Upload
dotruc
View
232
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
TEORI ANTRIAN
Tugas Individu
diajukan untuk memenuhi salah satu tugas
mata kuliah Perencanaan dan Pengendalian Produksi
Dosen Pengampu:
Ibu Siti Mujdalipah S.TP, M.Si
Disusun oleh
Yatin Dwi Rahayu NIM. 1006578
Program Studi Pendidikan Teknologi Agroindustri
Fakultas Pendidikan Teknologi dan Kejuruan
Universitas Pendidikan Indonesia
Bandung
2012
BAB I
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Antrian adalah aktivitas menunggu untuk melakukan aktivitas atau dilayani.
Sedang teori tentang antrian dapat diartikan sebagai teori yang menyangkut studi
sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan, menunggu dalam
formasi baris merupakan suatu yang sering kita jumpai dilingkungan kita, apalagi
bila fasilitas pelayanan tidak mampu melayani kebutuhan yang ada.
Ada tiga komponen dasar dalam model antrian, yaitu kedatangan, fasilitas
pelayanan, dan antrian actual. Metode perhitungan antrianpun perlu dipelajari
agar dapat mengukur keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang
disebabkan karena terjadinya antrian.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari tugas ini sebagai berikut:
1. Apa itu teori antrian?
2. Bagaiman metode perhitungan dari teori antrian?
C. Tujuan
Maksud dan tujuan dari tugas individu ini dalah agar mengetahui mengenai
teori antrian dan metode perhitungannya.
BAB II
Pembahasan
A. Pengertian Anrtrian
Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K.Erlang, yang
menggambarkan model antrian untuk menentukan jumlah optimal dari fasilitas
telepon switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada. Menurut
Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang
memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada
umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda –
beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi
menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :
1. Sistem pelayanan komersial
2. Sistem pelayanan bisnis – industri
3. Sistem pelayanan transportasi
4. Sistem pelayanan social
Pada kondisi umum kita selalu menghendaki agar jumlah fasilitas pelayanan
dapat melayani kapasitas antrian, akan tetapi biaya untuk menyediakan fasilitas
pelayanan merupakan masalah yang harus dipertimbangkan. Keputusan masalah
ini menjadi penting karena apabila pelayanan terlalu banyak maka akan
memerlukan biaya yang besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang maka
akan terjadi baris penungguan dalam waktu yang lama dan akan menimbulakan
ongkos baru. Dengan penjelasan diatas maka yang menjadi tujuan dalam teori
antrian adalah mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos
yang disebabkan karena terjadinya antrian.
B. Sistem Antrian
Komponen dasar proses antrian adalah :
1. Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,
panggilan telepon untuk dilayani, dan lain – lain. Unsur ini sering dinamakan
proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan
calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan
variabel acak.
Menurut Levin, dkk (2002), variable acak adalah suatu variabel yang
nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat
berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki
beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila
nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai
variabel acak kontinu.
2. Antri
Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama
tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti
terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas
pelayanan (Mulyono, 1991).
3. Pelayan
Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,
atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang –
kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol
dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari
satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada
penjualan tiket di gedung bioskop.
.
Dalam sistem antrian tingkat kedatangan (input) dan tingkat pelayanan
perlu diperhatikan, dengan ditunjukkan oleh suatu distribusi kedatangan dan
pelayanan untuk menunjukkan situasi kedatangan dan pelayanan. Selain pola
kedatangan dan pelayanan ada beberapa faktor yang mempengaruhi
pengembangan model antrian :
a. Disiplin Pelayanan
Penentuan siapa yang dilayani mengikuti aturan tertentu yang telah ditentukan
yang disebut dengan disiplin antrian, yaitu :
a) FCFS (First Come First Served) artinya, yang lebih dulu dating, lebih dulu
dilayani. Misalnya dalam pembelian tiket konser.
b) LCFS (Last Come First Served) artinya, yang dating terakhir yang lebih
keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai sama.
c) SIRO (Service In Random Order) artinya, panggilan didasan pada
peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.
d) Priority Sece artinya, Pelayanan tidak mempedulikan siapa yang datang
pertama atau terakhir. Pelayanan seperi ini, biasanya terdapat pada sistem
pelayanan yang terkendali dengan baik. Prioritas, dimana yang mendapat
prioritas tinggi akan dilayani terlebih dahulu.
b. Desain Fasilitas
Desain fasilitas dalam sistem antrian terdiri dari :
a) Jumlah fasilitas
b) Semakin banyak jumlah pelayanan, semakin banyak yang dapat
dilayani.
Beberapa jenis pelayanan :
1) Satu antrian, satu pelayanan.
2) Satu antrian, pelayanan paralel.
3) Beberapa antrian, satu pelayanan.
4) Beberapa antrian, pelayanan paralel.
5) Satu antrian, pelayanan seri.
c. Ukuran Fasilitas
Dalam sistem antrian ukuran antrian berkenaan dengan kapasitas sistem dapat
dibedakan menjadi dua ;
a) Terbatas
Bila jumlah kedatangan yang ada dalam antrian dan yang sedang dilayani dibatasi,
karena sistem tidak cukup menampung antrian yang terlalu banyak dan sedang
dilayani.
b) Tidak Terbatas
Bila sistem mampu menampung dalam jumlah yang tidak terbatas, kedatangan
yang terdapat dalam sistem antrian dan yang sedang dilayani.
C. Distribusi Kedatangan
Model antrian adalah model probabilistik (stochastic) karena unsure-unsur
tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random.
Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Baik
kedatangan maupun waktu pelayanan dalam suatu proses antrian pada umumnya
dinyatakan sebagai variabel random. Asumsi yang digunakan biasanya berkaitan
dengan distribusi kedatangan (banyak kedatangan per unit waktu) adalah
distribusi Poisson. Rumus umum distribusi Poisson adalah :
P ( x )= e−λ λx
x !
dimana : x : Banyaknya kedatangan
P(x) : Probabilita kedatangan
λ : Rata-rata tingkat kedatangan
e : Dasar logaritma natural, yaitu 2.71828
x! : x (x-1) (x-2) .... 1 ( dibaca x factorial)
Distribusi Poisson adalah distribusi diskrit dengan rata-rata sama dengan
varians.Suatu cirri menarik dari proses Poisson adalah bahwa jika banyaknya
kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata tingkat
kedatangan λ , maka waktu antar kedatangan (inter arrival time) akan mengikuti
distribusi exsponential negative dengan rata-rata 1/λ.
Sebagai ilustrasi, disajikan kasus perusahaan perkapalan “P.T. Sampan”.
Sampan mengoperasikan sebuah fasilitas dermaga di pelabuhan Tanjung
Priok. Rata‐rata lima kapal datang untuk menurunkan kargonya dalam tiap
shift kerja 12 jam. Tiap kapal yang menunggu dalam antrian untuk
menurunkan kargo akan menimbulkan biaya pada perusahaan sebanyak Rp
1.000.000. berdasarkan pengalaman, pihak manajemen memperkirakan jika
satu tim buruh angkut yang bekerja, maka tiap kapal rata‐rata akan menunggu
sebanyak 7 jam untuk dibongkar muatannya. Bila dua tim yang bekerja, maka
rata‐rata waktu menunggunya menjadi 4jam, untuk tiga tim yang bekerja 3jam,
dan untuk 4 tim yang bekerja 2jam. Biaya untuk tiap tim yang bekerja Rp
6.000.000. Tujuan dari analisa ini adalah mendapatkan nilai biaya total terkecil
yang bisa didapatkan, disajikan dalam tabel berikut:
Jumlah Buruh yang Bekerja1 2 3 4
a Rata‐rata kapal datang per shift 5 5 5 5b Rata‐rata tiap kapal menunggu untuk bongkar
muatan
7 4 3 2c Total jam bongkar yang hilang per shift (a x
b)
3
5
2
0
1
5
10d Biaya menunggu tiap kapal (dalam ribuan) 1000 1000 1000 1000e Nilai jam bongkar yang hilang (c x d) 3500
0
2000
0
1500
0
10000f Upah tim buruh angkut (dlm ribuan) 6000 1200
0
1800
0
24000g Biaya total (e + f) 4100
0
3200
0
3300
0
34000
Dari tabel diatas kita temukan bahwa nilai optimal adalah dengan 2 tim yang
bekerja dengan nilai biaya total Rp. 32.000.000. Jadi, manajemen P.T. Sampan
memutuskan untuk menggunakan 2 tim buruh angkut untuk tiap shift kerjanya.
D. Distribusi Waktu Pelayanan
Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai dengan salah satu
bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distrbusi waktu
pelayanan adalah distrbusi eksponential negatif. Sehingga jika waktu pelayanan
mengikuti distribusi eksponensial negatif, maka tingkat pelayanan mengikuti
distribusi Poisson. Rumus umum density fuction probabilitas eksponensial
negative adalah :
f (t) = μ e−μt ,
dimana : f (t) = Probabilitas yang berhubungan dengan t
t : Waktu pelayanan.
m : Rata-rata tingkat pelayanan
1/μ: Rata-rata waktu pelayanan
E : Dasar logaritma natural, yaitu 2.71828
Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk
tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data
yang telah lalu, diketahui ratarata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata
pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan
perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk
mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja
terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per
jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam.
Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka
rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan
tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam.
1hari 8 jam kerja.
Pada pengelompokkan model – model antrian yang berbeda – beda akan digunakan suatu notasi yang disebut dengan Notasi Kendall. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alas an. Diantaranya, karena notasi tebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model – model antrian, tetapi juga asumsi – asu yang harus dipenuhi (Subagyo, 2000).
Fot umum model :
(a/b/
(d/e/
f)
di mana :a = distribusi pertibaan / kedatangan (arrival distribution), yaitu
jumlah pertibaan pertambahan waktu. b = distribusi waktu pelayanan / perberangkatan, yaitu selang waktu
antara satuan – satuan yang dilayani (berangkat).
c = jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem. d
= disiplin pelayanan.
e = jumlah mamum yang dipenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah garis tunggu).
f = besarnya populasi masukan.
Keterangan :1. Untuk huruf a dan b, dapat digunakan kode – kode berikut
sebagai pengganti : M = Distribusi pertibaan Poin atau distribusi pelayanan
(perberangkatan) eonensial; juga sama dengan distribusi waktu antara pertibaan eonensial atau distribusi satuan yang dilayani Poin.
D = Antarpertibaan atau waktu pelayanan tetap.G = Distribusi umum perberangkatan atau waktu pelayanan.
2. Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan paralel.
3. Untuk huruf d, dipakai kode – kode pengganti :
FIFO atau FCFS = Fi – In Fi – Out atau Fi – Come Fi –Served.
LIFO atau LCFS = Last – In Fi – Out atau Last – Come Fi –Served.
SIRO = Sece In Random Order.G D = General Sece Diplint.
4. Untuk huruf e dan f, dipergunakan kode N (untuk menyatakan jumlah terbataatau (tak berhingga satuan – satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan).
Misalnya, model M/1);(FIFO/ / ), berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan secara Poin, waktu pelayanan didistribusikan secaraeonensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin antrian adalah fi –in fi – out , tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam sistemantrian, dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga.
Menurut Siagian (1987), berikut ini adalah beberapa karakteristik dari sistem antrian untuk model M/1);(FIFO/ / ):
1. Intensitas Lalu – Lintas
Buat dan
disebut intensitas lalu – lintas yakni hasil bagi
antara laju pertibaan dan laju pelayanan. Makin besar harga
makin
panjang antrian dan sebaliknya.
2. Periode SibukKalau mekani pelayanan sibuk, dapat dikatakan bahwa sistem
antrian sedang dalam periode sibuk. Peluang bahwa sistem antriansedang dalam keadaan sibuk pada saat sebarang, dinamakan peluangperiode sibuk.
Peluang periode sibuk dari sistem antrian dengan pelayanan tunggalsama dengan intensitas lalu – lintas. Karena itu, bila
f (b)
merupakanfungsi peluang periode sibuk, maka :
f (b)
3. Distribusi Peluang dari Langganan dalam SistemBila
merupakan peluang bahwa sistem antrian adalah sibuk, maka
tentu 1 merupakan peluang bahwa sistem tidak dalam keadaan sibuk
pada sebarang waktu. nya1
merupakan peluang bahwa sistemP
antrian tidak mempunyai langganan. Misalnya n merupakan peluang
adanya n langganan dalam antrian, maka untuk n = 0 : P
0 1
nKarena : Pn .P0 , maka :
Pn n (1 )4. Jumlah Rata – rata dalam Sistem
Misalkan E(n
t ) berupa jumlah rata – rata langganan dalam sistem
antrian, mencakup langganan yang menunggu dan yang sedang dilayani.Maka, E(nt ) nPn
n 0
n( )n (1 )n 0
(1 )n( )n
n 0
urutan suku – suku dari n( )n mempunyai bentuk 0, a, 2a2, 3a3, …,n 0
nan, …. Dalam hal ini a konstan dan kurang dari 1, deret ini akan konvergen menjadi jumlah, dengan rumus :
S a /(1 a)
2
,dimana a
E(nt ) (1 )
Jadi
(1 )
2
1 1 Bila ‘
1 atau jumlah laju pertibaan λ mendekati jumlah laju pelayanan
μ, maka jumlah rata – rata dalam sistem, E(n
t ) bembang menjadi lebih
besar. Bila λ = μ atau ρ = 1, maka E(n
t )
atau jumlah rata – rata langganan dalam sistem antrian menjadi besar tak berhingga.
5. Jumlah Rata – rata dalam Antrian
Misalkan E(n
w ) sebagai jumlah rata – rata langganan dalam antrian,
maka :
E(nw ) E(nt )
2 2
( ) 1
6. Jumlah Rata – rata yang Menerima LayananMisalkan
E(ns )
adalah jumlah rata – rata yang menerima layanan,jadi :
E(ns ) E(nt ) E(nw )
2 1 1
7. Waktu Rata – rata dalam Sistem
Misalkan E(T
t ) merupakan waktu rata – rata bahwa seorang
pelanggan akan menghabiskan waktunya dalam sistem, maka
E(Tt ) E(nt )
di manaE(n )
adalah jumlah rata – rata pelanggan t
dalam sistem.
Jadi E(Tt )
1
8. Waktu Rata – rata dalam Antrian
Misalkan E(T
w )
merupakan waktu rata – rata yang dihabin olehseorang pelanggan dalam antrian.
Maka E(Tw )
E(n ) 1 2 w
( ) ( )
9. Waktu Pelayanan Rata – rata
Misalkan E(T
s ) merupakan waktu rata – rata yang
diperlukan seorang pelanggan untuk menerima pelayanan, maka :
E(Ts )
E(n ) / 1s
Atau bisa juga diperoleh dari :
E(Ts ) E(Tt ) E(Tw ) 1
1
( ) ( )
Daftar Pustaka
Subagyo, Pangestu, dkk. 2000. Dasar – Dasar Operations Research. BPFE.
Yogyakarta.
Mulyono, S. 1991. Operations Research. FEUI.Jakarta.