RANGKUMAN MATERI KOORDINAT, TITIK DAN GARIS

BENTUK AKAR DAN PANGKAT

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”

Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

Oleh

Wahyu Hidayat (147785066)

Kelas D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

…………………………………………………………………….

i

DAFTAR ISI

……………………………………………………………………………

ii

BAB I KOORDINAT TITIK DAN GARIS

…………………………………………... 1

1.1 Jarak Dua Titik

…………………………………………………………

1

1.2 Titik Tengah Sebuah Garis

………………………………………………

2

1.3 Gradien Garis

……………………………………………………………

3

1.4 Persamaan Garis Lurus atau Kurva

………………………………………

6

1.5 Persamaan Garis Melalui Titik ( x1 , y1 ) dengan Gradien m

……………

6

1.6 Mengenal Persamaan Garis

……………………………………………

7

1.7 Persamaan ax + by + c = 0

………………………………………………

7

1.8 Titik Potong Dua Garis

…………………………………………………

8

1.9 Gradien Dua Garis Saling Tegak Lurus ………………….

…………….. 9

BAB II BENTUK AKAR DAN PANGKAR

…………………………………………. 10

2.1 Perbedaan Beberapa Bilangan

…………………………………………..

10

2.2 Bentuk Akar

……………………………………………………………..

10

2.3 Bentuk Pangkat ………………….…..

………………………………….. 12

2.4 Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

………………………………..

13

DAFTAR PUSTAKA

…………………………………………………………………. 15

BAB I

KOORDINAT, TITIK DAN GARIS

1.1 Jarak Dua Titik

Gambar. 1.1 menunjukan segitiga secara umum. Titik C mempunyai

koordinat (x2 , y1 ¿, panjang AC = x2 - x1 dan panjang BC = y2 - y1. Berdasarkan

Teorema Phytagoras:

AB2=AC2+BC 2

AB=√AC 2+BC 2

AB=√ ( x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa untuk mencari jarak

antara dua titik (x1 , y1 ¿, dan (x2 , y2), adalah √ ( x2−x1 )2+( y2− y1 )2.

Contoh 1.1

Tentukan panjang garis AB pada gambar di bawah ini!

Penyelesaian :

Gambar. 1.1

(x1,y1)

((x2,y2)

(x2,y1)x2 - x1

y2 - y1

Y

X

A

B

C

x2 x1

y2

y1

Y

X

C A

B

(-2,-1)

(3,5)

Gambar. 1.2

AB=√ ( x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2

¿√ (3−(−2))2+ (5−(−1))2

¿√52+62

¿√25+36

¿√61.

Jadi, panjang garis AB adalah √61.

1.2 Titik Tengah Sebuah Garis

Koordinat dapat digunakan untuk menentukan titik tengah suatu garis.

Apabila pada gambar 1.1 disisipkan sebuah titik, namakan titik M terletak

pada pertengahan AB, maka koordinat titik M dapat ditentukan nilainya.

Perhatikan gambar. 1.3.

Koordinat titik M dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

AD=12

AC=12(x2−x1)

sehingga koordinat x pada titik M adalah

x1+ AD=x1+12(x2−x1)

¿ x1+12

x2−12

x1

¿ 12

x1+12

x2

¿ 12 ( x1+x2 )

Gambar. 1.3

(x1,y1)

((x2,y2)

(x2,y1)D

y2 - y1

X

A

B

C

x2 x1

y2

y1

M

Y

DM=12

CB=12( y2− y1)

sehingga koordinat y pada titik M adalah

y1+DM= y1+12( y2− y1)

¿ y1+12

y2−12

y1

¿ 12

y1+12

y2

¿ 12 ( y1+ y2 )

M ( 12 ( x1+ x2 ) , 1

2 ( y1+ y2 ))Dengan demikian, titik tengah suatu garis yang dibentuk oleh titik ( x1 , y1 )

dan ( x2 , y2 ) mempunyai koordinat ( 12 ( x1+x2) , 1

2 ( y1+ y2 )).Contoh 1.2

Tentukan koordinat titik tengah garis AB pada contoh 1.1!

Penyelesaian :

Koordinat titik tengah garis AB = ( 12 ( x1+x2) , 1

2 ( y1+ y2 ))=( 1

2 (3+(−2)) , 12 (5+(−1)))

=( 12

(1 ) , 12

( 4 ))=( 1

2,2)

Jadi, koordinat titik tengah garis AB adalah ( 12

,2).

1.3 Gradien Garis

y

x

Gambar. 1.4

Gradien merupakan ukuran kemiringan

ruas garis ataupun garis. Gradien pada gambar.

1.4 dapat ditentukan dengan yx .

Berdasarkan gambar. 1.1 pada pembahasan sebelumnya, panjang x dan y

berturut-turut adalah x2−x1 dan y2− y1. Sehingga gradien garis yang dibentuk

oleh titik (x1, y1 ¿ dan titik (x2 , y2 ¿ adalah y2− y1

x2−x1 .

Contoh 1.3

Tentukan gradien garis AB pada contoh 1.1!

Penyelesaian :

Gradien garis AB = y2− y1

x2−x1

¿ 5−(−1)3−(−2)

¿ 65

.

Jadi, gradien garis AB adalah 65 .

Dua garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut mempunyai

gradien yang sama. Dalam hal ini, gradien dapat digunakan untuk

membuktikan bahwa empat buah titik yang diketahui dapat membentuk suatu

jajar genjang, belah ketupat dan bentuk lainnya.

Contoh 1.4

Buktikan bahwa titik A(1,1), B(5,3), C(3,0) dan D(-1,-2) membentuk sebuah

jajar genjang ABCD!

Penyelesain:

Untuk mempermudah menyelesaikan soal, gambar terlebih dahulu sketsa jajar

genjang yang terbentuk dari titik A, B, C dan D seperti pada gambar di atas.

X

A(1,1)B(5,3)

C(3,0)

D(-1,-2)

Y

Gambar. 1.5

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa

sketsa pada gambar di atas merupakan jajar genjang, diantaranya adalah:

Metode 1 (menggunakan panjang)

Dalam metode ini, terlebih dahulu mencari panjang setiap sisi yang dibentuk

oleh dua titik. Sisi-sisi tersebut adalah AB, BC, CD dan DA.

AB=√ (5−1 )2+(3−1 )2=√20

BC=√(3−5 )2+(0−3 )2=√13

CD=√ ((−1)−3 )2+((−2)−0 )2=√20

DA=√(1−(−1))2+(1−(−2))2=√13

Karena AB = CD dan BC = DA, maka ABCD adalah sebuah jajar genjang.

Metode 2 (menggunakan titik tengah)

Dalam metode ini, terlebih mencari koordinat titik tengah diagonal AC dan

diagonal BD. Apabila koordinat kedua titik sama dan membagi dua bagian

yang sama, maka segi empat tersebut adalah sebuah jajar genjang.

Titik tengah AC = ((1+32 ) ,(1+0

2 ))=(2 , 12 )

Titik tengah BD = ((5+(−1)2 ) ,( 3+(−2)

2 ))=(2 , 12 )

Karena titik tengah AC = titik tengah BD, maka ABCD adalah jajar genjang.

Metode 3 (menggunakan gradien)

Dalam metode ini, terlebih dahulu mencari gradien garis dari sisi-sisi yang

berhadapan. Jika kedua pasangan sisi yang berhadapan sejajar, maka ABCD

adalah jajar genjang. Pasangan sisi yang berhadapan adalah AB dengan DC,

dan DA dengan CB.

Gradien AB = 3−15−1

=12

Gradien DC = 0−(−2)3−(−1)

=12

Gradien DA = 1−(−2)1−(−1)

=32

Gradien CB = 3−05−3

=32

Karena m AB = m DC, dan m DA = m CB, maka AB // DC dan DA//CB,

sehingga ABCD adalah jajar genjang.

1.4 Persamaan Garis Lurus atau Kurva

Bagaimana cara untuk mengetahui kalau titik (3,7) dan (1,5) berada

dalam kurva atau garis y=3 x2+2? Jawabannya adalah dengan

mensubstitusikan koordinat dari titik-titik ke dalam persamaan. Jika titik-titik

tersebut memenuhi persamaanya, maka titik-titik tersebut berada di dalam

garis yang dimaksud.

Untuk (3,7), x = 3, maka y=3 x2+2

¿3 (3 )2+2

¿ (3×9 )+2

¿27+2

¿29

Titik (3,7) tidak terletak dalam kurva y=3 x2+2 karena titik (3,7) tidak

memenuhi persamaan y=3 x2+2.

Untuk (1,5), x = 1, maka y=3 x2+2

¿3 (1 )2+2

¿ (3 ×1 )+2

¿3+2

¿5

Titik (1,5) terletak dalam kurva y=3 x2+2 karena titik (1,5) memenuhi

persamaan y=3 x2+2.

Dengan demikian persamaan garis atau kurva berfungsi untuk

menentukan apakah suatu koordinat titik ( x , y ) terletak dalam suatu garis/

kurva atau tidak.

1.5 Persamaan Garis Melalui Titik ( x1 , y1 ) dengan Gradien m

gradien mY

Dalam kasus umum, gradien m yang melalui titik A( x1 , y1 ) diperlukan

untuk menemukan persamaan garis. Gambar. 1.6 menunjukan garis dan titik

P dengan koordinat (x,y). Gradien AP adalah y− y1

x−x1. Samakan dengan m,

sehingga m = y− y1

x−x1 atau y− y1=m ( x−x1 ). Dengan demikian, persamaan

garis melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah y− y1=m ( x−x1 ).

Contoh 1.5

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-2,3) dengan gradien m = -1!

Penyelesaian :

( y− y1 )=m ( x−x1)

( y−3 )=−1 ( x−(−2))

( y−3 )=−1 ( x+2 )

y−3=−x−2

y=−x+1

Jadi, persamaan garisnya adalah y=−x+1.

1.6 Mengenal Persamaan Garis

Jawaban pada contoh 1.5 dapat ditulis y=mx+c dengan m dan c

adalah bilangan. Jika m = 0, maka semua titik dalam garis mempunyai

koordinat (…,c) sehingga membentuk garis yang sejajar dengan sumbu-x.

Jadi titik (1,2), (-1,2), (5,2) dan seterusnya terletak pada garis lurus y = 2 dan

sejajar dengan sumbu-x. Begitu juga garis yang sejajar dengan sumbu-y

mempunyai persamaan dengan bentuk x = k. Semua titik di dalam garis

tersebut mempunyai koordinat (k,…). Jadi titik (3,0), (3,2), (3,4) dan

seterusnya terletak pada garis x = 3. Garis x = k tidak mempunyai gradien

Gambar. 1.6

A( x1 , y1 )

P( x , y )

X

atau gradiennya tidak didefinisikan. Sehingga persamaan tersebut tidak dapat

ditulis dalam bentuk y=mx+c.

1.7 Persamaan ax + by + c = 0

Cara sederhana untuk menentukan gradien pada persamaan garis

ax+by+c=0 adalah dengan menyusun persamaan tersebut ke dalam bentuk

y=¿ … .

Contoh 1.6

Tentukan gradien garis dari persamaan 2 x+3 y−4=0!

Penyelesaian :

2 x+3 y−4=0

3 y=−2 x+4

y=−23

x+ 43

Berdasarkan persamaan bentuk y=mx+c, dapat ditentukan gradien dari

persamaan garis y=−23

x+ 43 adalah

−23 .

1.8 Titik Potong Dua Garis

Salah satu cara untuk menentukan titik potong dari dua garis yang

diketahui persamaannya adalah dengan mensubstitusikan satu persamaan ke

persamaan lain, sehingga nilai (x,y) dapat ditemukan, atau dapat juga dengan

cara eliminasi.

Contoh 1.7

Tentukan titik potong dari persamaan 2 x− y=4 dan 3 x+2 y=−1!

Penyelesaian:

2 x− y=4

y=2 x−4 … (1)

Substitusikan (1) ke persamaan:

3 x+2 y=−1

3 x+2 (2 x−4 )=−1

3 x+4 x−8=−1

7 x=7

x=1

Substitusikan x = 1 ke persamaan

y=2 x−4

y=2 (1 )−4

y=2−4

y=−2

Jadi, titik potongnya adalah (1,-2).

1.9 Gradien Dua Garis Saling Tegak Lurus

Gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah m1 dan m2, dengan

m1 m2=−1.

Contoh 1.8

Tunjukan bahwa titik (0,-5), (-1,2), (4,7) dan (5,0) membentuk belah ketupat!

Penyelesaian :

Titik tengah diagonalnya adalah :

a. titik tengah d1 = ( 12

(0+4 ) , 12

(−5+7 )) atau (2,1 ),

b. titik tengah d2 = ( 12

(−1+5 ) , 12

(2+0 )) atau (2,1 ).

Gradien garis diagonalnya adalah :

a. gradien d1 = 7−(−5)4−0

=124

=3,

b. gradien d2 = 0−2

5−(−1)=−2

6=−1

3 .

Karena titik tengah diagonal d1 dan d2 merupakan titik yang sama, maka segi

empat tersebut adalah jajar genjang. Jika kedua gradien diagonalnya

dikalikan, maka m d1 × m d2 = 3 ×(−13 )=−1, sehingga kedua diagonalnya

saling tegak lurus. Dengan demikian, titik (0,-5), (-1,2), (4,7) dan (5,0)

membentuk belah ketupat.

BAB II

BENTUK AKAR DAN PANGKAT

2.1 Perbedaan Beberapa Bilangan

Beberapa bilangan digunakan hanya untuk menghitung seperti 1, 2, 3, 4 dan

seterusnya. Bilangan-bilangan itu disebut dengan bilasngan asli atau bilangan bulat

positif. Kemudian, bilangan-bilangan tersebut biasanya digunakan untuk mengukur

dan digunakan dalam bidang perdagangan. Untuk tujuan tersebut, bilangan pecahan

juga sangat diperlukan. Bilangan bulat dan bilangan pecahan merupakan bilangan

rasional. Bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis dalam bentuk pq , dimana p dan q

merupakan bilangan bulat dan q tidak sama dengan nol. Bilangan-bilangan yang bukan

merupakan anggota dari himpunan bilangan rasional disebut dengan bilangan

irrasional. Bilangan rasional dan irrasional keduanya dibentuk oleh bilangan asli.

2.2 Bentuk Akar

Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dan ditulis

dalam bentuk pq , dengan ketentuan p ,q ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti √2 ,√8 ,√12

termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan-bilangan tersebut bukan

merupakan rasional. Bilangan-bilangan seperti ini disebut dengan bilangan bentuk

akar.

Menyederhanakan bentuk akar

Untuk x , y suatu bilangan positif berlaku :

Contoh 2.1

Sederhanakan!

a. √8 ,

b. √12 ,

c. √27√3

,

√ xy=√ x ×√ y dan√ xy= √x

√ y

d. √28+√63 .

Penyelesaian :

a. √8=√4×2=√4×√2=2√2 .

b. √12=√4 × 3=√4 ×√3=2√2 .

c. √27√3

=√ 273

=¿ √9=3 .

d. √28+√63=(√4 ×√7 )+(√9×√7 )=2√7+3√7=5√7 .

Merasionalkan penyebut

Pecahan 1√2

, bentuk akar pada bagian penyebutnya dapat dihilangkan dengan

cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan √2√2

, sehingga pecahan ini

menjadi 1√2

× √2√2

=√22 . Mengubah pecahan

1√2

menjadi √22

disebut dengan

merasionalkan penyebut. Dengan kata lain, merasionalkan penyebut adalah

menghilangkan bentuk akar dari penyebut pada suatu pecahan.

Contoh 2.2

1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut!

a.6√3

,

b. 3√2√10

.

2. Tentukan nilai x , y dan z pada gambar di bawah ini!

AB

C

y

D x

z

m10

15

Gambar. 2.1

Penyelesaian :

1. a. 6√3

= 6√3

× √3√3

=6√33

=¿ 2√3.

b. 3√2√10

= 3×√2√5×√2

= 3√5

=3√55 .

2. Perhatikan segitiga ADB

Berdasarkan Teorema Pythagoras :

z2+102=152

Sehingga,

z2+102=152

z2=152−102

z2=225−100

z2=125z=√125z=√25 ×5z=5√5 .

Segitiga ADB sebangun dengan segitiga ABC, sehingga :

x15

= y10

=15z

Telah didapat z=5√5 , sehingga :

15z

= 155√5

=3√55

Mencari nilai x dan y:

x=15× 3√55

=9√5

y=10 × 3√55

=6√5

Jadi, nilai x , ydan zsecara berturut-turut adalah 9√5 ,6√5 dan 5√5.

2.3 Bentuk Pangkat

Apabila a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif maka

bentuk an menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a. Secara umum

dapat ditulis sebagai berikut.

an=a × a ×a × …× a⏟n faktor

Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a

disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat.

Misalkan a , b∈R dan m , nadalah bilangan bulat positif, maka:

1. am× an=am+n,

2. am÷ an=am−n , dengan m>n ,

3. (am )n=am×n,

4. (a × b )m=am ×bm.

Contoh 2.3

Sederhanakan (2 a2 b )3 ÷ (4 a4 b )!

Penyelesaian :

(2a2 b )3 ÷ (4 a4 b )=(23 ( a2 )3 b3 )÷ (4 a4 b )

¿ (8 a2× 3 b3 ) ÷ ( 4 a4 b )

¿ (8÷ 4 )× (a6 ÷ a4 )× (b3 ÷ b1 )

¿2a6−4 b3−1

¿2a2 b2.

2.4 Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Pada rumus am÷ an=am−n, jika m = n maka diperoleh :

am÷ an=am−n

an÷ an=an−n

1=a0

Jadi, a0=1 , a≠ 0 .

Jika m = 0, maka diperoleh

a0÷ an=a0−n

1÷ an=a−n

1an =a−n

Jadi , a−n= 1an ,a≠ 0 .

Contoh 2.4

1. Jika a = 5, tentukan nilai 4a−2!

2. Sederhanakan !

a. 4 a2 b× (3a b−1 )−2,

b .[ MLT −2

L2 ]÷[ L T−1

L ] .Penyelesaian :

1. a = 5

4 a−2=4 × 1a2 =4 × 1

25=0.16 .

2. a. 4 a2 b × (3 ab−1 )−2 = 4 a2 b × (3−2 a−2 (b−1)−2 )= 4 a2 b× (3−2a−2 b2 )

¿(4× 132 )× ( a2 a−2 ) × ( bb2 )

¿ 49

a0 b3

¿ 49

b3 .

b .[ MLT −2

L2 ]÷[ L T−1

L ]=( M L1−2T −2 ) ÷ ( L1−1T−1 )

¿ ( M L−1T−2 ) ÷ ( L0T−1 )

¿ ( M L−1T−2 ) ÷T−1

¿ M L−1T−2−(−1 )

¿ M L−1T−1

DAFTAR PUSTAKA

Neill, Hugh dan Douglas Quadling.2002 . Advance Level Mathematics: Pure Mathematics

1. Cambridge: Cambridge University Press.