 -1 -1 0 16 -1 -5 0 17 -3 -4 1 31 1 -2 01 0 -1 03 0 -3 0 /37 0 -7 0 /710 0 -10 11 1 -2 01 0 -1 0 *1 0 -1 0 (-1)1 0 -1 0 (-1)10 0 -10 11 1 -2 01 0 -1 00 0 0 0 nul-jednadžba0 0 0 0 nul-jednadžba10 0 -10 11 1 -2 0 (-1)1 0 -1 0 *10 0 -10 1 (-10)0 1 -1 01 0 -1 00 0 0 1 kontradiktorna jednadžba
sustav je kontradiktoran - nema rješenje
15
2.11. Riješite sustav
x + 2y + 3z - 4u = 112x + y + 5z + u = 3x - y + 2z + 5u = -8
3x + 3y + 8z - 3u = 14
tako da x i z budu bazične varijable.
Bazične varijable su one po kojima je sustav rješen.
x y z u B1 2 3 -4 11 *2 1 5 1 3 (-2)1 -1 2 5 -8 (-1)3 3 8 -3 14 (-3)1 2 3 -4 110 -3 -1 9 -190 -3 -1 9 -19 /-10 -3 -1 9 -191 2 3 -4 11 (-3)0 -3 -1 9 -19 10 3 1 -9 19 *0 -3 -1 9 -19 11 -7 0 23 -460 0 0 0 0 nul-jednadžba0 3 1 -9 190 0 0 0 0 nul-jednadžba1 -7 0 23 -460 3 1 -9 19
x -7y + 23u = -463y + z - 9u = 19
y = p1 , u = p2
x = 7p1 - 23p2 -46z = -3p1 + 9p2 +19
Rješenje(7p1 - 23p2 -46, p1, -3p1 + 9p2 +19, p2 )
16
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
3.1. Izračunajte derivaciju funkcije primjenom logaritamske derivacije.
3.2. Izračunajte derivaciju funkcije primjenom logaritamske derivacije.
3.3. Izračunajte derivaciju implicitne funkcije .
17
3.4. Izračunajte derivaciju implicitne funkcije .
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
18
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
19
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
20
3.24.
3.25.
3.26.
3.27. Odredite područje definicije, asimptote, ekstreme, područja rasta i pada te nacrtajte graf funkcije
.
Simetrija f(-x) = -f(x) neparna - simetrična s obzirom na ishodištef(-x) = f(x) parna - simetrična s obzirom na os y
Nema simetrije
Područje definicijex + 1 0x = -1 točka prekida, to je ujedno i vertikalna saimptotaD = x R \ {-1}
Asimptote
Vertikalna asimptota x = -1
Horizontalna asimptota y = 1
Kosa asimptota - ne postoji
Ekstremi
22
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
Funkcija nema lokalnih ekstrema, jer prva derivacija nikad neće biti jednaka nuli.
Područje rasta i pada
Ovaj će izraz uvijek biti veći od nule, što znači da funkcija raste na cijelom području definicije, što prikazuje i sljedeća slika.
23
3.28. Ispitajte tok funkcije i nacrtajte graf funkcije .
Simetrija
Funkcija je neparna ( f(-x) = - f(x) ), pa je simetrična s obzirom na ishodište.
Područje definicije x 0 D = x R \0
Funkcija nije definirana u točki x = 0, to je ujedno i vertikalna asimptota.
Asimptote
Vertikalna asimptota x = 0
Horizontalna asimptota - ne postoji
Kosa asimptota y = kx - l = x
Ekstremi
Gornji izraz nikad nije jednak nuli, pa funkcija nema ekstreme.
Područje rasta i pada
Gornji izraz je uvijek veći od 0, pa funkcija raste na cijelom području definicije.
24
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
Slika od prethodnog zadatka:
3.29. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .
Područje definicije x - 1 0x = 1 točka prekida i vertikalna asimptotaD = x R \1
Asimptote
Vertikalna asimptota x = 1
Horizontalna asimptota - ne postoji
Kosa asimptota y = x + 2
25
Ekstremi
Područje rasta i pada
Područje rasta -, , Područje pada ,
3.30. Nađite asimptote i ekstreme funkcije , te skicirajte njezin graf.
Ekstremi
26
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
U točki T(0,1) funkcija ima minimum jer je f’’(0) veće od nule.
Vertikalna asimptota - x = 1
Horizontalna asimptota - y = 0
Kosa asimptota - ne postoji
Područje rasta i pada funkcije
Područje rasta x 0, a područje pada x 0.
27
3.31. Nađite ekstreme i asimptote funkcije
te skicirajte graf.
Domena
D = R \ -3,
Ekstremi
28
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
Vertikalne asimptote
Horizontalna asimptota
Kosa asimptota - ne postoji
Područje rasta
Područje rasta
Područje pada
29
3.32. Odredi ekstreme i asimptote i nacrtaj graf funkcije .
Domena
Ekstremi
AsimptoteVertikalne – točke prekida
Horizontalne
Kosa asimptota – nema
Područje rasta i pada
Ako uzmemo u obzir i točke prekida preciznije bi bilo napisati
30
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
31
3.33. Izračunajte površinu koju zatvaraju krivulje y = x2 i x = y2.
3.34. Izračunajte površinu koju zatvaraju krivulje y = lnx i y = ln2x.
32
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
3.35. Izračunajte površinu koju omeđuje krivulja i pravci y = 0, x = 1 i x = 2.
3.36. Izračunajte površinu unutar kružnice X2 + Y2 = 16 i parabole X2 = 12(Y - 1) (za Y 0 ).
33
Sjecište kružnice i parabole
3.37. Izračunajte površinu koju omeđuje krivulja y = x log2 x i pravci x = 2 i y = 0.
34
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
4.1. Koji bi iznos trebalo ulagati u banku početkom svakog mjeseca kroz godinu dana da bi se na kraju druge godine moglo podići 120 000? p = 12,5%
+R +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121.g. 2.g. S24
4.2. Koliko treba ulagati početkom svakog polugodišta kroz 3 godine, da bi se od kraja 5. godine mogla isplačivati mjesečna renta visine 350 kroz 4 godine, ako je kamatna stopa u prve 4 godine 6%, a nakon toga 8%?
+x +x +x +x +x +x S3 A' A -350 ukupno 4*12 = 48 renti12 1 ...
1.g. 2.g. 3.g. 4.g. 5.g. 6.g. 7.g. 8.g. 9.g.
Prvo računamo iznos A koji trebamo imati na kraju 11. mjeseca u 5. godini da bi mogli isplatiti rente:
A svodimo na kraj 4. godine A':
a zatim na kraj 3. godine S3:
Sad računamo iznos uplate x:
Copyright
1998. Krunoslav Tom
ašković (042) 370-714, ktom
35
4.3. Zadnja otplatna kvota zajma je 10 000. Zajam je odobren na 15 godina uz p = 10% godišnje. Izračunajte anuitet, visinu zajma i ukupno plaćene kamate.
4.4. Zajam od 100 000 odobren je na 6 godina uz p = 6%. Koliko iznosi treća, a koliko šesta otplatna kvota i kolike su ukupne kamate?
4.5. Netko uloži 8 puta, u razmaku po 3 mjeseca, po 40 000. Na kraju prve godine podigne 60 000. Preostali iznos podigne u dva jednaka dijela u razmaku od pola godine, s tim da prvi dio podigne 3 godine nakon prve uplate. Koja je visina tih dviju isplata? p=22%
+40 +40 +40 +40 +40 +40 +40 +403 6 9 12 15 18 21 24 6mj.
1.g. 2.g. 3.g.-60 S2 A2 -R -R
IS0
A0
36
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
4.6. Zajam od 18 000 odobren je na 18 mjeseci uz otplatu mjesečnim anuitetima. Nakon 5 mjeseci podigne se dopunski zajam od 10 000, s tim da se otplaćuje zajedno s preostalim dijelom starog zajma u dogovoreno vrijeme. Izračunajte oba anuiteta! p=22%
O5 je ostatak duga nakon 5 mjeseci. Sad se taj dug poveća za novi zajam od 10 000 pa je novi K = 23 535,92. Sad računamo novi anuitet.
4.7. Netko uplati nepoznati iznos. Nakon 5 mjeseci uplati još toliko. Na osnovi tih uplata od kraja 3. godine isplati se 5 mjesečnih renti visine 13 000. Kolika je bila visina nepoznatih uloga? p=22%
+x +x S2 A5 -13 -13 -13 -13 -135 10 ukupno 2+12+11 = 25 mjeseci 12 1 2 3 4 5
1.g. 2.g. 3.g.A0
4.8. Koliki iznos treba uložiti da bi se kroz 5 godina, krajem godine podizalo po 50 000, ako je kamatna stopa prve dvije godine 7%, a preostale tri godine 6%?
+x -50000 -50000 -50000 -50000 -500001 2 3 4 5
7% 6%A0 A3
A3POC
Svodimo A3 na početnu godinu:
37
4.9. Zajam do 400 000 odobren je na 20 godina uz otplatu polugodišnjim anuitetima i p=5%. Poslije 25 otplaćenih auiteta kamatna stopa p se smanji za 1%, a rok otplate produži za 2 godine. Izračunajte novi anuitet.
Prvo računamo prvi anuitet a1 za početne uvjete zajma:
Zatim računamo ostatak duga nakom 25 otplaćenih anuiteta:
Dobiveni iznos je sad novi zajam, kamata je 4% a otplačuje se na 19 polugodišta:
4.10. Zajam je otplaćen za 5 godina polugodišnjim anuitetima visine 76 638,35. Koliki je bio zajam? Izradite otplatnu osnovu za petu godinu otplate. p=18%
Iznos zajma je 500 000.
n anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga4.g. 2.polugodište - n=8 ... ... ... 135 499,625.g. 1.polugodište - n=9 76 638,66 11 690,64 64 948,02 70 551,605.g. 2.polugodište - n=10 76 638,66 6 087,06 70 551,61 0
Sljedi postupak izračunavanja:
4.11. Šesta otplatna kvota zajma je 11 200, a treća 9 324. Zajam je otplaćen polugodišnjim anuitetima kroz šest i pol godina. Kolika je visina zajma i koliko je ukupno plaćeno kamata?
38
Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]
Zajam je visine 159 952,29.
Ukupan iznos kamata je 78 544,61.
4.12. Netko uplaćuje kroz 3 godine početkom svakog mjeseca nepoznati iznos X tako da bi od kraja 5 godine mogao primati kvartalnu rentu visine 2 000 kroz idućih 5 godina. Izračunajte X ako je prve 4 godine p = 6%, a idućih 6 godina p = 8%.
Kroz 3 godine ukupno uplati 36 uplata visine X i na kraju treće godine ima iznos S3. Na kraju pete godine ima iznos S5 = S3 * r2. Taj S5 je ukupan iznos A svih renti koje treba isplatiti sjedećih 5 godina - po 4 rente godišnje, dakle ukupno 20 renti. Sljedi račun.
4.13. Zajam se otplaćuje mjesečno kroz 10 godina anuitetima visine 950 kn uz p = 12% godišnje. Nakon 3 godine prijeđe se na otplatu kvartalno uz godišnju kamatnu stopu p = 10%. Izradite otplatnu osnovu za zadnji mjesec u trećoj godini i prvi kvartal u četvrtoj godini.
n anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga3.g. 11.mjesec ... ... ... 55 255,453.g. 12.mjesec 950 5,24 944,76 54 310,694.g. 1.kvartal 2 690,05 13,10 2 676,95 51 633,74
Ostatak duga je sad novi zajam. Računamo novi anuitet.39
4.14. Zajam se otplaćuje godišnjim anuitetima kroz 5 godina. Znamo da su kamate plaćene u prvoj godini jednake 4 000. Izradite otplatnu osnovu za otplatu zajma i izračunajte ukupne kamate. p = 4%
U daljnjem postupku izračunavanja primjenjuju se sljedeće formule:
n - godina anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga0 - - - 100 000,001 22 462,71 4 000,00 18 462,71 81 537,292 22 462,71 3 261,49 19 201,22 62 336,073 22 462,71 2 493,44 19 969,27 42 366,804 22 462,71 1 694,67 20 768,04 21 598,765 22 462,71 863,95 21 598,76 0
40