Bruddmekanisk tilnærming til estimering av utmattingslevetider til rundsveisede rørledninger

Igor Džebrić

MASTEROPPGAVE

Anvendt matematikk og mekanikk

Faststoffsmekanikk

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Universitetet i Oslo

Mai 2013

1

2

3

© Igor Džebrić

2013

Bruddmekanisk tilnærming til estimering av utmattingslevetider til rundsveisede rørledninger

Igor Džebrić

http://www.duo.uio.no/

Trykk: Reprosentralen, Universitetet i Oslo

4

Sammendrag

Formålet med denne rapporten er å utlede og vurdere mulighet for bruk av en teoretisk metode som baserer seg på anvendelse av en konseptuel beregningsparameter, ekvivalent initial sprekkdybde (EIFS), i den tradisjonelle bruddmekaniske tilnærmingen, til å predikere utmattingslevetid. I tillegg, tilbys det en grundig introduksjon til relevant bruddmekanisk teori, som inkluderer beskrivelse av spenningsintensitetsfaktor K , sammenlikning av sprekkvekst i plate med og uten sveiseskjøt og vurdering av effekten av diverse faktorer for sprekkvekst og sprekkform. Disse danner grunnlag for alle avgjørelser og antakelser som er gjort i rapporten.

Uttrykk for variasjon i spenningsintensitetsfaktor Δ K ble kombinert med totrinns Paris’ lov i en beregningsrutine for estimering av utmattingslevetid. Ekvivalente initiale sprekkdybder til tjueseks rundsveisede rørledninger med ulike geometrier og belastninger, der sprekker oppsto ved sveisetå ble beregnet fra eksperimentelle data. Statistisk vurdering av funnede resultater ga at Weibull fordeling hadde den beste føyningen. Den ble brukt for å bestemme grenseverdiene som danner grunnlag for EIFS-metoden. Den statistiske bearbeidingen av data er rapportert og diskutert.

Metoden ble vurdert mot eksperimentelle data til fire rundsveisede rørledninger fra litteraturen, og viste evne til å predikere utmattingslevetid, men ikke til å beskrive sprekkformen gjennom ulike stadier av utmattingslevetiden. Sammenlikning med S-N tilnærmingen, og diskusjon av ulike aspekter ved EIFS-metoden er også presentert.

5

6

Forord og anerkjennelse

Denne rapporten representerer avslutning av arbeidet som ble utført i løpet av det siste semesteret som en del av masterprogrammet i Anvendt matematikk og mekanikk, studieretning Faststoffsmekanikk, ved Universitet i Oslo. Oppgaven ble skrevet i samarbeid med Det Norske Veritas (DNV).

Jeg vil bruke denne anledningen til å takke min eksterne veileder, Arne Fjeldstad, Ph.D som alltid har vært tilgjengelig og klar for lange møter når det var behov for diskusjon, hjelpsom med alle vanskeligheter som oppsto i løpet av arbeidet og tålmodig når ting ikke sank inn med en gang. Hans veiledning har hjulpet meg å gjennomgå denne prosessen med bratt læringskurve smertefritt og alle bidrag og konstruktive forslag har i stor grad, uten falsk beskjedenhet, ført til et høyere nivå av oppgaven. Jeg var virkelig heldig å ha en så flink, hyggelig og motiverende veileder som Arne.

Min interne veileder, Jun Liu, Ph.D fortjener en stor takk for alle forslag og interesse som han viste i arbeidet i løpet av forprosjektet som ledet til masteroppgaven og selve masteroppgaven også.

Til slutt, vil jeg også takke Rikard Törnqvist, Ph.D som har ordnet at jeg fikk mulighet til å benytte DNVs utstyr og kontorplass en del av tiden som ble brukt til skriving av denne rapporten, samt få hjelp fra dyktige ansatte.

Jeg håper at rapporten gjenspeiler innsats og arbeid, og at den kan være av nytte til alle som leser den.

Igor DžebrićOslo, 27. 05. 2013.

7

InnholdsfortegnelseSammendrag.............................................................................................................................................................................V

Forord og anerkjennelse..........................................................................................................................................................VII

Innledning.................................................................................................................................................................................. 2

Del 1.......................................................................................................................................................................................... 3

1. Introduksjon.....................................................................................................................................................................3

1.1. Utmatting....................................................................................................................................................................3

1.2. Lineærelastisk Brudmekanisk konsept........................................................................................................................3

1.3. Utmattingslevetid........................................................................................................................................................3

1.3.1. Initieringsfasen (Stadium I)..........................................................................................................................................3

1.3.2. Stabil sprekkvekst (stadium II).....................................................................................................................................5

1.4. Sammenlikning av stadiene.........................................................................................................................................6

2. Spenningsintensitetsfaktor, K ........................................................................................................................................7

2.1. Spenningsintensitetsfaktor for en sprekk i en plate....................................................................................................8

2.2. Illustrerende eksempel 1a – K -faktorer i punkter A og B (plate)...............................................................................9

3. Sveisede konstruksjoner................................................................................................................................................10

3.1. Generelt....................................................................................................................................................................10

3.2. Utmatting av sveis.....................................................................................................................................................10

3.3. Spenningskategorisering...........................................................................................................................................12

3.3.1. Nominell spenning....................................................................................................................................................12

3.3.2. Hot spot (geometrisk) spenning................................................................................................................................12

3.3.3. Kjervspenning............................................................................................................................................................13

3.4. Spenningsintensitetsfaktor for en sprekk ved sveisetå..............................................................................................14

3.5. Illustrerende eksempel 1b – K -faktorer i punkter A og B (sveisetå)........................................................................15

4. Utmattingssprekkvekst...................................................................................................................................................16

4.1. Anvendelse av K i utmattingssprekkvekstanalyser....................................................................................................16

4.2. Sprekkvekstmodell....................................................................................................................................................17

4.3. Beregning av utmattingssprekkvekst.........................................................................................................................19

4.3.1. MATLAB skript...........................................................................................................................................................19

4.4. Illustrerende eksempel 2 – Utmattingssprekkvekst...................................................................................................20

4.4.1. Sammenlikning..........................................................................................................................................................23

5. Sprekkens egenskaper....................................................................................................................................................24

5.1. Initialt a /c -forholdstall...........................................................................................................................................24

5.2. Betydning av a /c for den opprinnelige sprekkstørrelsen........................................................................................25

5.3. Betydning av spenningsforhold for a /c...................................................................................................................26

5.3.1. Tilfelle 1 – Ren membranspenning, ΔSt ..................................................................................................................27

5.3.2. Tilfelle 2 – Kombinasjon av membran- og bøyespenning, ΔSt og ΔSb..................................................................28

8

5.3.3. Tilfelle 3 – Ren bøyespenning, ΔSb.........................................................................................................................29

5.3.4. Sammenlikning..........................................................................................................................................................30

5.4. Betydning av membran- og bøyespenning for utmattingslevetid..............................................................................30

5.5. Effekt av platebredden på utmattingsanalyser..........................................................................................................32

DEL 2........................................................................................................................................................................................ 33

6. Vurdering av utmattingslevetid......................................................................................................................................33

6.1. S-N tilnærming..........................................................................................................................................................33

6.1.1. Generelt....................................................................................................................................................................33

6.1.2. Hot spot tilnærming (DNV-RP-C203).........................................................................................................................34

6.2. Bruddmekanisk tilnærming.......................................................................................................................................35

7. Ekvivalent initial sprekk (EIFS)........................................................................................................................................36

7.1. EIFS-metode..............................................................................................................................................................36

8. Database........................................................................................................................................................................37

9. Tilbakeregning................................................................................................................................................................39

9.1. Metode......................................................................................................................................................................39

9.1.1. Antakelser.................................................................................................................................................................39

9.1.2. Tilnærming av parametere........................................................................................................................................39

9.2. Diskusjon av metode.................................................................................................................................................42

9.2.1. Valg av sprekkvekst modell – Totrinns Paris’ lov.......................................................................................................42

9.2.2. Valg av initialt a /c-forholdstall................................................................................................................................43

10. Resulterende EIFS......................................................................................................................................................43

10.1. Betydning av bruddmekanisk tilnærming for beregning av EIFS................................................................................45

10.2. EIFS og den fysiske initiale sprekkdybden..................................................................................................................46

11. Statistisk behandling av resultatene..........................................................................................................................48

11.1. Sannsynlighetsfordeling av EIFS-verdier....................................................................................................................48

11.2. Diskusjon av fordeling...............................................................................................................................................51

12. EIFS-tilnærming til estimering av utmattingslevetid..................................................................................................52

12.1. Vurdering av metoden..............................................................................................................................................52

12.2. Sammenlikning av EIFS- og S-N tilnærmingen...........................................................................................................54

12.2.1. Spenningsvidden..................................................................................................................................................55

12.2.2. Tykkelse................................................................................................................................................................56

13. Anvendelighet av EIFS-metoden................................................................................................................................57

13.1. Estimering av utmattingslevetid................................................................................................................................57

13.2. Predikasjon av sprekkens form (a /c).......................................................................................................................58

13.3. Diskusjon av anvendelighet.......................................................................................................................................59

14. Konklusjoner.............................................................................................................................................................60

15. Videre arbeid.............................................................................................................................................................61

16. Referanser.................................................................................................................................................................62

9

Vedlegg 1................................................................................................................................................................................... ii

Vedlegg 2.................................................................................................................................................................................. iii

Vedlegg 3.................................................................................................................................................................................. xi

Beregningsmetode....................................................................................................................................................................xi

Inndata..................................................................................................................................................................................... xii

Verifisering.............................................................................................................................................................................. xiii

Beregningsrutinen................................................................................................................................................................... xiii

Verifisering av riktig bruk av Mk -faktorer..............................................................................................................................xiv

10

Nomenklatur

a Sprekkdybde [mm]

a0 Initial sprekkdybde [mm]

aekv Den ekvivalente initiale sprekkdybden [mm]

a f Den endelige sprekkdybden (ved brudd) [mm]

b Platebredde [mm]

c Halvparten av sprekklengde [mm]

c0 Halvparten av initial sprekklengde [mm]

cekv Halvparten av den ekvivalente initiale sprekklengden [mm]

c f Halvparten av den endelige sprekklengden [mm]

da Sprekktilvekst i dybderetningen [mm]

dc Sprekktilvekst i lengderetningen [mm]dA /dN Sprekkveksthastigheten [mm pr . sykel]

k Tykkelses eksponent i uttrykk for S-N kurven (DNV-RP-C203); Formparameter i Weibull fordeling

log a Krysningspunkt av S-N kurven og N-aksen (DNV-RP-C203)

m Materialkonstant - Eksponent i Paris’ lov (BS 7910:2005); Helning til S-N kurven (DNV-RP-C203)

rm Rørets gjennomsnittsomkrets [mm]

scf Spenningskonsentrasjonsfaktor (DNV-RP-C203)

t Plate- eller rørtykkelse [mm]t ref

Referansetykkelse i uttrykk for S-N kurven (25 mm iht. DNV-RP-C203)

C Materialkonstant - Paris’ lov (BS 7910:2005)

COV Variasjonskoeffisient

DS 02 Datasett med EIFS-verdier med initial a /c=0,2EIFS Den ekvivalente sprekkstørrelsen (Equivalent Initial Flaw Size)

F Geometrifaktor fra Newman og Raju - korreksjon for ytre overflater ved ren membranspenning

H Geometrifaktor fra Newman og Raju - korreksjon for ytre overflater ved ren bøyespenning

K Spenningsintensitetsfaktor, K -faktor, SIF [kN /m3 /2]

Kmax Maksimum spenningsintensitetsfaktor [kN /m3 /2]

Kmin Minimum spenningsintensitetsfaktor [kN /m3 /2]

Δ K Variasjon i spenningsintensitetsfaktor [kN /m3 /2]

Δ K th Spenningsintensitetsfaktors terskelverdi [kN /m3 /2]

L Sveisefotens bredde [mm]LEFM Lineær elastisk bruddmekanikk

Mk bAForstørrelsesfaktor fra Bowness og Lee for bøyespenning i det dypeste punktet (A) i kilsveis

Mk bBForstørrelsesfaktor fra Bowness og Lee for bøyespenning ved overflaten (B) i kilsveis

Mk mAForstørrelsesfaktor fra Bowness og Lee for membranspenning i det dypeste punktet (A) i kilsveis

Mk mBForstørrelsesfaktor fra Bowness og Lee for membranspenning ved overflaten (B) i kilsveis

N Antall spenningssykler; Konstruksjonens levetid [sykler]N i Antall spenningssykler i initieringsfasen (stadium I) [sykler]

N p Antall spenningssykler i sprekkvekstfasen (stadium II) [sykler]

N tot Det totale antallet spenningsvekslinger [sykler]

Shs Hot spot spenning [MPa]

Sb Bøyespenning [MPa]

Snom Nominell spenning [MPa]

St Membranspenning [MPa]

Δ Sb Bøyespenning [MPa]

Δ S t Membranspenningsvidde [M Pa]

11

Q Geometrifaktor fra Newman og Raju - løsning for en elliptisk sprekk i et uendelig legeme med jevn spenning

R Spenningsforhold

Y Dimensjonsløs geometrisk faktor

α Statistisk signifikansnivå [%]θ Sveisevinkel [rad ]

λ Skaleringsparameter i Weibull fordeling

μ Aritmetisk middelverdi; Middelverdi i sannsynlighetsfordeling

σ Generell spenning [MPa]; Standardavvik i sannsynlighetsfordeling

Δ σ Spenningsvidde [MPa]

ϕ Den parametriske vinkelen til sprekkfrontellipsen [rad ]

12

Innledning

Rapporten er strukturert slik at det er hensiktsmessig å dele den i to deler.

Del 1 er en grundig introduksjon til bruddmekanisk tilnærming til sprekkvekst, som representerer nødvendige forkunnskaper og skal bidra til å sikre leseforståelse for ikke-orienterte lesere. Den består av flere kapitler ( 1-5), der hvert kapittel har som mål å tilby innføring i ulike teoretiske aspekter ved bruddmekanisk vurdering av sprekker og danne grunnlag for valg, tilnærminger og antakelser som er gjort i del 2.

Kapittel 1 er en kort introduksjon i utmattingsproblematikken. I kapittel 2 introduseres den viktigste parameter i bruddmekanikken, spenningsintensitetsfaktor K , for en sprekk i en plate. Et illustrerende eksempel for beregning av K -

faktor er gitt. Kapittel 3 representerer overgang fra vurdering av sprekker i grunnmateriale til sveisede konstruksjoner. K -faktor ved sveisetå av en kilsveis utledes med utgangspunkt i uttrykkene fra de tidligere to kapitlene, og et nytt illustrerende eksempel gis. Kapittel 4 omhandler sprekkvekstmodellen som blir benyttet til estimering av utmattingslevetid. Variasjon av spenningsintensitetsfaktor Δ K defineres med utgangspunkt i K -faktor. Illustrerende eksempler gis. Kapittel 5 gir innsikt i ulike egenskaper ved en sprekk og effekter av forskjellige faktorer på sprekkvekst kartlegges og diskuteres.

Del 2 består av kapitler 6-15. All relevant teori som presenteres i Del 1, benyttes til utledning en bruddmekanisk metode for estimering av utmattingslevetid og mulighet for bruk vurderes. Metoden baserer seg på bruk av ekvivalent initial sprekkstørrelse, EIFS.

Kapittel 6 gir en oversikt av måter for vurdering av utmattingslevetid. Kapittel 7 introduserer EIFS-konseptet og gjør rede for fremgangsmåtene som blir brukt deretter. Kapittel 8 beskriver en database som ble brukt til tilbakeregning til EIFS-verdiene. Kapittel 9 beskriver tilbakeregningsmetoden som ble benyttet og kapittel 10 presenterer resultatene. I kapittel 11 brukes resultatene til statistiske analyser, som danner grunnlag for selve EIFS-metoden. Metoden utledes og vurderes i kapittel 12. Kapittel 13 gir diskusjon av anvendelighet av metoden. Kapitlene 14 og 15 er henholdsvis konklusjoner og forslag til videre arbeid.

Til slutt oppgis referanseliste og tre relevante vedlegg.

13

Del 1

1. Introduksjon

1.1. Utmatting

Utmatting representerer et stort problem for mange konstruksjonstyper. Bygninger og liknende konstruksjoner har vanligvis ikke problemer på grunn av utmattingen, mens rørledninger, bruer, heisekraner, trykkbeholdere og diverse offshore konstruksjoner blir i stor grad påvirket av den. Årsak til det er at utmattingssprekkvekst kommer som følge av gjentatt lasting og avlasting på konstruksjonen. Over lang nok tid fører denne sykliske lasten til at små imperfeksjoner, som alltid finnes i materialet, vokser og blir store sprekker. Ved ett tidspunkt i konstruksjonens levetid vil en slik sprekk være så stor at det reduserte tverrsnittet ikke lenger vil ha tilstrekkelig kapasitet til å ta opp belasting og konstruksjonen vil få et restbrudd. Det ovenfor nevnte skjer ikke dersom konstruksjonen er belastet med tilsvarende statisk last ved vanlige driftstemperaturer. Mange konstruksjoner blir ikke belastet med tilstrekkelig mengde fluktuerende last for å få utmattingsproblemer. For de konstruksjonene som er utsatt for sykliske laster er det viktig å kunne forutsi deres levetid med hensyn på utmatting slik at de kan ytes til sitt maksimale potensial på en sikker måte.

1.2. Lineærelastisk bruddmekanisk konsept

Belastningene som fører til utmattingssprekkvekst er vanligvis lavere enn materialets flytespenning. Grunnen til at en sprekk likevel kan vokse er spenningskonsentrasjoner i visse deler av konstruksjonen som følge av imperfeksjoner i materialet. Spenningskonsentrasjoner fører til at selv ved en spenning som betraktes som konstant over tverrsnittet, vil spenningsfeltet i virkeligheten ha et maksimum ved imperfeksjonene. Det vil si at spenningen i disse punktene vil være høyere enn påført spenning i resten av tverrsnittet (nominell spenning).

Alle endringer i geometri fører til spenningskonsentrasjoner, men spissere vinkler gir høyere spenningskonsentrasjoner. Resultatene fra endelig elementanalyser (FEM) viser at sprekker med veldig spisse vinkler kan ha spenningen som går mot uendelig ved sprekkspissen. Dette er imidlertid ikke fysisk mulig, siden uendelig spenning betyr at spenningskonsentrasjonsfaktor også er uendelig, som fører til at alle nominelle spenninger som er større enn 0, ville ført til øyeblikkelig brudd i konstruksjon. Siden dette ikke er fysisk mulig, regner man med plastisk flytning av metallet begrenset til et lite område rundt sprekkspissen. Kombinert med syklisk last fører dette til at metallet flyter syklisk i sprekkspissen, og sprekken vokser litt ved hver ny lastsyklus. Så lenge spenningen er under en terskelverdi vil ikke sprekken utvide seg, men ved alle spenninger over det, vil sprekken vokse kumulativt. Høyere spenninger fører til raskere sprekkvekst og dermed lavere levetiden til en komponent. Som det blir lett å forstå, er utmattingen sterkt avhengig av spenningen og måten den blir påført.

1.3. Utmattingslevetid

Utmattingsprosess i metaller kan deles opp i fem faser fra den første spenningsvekslingen til bruddet som [1]:(1) Dannelse av mange mikroskopiske skjærsprekker, (2) Koalesens av flere mikroskopiske sprekker i en dominerende mikro-sprekk [2], (3) Sprekkvekst av den dominerende mikro-sprekken til makroskopisk nivå, (4) Stabil sprekkvekst av makroskopisk sprekk og (5) Ustabil og akselererende sprekkvekst til brudd.

Videre kan disse fasene samles på en hensiktsmessig måte, og følgende stadier defineres:

I. Initiering av sprekken (1), (2) og (3)II. Sprekkvekst til den kritiske størrelsen (4)

III. Restbrudd (5)

Levetiden til en konstruksjon utsatt for syklisk last er summen av de første to stadier, nemlig:

N tot=N i+N p

Der N i og N p er antall spenningssykler i henholdsvis initieringsfasen (stadium I) og sprekkvekstfasen (stadium II). De to

viktigste stadiene beskrives i nærmere i følgende to avsnitt.

14

1.3.1. Initieringsfasen (Stadium I)Initiering starter når det oppstår mikroskopisk flytning i materialet, langs plan med høy skjærspenning. Alle

spenningsendringer fører til nye flytninger, som betyr at nye glideplan i metallkrystaller dannes (Figur 1a). Dette medfører en tilfeldig dannelse av «lepper» (eng: intusions og extrusions). Etter en viss tid vil dette bli til sprekkliknende defekter på mikroskopisk nivå (Figur 1b). Initieringsfasen tar lang tid når den starter ved en plan overflate og utgjør det meste av komponentens levetid. Dersom initieringsfasen foregår ved en skarp defekt kan dette føre til at den lokale spenningsvidden blir meget stor slik at initieringen går raskt. I det tilfellet vil den videre sprekkveksten utgjøre den vesentlige delen av levetiden [3].

15

Figur 1 - Stadium I (initieringsfasen)

(b)

(a)

Nytt aktivtglideplan

Nytt aktivtglideplan

Nytt aktivtglideplan

AktivtglideplanAktivt

glideplan

1.3.2. Stabil sprekkvekst (stadium II)Propagering av sprekken i stadium II beskriver sprekkvekst av den makroskopiske sprekken til den kritiske verdien. Den kommer etter initieringsfasen. I dette stadiet fortsetter vekst vanligvis normalt på den største hovedspenningen, som vist i Figur 3. Videre forklares sprekkvekstmekanismen i denne fasen (Figur 2).

1. Tidspunkt med minimumsspenning. Sprekken er lukket med skarp sprekkspiss.2. Tidspunkt med maksimal spenning. Sprekken åpner seg på grunn av strekk ved sprekkspissen. Det kommer til

bluntning, det vil si at sprekkspissen som avrundes på grunn stor plastisk deformasjon som følge av spenningsfeltet. Avrundingen impliserer at sprekken vokser et inkrement innover i materialet.

3. Tidspunkt med minimumsspenning. Sprekken er lukket igjen. Avrundinger som var der før har blitt knekt innover på grunn av spenningsfelt i trykk. Sprekkspissen har dermed blitt skarp igjen og tilveksten ble beholdt.

Dette gjentas om igjen og om igjen så lenge lasten varierer. Denne mekanismen gir forklaring på hvordan striasjoner dannes.

16

Figur 2 – Sprekkvekst i stadium II ved syklisk belastning

Sprekk

Sprekk

t

Striasjoner

Sprekk

a dadN

③

②

①

① ③

②

SpenningsviddeΔσ

σmin

σmean

σmax

1.4. Sammenlikning av stadiene

Selv om stadier I og II er i prinsippet ulike, er grensen mellom dem ofte uklar eller definert ulikt avhengig av formål. Ingeniørene vil ofte definere overgang når sprekken er så stor at den kan oppdages ved kontroll (0,1-1 mm), mens forskere bruker verder som en mikrometer.

Initieringsfasen (N i) utgjør det meste av den totale utmatingslevetiden (N tot ) for flate komponenter uten store feil. Ved

bruddmekanisk tilnærming vurderes bare sprekkvekst av makroskopiske sprekker (N p). Alle bruddmekaniske uttrykk som

presenteres videre i rapporten gjelder bare for stadium II. Uttrykkene gir ikke en god modell til å beskrive initieringsfasen siden materialet ikke lenger oppfører seg som et homogent isotropt kontinuum på slike mikroskopiske skalaer. Sprekkveksten i slike tilfeller er sterkt påvirket av mikrostrukturs egenskaper [4].

Videre i rapporten blir sprekker i initieringsfasen (stadium I) referert til som mikroskopiske – eller mikrosprekker, dersom det er behov for å skille mellom sprekker i de to stadiene. Sprekker som er store nok til å være i stadium II refereres til som makroskopiske- eller makrosprekker.

17

Figur 3 - Sprekkvekst i stadiene I og II [3]

Initiering

Sprekkveksti Stadium I

Sprekkveksti Stadium II

2. Spenningsintensitetsfaktor, K

Ved vurdering av en plate med en sprekk, kan det skilles mellom flere måter en kraft kan påføres slik at sprekken har mulighet til å vokse. En foreslått klassifisering av tre mulige situasjoner [4] er gitt i Figur 4.

Ulike modi som vises i Figur 4 fører til ulike spenninger:

Modus I gir normalspenninger i sprekkplanets forlengelse (eng. opening) Modus II gir skjærspenninger normalt på sprekkfronten (eng. in-plane shear) Modus III gir skjærspenninger parallelt med sprekkfronten (eng. out-of-plane shear)

I en generell situasjon, kan man finne at spenninger fra flere modi opptrer samtidig. I et slikt tilfelle, ved kombinert last, kan spenningsfeltet til hver modus superponeres. Det betyr at i et lineærelastisk problem med kombinerte modi, individuelle

bidrag til en spenningskomponent kan adderes. Med andre ord, hvis σ ijI , σ ij

II og σ ijIII er spenningskomponenter knyttet til

henholdsvis Modi I, II og III, da er spenningskomponent σ ij gitt ved:

σ ij=σ ijI+σ ij

II+σ ijIII (1)

der i , j kan værex og y .

Ved å vurdere de tre innførte modusene innenfor teorien om lineærelastisitet, observerer man at en sprekk fører til en diskontinuitet i det elastiske legemet. Grunnen til det er at spenningen går mot uendelig dersom man nærmer seg sprekkspissen [4]. Et forenklet uttrykk for spenningen som ivaretar singulariteten ved sprekkspissen kan skrives som:

σ ij=( K I

√2 πr ) f ij (θ ) (2)

Der r er avstand til sprekkspissen, f ij(θ) er en ren funksjon av vinkelen og K I er spenningsintensitetsfaktor (SIF). Vi ser at

uttrykket (2) går mot uendelig dersom avstanden til sprekkspissen, r , går mot null. Faktorene f ij (θ ) og K I avhenger av

type belastningsmodi. Denne rapporten fokuserer hovedsakelig på Modus I.

Spenningsintensitetsfaktor er en av viktigste parametere i bruddmekanikken siden beskriver spenningsforhold rundt sprekkspissen og kan dermed brukes til å finne spenninger, forskyvninger og tøyninger ved sprekkspissen som funksjon av vinkel og avstand fra den, r [4]. SIF er avhengig av lengden og retningen til sprekken, geometrien av komponent eller konstruksjonsdel, samt lastfordelingen. Generelt er den gitt på formen:

K=Yσ ∙√πa (3)

18

τ

τz

yx

τ

τ

z

yx

σ

σ

z

yx

Figur 4 - Ulike belastningsmodi

Modus IIIModus IIModus I

der Y er en dimensjonsløs faktor som tar hensyn til virkningen av konstruksjonens geometri, lengde og type sprekker; σ er

spenning og a er sprekkdybden. Med uttrykk (3) er man i stand til å finne K I for alle geometrier så lenge Y er bestemt. K

er indeksert med romertall I og indeksen kommer av type belastningsmodus.

19

2.1. Spenningsintensitetsfaktor for en sprekk i en plate

Ved å vurdere sprekk i en plate, analyserer man med andre ord spenningsintensitetsfaktor K til en sprekk i

grunnmaterialet. Likning (3) angir den generelle formen som brukes for å definere K . Flere forskere har jobbet med å utvikle SIF for de oftest forekommende sprekkgeometrier, som i prinsippet betyr å finne en verdi eller et uttrykk for den dimensjonsløse faktoren Y som inngår i likningen. Newman og Raju [5] har studert denne problematikken og kommet, ved hjelp av FEM, fram til flere empiriske løsninger for spenningsintensitetsfaktor, avhengig av sprekktype. I denne rapporten

vurderes en halv-elliptisk overflatesprekk i en endelig plate som er belastet med membran- ( St) og bøyespenning (Sb) som

vises i Figur 5. Newman og Raju [5] omskrev likningen (3) til følgende uttrykk:

K= (S t+H ⋅Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F (4)

Der aer sprekkdybde; St og Sb er henholdsvis membran- og bøyespenning; H ( ac

, at

, ϕ), Q( ac) og F ( a

c, a

t, c

b,ϕ)

er geometri faktorer. De kan beregnes ved å bruke uttrykk gitt i Vedlegg 1.

Som det går an å se av Figur 5, vil K variere over sprekkfronten, avhengig av den parametriske vinkelen til ellipsen, ϕ .

Grunnen til det er at H og F er avhengige av den vinkelen. De mest interessante punktene på sprekkfronten er det

dypeste (punkt A) og på overflaten (punkt B). Disse har henholdsvis vinklene ϕ A=π /2 og ϕ B=0 som gjør at SIF blir ulik i

de to punktene, som fører til forskjellig sprekkvekst i lengde- (c) og dybderetningen (a) over tid. Dette vises i et illustrerende eksempel som følger.

20

Figur 5 - Geometrien til en halv-elliptisk sprekk i en endelig plate

B

A

φ

ta

2c

2bt

St

Sb

a

2c

2.2. Illustrerende eksempel 1a – K -faktorer i punkter A og B (plate)

Det vurderes en uendelig bred plate, belastet bare med membranspenning St . De relevante størrelsene har følgende

verdier:

PlateBredde, b → ∞Tykkelse, t=40 mm

InitialsprekkLengde, 2 ⋅c0=2 ⋅10mmDybde, a0=4 mm

SpenningMembranspenning, St=100 MPa

Ved å bruke uttrykkene gitt av Newman og Raju (Vedlegg 1) og de gitte initialsprekkdimensjonene, finner man spenningsintensitetsfaktor i punkt A og B. Den eneste forskjellen mellom de to er de parametriske vinklene:

ϕ A=π /2

ϕ B=0

Siden det ikke er påført noen bøyespenning, blir H-faktoren fra likning (4) borte, da den skal multipliseres med Sb=0. De

diverse faktorene blir som følger:

Tabell 1 - Resultater (faktorer)Faktor (likning (4)) Punkt A Punkt BH 0,8746 0,9616Q 1,3228 1,3228F 1,1034 0,7701

Substituert i likning (4), fører disse verdiene til:

K A=340,08 kN /m32 K B=237,35 kN /m

32

som er spenningsintensitetsfaktorer i det dypeste punktet A og ved sprekkens overflate B.

∎

21

b → ∞

BA

φ

t = 40 mm

a0 = 4 mm

2c0 = 20 mm

Figur 6 - Sprekk- og platedimensjoner (eksempel 1a)

3. Sveisede konstruksjoner

3.1. Generelt

Konstruksjoner der komponentene er koblet sammen ved hjelp av sveis har ulike utmattingsegenskaper enn konstruksjoner som ikke har noen sveiseskjøt i seg. Sveisede konstruksjoner får vanligvis ikke utmattingsbrudd i grunnmaterialet, siden utmattingssprekk i slike konstruksjoner vil vanligvis begynne å vokse i sveiseskjøtet. Sprekk oppstår i sveis på grunn av flere faktorer som diskuteres videre.

Det finnes flere typer sveis som brukes til å koble sammen ulike deler av konstruksjonen (Figur 7). Figuren viser tre typer buttsveiser: ensidig buttsveis (a), tosidig buttsveis (b) og buttsveis med sveiseunderlag (c). I tillegg vises tre typer kilsveiser: ingen gjennombrenning (d), delvis gjennombrenning (e) og full gjennombrenning (f). Størst fokus i denne rapporten skal settes på sveis der sprekkinitiering fra roten ikke representerer størst problem, det vil si sveis som (b) og (f). I disse sveisetypene, oppnår man fullstendig gjennombrenning og det finnes ikke noen sveiserot hvor en sprekk eventuelt kunne oppstå.

3.2. Utmatting av sveis

En utmattingssprekk vil, som tidligere nevnt, nesten alltid oppstå ved et sveiseskjøt. Dette kommer som følge av flere faktorer, som selve sveiseprosessen og måter sveisen virker på en konstruksjon. Årsakene for dårligere utmattingslevetid kan være: inhomogent materiale, aggressive omgivelser, sveiseteknikker og feil på grunn av sveising, sveisekvaliteten, kvalitetskontrollprosedyrer, koblingsdetaljer, den geometriske profilen av sveisen og restspenninger [1][6].

Sveiseskjøt består av inhomogent materiale. Tilsatsmetall som smeltes sammen med grunnmateriale er generelt av liknende type metall, men legeres spesifikt for å oppnå høye krav med hensyn til overføring av dråpene, formen av sveisebadet og forebyggelse av sprekker på grunn av varme. Individuelle legeringselementer i tilsatsmetall kan forbrenne eller fordampe og andre elementer fra omgivelse kan trenge inn og føre til dannelsen av mikroporer eller -separasjoner [1]. I området ved selve sveisebadet, varmepåvirket sone (HAZ), kommer det til forandring i materialets mikrostruktur som følge av oppvarming og nedkjøling. Selv om varmepåvirket sone har samme kjemiske sammensetning som upåvirket grunnmateriale, kan den få forandringer i egenskaper i så stor grad at den må ansees som et annet materiale [7].

Lokale spenningskonsentrasjoner ved sveis som skyldes delvis den generelle formen til komponenten og delvis sveisens mikro-geometri, er kjent til å påvirke utmattingslevetiden [8]. Vanlig konstruksjonssveising er ikke presisjonsprosess og etterlater sveisedefekter. Disse defekter omfatter porøsitet, manglende gjennomsveising, ufullstendig smelting, eksentrisitet, overlapping, underkutt osv. (se Figur 8) og gir et godt grunnlag for dannelse av utmattingssprekker.

22

Figur 7 – Noen typer sveis: Buttsveis (rad 1) og kilsveis (rad 2) [8]

(f)(e)(d)

(c)(b)(a)

x

Sveisedefekter oppstår generelt i kritiske områder av materialet som ved sveisetå-soner i buttsveiser og sveisetå- og rot-soner i kilsveiser. Dette fører til en høyere lokal spenning i de områdene. Spenningskonsentrasjonene vil føre til at små diskontinuiteter nært disse områdene vil reagere som om de er i et område med høyere spenning og vokse derfor raskere når belastet med syklisk last. Det resulterer i at initieringsfasen som er nødvendig for å sette i gang utmattingsprosess blir meget kort og ofte ikke-eksisterende [6]. Som allerede forklart, utgjør initieringsfasen den største andelen av en komponents levetid med hensyn på utmatting. Ved å hoppe over det meste av initieringsfasen, og starte i, eller like før stadium II, vil en sprekk bruke mesteparten av sin levetid på å vokse, som betydelig forkorter konstruksjonens levetid, sammenliknet med en som ikke er sveiset. På denne måten er det ikke åpent for at en utmattingssprekk i grunnmaterialet får tilstrekkelig tid til å vokse seg fra mikro- til en makrosprekkstørrelse, like fort som en sprekk i sveiseskjøt som hopper over mesteparten av mikrosprekkvekst.

Restspenninger i sveis skyldes en stor mengde konsentrert varme som tilføres for å smelte komponentene og tilsatsmetallet sammen, etterfulgt av rask avkjøling. Denne prosessen forårsaker restspenninger og forvrenginger på grunn av temperaturtøyninger når avkjølt materiale trekker sammen. Restspenninger kan i følge Radaj et al. [1] nå flytespenning i selve sveisen og synke bratt I nærheten av sveis. Selv om de er lave i nærheten, kan restspenninger føre til store lokale spenningskonsentrasjoner ved hakk og andre geometriske ujevnheter. Dette har som følge en kortere utmattingslevetid, hvis etterbehandling av sveisen ikke foretas.

Disse grunnene representerer hovedårsak for dårligere utmattingslevetid av sveisede konstruksjoner sammenliknet med ikke sveisede konstruksjoner. Det er ikke uvanlig for sveisede konstruksjoner å ha en utmattingsstyrke som er 50-90% lavere enn utmattingsstyrken til jevnt maskinerte komponenter [8]. Sveisenes geometriske egenskaper er noen av de viktigste faktorer som styrer utmattingslevetid. Følgelig, vil etterbehandling av sveis som forbedrer sveisegeometri ved å redusere spenningskonsentrasjoner ha en gunstig effekt på utmattingslevetid.

23

Sprekk Eksentrisitet

Manglende gjennomsveising

Overlapping Underkutt

Porøsitet

Figur 8 - Vanligste sveisedefekter

3.3. Spenningskategorisering

Ved vurdering av utmattingslevetid til sveisede konstruksjoner skilles det mellom flere typer spenninger som kan brukes ved analysene. Spenningen deles avhengig av plassering hvor den opptrer og faktorer det tas hensyn til ved utregning. Valg av tilnærming ved vurdering av utmattingslevetid til sveisedetaljer avhenger direkte av valg av spenningstype og kategorisering er som følger (Figur 9):

Nominell spenning Hot spot (geometrisk) spenning Kjervspenning

3.3.1. Nominell spenning

Nominell spenning beregnes direkte fra påførte laster i tverrsnitt som ikke påvirkes av sveis. Det vil si at ingen sveiseeffekter tas hensyn til. For enkle geometrier kan den nominelle spenningen bestemmes ved bruk av kjent mekanisk formel:

Snom=NA

+ MW

(5)

Der N og M er henholdsvis aksialkraft og moment; A og W er tverrsnitts areal og motstandsmoment. Tilnærminger der den nominelle spenningen brukes, betegnes som globale tilnærminger.

3.3.2. Hot spot (geometrisk) spenningVed beregning av geometrisk spenning tas det hensyn til tilleggsspenning som følge av endring av den globale geometrien på grunn av en tilsveiset komponent. Tilleggsspenningen forårsakes av endring i stivhet, eksentrisitet ved sveising eller ulike dimensjoner til sveisede plater. Bestemmelse av det geometriske spenningsfeltet kan dermed være komplisert og kreve bruk av FEM. Dette ga opphav til hot spot spenning, som er verdien av geometrisk spenningsfelt i punktet ved sveisetå (hot spot). Navnet kommer av varmen som av og til oppstår i disse punktene ved utmattingstesting, på grunn av store lokaliserte tøyninger som ofte overskrider den elastiske grensen [8].

24

Figur 9 - Spenningstyper

Hot spot spenningKjervspenning

Nominell spenning

Spenning

Figur 10 – Nominell spenning til en aksialbelastet sveiset plate

Snom

Ved beregning av hot spot spenningen er bare én verdi i det geometriske spenningsfeltet av interesse, slik at innsats ble gjort til å relatere den til den nominelle spenningen. Siden det bare tas hensyn til makrogeometri, kan hot spot spenningen

bestemmes enkelt ved hjelp av den nominelle spenningen Snom og spenningskonsentrasjonsfaktor scf . Uttrykket er som

følger:

Shs=Snom⋅scf (6)

Spenningskonsentrasjonsfaktor scf kan defineres som forhold mellom hot spot- og nominell spenning. Uttrykkene for

beregning av scf til ulike geometrier gis i DNV-RP-C203 og uttrykk (3.3.6) to rundsveisede rørledninger brukes i rapporten. Så lenge to rundsveisede rørledninger vurderes kan tilleggsspenning i hot spot spenningen betegnes som bøyekomponenten som følge av eksentrisitet ved sveiseskjøtet eller ulike veggtykkelser.

Ved å skille mellom bøye- (Sb) og membrankomponent (St) i den totale hot spot spenningen Shs kan uttrykk for hver av

komponentene i rundsveisede rørledninger utsatt for ren aksiallast fås ved bruk av enkel algebra:

St=SnomSb=Snom⋅ (scf −1) (7)

Uttrykk (7) gir at bøyekomponent Sb er en andel av membranspenning St som gis av geometri til rundsveisede rør gjennom

scf . Hot spot spenningen til rundsveisede rørledninger kommer til å bli brukt ved videre analyser i denne rapporten.

3.3.3. Kjervspenning

Kjervspenning gir det riktige spenningsfeltet ved sveiseskjøtet, ved å inkludere alle sveiseeffekter gjennom membran- ( St),

bøye- (Sb) og ikke-lineær spenningskomponent (Sil), se Figur 12. Den er, med andre ord, summen av hot spot spenning

(makrogeometri) og ikke-lineær tilleggsspenning.

Kjervspenning kan beregnes ved bruk av FEM analyser med meget fin elementinndeling. Tilnærming til utmattingsvurdering ved anvendelse av kjervspenning betegnes som lokal tilnærming.

Valg av spenningstype ved utmattingsvurderinger bestemmer også type tilnærming som kan anvendes. Det er åpenbart at valg av en mer nøyaktig spenning ved sveisetå i utgangspunkt, fører til at færre faktorer blir nødvendig å inkluderes ved senere analyser, enn dersom nominell spenning velges. I denne rapporten vurderes hot spot spenningen, slik at spenningen må korrigeres for å få den virkelige spenningen ved sveisetå.

25

Figur 11 – Hot spot spenning til en aksialbelastet sveiset plate

Hot spotSbStShs

Figur 12 – Kjervspenning (to plater)

SilSbStSkjerv

3.4. Spenningsintensitetsfaktor for en sprekk ved sveisetå

For å beregne K -faktor til en sprekk i sveiseskjøt modifiseres likning (4), som gir K -faktor til en sprekk i plate. Siden sveis fører til høyere spenningskonsentrasjoner på grunn av endring i geometri blant flere andre faktorer, må likningen endres tilsvarende.

Effekter av sveis i en plate tas hensyn til ved å bruke spenningsforstørrelsesfaktorer Mk som er gitt av Bowness og Lee i en Health and Safety Executive (HSE) dokument [9]. De har ved hjelp av 3D FEM analyser av sprekkmodeller kommet fram til resultatene som ble brukt til å sette opp en stor database med spenningsintensitetsfaktorer til sprekker ved sveisetå av kilsveis. Sammenlikning av disse med spenningsintensitetsfaktorer til de samme sprekkene i en plate (uten sveis) ga forhold som ble brukt til å finne Mk -forstørrelsesfaktorer. Det vil si at Mk-faktorer som innsettes i likning (4) gir korreksjon av

spenningsintensitetsfaktorer K i en plate på grunn av geometrisk påvirkning av et sveiseskjøt.

Fire Mk -faktorer er definert: Mk mA, Mk bA, MkmB og Mk bB (Vedlegg 2). Ved å anvende dem, tas hensyn til effekten

av sveiset komponent (kilsveis) på en plate belastet med henholdsvis membran- og bøyespenninger i punktene A og B (jfr. Figur 5). Da kan likning (4) omskrives til uttrykk som inneholder tilhørende forstørrelsesfaktorer i punktene A og B, som følger.

K A=( MkmA⋅ S t+Mk bA⋅H ⋅ Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

K B=( MkmB⋅ S t+MkbB ⋅H ⋅Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

(8)

Likninger (8) gir at SIF ved sveisetå vil være lik SIF i en plate uten sveis, korrigert med Mk -faktorene for å ta hensyn til alle

geometriske faktorer ved sveisetå som fører til høyere spenning. Uttrykk fra HSE dokumentet for beregning av Mk -

faktorene består av 95 likninger og gis i Vedlegg 2. Avhengig av sprekkens dybde-lengde forholdstall (a /c), sveisens vinkel (

θ), samt forhold mellom sveisens bredde og platens tykkelse (L/ t ) eller a /t -forholdstallet, kan Mk -faktorene variere fra

0,6020 til 9,6319 [9]. Bruk av Mk -faktorer som er lavere enn 1,0 gir ikke-konservative resultater, siden de strengt tatt ikke er forstørrelsesfaktorer. Britisk Standard (BS7910:2005 [10]) tillater ikke bruk av verdiene som er under 1,0 ved konservative analyser.

Beregningene i denne rapporten er ikke-konservative, slik at verdiene under 1,0 blir også benyttet. Målet med analysene som utføres er at forhold ved sprekkfronten skal beskrives så nøyaktig og realistisk, i den grad det er mulig ved bruk av disse

faktorene. Det bemerkes at uttrykkene gir at Mk bA, som vanligvis blir mindre enn 1,0, skal settes lik 1,0 når sprekken går

gjennom halvparten av tykkelsen (ved a /t =0,5). Dette fører til en del ikke-fysisk oppførsel når bøyespenning er til stede, som forklares og diskuteres senere.

26

3.5. Illustrerende eksempel 1b – K -faktorer i punkter A og B (sveisetå)

Mk-faktorer har en stor påvirkning på SIF, som vises ved betraktning av sprekken fra illustrerende eksempel 1a som nå antas å befinne seg ved sveisetå.

Det vurderes en uendelig bred plate med sveiseskjøt, belastet bare med membranspenning St . De relevante størrelsene er

samme som i illustrerende eksempel 1a og har følgende verdier:

PlateBredde, b → ∞Tykkelse, t=40mm

SveisSveisefotens bredde, L=50 mmSveisevinkel, θ=π /4

InitialsprekkLengde, 2 ⋅c0=2 ⋅10 mmDybde, a0=4 mm

SpenningsviddeMembranspenning, Δ S t=100 MPa

De parametriske vinklene til punktene A og B er uforandret:

ϕ A=π /2

ϕ B=0

For å finne spenningsintensitetsfaktor K i punkt A og B må i tillegg til uttrykkene til Newman og Raju (Vedlegg 1) benyttes

Mk-faktorene (Vedlegg 2). Verdiene til de ulike faktorene som brukes i likning (8) vises i Tabell 2.

Tabell 2 - Resultater (faktorer)Faktor (likning (8)) Punkt A Punkt B

H 0,8746 0,9616

Q 1,3228 1,3228

F 1,1034 0,7701

M km1,0738 2,1636

M kb1,0353 2,2229

Tabell 2 gir spenningen ved overflate av sveis, i punkt B, blir mer enn to ganger større (216,4 og 222,3%), mens spenning i ved det dypeste punktet av sveisen øker svakt (omtrent 7,4 og 3,5 %), sammenliknet med en plate uten sveis. Substituert i likning (8), gir disse faktorene følgende SIF i punktene A og B:

K A=365,18 kN /m32 K B=513,53 kN /m

32

Videre, presenteres resultatene av spenningsintensitetsfaktorer i plate (illustrerende eksempel 1a) og ved sveisetå i Tabell3.

Tabell 3 – Spenningsintensitetsfaktorer, K [kN/m3/2] – Sprekk i plate uten sveis og ved sveisetåPunkt Plate uten sveis Sveisetå Økning [%]

27

b → ∞

BA

φ

t = 40 mm

a0 = 4 mm

2c0 = 20 mm

Figur 13 - Sprekk- og platedimensjoner (eksempel 1b)

A (dypest) 340,08 365,18 7,38B (overflate) 237,35 513,53 116,36Ved å sammenlikne SIF for en sprekk i grunnmaterialet (en plate uten sveis) og ved sveisetå, observeres det at de diverse sveisefaktorene bidrar til en økning på 7,38% og 116,36% av K i henholdsvis det dypeste punktet (A) og ved overflaten (B).

Økningen tilsvarer verdier av M kmA og M kmB. Faktorene for bøyespenning faller bort siden bare membranspenning er

påført. Det viser at Mk -faktorene fører til en betydelig økning av spenningsintensitetsfaktorer ved sveisetå sammenliknet med SIF i grunnmaterialet uten sveis. Som påstått i innledningsdel, vil dette føre til en raskere sprekkvekst ved syklisk belastning i en sprekk ved sveisetå enn den samme sprekken i grunnmaterialet.

∎

4. Utmattingssprekkvekst

4.1. Anvendelse av K i utmattingssprekkvekstanalyser

Ved bruddmekanisk tilnærming til utmattingssprekkvekst, antas det tilstrekkelig lave spenninger som fører til linearelastisk materialoppførsel. Det antas også at plastisitet er begrenset til et lite singularitetsområde ved sprekkspissen, slik at linearelastisk bruddmekanikk er gyldig og spenningsintensitetsfaktor K kan benyttes.

Som beskrevet tidligere, utmattingssprekvekst opptrer ved syklisk belastning. Kun syklisk belasting med konstant amplitude betraktes i denne rapporten og skjematisk illustrasjon vises i Figur 14.

Avhengig av kompleksiteten av geometrien og belastingen, må en eller flere faktorer vurderes. Ut f ra Figur 14 kan det defineres flere størrelser som er aktuelle ved utmattingsberegninger av sprekkpropagering. Den ene er spenningsforhold R:

R=σ min

σ max

(9)

Måten man kan anvende K , til å forutsi utmattingssprekkvekst er ved bruk av variasjon i spenningsintensitetsfaktor, Δ K .

Siden spenningsintensitetsfaktor, K , avhenger av blant annet spenningen, er det naturlig at den kommer til å ha ulike verdier avhengig av spenningen når ulike punkter på tidsaksen betraktes (jfr. Figur 14). Det betyr med andre ord at ulike spenninger fører til ulike spenningsintensitetsfaktorer. Ved å la σ representere en generell spenning som varierer syklisk

med konstant amplitude, kan K finnes ved å anvende et av uttrykkene fra den forrige delen. Når σ er på sitt største (σ max)

og sitt minste (σ min) fås henholdsvis Kmax og Kmi n. Ved hjelp av de to kan Δ K defineres som:

Δ K=Kmax−Kmin(10)

28

t

Figur 14 – Skjematisk fremstilling av syklisk belastning

SpenningsviddeΔσ

σmin

σmean

σmax

Dersom størrelsene Kmax og Kmin substitueres med det generelle uttrykket for K , som gitt i likning (3), kommer man ved

bruk av enkel algebra fram til et nytt uttrykk for Δ K . Faktoren Δ K er da gitt ved de samme uttrykkene som K , gitt

tidligere i rapporten, med unntak at den konstante spenningen σ substitueres med den sykliske spenningsvidden Δ σ . Det

betyr at et generelt uttrykk for variasjon i SIF, Δ K , med utgangspunkt i likning (3) kan skrives som:

ΔK=Y ⋅Δσ ∙√ πa (11)

Ved å anvende den samme metodikken, kan variasjoner i spenninger, Δ S t og Δ Sb, settes inn i uttrykk (4) istedenfor de

konstante spenningene, St og Sb. Dette gir Δ K til en halv-elliptisk sprekk i en plate belastet med syklisk membran- og

bøyespenning:

Δ K=( Δ S t+H ⋅Δ Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F (12)

der alle uendrete faktorer er de samme som i uttrykk (4). Hvis man i tillegg bruker Mk -faktorer, kan Δ K til en sprekk ved sveisetå, belastet med syklisk membran- og bøyespenning, bestemmes fra modifiserte uttrykk (8):

Δ K A=( MkmA ⋅Δ St +MkbA ⋅H ⋅Δ Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

Δ K B=( MkmB ⋅Δ St+ MkbB ⋅H ⋅ ΔSb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

(13)

Uttrykkene for beregning av parametere som inngår i likningene ovenfor finnes i Vedlegg 1 og Vedlegg 2. Ved å analysere likningene (12) og (13), kan en observere at uttrykk for Δ K ikke er noe mer enn uttrykk for en vanlig K -faktor, der den

sykliske spenningsvidden benyttes i stedet for den konstante spenningen. Δ K som fås på denne måten er en av de viktigste parametere ved bruddmekaniske levetidsanalyser med hensyn på utmatting.

4.2. Sprekkvekstmodell

I følgende del vises hvordan variasjonen i spenningsintensitetsfaktor Δ K brukes til estimering av utmattingslevetid. Metoden som beskrives, skal anvendes videre for beregninger i rapporten.

Utmattingslevetiden kan bestemmes dersom det er kjent hvor fort en sprekk propagerer gjennom tykkelsen. Det er tydelig at sprekkveksthastighet er langt fra konstant gjennom de forskjellige fasene av utmattingslevetiden [11]. Generelt er sprekkveksthastigheten raskere ved høyere spenningsvidder og større sprekkdimensjoner. Disse faktorene inngår i uttrykkene for Δ K , som impliserer at Δ K kan brukes til å finne sprekkveksthastigheten, og dermed utmattingslevetid. Det ble først foreslått av Paris et al. [12] i 1961 og senere beskrevet av Paris og Erdogan [13] i 1963 som definerte relasjon mellom Δ K og sprekkveksthastighet da /dN . Relasjonen er kjent som Paris’ lov.

29

Figur 15A viser et logaritmisk plott av sprekkveksthastigheten, da /dN mot Δ K , basert på empirisk forskningsdata som gjelder for makrosprekker. Det kan observeres at regresjonslinjen har en lineær utvikling i sone II. Paris’ lov gir sprekkpropagering da per enhet spenningsveksling dN i sone II, som funksjon av Δ K :

dadN

=C ⋅ Δ Km(14)

der C og m er materialkoeffisienter (materialkonstanter), som avhenger av materialtype og omgivelsene. De varierer ikke mye innenfor en og samme type materiale [3].

Videre forskning viste at regresjonslinjen i sone II (Figur 15A) ikke er fullstendig rett når plottet i en log-log graf, men viser tendens til å ha to helninger (Figur 15B). Det betyr at to sett materialkoeffisienter er definert for hver av helningene. Totrinns Paris’ lov brukes når større nøyaktighet kreves [8], selv om bruk av enkel Paris’ lov er fullstendig akseptabel I henhold til BS7910:2005 [10]. Britisk standardverk oppgir verdier for C og m i begge tilfellene. Verdiene som benyttes ved bruddmekaniske beregninger i rapporten er tatt fra BS7910:2005, og det spesifiseres alltid hvilken modell som blir brukt i aktuell analyse.

Enkel Paris’ lov (Figur 15A )

Koeffisientene gjelder for stål i luft eller andre ikke-aggressive omgivelser, ved temperaturer lavere enn 100°C. Materialkoeffisientene for regresjonskurve med én helning er:

{C=5.21⋅10−13

m=3

Totrinns Paris’ lov (Figur 15B )

Koeffisientene gjelder for stål i luften (kloridfri omgivelse), der spenningsforhold R≥0,5 (anbefales ved vurdering av sveisedetaljer). Materialkoeffisientene for regresjonskurve (MEAN) med to helninger er:

30

(B)

log (Variasjon i spenningsintensitetsfaktor, Δ K )

log (Sprekkveksthastighet, da /dN )

Δ K GRENSE

m1

K cΔ K th

Ustabilt brudd

m2

Sone IIISone IISone I

(A)

log (Variasjon i spenningsintensitetsfaktor, Δ K )K cΔ K th

Ustabilt brudd

m

Sone IIISone IISone Ilog (Sprekkveksthastighet, da /dN )

Figur 15 - Typisk utmattingssprekkvekst i metaller: (A) Enkel- og (B) Totrinns Paris’ lov

Δ K<196 N /mm3/2:{C1=4,80 ⋅10−18

m1=5,10

Δ K ≥ 196 N /mm3 /2 :{C2=5,86 ⋅10−13

m2=2,88

Det er viktig å nevne at Paris’ lov gjelder strengt tatt i sone II der regresjonslinjen viser en lineærutvikling ( Figur 15). I løpet av denne perioden, utmattingssprekkvekst tilsvarer en stabil makroskopisk sprekkvekst. Det finnes to soner til, som er delt etter den karakteristiske utviklingen.

I sone I kan det observeres at kurven går asymptotisk mot den nedre grensen, nemlig terskelverdien Δ K th. Gitt en

uforandret spenningsvidde, blir Δ K liten ved små sprekkdimensjoner. Det gir at for meget små makrosprekker, med Δ K-verdier som er under terskelen blir det ikke noen observerbar sprekkvekst.

I sone III stiger stadig sprekkveksthastigheten, som følge av Δ K som nærmer seg en tilstand hvor Kmax ligger ganske nært

den kritiske verdien for et ustabilt brudd, K c. Ifølge en hypotese, kommer det til mikroskopisk tilleggsbrudd som bidrar til

sprekkveksten, noe som resulterer i en høyere samlet sprekkveksthastighet [4]. Dette fører til en blanding av utmattings- og kløvningsbrudd [3].

Bruddmekaniske beregninger i denne rapporten baserer seg på Paris’ lov (sone I, se Figur 15). Selv om det finnes andre variasjoner av modellen som tar hensyn til sprekkvekst i soner I og II [14], eller II og III [15], ansees enkel og totrinns Paris’ lov til å være tilstrekkelige for hensikter med denne rapporten.

31

4.3. Beregning av utmattingssprekkvekst

Beregning av utmattingssprekkvekst er hovedsakelig et forsøk på å forutsi sprekkveksthastigheten for gitte laster, sprekkforhold og -dimensjoner. Den kan da brukes til å finne hvor mange spenningssykler som er nødvendig for at sprekken skal vokse fra de initialdimensjonene til en betraktet størrelse.

Den generelle likningen (14) kan skrives om, slik at den beskriver sprekkvekst i dybde- eller lengderetningen (Figur 16), avhengig av inkrement av spenningssykler (dN ) og variasjon i spenningsintensitetsfaktor (Δ K ).

da=C ⋅Δ K Am ⋅dN

dc=C ⋅Δ K Bm⋅ dN

(15)

der da og dc er sprekkvekst i henholdsvis dybde- og lengderetning;

Δ K A og Δ K B er variasjon i

spenningsintensitetsfaktoren ved henholdsvis det dypeste punktet A og sprekkens overflate B; og dN er et inkrement av

det totale antallet lastsykler, N . Ved å bestemme disse faktorene og evaluere dem i likningene gitt ovenfor, finner man analytisk hvor mye sprekken vil vokse for et valgt antall spenningssykler.

4.3.1. MATLAB skriptDet er nå kjent at Δ K -faktor avhenger av sprekkens dimensjoner og spenningsvidder. Av likninger (15) kommer det at for

hver lastsyklus, sprekken kommer til å vokse et inkrement. Det vil si at etter en lastsyklus, sprekkdybden (a) og -lengden (c)

kommer til å vokse et inkrement da og dc , henholdsvis. Det fører til at som sprekkens dimensjoner, a og c , blir større,

Δ K A og Δ K Bstadig forandres. Det betyr at Δ K A og Δ K Bmå oppdateres ved hver ny lastsyklus.

En slik beregning av utmattingssprekkvekst er meget omfattende og egner seg derfor best til bruk av spesiell programvare eller regneark, siden beregningsmengden fort blir stor. Numerisk integrasjonen av likninger (15) er derfor den eneste praktiske løsningen. MATLAB skriptet er utviklet for det formålet, ved implementering av variasjon i spenningsintensitetsfaktoren (Δ K ) fra slutten av avsnitt 4.1 i likninger (15). Forklaring av beregningsprinsippet samt verifisering av skriptet mot resultater fra Bowness og Lee [9] og TWI Softwares Crackwise er gitt i Vedlegg 3.

32

Figur 16 – Sprekkvekst i dybde- og lengderetningen (hhv. da og dc)

dccB

Ada

a

c

4.4. Illustrerende eksempel 2 – Utmattingssprekkvekst

Illustrerende eksempel som følger viser hvordan MATLAB skriptet benyttes til å beregne levetiden til platene fra eksempler 1a og 1b. Målet er å begrunne påstander om kortere utmattingslevetid i sveisede plater ved konkrete eksempler.

a) PLATE UTEN SVEIS:

Levetiden med hensyn på utmating til den samme sprekken i grunnmaterialet fra eksempelet 1a vurderes. Det antas en konstant amplitude syklisk aksiallast, slik at spenningsvidden blir akkurat lik den konstante lasten i eksempel 1a. Platen har ikke noen sveis, og sprekkvekst skjer i grunnmaterialet. Parametere som brukes i MATLAB skriptet er gitt nedenfor.

PlateBredde, b → ∞Tykkelse, t=40 mm

SprekkdimensjonerLengde, 2 ⋅c0=2 ⋅10mmDybde, a0=4 mm

SpenningsviddeMembranspenning, Δ S t=100 MPa

Enkel Paris’ lov

C=5.21 ⋅10−13

m=3

Kalkulasjonene fortsetter til sprekken gjennom tykkelsen, dvs. a f=40 mm. Det brukte inkrementet dN =1. Ut fra listet

inndata ovenfor er den bruddmekaniske estimeringen av levetiden som følger:

N=398374 sykler

Det betyr at 398374 spenningssykler er nødvendig før sprekken vokser fra den initiale sprekkdybden a0=4 mm til

a f=40 mm. Den endelige sprekken har følgende dimensjoner:

a f=40 mm

c f =55,1484 mm

Sprekkvekst fra starten til bruddet i dybde- og lengderetningen vises i grafen på neste side.

Av Figur 18 kan observeres at sprekken vokser saktere i begynnelsen og raskere jo nærmere bruddet den kommer. Den

totale veien sprekken vokser seg gjennom er 36 mm. For å nå den første halvparten (a0 var 22 mm) var 84,4% av det totale

antallet spenningssykler N nødvendig. Det betyr at sprekken trengte bare litt mer enn en sjettedel av N for å vokse seg gjennom den resterende halvparten av tverrsnittet. Med andre ord sprekken vokser fortere i siste delen av sprekkvekstfasen (stadium II). Dette var forventet siden, som nevnt i innledende teoridelen, initieringsfasen og den tidlige sprekkvekstfasen utgjør det meste av konstruksjonens utmattingslevetid. Resultatene fra denne analysen kan brukes til å forstå hvorfor dette er tilfellet. En stor sprekk har en større Δ K enn en mindre sprekk i samme materiale. Større

sprekkpropagering i sluttfasen fører til at Δ K øker raskere, som igjen fører til enda raskere sprekkvekst og denne prosessen fortsetter videre til restbruddet.

33

b → ∞

BA

φ

t = 40 mm

a0 = 4 mm

2c0 = 20 mm

Figur 17 - Sprekk- og platedimensjoner (eksempel 2a)

Sprekken som vurderes i dette tilfellet er relativt stor, sammenliknet med sprekker som vanligvis forventes å forekomme i

grunnmaterialet. Den initiale sprekkdybden a0 på 4 mm førte til en relativt kort første del av sprekkvekstfasen. En

sprekkdybde a0 som er to ganger mindre (2 mm), ville trengt 718355 spenningssykler for å gå gjennom tykkelsen. Det betyr

at 2 mm i initieringsfasen fører til 180% økning av N . Enda mindre sprekker ville ført til enda høyere antall spenningssykler,

N .

b) PLATE MED SVEIS:

Det betraktes den samme sprekken i en plate med kilsveis. Parametere som spenningsvidden, platedimensjoner og initial- og de endelige sprekkdimensjonene er uforandret (jfr. Figur 17). Enkel Paris’ lov brukes ved beregningen.

PlateBredde, b → ∞Tykkelse, t=40mm

SveisSveisefotens bredde, L=50 mmSveisevinkel, θ=π /4

InitialsprekkLengde, 2 ⋅c0=2 ⋅10 mmDybde, a0=4 mm

SpenningsviddeMembranspenning, Δ S t=100 MPa

Antall spenningssykler som er nødvendig for at sprekken ved sveisetåen skal vokse seg gjennom tykkelsen av platen er:

N=246286 sykler

34

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 105

0

10

20

30

40

50

60

N=336322

af=22mm

Antall spenningssykler, N

Spr

ekkl

engd

e [m

m]

N=398374

af=40mm

Utvikling av a (pkt. A)Utvikling av c (pkt. B)

Figur 18 - Sprekkpropagering over antallet spenningssykler N i en plate uten sveis

b → ∞

BA

φ

t = 40 mm

a0 = 4 mm

2c0 = 20 mm

Figur 19 - Sprekk- og platedimensjoner (eksempel 2b)

og den endelige sprekken har følgende dimensjoner:

a f=40 mm

c f =84,0212 mm

Ved å plotte grafen som viser sprekkvekst over N kan dette tilfellet analyseres i mer detalj.

Grafen gir en liknende sprekkpropagering som i tilfelle a) med hensyn på hvordan sprekk utvikler seg over det totalet antallet spenningssykler, N . Den vurderte sprekken vokser også mye fortere mot slutten. For å vokse seg gjennom halvparten av den totale veien sprekken går gjennom, utsettes den for nesten 90 % av alle spenningsvekslinger. Det betyr at den bruker bare en tiendedel av N for å vokse gjennom resten. Dette er en betydelig forandring sammenliknet med den samme sprekken i grunnmaterialet. Sprekkvekst i grunnmaterialet og ved sveisetåen sammenliknes i følgende del for å komme frem til et relevant poeng.

∎

35

0 0.5 1 1.5 2

x 105

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

N=219321

af=22mm

Antall spenningssykler, N

Spr

ekkl

engd

e [m

m]

N=246286

af=40mm

Utvikling av a (pkt. A)Utvikling av c (pkt. B)

Figur 20 - Sprekkpropagering over antallet spenningssykler N ved sveisetå

4.4.1. SammenlikningDersom sprekkpropagering i dybderetning av den vurderte sprekken i sveiseskjøtet og i platen uten sveis plottes sammen, fås en graf som vist i Figur 21. Videre presenteres resultatene fra begge eksemplene i Tabell 4.

Tabell 4 - Sammenlikning av sprekk ved sveisetå og i plate uten sveisBeliggenhet a f [mm] c f [mm] a /c N [sykler]Plate uten sveis 40 55,1484 0,725 398374Sveisetå 40 84,0212 0,476 246286Forskjell (sveis/plate) - 28,8728 65,7 % 61,8 %

Sprekkene i de to tilfellene har identiske initiale dimensjoner (a0 og c0), samt spenningsforhold og platedimensjonene. Den

eneste forskjellen er at sprekk a) og b) befinner seg henholdsvis i grunnmaterialet og ved sveisetåen. De illustrerende eksemplene 1a og 1b viste at K -faktorer er betydelig større ved sveisetåen enn i platen uten sveis. I likhet er Δ K -faktorer ved sveisetå større når konstruksjonene belastes med ekvivalent syklisk last. Dette illustrerende eksempelet viste hvor stor betydning det har for konstruksjonens utmatingslevetid.

Sprekken ved sveisetåen kan utsettes for omtrent 62 % av spenningsvekslinger som en identisk sprekk i grunnmaterialet. Dette kommer som følge av større Δ K i sveis på grunn av Mk -faktorer. Tabell 4 viser også at sveis fører til større sprekkvekst i lengderetningen (ca. 28,9 mm). Gitt samme påkjenninger, fører dette til bredere sprekker ved sveisetå enn i grunnmaterialet.

Plottet levetid viser at kritiske sprekker for sveisede konstruksjoner oppstår ved sveiseskjøtet og ikke i grunnmaterialet. Selv om sprekker initieres begge steder, vil konstruksjonen få et brudd ved sveiseskjøtet lenge før sprekken vokser til en kritisk dybde i grunnmaterialet. Det betyr at konstruksjoner med sveis har dårligere levetid enn konstruksjoner uten sveis.

Dette viser at sprekkvekstmodellen med den valgte Δ K , som implementert i Paris’ lov, danner grunnlag for MATLAB skripet, gir resultater som var forventet og er i samsvar med påstander gitt i den teoretiske delen.

36

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 105

0

10

20

30

40

50

60

Nplate=398374Nsveis=246286

af=40mm

Antall spenningssykler, N

Spr

ekkl

engd

e [m

m]

a) Propagering av a i en plateb) Propagering av a i et sveiseskjøt

Figur 21 – Sprekkvekst ved sveisetå og i en plate uten sveis

5. Sprekkens egenskaper

I følgende delen brukes MATLAB skript til å generere grafiske plott av resultater til ulike tilfeller som har til hensikt å hjelpe til å få følelse hvordan en sprekk ved sveisetå oppfører seg ved ulike forhold. Å få følelse for sprekkens oppførsel, betyr i prinsippet å forstå hvordan sprekkens form blir påvirket av diverse parametere som inngår i beregninger og omvendt. Effekt av ulike faktorer for utmattingslevetid, sprekkvekst og sprekkform skal kartlegges. Dette danner grunnlag til diverse avgjørelser, tilnærminger og antakelser som er gjort ved analysene i rapporten og blir ofte referert til ved diskusjon av resultatene senere.

5.1. Initialt a /c -forholdstall

Forholdstall mellom dybde (a) og halvparten av lengde(c) har stor betydning ved bruddmekanisk tilnærming til estimering

av sprekkvekst. Den brukes som en parameter i Newmans og Rajus [5] uttrykk til beregning av Δ K faktorer, samt

Bowness’ og Lees [9] uttrykk til beregning av Mk -faktorer (Vedlegg 1 og Vedlegg 2).

Initialt a /c -forholdstall beskriver form til den opprinnelige sprekken. En sprekk vil alltid prøve å oppnå likevekt [16].

Likevekten gjenspeiler seg i at sprekken vil prøve å ha en foretrukket form som gir en bestemt Δ K -verdi over den hele

sprekkfronten. Den bestemte Δ K -verdien avhenger av den aktuelle belastningen og geometrien. Hvis alle faktorer som

påvirker sprekkvekst forblir uforandret, det eneste som forandres gjennom levetiden for å tilpasse Δ K er

sprekkdimensjoner og dermed resterende tverrsnitt. Det vil si, a /c- og a /t -forholdstall. Det betyr at sprekken vil prøve å

beholde likevekten ved å justere a og cunderveis avhengig av hvor langt fra den andre siden av veggen den er (a /t ). Med

andre ord a /c er avhengig av a /t . Slik vil sprekken ha et a /c -forholdstall som gir den passende Δ K over hele

sprekkfronten, avhengig av det resterende tverrsnittet (a /t ¿. Matematisk uttrykk for likevektsform kan fås ved å modifisere Paris’ lov i punktene A og B.

ac=

Δ K Am

Δ K Bm (16)

Uttrykk (15) gir at forhold mellom sprekkvekst i dybde- og lengderetningen (Δ a/ Δc ) er proporsjonalt med forhold

mellom Δ K i henholdsvis punkt A og B. Disse justeres gjennom levetid, som representeres av a /t , helt til sprekken

oppnår likevektsform (a /c). I det øyeblikket vil Δ a/ Δc=a/c siden sprekken ikke lenger har behov for å forandre formen. Derfor kan likevekt uttrykkes matematisk ved likning (16).

Det interessante er at sprekker med initiale a /c-forholdstall som i utgangspunktet avviker fra likevektsformen, kommer til

å justere sin form til de oppnår likevekts a /c-forholdstall [16][17]. Det betyr at flere sprekker med ulike initiale a /c,

kommer til å ha den samme a /c utviklingen over a /t . Dette gjelder så lenge sprekkene er påvirket av den samme spenningen, og får nok tid til å oppnå likevekten.

Den beste måten å vise dette er ved plott av sprekker med ulike initiale a /c-forholdstall, utsatt for lik belastning. Fem små

opprinnelige sprekker ved sveisetå med ulike initiale a /c -forholdstall på 0,10; 0,20; 0,40; 0,70 og 1,00 vurderes for å

illustrere den sistnevnte påstanden bedre. Forholdstallene dekker hele gyldighetsområde for a /c i likningene (jfr. Vedlegg2) Tilfellene er valgt slik at de har like platedimensjoner og lastforhold. Initiale sprekkdybder ble valgt slik at antall spenningssykler nødvendig for brudd (N ) var lik for alle sprekker.

37

Den vanlige måten å plotte a /c utviklingen er mot a /t , siden antall spenningsvekslinger N ofte varierer mye i

virkeligheten. Her presenteres i tillegg en graf plottet mot antall spenningssykler N siden alle tilfellene har lik N og den gir

en bedre oversikt. Figur 22 viser a /c forholdstallet plottet mot a /t forholdstall (a) og antall spenningssykler (b). Begge grafene viser i prinsippet det samme plottet med ulik fordeling over abscisseaksen. Grafen (a) viser hvordan sprekkens form utvikler seg som funksjon av a /t . Siden sprekkvekst blir raskere mot enden av levetiden (jfr. Illustrerende eksempel 2) vil

a /c som er plottet mot N avsløre flere detaljer ved å strekke data som den stiplede linjen i grafene viser. Den stiplede linjen i begge grafene betegner det samme tidspunktet i levetiden. Som påstått i begynnelsen av avsnittet, vil alle sprekkene uansett initial a /c, strebe etter å oppnå en samme likevektformavhengig av a /t -forholdstall. Av grafen (a) kan det

observeres at dette skjer temmelig tidlig og at a /c-forhold blir lik for alle sprekkene når a /t er ca. 0,35. Siden alle

tilfellene har lik N , kan av grafen (b) leses at dette skjer etter ca. 230000 spenningsvekslinger. Dersom de valgte tilfellene

ikke hadde den samme N , måttet man finne enkeltvis antall spenningsvekslinger som er nødvendig for at de enkelte

sprekkene vokser til a /t på ca. 0,35.

Dette betyr at sprekkens a /c-forholdstall, uansett den initialea /c-forholdstall, kommer til å stabilisere seg etter en viss

tid, slik at sprekken oppnår likevekt. Da kommer alle a /c forholdstallene på en samme linje, når de plottes mot a /t -

forholdstall. Den linjen representerer likevektsformen ved ulike a /t . Likevekt betyr at a /c-forholdstall gir en passende

Δ K -faktor over hele sprekkfronten avhengig av lasten og hvor dypt sprekken har kommet (a /t ).

5.2. Betydning av a /c for den opprinnelige sprekkstørrelsen

Det er viktig å forstå at a /c -forholdstall til de diverse sprekkene ovenfor ikke sier eksplisitt noe om deres størrelser i

forhold til hverandre. Det betyr at sprekkene ovenfor har ulike dimensjoner selv om a /c kan være det samme. I følgende

del skal sprekkene fra Figur 22 analyseres for å vise hvordan ulike a /c forholdstall påvirker sprekkens initiale dimensjoner.

Sprekkene fra Figur 22 er valgt spesifikt slik at alle tilfellene utsettes for det samme antallet spenningssykler N til brudd.

Platedimensjonene og spenningsforhold forblir like i alle tilfellene og bare initiale a /c -forholdstall varieres ved å velge

ulike initiale sprekkdimensjoner. Figur 23 viser formen til sprekkene betraktet i Figur 22. Den viser hvordan a /c -forholdstall påvirker sprekk som utsettes for identiske påkjenninger.

38

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t forhold

a/c

forh

old

a/c = 0,10a/c = 0,20a/c = 0,40a/c = 0,70a/c = 1,00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Antall spenningssykler, N

a/c

forh

old

a/c = 0,10a/c = 0,20a/c = 0,40a/c = 0,70a/c = 1,00

(b)(a)

Figur 22 - a /c forholdstall plottet mot a /t forhold (a) og antall spenningsvekslinger (b)

Initiale a /c -forholdstall er bare parametere som sier hvor store dimensjonene a0 og c0 er i forhold til hverandre. De kan

likevel brukes til å finne ut hvor store dimensjoner to sprekker har i forhold til hverandre. Et lavt a /c-forholdstall betyr en mindre sprekkdybde, så lenge alle de andre parametere er uforandret. Det vil si for at sprekkene skal kunne utsettes for like mange spenningsvekslinger til bruddet, må en sprekk med lavere a /c -forholdstall, også ha en mindre initialsprekkdybde,

a0.

Grunnen til det kan forståes ved å tolke Figur 23 der sprekkdimensjonene vises i riktig skala i forhold til hverandre. I figuren vises at jo lavere a /c -forholdstall, desto bredere sprekk. Den stiplede linjen representerer likevektsprekkformen når

sprekkenes a /c -forholdstall stabiliserer seg og blir lik for alle sprekkene. Sprekkene oppnår likevektsformen etter det samme antallet spenningsvekslinger (jfr. Figur 22b). For at dette skal skje, må de fire sprekkene vokse ulikt siden de initiale formene er ulike. Det vil si at dypere sprekker (høyere a /c) må vokse fortere i lengderetningen for å oppnå likevekten.

Tilsvarende vil bredere sprekker (lavere a /c) vokse fortere i dybderetningen for å komme seg til likevektformen. To ekstreme tilfeller brukes i Figur 24 til å illustrere påstander tydeligere.

Siden bredere sprekker vokser fortere i dybderetningen enn dype sprekker, må de ha en lengre vei å gå gjennom, for at

bruddet skal skje samtidig. Dette har som følge en lavere initialsprekkdybde a0 i bredere sprekker enn i dypere sprekker.

Det betyr, for at de fire sprekkene skal gå gjennom tykkelsen samtidig, må sprekker med et lavere a /c -forholdstall også ha

en lavere initial dybde (a0), fordi de vokser fortere i dybderetningen enn sprekker med høyere a /c -forholdstall. Det vil si

at a /c -forholdstall påvirker sprekkens dimensjoner, som påvirker sprekkens utvikling og dermed sprekveksthastigheten.

5.3. Betydning av spenningsforhold for a /c

Så langt ble faktorene som påvirkes av ulike a /c -forholdstall diskutert. Faktorer som påvirker utvikling av a /c -forholdstall diskuteres i følgende del.

Dersom en sprekk får nok tid til å utvikle og beholde likevekt, vil sprekken komme til et likevekts a /c-forholdstall som

videre kommer til å justeres helt til bruddet. Det a /c -forholdstallet representerer den foretrukne formen som gir en

bestemt Δ K -verdi over hele sprekkfronten. Den bestemte Δ K -verdien avhenger av aktuell andel membran- (Δ S t) og

bøyespenning (Δ Sb). Ulike kombinasjoner av spenningskomponenter fører til ulike Δ K -verdier, som fører videre til ulike

sprekkformer. Betydning av spenningen for utvikling av a /c-forholdstall og likevektsformen analyseres i mer detalj videre.

Tre tilfeller skal vurderes. Felles parametere som er danner inndata for MATLAB skript er:

PlateBredde, b → ∞Tykkelse, t=25mm

SveisSveisefotens bredde, L=27 mmSveisevinkel, θ=π /6

InitialsprekkDybde, a0=0,125Lengde, c0 avhenger av den initiale a /c

MaterialkoeffisienteneEnkel Paris’ lovInkrementstørrelsedN =10

39

ac=1,0

a0=0,351

ac=0,7

a0=0,306a0=0,240

ac=0,4

a0=0,125

ac=0,1

Figur 23 - Initiale sprekker i mm, med riktig størrelse i forhold til hverandre

Likevektsform

En dyp sprekk

ac=1,0Likevektsform

En bred sprekk

ac=0,1

Figur 24 - To sprekker med ulikt a /c-forholdstall

Alle tilfellene består av 5 sprekker med lik opprinnelig sprekkdybde, a0 og ulike initiale a /c-forholdstall (0,1; 0,2; 0,4; 0,7

og 1,0). Sprekkutviklingen beregnes helt til bruddet for å vise effekten av spenning på sprekkens form. Den totale spenningsvidden er lik i alle tilfellene, 150 MPa. Videre presenteres spenningskomponentene som varierer i de tre tilfellene, samt a /c mot a /t plott for det gitte lasteforholdet.

40

5.3.1. Tilfelle 1 – Ren membranspenning, Δ S t

{Δ St=150 MPaΔ Sb=0

I tilfelle 1 vurderes fem sprekker belastet med spenningsvidden som består utelukkende av ren membrankomponent, Δ S t.

Spenningsforhold i dette tilfellet er ekvivalent til det i illustrerende eksempler, der bare membranspenning ble påført. En ren membranspenning i et sveiseskjøt betyr en perfekt kobling av to plater, uten eksentrisitet eller vinkelavvik. Dette er nesten umulig i virkeligheten.

Grafen viser at a /c-forholdstall, som plottes mot a /t , justeres etter hvert slik at sprekken tar likevektsform uansett initial

a /c. Likevektsformen ved ren membranspenning er oppretholdt gjennom hele tykkelsen, med en merkbar tendens til

stigende a /c rett før bruddet (fra a /t =0,8). Sprekkens a /c i øyeblikket den når den andre siden er ca. 0,52.

41

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t forhold

a/c

forh

old

a/c = 0,10a/c = 0,20a/c = 0,40a/c = 0,70a/c = 1,00

Δ SbΔ S t

0 MPa

150 MPa

Figur 25 - Utvikling av a /c-forholdstall i tilfelle 1

5.3.2. Tilfelle 2 – Kombinasjon av membran- og bøyespenning, Δ S t og Δ Sb

{ΔS t=75 MPaΔ Sb=75 MPa

I tilfelle 2 betraktes fem sprekker som er belastet med kombinert last. Halvparten av den totale spenningsvidden er

membrankomponent Δ S t og halvparten er bøyekomponent Δ Sb, som fører til en åpenbar forandring av a /c plottet

over a /t sammenliknet med tilfelle 1. Sprekker som utsettes for bøyespenning i tillegg, foretrekker lavere a /c forholdstall. Det betyr at bøyespenningskomponenten fører til bredere sprekker. Forholdstallene får samme utvikling ved

a /t = ca. 0,30 (a /c = ca. 0,40) og forholdet synker jevnt deretter. Denne utviklingen fortsetter og sprekkenes a /c etter bruddet er ca. 0,32.

42

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t forhold

a/c

forh

old

a/c = 0,10a/c = 0,20a/c = 0,40a/c = 0,70a/c = 1,00

Figur 26 - Utvikling av a /c-forholdstall i tilfelle 2

Δ SbΔ S t

75 MPa75 MPa

5.3.3. Tilfelle 3 – Ren bøyespenning, Δ Sb

{ ΔS t=0Δ Sb=150 MPa

Tilfelle 3 er det motsatte av tilfelle 1. Spenningsvidden består utelukkende av bøyekomponenten, Δ Sb. Det gir et ekstremt

tilfelle som viser effekten av bøyespenning på likevektsformen og a /c-utviklingen til sprekker.

Grafen viser tydelig effekten av bøyespenningen observert i tilfelle 2. Sprekken opptar en bredere form, og a /c synker

merkbart fortere hele tiden. De endelige sprekkene i tilfelle 3 har det laveste a /c forholdstallet av alle (ca. 0,11).

43

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t forhold

a/c

forh

old

a/c = 0,10a/c = 0,20a/c = 0,40a/c = 0,70a/c = 1,00

Δ SbΔ S t

150 MPa

0 MPa

Figur 27 - Utvikling av a /c-forholdstall i tilfelle 3

5.3.4. Sammenlikning

For en enklere sammenlikning plottes utviklingen av sprekker fra alle tilfellene sammen i Figur 28. Figuren viser hvordan ulike andeler membran- og bøyespenning påvirker likevektsformen gjennom konstruksjonens levetid. Alle tilfellene viser tydelige tegn til et fast forhold mellom sprekkens foretrukne form og spenningsforhold når plottet mot a /t . Sprekker utsatt

for ren membranspenning ser ut til å beholde formen (a /c = ca. 0,5) mesteparten av tiden med spenningsveklinger. Til

slutt stiger a /c-forholdstallet svakt. Dersom platene utsettes for bøyespenning i tillegg, opptar sprekkene en bredere form.

Det fører til lavere a /c i tilfellene 2 og 3, som synker jevnt til bruddet. Andel bøyningsspenning bestemmer hvor brede sprekker ender opp. Jo større andel bøyespenningen, desto bredere sprekk. Med andre ord, mer bøyespenning fører til lavere prefererte a /c-forholdstall (jfr. Tabell 5).

Tabell 5 - Sammenlikning av det endelige a /c-forholdstallet i de tre tilfellene

Tilfelle 1 (Δ S t) Tilfelle 2 (Δ S t og Δ Sb) Tilfelle 3 (Δ Sb)

Den endelige a /c ca. 0,52 ca. 0,32 ca. 0,11

Resultatene er i samsvar med resultatene til testede prøver, samlet av Scott og Thorpe [16]. De har samlet resultatene fra flere studier av denne problemstillingen og kommet til liknende funn når det gjelder utvikling av a /c-forholdstall ved ulike andeler membran- og bøyespenning.

Figur 28 viser også at a /c-utviklingen til sprekkene i tilfellene 2 og 3, får en midlertidig forandring i helningen når sprekken

har vokst til halvparten av tykkelsen (a /t =0,5). Dette er ikke den fysiske oppførselen og skyldes at M kbA-faktoren for

bøyespenningen ved det dypeste punktet A, settes lik 1,0 når a /t =0,5 (Vedlegg 2). Da får Δ K A -verdien plutselig et

kunstig sprang, og sprekkvekst i dybderetningen stiger øyeblikkelig. Dette fører til at a /c-forholdstall blir nesten konstant

rett etter a /t =0,5. Dette ikke noen effekt i tilfelle 1 siden M kbA forsvinner når bøyespenningen er lik 0 (jfr. likning (13)).

5.4. Betydning av membran- og bøyespenning for utmattingslevetid

Spenningsforhold i de tre tilfellene påvirker utmattingslevetid N også. Utmattingslevetidene til sprekkene fra alle tilfellene gis i Tabell 6 og verdiene vises grafisk i Figur 29.

Tabell 6 - Utmattingslevetid til sprekkene i de tre vurderte tilfelleneInitialt a /c-forholdstall

44

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t forhold

a/c

forh

old

Figur 28 - Utvikling av a /c-forholdstall til de tre vurderte tilfellene

Tilfelle 3

Tilfelle 2

Tilfelle 1

0,1 0,2 0,4 0,7 1,0Tilfelle 1 (Δ S t) 230761 245751 258526 268211 273481

Tilfelle 2 (Δ S t og Δ Sb) 321220 337612 351799 362468 368464

Tilfelle 3 (Δ Sb) 603176 621166 636985 649158 655586

Alle vurderte sprekkene hadde den samme opprinnelige sprekkdybden, a0=0,125 mm. Ulike initiale a /c-forholdstall førte

til forskjellige sprekkveksthastigheter (jfr. avsnitt 5.2). Sammenlikning av kolonner i Tabell 6 gir, som forventet, at sprekker med høyere a /c forholdstall også hadde lengre utmattingslevetid på grunn av lavere sprekkveksthastigheter i

dybderetningen. Dette sees i Figur 29 ved å sammenlikne sprekker med ulike a /c innen hver av tilfellene.

Sammenlikning av radene i Tabell 6 gir at større andel av bøyespenningen også gir lengre utmattingslevetid. Grunnen til det er at mer bøyespenning gir bredere sprekker (jfr. Tabell 5). Da vokser sprekkene mer i bredden, og propagerer ikke like mye gjennom materialtykkelsen, som fører til lengre levetider. Sprekker utsatt for mer membranspenning, blir belastet likt overalt, slik at sprekken vokser betydelig fortere i dybderetningen. Derfor hadde tilfelle 1 laveste levetider. Figur 29 gir at så lenge membranspenningen er til stede (tilfellene 1 og 2), utmattingslevetiden forandres ikke like drastisk som ved bare bøyespenningen (tilfelle 3). Levetiden øker 34-39% avhengig av a /c-forholdstall fra tilfelle 1 til tilfelle 2. Sammenlikning av tilfelle 1 og 3 gir at dersom konstruksjon belastes med tilsvarende bøyespenning i stedet for membranspenning, blir utmattingslevetiden 139-161% lengre, avhengig av a /c-forholdstall. Dette viser hvor viktig det kan være å skille andel membran- og bøyespenningen i den totale spenningsvidden ved beregning av utmatingslevetiden.

Sprekker som ble vurdert i illustrerende eksempler ble belastet bare med membranspenning. Dette gir, som vist nettopp, dårligste resultater med hensyn på utmattingslevetid.

45

Figur 29 - Utmattingslevetid til sprekkene i de vurderte tilfellene

5.5. Effekt av platebredden på utmattingsanalyser

Alle sprekkene i tilfellene og illustrerende eksempler vurdert så langt i rapporten var i uendelig brede plater (b→ ∞). En uendelig bredde er uaktuell i virkelige konstruksjoner. Påvirkningen av endelig bredde vurderes ved å sammenlikne utmattingslevetider til en sprekk i ulike platetykkelser. Sprekk fra tilfelle 2 med initial a /c lik 0,4 betraktes videre. Alle

parameterne blir uforandret, bortsett fra bredden, b. Resultatene presenteres i Figur 30.

Som det går av Figur 30, har ikke bredde stor påvirkning på utmattingslevetid, så lenge verdien er relativt høy. Derfor varierer ikke levetiden mye når bredden reduseres fra ∞ til 1000 mm. Ytterlige redusering (b=200 mm) fører til en merkbar

reduksjon av levetiden N . Dette skyldes at randbetingelser får betydning først ved lave bredder. Spenningen i brede plater kan fordeles over større område, mens i korte plater må spenningen ved kanten være 0. Det fører til større spenningskonsentrasjon ved sprekkspissen, som videre fører til større Δ K og sprekkvekst i korte plater [4]. Figur 30 viser

imidlertid, at ved store platebredder, en gjør ikke stor feil ved å utføre beregninger med b=∞. Den viser også at små

forandringer av b ikke skal påvirke utmattingslevetid signifikant, siden modellen ikke er følsom nok.

46

Figur 30 - Effekten av endelig bredde, b [mm] på utmattingslevetid, N

DEL 2

6. Vurdering av utmattingslevetid

Ved estimering av utmattingslevetid i henhold til de fleste standarder brukes vanligvis S-N og/eller bruddmekanisk tilnærming til sprekkvekst [8].

Avendelse av S-N tilnærming er ikke et av målene med dette prosjektet. Til tross for det, kommer resultatene som fås ved hjelp av den bruddmekaniske tilnærmingen til å bli sammenliknet med resultatene fra S-N tilnærmingen som er vanlig i praksis. Derfor gis i dette kapittelet en kort introduksjon til viktigste aspekter ved bruk av S-N kurver som blir benyttet til ulike formål i rapporten.

Bruddmekanisk tilnærming baserer seg på metodene som ble diskutert så langt i rapporten. Tilnærmingen er anbefalt for bruk ved vurderingen av akseptable mangler (sprekker), vurdering av akseptkriterier for produksjon og for planlegging etter-inspeksjon [18]. Den brukes vanligvis ikke alene til estimering av den totale utmattingslevetiden. Årsakene diskuteres i dette kapittelet.

6.1. S-N tilnærming

6.1.1. GenereltS-N kurver (Wöhler diagrammer) finnes i ulike standardverk og er den vanligste metoden brukt til å estimere utmattingslevetid. Mange utmattingstester av en bestemt type konstruksjonsdetalj danner grunnlag for logaritmisk graf mellom spenningsvidde (S) og antallet spenningsvekslinger til brudd (N ) for den detaljen. Ingen av testprøvene som testes for å lage disse kurvene er identiske, som fører til variasjon i resultatene. Data blir spredt over et område, og S-N kurven bestemmes statistisk for en viss sviktsannsynlighet (Figur 31).

S-N kurve som følger MEAN regresjonslinje (50%) gir at for en spenningsvidde S har komponenten 50 prosent

sannsynlighet for brudd etter den anslåtte N . DESIGN-kurver som skal anvendes ved vurdering av utmattingslevetid i henhold til standardverk, ligger to standardavvik til venstre for regresjonslinjen. Dette tilsvarer 2, 3 % sannsynlighet for brudd før den anslåtte N som skal gi en konservativ vurdering.

Valg av spenningstype (nominell, hot spot eller kjervspenning) avgjør hvilke S-N kurver som kan benyttes til vurderingen av en bestemt type sveisedetalj.

Bruk av nominell spenning (global tilnærming) er den vanligste måten å bestemme utmattingslevetid [1]. Naturligvis vil nominell spenningen påvirke ulikt diverse sveisedetaljer. Det er derfor åpenbart at ved global tilnærming finnes det mange S-N kurver for ulike sveisedetaljer. Siden S-N kurvene henviser til bestemte sveisedetaljer, er det ikke nødvendig for selve brukeren å forsøke å kvantifisere virkning av lokal spenningskonsentrasjon på sveisedetalj.

Følgelig, ved anvendelse av hot spot spenning, der det tas hensyn til spenningskonsentrasjon pga. makrogeometri rundt sveisen, vil færre S-N kurver være nødvendig til betraktningene siden spenningen som er gitt er nøyaktigere. Ved bruk av

47

log (N )

log (S )

MEANP(brudd)=50 %

P(brudd)=97,7 %

DESIGNP(brudd)=2,3 %

Figur 31 – Skjematisk fremvisning av en S-N kurve

kjervspenning vil bare én S-N kurve være nødvendig, siden den virkelige spenningen ved sveisedetaljen brukes. Hot spot tilnærming brukes til betraktninger i denne rapporten.

6.1.2. Hot spot tilnærming (DNV-RP-C203)S-N kurvene som benyttes for bestemmelse av utmattingslevetid i rapporten er gitt i DNV-RP-C203 [18] (Figur 32). DNV-RP-C203 gir 14 kurver for beregning av N til ulike sveisetyper ved bruk av «hot spot» metoden. Kurvene er delt inn i fjorten klasser basert på:

- Detaljenes geometri

- Retning til den sykliske belastningen i forhold til detaljer

- Metodene for kontroll av detaljer

Alle kurvene har en forandring i helning etter N=107 spenningssykler. Utvikling etter det punktet er ikke relevant for analysene i rapporten siden høyere spenningsvidder og lavere levetider blir betraktet. Kurven D gir forhold mellom S og N i buttsveis og anvendes i denne rapporten. Uttrykk og parametere til beregning av N etter kurven D er gitt i DNV-RP-C203.

log N= log a−m⋅ log(Δσ ⋅( tt ref )

k

) (17)

der :N - Antallspenningssykler til brud for gitt spenning;log a - Skjæringspunktet til log N -aksen;m - Negative inverse helningen til kurven;Δ σ - Spenningsvidde;

t - Platetykkelse (hvis t<25mm, t=t ref );

t ref - Referansetykkelse (25 mm)

k - Tykkelses eksponent.

Ved hot spot tilnærmingen, brukes den totale spenningsvidden (Δ σ ) og det skilles ikke mellom eventuelle bøye- og membranspenningskomponenter. Likning (17) gir at ved bruk av DNV-RP-C203s hot spot tilnærming, estimert levetid N ikke er avhengig kun av spenningsvidden, men av tykkelsen t også. Større tykkelser virker ugunstig på utmattingslevetid, og det ble tatt hensyn til. Levetid for alle konstruksjoner med tykkelse over 25 mm (t ref ) korrigeres ved å forstørre spenningen

med faktor (t / tref )k. Korrigeringen innebærer en senkning av S-N kurven, og dermed redusering av levetiden ved større tykkelser. Jo høyere tykkelseskomponenten er, desto lavere blir den korrigerte S-N kurven. Parametere for kurven D i likning (17) opp til N=107 spenningssykler er som følger:

48

Figur 32 - S-N kurvene for sveisedetaljer i luften (DNV-RP-C203[18])

Tabell 7 - Design- og mean S-N kurve D i luften for N ≤107

log a m kDESIGN MEAN12,164 12,564 3,0 0,20

Tabell 7 gir parametere til beregning av utmattingslevetiden N i henhold til både DESIGN og MEAN S-N kurve. Design kurven gir 2,3% sannsynlighet for svikt før den estimerte N , og brukes til konservative beregninger. MEAN-kurven ble fått ved å legge til 2 standardavvik til DESIGN-kurven. DNV-RP-C203 oppgir at data i S-N kurvene er lognormalfordelt med standardavvik lik 0,2. MEAN kurve blir tatt i bruk ved betraktninger i rapporten, om ikke annet bemerkes.

S-N tilnærming, som ble presentert, er den vanligste måten å konstruere mot utmatting [3]. Den er enkel og rask, samt gir en god estimering av utmattingslevetid.

6.2. Bruddmekanisk tilnærming

Den vanlige bruddmekaniske tilnærmingen, som ble beskrevet tidligere, inkluderes i noen standarder som en metode til å estimere utmattingslevetid [8], men vanligvis anbefales den bare til å supplere bruk av S-N kurver [18]. Hensikten med en slik analyse er å dokumentere, ved hjelp av beregninger, at utmattingssprekker, som kan oppstå gjennom levetiden, ikke vil overstige en kritisk størrelse som vil resultere i et ustabilt brudd.

Den totale levetiden (N tot) til en konstruksjon som er belastet med syklisk last kan betegnes som summen av antallet

spenningssykler i initierings- (N i) og sprekkvekstfasen (N p).

N tot=N i+N p

Den bruddmekaniske tilnærmingen må modifiseres dersom den skal kunne brukes til å finne den totale levetiden. I følge DNV-RP-C203 [18] gir bruddmekaniske beregninger kortere levetider enn bruk av S-N kurver. Grunnen til det er at S-N

kurvene gjelder for stadiene I og II (N tot ), mens den bruddmekaniske modellen, gjelder kun for makrosprekker (stadium II,

N p). Ved å vurdere så store sprekker, tar ikke man hensyn til initieringsfasen og tiden ( N i) som sprekken brukte på å vokse

fra en mikro- til en makrosprekk.

Det er flere årsaker hvorfor bruddmekanisk tilnærming gjelder bare for makrosprekker, og alle skyldes ulik oppførsel til mikro- og makrosprekker. Et skjematisk plott av vekstkurver til de to typer sprekk vises i Figur 33.

Veksthastigheten til makrosprekker viser, som beskrevet tidligere (Figur 15), en asymptotisk utvikling mot terskelverdien

Δ K th, som sprekken blir mindre og mindre. Mikro-sprekkvekst data har vanligvis ikke en like monoton utvikling som

makro-sprekkvekst data, men viser heller en svingende utvikling [19] (se Figur 33). Svingningene skyldes at mikrosprekker har tendens til å vokse raskt på visse strekninger, og deretter nærmest stoppe ved hindringer som grenser mellom metallets korn eller andre partikler [4]. Figuren viser også at veksthastigheten til mikroskopiske sprekker er flere ganger raskere, for den samme Δ K verdien, enn den til makrosprekker. Denne utviklingen fortsetter frem til sprekken blir flere ganger større

49

Figur 33 - Sprekkvekst til mikro- og makrosprekker [19]

log dadN

Δ K th log Δ K

Makrosprekkvekst(Stadium II - sprekkvekstfase)

Mikrosprekkvekst(Stadium I - Initieringsfase)

enn kornstørrelsen [20]. I tillegg kan det observeres at mikrosprekker vokser selv ved Δ K som er godt under

terskelverdien Δ K th til makrosprekker.

Disse egenskapene til mikrosprekker fører til at den vanlige bruddmekaniske tilnærmingen rett og slett ikke kan beskrive den fysiske oppførselen til mikrosprekker godt nok. Med andre ord, den homogene lineærelastiske bruddmekanikken (LEFM) gjelder ikke for mikroskopiske sprekker i initieringsfasen [21]. Dersom den totale levetiden skal vurderes vha. LEFM tilnærming til sprekkvekst, må det likevel tas hensyn til spenningsvekslinger i initieringsfasen og tilhørende mikrosprekker på en eller annen måte. Flere metoder som beskriver sprekkvekst i initieringsfasen foreslås i litteraturen [22][23], men dette ligger utenfor rammen av denne rapporten. Dessuten er en av vanskelighetene med denne typen tilnærmingen at mekanismen for mikrosprekkvekst ikke er fullstendig forstått. Videre, er sprekkvekst i initieringsfasen sterkt avhengig av materialets mikrostruktur som fører til svært store usikkerheter som følge av tilfeldige kornstørrelser, -orientering og initiale sprekkformer [19].

For å unngå disse vanskelighetene, kan en ekvivalent initial sprekk innføres til utmattingsvurderinger. Denne framgangsmåten muliggjør å unngå mikrosprekk-problematikken og bruke den ekvivalente initiale sprekken i den vanlige

bruddmekaniske tilnærmingen (for makrosprekker) og likevel få den totale utmattingslevetiden, N tot .

7. Ekvivalent initial sprekk (EIFS)

For å kunne foreta en bruddmekanisk utmattingsanalyse i tilfeller når veldefinerte pre-eksisterende sprekker ikke er kjente, må en ekvivalent initial sprekk vurderes konseptuelt. Begrepet er beskrevet i nærmere detalj i litteraturen [21][24][25], hvor det vanligvis betegnes som EIFS (Equivalent Initial Flaw Size). Forkortelsen benyttes i denne rapporten også.Det skilles mellom flere ulike måter å finne EIFS. Den kan relateres til evne til å oppdage sprekker i senere kontroller av konstruksjon, til materialets mikrostruktur og imperfeksjoner på dette størrelse-nivået, eller utledes som en ren beregningsorientert parameter [26]. Den sistnevnte måten brukes i denne rapporten.

Dersom den bruddmekaniske metoden ved bruk av den ekvivalente initiale sprekkstørrelsen skal være anvendbar, må det forsikres samsvar mellom den predikerte utmattingslevetiden og eksperimentelle data. Sammstemmighet kan sikres

beregningsmessig, ved tilbakeregning. Tilbakeregning er en måte å finne ekvivalent a0 ut fra parametere og resultater fra

virkelige utmattingstester, ved å regne seg tilbake fra det totale antallet spenningsvekslinger til den initiale sprekken før den første spenningsvekslingen. Alle parameterne og resultatene er tas fra virkelige utmattingstester. Tilbakeregning kan betraktes som en kalibrering. Den EIFS verdien som fås, skal gi akkurat den samme utmattingslevetiden når den evalueres i den samme beregningsrutinen, sammen med de andre parameterne som ble brukt til utledning. Derfor er den fysiske betydningen av den ekvivalente initiale sprekken ikke viktig ved anvendelse i tekniske sammenhenger, og EIFS kan sees på som bare en beregningsparameter. Med andre ord, ekvivalent sprekkdybde beskriver en tenkt størrelse. Grunnen til det er at den ikke representerer den fysiske sprekken, men heller en matematisk verdi som fås ved tilbakeregning for bruk i den samme modellen. Det er nettopp den viktigste egenskapen til EIFS - at den muliggjør å bruke den vanlige bruddmekaniske tilnærmingen til estimering av utmattingslevetid, og likevel få fornuftige resultater som er i samsvar med de virkelige.

7.1. EIFS-metode

Ekvivalent initial sprekk (EIFS) metoden er en probabilistisk tilnærming til bruddmekaniske sprekkvekstanalyser. Ideen om bruk av EIFS til å beregne utmattingslevetid baserer seg på antakelsen at EIFS er en stokastisk variabel. I det tilfellet, foreslås at, analogt med utmattingslevetiden til prøver som ble brukt til å lage S-N kurver, vil EIFS-populasjonen også ha en sannsynlighetsfordeling. Ved å ta utgangspunkt i EIFS-verdier beregnet fra eksperimentelle data, kan den sannsynlighetsfordelingen bestemmes ved statistiske analyser. Deretter kan, i likhet til S-N kurvene, EIFS-metoden brukes til å bestemme den totale levetiden med en viss pålitelighet.

Det foreslåtte konseptet studeres hyppig og har sine røtter i flyindustriens materialforskning. Det har som regel blitt brukt for aluminiumsplater som brukes ved flyproduksjon og blir utsatt for utmatting ved vanlig drift [24][26][27]. Liknende forskning av EIFS i rundsveisede rørledninger ble ikke rapportert i den studerte litteraturen. Generelt, har utbredt bruk av dette konseptet vært begrenset på grunn av stor mengde av testdata som er nødvendig til å utvikle en pålitelig EIFS-fordeling. Utvikling av EIFS-fordelinger kan være tidskrevende og dyrt, delvis på grunn av nødvendighet av destruktive utmattingstester, og delvis som følge av analysene som må foretas deretter fra de observerte resultatene. Det er derfor

50

åpenbart at i tilfellet av utmattingstesting av rundsveisede rørledninger, har ikke utvikling av en EIFS-metode vært primært formål.

En database med opplysninger om ulike utmattingstester ble tilgjengelig for bruk i løpet av dette prosjektet. I lys av manglende relevante studier, ansees tilgang til databasen som en verdifull mulighet til utledning og vurdering av mulighet for bruk av EIFS konseptet til estimering av utmattingslevetid til rundsveisede rørledninger.

Målet med metoden er å finne en EIFS-verdi for rundsveisede rørledninger, som kan brukes i den vanlige bruddmekaniske tilnærmingen til sprekkvekst for å estimere utmettingslevetid. Den ekvivalente sprekkdybden muliggjør, med andre ord, å forutsi utmattingslevetid med en viss sikkerhet, avhengig av funnet sannsynlighetsfordeling av utledede EIFS-verdier. Utledning av EIFS er et forsøk på å finne og generalisere ekvivalente initiale sprekker i rundsveisede rørledninger.

Fremgangsmåten som anvendes til å utlede EIFS-metoden for rundsveisede rørledninger er som følger: (1) Vurdering av forsøksdata fra databasen og valg av passende prøver, (2) Tilbakeregning fra levetiden hentet i databasen til flere sett med ekvivalente sprekkdybder ved å anta ulike initiale parametere, (3) Betraktning av betydning av ulike faktorer og valg av datasett som egner seg best til statistiske analyser, (4) Tilpassing av en teoretisk sannsynlighetsfordeling til det valgte datasettet og (5) Bruk av fordelingen til å finne grenseverdier og vurdering av EIFS-metoden ved sammenlikning med andre metoder.

8. Database

I denne rapporten brukes utvalgte testprøver fra en omfattende database til beregning av ekvivalente sprekker, EIFS-er. Databasen er en samling av informasjon om ulike rundsveisede rørledninger, og ble laget for Joint Industry Project (JIP) ved navn Fatigue of Girth Welds: Phase 1. Den inneholder data om rør fra hele verden som ble utsatt for syklisk last med formål å måle utmattingslevetid og kartlegge sprekkvekst. Ingen referanse til opprinnelige prosjekter er gitt.

Resonanstestrigger ble brukt til å teste utmattingseffekter av harmonisk resonanslast på butt-rundsveiser i rørledninger. Denne metoden fører til rotasjonsbøyning, men spenningen varierer ikke så mye gjennom veggtykkelsen og kan derfor ansees som membranspenning. Bruk av resonanstestrigger er en bra og effektiv måte å teste utmatting på, siden resonans muliggjør å oppnå ønsket spenning mange ganger i løpet av et sekund, som fører til korte testingstider, sammenliknet med andre metoder [28]. Det finnes mange måter å sette resonanstestrigg på, og flere oppgis i litteraturen [29][30].

Databasen er meget omfattende og inneholder informasjon om testriggoppsett, metoder, rørdimensjoner, sveisgeometri, lastforhold, samt dimensjoner og bilder av de endelige sprekkene til 1099 rørledninger som ble testet.

Kriterier for valg av rør som vurderes i denne rapporten er som følger:

Full-skala testing – fremfor ”strip sample” testingen. Dette er viktig for å ta hensyn til alle utmattingseffekter i rundsveisede rørledninger og som ikke kan fås ved testing av en strip, samt ekskludere usikkerheter forbundet testing i med liten skala.

Prøven ble testet til brudd – det er registrert og kan vites med sikkerhet hvor mange spenningsvekslinger et

rundsveiset rør ble utsatt for før brudd, som muliggjør å regne seg tilbake til den ekvivalente a0.

Ubehandlet sveis (as-weld) – Ingen tiltak har blitt iverksatt for å forbedre sveisens utmattingsegenskaper. Dette sikrer at alle geometriske påvirkninger på grunn av sveis som Mk -faktorer tar hensyn til, blir til stede i rørene under testingen og at uttrykkene kan benyttes ved tilbakeregningen.

Sprekken som initierte fra svesetå – Alle uttrykkene i rapporten gjelder for sprekker som initierer ved sveisetå. Tilstrekkelig informasjon for inndata til analyser – Viktig at alle data som er nødvendige for analysen av et rør er

tilgjengelige i databasen (jfr. Vedlegg 3). Dette gjør mulig å vurdere rørene ved å bruke virkelige og målte

parametere i bruddmekanisk analyse. Det er umulig å regne tilbake til aekv med mindre dette kriteriet er

tilfredsstilt.

Antall testede rørledninger som tilfredsstiller disse kriteriene er 26. Det ble ikke forventet at antall brukbare prøver skal være så lavt, men mange prøver falt ut på grunn av behandling av sveisene, eller at det ikke var tilstrekkelig data tilgjengelig. Til tross for lavt antall brukbare prøver, tilbyr prøvene et bredt spekter av ulike geometrier, eksentrisiteter,

51

spenningsvidder og levetider som er bra for resulterende EIFS-verdier. Dessutten er dette flere prøver enn det som vanligvis ble funnet i litteraturen.

Verdiene av de ulike parameterne fra databasen som er av nytte ved analysene vises i Tabell 8. Disse verdiene er den nødvendige inputen i beregningene (jfr. Vedlegg 3).

52

Prøve-nummer

Ytre diameter

(mm)

Rørvegg tykkelse, t

(mm)

Nominell spenningsvidde, Δ Snom (MPa)

scfDNV-RP-C203

(side 27)

Antallspenningsvekslinger til

brudd, N

Sveisefotens bredde, L

(mm)

1 219 28,0 200 1,0218 325877 30,2

2 219 28,0 201 1,0199 315406 30,1

3 219 28,0 171 1,0040 586989 30,0

4 219 28,0 179 1,0060 491975 30,1

5 219 28,0 89 1,0197 7459465 30,2

6 219 28,0 90 1,0557 4591885 30,1

7 219 28,0 215 1,0080 780382 30,0

8 219 28,0 182 1,0199 1280086 30,0

9 324 41,3 202 1,0189 199135 44,1

10 324 41,3 103 1,0106 2462195 44,5

11 324 41,3 86 1,0427 5173715 44,2

12 244 34,2 184 1,0459 1373179 36,4

13 168 23,3 171 1,0187 2280395 24,9

14 168 22,9 183 1,0316 805243 24,8

15 169 23,0 129 1,0023 1882650 25,0

16 273 30,0 80 1,0301 7754116 33,4

17 273 30,0 131 1,0424 1316387 32,8

18 273 30,0 126 1,0275 1987203 32,2

19 273 30,0 133 1,0442 1370018 32,3

20 273 30,0 137 1,0181 1633872 33,0

21 273 30,0 185 1,0146 715702 32,7

22 273 30,0 191 1,0477 634681 32,7

23 219 24,1 137 1,0439 2484014 26,1

24 219 24,1 90 1,0452 8885963 26,0

25 219 24,1 199 1,0800 672462 26,7

26 219 24,1 177 1,0934 527190 24,4

Parameterne som er gitt i Tabell 8 brukes ved beregning av den ekvivalente initiale sprekkdybden (aekv) til rørene.

Ytre diameter til rørene ligger mellom 168 mm og 324 mm. Den brukes direkte i beregning av spenningskonsentrasjonsfaktorer (scf ) og til å definere en tilnærmet bredde (b) som inngår i likningene. Nærmere forklaring av tilnærmingen gis i avsnitt 9.1.2.

Rørveggens tykkelse (t ) settes som dybden til den endelige sprekken, a f . Når sprekken går gjennom tykkelsen, avsluttes

beregningen og det deklareres brudd. Tykkelsene varierer fra 22,9 mm til 42,4 mm.

Nominell spenningsvidde (Δ Snom) er spenningsvidden rørene ble belastet med. Verdiene som vises ble fått ved å regne seg

tilbake fra tøyningen (fått vha. strekklapper) og E-modulen. Hot spot spenning betraktes og membrankomponenten Δ S t,

settes til å være lik den nominelle spenningsvidden ved tilbakeregningen.

Spenningskonsentrasjonsfaktor (scf ) er beregnet i henhold til likning (3.3.6) i DNV-RP-C203 [18]. Faktoren gjelder for to rundsveisede rørledninger og tar hensyn til tilleggsbøyekomponent som følge av eksentrisitet og ulike veggtykkelser. Den

53

Tabell 8 - Inputdata fra databasen

brukes, med andre ord, til å beregne hot spot spenningens bøyekomponent, Δ Sb som andel av nominell spenningsvidden

Δ Snom.

Antall spenningsvekslinger til brudd (N ) gir den virkelige levetiden til rørledninger. Målet med beregningene blir å velge en

a0 som gjenskaper den samme N verdien, ved identiske påkjenninger. Verdiene varierer fra 199135 til 8885963. De

høyeste verdiene kan være tidskrevende for beregningen.

Sveisefotens bredde (L) ble ikke oppgitt i databasen. Likning for scf (3.3.6) fra DNV-RP-C203 som ga alle scf -verdiene i

tabellen avhenger av L. Den ble brukt sammen med de oppgitte scf -verdiene til å beregne L-verdiene som presenteres.

9. Tilbakeregning

9.1. Metode

Den grunnleggende fremgangsmåten for å beregne den ekvivalente initiale sprekkdybden EIFS, som beskrives i denne delen er gitt i Figur 36. Denne prosedyren er implementert i MATLAB skript (Vedlegg 3) og man tar utgangspunkt i parameterne til de 26 rørledningene fra databasen (Tabell 8) og følgende antakelser. Faktorene og parameterne fra standardverket som tas i bruk skal gi den beste estimeringen ved å sikre en realistisk analyse i den grad det er mulig ved anvendelse av den valgte bruddmekaniske sprekkvekstmodellen.

9.1.1. Antakelser Ikke-konservativ bruddmekanisk tilnærming En halv-elliptisk EIFS ved sveisetå med a /c-forholdstall = 0,2 og 0,5

Sveisevinkel, θ=¿ 30° (den minste tillatte)

Platebredde, b=2 π ⋅rm

Hvis a /t ≤0,005; Settes a /t=¿0,005 (grenseverdi) Totrinns Paris’ lov – MEAN materialkoeffisientene (BS7910:2005 [10]):

For: Δ K<196 N /mm3/2:{C1=4,80 ⋅10−18

m1=5,10

Δ K ≥ 196 N /mm3 /2 :{C2=5,86 ⋅10−13

m2=2,88

Påført konstant amplitude «Hot spot» spenning

Membranspenningsvidden, Δ S t=ΔSnom

Bøyespenningsvidden, Δ Sb=Δ Snom⋅(scf −1)

Terskelverdien Δ K th neglisjeres

Inkrement av spenningssykler, Δ N =100

9.1.2. Tilnærming av parametereAlle likninger som brukes i rapporten er gitt for sprekkvekst ved sveisetå i en plate med kilsveis. Nøyaktigheten av denne metoden avhengig av mulighet å tilnærme rundsveisenes parametere til kilsveisenes parametere, slik at de simulerer forholdene som oppleves ved sprekkplanet i butt-sveisede rør så godt som mulig. Parametere som antas ved utregningen ble valgt slik at de sikrer gode resultater og tilfredsstillende tilnærminger. De blir ikke forandret med mindre annet spesifiseres. Begrunnelse for geometritilnærming følger.

54

Sveisevinkel, θ

Uttrykk for Mk -faktorer avhenger av θ. For at en kilsveis skal tilnærmes rundsveis, brukes den minste tillatte sveisevinkel (

θ=30° ) ved beregning av Mk -faktorer. Ved å endre vinkelen til den minste tillatte grenseverdien, antas det at Mk -faktorer laget for kilsveis kan brukes for buttsveis (Figur 34).

Platebredde, b

Selv om det ble vist at små forandringer av b ikke har særlig merkbar effekt på bruddmekaniske analyser (jfr. avsnitt 5.5),

må en parameter for bredde defineres ut fra rørledningens geometri. En rimelig løsning er å definere b til å være lik lengden til rørets gjennomsnittsomkrets.

Det betyr at ved å endre sveisvinkelen (θ) til den minste tillatte grensen, samt sette bredden (b) til å være lik rørets

omkrets, antas det at uttrykk for Δ K som er opprinnelig utviklet for kilsveis kan brukes i butt-rundsveis mellom to rørledninger.

Enda en faktor som påvirker nøyaktigheten til tilnærmet Δ K i butt-sveis er nøyaktigheten til de opprinnelige uttrykkene

for kilsveisens Δ K . Uttrykkene presentert i Bowness’ og Lee sin rapport [9] ble utviklet til å være allment gjeldene slik at det antas forsvarlig å bruke disse i videre beregninger av buttsveiseskjøt, så lenge man tar hensyn til de andre faktorene som er nevnt i denne delen.

55

(b)(a)

θθ

Figur 34 – Sveisevinkel, θ i kilsveis (a) og butt-rundsveis (b)

rm

b=2 π ⋅rm

Figur 35 - Tilnærming til platebredden b

56

Figur 36 - Flytskjema for tilbakeregning til ekvivalent initial sprekkdybde, aekv vha. MATLAB

JA

NEI

NEI JA

NEI

JA

Era ≥ a f ?

Er

ASN ≥ N

Inkrementerer størrelser

ASN=ASN+ Δ Na=a+dac=c+dc

Sprekk går gjennom tykkelsen før alle N spenningsvekslinger

ble kjørt (ved ASN spenningsvekslinger). Initial

sprekkdybde a0 må reduseres.

Er

a ≥ a f ?

Sprekken vokser ikke gjennom tykkelsen for gitte parametere. Sprekken har vokst til a og c

etter N spenningsvekslinger.

Initial sprekkdybde a0 må økes.

a0=EIFS; Den valgte a0

fører til brudd (a ≥ t ¿ ved

N spenningsveklinger og de gitte parametere.

Beregner geometri- og sveisetåforstørreslesfaktorer

Newmans og Rajus faktorer (Vedlegg 1)Inndata: Utdata:

ac

, at

, cb

, ϕ H ,Q ogF

Bowness’ og Lees Mk - faktorer (Vedlegg 2)Inndata: Utdata:

ac

, at

, cb

og Lt

M k mA , M kbA , M kmC og M k bC

Beregner sprekktilvekst, da og dc fra likninger (15)

da=C ⋅Δ K Am ⋅dN

dc=C ⋅Δ K Bm⋅ dN

Initierer verdiene

a=a0

c=c0

ASN=0

ASN er gjennomgått antall spenningsvekslinger så langt

Beregner Δ K -faktor i punktene A og B fra likning (13)

Δ K A=( MkmA ⋅Δ St +MkbA ⋅H ⋅Δ Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

Δ K B=( MkmB ⋅Δ St+ MkbB ⋅H ⋅ ΔSb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

Beregner forholdstall

ac

, at

, cb

og Lt

Hvis verdiene ligger utenfor gyldighetsområde gitt for bruk av likninger – gi beskjed og fortsett beregning med grenseverdiene

Δ S t = Membranspenningsvidde (MPa)

scf = Spenningskonsentrasjonsfaktor (DNV-RP-C203)

C = Sprekkvekstkonstant (Materialkoeffisient, BS 7910)

m = Sprekkveksteksponent (Materialkoeffisient, BS7910)

N = Antall spenningssykler som skal beregnes

Δ N = Inkrement av spenningssykler

Inndata:

ao = Initial sprekkdybde (mm)

c0 = En halv av den initiale sprekklengden (mm)

a f = Den endelige sprekkdybden (mm)

b = Bredde (rørets midtre omkrets, mm)

t = rørveggtykkelse (mm)

L = Sveisefotens bredde (mm)

9.2. Diskusjon av metode

Som flytskjema (Figur 36) viser, er ikke tilbakeregning den mest elegante løsningen til å finne den ekvivalente sprekkdybden, EIFS. Det er åpenbart at denne fremgangsmåten krever en del prøving og feiling. I motsetning til en vanlig bruddmekanisk vurdering av sprekkvekst, der man setter inn en initial sprekk, som analyseres med hensyn på last og geometri for å finne levetiden - her er levetiden gitt. Grunnen at dette ikke er den optimale metoden å regne seg tilbake til initial sprekkdybde er at dette strengt tatt ikke er noen tilbakeregning i ordets rette forstand. Det vil si at det eneste som

kan varieres er selve a0, som må justeres helt til man treffer det samme antallet spenningssykler som er gitt i databasen.

Dermed må sprekkvektsanalysen utføres flere ganger med ulike verdier av a0, som kan være tidskrevende avhengig av N

og Δ N . Det kan overvinnes ved modifisering av skriptet, slik at dette gjøres automatisk, som fører til en betydelig raskere

analyse og gir en omtrentlig verdi av a0. Denne verdien må likevel finjusteres videre. Årsak til det er at ulike verdier av

inkrement størrelse Δ N fører til ulik følsomhet av den matematiske modellen, som ofte fører til at de initiale sprekkene

må justeres til syvende eller åttende desimal. Dersom a0 ikke velges klokt, som ofte kan være vanskelig, kan finjusteringen

av de siste desimalene til a0 være tidskrevende. Dette er umulig å unngå og i virkeligheten er ikke dette av stor betydning,

men for den matematiske modellen er det viktig, siden til og med så lave forandringer av a0, kan gi et utslag på N .

Finjusteringen er derfor nødvendig, om den ekvivalente sprekkdybden skal gjenskape det akkurat samme antallet spenningsvekslinger som observert i virkeligheten. Dette er årsak at EIFS-verdiene oppgis med åtte desimaltall.

9.2.1. Valg av sprekkvekst modell – Totrinns Paris’ lovTotrinns Paris’ lov ble valgt for beregninger fremfor enkel Paris’ lov. Den er anbefalt å bruke av BS7910:2005 [10] ved behov for høyere nøyaktighet i beregningene [8]. Valg av den ene, fremfor den andre kan føre imidlertid til underestimering av sprekkveksthastighet, som Darcis et al. har rapportert [31]. Betydning av valget for resultatene diskuteres i følgende del.

Sprekkvekstkurvene er vanligvis S-formet (jfr. avsnitt 4.2) men for simpelhets skyld gir BS7910:2005 form som vises i Figur 37.

57

Selv om forskjellene mellom modellene ikke virker store (Figur 37), kan de ha en betydelig effekt på den totale utmattingslevetiden. Den lyse vertikale linjen angir Δ K -grenseverdi (196 N/mm3/2), der andre materialkonstanter tas i

bruk ved anvendelse av totrinns Paris’ lov. Tiden før Δ K oppnår denne verdien kan være meget lang. Generelt gjelder at

ved lave spenningsvidder, små sprekker eller kombinasjon av begge, Δ K kommer til å være lengre under denne grensen. Det betyr at i tilfelle av EIFS-er, som er meget små sprekker, blir dette en betydelig andel av utmattingslevetiden.

Dersom man antar totrinns Paris’ lov, gir grafen at sprekkveksthastighet blir betraktelig lavere gjennom mesteparten den av tiden til Δ K -grenseverdien. Like før grenseverdien er oppnådd, begynner totrinns Paris lov’ å gi litt høyere sprekkvekthastighet. Etter at grenseverdien er nådd, avtar sprekkveksthastighet, og blir etter hvert lik som sprekkvekthastigheten gitt av enkel Paris’ lov. Tiden med høyere sprekkveksthastighet i den andre delen er vanligvis ikke nok til at den gjennomsnittlige sprekkveksthastigheten til de to modellene skal være like, dersom Δ K vokser lenge til grenseverdien. Det forekommer vanligvis når påførte spenninger er meget lave eller sprekker er meget små.

Darcis et al. [31] har rapportert liknende funn. De har vurdert anvendelse av den bruddmekaniske tilnærmingen til sprekkvekst for analyser av fysisk små sprekker. Det ble funnet at bruk av totrinns Paris’ lov for fysisk små sprekker og påført lav spenningsvidde gir en overestimering av utmattingslevetid, sammenliknet med enkel Paris’ lov. Det skyldes lavere sprekkveksthastigheten, som følge av kombinasjon av små sprekker og lave laster, som diskutert ovenfor. Ved høyere spenninger gir begge modellene liknende levetidspredikasjon.

Grunnen at det antas forsvarlig å bruke totrinns Paris’ lov ved tilbakeregning i denne rapporten er at det ikke vurderes virkelige initiale sprekker, men ekvivalente initiale sprekker. Resultater til Darcis et al. [31] gjelder for virkelige små sprekker. Derfor, først ved analyser av virkelige små sprekker skaper den rapporterte effekten problemer. Ved bruk av EIFS, unngås dette problemet. I tillegg gir bruk av enkel Paris’ lov betydelig høyere sprekkveksthastighet som fører til at ekvivalente sprekkdybder blir omtrent 30 ganger mindre enn de som er beregnet ved bruk av totrinns Paris’ lov. Disse verdiene er lavere enn noen av imperfeksjoner som kan forventes i materialet, og totrinns Paris’ lov velges også av estetiske årsaker.

58

log (Sprekkveksthastighet, da /dN )

log (Variasjon i spenningsintensitetsfaktor, Δ K )

196 N /m m3 /2

da /dN=C 1⋅ Δ Km1

da /dN=C ⋅ Δ Km

da /dN=C2⋅ Δ Km2

Δ K c

Δ K th

Totrinns Paris’ lov

Enkel Paris’ lov

Figur 37 - Sammenlikning av enkel- og totrinns Paris' lov

9.2.2. Valg av initialt a /c-forholdstallUtmattingssprekkvekst er en stokastisk prosess i naturen [19] som impliserer at initiale- og dermed de ekvivalente sprekkstørrelsene er stokastiske variable. Følgelig, er det temmelig sikkert at rørene ikke har de samme initiale størrelsene. Det betyr at tilbakeregningen kommer til å gi et sett med 26 ulike EIFS-verdier. Ved å regne tilbake til to datasett av EIFS, med initialt a /c lik 0,2 og 0,5, kan man velge det datasettet som har den minste spredningen i resultatene for videre statistiske betraktninger.

Rør som er utsatt for korrosjon kan ha initiale sprekker med a /c forholdstall som er større enn 1,0 [32] og verdier opptil 4

er ikke uvanlige [33], men i denne rapporten vurderes bare brede halv-elliptiske sprekker med initiale a /c-forholdstall under 1.

De antatte initiale a /c-verdiene påvirker ikke det endelige a /c-forholdstallet, siden det avhenger av belastning som vist i

avsnitt 5.3. Det betyr at uansett hva som velges som den initiale a /c, kommer ikke den endelige verdien til å bli påvirket.

Derfor er det også umulig ved bruk av valgte metoder å finne det faktiske a /c-forholdstallet ut fra den endelige som er

oppgitt i databasen. Det som er sikkert er at lavere a /c kommer generelt til å gi en mindre EIFS (jfr. avsnitt 5.2).

10. Resulterende EIFS

Tjueseks rør ble brukt i tilbakeregningen til EIFS. Den tidligere forklarte beregningsmetoden ble anvendt til å finne to EIFS-verdier for hvert av rørene, med initiale a /c-forholdstall på 0,2 og 0,5 mm. Disse verdiene former to datasett og spredningen av resultatene vises i Figur 38.

Figur 38 viser de to datasettene plottet ved siden av hverandre. Lavere a /c-forholdstall ga, som forventet, også lavere ekvivalente initiale sprekkdybder, for den samme levetiden. Grunnen til det er ulike sprekkveksthastigheter, som forklart tidligere (se avsnitt 5.2). Hver EIFS-verdi med a /c på 0,2 hadde omtrent like stor reduksjon (ca. 19,3 %) sammenliknet med

tilsvarende EIFS med a /c på 0,5. Dette førte også til tilsvarende reduksjon av avstand mellom datapunktene. Det betyr at standardavviket også blir like mye redusert som alle EIFS-verdiene (omtrent 19,3 %).

Vanligvis betyr mindre spredning av datapunktene at et datasett egner seg bedre til en statistisk vurdering, siden standardavviket blir mindre. Ytterligere reduksjon av a /c ville ført til en enda mindre spredning av resultatene, men det har imidlertid ikke en stor betydning i dette tilfellet siden variasjonskoeffisient forblir lik. Grunnen til det er at alle datapunktene med lavere a /c-forholdstall reduseres likt, som fører til at avstand mellom dem og dermed standardavviket reduseres proporsjonalt. Dette resulterer i en lik prosentvis reduksjon av den aritmetiske middelverdien og standardavviket ved valg av lavere a /c, som fører til like variasjonskoeffisienter uansett initiale a /c-forholdstall.

Følgelig vil forhold mellom tilsvarende EIFS-er fra to datasett med ulike a /c alltid være lik. Ved re-evaluering i den samme

beregningsrutinen ville ikke EIFS-er som er mindre pga. lavere a /c gitt forskjellige utmattingslevetider enn EIFS-er med

høyere a /c-forholdstall, på grunn av kalibrering i den beregningsrutinen. Det betyr at valg av initial a /c ikke påvirker

59

Figur 38 - Spredning av EIFS verdiene

egnethet av resultatene for videre statistiske vurderinger og dermed har valg av datasett ingen betydning for følgende analyser.

For videre bearbeiding av data i statistiske analyser velges EIFS datasett med a /c på 0,2. Dette datasettet prefereres

utelukkende siden DNV-RP-C203 anbefaler a /c forholdstall lik 1/5 ved bruddmekaniske beregninger [18]. Det andre datasettet kunne imidlertid velges også.

Tabell 9 – EIFS-dybder fra datasett med a /c=0,2 (DS02)Del 1 Del 2Prøvenr. aekv

(mm)

N (sykler) ( a f

c f)EIFS

/( a f

c f)DB

Prøvenr. aekv(mm)

N (sykler) ( a f

c f)EIFS

/( a f

c f)DB

1 0,01729200 325877 82 % 14 0,00912330 805243 120 %2 0,01765700 315406 117 % 15 0,01890650 1882650 107 %3 0,01882020 586989 94 % 16 0,03092069 7754116 75 %4 0,01883930 491975 89 % 17 0,02158430 1316387 86 %5 0,02249510 7459465 70 % 18 0,01755606 1987203 60 %6 0,02893352 4591885 77 % 19 0,01930017 1370018 86 %7 0,00542085 780382 71 % 20 0,01546193 1633872 82 %8 0,00647975 1280086 61 % 21 0,01007650 715702 126 %9 0,04097200 199135 107 % 22 0,00887980 634681 85 %10 0,03430250 2462195 95 % 23 0,01020745 2484014 80 %11 0,03119136 5173715 100 % 24 0,01734813 8885963 73 %12 0,00536183 1373179 84 % 25 0,00645820 672462 104 %13 0,00527820 2280395 77 % 26 0,01331383 527190 91 %

Tabell 9 viser ekvivalente initiale sprekkdybder aekv, antall spenningsvekslinger til brudd N og forhold mellom de endelige

a /c-forholdstallene beregnet re-evaluering av EIFS og tatt fra databasen (DB). Den ekvivalente sprekklengden cekv

presenteres ikke siden a /c-forholdstall er lik for alle sprekker og cekv kan bestemmes fra aekv /0,2.

Datasettet (DS02) består av ekvivalente initiale sprekkdybder i område 5,27820 µm ≤ aekv≥ 40,97200 µm. Forhold mellom

de endelige a /c-forholdstallene viser at EIFS førte i de fleste tilfeller til et lavere endelig a /c-forholdstall enn det som ble observert og registrert i databasen. Den anvendte bruddmekaniske tilnærmingen overestimerer, med andre ord, sprekkvekst i lengderetningen. Dette fører til et lavere a /c-forholdstall sammenliknet med det virkelige, som kan sees fra tabellen. Liknende observasjoner ble gjort i litteraturen [33] og diskuteres senere.

10.1. Betydning av bruddmekanisk tilnærming for beregning av EIFS

Dersom alle fysiske fenomener ved sprekkvekst kunne beskrives perfekt ved matematiske uttrykk, ville ikke bruk av EIFS være nødvendig. I det tilfellet ville modellen kunne brukes til å finne virkelige initiale sprekkdybder, og spredning i resultatene ville komme som følge av at sprekkene faktisk har ulike initiale størrelser til å begynne med. Ved å bruke den foreslåtte modellen som ikke beskriver perfekt alle fysiske aspekter ved sprekkvekst, innføres det i tillegg en viss unøyaktighet, og avviket mellom den virkelige og den beregnede utviklingen, gir opphav til upresis spredning av resultatene. Til tross for det, er tanken bak implementering av den bruddmekaniske tilnærmingen til å finne EFIS, at jo flere parametere er med på å beskrive sprekkvekst, desto nøyaktigere resultatene kommer til å være. Dermed vil avviket mellom den virkelige og den beregnede spredningen minimiseres. Dette kan illustreres ved eksempel av tilbakeregning til to datasett med ulik følsomhet til spenningsvidden. I det ene (DS02) skilles det mellom bøye- og membrankomponenter i hot spot spenningsvidden og i det andre (DSmembran) gjøres ikke det.

DS02Den totale spenningsvidden:

Δ S tot=Δ St+ Δ Sb=¿¿ Δ Snom+Δ Snom⋅(1−scf )

DSmembran

Den totale spenningsvidden:

Δ S tot=Δ Snom ⋅scf

60

Den totale spenningsvidden er lik for begge (hot spot spenning), mens forskjell er at ved tilbakeregning av DS02 det ble skilt mellom bøye- og membrankomponenter, i motsetning til det nye datasettet DS membran, der spenningsvidden består av ren membranspenning.

Som diskutert tidligere, vil en ren membranspenning føre til en raskere sprekkveksthastighet enn kombinasjon av bøy og membran (se avsnitt 5.4). Dette resulterer i svakt mindre EIFS-er i DSmembran enn i DS02 som kan observeries i Figur 39. Reduksjon avhenger av andel bøyespenningen, og rør med høyere scf fikk større reduksjon ved ren membranspenning.

For å kontrollere premissen at flere parametere gir nøyaktigere resultater, kontrolleres variasjonskoeffisient til de to datasettene.

Tabell 10 - Statistiske parametere til DS02 og DSmembran

. DS02 (Δ S t+Δ Sb) DSmembran (bare Δ S t)

Aritmetisk middelverdi, μ 0,0175 0,0173Empirisk standardavvik, σ 0,0094 0,0093

Variasjonskoeffisient, COV =σ / μ 0,5355 0,5364

Middelverdier og standardavvik til datasettene er ikke direkte sammenliknbare, slik at normalisert spredningsmål, variasjonskoeffisient COV må vurderes. Tabell 10 gir at variasjonskoeffisienten til DS02 er kun litt lavere enn

variasjonskoeffisienten til DSmembran. Selv om forskjell mellom COV -ene er uvesentlig for alle praktiske formål, indikerer den at den relative spredningen reduseres når flere parametere er inkludert i beregningen.

Siden ved beregning av DSmembran det ikke ble tatt hensyn til bøyekomponenten, er spredningen mer unøyaktig i forhold til den virkelige. Hadde andel bøyespenningen vært større, ville spredningen blitt påvirket i enda større grad. Direkte konsekvens om DSmembran skulle velges til bruk i statistiske analyser fremfor DS02, ville EIFS-verdier generelt vært mindre. Følgelig ville det valget ført til altfor optimistiske levetidspredikasjon ved beregning av utmattingslevetiden.

Ved anvendelse av den bruddmekaniske tilnærmingen tas hensyn til mange parametere, slik at effekten av flere faktorer fanges som gir en mer presis beregning. Mening med implementering er at det skal bidra til å gi nøyaktigere kalibrering av EIFS, som igjen skal føre til en mer presis estimering av utmattingslevetid ved bruk av EIFS-metoden.

10.2. EIFS og den fysiske initiale sprekkdybden

Som beskrevet tidligere, er EIFS bare en beregningsparameter og representerer ikke den fysiske initiale sprekkdybden i

sveisen. I følgende del listes flere grunner hvorfor EIFS som er fått på denne måten sannsynligvis ikke er a0. Dette kan ikke

bevises siden de virkelige initiale sprekkene ikke kan måles. Disse årsakene kan også brukes som begrunnelse hvorfor EIFS-metodikken ble valgt.

I prinsippet er bestemmelse av Δ K en av de viktigste faktorene for en god prediksjon av sprekkveksthastigheten i en konstruksjon utsatt for utmatting. Til tross for innsatsen som er gjort til å definere hensiktsmessige parametere for bruk i likningene, er den største årsaken til avviket mellom EIFS og den virkelige sprekkdybden, beregningsparametere som

61

Figur 39 - Spredning av EIFS verdiene i DS02 og DSmembran

mesteparten av tiden ligger på grensen av gyldighetsområde. Alle likningene gjelder for stadium II, og for å sikre rettferdig bruk definerte forfattere [9] gyldighetsområdet som følger:

Sprekkdybde-tykkelse forhold (a /t ) 0,005 ≤ a/ t<1,0Sprekkdybde-sprekklengde forhold (a /c) 0,1 ≤ a/c≤ 1,0Sveisens vinkel (θ) 30 °≤ θ ≤ 60°Sveisens fotprint- platetykkelse forhold (L/ t ) 0,5≤ L/t ≤2,75

Det kritiske forholdstallet er a /t . Grunnen er at a0 (EIFS) i beregningene er så liten, at forholdstallet ligger langt utenfor

det oppgitte området. Så lenge a /t eller noen av andre forholdstall ligger utenfor gyldighetsområdet, brukes den

nærmeste grenseverdien. Praktisk betydning av dette er at a /t forholdstall som brukes i beregningen ikke kommer til å

avhenge av a, så lenge a er så liten at a /t ≤0,005 . Dette illustreres i Figur 40.

Figuren viser en typisk utvikling av a /t forholdstall til en makrosprekk (a) og en EIFS (b) som brukes i beregninger. Det kan

observeres at så lenge EIFS er på mikrosprekkstørrelse, a /t forholdstallet som brukes i beregningen er konstant (0,005).

Dette gjelder så lenge den beregnede sprekkdybden a, gir en a /t som er mindre enn grenseverdien. Som følge av det,

brukes en kunstig konstant a /t verdi gjennom en stor del av beregningen. Initieringsfasen utgjør den største andelen av

utmattingslevetiden og den brukte a /t kan være konstant lenge. Det fører til Δ K verdier som strengt tatt ikke er i samsvar med de virkelige og EIFS som finnes på denne måten kan ikke stemme med den fysiske initiale sprekkdybden.

I tillegg til ovenfor nevnt årsak, kan ytterlige eventuelle avvik forekomme på grunn av utmattingsanalyser som baserer seg utelukkende på Paris’ lov som er gyldig i Sone II av Stadium II (jfr. Figur 15). Ved å bruke Paris’ lov, antar man en lineær utvikling i fasene når Δ K er liten (Figur 41).

62

(b)(a)MAKROSPREKKSTØRRELSE

MAKROSPREKKSTØRRELSE EIFSEn stor sprekk

MIKROSPREKKSTØRRELSE0,005

0,2

1,0

N

a /t

Figur 40 – Typisk utvikling av a /t som brukes i beregningen: (a) en stor sprekk og (b) EIFS

Lave Δ K -verdier forekommer ved lave spenningsvidder, eller mer relevant i dette tilfellet, ved små sprekkdimensjoner,

som i initieringsfasen eller ved beregning av EIFS. Effekten av Δ K thneglisjeres ved tilbakeregningen. Figur 41 viser lineær

utvikling som antas. Det kan observeres at denne antakelsen fører til avvik ved beregning av sprekkveksthastigheter ikke bare til makrosprekker, men også til mikrosprekker (jfr. Figur 33), siden mikro-sprekkveksthastigheten heller ikke varierer lineært som antatt. Dette, i tillegg til konstant a /t bidrar til en beregnet utmatingssprekkvekst som ikke stemmer med den virkelige, så lenge sprekken er på mikronivå. Den forskjellen fører til, i prinsippet, at EIFS ikke er lik den fysiske initiale sprekken.

Avvik ved bruk av Paris’ lov inkluderer også statistisk usikkerhet ved bruk av materialkoeffisienter C og m. Verdiene som tas ut fra BS79010:2005 baserer seg på empiriske resultater og 50 % statistisk sannsynlighet for at de er riktige (regresjonslinje). Dessuten, fører valg av Paris’ lov (enkel eller totrinns-) til ulikheter i resultatene, som bare kan overvinnes ved bruk av EIFS.

Videre antas det et fast initialt a /c-forholdstall som brukes ved tilbakeregningen for alle rørledningene. Dette forutsetter at de initiale sprekkene har den samme, perfekte formen. Dette er verken mulig å kontrollere eller regne seg tilbake til ut fra den endelige a /c, siden sprekkene vil prøve å oppnå en likevekts a /c-forholdstall avhengig av belastningen som vist i avsnitt 5.3. Likevel, det er temmelig sikkert at de virkelige sprekkene ikke har en perfekt form, men er heller sprekk-liknende imperfeksjoner i formen av porer eller liknende mikroskopiske mangler i materialet (Figur 42). I tillegg, ble det vist at ulik valg av initiale a /c-forholdstall førte til ulike EIFS verdier, som sammen med det ovenfor nevnte, taler for at EIFS som fås på denne måten ikke kan representere den virkelige initiale sprekken.

63

Figur 41 – Sprekkvekst kurven ved lave Δ K -verdier [20]

Den antatte utviklingen

Den virkelige utviklingen

dadN

=C ⋅ Δ Km

log Δ KΔ K th

log dadN

Figur 42 - Initialsprekk forstørret til 1 μm [22]

Alle nevnte avvikene bidrar, både enkeltvis og samlet at det ikke kan regnes tilbake til den fysiske initiale sprekkdybden, a0

ved å bruke denne metoden, men til EIFS. Det betyr at EIFS og den fysiske initiale sprekkdybden ikke er like og gir i tillegg en ytterligere forklaring på hvorfor EIFS-metodikken ble tatt i bruk i dette prosjektet.

11. Statistisk behandling av resultatene

11.1. Sannsynlighetsfordeling av EIFS-verdier

Sannsynlighetsaspekter finnes, nesten, i alle ledd av risikovurdering av konstruksjoner utsatt for belastning. Resultatene av analysen viser at EIFS varierer fra prøven til prøven. Det antas at datagrunnlaget er tilstrekkelig for en statistisk behandling. Følgelig, bør en statistisk fordeling til dette utvalget fastsettes. Det valgte datasettet (DS02) brukes for å bestemme en statistikk modell som kan antas å representere fordelingen av hele EIFS-populasjon i rundsveisede rørledninger. Fordelingen vil gi sannsynlighet for at en valgt EIFS-verdi forekommer. Spredning av datasettet vises i Figur 43.

Valg av sannsynlighetsfordeling avhenger av empirisk erfaring og teoretisk kunnskap. I praksis ønskes en enklest mulig statistisk modell. Figur 43 viser et tett område med datapunkter ved lavere sprekkdybder, og tendens til større mellomrom mot høyere sprekkdimensjoner. Det antyder at det sannsynligvis finnes flere små sprekker enn store. Sprekkdimensjoner må være positive verdier, som synes å være realistisk fra et fysisk synspunkt, slik at normalfordelingen utelukkes fra starten, selv om bruk av den nevnes i litteraturen [34]. I tillegg impliserer den observerte positive skjevheten av resultatene at fordelingen ikke er symmetrisk heller.

Små sprekker forekommer generelt oftere i materialet enn store sprekker. Dette er i samsvar med datasettet og derfor bør fordeling av EIFS være en type eksponentialfordeling [35]. Tre typer av eksponentiale sannsynlighetsfordelinger som oftest brukes I litteraturen er lognormal [18] [19], Weibull [26] [33] og selve eksponentiale fordelingen [36]. Flere sannsynlighetsfordelinger vurderes i følgende del for å finne den passende fordelingen for det beregnede datasettet. Parametriske fordelinger velges fremfor ikke-parametriske fordelinger. Den empiriske kumulative fordelingen til datasettet vises i Figur 44.

64

Figur 43 - Spredning av EIFS fra DS02

MATLAB brukes til å identifisere statistisk modell ved å ta utgangspunktet i resultatene. Parametere til følgende teoretiske fordelinger er bestemt: (1) Lognormal-, (2) Weibull-, (3) Rayleigh-, (4) Gamma-, (5) Beta- og (6) Eksponential fordeling. De er presentert i Tabell 11 og utgjør en blanding av aritmetiske gjennomsnitt ( μ), standardavviker (σ ), skalerings-, form- og nivåparametere, avhengig av det matematiske uttrykket til fordelingstypene.

Tabell 11 - Inputsparametere til de vurderte sannsynlighetsfordelingeneFordeling Parameter A Parameter BLognormal -4,2153 0,6077Weibull 0,0197 1,9470Rayleigh 0,0140 -Gamma 3,2140 0,0054Beta 3,1652 178,8492Eksponential 0,0174 -

Kumulative funksjoner av fordelinger med parameterne fra Tabell 11 er plottet og vises i Figur 45 sammen med den empiriske kumulative fordelingsfunksjonen (ECDF).

65

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Empir

isk k

umula

tiv s

anns

ynlig

het

Figur 44 - Empirisk kumulativ fordelingsfunksjon (ECDF)

Figur 45 viser at eksponential fordeling har den dårligste føyningen til ECDF. Selv om plott av kumulativ fordelingsfunksjon gir en bedre oversikt i forhold til plott av sannsynlighetsforedlingsfunksjon, er det fortsatt vanskelig å vurdere de andre teoretiske fordelingene ved øyemål. Gamma og beta fordelinger ser like ut, og det samme er tilfelle for Rayleigh og Weibull fordelingene. Derfor anvendes Kolmogorov-Smirnov test [37] for å finne den statistiske modellen som har den beste føyningen til den empiriske kumulative fordelingsfunksjonen.

ECDF endrer seg bare ved de observerte punktene i det endimensjonale datasettet (Figur 44). Kolmogorov-Smirnov statistikk (KS statistikk) er en parameter som finnes ved å evaluere avstand mellom den empiriske og den teoretiske fordelingsfunksjonen i disse punktene [38]. Den brukes videre i hypotesetesting til å vurdere om den empiriske kumulative fordelingsfunksjon (ECDF) er signifikant forskjellig fra de aktuelle referansefordelingene. Hypotesene defineres som følger:

{ H 0−Datasettet følger den spesifiserte referansefordelingenH 1−Datasettet er signifikant forskjellig frareferansefordelingen

Grensen for at resultatet av testen skal være statistisk signifikant er satt til 0,05 (α=¿ 5 %). Resultatene av Kolmogorov-Smirnov testene vises i Tabell 12.

Tabell 12 - Resultater av Kolmogorov-Smirnov test med signifikansnivå 0,05Fordeling Hypotese p-verdi KS statistikkLognormal 0 0,3322 0,1794Weibull 0 0,8297 0,1169Rayleigh 0 0,8218 0,1179Gamma 0 0,5763 0,1471Beta 0 0,5872 0,1459Eksponential 1 0,0463 0,2618

66

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulat

iv sa

nnsy

nligh

et

Lognormal fordeling

Lognormal fordeling CDFEmpirisk CDF

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]Ku

mula

tiv s

anns

ynlig

het

Weibull fordeling

Weibull fordeling CDFEmpirisk CDF

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulat

iv sa

nnsy

nligh

et

Gamma fordeling

Gamma fordeling CDFEmpirisk CDF

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulat

iv sa

nnsy

nligh

et

Rayleigh fordeling

Rayleigh fordeling CDFEmpirisk CDF

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulat

iv sa

nnsy

nligh

et

Beta fordeling

Beta fordeling CDFEmpirisk CDF

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulativ

san

nsyn

lighe

t

Eksponential fordeling

Eksponential fordeling CDFEmpirisk CDF

Figur 45 – Kumulative funksjoner til seks vurderte sannsynlighetsfordelinger plottet med ECDF

Tabell 12 gir hvilken hypotese som ikke ble forkastet, p-verdien og KS statistikk for hver av fordelingene. Avvik fra nullhypotesen er signifikant bare i tilfelle av eksponential fordeling. Nullhypotesen forkastes med 5 % statistisk signifikans (p-verdi<α ) som betyr at datasettet sannsynlig ikke følger eksponential fordeling. Dette er i samsvar med den observerte utviklingen i Figur 45, men motsigende til resultater til Bokalrud og Karlsen [36] som fant at initialsprekkdybde følger en eksponential fordeling.

Kolmogorov-Smirnov test klarte ikke å forkaste noen av de andre fordelingene, slik at datasettet kan representeres vha. disse fordelingene med 5% sjanse for en forkastningsfeil. Kolonne med KS statistikk gir at Weibull fordelingen har minst vertikal avstand mellom sin kumulative funksjon og ECDF. Derfor antas at EIFS fordelingen er representert av to-parameter Weibull fordelingen. Den kumulative fordelingsfunksjonen, CD Fwbl er som følger:

C D Fwbl=P (aekv≤ a )=1−e−(a /λ )k (18)

der λ=0,0197 (skaleringsparameter) og k=1,9470 (formparameter). Uttrykket gir sannsynlighet for at den ekvivalente initiale sprekkdybden aekv er mindre eller lik en vurdert sprekkdybde a. Verdiene som fås på denne måten kan brukes videre ved bruddmekaniske vurderinger av rundsveisede rørledninger. Den kumulative sannsynlighetsfunksjonen til fordelingen vises i Figur 46.

Middelverdi μ og standardavvik σ til Weibull fordelingen er:

{ Middelverdi , μ=0,017462 mmStandardavvik , σ=0,009351 mm

11.2. Diskusjon av fordeling

Siden ekvivalente sprekkdybder er stokastiske variabler, må utmattingslevetid som beregnes ut ifra EIFS også være en stokastisk variabel. Ved å anta at EIFS-populasjon har Weibull fordeling, antar en også at utmattingslevetid er Weibull-fordelt. Denne antakelsen virker rimelig, siden Weibull er fordeling som brukes ofte i overlevelses- og pålitelighetsanalyser [34].

EIFS-metodikken er mest populær innenfor flyindustrien og flere publikasjoner oppgir valgte fordelinger og parametere. Disse kan ikke sammenliknes direkte med parametere fra denne rapporten, men det refereres til dem for helhets skyld og oppføring av valgte sannsynlighetsfordelinger i litteraturen.

67

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ekvivalent initial sprekkdybde, aekv [mm]

Kum

ulat

iv sa

nnsy

nligh

et

Weibull fordeling

Figur 46 - Weibull fordeling til EIFS, med parametere

λ=0,0197

k=1,9470

Yang og Manning [39] fant at EIFS i aluminiumslegering følger enn Weibull fordeling middelverdi μ=0,0194 og standardavviket σ =0,0211.

Medved et al. [33] studerte fordeling til EIFS i aluminiumslegering utsatt for korrosjonsangrep. De tilpasset en tre-parameter Weibull fordeling til observerte data.

Liu et al. [19] har funnet EIFS-verdier i flere typer aluminium- og magnesiumlegeringer ved å bruke en metode som baserer seg på antakelsen at EIFS er en materialegenskap. De har antatt at EIFS følger en lognormal fordeling.

Svært begrenset antall sannsynlighetsfordelinger av initiale sprekkdybder i sveisede konstruksjoner har blitt rapportert i litteraturen [40].

Bokalrud og Karlsen [36] har studert initiale sprekker i buttsveisdetaljer fra skipsskrog. De fant at data følger eksponential fordeling med en middelverdi på 0,11 mm og variasjonskoeffisient (σ /μ) på 1,0.

Moan et al. [41] som analyserte initiale sprekker i fagverksplatformer (jacket) i Nordsjøen fant også at sprekkene følger en eksponential fordeling med en middelverdi på 0,19 mm.

Fordelingene i de siste to referansene representerer fysiske initiale sprekker og ikke ekvivalente initiale sprekker. EIFS og fysiske initiale sprekker er ikke samme størrelser som diskutert i avsnitt 10.2. Det fører til at parameterne fra litteraturen og fra denne rapporten ikke kan sammenliknes. I tillegg er mange av sprekkene fra sveisede plater eller rørknutepunkter som ytterligere bidrar til at verdiene ikke er direkte sammenliknbare. Grunnen at de nevnes er kuriositeten at eksponential fordeling som beskriver observasjonene fra de siste to referansene er den eneste fordelingen som ikke passet til empirisk data fra denne rapporten.

Det er verdt å merke seg at Weibull fordelingen ikke er nødvendigvis fordeling av de fysiske initiale sprekkene ved sveisetå. Fordelingen er heller ikke unik for EIFS. Tabell 12 viste at det finnes flere mulige fordelinger som kunne passet godt til den beregnede EIFS-dataen. Den virkelige sannsynlighetsfordelingen av EIFS kan avvike fra den tilpassede fordelingen, siden det finnes mulighet at utvalget (DS02) ikke er representativ for den totale populasjonen av ekvivalente sprekker i rundsveiser. Weibull fordelingen representerer best det bestemte utvalget og har den beste føyningen i intervallet fra den minste EIFS-verdien til den høyeste. Det kan ikke vites med sikkerhet hvordan fordelingen er utover de punktene, selv om den valgte Weibull sannsynlighetsfordelingen kan brukes til å estimere det.Området til høyre for datasettet er spesielt viktig siden de større verdiene er mer tilbøyelige til å skape problemer ved estimering av utmattingslevetiden. Derfor er det området viktig for pålitelighet av utmattingslevetid estimert vha. EIFS-metoden, siden halen i område til høyre for datasettet kan påvirke betydelig kumulativ funksjon til slike fordelinger med positiv skjevhet. Den valgte Weibull fordelingen antas til å beskrive dette området tilstrekkelig godt.

12. EIFS-tilnærming til estimering av utmattingslevetid

De fleste statistiske analysemetoder som anvendes til utmattingsvurderinger, har som mål å gi grenseverdier som vil sikre at konstruksjonen vil overleve et visst antall spenningsveklinger med en viss grad av pålitelighet. Bruk av EIFS i bruddmekaniske analyser har som mål å sikre det samme. I Tabell 13 presenteres ekvivalente initiale sprekkdybder a og tilhørende sannsynlighet for forekomst av aekv som er mindre eller lik den valgte verdien a, ifølge den antatte Weibull fordelingen av EIFS-populasjonen.

Tabell 13 - Sannsynlighet for at aekv er mindre eller lik aSannsynlighet 10 % 25 % 50 % 75 % 90 % 97,5 %a (mm) 0,0062 0,0104 0,0163 0,0233 0,0302 0,0385

Nytten og nøyaktigheten av EIFS-metoden ligger i kravet om at oppførselen til en sprekk gjennom levetid vil være nøyaktig den samme gitt samme forhold som var til stedet da EIFS ble utledet. Dersom dette kravet er tilfredsstilt, blir det mulig å bruke EIFS-verdiene til å forutsi sannsynligheten for at sprekker overstiger bestemte størrelser. Indirekte anslås det dermed sannsynligheten for at vurderte konstruksjoner ikke oppnår visse levetider. Det betyr at verdiene i Tabell 13 og den antatte sannsynlighetsfordelingen skal muliggjøre å estimere utmattingslevetid av andre rundsveisede rørledninger. Nøyaktighet av EIFS-konseptet er ikke klart rapportert i litteraturen [33] og heller ikke metoder for kontroll. Derfor anvendes følgende metode for vurdering av den utledede EIFS-tilnærmingen.

12.1. Vurdering av metoden

68

For å kontrollere nøyaktighet og brukbarhet av EIFS-metoden, vurderes rørprøver som er rapportert i litteraturen og resultatene sammenliknes med tilhørende eksperimentelle data. Som nevnt ved flere anledninger, er det mangel av publiserte resultater fra full-skala utmattingstester av rundsveisede rørledninger i den tilgjengelige litteraturen. Data til flere rørledninger fra artikkelen til Maddox og Razmjoo [42] ble funnet og brukes til dette formålet. Relevante parametere vises i Tabell 14.

Tabell 14 - Resultater fra utmattingstestene gitt av Maddox og Razmjoo [42]Prøve-

nummerYtre diameter

(mm)Rørvegg tykkelse, t

(mm)

Nominell spenningsvidde,

Δ Snom (MPa)

Spennings-konsentrasjons-

faktor, scf

Antallspenningsvekslinge

r til brudd, N

Sveisefotens

bredde, L

(mm)

T1 609 20 210 1,09 313282 21,6

T2 609 20 140 1,21 722540 21,6

T3 609 20 120 1,16 1228148 21,6

T4 609 20 90 1,09 6472543 21,6

Bare fire rørledninger tilfredsstilte de samme kriteriene som var satt ved valg av prøvene fra databasen. Membranspenning ble påført i alle tilfeller og spenningskonsentrasjonsfaktorene ( scf ) som følge av eksentrisitet var oppgitt. Kun

rørledningene der sprekkene oppsto ved sveistå ble valgt. Utmattingslevetid ( N ) var ikke rapportert direkte og måtte leses

av en presentert graf. Nødvendige anstrengelser ble gjort for å sikre nøyaktighet av målingene. Sveisefotens bredde ( L) var

ikke relevant og dermed ble heller ikke inkludert i rapporten. For EIFS-tilnærming antas L til å være (t ⋅1,08), der

forholdstallet 1,08 representerer gjennomsnitt av L/ t fra databasen.

EIFS-metoden brukes til å sette opp områdene der observert utmattingsbrudd forventes å forekomme for hver av de fire rørledningene. EIFS-verdiene for estimering av nedre og øvre levetidsgrense er:

Nedre grense, aekv 80=¿ 0,025146565 mm Øvre grense, aekv20=¿ 0,009113594 mm

Nedre og øvre grenser er definert av sprekkverdier med henholdsvis 80% og 20% sannsynlighet for forekomst av en EIFS som er mindre enn de valgte verdiene. Området er dermed definert slik at EIFS til de vurderte rørledningene bør, med 60 prosent sannsynlighet, være mellom de satte grensene. Verdiene sammen med parametere gitt i Tabell 14 brukes deretter til å estimere levetidsgrenser. Ved riktig bruk av den bruddmekaniske modellen, bør den observerte levetiden ende opp i intervallet mellom to beregnede levetidsverdier. Nedenfor vises levetidsgrensene til de fire rørene.

Tabell 15 - Levetidsgrensene til de fire vurderte rørledningenePrøvenummer Nedre levetidsgrense Observert levetid Øvre levetidsgrense

T1 203868 313282 372989T2 583932 722540 1390138T3 1191158 1228148 3357375T4 5104374 6472543 17761301

For enklere visning plottes resultatene i en logaritmisk graf i Figur 47.

69

Figur 47 viser at alle fire observerte utmattingslevetidene kommer innenfor det bestemte sannsynlighetsområdet. Dette område representerer den beste estimeringen av utmattingslevetiden som kan gjøres ved bruk av EIFS-metoden for de gitte parametere. De observerte utmattingslevetiden til rørene T1, T2 og T4 lener seg mot en av de beregnede grenseverdiene. Levetiden til rør T3 kom også innenfor grensene, men den er den mest kritiske, siden den befinner seg rett ved den nedre grenseverdien (36990 spenningssykler) til det valgte området. Lengden til beregnede sannsynlighetsbånd avhenger av spenningsvidden og det kan observeres at de blir lengre ved lavere spenninger.

S-N kurvene er inkludert i Figur 47 for orienterings skyld. DESIGN kurven D iht. DNV-RP-C203 er presentert, samt MEAN kurve der t=20mm ble brukt ved plotting. Den sistnevnte skjærer sentralt område av sannsynlighetsbånd til rørene T2 og T3. Det kan observeres at ingen av grenseverdiene ligger til venstre for DESIGN kurven. Om dette ikke var tilfellet, ville det vært alarmerende og gitt grunn for tvil om nøyaktigheten av EIFS-metoden, ettersom de nedre EIFS-grenseverdiene tillater større sannsynlighet for svikt (20%) enn DESIGN kurven (2,3%).

Fra statistisk synspunkt kan det ikke fastslås noe om metoden med sikkerhet, ved sammenlikning med så få eksperimentelle resultater. Siden det valgte området dekket 60 prosent av mulige hendelser, er det rimelig å forvente at ved flere tester, en del prøver ville havnet utenfor grensene. En må også huske at sprekkvekstmodellen baserer seg på empiriske tester, slik at usikkerheten er til stede i alle ledene av EIFS-beregningen. Faktum at alle vurderte prøvene endte opp i det valgte området kan være tilfeldig, men til tross for det, virker dette gunstig for EIFS-metoden og gir en god indikasjon at den kan potensielt benyttes til estimering av utmattingslevetid. For å bekrefte med sikkerhet om observerte tendenser faktisk er sanne, bør metoden brukes til å vurdere flere resultater enn det som var gjennomførbart i dette prosjektet.

12.2. Sammenlikning av EIFS- og S-N tilnærmingen

I følgende del, sammenliknes generelle hovedtrekk ved metodene, samt betydning av faktorer som inngår i begge to. Utover det, er det vanskelig å vurdere forskjell mellom dem, uten grundigere undersøkelse, som i seg selv kan være omfattende prosjekt.

Bruk av S-N kurven i hot spot tilnærmingen til estimering av levetid, som beskrevet i avsnitt 6.1, er en standard måte å utføre utmattingsvurderinger. Grunnen til det er metodens enkelhet og rask bruk, ettersom det er bare ett uttrykk en må forholde seg til. Uttrykket er gitt i standarder, og parametere varierer avhenger av sveisedetalj, eller omgivelsene. På den annen side, betyr det også at det er færre faktorer det kan tas hensyn til ved bruk av S-N kurven, slik at tilnærmingen er ikke følsom til ikke-inkluderte faktorer. Dette balanseres av faktumet at denne metoden er ganske god til å predikere grenseverdiene som bør holde for aller fleste vurderte sveiseskjøt, som førte at den ble den vanligste måten å estimere levetiden.

70

104

105

106

107

108

101

102

103

Antall spenningsvekslinger, N

Spen

ning

svid

de,

S-N kurve MEAN (t=20mm)S-N kurve DESIGNTest data (Maddox og Razmjoo)

Figur 47 - Vurdering av resultater fra EIFS-metoden med eksperimentelle data

Den probabilistiske tilnærmingen som brukes i EIFS- og hot spot metoden gir grenseverdiene som ikke kan sammenliknes direkte. Grunnen til det er at ved hot spot tilnærmingen gir S-N kurven en levetidsgrense for en gitt spenningsvidde og tykkelse, som skal overstiges med en valgt sannsynlighet. Naturligvis gir ulike parametere ulike levetidsgrenser. Den samme sannsynligheten anvendt i EIFS-metoden gir ikke direkte en levetidsgrense, men en ekvivalent sprekkgrense. Hvis sannsynligheten ikke forandrer seg, forblir sprekkgrensen lik uansett parametere. Indirekte, gir denne verdien også en sannsynlighet for svikt. Det betyr at begge metodene benyttes til estimering av den totale utmattingslevetiden.

EIFS-metoden baserer seg på lineærelastisk bruddmekanisk tilnærming til sprekkvekst. Bruddmekanikk gir et godt etablert fysisk grunnlag som benyttes til å forutsi utmattingslevetider. Tanken bak implementering av bruddmekanisk modell er at den skal være mer følsom og dermed mer presis til å beskrive den fysiske oppførselen, ved redusering av antall ukjente parametere. En effektiv utnyttelse av den kjente geometrien, spenningsforhold og materialegenskaper fører til at flere effekter fanges i analysen. På den annen side kan mange faktorer som benyttes i EIFS-metoden også føre til kompliserende omstendigheter. For eksempel, for å kunne benytte EIFS-metoden må formelverket som består av over hundre likninger implementeres i en beregningsrutine. Dette unngås ved bruk av S-N tilnærmingen. I tillegg kan det i praktiske sammenhenger være vanskelig gjennomførbart å innhente verdiene til alle nødvendige parametere. Disse vanskelighetene ble opplevd flere ganger i løpet av dette prosjektet alene, da sveisefotens bredde ( L) og sveisevinkel (θ) manglet både i databasen og den vurderte litteraturen og måtte antas eller beregnes fra andre opplysninger. Dette blir overvunnet ved bruk av S-N kurven siden det er bare to parametere, spenningsvidde og tykkelse, som en må forholde seg til. Selv om S-N tilnærmingen ikke er følsom til de fleste nevnte parametere, som er kjent å påvirke levetiden, er disse inkludert implisitt ved S-N tilnærmingen, siden datagrunnlaget baserer seg på empiriske tester.

12.2.1. SpenningsviddenI følgende del sammenliknes felles parametere og deres betydning for begge metodene. Hot spot spenningsvidden er en av to parametere som er felles i begge tilnærmingene. Forskjellen er at ved S-N tilnærming det skilles ikke mellom spennings bøye- og membrankomponenter. Det ble vist vha. den bruddmekaniske tilnærmingen at utmattingslevetid kan variere signifikant, dersom andel bøye- og membranspenning innen en og samme spenningsvidde varieres. EIFS-metoden er følsom til ulike andeler spenningskomponenter, og det fører til forskjellige levetider.

Ved utledning av S-N kurver benyttes resultatene fra mange utmattingstester av en bestemt type sveisedetalj. Det er ofte ukjent hvor prøvene kommer fra og som følge av manglende opplysninger om noen av testede prøver, inkluderes det for buttsveisede plater (S-N kurve D) en eksentrisitet som er lik (0,1 ⋅ t) [8]. Det betyr at ved utledning av S-N kurver, tas det høyde for spenningens bøyekomponent som følge av eksentrisitet mellom platene (rørene) som kan være opp til 10 prosent av hele platetykkelsen. Ved vurdering av rørledningene i databasen var denne relasjonen lavere (1 og 7,5 prosent).

I avsnitt 5.4 ble det vist at ved å gå fra spenningsvidden som består av utelukkende membranspenning, til halvparten av hhv. bøye- og membranspenning, ble utmattingslevetidene til vurderte konstruksjoner lengre 34-39%. Det sistnevnte spenningsforholdet tilsvarer en spenningskonsentrasjonsfaktor scf =2. Dette er mye høyere enn scf -ene fra databasen,

der den høyeste verdien til scf var 1,19.

For å sammenlikne betydning av å skille mellom bøye- og membranspenningsvidden for utmattingslevetid, betraktes levetiden til rør nr. 21 (se Tabell 8), belastet med spenningsvidden på 140MPa. Levetiden estimeres vha. EIFS-metoden (aekv 50) og S-N kurve D (MEAN).

Figur 48 viser levetidene N plottet over scf . Levetiden er normalisert i forhold til levetiden ved scf =1,10. Spenningskonsentrasjonsfaktor spenner fra 1,0 til 1,25, der den minste verdien representerer en perfekt sveis uten noen eksentrisitet, og den siste er en litt større verdi enn de som ble beregnet for rørene i databasen. Andel bøyespenningen varierer dermed fra 0 til 25%.

71

Figur 48 viser hvordan ulike andeler spenningskomponenter påvirker normalisert levetid. Utvikling av normaliserte resultatene fra S-N tilnærmingen endrer seg natuligvis ikke ved økende bøyespenning og plottes kun som referanse. Det kan observeres at EIFS-metoden gir en forskjell på omtrent 8 prosent fra den ene enden til den andre. Figur48 viser at i området der spenningskonsentrasjonsfaktorene fra databasen var (1,00 til 1,19) er det største avviket lik omtrent ± 3 prosent.

Resultatene viser at EIFS-metoden er følsom til ulike andeler bøye- og membranspenningsvidder, i motsetning til S-N tilnærming. Selv om det kunne diskuteres om hvor stor betydning denne følsomheten har for rørledninger som passerte kvalitetskontroll av sveiseskjøtet, og brukes under normale driftsforhold, er det unektelig at resulterende utmattingslevetider fra EIFS-tilnærmingen blir påvirket.

12.2.2. TykkelseDen andre fellesfaktoren, tykkelsen, kan ha en stor betydning for utmattingslevetid. Generelt, vil alle konstruksjoner med større tykkelse ha en kortere utmattingslevetid. En av årsakene kan være statistisk større mulighet for forekomst av sprekker, siden større tykkelse gir flere potensielle steder hvor sprekkene kan initiere fra [43]. Videre, forklares kortere levetid som konsekvens av at spenningsgradient avtar mye fortere ved økende avstand fra sveisetå i tynne plater, enn i tykke plater med liknende geometri [8]. Dette fører til at spenningsnivå i området rundt sveisetå i tykke plater vil generelt være høyere enn i tynne plater, og dermed vil sprekken propagere fortere også. I tillegg til disse, kan kortere levetid skyldes sveisetåradius som ikke avhenger av tykkelse, men av sveiseprosess, og vil dermed være lik uansett tykkelse. Gitt en konstant sveisetåradius, vil økende tykkelse føre til høyere spenningskonsentrasjoner ved sveisetå, som igjen vil bidra til kortere levetid.

Ved S-N tilnærmingen tas det hensyn til tykkelseseffekt ved å multiplisere spenningsvidden med (t / tref )k og dermed

redusere utmattingslevetid for alle tykkelser som er høyere enn 25 mm, som er referansetykkelse, t ref . DNV-RP-C203 gir at

for alle konstruksjoner med tykkelser som er lavere enn 25 mm, må denne verdien brukes til beregninger [18].

I følgende del sammenliknes følsomhet av EIFS- og S-N tilnærming til tykkelseseffekt, ved å vurdere utmattingslevetidene til flere rør med forskjellige tykkelser. Geometrien til rør nr. 21 skal brukes til dette formålet, og tykkelsen varieres fra 15mm til 50mm. Forandring av tykkelse innebærer også forandring av sveisefotens bredde, L som relateres til tykkelsen og settes

lik (1,08 ⋅ t ) ved EIFS-tilnærmingen. Forholdstallet 1,08 betegner gjennomsnittlig verdi av L/ t fra databasen. Modifisering

av uttrykk (17) for S-N kurven D må også foretas, siden forbud mot bruk av tykkelser som er under t ref ved analyser fører til

konservative beregninger. For sammenligning av tykkelseseffekt for de to metodene, må denne regelen neglisjeres, siden begge metodene skal brukes til ”best estimate” analyser. Det medfører i tillegg bruk av MEAN parametere (DNV-RP-C203)

72

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

Norm

alis

ert a

ntal

l spe

nnin

gsve

kslin

ger, N

Spenningskonsentrasjonsfaktor, scf

EIFS (aekv50)

S-N (MEAN)

Figur 48 - Normalisert levetid, N over spenningskonsentrasjonsfaktor, scf

ved S-N betraktninger og bruk av aekv 50 (Tabell 13) ved anvendelse av EIFS-metoden. Den totale spenningsvidden er lik

154MPa, og består av membrankomponent, Δ S t=140MPa og scf =1,10.

Resultatene vises i Figur 49, og levetidene normaliseres i forhold til levetiden ved t=25mm.

Figur 49 viser normalisert levetid ved ulike rørtykkelser. Det kan observeres at S-N tilnærmingen er mer følsom til forandring av tykkelse enn EIFS-tilnærmingen. I begge tilfellene er påvirkning mer merkbar ved lavere tykkelser, og avtar som tykkelser blir større. Ved rørtykkelse t=15mm, gir EIFS og S-N henholdsvis 8% og 36% økning av levetiden

sammenliknet med levetiden ved t ref . I liket, blir reduksjon større når S-N anvendes ved større tykkelser. Ved tykkelse t=50mm gir EIFS og S-N henholdsvis 8% og 34% lavere levetiden sammenliknet med referanselevetiden. Resultatene viser at utmattingslevetid fra S-N tilnærming blir påvirket i større grad ved endring av tykkelsen enn resultatene fra EIFS-tilnærming. Det må bemerkes at ved S-N tilnærmingen iht. DNV-RP-C203 ville den normaliserte verdien ved tykkelser som er lavere enn 25mm være konstant og lik 1,0. Dette fører, som diskutert tidligere til konservative analyser, ettersom forlengelse av levetid som følge av lavere tykkelser blir neglisjert.

13. Anvendelighet av EIFS-metoden

13.1. Estimering av utmattingslevetid

Generelt er bruk av EIFS-metoden mest nyttig for spesifikke konstruksjonsdetaljer av gitt geometri, materiale og lastetilstand. EIFS som er presentert i denne rapporten egner seg for bruk ved bruddmekanisk estimering av utmattingslevetiden til rundsveisede rørledninger. Årsaken at den ikke gjelder andre typer sveis eller geometrier er at EIFS-verdiene ble kalibrert ved tilbakeregning fra utmattingslevetid til rørledninger, som ble funnet ved full-skala testing. Selv om en nøyaktig bestemmelse av gyldighetsområde krever ytterligere granskning, bør metoden være gyldig for rørledninger med liknende geometri og belastning som rør fra databasen som ble brukt til utledningen av EIFS-fordelingen.

73

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4No

rmal

iser

t ant

all s

penn

ings

veks

linge

r, N

Tykkelse, t

EIFS (aekv50)

S-N (MEAN)

Figur 49 - Normalisert levetid, N over tykkelse, t

Videre er EIFS-metoden gyldig for rør der utmattingssprekk oppstår ved sveisetå, siden slike rør ble brukt til å finne EIFS-verdier som danner basisen for sannsynlighetsfordelingen. Dette kan sikres ved å bruke rør som er sveiset fra begge sider, eller har blitt behandlet for å forbedre sveiserotens utmattingsegenskaper. For å kunne bruke metoden for rørledninger med ensidig rundsvies, uten noen behandling, må det antas at sprekken kommer til å oppstå ved sveisetå. Denne antakelsen kan i de fleste tilfeller aksepteres, siden i følge Haagensen [8], er sveisetåen ofte den primære plasseringen for sprekkdannelse. Haagensen nevner at unntaket til regelen er når store innvendige feil er til stede i sveiseskjøtet, men viser også i sitt kompendium at selv med store porer til stede vil sprekker fortsatt initiere ved sveisetåen. Derfor antas det at selv ved et moderat antall prøver, vil utmattingssprekkene oppstå ved sveisetåen.

74

13.2. Predikasjon av sprekkens form (a /c)

Selv om det ble vist at EIFS-metoden kan brukes til å estimere utmattingslevetid med tilfredsstillende nøyaktighet, er den dårlig til å beskrive a /c-utviklingen. Dette gjelder både a /c-forholdstall gjennom levetiden, og den endelige verdien til

slutt. Metoden pleier å overestimere sprekkvekst i lengderetning (se kapittel 10). Dette fører til lavere endelige a /c-forholdstall, enn de som ble observert ved testingen. Liknende resultater fikk Medved et al. [33] i deres studie av EIFS. De observerte bare moderate feil ved beregning av den totale utmattingslevetiden, mens de beregnede verdier av sprekklengde på mellomliggende stadier hadde vesentlig avvik fra den observerte utviklingen. Dårlig evne til å estimere a /c-forholdstall i denne rapporten skyldes ikke bare EIFS, men diverse antakelser og valg av parametere som er implementert i den anvendte bruddmekaniske rutinen, også. Årsakene nevnes og beskrives i nærmere detalj, for eventuelt videre arbeid. Utvikling av a /c-forholdstallet til rørledning nr. 1 (se Tabell 8), samt andre relevante plotter vises i Figur 50.

Figur 50 (A) viser hvordan den beregnede a /c utvikler seg gjennom levetiden til brudd. Det finnes tre nummererte

områder på a /c-kurven, der alle rørene som ble vurdert, viser karakteristisk oppførsel. Avhengig av sprekkens størrelse og lastforhold, kan oppførselen som vises i de tre områdene inntre på ulike tidspunkter i utmattingslevetiden til et vurdert rør.

Område (1) – Skifte av Paris’ lov konstater.Fra den første spenningsvekslingen (N=1) frem til område (1), a /c-forholdstall viser en jevn stigning fra 0,2 til 0,3. Den

jevne utviklingen skyldes den konstante a /¿t-verdien, som diskutert tidligere. Ved område (1), oppnår Δ K B en verdi på

196 N/mm3/2. Dette er grenseverdien når materialkonstanter C2 og m2 i totrinns Paris’ lov brukes ved beregningen av

sprekkvekst (jfr. avsnitt 4.2). Disse verdiene er lavere enn C1 og m1 som ble brukt opptil det tidspunktet, og

sprekkveksthastighet i punktet B (lengderetningen) avtar. Det fører til en forholdsvis større økning i dybderetningen, som direkte påvirker a /c-forholdstall. Kurven stiger, som betyr at a /c øker, eller at sprekken blir dypere. Kort tid etter, oppnår

Δ K A verdi på 196 N/mm3/2 også. Dette fører til stabilisering, som i tilfelle av rør nr. 1, settes i skygge av forandring i

område (2).

Område (2) – a /t >0,005

Ved område (2) blir sprekken dyp nok at a /t forholdstall blir høyere enn grenseverdien. Det betyr at a /t som brukes til

beregninger etter dette tidspunktet avhenger av a. Dette fører til en stadig raskere sprekkvekst, og gjør at sprekken får mulighet til å oppnå likevektsform.

Område (3) – a /t >0,5 → M kbA=1,0

Dette er den siste ikke-fysiske faktoren som påvirker a /c-utvikling gjennom levetiden. Forandringen i område (3) skyldes at

a /t -forholdstall blir større enn 0,5. Det betyr at sprekken har vokst gjennom halvparten av tykkelsen. I det øyeblikket,

anbefaler Bowness og Lee [9] at Mk-faktor for bøyespenning i punktet A (M kbA) settes lik 1. Det vurderte røret nr. 1, har

en lav bøyningskomponent (scf =1,02), som gjør at effekten ikke blir synlig på Δ K A . Til tross for det er forandring

merkbar i a /c. Rør med høyere scf blir naturligvis påvirket i større grad av dette, siden andel bøyespenningen er høyere.

Et av målene med videre arbeid kan være å vurdere og kartlegge avvik som følge av at den diskuterte ikke-fysiske oppførselen forekommer ved ulike tidspunkter av levetiden til ulike rør, avhengig av last, sprekkstørrelse, rørveggens tykkelse, osv.

I tillegg til den ikke-fysiske utvikling som ble observert i de tre diskuterte områdene, kan avviket i a /c delvis skyldes antakelsen om en enkel sprekk som vokser fra initieringsfasen helt til brudd. I virkeligheten finnes det flere skjærmikrosprekker som slår seg sammen og vokser som en dominerende mikrosprekk gjennom initieringsfasen. Ifølge Maddox [44] er det ikke nødvendig å ta hensyn til samvirke mellom tilstøtende utmattingssprekker før de faktisk slås sammen. Likevel, i øyeblikket når det kommer til koalesens av mikrosprekker får a /c-forholdstall et sprang. Den bruddmekaniske tilnærmingen som ble anvendt er ikke følsom til disse hendelsene siden de forekommer i initieringsfasen. Forsking av denne problematikken viste at kun sprekkutviklingen som skjer i de første få millimeter av tykkelsen (mindre enn 5 mm) påvirker resultatene mest, og etter at koalesens av mikrosprekker finner sted, kan en konstant verdi av a /c

75

brukes videre [45]. Disse resultatene gjelder imidlertid for plater med kilsveis, slik at før eventuell implementering av konstante a /c-forholdstall ved vurdering av rundsveisede rørledninger, bør ytterligere betraktninger foretas.

13.3. Diskusjon av anvendelighet

76

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Forhold a/c over antall spenningsvekslinger til brudd, N

a/c

forh

olds

tall

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a/t-f

orho

ldst

all

a/t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Antall spenningsvekslinger, N

K

KAKB

Figur 50 - Faktorer som fører til en ikke-fysisk a /c-utvikling

(A), a /t -forholdstall (B) og Δ K -verdier i punktene A og B (C)

(C)

(B)

(A)

3

2

1

Faktorene som ble beskrevet i det siste delkapittelet er årsak til at EIFS-metoden ikke kan estimere a /c-utviklingen gjennom levetiden. Til tross for at metoden kan brukes til å finne utmattingslevetid, og at følsomhet til mange faktorer kan bidra til nøyaktighet av resultatene, er den virkelige fordelen ved anvendelse av den bruddmekaniske tilnærmingen uutnyttet, så lenge andre sider ved sprekkvekst ikke simuleres godt. Dersom EIFS-metoden, med andre ord, brukes kun til å predikere utmattingslevetid, blir den bare et verktøy på lik linje med andre metoder som bare kan brukes til estimering av levetiden.

Å utvikle en EIFS-fordeling kan både være dyrt og tidskrevende. Hvis det i tillegg ses bort fra den potensielle gevinsten som en nøyaktigere estimering av utmattingslevetid kan medføre, blir EIFS-metoden bare et konsept som kan brukes når bruddmekanisk tilnærming prefereres fremfor en metode som baserer seg på eksperimentelle resultater, som S-N tilnærming. Den virkelige styrken til EIFS-metoden ligger i potensial til å utnytte alle faktorene som inngår i den, og beskrive flere aspekter ved sprekkvekst, som for eksempel, a /c-forholdstallet gjennom alle fasene av utmattingslevetiden. For å oppnå dette, må metoden re-evalueres, og mulighet for implementering av andre sprekkvekstmodeller bør undersøkes, slik at sprekkvekst i initieringsfasen kunne beskrives bedre. Metoden, slik som den er nå, tar ikke hensyn til unik oppførsel av en mikrosprekk. Det betyr at mål med forbedring av metoden bør være å tilnærme EIFS til den virkelige initiale sprekken i så stor grad som mulig. Dette kan fort, på den annen side, vanskeliggjøre bruk av metoden, siden alle årsakene som førte til valg av EIFS-metodikken blir relevante igjen. Da vil en måtte vurdere om det som fås er verdt ytterligere komplisering av metoden. Dette er ikke innefor rammene av denne rapporten, og det forblir et forslag til videre arbeid.

14. Konklusjoner

Denne rapporten tok for seg en detaljert studie og beskrivelse av grunnleggende aspekter ved bruddmekanisk tilnærming til sprekkvekst. Rapporten tilbyr en grundig innføring i tilnærmingen ved bruk av eksempler. Ulike faktorer som påvirker utmattingslevetiden ble diskutert og vurdert. Funnede egenskaper listes opp:

(1) En utmattingssprekk vil vokse fortere i sveisede konstruksjoner på grunn av spenningskonsentrasjoner forårsaket av sveiseskjøtet, (2) En sprekk vil prøve å oppnå en likevektsform, som avhenger av den aktuelle belastningen, (3) Bredere sprekker vokser fortere i dybderetningen enn dypere sprekker, (4) Tilstedeværende bøyespenning vil føre til lavere a /c-forholdstall, (5) Større andel bøyekomponenten i den totale spenningsvidden virker gunstig på utmattingslevetid, (6) Forandring av platebredde påvirker ikke utmattingslevetiden signifikant og (7) Økning av tykkelse kan betraktelig redusere utmattingslevetiden. Disse dannet grunnlag for valg og antakelser som ble gjort i resten av rapporten.

En teoretisk metode, som tar utgangspunkt i EIFS-fordeling i rundsveisede rørledninger, med mål å estimere deres utmattingslevetid ble utledet og mulighet for bruk ble vurdert. Metoden baserer seg på anvendelse av en konseptuel beregningsparameter, ekvivalent initial sprekkdybde (EIFS), i den tradisjonelle bruddmekaniske tilnærmingen, til å predikere utmattingslevetid.

Tjueseks EIFS-verdier ble funnet ved hjelp av tilbakeregning fra en database med resultater av utmattingstester, som ble tilgjengelig for bruk over varigheten av prosjektet. Tilbakeregning ble utført ved hjelp av et MATLAB skript, som ble utviklet ved implementering av variasjon i spenningsintensitetsfaktor (Δ K ) for sveisetå av en kilsveis, i sprekkvekstmodell som baserer seg på totrinns Paris’ lov. Nødvendige tilnærmelser og antakelser ble gjort for å rettferdiggjøre bruk av disse uttrykkene ved vurdering av butt-rundsveisede rørledninger.

De beregnede EIFS-ene ble antatt til å ha initialt a /c-forholdstall lik 0,2, og ekvivalente sprekkdybdene var i område 5,27820-40,97200 μm. Det ble vist at EIFS-verdiene ikke kan ansees som fysiske initiale sprekker på grunn av flere faktorer, som hovedsakelig skyldes valg av sprekkvekstmodellen som ikke er hensiktsmessig ved betraktning av mikrosprekkvekst.

Weibull sannsynlighetsfordeling med skalerings- λ=0,0197 og formparameter k=1,9470 ble funnet til å ha den beste føyningen til EIFS-utvalget, selv om flere andre teoretiske sannsynlighetsfordelinger nesten var like gode. Weibull fordelingen ble brukt videre til å finne EIFS-verdier som dannet grunnlag for bestemmelse av levetidsgrenser.

Presenterte funn viser at anvendelse av EIFS-metoden til estimering av utmattingslevetid kan gi tilfredsstillende resultater. Kontroll av EIFS-metoden ble gjort ved å vurdere 4 rørledninger fra litteraturen og sammenlikne resultatene med rapporterte eksperimentelle data. Metoden viste evne til å predikere utmattingslevetid til rundsveisede rørledninger som

77

ble observert i testingen, innefor et bestemt sannsynlighetsområde. Dette antyder at metoden kan potensielt brukes til å predikere utmattingslevetid, men ytterligere undersøkelse av indikasjonene er nødvendig.

Til tross for greie estimeringer av utmattingslevetid, kan ikke metoden benyttes til å få et bedre bilde om sprekkformen gjennom ulike fasene av sprekkvekst. Årsaken ligger i selve metoden og antakelser ved beregning som fører til en ikke-fysisk oppførsel i noen stadier av levetiden.

EIFS-tilnærmingen er følsom til flere parametere som kan påvirke utmattingslevetid, enn S-N kurven D fra DNV-RP-C203. Ved sammenlikning ble det funnet at varierende andeler av bøye- og membranspenning påvirket svakt levetiden beregnet etter EIFS-metoden. S-N tilnærming hadde derimot større følsomhet til forandring av tykkelse enn EIFS-metoden.

15. Videre arbeid

Som følge av tidsbegrensninger og mangel av relevante studier i litteraturen, gis det noen forslag til videre arbeid med den undersøkte problematikken. Forslagene består av vurdering av nye metoder og forbedring av de brukte.

Bruddmekanisk tilnærming til sprekkvekst1. Betrakte andre sprekkvekstmodeller som inkluderer initieringsfasen, men unngå å komplisere metoden for mye.2. Undersøke hvordan utvikling av a /c forholdstall til mikrosprekker kan beskrives nøyaktig gjennom levetiden.

Tilbakeregning1. Vurdere muligheter for andre måter enn tilbakeregningen som foreslås i litteraturen for å bestemme EIFS.2. Optimalisere MATLAB skriptet slik at tilbakeregningen ikke lenger blir en prøve og feil prosess.

EIFS-metoden1. Kontrollere nøyaktigheten til den utledede metoden ved å finne flere relevante eksperimentelle resultater, og

sammenlikne dem.2. Bestemme tiltak for å unngå årsakene til den ikke-fysiske oppførselen av a /c i de diskuterte områdene.

3. Vurdere betydning av avvik som følge av at ulike rørledninger har forskjellige periode med konstant a /t =0,005 som brukes ved beregning, så lenge det virkelige forholdet ligger under denne grenseverdien.

4. Skille og kategorisere flere EIFS-fordelinger etter karakteristiske egenskaper til rørledningene som ble brukt til tilbakeregning av EFIS.

5. Finne mer relevant eksperimentell data som kan brukes til forbedring og justering av sannsynlighetsfordelingen. 6. Vurdere om effekt av flere sprekker i initieringsfasen bør tas hensyn til.7. Kontrollere muligheten til å kalibrere eller knytte EIFS til S-N kurvene.

.

78

16. Referanser

[1] Radaj, D., Sonsino, C. M. og Fricke, W. (2006) Fatigue Assessment of Welded Joints by Local Approaches. Second edition. Woodhead Publishing and Maney Publishing on behalf of The Institute of Materials, Minerals & Mining, International Standard Book Number 978-1-84569-188-2

[2] Ortiz, M. (1988) Microcrack coalescence and macroscopic crack growth initiation in brittle solids. Int. J. Solids Structures, Vol. 24, No. 3, s.231-250. Pergamon Press plc.

[3] Bratfos, H. A. (2007) Kapittel 10. Utmattingssprekkvekst, Forelesningsnotater i MEK 4520 Bruddmekanikk, UiO.[4] Anderson, T. L. (2005) Fracture mechanics - Fundamentals and Applications. 3 Ed, Taylor & Francis Group,

International Standard Book Number-13: 978-1-4200-5821-5[5] Newman, J.C., Jr. og Raju, I.S. (1981) Stress-Intensity Factor Equation for the Surface Crack. Engineering Fracture

Mechanics Vol. 15. No. 1-2, pp. 185-192. Pergamon Press Ltd.[6] Fatigue (WG 12). Forelesningsnotater, ESDEP Kurs. Universitet i Ljubljana, Sivil- og Geodetisk Fakultet.[7] Halmøy, E. Varmepåvirket sone – metallurgi. Store norske leksikon.

http://snl.no/varmep%C3%A5virket_sone/metallurgi (lest feb. 2013)[8] Haagensen, P. J. (2008) Fatigue Design of Welded. NTNU, Norwegian University of Science and Technology,

Department of Structural Engineering.[9] Bowness, D. og Lee, M. M. K. (2000) Fracture mechanics assessment of fatigue cracks in offshore tubular

structutres. University of Wales Swansea for the Health and Safety Executive, Offshore Technology Report 2000/077, HSE BOOKS.

[10] BS7910:2005. Guidance on Methods for Assessing the Acceptability of Flaws in Metallic Structures. BSI, July 2005.[11] Pungo, N., Ciavarell, M., Cornetti, P. og Carpinteri, A. (2006) Generalized Paris' law for fatigue crack growth.

Journal of the Mechanics and Physics of Solids Vol. 54 s. 1333–1349[12] Paris, P. C., Gomez, M.P. og Anderson, W.E. (1961) A rational analytic theory of fatigue. The Trend in Engineering,

13: p. 9-14.[13] Paris, P. C. og Erdogan, F. (1963) Critical analysis of crack growth propagation laws. Journal of Basic Engeneering,

Vol. 85, s. 528-534[14] Klesnil, M. og Lukáš, P. (1972) Influence of strength and stress history on growth and stabilization of fatigue

cracks. Engineering Fracture Mechanics, Vol. 4 Issue 1, s. 77–92.[15] Foreman, R.G., Keary, V.E., og Engle, R.M., (1967) Numerical Analysis of Crack Propagation in Cyclic-Loaded

Structures. Journal of Basic Engineering, Vol. 89, s. 459–464.[16] Scott, P. M. og Thorpe, T. W. (1981) A critical review of crack tip stress intensity factors for semi-elliptic cracks .

Futigue of Engineering Materials and Structures, Vol. 4. No. 4, s. 291-309, Pergamon Press Ltd.[17] Rodríguez-Sánchez, J. E., Rodríguez-Castellanos, A. og Núñez-Farfán, J. (2006) Fatigue Crack Repair Profiles Based

on Surface Defect Shapes. Científica Vol. 10 No. 1 pp.9-14 ISSN 1665-0654. [18] Det Norske Veritas (2010) Fatigue Design Of Offshore Steel Structures. Recommended Practice, DNV-RP-C203[19] Liu, Y. og Mahadevan, S. (2008) Probabilistic fatigue life prediction using an equivalent initial flaw size distribution.

International Journal of Fatigue 31 (2009) s. 476–487[20] Shanani, A.R. og Moayeri Kashani, H. (2013) Assessment of equivalent initial flaw size estimation methods in

fatigue life prediction using compact tension specimen tests. Engineering Fracture Mechanics 99 (2013) s. 48–61[21] Xiang, Y., Lu, Z. og Liu, Y. (2009) Crack growth-based fatigue life prediction using an equivalent initial flaw model.

Part I: Uniaxial loading. International Journal of Fatigue 2009, doi:10.1016/j.ijfatigue.2009.07.011[22] Lukáš, P. og Kunz, L. (2003) Small cracks – nucleation, growth and implication to fatigue. International Journal of

Fatigue , Volume 25, No. 9, s. 855-862.[23] Park, J. S., Kim, S. J.,Kim, K. H., Park, S. H. og Lee, C. S. (2005) A microstructural model for predicting high cycle

fatigue life of steels. International Journal of Fatigue Vol. 27, No. 9, s. 1115-1123[24] Fawaz, S., Lo, J. og Hsu, C. (2003) Equivalent Initial Flaw Size Distribution In Fuselage Skin Slices. Fatigue &

Fracture of Engineering Materials & Structures No 26, s. 279-290, Blackwell Publishing Ltd.[25] Makeev, A., Nikishkov, Y. og Armanios, E. (2007) A concept for quantifying EIFS in fracture mechanics based life

prediction models. International Journal of Fatigue, Vol. 29, s. 141–145.[26] Cioclov, D. D. (2009) Fatigue Failure Risk Assessment In Load Carrying Components. Security and Reliability of

Damaged Structures and Defective Materials, s. 27-73. Springer Science + Business Media B.V. 2009[27] Liu, C. T. og Yang, Y. N. (2000) Determination of Equivalent Initial Flaw Size in a Particulate Composite Material .

8th ASCE Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability.[28] Bertini, L., Beghini M., Santus C. og Baryshnikov, A. (2008) Resonant test rigs for fatigue full scale testing of oil drill

string connectors. International Journal of Fatigue 30, s.978–988[29] Bertini, L., Santus, C., Boulet, J., Leclerc, P. og and Desmazures, C. (2010) Rotating Fatigue Tests of Steel Drill Pipe

Connectors with Resonant Test Rig. Exploration And Production - Volume 10 Issue 1

79

[30] Grondin, G. og Kulak, G. (1994) Fatigue testing of drillpipe. SPE Drilling & Completion, Juni 1994.[31] Darcis, P., Santarosa, D., Recho, N. og Lassen, T. (2004) Fracture Mechanics Approach For The Crack Growth In

Welded Joints With Reference To BS 7910. European Conference on Fracture (ECF 15), Stockholm, Sweden, August 11–13, 2005.

[32] Li, Chun-Qing and Yang, Shangtong (2012) Stress intensity factors for high aspect ratio semi-elliptical internal surface cracks in pipes. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 96-97. pp. 13-23. ISSN 0308-0161

[33] Medved, J. J., Breton, M. og Irving, P. E. (2004) Corrosion pit size distributions and fatigue lives - a study of the EIFS technique for fatigue design in the presence of corrosion. International Journal of Fatigue, Vol. 26, s. 71–80

[34] White, P. (2006) Review of Methods and Approaches for the Structural Risk Assessment of Aircraft. DSTO–TR–1916, Defence Science and Technology Organisation

[35] Wakabayashi, C., Yasuda, K. og Shiota, T. (2009) Estimation of Weibull parameters from parameters of initial distribution of flaw size. Journal of Physics: Conference Series 191

[36] Bokalrud, T. og Karlsen, A. (1981) Probabilistic fracture mechanics evaluation of fatigue failure from weld defects in butt weld joints. In: Proceeding on conference on fitness for purpose validation of welded constructions. London, UK, Paper 28.

[37] Massey, F. J. (1951) The Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit. Journal of the American Statistical Association. Vol. 46, No. 253, s. 68–78.

[38] Justel, A., Peña, D. og Zamar, R. (1997) A multivariate Kolmogorov-Smimov test of goodness of fit. Statistics & Probability Letters 35, s. 251-259.

[39] Yang, N.J. og Manning, S.D. (1980) Distribution of equivalent initial flaw size. In: Proceeding of the 1980 Annual Reliability and Maintainability Symposium, s. 112–120. IEEE, San Francisco, CA.

[40] Aker Offshore Partner A.S. (2002) Review of probabilistic inspection analysis methods. Offshore Technology Report, 1999/061, HSE BOOKS

[41] Moan, T., Vårdal, O. T., Hellevig, N. C. og Skjoldli, K. (2000) Initial crack depth and POD values inferred from in-service observations of cracks in North Sea jackets. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Vol. 122, s. 157-162.

[42] Maddox, S. J. og Razmjoo, G. R. (1998) Fatigue performance of large girth welded steel tubes. In: Proceedings, 17th OMAE. New York: ASME.

[43] Ørjasæter, O., Drågen, A., Haagensen, P. J., Lian B. og Gunleiksrud A. (1987) Effect of Plate Thickness on Fatigue Properties of Low Carbon-Micro-Alloyed Steel. Paper TS 6, Developments in Marine Technology 3, Proc.3rd International Conference on Steel in Marine Structures, SIMS’87, Delft, The Netherlands, 15-18 June, s. 315-335.

[44] Maddox, S.J. (1997) Development in Fatigue Design Codes and Fitness-for-Service Assessment. International Institute of Welding, Conference on Performance of Dynamically Loaded Welded Structures. San Francisco, Welding Research Council Inc., New York.

[45] Ayala-Uraga, E. og Moan, T. (2007) Fatigue reliability-based assessment of welded joints applying consistent fracture mechanics formulations. International Journal of Fatigue, Vol. 29, s. 444–456.

.

80

Vedlegg 1

Spenningsintensitetsfaktor K I for en halv-elliptisk overflate sprekk (Newman og Raju [5])

K= (S t+H ⋅Sb ) ⋅√ π ⋅aQ

⋅F

Uttrykk for faktor H

H=H 1+( H 2−H 1 )⋅ sinp ( ϕ )H 1=1−0.34 ⋅ at−0.11⋅( a

c )⋅( at )

H 2=1+G1 ⋅( at )+G2⋅( a

t )2

G1=−1.22−0.12⋅ ac

G2=0.55−1.05 ⋅( ac )

0.75

+0.47 ⋅( ac )

1.5

p=0.2+ ac+0.6 ⋅ a

tUttrykk for faktor Q

Q=1+1.464 ⋅( ac )

1.65

Uttrykk for faktor F

F=[M 1+M 2⋅(at )

2

+M 3⋅( at )

4 ]⋅ f ϕ ⋅ g ⋅ f w

M 1=1.13−0.09⋅( ac )

M 2=−0.54+ 0.89

0.2+( ac )

M 3=0.5− 1

0.65+( ac )

+14 ⋅(1−ac )

24

f ϕ=[( ac )

2

⋅cos2 ( ϕ )+sin2 ( ϕ )]14

g=1+[0.1+0.35 ⋅( at )

2]⋅ (1−sin (ϕ ) )2

81

StSb

a

2c

f w=[sec( π ⋅ c2⋅b ⋅√ a

t )]12

82

B

A

φ

ta

2c

Vedlegg 2

Formelverket fra Bowness og Lee sitt HSE document [9] for beregning av Mk -faktorer.

Verdiene Mk mA, Mk bA, Mk mB og Mk bB brukes til å beregne variasjon i spenningsintensitetsfaktor i punktene A og B

for en sprekk ved sveisetå.

Gyldighetsområde:

Sprekkdybde-tykkelse forhold (a /t ) 0,005 ≤ a/ t<1,0Sprekkdybde-sprekklengde forhold (a /c) 0,1 ≤ a/c≤ 1,0Sveisens vinkel (θ) 30 °≤ θ ≤ 60°Sveisens fotprint- platetykkelse forhold (L/ t ) 0,5 ≤ L/t ≤2,75

83

Symmetriplanρ

θ

t steg

t

L a

hb

c

h

heff

Mk-faktor for sveiseskjøt: Punkt A, ved membranspenning (St) - Mk mA

Mk mA=f 1+ f 2+ f 3

der:

f 1=0.43358 ⋅( at )A1+(A 2⋅( a

t ))A3

+0.93163 ⋅exp(( at )

−0.050966)+A4

A1=−1.0343⋅( ac )

2

−0.15657⋅( ac )+1.3409

A2=1.3218⋅( ac )

−0.61153

A3=−0.87238 ⋅( ac )+1.2788

A4=−0.46190 ⋅( ac )

3

+0.67090 ⋅( ac )

2

−0.37571 ⋅( ac )+4.6511

f 2=A5 ⋅(1−( at ))

A 6

+A7 ⋅( at )−0.10740⋅( a

t )

A5=−0.00038737 ⋅θ2+0.64771⋅θ−0.72368

A6=0.24183 ⋅θ+176.23

A7=−0.00027743 ⋅θ+2.8143

f 3=A8 ⋅( at )

A9 ⋅θ2+A10 ⋅θ+A11

+ A12⋅( at )

A13

+(A14 ⋅( at )

2

+ A15⋅( at )+A16)

A8=−0.082502⋅θ2+0.0084862⋅θ+0.38417

A9=0.010766 ⋅( Lt )

3

−0.060159⋅(Lt )

2

+0.13667⋅( Lt )−0.023400

A10=−0.028378⋅( Lt )

3

+0.16489⋅( Lt )

2

−0.35584 ⋅( Lt )−0.00024554

A11=−0.0015061 ⋅( Lt )

2

+0.023369 ⋅( Lt )−0.23124

A12=0.051554 ⋅θ2+0.025447 ⋅θ+1.8975

A13=−0.12914 ⋅θ2+0.21863 ⋅θ+0.13798

84

A14=−0.20136 ⋅( Lt )

2

+0.93311⋅( Lt )−0.41496

A15=0.20188⋅( Lt )

2

−0.97857 ⋅( Lt )+0.068225

A16=−0.027338⋅( Lt )

2

+0.12551⋅( Lt )−11.218

85

Mk-faktor for sveiseskjøt: Punkt A, ved bøyespenning (Sb) - Mk bA

NB! HVIS 0.005 ≤ at

≤ 0.5, da er

Mk bA=f 1+ f 2+ f 3

der:

f 1=0.065916 ⋅( at )A1+(A 2⋅( a

t ))3

A

+0.52086⋅ exp(( at )

−0.10364)+ A4

A1=−0.014992⋅( ac )

2

−0.021401⋅( ac )−0.23851

A2=0.61775⋅( ac )

−1.0278

A3=0.00013242⋅(ac )−1.4744

A4=−0.28783 ⋅( ac )

3

+0.58706 ⋅( ac )

2

−0.37198 ⋅( ac )−0.89887

f 2=A5 ⋅(1−( at ))

A 6

+A7 ⋅( at )

A8

A5=0.11052 ⋅θ2−0.19007 ⋅θ+0.059156

A6=−15.124 ⋅θ2+15.459 ⋅θ−0.0036148

A7=−0.047620 ⋅θ2+0.16780 ⋅θ−0.081012

A8=−17.195⋅( at )

2

+12.468 ⋅( at )−0.51662

f 3=A9 ⋅( at )

A10 ⋅θ2+A11⋅ θ+A 12

+ A13⋅(at )

A14

+( A15⋅( at )

2

+ A16 ⋅( at )+A17)

A9=0.75722⋅θ2−1.8264 ⋅θ+1.2008

A10=−0.013885⋅( Lt )

3

−0.014872 ⋅( Lt )

2

+0.55052⋅( Lt )−0.072404

A11=−0.065232 ⋅( Lt )

3

+0.54052 ⋅( Lt )

2

−1.8188 ⋅( Lt )−0.0022170

86

A12=−0.034436⋅( Lt )

2

+0.28669⋅( Lt )+0.36546

A13=−0.61998⋅θ2+1.4489 ⋅θ−0.90380

A14=0.43912⋅θ2−1.3345⋅θ+0.57647

A15=−0.35848⋅( Lt )

2

+1.3975⋅( Lt )−1.7535

A16=0.31288⋅( Lt )

2

−1.3599 ⋅( Lt )+1.6611

A17=−0.0014701⋅( Lt )

2

−0.0025074 ⋅( Lt )−0.0089846

NB! ELLERS, HVIS 0.5< at<1.0, da er

Mk bA=1.0

87

Mk-faktor for sveiseskjøt: Punkt B, ved membranspenning (St) - Mk mB

Mk mB=f 1⋅ f 2⋅ f 3

der:

f 1=A1 ⋅( at )A2 ⋅( c

a )2

+A 3⋅( ca )+A 4+ A5⋅(1−( a

t ))A6 ⋅( ca )

2

+A7 ⋅( ca )+A8

A1=0.0078157⋅( ca )

2

−0.070664 ⋅( ca )+1.8508

A2=−0.000054546 ⋅( Lt )

2

+0.00013651⋅( Lt )−0.00047844

A3=0.00049192⋅(Lt )

2

−0.0013595 ⋅( Lt )+0.011400

A4=0.0071654 ⋅(Lt )

2

−0.033399 ⋅( Lt )−0.25064

A5=−0.018640 ⋅( ca )

2

+0.24311⋅( ca )−1.7644

A6=−0.0016713 ⋅( Lt )

2

+0.0090620 ⋅( Lt )−0.016479

A7=−0.0031615 ⋅( Lt )

2

−0.010944 ⋅( Lt )+0.13967

A8=−0.045206 ⋅( Lt )

3

+0.32380 ⋅( Lt )

2

−0.68935⋅( Lt )+1.4954

f 2=( A9⋅( ac )

2

+ A10⋅( ac )+A11)⋅( a

t )A12

+ A13⋅(1−( at ))

A14

A9=0.15209 ⋅θ2+0.0029155⋅θ−0.38250

A10=−0.24523⋅θ2+0.0013244 ⋅θ+0.50434

A11=−0.64023 ⋅θ2+2.2642 ⋅θ+0.25959

A12=−0.25473⋅( ac )

2

+0.40928 ⋅( ac )+0.0021892

A13=−0.11458 ⋅θ2+0.72927 ⋅θ−0.22760

A14=37.423⋅( ac )

2

−15.741⋅( ac )+64.903

88

f 3=( A15⋅θ2+ A16 ⋅θ+ A17 ) ⋅( a

t )A18

+( A19⋅θ2+ A20⋅θ+ A21) ⋅exp (( a

t )A22 ⋅θ

2+A 23 ⋅θ+A 24)A15=−0.14475⋅( L

t )2

+0.51648⋅( Lt )−0.18189

A16=0.34950⋅( Lt )

2

−1.3069 ⋅( Lt )+1.0641

A17=−0.10553⋅( Lt )

3

+0.41373 ⋅( Lt )

2

−0.38632 ⋅( Lt )−1.9885

A18=1.8225 ⋅θ2−4.5008 ⋅θ+3.1650

A19=0.041574 ⋅( Lt )

2

−0.16138 ⋅( Lt )+0.14184

A20=−0.098912⋅( Lt )

2

+0.39688⋅( Lt )−0.58821

A21=0.043891 ⋅( Lt )

3

−0.19694 ⋅( Lt )

2

+0.23516 ⋅( Lt )+0.97585

A22=−0.046138⋅( ac )

2

−0.12171⋅( ac )+1.6277

A23=0.088591⋅( ac )

2

+0.27816 ⋅( ac )−4.0124

A24=−0.052530 ⋅( ac )

2

−0.13902⋅( ac )+2.6646

89

Mk-faktor for sveiseskjøt: Punkt B, ved bøyespenning (Sb) - Mk bB

Mk bB=f 1⋅ f 2⋅ f 3

der:

f 1=A1 ⋅( at )A2 ⋅( c

a )2

+A 3⋅( ca )+A 4+ A5⋅(1−( a

t ))A6 ⋅( ca )

2

+A7 ⋅( ca )+A8

+ A9

A1=0.0023232⋅( ca )

2

−0.00037156 ⋅( ca )+4.5985

A2=−0.000044010⋅( Lt )

2

+0.00014425⋅( Lt )−0.00086706

A3=0.00039951⋅( Lt )

2

−0.0013715 ⋅( Lt )+0.014251

A4=0.0046169 ⋅( Lt )

2

−0.017917⋅( Lt )−0.16335

A5=−0.018524 ⋅( ca )

2

+0.27810 ⋅( ca )−5.4253

A6=−0.00037981⋅( Lt )

2

+0.0025078⋅( Lt )+0.00014693

A7=−0.0038508 ⋅( Lt )

2

+0.0023212⋅( Lt )−0.026862

A8=−0.011911⋅(Lt )

3

+0.082625⋅( Lt )

2

−0.16086 ⋅( Lt )+1.2302

A9=0.27798 ⋅(at )

3

−1.2144 ⋅(at )

2

−2.4680 ⋅( at )+0.099981

f 2=( A10⋅( ac )

2

+ A11⋅( ac )+ A12)⋅( a

t )A13

+ A14 ⋅(1−( at ))

A15

A10=0.13481⋅θ2+0.0030652 ⋅θ−0.43562

A11=−0.20321 ⋅θ2+0.0013671⋅θ+0.53196

A12=−0.60938⋅θ2+2.5895 ⋅θ+0.047444

A13=−0.25922⋅( ac )

2

+0.39566 ⋅( ac )+0.011759

A14=0.044960⋅θ2+0.77317 ⋅θ−0.38510

90

A15=6.5974 ⋅( ac )

2

+55.787 ⋅( ac )+37.053

f 3=( A16⋅θ2+ A17 ⋅θ+ A18 ) ⋅( a

t )A 19

+( A20⋅θ2+ A21⋅θ+ A22 ) ⋅exp (( a

t )A23 ⋅θ2+ A 24 ⋅θ+ A 25)

A16=−0.056177 ⋅( Lt )

2

+1.0308⋅( Lt )−0.12828

A17=0.27882⋅( Lt )

2

−2.4093⋅( Lt )+1.1470

A18=−0.14895⋅( Lt )

3

+0.63093 ⋅( Lt )

2

−0.22309 ⋅( Lt )−1.7198

A19=4.0991⋅θ2−9.8563 ⋅θ+6.1602

A20=−0.028513⋅( Lt )

2

−0.25288 ⋅( Lt )+0.14737

A21=−0.021387⋅( Lt )

2

+0.67499⋅( Lt )−0.77817

A22=0.055459 ⋅( Lt )

3

−0.26741⋅( Lt )

2

+0.16739⋅( Lt )+1.0546

A23=−0.047837⋅( ac )

2

−0.11094 ⋅( ac )+3.8961

A24=0.085182⋅( ac )

2

+0.27561 ⋅( ac )−9.4136

A25=−0.050827⋅( ac )

2

−0.14136 ⋅( ac )+5.7495

91

Vedlegg 3

MATLAB skript for beregning av utmattingssprekkvekst.

Beregningsmetode

MATLAB skript som brukes til å beregne sprekkvekst ved sveisetå baserer seg på Newmans og Rajus uttrykk for spenningsintensitetsfaktor K (Vedlegg 1) og Bowness’ og Lees Mk -faktorer (Vedlegg 2). Disse gir grunnlag for beregning

av Δ K ved en konstant-amplitude syklisk last ved sveisetå, som videre implementeres i Paris’ lov. Likninger (15) gir sprekkvekst i hhv. dybde- og lengderetningen:

da=C ⋅Δ K Am ⋅dN

dc=C ⋅Δ K Bm⋅ dN

V 3. 1

Likningene V 3. 1 kan skrives om, slik at sprekkvekst i en retning kan uttrykkes ved hjelp av sprekkvekst i den andre retningen. Ved å ta utgangspunkt i at dN er lik i begge uttrykkene, gir dette:

dc=C ⋅Δ K Bm⋅ dN

da=Δ KB

m

Δ K Am ⋅dc V 3. 2

Materialkoeffisientene C og m er gitt i britisk standard (BS 7910:2005) og avhenger av materiale, omgivelsene og andre faktorer (oppgis i følgende del).

Numerisk integrasjon av sprekkvekst likninger (V 3. 2) ved hjelp av en datamaskin er den eneste praktiske fremgangsmåten, i situasjoner hvor den sykliske spenningsintensitetsfaktor, Δ K , varierer på en kompleks måte avhengig av dybde og geometri. Fremgangsmåten beskrives videre.

Figur viser en tenkt generell utvikling av sprekk i lengderetningen (c). Dersom det totale nødvendige antallet

spenningsvekslinger deles opp i et bestemt antall spenningssykler Δ N , ender man med likt antall punkter som må

beregnes til den endelige sprekken (7 punkter er illustrert på figuren). Likninger (V 3. 2) gir at sprekkvekst i dybderetning (a)

kan beregnes ut ifra verdien til c . Framgangsmåten forklares i neste avsnitt.

92

Δ K A 7Δ K A 6Δ K A 5Δ K A 4Δ K A 3Δ K A 2Δ K A 1

c f

c6

c5

c4c3c2c1c0

a [mm]

N [sykler ]

+

d a7

+

da6+da5+

da4+

da3

+

da2+

da1

Δ K C7Δ K C6Δ K C5Δ K C 4Δ K C3Δ K C2Δ K C1

Δ NΔ NΔ NΔ NΔ NΔ NΔ N

⑦

⑥

⑤④

③②①

a f

a6

a5

a4a3a2a1a0

+

d c7

+

dc6+dc5+dc4+

dc3

+

dc2+

dc1

Initiale sprekkdimensjonene a0 og c0 er kjente, og brukes til å finne Δ K A 1 og Δ K B1. De evalueres sammen med

materialkoeffisientene C og m, i likningene V 3. 2, som gir sprekkvekst d a1 og d c1 for det første inkrementet av N . Ved

å legge d a1 og d c1 sammen med a0 og c0, får man den nye sprekkstørrelsen, a1 og c1 (punkt 1). Videre fortsettes

beregninger med de nye sprekkstørrelsene på den samme måten gjennom punktene 2-6, til man kommer til a f og c f .

Alle verdiene som beregnes underveis, føres i egne vektorer som muliggjør grafisk plotting og vurdering av verdier ved ulike tidspunkter i levetiden.

Inndata

MATLAB skriptet trenger initiale dimensjoner, geometri, samt noen integrasjonsparametere for å kunne foreta en vellykket analyse. Disse kommer av uttrykk i Vedlegg 1 og Vedlegg 2, og nevnes og forklares i følgende del.

Initial sprekk

ao [mm] – Initial sprekkdybde.

c0 [mm] – En halv av den initiale sprekklengden

ϕ A og ϕ B[rad] - De parametriske vinklene til sprekkfrontellipsen. Angir hvilke punkter på sprekkfronten vurderes. Alltid satt

til hhv. π2

og 0 (punktene A og B)

Plate- og sveisegeometrib [mm] – Platebredde. For rør brukes den midtre omkretsen.

L [mm] – Sveisefotens bredde.

θ [rad] – Sveisevinkel i kilsveis. Den kan være mellom π3

og π6

. Ved beregning av butt-rundsveisede rør brukes den minste

verdien, θ=π6

.

Last (hot spot)Δ S t [MPa] – Membranspenning.

scf – Spenningskonsentrasjonsfaktor. Angir hvor stor bøyekomponenten er i forhold til membran, slik at

Δ Sb=Δ S t⋅(scf−1)

Paris’ lov parametereC og m – Materialkoeffisienter. Gitt i BS 7910:2005.

Enkel Paris’ lov

{C=5,21⋅10−13

m=3

Totrinns Paris’ lov

For: Δ K<196:{C1=4,80 ⋅10−18

m1=5,10

93

Δ K ≥ 196 :{C2=5,86 ⋅10−13

m2=2,88

Parametere til numerisk integrasjon

N [sykler] - Det totale antallet spenningsvekslinger.

Δ N – Inkrement av spenningssykler. Velges slik at den gir konvergerende resultater, samt raske analyser. Vanligvis settes

Δ N =100, hvis ikke annet er spesifisert.

a f [mm] - Den endelige sprekkdybden. Brudd skjer når sprekken går gjennom tykkelsen (a f= t)

Ved vanlige bruddmekaniske analyser, vurderes hvilke verdier som skal brukes ut fra målte størrelser eller ved bruk av tall som er oppgitt i et eller annet standardverk som benyttes ved dimensjoneringen.

I beregningene i rapporten, finnes det parametere (C , m, θ, Δ N , ϕ A og ϕ B) som vanligvis blir faste og uforandret. Disse

parametere danner grunnlag til beregningene, og verdiene, samt standard de er tatt ifra er oppgitt både ovenfor og i begynnelsen av den aktuelle seksjonen. De forandres ikke med mindre det indikeres tydelig i teksten.

Dette gjør at inndata som varierer ved beregningen kan summeres som følger:

inndata= [a0 , c0 , b , t , L , St , scf , af , N ] ;

Ved å sette denne inndata vektoren til hvert enkelt rør, sammen med de faste verdiene nevnt ovenfor, inn i MATLAB skriptet, kan man beregne hvor mye sprekken propagerer for det gitte antallet spenningssykler N , ved oppgitt plate- og sveisegeometri og spenningsforhold.

Verifisering

Beregningsrutinen

Verifisering av MATLAB skriptet ble gjort ved hjelp av tabeller fra HSE dokumentet for kontroll av Mk -faktorer og TWI Softwares Crackwise. Denne programvaren brukes i praksis ved analyser av sprekkvekst og tar utgangspunkt i de samme likninger som den utviklede MATLAB skriptet. Kompliserende omstendighet er at selv om Crackwise implementerer formelverket fra HSE dokumentet (Vedlegg 2) for beregning av Mk -faktorer, brukes verdiene i henhold til BS7910:2005 [10]. Standardverket sikrer konservative beregninger, og MATLAB skriptet er ment for best estimate analyser, slik at for verifiserings formål, måte resultatene vurderes delvis.

M kbc verdiene fra Crackwise blir, av en fortsatt ukjent grunn, alltid lavere enn verdiene som er gitt i HSE dokumentet for

kontroll. Videre, som alle Mk -faktorene blir lavere enn 1,0, brukes 1,0 til beregninger i Crackwise som anbefalt i BS7910:2005. For å ha to sammenliknbare resultater, kan bare levetiden før Mk -faktorer blir ulike vurderes. Dette innebærer at den totale levetiden ikke kan sammenliknes og en endelig sprekkdybde må defineres.

Fremgangsmåten for verifisering er som følger: (1) Plate- og sveisegeometri velges, (2) En endelig sprekkdybde (a f =0,1355

mm) velges, (3) MATLAB skriptet brukes til å finne antall spenningssykler (N ) som er nødvendig for å oppnå a f for tre typer

laster, (4) Den funnede levetiden plottes i Crackwise og (5) De endelige sprekkdimensjonene sammenliknes.

Geometrien som ble vurdert er:

a0=0,1mm; c0=1mm; b → ∞; t=1mm; L=1,25 mm; a f=0,1355

94

Siden Mk -faktorer varierer annerledes, vurderes 3 lasttilfeller, bare membran-, kombinasjon og bare bøyespenningen. Utmattingslevetiden som er nødvendig for hvert tilfelle er som følger:

Δ S t = 143 MPa, N = 58 399 sykler,

Δ S t = 71,5 MPa, Δ Sb = 71,5 MPa, N = 76928 sykler,

Δ Sb = 143 MPa, N = 102150 sykler.

For gitte antall spenningssykler, blir sprekkdimensjonene beregnet med MATLAB og Crackwise som følger:

Tabell V3.1 – Resultatene av verifiseringenTilfelle Bare ΔS t Δ S t og ΔSb Bare ΔSbStørrelse a f 2 c f a f 2c f a f 2c fMATLAB 0,1355 2,0504 0,1355 2,0653 0,1355 2,0867Crackwise

0,1355 2,0504 0,13548 2,0578 0,13545 2,0676

Avvik 0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,36 % 0,04 % 0,92 %

Tabellen viser at dersom bøyekomponenten er til stede, resultatene får svakt avvik, avhengig av andel bøyespenningen i den totale spenningsvidden. Dette indikerer at Mk -faktorer ved overflate (punkt B) ikke stemmer overens med hverandre.

Tabellen viser at MATLAB beregningsrutinen regner riktig, og at avvik først kommer når ulike Mk -faktorer brukes ved

beregningen. Derfor er det viktig å vise at de riktige verdiene av Mk -faktorer tas i bruk for å kunne verifisere MATLAB

skriptet. Sammenlikningen av Mk -faktorer følger.

Verifisering av riktig bruk av Mk-faktorer

Tre tilfeller med ulike forholdstall vurderes. Verdiene fra MATLAB sammenliknes med verdiene fra HSE dokumentet og Crackwise.

Tilfelle 1

a /T -forholdstall = 0,1;

a /c- forholdstall = 0,4;

Sveisevinkel, θ = 45 deg;

L/ t -forholdstall = 1,25;

Tabell V3.2 – Sammenlikning av resultatene 1

M kma M kba M kmc M kbcMATLAB 1,0738 1,0353 2,1636 2,2229Bowness and Lee 1,0738 1,0353 2,1636 2,2229Crackwise 1,0738 1,0353 2,1636 2,0719Forskjell - - - 93,21 %

Tilfelle 2

a /T -forholdstall = 0,1;

a /c- forholdstall = 0,1;

Sveisevinkel, θ = 45 deg;

L/ t -forholdstall = 1,25;

95

Tabell V3.3 – Sammenlikning av resultatene 2

M kma M kba M kmc M kbcMATLAB 1,1034 1,7086 2,7007 2,8286Bowness and Lee 1,1034 1,7086 2,7007 2,8286Crackwise 1,1034 1,7086 2,7007 2,6365Forskjell - - - 93,21 %

Tilfelle 3

a /T -forholdstall = 0,2;

a /c- forholdstall = 0,7;

Sveisevinkel, θ = 45 deg;

L/ t -forholdstall = 1,25;

Tabell V3.4 – Sammenlikning av resultatene 3

M kma M kba M kmc M kbcMATLAB 0,9809 0,8912 1,6409 1,6545Bowness and Lee

0,9809 0,8912 1,6409 1,6545

Crackwise 1 1 1,6421 1,4233Forskjell - - 100,07 % 86,03 %

De siste tre tabellene viser at årsaken til avvik mellom MATLAB og Crackwise ved bøyespenningen til stede var M kbc

faktor. I tillegg bekrefter tabellene at Mk -faktorene i MATLAB er beregnet riktig i henhold til likninger gitt i HSE dokumentet. Avvikene mellom de publiserte og verdiene fra Crackwise forekom stadig. Det bemerkes at dette ikke påvirker gyldighet av MATLAB skriptet som benyttes til beregningene i rapporten, siden de anbefalte verdiene fra HSE dokumentet

benyttes og det er vist at skriptet beregner riktig dersom riktige Mk faktorer benyttes. Grunnen at M kbc faktor som

brukes av Crackwise er annerledes enn verdiene fra HSE dokumentet ble ikke funnet i BS7910:2005 [10] og årsaken til dette er ukjent.

96