Web viewtg20°tg40°tg80°= sin20°sin40°sin80° cos20°cos40°cos80° sin20°sin40°sin80°= 1 2 sin20° cos40°-cos120° = 1 2 sin20° cos40°+sin30° = 1 2 sin20

[Type the document title] [Year]

1.π4

<x< π2 баsin 2α=3

5 бол tgα-н утгыг ол

sin 2α= 2tgα1+tg2α

тул 2 tgα1+tg2α

=35⟹3 tg2α−10 tgα+3=0⟹ tg α1=3

tg α2=13ба π

4<x< π

2тул1< tgα<∞иймдtgα=3

2. sin2α=45болsin 6α+cos6α−нутгыгол

sin6α+cos6α=( sin2α+cos2α ) (sin4 α−cos2α sin2α+cos4 α )=1−3 sin2α cos2α=¿

¿1−34

sin 22α=1−34∙ 1625

=1325

3. 0¿ t< π2ба sin ( 4π+ t )=3

5болtg (π−t )−нутгыгол

0¿ t< π2

❑⇒

sin ( 4π+ t )=sint=35нөгөөталаас tg (π−t )=−tgt= −sint

√1−sin2t=

−35

√1− 925

=−34

4. π2<α<π , π

2<β<π , sinα=4

5, cosβ=−15

17болsin (α+β )−нутгыгол

sin (α+β )=sinαcos β+cosαsinβба. π2<α<π⟹ cosα=−√1−225

289=−18

17

π2<β<π⟹ sinβ=√1−16

25=3

5иймд sin (α+β )=4

5∙(−15

17 )+(−1817 ) ∙ 35=−84

85

5. sint∙cost=-0.5 бол sin4t+cos4 t−нутгыгол

sin 4t+cos4 t=1−2sin2 t cos2 t=1−2 14=1

2

6. cos(α+β)=13

cos (α−β )=15болtgα ∙ tgβ−нутгыгол

Cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=13

Cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=15эдгээрийг гишүүнчлэн нэмбэл 2cosαcosβ=

13+ 1

5= 8

15(1)

2-раас нь 1-рыг хасвал 2sinαsinβ=15−1

3=−2

15(2)

1 47-р сургууль С.Бямбаа


(1)(2)⟹ tgα ∙ tgβ= sinα ∙ sinβcosα ∙ cosβ

=−14

7. tgα+ctgα=mболtg2α+ctg2α−нутгыгол

tg2α+ctg2α=(tgα+ctgα)2−2=m2−2

8. tgα=−2бол sin3α+cos3α3cosα−sinα

−нутгыгол

sin3α+cos3α3 cosα−sinα

= tg3+13

cos2α− sinα

cos3α

= tg3α+13

cos2α−tgα ∙ 1

cos2α

= tg3α+11

cos2α(3−tgα )

= tg3α+1(1+tg2α )(3−tgα)

= −8+1(1+4 )(3+2)

=−725

9. 0<α< π2 ,0<β< π

2, ctgα=4 , ctgβ=5

3болα+β−нутгыгол .

Ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ

=4 ∙ 5

3−1

4+53

=1717

=1⟹α+β=π4

10. cosα=14sinα<cosα бол tgα−нутгыгол .

tgα=± √1−cos2αcosα

=±√15баsinα<cosα⟹ tgα<1тул tgα=−√15

11. cosα=√a2−b2 3 π2

<α<2 π болsinα , tgα ,ctgα−нутгыгол.

sinα=±√1−cos2α=±√1−a2+b2 гэвч 3 π2

<α<2 πтул sinα=−√1−a2+b2бусад нь адил

12. tgα= 413

бол 5 sinα+7cosα6cosα−3 sinα

−нутгыгол .

5 sinα+7 cosα6cosα−3 sinα

= 5 tgα+76−3 tgα

=5∙ 4

13+7

6−3 ∙ 413

=3722

13. A=1

1−sinαB= 1

1+sinαбол4 A2B2−2 AB=A2+B2болохыгбатал

4 A2B2−2 AB=2 AB (2 AB−1 )= 21−sin2α (4 2

1−sin2α−1)= 2

cos2α (2−cos2αcos2α )= 4−2cos2α

cos4α=

4−2(1−sin2α )(1−sin 2α )2 = 2+2 sin2α

(1−sinα )2(1+sinα )2=1+2 sinα+sin 2α+1−2 sinα+sin2α

(1−sinα)2(1+sinα)2 = 1(1−sinα )2 +

1(1+sinα )2=A2+B2болно

14. π<α<2π бол√ 11+cosα

+1

1−cosα∙ sinα=−√2болохыгбатал .



√ 11+cosα

+ 11−cosα

∙ sinα=√ 2sin2α

∙ sinα=±√2 гэвчπ<α<2 π⟹ sinα<0тул√ 11+cosα

+ 11−cosα

∙ sinα=−√2

байна.

15. sinα+cosα=aбол sinαcosα , sinα−cosα , sin3α+cos3α , sin4 α+cos4α−нутгуудыгол .

sinα+cosα=a⟹1+2 sinαcosα=a2⟹ sinαcosα=a2−12

(sinα−cosα )2=1−2 sinαcosα=1−a2+1=2−a2тул sinα−cosα=√2−a2

sin3α+cos3α=( sinα+cosα ) ( si n2α−sinαcosα+cos2α )=a (1−sinαcosα )=a(1−a2−12 )=a

2(3−a2)

sin 4α+cos4α=sin 4α+cos4α+2 si n2α cos2α−2 si n2α cos2α=1−2 si n2α cos2α=1−2( a2−12

)2

=1−a4−2a2+12

=2−a4+2a2−12

=2a2−a4+12

16. sin 4α+co s4α−sin6α−co s6α=si n2α cos2α батал .

sin 4α+co s4α−sin6α−co s6α=sin 4α (1−sin2α )+cos4α ( 1−cos2α )=sin4αco s2α+sin2αco s4α=si n2α cos2α

17. (sinα+cosα)2−1ctgα−sinαcosα

=2tg2αбатал

(sinα+cosα)2−1ctgα−sinαcosα

=(1+2 sinαcosα−1)sinα

cosα−sin2αcosα=2 sin2αcosα

cos3α=2 tg2α

18. M=secα+1N=secα−1болM 2−4=N (2M−N )болохыгбатал .

N (2M−N )=2MN−N 2=2 (sec2α−1 )−(secα−1)2=2 sec2α−2−sec 2α+2 secα−1=sec2α+2 secα+1−4=(secα+1)2−4=M 2−4

19. cos (−13 ° )sin 77 °+cos (−77° )sin 167 °0 ,1

+ tg2 45°

0 ,002илэрхийллийнутгыгол.

cos (−13 ° )sin 77 °+cos (−77° )sin 167 °0 ,1

+ tg2 45°

0 ,002= cos13 ° sin77°+cos 77° sin 13 °

0 ,1+ 1

0 ,002=10 sin 90°+500=510

20. 3 +cos15|cos15|

−нутгыгол .

15 радиан≈855 °=720 °+135 °тул cos15нь2−р мөчид оршихтул|cos15|=−cos15

иймд 3+cos15|cos15|

=2

21. sinα2−cos α

2=√0 ,1бол tgα−нутгыгол .

sinα2−cos α

2=√0 ,1⟹1−sinα=0 ,1⟹ sinα=0,9cosα=±√1−sin2α=±√1−0 ,81=±√0 ,19тулtgα=± 9

√19



22. sinα−cosα=1,2болcos3α−sin 3α−гол .

Sinα−cosα=1,2⟹1−2 sinαcosα=1 ,44⟹ sinαcosα=−0 ,22иймдcos3α−sin3α=(cosα−sinα ) ( cos2α+cosαsinα+sin 2α )=−1,2 (1−0,22 )=−0,936

23. tgα=17sinβ= 1

√10,0<α< π

2,0<β< π

2болα+2 β=π

4болохыгбатал .

0<β< π2тул cosβ=√1− 1

10=√ 9

10= 3

√10иймд tgβ=1

3tg 2β= 2tgβ

1−tg2 β=

23

1−19

=68=3

4

tg(α+2β)=tgα+tg 2β

1−tgα ∙ tg 2β=

17+ 3

4

1−17∙ 34

=1тулα+2 β=π4 болно.

24. 0¿α< π4, sinα+cosα=√7

2бол tg α

2−нутгыгол

sinα+cosα=√72⟹1+sin 2α=7

4⟹ sin 2α=3

4 (0<2α< π2тул)⟹ sin2α (1−sin2α )= 9

64sin2α=4−√7

8⟹ sinα=√ 4−√7

8нөгөөталаас sinα=

2tg α2

1+ tg2 α2

тул√ 4−√78

=2 tg α

2

1+tg2 α2

болно.

Иймд 0¿α< π4⟹ tgα<1тул tg α

2=1−√ 4+√7

8болно.

25. sinα=m2−n2

m2+n2 болtgα2−нутгыгол .

sinα=2 tg α

2

1−tg2 α2

томъёогашиглавал m2−n2

m2+n2 =2tg α

2

1−tg2 α2

❑⇒

(m2−n2 )tg2 α2+2 (m2+n2 ) tg α

2−(m2−n2)=0⟹ tg α

2=

(m±n )2

m2−n2 болно .

26. sin 22α−4 sin2αsin22α+4 sin2α−4

илэрхийллийгхялбарчилбал

sin22α−4sin2αsin22α+4 sin2α−4

= 4sin2α cos2α−4 sin2α4 sin2α cos2α+4 sin2α−4

=−sin4α−cos4α

=tg4α

27. sin3 2α ∙cos6α+cos3 2α ∙ sin6 α илэрхийллийгхялбарчилбал

sin 3α=3 sinα−4 sin3αтул sin 6α=3sin 2α−4sin3 2α эндээс sin3 2α=3 sin 2α−sin 6α4

үү нийадилcos 6α=4 cos3 2α−3cos 2α⟹cos3 2α= cos6 α+3cos2α4

тул



sin3 2αcos 6α+cos32αsin6α=( 34

sin 2α−14

sin6 α )cos6α+( 34

cos2α+ 14

cos6α)sin 6α=

34

(sin 6αcos 2α+sin 2αcos 6α )=34

sin 8α

28. 2(sin6α+cos6α )-3(sin4α+cos4α) илэрхийлэл α−схамаарахгү йболохыгбатал

2(sin6α+cos6α )-3(sin4α+cos4α) =2(sin2α+cos2α)(sin 4α−sin2α cos2α+cos4α)-3sin 4α−3cos4α=−( sin4α+2sin 2α cos2α+cos4α )=−(sin2α+cos2α )2

=−1

29. 3+4 cos4 α+cos8α3−4cos 4α+cos8α

илэрхийллийгхялбарчил

3+4 cos4 α+cos8α3−4cos 4α+cos8α

=3+4 cos 4 α+2 cos2 4 α−13−4 cos4 α+2cos24 α−1

=2(1+2 cos4 α+cos2 4α )2(1−2cos4 α+cos2 4α )

=(1+cos 4 α)2

(1−cos 4α )2=(2cos22α)2

(2sin 22α)2 =ctg4α

30. sin6α1−tg2α

+ cos6α1−ctg2α


sin6α1−tg2α

+ cos6α1−ctg2α

= sin 6α cos2αcos2α−sin2α

− sin2α cos6αcos2α−sin 2α

=sin2α cos2α (sin 4−cos4α )

cos2α−sin 2α=−sin 2α cos2α

31. 2 sin2α

tgα (−2 sin2α+1 )илэрхийллийгхялбарчил

2 sin2αtgα (1−2sin 2α )

= 2sin 2αcosαsinα ∙cos2α

= sin 2αcos2α

=tg2α

32. (1-sin2α)(1+tg2α)-cos2α илэрхийллийгхялбарчил

(1-sin2α)(1+tg2α)-cos2α=cos2α (1+tg2α )−cos2α=cos2α tg2α=sin2α

33. 1sinα

−cosαctgα илэрхийллийгхялбарчил

1sinα

−cosαctgα=1−cos2αsinα

=sinα

34. tg2α1−cos2α

+tg2α (tg2α−1)

2sin 2αилэрхийллийгхялбарчил

tg2α1−cos2α

+tg2α ( tg2α−1 )

2 sin 2α= sin 2α

cos2α 2 sin2α+

sin 2α (sin2α−cos2α )cos2α ∙cos2α ∙2sin 2α

= 12cos2α

− 12cos2α

=0

35.cos2(3 π4

−α)+0 ,5 sin 2α илэрхийллийгхялбарчил

cos2(3 π4

−α)+0 ,5 sin 2α =12=

1+cos ( 3π2

−2α)2

+ sin 2α2

=12− sin 2α

2+ sin 2α



36. cos(α−β)(tgα ∙ tgβ−1)+(1+ tgα ∙ tgβ)cos(α+β) илэрхийллийгхялбарчил

cos(α−β)(tgα ∙ tgβ−1)+(1+ tgα ∙ tgβ)cos(α+β)=−cos (α−β ) cos (α+β )

cosα ∙ cosβ+

cos (α−β ) cos (α+β )cosα ∙ cosβ

=0

37. 1+cos2α

ctg α2−tg α

2


1+cos2α

ctg α2−tg α

2

=2cos2α ∙ sin α

2∙ cos α

2cosα

=sinα ∙ cosα=12

sin 2α

38. sinα+2 sin 5 α

2cos 5α

2

1+cosα−2sin 2 5 α2


sinα+2sin 5 α2

cos 5α2

1+cosα−2sin 2 5 α2

= sinα+sin 5αcos5α+cosα

= 2sin 3α ∙cos2α2 cos3α ∙cos2α

=tg3α

39. sin2α−tg2αcos2α−ctg2α


sin2α−tg2αcos2α−ctg2α

=( sin2α cos2α−sin2α )sin 2αcos2α ( sin2α cos2α−cos2α )

= −sin2α sin2α sin2α−cos2α cos2α cos2α

=tg6α

40. cosα ∙ ctg α−sin α tg α

1+sin α cosαилэрхийллийгхялбарчил

cosα ∙ ctg α−sinα tg α1+sin α cosα

=

cos2αsinα

− sin2αcosα

1+sin α cosα= cos3α−sin3α

sinα cos α (1+sin α cos α )=

(cosα−sin α ) (1+sinα cos α )sin α cos α (1+sin α cos α )

=

cosα−sin αsinα cosα

= 1sinα

− 1cosα

41. 2cos 4 α (cos 4α−cos 2α)

cos4 α−cosα ∙cos3αилэрхийллийгхялбарчил

2cos 4 α (cos 4α−cos 2α )cos4 α−cosα ∙cos3α

= 2cos 4α (cos 4α−cos 2α )

cos 4α−12

cos 4α−12

cos2α=2 cos 4α (cos 4α−cos2α )

12(cos 4α−cos2α )

=4 cos 4α

42. sinα+tgα

tgα−cosα+1илэрхийллийгхялбарчил

sinα+tgαtgα

−cosα+1= sinα (cosα+1)cosαsinαcosα

+1−cosα=cosα+1+1−cosα=2



43. √sin4α+cos2α+√cos4α−cos2α илэрхийллийгхялбарчил

√sin4α+cos2α+√cos4α−cos 2α=√sin4α−2 sin2α+1+√cos4α−2cos2α+1=|sin2α−1|+|cos2α−1|=1−sin 2α+1−cos2α=2−1=1

44. (1-cos2α )tg(π2−α) илэрхийллийгхялбарчил

(1-cos2α )tg(π2−α)=2sin2α ∙ ctgα=sin2α

45. cos(3π2

+α)sin(π−α) илэрхийллийгхялбарчил

cos(3π2

+α)sin(π−α)=sinα ∙ sinα=sin2α

46. sin( π6 +α )cosα−cos ( π6

+α )sinα илэрхийллийгхялбарчил

Sin( π6 +α )cosα−cos( π6 +α)sinα=sin( π6 +α−α)=sin π6=1

2

417. cos(3π2

+ π6 )sin(2π−

π6 ) илэрхийллийгхялбарчил

cos(3π2

+ π6 )sin(2π−

π6 )=sin

π6 (−sin π

6 )=-14

48. sin(π−π3 )cos(2π−

π4 )sin(

π2+ π

6 )илэрхийллийгхялбарчил

sin(π−π3 )cos(2π−

π4 )sin(

π2+ π

6 )=sinπ3

cos π4

cos π6=√3

2∙ √2

2∙ √3

2=3√2

8

49. cos(π2+ π

3 )sin(3π2

+ π3 )ctg(

π2+ π

3 ) илэрхийллийгхялбарчил

cos(π2+ π

3 )sin(3π2

+ π3 )ctg(

π2+ π

3 )=-sinπ3 (−cos π

3 )(−tg π3 )=−√3

2∙ 12∙√3=−3

4

50. tg( π2 −α )cos (2π−α )

sin ( π2 +α)ctg (π−α )илэрхийллийгхялбарчил

tg( π2 −α )cos (2π−α )

sin ( π2 +α)ctg (π−α )= ctgα ∙ cosα

−cosα ∙ctgα=−1



51. cos(π6−α

4 )sin(π3−α

4 )sinα4илэрхийллийгхялбарчил

cos(π6−α

4 )sin(π3−α

4 )sin

α4=1

2 [sin(π2−α2 )+sin π

6 ]sin α4=1

2 (cos α2+ 1

2 )sin α4=1

2sin α

4cos α

2+ 1

4sin α

4= 1

4 (sin 34α−sin α

4 )+ 14

sin α4=1

4sin 3α

4

52. 2cos23α+√3sin 6 α−1илэрхийллийгхялбарчил

2

cos23α+√3sin 6 α−1=cos6α+√3sin 6α=2( 12

cos6α+ √32

sin 6α)=2(cos π3

cos6α+sin π3

sin 6 α)=2 cos( π3 −6α )53. Хэрэв sinα−cosα=1, 4болtg α

2−нутгыгол .

1,4=sin

α−cosα=2 tg α

2

1+tg2 α2

−1−tg2 α

2

1+tg2 α2

=2 tg α

2−1+ tg2 α

2

1+tg2 α2

⟹7+7 tg2 α2=10tg α

2+5 tg2 α

2−5⟹2tg2 α

2−10 tg α

2+12=0⟹ tg2 α

2−5 tg α

2+6=0⟹ tg α

2=2 , tg α

2=3

54. 12

sin2(2α+ 3 π2 )−2 ( cos4α+sin4 α )+2 (cos6α+sin6α )илэрхийллийгхялбарчил

12

sin2(2α+ 3 π2 )−2 ( cos4α+sin4 α )+2 (cos6α+sin6α )=1

2cos22α−2 (cos4α+sin4α )+2 ( sin2α+cos2α ) (sin 4α−sin2α cos2α+cos4 α )=1

2cos22α−2 cos4α−2 sin 4α+2 sin4α−2 sin2α cos2α+2 cos4 α=1

2cos2 2α−2sin 2α cos2α=1

2(cos2 2α−sin2 2α )=1

2cos 4 α

55. sin 8α+sin 9α+sin 10α+sin11α+sin 12α

cos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12αилэрхийллийгхялбарчилж tg 5α=cos20 °cos 40 °cos 80° ү ед

илэрхийллийн утгыг ол

sin 8α+sin 9α+sin 10α+sin11α+sin 12αcos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12α

=(sin 8α+sin 12α )+ (sin 9α+sin 11α )+sin 10α

(cos8α+cos12α )+ (cos9α+cos11α )+cos10α= 2sin 10αcos 2α+2sin 10αcosα+sin 10α

2 cos10αcos2α+2 cos10αcosα+cos10α=

sin 10α(2 cos2α+2cosα+1)cos10α (2cos2α+2cosα+1)

=tg10α= 2 tg5α1−tg2 5α

нөг өөталаасө гө гдс өннө хцө лёсоорtg 5α=sin 20 ° cos20 °cos 40 ° cos80 °2sin 20 °

= sin 40° cos 40° cos80 °2sin 20 °

= sin 80 °cos 80°4sin 20 °

= sin 180 °8sin 20 °

=sin (180 °−20 ° )

8 sin 20 °=1

8тул 2tg 5α

1−tg25α=

2 ∙ 18

1− 164

=1663

56. 8sin2 15 π16

cos2 17 π16

−1илэрхийллийн утгыг ол

8

sin2 15 π16

cos2 17 π16

−1=8 sin2(π− π16 )cos2(π+ π

16 )−1=2 ∙4sin2 π16

cos2 π16

−1=2sin2 π8−1=2 ∙

1−cos π4

2−1=−cos π

4=−√2

2

57. cos59π15

∙ tg 46π15

+sin (−31 π15

)илэрхийллийн утгыг ол.



cos59π15

∙ tg 46π15

+sin(−31π15 )=cos (4 π− π

15 ) tg(3π+ π15 )−sin(2 π+ π

15 )=cos π15

∙ tg π15

−sin π15

=0

58. cos π33

cos 2π33

cos 4 π33

cos 8 π33

cos 16π33 илэрхийллийн утгыг ол

cos π33

cos 2π33

cos 4 π33

cos 8π33

cos 16 π33

=2sin π

33cos π

33cos 2 π

33cos 4 π

33cos 8π

33cos 16 π

33

2 sin π33

=2 sin π

33cos 2π

33cos 4 π

33cos 8 π

33cos 16 π

33

4 sin π33

=…=sin 32 π

33

32sin π33

=sin (π− π

33)

32sin π33

=+132

59.cos π15

cos 2π15

cos 3π15

cos 4 π15

cos 5 π15

cos 6 π15

cos 7π15 илэрхийллийн утгыг ол

cos π15

cos 2π15

cos 3π15

cos 4 π15

cos 5 π15

cos 6 π15

cos 7π15

=cos12° cos24 ° cos36 ° cos 48° cos60 ° cos72° cos84 °= sin 24°2 sin 12 °

∙ sin 48 °2 sin24 °

∙ sin 72°2sin 36°

∙ sin 96 °2sin 48 °

∙ 12∙ sin 144 °2 sin 72°

∙ sin 168 °2sin 84 °

= 1128

∙ sin 96 °sin 144 ° sin 168 °sin 12° sin 36 °sin 84 °

= 1128

∙ sin (90 °+6 ° )sin (180 °−36 ° ) sin (180°−12° )sin12 ° sin36 ° sin (90 °−6 °)

= 1128

∙ cos 6° sin 36 ° sin12°sin 12 °sin 36 ° cos6 °

= 1128

60. cos9π17

cos 13π17

cos 15 π17

cos 16 π17 илэрхийллийн утгыг ол

Cos

9π17

cos 13π17

cos 15 π17

cos 16 π17

=(−cos 8π17 )(−cos 4 π

17 )(−cos 2π17 )(−cos π

17 )=cos π17

cos 2π17

cos 4 π17

cos 8 π17

=2sin π

17cos π

17cos 2 π

17cos 4 π

17cos 8π

17

2sin π17

=…=sin 16 π

17

16 sin π17

=sin (π− π

17 )16 sin π

17

= 116

61. cosπ

65cos 2π

65cos 4 π

65cos 8 π

65cos 16 π

65cos 32π

65 илэрхийллийн утгыг ол

Cos

π65

cos 2π65

cos 4 π65

cos 8 π65

cos 16 π65

cos 32π65

=2sin π

65cos π

65cos 2π

65cos 4 π

65cos 8 π

65cos 16 π

65cos 32π

65

2sin π65

=…=sin 64 π

65

64 sin π65

= 164

62. sin 4 π16

+sin4 3 π16

+sin4 5 π16

+sin 47 π16илэрхийллийн утгыг ол

sin 4 π16

+sin4 3 π16

+sin4 5 π16

+sin 47 π16

=(1−cos π8

2 )2

+(1−cos 3π8

2 )2

+( 1−cos 5 π8

2 )2

+( 1−cos 7 π8

2 )2

=( 1−cos π8

2 )2

+(1−cos 3 π8

2 )2

+(1+cos 3π8

2 )2

+( 1+cos π8

2 )2

=14 (4+2cos2 π

8+2cos2 3π

8 )=14 (4+1+cos π

4+1+cos 3π

4 )=14 (6+cos π

4−cos π

4 )=32

63. sin18°−нутгыгол .

α=18 ° болsin 2α=cos3 x⟹2 sinαcosα=4 cos3α−3 cosα cosα ≠0тул 2 sinα=4 (1−sin2α )−3⟹4 sin2α+2 sinα−1=0⟹ sinα=−1±√54

гэвч sin18 °>0тул sin 18 °=√5−14

байна .

64. cos36°−нутгыгол.

cos36°=1−2sin 218 °=1−2(√5−14 )

2

=√5+14



65. tg2 π

24−2 tg π

24+1

tg2 π24

+2 tg π24

+1илэрхийллийнутгыгол

tg2 π24

−2 tg π24

+1

tg2 π24

+2 tg π24

+1=( 1−tg π

24

1+tg π24

)2

=( tg π4−tg π

24

1+tg π4∙ tg π

24)

2

=tg2 5 π24

=1−cos 5π

12

1+cos 5π12

=1−cos75 °1+cos75 °

=1−cos (90 °−15° )1+cos (90 °+15 ° )

=1−sin 15 °1+sin 15 °

=1−√ 1−cos30 °

2

1+√ 1−cos 30°2

=1−√2−√3

2

1+ √2−√32

=2−√2−√32+√2−√3

66. tg2 π8, ctg2 π

8кв x2−6 x+1=0тэгшитгэлийнязгууруудболжчадахуу ?

tg2 π8=

1−cos π4

1+cos π4

=2−√22+√2

=2−√22+√2

∙ 2−√22−√2

=6−4√22

=3−2√2 ctg2 π8= 2+√2

2−√2=

(2+√2 ) (2+√2 )2

=3+2√2иймдtg2 π8+ctg2 π

8=6 tg2 π

8∙ ctg2 π

8=¿

1 тул Виетийн урвуу теоромоор tg2 π8, ctg2 π

8кв x2−6 x+1=0тэгшитгэлийнязгууруудболно .

67. 3−4 cos20 °+cos 40°3+4 cos20 °+cos40 °

=tg4 10 ° болохыгбатал

3−4cos20°+cos 40°3+4 cos20 °+cos40 °

=3−4 cos 20°+2cos220 °−13+4cos20 °+2cos221 °−1

=2(1−2cos20°+cos220 °)2(1+2 cos20 °+cos221 °)

=( 1−cos20 °1+cos20 ° )

2

=tg410 °

68. tg2 12°+ctg2 12°−6

tg212 °+ctg212 °+2=cos 48° болохыгбатал

tg2 12°+ctg2 12°−6tg212 °+ctg212 °+2

=( tg12°−ctg12 ° )2−4

( tg12 °+ctg12 ° )2=

(−2 cos24 °sin 24 ° )

2

−4

( 2sin 24 ° )

2 =4 (cos224 °−sin2 24 ° )

4=cos 48°

69. √2−√2+√2+√3

√2+√2+√2+√3=tg π

48(1 )болохыгбатал

cos

π12

=√ 1+cos π6

2=√2+√3

2⟹√2+√3=2cos π

12 √2+2cos π12

=√4 (1+cos π

122

)=2cos π24 √2−2cos π

24=√4(

1−cos π24

2)=2 sin π

48үү ний адил

√2+√2+√2+√3=2cos π48

болохтул (1 )биелнэ.

70. 18tg π

7=sin π

21sin π

7sin 8 π

21болохыгбатал .



4sin

α ∙ sin( π3 −α)sin( π3 +α)=4 sinα ∙ 12 [cos2α−cos 2π

3 ]=2 sinα (1−2sin2α+cos π3 )=2 sinα−4 sin3α+sinα=.3 sinα−4 sin3α

=sin3α тулsin π7

=sin 3 π21

=4 sin π21

∙ sin ( π3− π

21)∙ sin ( π

3+ π

21)=4sin

π21

∙sin 2π7∙sin 8π

21болноИймдs∈ π

21∙ sin π

7∙ sin 8π

21=4 sin2 π

21sin2 8 π

21sin 2π

7=

16 sin2 π21

sin2 8π21

sin2 2π7

4sin 2 π7

=sin2 π

7

4 sin 2π7

=sin2 π

7

8sin π7

cos π7

=18tg π

7болно

71. cos 2 π11

+cos 4 π11

+cos 6 π11

+cos 8π11

+cos 10π11

илэрхийллийнутгыгол

cos 2π11

+cos 4 π11

+cos 6 π11

+cos 8 π11

+cos 10 π11

=2sin π

11cos 2 π

11+2 sin π

11cos 4 π

11+2 sin π

11cos 6π

11+2 sin π

11cos 8π

11+2sin π

11cos 10π

11

2sin π11

= 1

2sin π11

(sin 3π11

−sin π11

+sin 5 π11

−sin 3π11

+sin 7 π11

−sin 5π11

+sin 9π11

−sin 7 π11

+sin 11π11

−sin 9 π11 )= 1

2 sin π11

(−sin π11)=−1

2

72. tg12 °cos24 °

+ tg 24 °cos48 °

+ tg 48°cos96 °

+ tg 96 °cos192 °

илэрхийллийнутгыгол

tg 12°cos24 °

+ tg24°cos 48 °

+ tg 48 °cos96 °

+ tg96 °cos192°

= sin 12°cos12° ∙cos24 °

+ sin 24 °cos 24 ° ∙cos 48°

+ sin 48 °cos48 ° ∙cos 96 °

+ sin 96°cos96 ° ∙cos 192°

=( tg 24 °−tg12 ° )+ (tg 48 °−tg24 ° )+ ( tg96 °−tg48 ° )+( tg 192°−tg 96 ° )=tg 192°−tg12 °=tg (180 °+12 ° )−tg12 °=tg 12°−tg12°=0(энд tgα−tgβ=sin (α−β )cosαcosβ

томъёоашиглав )73. cos6° ∙cos 42° ∙cos66 ° ∙cos78 ° илэрхийллийнутгыгол

cos6° ∙cos 42° ∙cos66° ∙cos78 °=14

(cos72 °+cos60 ° ) (cos 120°+cos 36° )=14 (sin 18 °+ 1

2 )(cos36 °−12 )=1

4 [sin 18 °sin 36 °+ 12

cos36 °−12

sin 18 °−14 ]=1

4 ( 12

(sin 54 °−sin 18° )+ 12

sin 54°−12

sin18°− 14 )=1

8sin 54 °−1

8sin18 °+ 1

8sin 54 °−1

8sin 18°− 1

16=1

4sin54 °−1

4sin 18°− 1

16=14 ∙2∙cos36 ° ∙ sin 18 °− 1

16=12 sin 54 ° ∙ sin 18 °− 1

16=12

(3sin 18°−4 sin318 ° ) sin 18°− 116 =

32 (√5−1

4 )2

−2(6−2√5 )2

256

- 116

=18−6√532

−56−24 √5128

− 116

=18− 1

16= 1

16

74. sin6° ∙sin 12 ° ∙ sin 18° ∙ sin 24 ° ∙…∙ sin 84 °илэрхийллийнутгыгол

Sin3α=4 sinα ∙ sin (60 °−α )sin (60 °+α )томъёогашиглая

sin6

° ∙sin 12° ∙ sin 18° ∙ sin 24 ° ∙…∙sin 84 °=4 sin 6 ° ∙ sin54 ° ∙sin 66 °4

∙ 4 sin 12° ∙sin 48° ∙ sin72 °4

∙ 4 sin 18 °∙ sin 42 ° ∙ sin 78°4

∙ 4 sin 24 ° ∙ sin 36° ∙ sin 84 °4

∙ sin 30 °sin 60 °=12∙ √3

2∙ 1

4∙ sin18 ° ∙ 1

4∙ sin 36 ° ∙ 1

4∙sin 54 ° ∙ 1

4∙ sin 72°=√3

210 sin18 ° ∙sin 36 ° ∙sin 54 ° ∙ sin72 °=√3210 ∙

12

(cos54 °−cos 90 ° ) ∙ 12

(cos18 °−cos90 ° )= (cos4 ° ∙cos8° ∙…∙cos84 ° ∙cos88 °−д cos3α=4 cosα cos (60°−α ) cos (60 °+α )−г хэрэглэжболно . )=√3212 sin 36 °sin 18 °=√3

213 (1+√54

+ √5−14 )=√15

214

75. tg20 ° tg 30 °tg 40 ° c tg10 ° илэрхийллийн утгыг ол

tg3 α=tg (2α+α )= tg 2α+α1−tg2α ∙ tgα

=

2 tgα1−tg2α

+tgα

1− 2tgα1−tg2α

tgα=3 tgα−tg3α

1−3 t g2αтул tg3α=tgα ∙tg (60°−α ) tg (60°−α )болно .Иймд tg20 ° tg30 ° tg40 ° c tg 10°=tg30 ° (tg20 ° tg40 ° tg80 ° )=tg 30 ° ctg20 ∙tg (60 °−20 ° ) tg (60 °+20° )=tg30° tg60 °=1



76. ctg70°+4 cos70 °

sin 18 °sin 54 °илэрхийллийн утгыгол

ctg70 °+4 cos70 °sin 18 °sin 54°

= cos70 °+4 cos 70° sin 70 °sin 70° (3sin2 18°−4 sin4 18° )

= sin 20 °+4 sin 20° cos20 °cos20 °(3 sin218 °−4 sin 418 ° )

= sin 20 °+sin 40 ° sin 40 °cos 20° (3sin 218 °−4sin4 18 °)

= 2sin 30° cos10 °+cos50 °

cos20 ° [3(√5−14 )

2

−4 ( √5−14 )

4 ]=2 cos30 ° ∙cos 20°

cos20 ° ∙ 14

=4√3

77.cos 2π

7+cos 4 π

7+cos 6 π

7sin 10° sin 50 °sin 70 °

илэрхийллийн утгыгол

cos 2π7

+cos 4 π7

+cos 6 π7

=2 cos 3 π7

cos π7+2co s2 3π

7−1=2cos 3 π

7 (cos π7

+cos 3π7 )−1=2cos 3 π

7∙2cos 2π

7cos π

7−1=4 cos π

7cos 2 π

7cos (π−4 π

7 )−1=−2 ∙2 sin π

7cos π

7cos 2 π

7cos 4 π

7

sin π7

−1=−2sin 2 π

7cos 2π

7cos 4 π

7

sin π7

−1=−sin 8 π

7

2sin π7

−1=12−1=−1

2sin 10° sin 50°sin 70 °=sin 10 ° sin 20° sin 40 °=sin10 ° ∙ 1

2(cos66 °+cos 20° )=1

4sin10 °+ 1

2sin 10 °cos 20°=1

4sin10 °+ 1

4(sin 30°−sin 10 ° )=1

8тул−1

2÷ 1

8=−4

78. cos 11 π

5−cos 2π

5sin 12° sin 24 °sin 48° sin 84 °


cos 11 π5

−cos 2π5

=−2 sin 13 π10

sin 9π10

=−2 sin(π+3 π10 )sin(π− π

10 )=2 sin 3 π10

∙ sin π10

=2sin 18 °sin 54 °=2 sin18° (3 sin 18°−4sin 318 ° )=6 sin218°−8sin4 18°=6( √5−14

)2

−8(√5−14

)4

=12

sin 12° sin 24 ° sin 48 ° sin 84 °=sin 12 °sin 24 ° sin 48 ° sin 6°=12

(cos36 °−cos 60° ) ∙ 12

(sin 30 °+sin 18 ° )=14 (cos36 °−1

2 )∙ (12+sin 18°)=1

4 (√5+14

−12 )(√5−1

4+ 1

2 )=14 ( 5−1

16−√5−1

8+ √5+1

8−1

4 )=14∙ 28= 1

16, 12÷ 1

16=8

79.

sin 10 °sin 20 ° sin 30° sin 40 ° sin 50° sin 60 °sin 70 ° sin 80°=sin 10° cos10 ° sin20 ° cos20 ° sin 40 °cos 40 ° ∙ 12∙ √3

2=√3

32sin 20° ∙ 1

2(cos 40 °−cos120 ° )=√3

64sin 20 ° (cos40 °+sin 30 ° )=√3

64sin 20°cos 40°+ √3

128sin 20°=√3

64∙ 12

(sin 60°−sin 20 ° )+ √3128

sin 20°= 3256

− √3128

sin 20°+ √3128

sin 20 °= 3256

80. tg 20° tg 40 ° tg80 °

cos24 °+cos 48 °−cos84 °−cos12 °илэрхийллийн утгыгол

tg 20° tg 40 °tg 80°= sin 20 °sin 40° sin 80 °cos20° cos 40 °cos 80°

sin20 ° sin 40 ° sin 80°=12

sin 20° (cos 40°−cos120 ° )=12

sin 20 ° (cos 40°+sin 30° )=12

sin 20° cos 40°+ 14

sin 20 °=14

(sin 60 °−sin 20 ° )+ 14

sin 20 °=√38

cos20 ° cos40 ° cos80 °=2sin 20° cos20 ° cos40 ° cos80 °2sin 20 °

=…=sin 160 °8sin20

=18тул tg 20° tg 40 ° tg 80°=√3

cos24 °+cos48 °−cos 84 °−cos 12°=2sin 54 ° sin 30°−2sin30 ° sin 18°=sin 54 °−sin 18 °=2cos36 ° sin18 °=2sin 54 ° sin 18 °=2 (3 sin218 °−4 sin 418 ° )=2∙ 14=1

2 √3÷ 12=2√3

81. tg9 °−tg 63 °−tg 27°+tg 81 °

cos π7

cos 4 π7

cos 5 π7


tg 9°−tg63 °−tg27 °+tg81 °=tg 9°+ctg 9°−(ctg 27°+tg 27 ° )= sin 9 °cos9 °

+ cos 9°sin 9 °

−( cos27°sin 27°

+ sin 27 °cos27 ° )= 2

sin 18 °− 2

sin54 °=2( sin54 °−sin 18 °

sin 54 ° sin 18° )=2 ∙ 2 cos36 °sin 18°sin 54 ° sin18 °

=4 cos π7

cos 4 π7

cos (π−2π7 )=−cos π

7cos 2π

7cos 4 π

7=

−2sin π7

cos π7

cos 4 π7

cos 5 π7

2 sin π7

=…=−sin 8π

7

8 sin π7

=−18

4÷(−18 )=−32



82. sin π

14+sin 5π

14−s∈ 3π

14cos20° cos 40 °cos 80°


sin π14

+sin 5 π14

−sin 3 π14

=2cos π

14(sin π

14+sin 5π

14−sin 3π

14)

2 cos π14

=sin 3 π

7

2 cos π14

=sin ( π

2− π

14)

2cos π14

=cos π

14

2cos π14

=12

cos20 ° cos40 ° cos80 °=2sin 20° cos20 ° cos40 ° cos80 °2sin 20 °

=…= sin 160 °8 sin 20 °

= sin20 °8 sin20 °

=18тул 1

2÷ 1

8=4

83. cos15°cos25°cos35°cos85° илэрхийллийн утгыгол

cos15°cos25°cos35°cos85

°=12

(cos 60°+cos 10° ) 12

(cos110°+cos70 ° )=14 (1

2+cos10 °)(sin 20 °−sin 10 ° )= 1

4 (12

sin 20°+sin20 ° cos10°−12

sin 10°−sin 10 °cos10 °)=14 (sin 10° cos10°+1

2(sin 30°+sin 10 ° )−1

2sin 10 °−sin 10 ° cos10° )= 1

4∙ 14= 1

16

84. tg20°+tg 40 °−tg60°+tg 80 °илэрхийллийг хялбарчил

tg20

°+tg 40°−tg60°+tg 80 °= sin 20°cos20 °

+ sin 40 °cos40 °

+ sin 80°cos80 °

− sin 60 °cos60 °

= sin 60 °cos20 ° cos40 °

+ sin 20 °cos60° cos80 °

= sin 60°cos20 °cos 40 °

+ 2 sin20 °cos80 °

= sin 60° cos 80°+sin 40° cos 40°cos20 ° cos 40° cos80 °

=

√32

sin 10°+ 12

cos10 °

18

= sin 10° cos30 °+sin 30 °cos 10°18

=8sin 40°

85. cos2 73°+cos2 47 °+cos73 ° cos47 °4 sin 10°+tg 20° tg 40 °


cos273 °+cos247 °+cos 73° cos 47°=(cos73°+cos47 ° )2−cos73 ° cos47 °=(2 cos60 °cos 13° )2−12

(cos120 °+cos26 ° )=cos2 13°+ 14−1

22cos213°+1

2= 3

44 sin 10 °+ tg20 °tg 40 °=4 sin 10 °+ sin 20° sin 40 °

cos 20° cos 40°=4 sin 10 °+

12(cos20 °−cos60 °)

12(cos20°+cos60 ° )

=4 sin10 °+ 2cos 20°−12 cos20 °+1

=8 sin 10 ° cos20 °+4sin 10 °+2 cos20°−12cos20 °+1

=4 sin 30 °−4 sin 10°+4sin 10 °+2cos 20°−12 cos20°+1

=2cos20 °+12cos20 °+1

=1тул 34÷1=3

4

86. sin10°+sin30°+sin50° илэрхийллийг хялбарчил

sin10°+sin30°+sin50

°=2 sin10 ° (sin10°+sin 30 °+sin 50° )2 sin10 °

=2 sin210 °+2sin 10° sin 30°+2 sin 50 °sin 10 °2 sin 10 °

=2 sin210°+cos20 °−cos 40 °+cos40 °−cos60°2sin10 °

=2 si n2 10°+1−2 si n210 °−1

22sin 10 °

=14cosec10 °

87. sin47°+sin61°-sin11°-sin25° илэрхийллийг хялбарчил

sin47°+sin61°-sin11°-sin25

°=2 cos29 ° sin 18°+2 cos 43° sin 18 °=2sin 18° (cos29 °+cos 43° )=2sin18 ° ∙2 cos36 ° ∙cos7°=4 sin18 ° sin 54 °cos 7 °=4 ∙ 14∙cos7 °=cos7 °

88. cos5 ° cos55° cos65 ° илэрхийллийн утгыгол

cos

5 ° cos55° cos65 °=12

cos 5° (cos120 °+cos10 ° )=12

cos5 ° (cos10 °−sin 30 ° )=12

cos5 ° cos10 °−14

cos5 °=12∙ 12

( cos15°+cos 5° )−14

cos5 °=14

cos15 °=14 √ 1+cos 30°

2=

14∙ √2+√3

2=√2+√3

8∙ √2√2

=√4+2√38√2

=1+√38√2



89. sin2 10 °+sin250 °+sin2 70° илэрхийллийн утгыг ол

sin2 10 °+sin250°+sin2 70=1−cos 20°2

+1−cos100 °2

+ 1−cos140 °2

=12

(3−cos20+2cos20° sin30 ° )=32

90. sin2 20 °+sin2 40 °+sin280 ° илэрхийллийн утгыгол

sin2 20 °+sin2 40 °+sin280 °=12

(3−cos 40 °−cos80 °−cos160° )=12

(3−cos 40 °−2cos40 ° cos120 ° )=12

(3−cos40 °+cos 40 ° )=32

91.

cos4 10°+cos4 50 °+cos470°=( 1+cos20 °2

)2

+( 1+cos 110°2

)2

+( 1+cos140 °2

)2

= 14

(3+2 (cos20 °+cos108°+140 ° )+(cos220 °+cos2108 °+cos2140 ° ))= 14 (3+2 (cos20 °+2 cos20 °cos 120° )+ 1

2(1+cos 40°+1+cos 200°+1+cos 280° ))=1

4 (3+2 (cos20 °−cos20 ° )+ 12

(3+cos 40 °+2cos 240° cos 40° ))= 14 (3+ 1

2(3+cos 40 °−cos 40 ° ))= 1

4 (3+ 32 )=9

8

92.

tg210 °+tg250 °+tg270°=1−cos 20°1+cos20 °

+1−cos100 °1+cos100 °

+ 1−cos 140°1+cos140 °

эндер өнхий хуваарьнь (1+cos20° ) (1+cos100 ° ) (1+cos140° )=8 cos210 ° cos250 ° cos270° болохбатохируулах ү ржигдэх үү нээрү ржүү лж эмхэтгэвэл

tg210 °+tg250 °+tg270°=3−1

2(cos 80 °+2cos120 °+cos160 °+cos 40 °+cos240 ° )−3cos20 ° cos40 ° cos80 °

8cos210 ° cos250° cos2 70 °болно .

Энд cos80

°+2 cos120 °+cos160 °+cos40 °+cos240 °=sin 10 °−2sin 30 °−cos20°+cos 40 °−sin 30 °=sin 10 °+cos40 °−cos20 °−32=sin 10°−2 sin30 ° sin 10°−3

2=sin10 °−sin 10°−3

2=−3

2

Cos20°cos40°cos80

°=18

(ө мнөбодсоноор ) (2 )болно.8 cos210 ° cos250 ° cos270 °=8(cos10 °cos50 ° cos70 °)2=8(cos10 ° ∙ 12(cos120 °+cos20°))

2

=2(cos10 °(cos 20°−sin 30°))2=2(cos10 ° cos20 °−12

cos10 °)2

=2(12

cos30 °+cos10 °−12

cos10 °)2

=12

cos230 °=38

(3 ) (1 )−д

(2)(3)-г ашиглав 3−1

2 (−23 )−3 ∙ 1

838

=9

93. tg4 10 °+ tg450 °+tg4 70 °илэрхийллийн утгыгол

tg4 10 °+ tg450 °+tg4 70°=(tg210 °+tg250 °+tg270 ° )2−2 (tg2 10° tg250 °+tg210 °tg2 70°+tg2 50° tg270 ° )энд 92−рбодлого ёсоор (tg210 °+ tg250 °+ tg2 70 ° )2=81−2 (tg2 10° tg250 °+tg210° tg2 70°+tg2 50° tg270 ° )=−2( 1−cos20°1+cos20 °

∙ 1−cos180 °1+cos180°

+ 1−cos20 °1+cos20°

∙ 1−cos 40°1+cos40 °

+ 1−cos100 °1+cos100 °

∙ 1−cos140 °1+cos140° )−д тохируулахү ржигдэх үү ныголжү ржүү лжэмхэтгэвэл

−3−(cos20 °+cos100 °+cos140 °)8 cos210 ° cos2 50° cos270 °

+−(cos20 ° cos100°+cos 20° cos140 °+cos100 ° cos140° )+3 cos 20° cos100 ° cos140°

8cos210 ° cos2 50° cos270 °=

−3−0+ 34+3 ∙ 1

812

cos2 30 °=−22болохтулtg 410 °+tg4 50 °+ tg470 °=81−22=59

94. 1

sin210 °+ 1

sin 250 °+ 1

sin2 70°илэрхийллийн утгыгол

1sin210 °

+ 1sin 250 °

+ 1sin2 70°

=1+ctg2 10 °+1+ctg250 °+1+ctg270 °=3+ctg210 °+ctg250°+ctg2 70° , ctg210 °+ctg2 50°+ct g270 °=33болно .Иймд 1sin210 °

+ 1sin2 50 °

+ 1sin270 °

=36болно.



95. 1

cos2 10°+ 1cos250 °

+ 1cos270 °


1cos2 10°

+ 1cos250 °

+ 1cos270 °

=3+tg2 10°+tg2 50°+tg270 °=3+9=12

96. sin7°+sin 43 °+sin 79 °+sin 115°+sin 151°+sin 187 °+sin 223°+sin259 °+sin 295 °+sin 331° илэрхийллийн утгыгол

Координатын эх дээр эхтэй 1 урттай ox тэнхлэгтэй 7 ° ,43 °,79 ° ,…,331 °векторуудийг авчү зье .Эдгээрвекторүү д өө р хоорондоо 36°−нөнцө гүү сгэнэ .Иймдвекторүү дий нтө гсг ө лүү д нь зө волон өнцөгтийн оройнуудүү сгэнэ .Иймд эрдгээр

векторүү дий ннийлбэр0байна .Иймд эдгээрвекторүү дий нкоординатынтэнхлэг дээрх проекцуудын

нйилбэр 0-тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл sin7°+sin 43 °+…+sin331 °=0байна .

97. tg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 ° илэрхийллийн утгыгол

tgα+tg (60 °+α )+tg (120 °+α )=3 tg3 α−г ашиглая

tg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 °= tg1°+tg 61°+tg 121°+tg 5°+tg 65°+ tg125 °+tg9 °+tg 69°+tg 129°+…+tg57 °+tg117 °+ tg177 °=3 ( tg 3°+tg 15 °+ tg27 °+…+tg 171° )=3 ( tg 3 °+ tg63 °+tg123 °+tg15 °+tg75 °+tg135 °+…+ tg51 °+tg 111°+tg 171° )=9 (tg 9°+tg 45°+tg 81 °+ tg117°+tg 153° )=9 (1+ tg9 °+ctg9 °−tg 27°−tg63 ° )болно.Энд

tg9°+ctg 9 °−tg 27°−tg63 ° нь81−рбодлогоор 4−тэйтэнцүү . Иймдtg1°+tg5 °+tg 9 °+…+tg177 °=9 (1+4 )=45

98. lg (2 ∙tg 1° )+lg (22∙ tg2 ° )+ lg (23 ∙tg 3 ° )+…+lg (289 ∙ tg 89°)lgsin 45°

илэрхийллийн утгыг ол

Нэг талаас lg (2 ∙ tg1 ° )+ lg (22 ∙ tg2 ° )+lg ( 23∙ tg3° )+…+ lg (289 ∙ tg89 ° )=lg2+lgtg1°+2 lg2+lgtg2 °+3lg 2+lgtg3°+…+89 lg2+lgtg89 °=(1+2+3+…+89 ) lg 2+lg (tg 1° ∙tg 2° ∙…∙tg 89 ° )=4005 ∙ lg2+lg (tg1° ∙ ctg1 ° ∙ tg 2° ∙ ctg2 ° ∙…∙tg 45 ° )=4005 lg2+lg1=4005 lg2

Нөгөө талаас lgsin45

°=lg √22

=12lg2−lg2=−1

2lg 2тул lg

(2 ∙tg 1° )+lg (22 ∙ tg2 ° )+lg (23 ∙ tg3 ° )+…+lg (289∙ tg 89° )lgsin 45°

=4005 lg2−12lg 2

=−8010

99. cos235 °+cos225 °−cos25 ° илэрхийллийн утгыгол

cos235 °+cos225 °−cos25 °=1+cos70 °2

+ 1+cos50 °2

−cos25 °=1+ 12

(sin 20°+sin 40 ° )−cos25 °=1+ 12

(2 cos25 °−1 )−cos2 5°=12

100. 1

2sin 10 °−2sin70 ° илэрхийллийн утгыгол

12sin 10 °

−2 sin70 °=1−4sin 10 ° cos20°2 sin 10°

=1−4 ∙ 1

2(sin 30 °−sin 10 °)

2sin 10 °=2 sin10 °

2 sin10 °=1

101. 1+cos40 °+cos80°

sin 80°+sin 40°∙ tg 40 °илэрхийллийн утгыгол



1+cos40 °+cos80 °sin 80°+sin 40°

∙ tg 40 °=1+cos80 °+cos40 °sin 80°+sin 40°

∙ tg 40 °= 2co s240°+cos 40 °2sin 40° cos 40°+sin 40 °

∙tg 40 °=cos 40° (2cos 40 °+1)sin 40 ° (2 cos 40°+1)

∙ sin 40°cos40 °

=1

102. 2(sin 2β+2co s2 β−1)cosβ−sinβ−cos 3 β+sin3 β

=cosecβ батал

2(sin 2β+2co s2 β−1)cosβ−sinβ−cos3 β+sin3 β

=2(sin 2 β+cos2 β)

2sin 2 β ∙ sinβ+2cos2β ∙ sinβ=

2(sin 2 β+cos 2β )2 sinβ (sin 2β+cos2 β)

=cosecβ

103. 3-4cos4β+cos8 β=8 si n4 2β батал

3-4cos4β+cos8 β=.3−4 (1−2sin22 β )+2cos2 4 β−1=−2+8 sin2 2β+2 (1−2sin2 2β )2=−2+8sin2 2β+2−8 s∈¿2 2 β¿+8sin42 β=8sin42 β

104. tg2α+ctg 2α+tg6 α+ctg 6α=8 cos2 4 αsin 12α

батал

tg2

α+ctg 2α+tg6 α+ctg 6α= sin 2αcos2α

+ cos2αsin 2α

+ sin 6αcos6α

+ cos6αsin 6α

= sin 8αcos2α ∙cos6α

+ sin 8αsin 2α ∙sin 6α

=sin 8α (cos2α ∙cos6α+sin2α ∙ sin 6α)

sin 2α ∙cos2α ∙ sin 6α ∙cos6α= sin 8α ∙cos4 α

14

sin 4 α ∙ sin12α=8 sin 4α ∙cos24 α

sin 4α ∙sin 12α=8 cos2 4α

sin 12α

105. 2sin (β+ π

3 )sin( β+ π6 )+cos 5π

6

2 sin(2β+ π3 )−√3 cos2 β

=1батал

2sin (β+ π3 )sin( β+ π

6 )+cos 5π6

2sin(2β+ π3 )−√3 cos2 β

=2∙ 1

2(cos π

6−cos ( π2 +2 β)+cos (π− π

6))

2sin 2 β ∙cos π3+2cos2 β ∙ sin π

3−√3cos2 β

=cos π

6+sin 2 β−cos π

6sin 2 β+√3 cos2 β−√3 cos2 β

=1

106. sin3β ∙ sin3 β+cos3 β ∙cos3 β=cos32 βбатал

sin3 β=3 sinβ−sin 3 β4

cos3 β=3cosβ+cos3 β4

томъёонуудыг ашиглавал

sin3

β ∙ sin3 β+cos3 β ∙cos3 β=3 sinβ−sin 3 β4

∙sin 3 β+3 cosβ+cos3 β4

∙cos 3β=34

(sinβ ∙sin 3β+cosβ ∙cos3 β )+ 14

( cos2 3β−sin23 β )=34∙cos2 β+ 1

4cos6 β=1

4(3 cos2 β+4cos3 2β−3 cos 2β )=cos3 2β

107. sin2 (2x− y )+sin2 y+2 sin (2 x− y ) cos2x ∙ siny=sin2 2x батал

sin2 (2x− y )+sin2 y+2sin (2 x− y ) cos2x ∙ siny=sin (2x− y )(sin (2x− y )+2cos2 x ∙ siny)+sin2 y=sin (2x− y ) ( sin (2 x− y )+sin (2 x+ y )−sin (2x− y ) )+sin2 y=sin (2 x− y )sin (2 x+ y )+sin2 y=12

(cos2 y−cos 4 x )+sin2 y=12

(1−2 sin2 y−1+2sin2 2x )+sin2 y=sin 22 x

108. sin2 2,5 β−sin2 1 ,5 βcos3 β ∙cos2 β+sin 4 β ∙ sin β

=4 sin2β батал



sin 22 ,5β−sin21 ,5 βcos3 β ∙cos2 β+sin 4 β ∙ sinβ

=(sin 2,5 β+sin1.5 β )(sin 2 ,5β−sin 1.5β )

12

(cos5 β+cosβ )+ 12(cos3 β−cos5 β)

=2(2sin 2 β ∙cos β

2 )(2 cos2β ∙ sin β2)

cosβ+cos3 β=

2 (2sin 2βcos 2β )(2sin β2

cos β2)

2cos2 βcosβ=2sin 2 β ∙ sinβ

cosβ=4 sin2 β ∙ cosβ

cosβ=4sin2 β

109. sin4α+cos4α−1sin6α+cos6α−1

=23батал

sin4α+cos4α−1sin6α+cos6α−1

= 1−2 sin2α cos2α−11 ∙ (1−3 sin2α cos2α )−1

=−2 sin2α cos2α−3 sin2α cos2α

=23

110. 1

sin 2α sin (60 °−2α )sin (60 °+2α)= 4

sin 6αбатал

70-р бодлого ёсоор sin 2α sin (60°−2α )sin (60 °+2α )= sin6 α4

тулэндээсбатлах з үй лшууд гарна .

111. cos6α−cos7 α−cos8α+cos9αsin 6 α−sin7 α−sin 8α+sin 9 α

=¿ctg15α

2 батал.

cos6α+cos9α−(cos7α+cos8α)sin 6 α+sin 9α−(sin 7α+sin 8α)

=2cos 15 α

2∙cos 3α

2−2 cos 15α

2∙cos α

2

2 sin 15 α2

∙cos 3α2

−2 sin 15 α2

∙cos α2

=2cos 15α

2∙(cos 3α

2−cos α

2)

2 sin 15α2

∙(cos 3α2

−cos α2)=¿

ctg15α

2

112. ctg(270°-2α )+ctg(210 °−2α)+ctg(150°−2α)¿3tg6αбатал

ctg(270°-2α )+ctg(210 °−2α)+ctg(150°−2α)

¿ tg2α+ctg (90 °+ (60 °−2α ) )=tg2α−tg (120°−2α )−tg (60 °−2α )=tg 2α− tg 120°−tg2α1+tg120 ° ∙tg 2α

− tg 60°−tg2α1+ tg60 °∙ tg2α

=¿

tg 2α−−ctg30 °−tg 2α1−ctg30 ° ∙ tg2α

− tg60 °−tg 2α1+tg 60 ° ∙ tg2α = tg2α+ √3+tg 2α

1−√3tg 2α+ tg2α−√3

1+√3 tg2α

Энд 97-р бодлого дээр гаргасан томъёоны гаргалгааг хэрэглэвэл 3tg6α

113. ctg( π4 +α)∙(1+cos(2α− π2 ))∙cos−12α+2cos (4 α−2π )= sin 6α

sin 2α батал

ctg(π4 +α )(1+sin 2α )

cos2α+2cos4 α=

cos( π4 +α)(1+sin 2α)

sin ( π4

+α ) ∙cos2α+2 cos 4α=2cos 4α+1=2 (1−2 sin2 2α )+1=3−4sin2 2α=3sin 2α−4 sin 32α

sin 2α= sin 6α

sin 2α

114. 8cos4α−4 cos3α−8cos2α+3cosα+1=−2sin 7 α2∙ sin α

2 батал

8cos4α−8 cos2α ∙ ( 4cos3α−3cosα )+1=8cos2α (cos2α−1 )−cos3 α+1=−2∙4 ∙ sin2α cos2α−cos3α+1=−2 sin22α−cos3 α+1=−cos3α+1−2 sin22α=cos 4α−cos3 α=−2sin 7α2∙sin α

2



115. cos (α+β ) cosγ+cosα+cosβ+cosγ−sin (α+β ) ∙ sinγ=4 cos α+β2

∙cos β+γ2

∙cos γ+α2 батал

Нэг талаас: cos (α+β ) cosγ−sin (α+ β ) ∙ sinγ+cosα+cosβ+cosγ=cos (α+β+γ )+cosα+cosβ+cosγ

Нөгөө талаас:

4 cos α+β2

∙cos β+γ2

∙cos γ+α2

=2 ∙(cos α+2β+γ2

+cos α−γ2 )cos α+γ

2=2 cos α+2 β+γ

2∙cos α+γ

2+2cos α−γ

2∙cos α+γ

2

болно.

116. α+β+γ=π болctgβ+ cosγcosα ∙ sinβ

=ctgγ+ cosβcosα ∙ sinγбатал.

α=π− (β+γ )тулcosα=−cos (β+γ ) Иймд cos βcosα ∙ sinγ

− cosγcosα ∙ sinβ

= sinβcosβ−sinγcosγcosα ∙ sinβ ∙ sinγ

=¿

12(sin 2 β−sin 2 γ )

cosα ∙ sinβ∙ sinγ=

sin (β−α )cos ( β+γ )cosα ∙ sinβ ∙ sinγ

=−sin ( β−α )cos (β+γ )cos (β+α )∙ sinβ ∙ sinγ

=sin ( γ−β )sinβ ∙ sinγ

= sinγcosβsinβ ∙ sinγ

− cosγ ∙ sinβsinβ ∙ sinγ

=ctgβ−ctgγтулctgγ−ctgβ+ cosβcosα ∙ sinγ

− cosγcosα ∙ sinβ

=0болно .

117. α+β+γ=π бол

sinα+sinβ+sinγ=4 cos α2

cos β2

cos γ2батал

γ=π−(α+ β )тул sinγ=sin (α+ β ) Иймд : sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sin (α+ β )=2sin α+ β2

cos α−β2

+2 sin α+β2

cos α+β2

=2sin α+β2 (cos α−β

2+cos α+β

2 )=2sin (π2 − γ2 ) ∙2 cos α

2cos β

2=4 cos α

2cos β

2cos γ

2

118. α+β+γ=π болcosα+cosβ+cosγ=1+4sin α2

sin β2

sin γ2батал

cosα+cosβ+cosγ−1=2 cos α+β2

cos α−β2

−2 sin2 γ2=2 cos α+ β

2cos α−β

2−2 sin2 γ

2=2cos α+β

2cos α−β

2−2sin 2( π2 −( α+β

2 ))=2 cos α+β2

cos α−β2

−2 cos2( α+β2 )=2cos α+β

2∙(cos α−β

2−cos α+ β

2 )=2 sin γ2∙2 ∙sin α

2∙sin β

2=¿

4sinα2

sin β2

sin γ2

119. α+β+γ=π болcos2α+cos2β+cos2 γ+4cosα ∙ cosβ ∙ cosγ+1=0 гэжбатал

cos2α+cos2 β+cos2 γ+1=2cos (α+β ) cos (α−β )+2cos2 γ=−2cosγ ∙2cosα ∙ cosβ=−4 cosα ∙ cosβ ∙ cosγ

120. α+β+γ=π болsin2 2α+sin2 2β+sin 22 γ+2cos 2α ∙cos2 β ∙cos2 γ=2батал

sin2 2α+sin 22 β+sin22 γ−2=1−cos4 α2

+1−cos 4 β2

+ 1−cos 4 γ2

−2=−12

(1+cos 4 α+cos 4 β+cos4 γ )=−¿

121. (sinβ+sinγ−sinα ) ∙(sinγ+sinα−sinβ)

4 sinα ∙ sinβ =sin 2 γ2 батал

(эндα+ β+γ=π болно¿

(sinβ+sinγ−sinα )(sinγ+sinα−sinβ)4 sinα ∙ sinβ =sin2 γ−¿¿



122. α+β+γ=π бол cosαsinβ ∙ sinγ

+ cosβsinα ∙ sinγ

+ cosγsinα ∙ sinβ

=2батал

cosαsinβ ∙ sinγ

+ cosβsinα ∙ sinγ

+ cosγsinα ∙ sinβ

= sin 2α+sin 2 β+sin2 γ2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ

= sin 2α+sin 2 β−sin (2α+2β )2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ

=2 sin (α+β )cos (α−β )−2sin (α+β ) cos (α+β )2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ

=2sin (α+ β ) (cos (α−β )−cos (α+β ) )

2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ=2 sinα ∙ sinβ ∙ sinγ

sinα ∙ sinβ ∙ sinγ=2

123. sin2α+sin2β−2∙ sinα ∙ sinβ ∙cos (α−β )=sin2 (α−β )батал

sin (α−β )=sinα ∙ cosβ−cosα ∙ sinβтул sin2 (α−β )=sin2α (1−sin2β )−2 sinα ∙ cosα ∙ sinβ ∙ cosβ+sin2 β (1−sin22 )=sin2α+sin2β−( sin2α ∙sin 2β+2 sinα ∙ cosα ∙ sinβ ∙ cosβ+sin2 β ∙ sin2α )=sin2α+sin2β− (2 sinα ∙ sinβ ∙ cosα ∙ cosβ+2sin2α ∙sin 2β )=sin2α+sin2 β−2 sinα ∙ sinβ (cosα ∙ cosβ+sinα ∙ sinβ )=sin2α+sin 2β−2 sinα ∙ sinβ ∙cos (α−β )

124. α ≠ πk kϵz ү ед cosα ∙ cos2α ∙ cos 4α …∙cos2nαүржвэрийг ол.

cosα∙cos2α∙cos4α…∙cos2^n α=(2sinα∙cosα∙cos2α∙…∙cos2^n α)/2sinα=(sin2α∙cos2α∙cos4α∙…

∙cos2^n α)/2sinα=…= 12n+1 ∙

sin 2n+1αsinα

125. S=sinα+sin 2α+…+sinnα нийлбэрийгол

Хэрэв α=πkбол sinπk+sin 2 πk+…+sinnπk=0

α ≠ πk байг .Тэнцэтгэлийн2талыг sin α2≠0−ээрүржүүлж синусуудийн үржвэрийг нийлбэрт

шилжүүлдэг томъёог нэмэгдэхүүн бүлэгт хэрэглэвэл

s ∙sin y2=sinα ∙ sin α

2+sin 2α ∙sin α

2+sin 4α ∙ sin α

2+…+sinnα ∙ sin α

2= 1

2 (cos α2−cos 3α

2 )+ 12 (cos 3α

2−cos 5α

2 )+…+ 12 (cos (2n−3 )α

2−cos (2n−1 )α

2 )+ 12 (cos (2n−1 )α

2−cos (2n+1 )α

2 )=12 (cos α

2−cos (2n+1 )α

2 )=sin (n+1)α2

∙ sin nα2тулS=

sin (n+1)α2

∙ sin nα2

sin α2

126. 12tg α

2+ 1

4tg4 α+…+ 1

2n tgα2n=

12n ctg

α2n

−ctg 2батал

эхлээд дараахтомъёо батлая: tgα−ctgα= sinαcosα

− cosαsinα =−cos2∝−sin2α

sinαcosα=−2 cos2α

sin 2α=−2ctg2α батлах

адилтгалын зүүн гар талаас 1

2nctg α

2n -

г хасаж ,дээрбаталгах томъёог n удаахэрэглэе (арааснь урагш )

12tg α

2+ 1

4tg α

4+…+ 1

2n−1 tgα

2n−1 +12n tg

α2n

− 12n ctg

α2n=

12tg α

2+ 1

4tg α

4+…+ 1

2n−1 tgα

2n−1 +¿1/2^n (tg α/2^n -

ctg α/2^n )=1/2 tg α/2+1/4 tg α/4+…+1/2^(n-1) tg α/2^(n-1) -1/2^(n-1) ctg α/2^(n-1) =…=1/2 tg

α/2+1/4 tg α/4-14ctg α

4=1

2tg α

2+ 1

4 ( tg α4−ctg α4 )=1

2tg α

2−1

2ctg α

2=1

2 (tg α2 −ctg α2 )=−ctgα

127. ∝−хурцөнцө гбайхад√sinα+2 sin2α+3sin3α+4sin4+…тоон дараалалын нийлбэрийг ол

S=sinα+2sin 2α+3sin3α+… (1 ) гэе .2талыг sinα ү ржүү лбэл

S sinα=sin 2α+2sin3α+3sin4 α+… (2 )болно . (1 )−с (2 )−г хасвал

S (1−sinα )=sinα+sin2α+sin3α+sin 4α+…болно



Энэ нь α−хурцөнц өгтул0<¿q

¿ sinα<1 хуваарьтайтөгс өө гү йбуурах геометрпрогрессийннийлбэрбайна .Иймд S (1−sinα )= sinα1−sinα

эндээс S= sinα(1−sinα )2

128.α−хурцөнц өгболsinα+3sin2α+5sin3α+7sin 4α+…тоон дарааллын нийлбэрийгол .

S=sinα+3 sin2α+5 sin3α+…гэе.Эндээс Ssinα=sin2α+3 sin3α+5sin4α+…эндээс S (1−sinα )=sinα+2 sin2α+2 sin3α+2sin 4α+…=sinα+ 2sin2α1−sinα

= sinα+sin2α1−sinα

тул S= sinα+sin2α(1−sinα)2

129.α−хурцөнцөг болcosα−2cos2α+3 cos3α−4 cos4α=тоондарааллыннийлбэрийг ол.S=cosα−2cos2α+3cos3α−4 cos4α+…гэвэл

Scosα=cos2α−2cos3α+3cos4α−4cos5α+…болно .Эндээс S (cosα+1 )=cosα−cos2α+cos3α−cos4α+…= cosα1+cosα

тулS= cosα(1+cosα )2 болно.

130. sinα ∙ sin2 α2+2sin α

2∙ sin2 α

4+4sin α

4∙ sin2 α

8+…+2n−1 sin α

2n−1 ∙ sin2 α2n нийлбэрийг ол

sinα ∙ sin2 α2+¿=sinα ∙

1−cosα2

=12sinα−1

4sin 2αтул

S=12sinα− 1

4sin 2α+2( 1

2sin α

2−1

2sinα )+4 (1

2sin α

4− 1

4sin α

2 )+8( 12

sin α8− 1

4sin α

4 )+…+2n+1( 12

sin α2n−1 −

14

sin α2n )=1

2sinα− 1

4sin 2α+2∙ 1

2sin α

2−2 ∙ 1

4sinα+4 ∙ 1

2sin α

4−2n−1 ∙ 1

4sin α

2n−2=2n−2 sin α2n−1 −

14

sin 2α

131. 1sin 2 °

+ 1sin 4 °

+ 1sin 8°

+…+ 1sin 1048576 °

нийлбэрийгол 1sin2α

=sin (2α−α )sinα ∙sin 2α

=sin 2α ∙ cosαsinα ∙sin 2α

− cos2α ∙ sinαsinα ∙ sin2α

=ctgα−ctg2α тул 1sin 2°

+ 1sin 4°

+ 1sin 8 °

+…+ 1sin1048576 °

=(ctg 1°−ctg 2° )+(ctg 2°−ctg 4 ° )+(ctg 4 °−ctg 8 ° )+…+(ctg 524288°−ctg1048576 ° )=ctg1 °−ctg 1048576 °

132.

хэрэв 0<α< π2012

бол 1cosα ∙cos2α

+ 1cos2α ∙cos3α

+ 1cos3α ∙cos 4α

+…+ 1cos1000α ∙cos1001α

нийлбэрийг ол

1cosα ∙cos2α

+ 1cos2α ∙cos3α

+ 1cos3α ∙cos 4α

+…+ 1cos1000α ∙cos1001α

= 1sinα ( sinα

cosα ∙cos2α+ sinα

cos2α ∙cos3α+ sinα

cos3α ∙cos4 α+…+ sinα

sin 1000α ∙ sin1001α )нөг өөталаас tgnα−tg (n−1 )α= sinnαcosnα

− sin (n−1 )αcos (n−1 )α

= sinnα ∙ cos (n−1 )α−sin (n−1 )α ∙ cosnαcos (n−1 )α ∙cosnα

= sin (nα−nα +α )cos (n−1 )α ∙ cosnα

= sinαcos (n−1 )α ∙ cosnα

тул sinαcos (n−1 )α ∙ cosnα

=tgnα−tg (n−1 )α томъёог дээрх нэмэгдэх үү нб ү лэгт хэрэглэвээс

1sinα ( sinα

cosα ∙cos2α+ 1

cos2α ∙cos3α+ 1

cos3α ∙cos 4α+…+ 1

cos1000 α ∙cos1001α )= 1sinα [ (tg2α−tgα )+ (tg3 α− tg2α )+…+(tg1001α−tg1000α ) ]= 1

sinα( tg1001α−tgα )= 1

sinα ( sin 1001αcos1001α

− sinαcosα )= 1

sinα∙ sin1000αcos1001α ∙ cosα

= 2sin 1000αcos1001α ∙sin 2α

133. Хэрэв tgα=12бол 2 sin2α−4 sinα ∙ cosα+1

7 sinα ∙ cosα+4 cos2α−1илэрхийллийн утгыг ол. 2sin 2α−4 sinα ∙ cosα+1

7 sinα ∙ cosα+4cos2α−1=

3 sin2α−4 sinα ∙ cosα+cos2α7 sinα ∙ cosα+3 cos2α−sin2α

=3 tg2α−4 tgα+17 tgα+3−tg2α

=3 ∙ 1

4−4 ∙ 1

2+1

7 ∙ 12+3−1

4

=−125

134. Хэрэв tgα=13бол 2 sin4α−3 sin2α+1

3+cos2α−2cos4αилэрхийллийн утгыгол .

2sin 4α−3sin2α+13+cos2α−2cos4α

=2 sin4∝−3 sin2∝+¿¿



135.

tgα=23ү ед sinα−2 cosα

cos3α−3sin 3αилэрхийллийн утгыг ол sinα−2cosα

cos3α−3sin3α=

( sinα−2cosα )(sin2α+cos2α)cos3α−3sin3α

= sin3α−2cosα ∙ sin2α+cos2α ∙ sinα−2cos3αcos3α−3 sin3α

= tg3α−2 tg2α+tgα−21−3tg3α

=( tgα−2 )(tg2α+1)

1−3 tg3α=

( 23−2)( 4

9+1)

1−3∙ 827

=−17 13

136. tgα=0.6ү ед (sinα+cosα)3+2(sinα−cosα)(sinα−cosα)3−7(sinα+cosα)


(sinα+cosα )3+2(sinα−cosα )(sinα−cosα)3−7(sinα+cosα)

=(sinα+cosα )3+2 ( sinα−cosα ) (sin2α+cos2α )(sinα−cosα )3−7 (sinα+cosα ) (sin 2α+cos2α )

=(tgα+1 )3+2 ( tgα−1 ) (tg2α+1 )(tgα−1 )3−7 (tgα+1 ) (tg2α+1 )

=−47239

137. sinα−cosα=a , sin3α−cos3α=bбол x , y−г зайлуулж ,a ,b−н холбоогтогтоо

sinα−cosα=a❑⇒a2=1−2 sinα ∙ cosα❑

⇒sinα ∙cosα=1−a2

2b=sin3α−cos3α= (sinα−cosα ) ∙ (1+sinα ∙ cosα )=a ∙(1+ 1−a2

2 )=a2∙ (3−a2 )❑

⇒2b=a (3−a2 )

138.asinα+bcosα=acosα−bsinα=cбол a ,b , c−н холбоогтогтоо

Өгөгдсөн нөхцлөөс: a2sin2α+2absinα ∙ cosα+b2 cos2α=c2

a2cos2α−2absinα ∙ cosα+b2 sin2α=c2 эдгээрийгбаруун , зүү нталаарнь нэмбэлa2+b2=2c2болно.

139. sinα−cosα=a tgα−ctgα=bбол a,b-н холбоог тогтоо

B

¿ tgα−ctgα= sin2α−cos2αsinα ∙ cosα

=( sinα−cosα ) (sinα+cosα )

sinα ∙cosα=a ∙ (sinα+cosα )sinα ∙ cosα

sinα−cosα=a❑⇒

1−2 sinα ∙ cosα=a❑⇒sinα ∙ cosα=1−a2

2нө гөөталаас (sinα+cosα)2=1+2 sinα ∙ cosα=1+2 ∙ 1−a2

2=2−a2тул|sinα+cosα|=√2−a2иймд|b|=2a∙√2−a2

1−a2

140. tg

α+ctgα=a 1sinα

+ 1cosα

=bбол a ,b−н холбоогтогтооa=tgα+ctgα= sinαcosα

+ cosαsinα

= 1sinα ∙ cosα

❑⇒sinα ∙ cosα=1

aн өг өөталаасb2= 1

sin 2α+ 1

cos2α+ 2sinα ∙ cosα

=1+ctg2α+1+tg2α+ 2sinα ∙ cosα

=2+(tgα+ctgα )2−2+ 2sinα ∙ cosα

=(tgα+ctgα )2+ 2sinα ∙ cosα

=a2+2aтул b2=a2+2a

141.sinα−cosα=a sin3α+cos3α=bбол a,b-н холбоог тогтоо

b=(sinα+cosα ) (1−sinα ∙ cosα )=(sinα+cosα )(1−1−a2

2 )н өг өөталаас(sinα+cosα )2=(sinα−cosα)2+4 sinα ∙ cosα=a2+4 ∙ 1−a2

2тул|sinα+cosα|=√a2+2 (1−a2 )=√2−a2иймд b=√2−a2 ∙ 1+a2

2❑⇒

2b=(a2+1 )√2−a2

142. sinα−cosα=a tg2α+ctg2α=bбол a,b-н холбоог тогтоо

b= sin4α+cos4αsin2α ∙ cos2α

=1−2sin2α ∙cos2αsin 2α ∙cos2α

−2= 4( 1−a2 )2−2❑

⇒b= 4

(1−a2 )2−2

143. sin3αcosα

+ cos3αsinα

=a sinαcos3α

+ cosαsin 3α

=bбол a ,b−н холбоогтогтоо

a= sin4α+cos4αsinα ∙ cosα

b= sin4α+cos4αsin3α ∙cos3α

тул ab=sin2α ∙cos2α❑

⇒sinα ∙ cosα=√ ab



144. sinαcos2α

+ cosαsin 2α

=a tgα+ctgα=bбол a,b-н холбоог тогтоо

b= sinαcosα

+ cosαsinα

= 1sinα ∙ cosα

❑⇒sinα ∙ cosα=1

ba= sin3α+cos3α

sin2α ∙cos2α=

( sinα+cosα )(1−sinα ∙ cosα)sin2α ∙cos2α

=√1+2 sinα ∙ cosα (1−sinα ∙cosα )

sin 2α ∙cos2α=b2 √1+ 2

b (1−1b )❑⇒ a=(b−1 ) √b2+2b

145.sinα+cosα=a sin 2α+cos2α=bболa ,b−н холбоогтогтоо

ө гө гдс өннө хцлөөс a2=1+sin 2α❑⇒

sin 2α=a2−1иймд|cos2α|=√1−(a2−1 )2=√2a2−a4=|a|∙√2−a2тулb=a2−1+|a|√2−a2

146.sinα+cosα=a sin 3α+cos3α=bбол a ,b−нхолбоогтогтоо

sin 3α=3 sinα ∙cos2α−sin3α cos 3α=cos3α−3cosα ∙ sin2αтулb=3 sinα ∙cos2α−sin3α+cos3α−3 cosα ∙ sin2α=(cosα−sinα ) (1+4 sinα ∙cosα )баsinα ∙cosα=a2−12

|cosα−sinα|=√(cosα+sinα)2−4 sinα ∙cosα=√a2−2 (a2−1 )=√2−a2иймд b=√2−a2 (1+2 (a2−1 ))=(2a2−1 )√2−a2

147. хэрэвtg2α=2tg2 β+1болcos 2α+sin2 β=0батал tg2α+1=2 tg2 β+2=2 (tg2β+1 )❑⇒

1cos2α

= 2cos2 β

❑⇒

cos2 β=2 cos2α❑⇒

cos2 β−1=2cos2α−1❑⇒−sin2β=cos2α❑

⇒cos2α+sin 2β=0

148. хэрэв cosαp

= sinαq

бол pcos 2α+qsin 2α=pбатал

Өг өгдс өннө хцө лёсоор psinα=qcosα❑⇒sinα= q

pcosα q2

p2 cos2α+cos2α=1❑⇒

cos2α ( q2+ p2

p2 )=1❑⇒cosα= p

√ p2+q2тул sinα= q

√ p2+q2

иймд pcos2

α+qsin2α=p (cos2α−sin2α )+2qsinα ∙ cosα=p ∙ p2−q2

p2+q2 +2q ∙ pqp2+q2=

p3−pq2+2 pq2

p2+q2 =p ( p2−q2+2q2 )

p2+q2 =p ( p2+q2)p2+q2 =p

149. Хэрэв acosα=bcosy бол ctg α+ y2

∙ ctg α− y2

= a+ba−b

батал

Өгөгдсөн нөхцөл ёсоор cos

α=bacosy=a

bиймд cosα+cosγ

cosγ−cosα= a+ba−b

тэгвэл ctg α+ y2

ctg α− y2

=2cos α+ y

2∙cos α− y

2

2sin α+ y2

∙ sin α− y2

= cosα+cosycosy−cosα

= a+ba−b

150. хэ рэв atgα+btgβ=(a+b ) tg α+β2

бол acosβ=bcosα болохыгбатал

ө гө гдс өннө хцлөөс a(tgα−tg α+b2 )−b(tg α+β

2−tgβ)=0❑

⇒a ( sinαcosα

−sin α+β

2

cos α+ β2

)−b( sin α+β2

cos α+ β2

− sinβcosβ )=a∙

sin α−β2

cosα ∙cos α+ β2

−b ∙sin α−β

2

cosβ ∙ cos α+β2

=0❑⇒

sin α−β2 ( a ∙ cosβ−bcosα

cosα ∙ cosβ ∙cos α+β2 )=0❑

⇒

acosα

− bcosβ

=0❑⇒acosβ−bcosα=0 (ү ргэлжлэл28−рнүү рнээс )

151.Хэрэвsin4αa

+ cos4αb

= 1a+b

бол sin8αa3 + cos8α

b3 = 1(a+b )3

батал



sin4αa

+(1−sin2α )2

b= 1a+b

❑⇒

(a+b )b ∙ sin4 α+(1−2sin 2α+sin4α )a (a+b )=ab❑⇒

(ab+b2) sin 4α+a2+ab−2a (a+b )sin2α+ (a2+ab ) sin4α=ab❑⇒

(a+b )2 sin4α−2a (a+b ) sin2α+a2=[ (a+b ) sin2α−a ]2=0❑⇒

sin2α= aa+b

үү ний адиалаа

рcos2α= ba+b

гэжолжболно .Иймд sin8αa3 + cos8α

b3 =(sin 2α )4

a3 +(cos2α )4

b3 = a4

(a+b )4a3 + b4

(a+b )4b3 =1

(a+b )3

152. Хэрэв sinαa

= sin 2αb

= sin 3αc

= sin 4 αd

бол a+cb

=b+dc

болохыг батал

ө гө гдс өннө хцлийг sinα=at sin 2α=bt sin 3α=ct sin 4α=dt гэжбичижболно. Иймд a+cb

=at+ctbt

= sinα+sin 3αsin 2α

=2sin 2α ∙cosαsin 2α

=2cosα (1 )н өг өөталаас b+dc

=bt+dtct

= sin 2α+sin 4 αsin 3α

=2 sin 3α ∙cosαsin 3α

=2cosα (2 )

(1)(2)❑⇒

a+cb

=b+dc

болно .

153.Хэрэвsinαx

= sin 3αy

= sin 5αz

бол x−2 y+zy

= y−3 xx

болохыгбатал

Нөхцөл ёсоор

sinα=tx sin 3α=ty sin 5α=tz нэг талаас x−2 y+zy

=

sinαt

−2∙ sin3 αt

+ sin 5αt

sin 3αt

= sinα−2sin 3α+sin 5αsin 3α

=2sin 3α ∙cos2α−2 sin3 αsin 3α

=2 cos2α−2нөг өөталаас y−3 xα

=sin 3α−3 sinαsinα

=3 sinα−4sin3α−3 sinαsinα

=−4 sin 2α=−4 (1−cos2α )=4 cos2α−4=2 (2cos2α−1 )−2=2 cos2α−2тул x−2 y+zy

= y−3xx

154. Хэрэв tgα баtgβ квα 2+pα+q=0тэгшитгэлийншийдүү дбол

sin2 (α+ β )+ psin (α+β ) cos (α+β )+qcos2 (α+β )илэрхийлэл p−ээс хамаарахгү йбатал

Виетийнтеоромёсоор tgα+ tgβ=− p tgα ∙ tgβ=qтул tg (α+β )= tgα+tgβ1−tgα ∙tgβ

= − p1−q

= pq−1

иймдsin2 (α+β )+ p ∙ sin (α+β ) cos (α+β )+qcos2 (α+β )=cos2 (α+β ) ∙ (tg2 (α+β )+ ptg (α+β )+q )= 11+ tg2 (α+ β ) ( p2

(q−1 )2+ p2

q−1+q)= 1

1+ p2

(q−1 )2

∙ p2+ p2 (q−1 )+q (q−1 )2

(q−1 )2=p2+ p2q−p2+q (q−1 )2

(q−1 )2+ p2 =q

155. Хэрэв

α ,β , γнь арифметикийнпрогресс үү сгэдэг бол sin (α+β)sin (α−β )

−sin (β+γ )sin ( β−γ )

=2 cos2 βбатал . Хэрэв α−β=x α+γ=2 βиймд : sin (α+β )sin (α−β )

−sin (β+γ )sin (β−γ )

=sin (α+β )−sin( β+γ )

sinα=

2 cos2 β ∙ sin ( α−γ2

)

sinα=2cos2 β ∙ sinα

sinα=2 cos2 β

156.ABC△−ыхувьд дараах адилтгалыгбатал.

a−ba+b

=tg A−B

2

tg A+B2

синус үү дийнтеоромоорa=2RsinA b=2RsinBтул a−ba+b

=2RsinA−2RsinB2RsinA+2 RsinB

= sinA−sinBsinA+sinB

=2 sin A−B

2cos A+B

2

2sin A+B2

∙cos A−B2

=tg A−B

2

tg A+B2

157. ABC △−ы хувьд (b+c ) cosA+ (a+c ) cosB+ (a+b )cosC=2 pбатал

ABC△-ы өндрүүдийг татав

a=BQ+QC=ccosB+bcosC

b=AW+WC=ccosA+acosC



c=AE+EB=bcosA+acosBэдгээрийг нэмбэл

a+b+c=2p=bcosA+ccosA+acosB+ccosB+acosC+bcosC=(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC

158. ABC △-ыхувьд

sin2 Aa2 = cosA ∙cosB

ab+ cosA ∙ cosC

ac+ cosB ∙cosC

bc

cosA ∙ cosBab

+ cosA ∙cosCac

+ cosB ∙cosCbc

−дabsinC=2 s acsinB=2 sbcsinA=2 s−г хэргэвэл

cosA ∙ cosBab +

cosA ∙ cosCac +

cosB ∙ cosCbc =

cosAcosBsinC2 s +

cosAcosCsinB2 s +

cosBcosCsinA2 s =

cosA (cosBsinC+cosCsinB )2 s +

cosBcosCsinA2 s =

cosA ∙ sin (B+C )+cosBcosCsinA2 s =

cosA ∙ sin (π−A )+cosBcosCsinA2 s =

sinA [cos (π−(B+C ) )+cosBcosC ]2 s =sinA ¿¿

159. Аливаа △-ыөнцгүүдийн хувьд cos2B+cos2C+2 cosAcosBcosC=sin2 A батал

cos2B+cos2C−sin2 A=−2cosAcosBcosCболохыг батлаяcos2B+cos2C−sin2 A=cos2B+cos2 ( A+B )−sin2 A=cos2B+cos2 A cos2B−2cosAcosB ∙ sinAsinB+sin2 A ∙ sin2B−sin2 A=cos2B+cos2 A cos2B+sin 2 A (1−cos2B )−sin2 A−2cosAcosB ∙ sinAsinB=cos2B+cos2 Acos2B+sin2 A−sin2 A cos2B−sin2 A−2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2 A cos2B−(1−cos2 A ) cos2B−2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2 A cos2B−cos2B+cos2 A cos2 B−2cosAcosBsinAsinB=2cos2 Acos2 B−2cosAcosBsinAsinB=2cosAcosB (cosAcosB−sinAsinB )=2cosAcosB ∙cos ( A+B )=−2cosAcosBcosC

160. ABC △-ыхувьд

asin(B-C)+Bsin(C-A)+C∙ sin (A−B )=0батал

asin (B−C )+Bsin (C−A )+C ∙sin ( A−B )=2 R (sinAsinBcosC−sinAsinCcosB+sinBsinCcosA−sinBsinAcosC+sinAsinCcosB−sinBsinCcosA )=0

161. ABCD 4 өнцөгтийн хувьд sinA+sinB+sinC+sinD=4sinA+B

2sin A+C

2sin B+C

2батал

sinA+sinB+sinC+sinD=sinA+sinB+sinC-sin(A+B+C)=2 sinA+B

2cos A−B

2−2sin A+B

2cos A+B+2C

2=2 sin A+B

2 (cos A−B2

−cos A+B+2C2 )=4 sin A+B

2sin A+C

2sin B+C

2

162. ABCD 4 өнцөгтийн хувьд sinA-sinB+sinC-sinD=4cosA+B

2sin A+C

2cos B+C

2батал

sinA-sinB+sinC-sinD=sinA

−sinB+sinC+sin ( A+B+C )=2cos A+B2

sin A−B2

+2sin A+B+2C2

∙ cos A+B2

=2cos A+B2 (sin A−B

2+sin A+B+2C

2 )=4 cos A+B2

∙ sin A+C2

cos B+C2

163. Эерэг x,y,z тоонуудын хувьд tg(lgxy )+tg(lg

yz )+tg(lg

zx )=tg(lg

xy )∙tg(lg

yz )∙tg(lg

zx ) тэнцэтгэл

биелэхийг батал.

lg xy=α lg y

z=β lg z

x=γ гэвэл өг өгдс өнтэнцэтгэл tgα+tgβ+ tgγ=tgα ∙ tgβ ∙ tgγ хэлбэртэйболно .Үү нийг tgα+tgβ+tgγ−tgα ∙ tgβ ∙tgγ=0 хэлбэртэй бичвэл tgα+ tgβ+tgγ (1−tgβ∙ tgγ )=0❑

⇒

tgα+ tgβ1−tgβ ∙ tgγ

+tgγ=0❑⇒tg (α+β )+tgγ=0❑

⇒

sin (α+β+γ )cos (α+ β)cosγ

=0❑⇒

sin (α+β+γ )=0❑⇒α+β+γ=πk тулөг өгдс өнтэнцэтгэл биелнэ.

164. 3 ° ,21 ° ,39 ° ,57 ° ,…өнцг үү дарифметикийн прогрессүү сгэж байв .Энэпрогрессийн дурын

дараалсан 10 гишүүний синусүүдийн үржвэр 1

1024тэнц үү болохыгбатал

sin (180 °+α )=−sinαбаө нцгүү ддэс дараалан18°−рөс ө хтул дараалласан



гишүүдийн утгууд модулиараа 10 үетэйгээр өөрчлөгдөнө. Иймд эхний 10 гишүүнийг авч үзэхэд хангалттай. Иймээс sin3° ∙sin 21° ∙ sin 39 ° ∙ sin 57 ° ∙sin 75° ∙ sin 93° ∙ sin 111° ∙ sin 129 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 165°−г олъё .Энд sin 3α=4 sinα ∙sin (60 °−α ) sin (60 °+α )

cos3α=4 cosα ∙cos (60°−α )cos (60°+α )томъёонуудыг хэрэглэе .

sin3

° ∙sin 21 ° ∙ sin 39 ° ∙ sin 57° ∙sin 75° ∙ sin 93° ∙ sin 111° ∙ sin 129 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 165°=4sin 3 ° ∙ sin 57 ° ∙ sin 63 °4 sin 63 °

∙ 4 sin 21° ∙sin 39 ° ∙sin 81 °4 sin 81°

∙ 4sin 27 ° ∙ sin 147 ° ∙ sin 93 °4 sin 27 °

∙ 2 sin 75° ∙ sin 165°2

∙ 4 sin 9 ° ∙sin 111 ° ∙ sin 129°4sin 9 °

= sin 9 °4 sin 63°

∙ sin 63 °4 sin 81 °

∙ sin 30 °2

∙ sin 81°4 sin 27 °

∙ sin 27°4sin 9 °

= 145

= 11024

165. sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+tgα )<m4+1m2 болохыгбатал .

1+ctg

α=sinα+cosα

sinα тулsin3(sinα+cosα )

sinα =sin2α (sinα+cosα )болно .Үү нийадил cos3α (1+tgα )=cos2α (sinα+cosα )тул sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+tgα )=sinα+cosα болно .Н ө гөөталаас m4+1m2 =m2+

1m2 ≥2√m2∙ 1

m2 =2❑⇒m2+ 1

m2 ≥2.ба

¿¿

Sinα+cosα≤2тул sin3α (1+ctgα )+cos3α (1+ tgα )=sinα+cosα ≤2≤ m4+1m2

166. Хэрэв α−хурцөнц өгбол 12< sinα

1+sinα+ cosα

1+cosα< 6

7батал

Нэг талаас sinα

1+sinα+ cosα

1+cosα−1

2=2 sinα+2 sinα ∙ cosα+2 cosα+2 sinα ∙cosα

2 (1+sinα )(1+cosα)−1+sinα+cosα+sinα ∙ cosα

2 (1+sinα )(1+cosα )= sinα+cosα−1+3 sinαcosα

2 (1+sinα )(1+cosα )болно .Эндα−хурцө нцөгтул sinα+cosα>1тул sinα+cosα−1+3 sinαcosα

2 (1+sinα )(1+cosα)>0байна . Н өг өөталаас 6

7−( sinα

1+sinα+ cosα

1+cosα )=6−( sinα+cosα )−8 sinαcosα7 (1+sinα )(1+cosα )

болно .α−хурцөнцө гтул sinα+cosα<2 8 sinαcosα=4sin 2α<4тул6−(sinα+cosα )−8 sinαcosα>0тул 6− (sinα+cosα )−8 sinαcosα7 (1+sinα )(1+cosα)

>0байна

167. 0,4≤ sin4α1+sin 4α

+ cos4α1+cos4α

≤0,5батал

Нэг талаас

sin4α1+sin4α

+ cos4α1+cos4α

−25=3sin4α+3cos4α−2+8sin 4α cos4α

5 (1+sin4α )(1+cos4α)=1+8sin 4α cos4α−6 sin2α cos2α

5 (1+sin 4α ) (1+cos4α)=

( 1−4 sin2α cos2α )(1−2sin2α cos2α )

5 (1+sin4α )(1+cos4α )=

( sin2α−cos2α )2(sin4α+cos4α)

5 (1+sin4α )(1+cos4α )≥0нөг өөталаас 1

2−( sin4α

1+sin 4α+ cos4α

1+cos4α )=1−sin 4α−cos4α−3sin4α cos4α2 (1+sin4α )(1+cos4α)

=2 sin2α cos2α−3 sin 4α cos4α2 ( 1+sin4α )(1+cos4α)

=sin2α cos2α(1−3

2sin2α cos2α )

(1+sin2α )(1+cos2α )≥0

байна. Энд 32

sin2α cos2α=38

sin2 2α ≤ 38<1байна .

168.1+ tgα+ctgαsin2α+ tgα

− ctgαcos2α+tg2α−ctg2α

< a4+12a2 батал

Нэг талаас 1+ tgα+ctgα

1cos 2α

+ tgα− ctgα

1sin 2α

+tg2α−ctg2α=1+tgα+ctgα

1+tg2α+tgα− ctgα

1+ctg2α+tg2α−ctg2α= 1+ tgα+tg2αtgα (1+tgα+tg2α )

− 1tg ( 1+ tg2α )

= 1tgα ( 1+tg2α−1

1+tg2α )= tgα1+tg2α

= sinα

cosα ∙ 1cos2α

=12

sin 2α≤ 12

Нөгөө талаас a4+12a2 =a2

2+ 1

2a2=12 ( a2

1+ 1a2 )≥ 1

22√a2∙ 1

a2 ≥1тулө гө гдс өнтэнцэтгэлбишү нэнбайна .



169. cos(3π2

+α)∙cos (2π−x ) ∙ ctg( π2 −α)−sin (π−x )cos (2 π−x ) ctg( 3π2

−x )>4 y−2 y2−3баталНэг

талаас cos(3π2

+α)cos

(2π−α ) ctg( π2 −α )−sin (π−α ) cos (2π−α ) ctg( 32π−x)=sinα ∙ cosα ∙ tgα−sinα ∙ cosα ∙tgα=0нөг өөталаас 4 y−2 y2−3=−(2 y2−4 y+3 )=−2 ( y2+2 y+1 )−1=−( y+1 )2−1<0тулө гсө нтэнцэтгэлбишү нэн

170. sin2( π2−α )+sin2 (π+2α )

ctg2 (2 π−α )−sin (α−2π ) cos(α+ π2 )

≤|x|+|x−2|+ x−1батал

sin2( π2−α)+sin2 (π+2α )

ctg2 (2 π−α )−sin (α−2π ) cos(α+ π2 )

= cos22α+sin22α

tg2α+cosα ∙ 1cosα

= 11+ tg2α

= 1cos2α

≤1нөг өөталаас

xϵ ¿−∞,0¿¿−д – x+2−x+x−1=1−x>1

xϵ [0 ,2 ]−тx+2−x+x−1=1+x>1

xϵ ¿2 ,+∞ [−д x+x−2+x−1=3 x−3=3 (x−1 )>1тул xϵ ]−∞,+∞¿

171. 0,4¿ sin 4α1+cos4 α

+ cos4α1+sin 4α

≤1батал

Нэг талаас sin 4α

1+cos4 α+

cos4α1+sin 4α

−25=

5sin4α+5sin 8α+5cos4α−5cos8α5 (1+cos4α )(1+sin 4α)

−2+2 cos4α+2 sin 4α+2 sin4α cos4 α

5 (1+cos4α ) (1+sin4α)=

3 sin4α+5sin 8α+3 cos4α+5 cos8α−2sin 4α cos4α−25 ( 1+cos4α )(1+sin 4α )

=5(sin 4α−cos4α )2+3 (sin2α−cos2α )2−2 (1−3 sin2α cos2α−4 sin4α cos4α)

5 (1+cos4α ) (1+sin4α)=

8(sin2α−cos2α)2−2 (1+sin 2α cos2α )(1−4sin2α cos2α )

5 (1+cos4α )(1+sin4α )=

2 (sin2α−cos2α )2(3−sin2α cos2α )

5 (1+cos4α ) (1+sin4α)≥0

Нөгөө талаас 1-( sin 4α1+cos4 α

+ cos4α1+sin 4α

)=

1−sin 4α−cos4 α−sin8α−cos8α(1+cos4α )(1+sin4α )

=1−(sin 4α+cos4α)2+sin 4α cos4α

(1+cos4α )(1+sin4α )=

4 sin2α cos2α ( cos4 α+sin 4α )+5 sin4α cos4α( 1+cos4α )(1+sin 4α )

≥0

172. Хэрэв α−хурцөнц өгбол 1cosα

+ 1sinα

≥2√2батал

1cosα

+1

sinα≥2√ 1

sinαcosα=2√ 2

sin 2α≥2√2

173. 2sin2α+2cos2α ≥2√2батал

2sin2α+2cos2α ≥2√2sin2α ∙2cos2α=2 ∙√2sin2α+cos2α=2√2

174. 2sinα ∙3cosα<4батал

2 талыг 10 суурьтайгаар логарифмчилбал sinαlg2+cosαlg3<2lg 2болно .Н ө гөөталаас asinα+bcosα ≤√a2+b2тул sinαlg 2+cosαlg3≤√lg22+lg2 3<√0,3012+0,482<√0,34<0,6<2lg 2



175. lg2≈0,301lg 3≈0,477−гтооцон tg1 °+ tg2 °+ tg3 °+…+tg 44 °>44 (√2−1 )батал

Хэрэв 0<α<x<45 ° болtg (x−α )+ tg ( x+α )= sin 2αcos2α cos2α−sin 2α sin2α

> 2 sinαcosαcos2α

=2 tgα тул

tg1 °+tg 44 °>2 tg 45 °2

tg2°+tg 43 °>2tg 45°2

--------------------

tg22°+tg23 ° °>2tg 45 °2

эдгээрийгнэмбэл

tg1 °+tg2 °+…+tg 44 °>2 ∙22tg 45°2

=44 (√2−1 )

176. y=√sin4α+4 cos2α+√cos4α+4 sin2αфункцийн графикийгбайгуул .

√sin4α+4 cos2α+√cos4α+4 sin 2α=√(1−cos2α )2+4 cos2α+√ (1−sin 2α )2+4 sin2α=1+cos2α+1+sin2α=3тул y=3шугам байна .

177. y=√sin 4α+cos2α+√cos4α−cos2αфункцийн графикийгбайгуул .

√sin4α+cos2α+√cos4α−cos 2α=√sin 4α+1−2sin 2α+√cos4α−( 2cos2α−1 )=1−sin2α+1−cos2α=1

178. y=√9−cos2α+8 sinα+√9−cos2α−8 sinα функцийнграфикийгбайгуул .

√9−cos2α+8 sinα+√9−cos2α−8 sinα=√9−(1−2 sin2α)+8 sinα+√9−(1−2 sin2α )−8 sinα=√2(4+4 sinα+sin2α )+√2(4−4 sinα+sin 2α )=√2 (2+sinα )+√2 (2−sinα )=4 √2

179. y=√2+sin 4α−cos2α+√2+cos4α+cos2αфункцийн графикийгбайгуул .

√2+sin4α−cos2α+√2+cos4α+cos 2α=√2+sin 4α−(1−2sin 2α )+√2+cos4α+2cos2α−1=1+sin2α+1+cos2α=3

180. y=√4 sin4 α−2 cos2α+3+√4 cos4 x+2cos2α+3функцийн графикийгбайгуул .

√4 sin4α−2 cos2α+3+√4cos4 x+2 cos2α+3 =√4 sin4α−2 (1−2 sin2α )+3+√4 cos4 x+2 (2cos2α−1 )+3=2sin2α+1+2cos2α+1=4

11-р анги

181. S=arctg13+arctg 1

7+…+arctg 1

n2+n+1нийлбэрийг ол

Arctg(n−1 )−n1+n (n+1 )

=arctg (n+1 )−arctgn−г ашиглая

S=(arctg2-arctg1)+(arctg3-arctg2)+(arctg4-arctg3)+…+(arctg(n+1)-arctgn)=arctg(n+1)-

arctg1=arctgn+1−1

1+1∙ (n+1 )=arctg n

n+2



182. S=arctg12+arctg 1

8+arctg 1

18+…+arctg 1

2n2 нийлбэрийг ол

tg(arctg1

2n−1 - arctg1

2n+1)=

tg (arctg 12n−1 )−tg(arctg 1

2n+1)

1+ tg(arctg 12n−1 ) tg(arctg 1

2n+1)=

12n−1

− 12n+1

1+ 12n−1

∙ 12n+1

=2n+1−2n+14n2+1−1

= 12n2 тул

arctg

12n2=arctg 1

2n−1−arctg 1

2n+1иймдS=(arctg1−arctg 1

3 )+(arctg 13−arctg 1

5 )+(arctg 15−arctg 1

7 )+…+(arctg 12n−1

−arctg 12n+1 )=arctg1−arctg 1

2n+1=arctg

12∙1−1

− 12n+1

1+ 12 ∙1−1

∙ 12n+1

=arctgn

n+1

183. S=arctg3+arctg7+arctg13+…+arctg(n2+n+1) нийлбэрийг ол

tg(arctgk+arctg1k )=

tg(arctgk )+tg(arctg 1k)

1−tg(arctgk ) tg (arctg 1k)=

k+ 1k

1−k ∙ 1k

=∞❑⇒

arctgk+arctg1k=π

2❑⇒

arctgk=π2−¿ arctg

1kиймд S=( π2 −arctg 1

3 )+(π2 −arctg 17 )+…+( π2 −arctg 1

n2+n+1 )= πn2

−arctg nn+2

(18-р бодлогыг үз)

184. tgα+tgβ+tgγ=tgα ∙ tgβ∙ tgγ болα , β , γ өнцг үү дийн хоорондын холбоогтогтоо

Tgα+tgβ+tgγ−tgα ∙ tgβ∙ tgγ=tgα+tgβ+tgγ (1-tgα ∙ tgβ)=0

❑⇒

tgα+ tgβ1−tgα ∙tgβ

+tgγ=0❑⇒tg (α+ β )+tgγ=0❑

⇒

sin (α+β )cos (α+β )

+ sinαcosα

=sin (α+β+γ )

cos (α+β )cosγ=0❑

⇒sin (α+ β+γ )=0❑

⇒α+β+γ=πk kϵz

185. cosα+cosβ+cosγ=1+4sin α2

sin β2

sin γ2болα ,β , γ өнцгүү дийн хоорондын холбоогтогтоо

cos α ,cosβ , cosγ−г давхарөнцгийнкосинусынтомъёгоор задалбал 1−2 sin2 α2+1−2 sin2 β

2+1−2sin 2 γ

2−1−4 sin α

2sin β

2sin γ

2

=0 Эндээс sin2 α2

+sin2 β2+sin2 γ

2−1+2sin α

2sin β

2sin γ

2=0❑

⇒(sin α

2+sin β

2sin γ

2)

2

-1+sin 2 β2

+sin2 γ2 -

sin2 β2∙ sin2 γ

2=0❑

⇒(sin α

2+sin β

2sin γ

2)

2

−(1−sin2 β2 )(1−sin2 γ

2)=0

❑⇒

(sin α2

+sin β2

sin γ2)

2

−cos2 β2

cos2 γ2=0❑

⇒ (sin α2+sin β

2sin γ

2−cos β

2cos γ

2 )(sin α2+sin β

2sin γ

2+cos β

2cos γ

2)

=0❑⇒



(sin γ2−cos β+γ

2 )(sin α2

+cos β−γ2 )=0❑

⇒ (cos ( π2 − γ2 )−cos β+γ

2 )(cos( π2 − γ2 )+cos β+γ

2 )эндээс ±α± β± γ

=π (4n−1 ) гэжгарна

186.sin2α+sin2β+sin2γ−2=2cosαcosβcosγ болα ,β , γ өнцгүү дийн хоорондын холбоотогтоо

sin2α+sin2β+sin 2γ−2−2cosαcosβcosγ=0❑⇒

1−cos2α+1−cos2β+1−cos2 γ−2−2cosαcosβcosγ=0❑⇒

cos2α+cos2β+cos2γ−1+2cosαcosβcosγ=0❑⇒(cosα+cosβcosγ)2−( 1−cos2α ) (1−cos2 γ )=0❑

⇒(cosα+cosβcosγ )2−sin 2β sin 2 γ=0❑

⇒( cosα+cosβcosγ−sinβsinγ ) (cosα+cosβcosγ+sinβsinγ )=0❑

⇒( cosα+cos (β+γ )) (cosα+cos (β−γ ) )=0❑

⇒2cos α+ β+γ

2cos α−β−γ

22cos α+β−γ

2cos α−β+γ

2=0❑

⇒

α+β+γ2

= π2+πk

α−β−γ2

=π2+πk α+β−γ

2=π

2+πk α−β+γ

2=π

2+πk❑

⇒±α ± β ± γ=π (2k+1 )

187. хэрэвtgα2tg β

2+ tg α

2tg γ

2+tg β

2tg γ

2=1 бол α ,β , γ ө нцгүү дийн хоорондын холбоотогтоо

tg α2tg β

2+ tg α

2tg γ

2+tg β

2tg γ

2=1❑

⇒tg α

2 (tg β2 + tg γ2 )=1−tg β

2tg γ

2❑⇒tg α

2∙tg β

2+tg γ

2

1−tg β2tg γ

2

=1❑⇒tg α

2tg β+γ

2=1❑

⇒

sin α2

sin β+γ2

cos α2

cos β+γ2

=1❑⇒

cos α2

cos β+γ2

−sin α2

sin β+γ2

=0❑⇒

cos( β+γ+α2 )=0❑

⇒

β+γ+α2

=π2+πk❑

⇒β+γ+α=π+2 πk

❑⇒β+γ+α=π (2k+1 )

¿¿

188. arcsin45+arccos 2

√5=arcctg 2

11батал

Батлах адилтгалын 2 талаас котангенс авбал

Ctg(arcsin45+arccos 2

√5)=ctg(arcsin 4

5 )ctg(arccos 2√5 )−1

ctg(arcsin 45 )+ctg(arccos 2

√5)

=211

нө гөө талаасctg(arcctg 211 )= 2

11

189. xϵ [ 12,1]болarccosx+arccos( x2 + 1

2 √3−3 x2)=π3батал

x=cosyорлуулга хийвэл x2+ 1

2 √3−3 x2=

12cosy+ √3

2siny=cos( π3 − y )болно .Иймдөг ө гдс ө надилтгалarccos (cosy )+arccos¿¿хэлбэртэй болно.

Эндээс y+(y-π3 )¿

π3болно .xϵ [ 1

2,1]❑⇒ cosyϵ [ 1

2,1]❑⇒ yϵ [0 , π3 ] ү едөг өгд өнтэнцэтгэл адилтгалболно.

190. arctg(3+2√2)- arctg√22

= π4батал

Өгөгдсөн тэнцэтгэлийн 2 талаас tg авбал



tg(arctg(3+2√2)- arctg√22

)=tg(arctg ( 3+2√2 )−arctg √2

2 )1+ tg(arctg (3+2√2 )∙ arctg √2

2 )=

(3+2√2 )−√22

1+ (3+2√2 ) ∙ √22

=1болно.

191. ABC △-ы ⊾A=⊾C=70 ° .△−ыдотор⊾MAC=30 °⊾MCA=50 °байхаар Mцэг авсанбол⊾MBC−гол .

өгөгдсөн нөхцлөөс ⊾BAM=40°⊾BCM=20 °байна .⊾MBC=x гэвэл ⊾MBA=40°−x синус үү дийнтеором

ёсоор MAMB

=sin(40 °−x )

sin 40 °MCMB

= sinαsin 20°

тул

MAMC

=sin(40°−x )

sinx∙ sin 20 °sin 40 °

болно .Н өг өөталаас MAMC

= sin50 °sin30 °

тул sin 50°sin 30°

= sin 40° ∙ctgα−cos 40°2cos20 °

❑⇒

4cos20 ° ∙cos 40 °=sin 40 ° ∙ ctgα−cos 40 °❑⇒ctgα= 4cos20 ° ∙cos 40 °+cos40 °

sin 40 °=

2 (cos20 °+cos 60° )+cos 40 °sin 40 °

=2 cos20 °+1+cos 40°sin 40°

=2 cos2 10°+2cos10° ∙cos 30°2sin20 ° ∙cos20°

=2 cos10° (cos10 °+cos30°)2∙2 sin10° cos10°cos 20°

=2 cos20° cos10 °2sin10 ° cos20 °

=ctg 10°❑⇒α=10 °

192. адил хажуут △-ы өндрүүдийн уртын нийлбэр нь түүнд багтсан тойргийн диаметрээс

4 12дахинихбол△−ыөнцгүү дийн хэмжээг ол .

Бодлогын нөхцөл ёсоор (1)

BB1+A A1+CC1=92∙2O B1

⊾ABC=180°−4α B B1=BC ∙sin 2α A A1=AB ∙sin(180°−4α ¿=BC ∙sin 4α

CC1=BC ∙sin(180°−4α ¿=¿BC∙ sin 4 αOB1=B1C ∙tgα=BC ∙cos2α ∙ tgα эдгээрү р

дүнгүүдийг (1)-д тавьбал BC(sin2α+4 sin2α ∙ cos2α)=9BC∙cos2α ∙ tgα❑

⇒tg2α+4 sin2α=9 tgα болно .Эндээс

4∙2 tgα

1+tg2α+ 2 tgα

1−tg2α=9 tgα (2 )tgα ≠0 , tg2 x= y гэвэл (2 )нь 9 y2−6 y+1=0❑

⇒y=1

3

tg2 x=13❑⇒tgα= 1

√3❑⇒α=30 °



193. AM,BM,CMцацрагууд ABC△−ыталуудтай α 1баα 2, β1ба β2 , γ1баγ 2өнцг үү дүү сгэдэг болsinα 1∙ sin β1 ∙ sin γ1=sinα2 ∙sin β2 ∙sin γ2батал

Синусуудийн теором ёсоор MBMA

=sin α 2

sin β1

MCMB

=sin β2

sin γ 1

MAMC

=sin γ 2

sin α1❑⇒

sin α 1 ∙ sin β1 ∙ sin γ 1=sin α 2 ∙ sin β2 ∙ sin γ2болно .

194. зөв 4 өнцөгт призмийн диагональ түүнтэй ерөнхий оройтой 3 талсттай 2:3:2 харьцаатай өнцгүүд үүсгэдэг бол эдгээр өнцгийн хэмжээг ол.

1 харьцаанд ноогдох тоог α гэвэл⊾C1 A B1=C1 A D1=2α ,⊾C1 AC1=3α болно.

AB=BC=CD=AD=aB B1=AA1=C C1=DD1=b гэе.

A

B1=AC1 ∙cos2α A D1=AC1 ∙cos2α AC=AC1 ∙cos3α эдгээрийг кв зэрэгтдэвшүү лжнэмбэл2cos2 2α+cos23α=2болно .Эндээс 1+cos4 x+ 1+cos6 x2

=2❑⇒

cos 6x+2 cos 4 x−1=0 cos 2x= y гэе .Тэгвэл4 y3+4 y2−3 y−3=0❑⇒

( y+1 ) ( 4 y2−3 )=0 y+1≠0❑⇒y=√3

2❑⇒

2α=30°❑⇒α=15 °иймд30 ° ,30 ° ,45 ° байна.

195. ABC △−ы хувьд (a2+b2 ) sin ( A−B )=(a2−b2 ) sin (A+B )биелдэгбол ABC нь адил хажуут,эсвэлтэгшөнцө гт△байхыг батал

Синусүүдийн теоромоор

a=2RsinA b=2RsinB тул (a2+b2)sin(A-B)=4R2 (sin2 A+sin2B )∙ sin (A−B )

(a2−b2)sin(A+B)=4R2 (sin2 A−sin 2B ) ∙sin ( A+B )болно. Иймдөг өгдс өнтэнцэтгэл

4R2 [ (sin2 A+sin2B )∙sin ( A−B )−(sin2 A−sin2B ) sin ( A+B ) ]=0❑⇒

sin 2 A ¿

196. Хэрэв sinA2

cos2 B2

=sin B2

cos2 A2бол ABC нь адил хажуут△ болохыг батал.

SinA2 (1−sin2 B

2 )=sin B2 (1−sin2 A

2 )❑⇒ sin A2

−sin A2

sin2 B2

−sin B2+sin B

2cos2 A

2=sin A

2−sin B

2+sin A

2sin B

2 (sin A2

−sin B2 )=(sin A

2−sin B

2 )(1+sin A2∙ sin B

2 )=0энд1+sin A2∙ sin B

2>0❑

⇒sin A

2=sin B

2❑⇒⊾A=⊾B

197. ABC △−ы хувьд⊾ A=2α⊾B=3α⊾C=4α бол tg2α=( 2ba+c )

2

−1батал



2α+3 α+4α=180 °❑⇒α=20 °тулABC △−ыө нцгүү д 40° ,60° ,80 ° байна. Иймдсинус үү дийнтеором

b=2Rsin60° a=2Rsin40° c=2Rsin80°байх тул 2b=4Rsin60. Иймд ( 2ba+c )

2

−1=

( 4 Rsin60 °2Rsin 40 °+2Rsin80 ° )

2

−1=( 2 sin 60°sin 40°+sin 80 ° )

2

−1=( 12 sin 60 ° ∙cos20 ° )

2

−1= 1cos220 °

−1=1+tg2 20°−1=tg220 °=tg2α болно .

198. Хэрэв cosA+cosB=4sin2 c2бол ABC△−ыa ,b ,c талууд арифметик прогресс үү сгэхийгбатал

Өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийг 2cosA+B

2cos A−B

2=4 cos2 A+B

2гэжбичвэл эндээс2 cos A+B

2=cos A−B

2болно .2талыг sin A+B

2−р ү ржв эл2cos A+B

2sin A+B

2=cos A−B

2sin A+B

2❑⇒

2∙ 12 (sin (A+B )+sin 0 )=1

2(sinA+sinB )❑

⇒sin ( A+B )=1

2(sinA+sinB )❑

⇒sin (π−c )=1

2(sinA+sinB )❑

⇒sinc=1

2( sinA+sinB )❑

⇒2 ∙ c

2R= a

2 R+ b

2 R❑⇒c=a+b

2болно

199. Хэрэв ABC △−ы хувьд asinB+bsinA=2mтэнцэтгэлбиелжбайвал энэнь адил хажуут△ болохыг батал (m−медианы урт )

h=asinB=bsinAтул asinB+bsinA=2m=2h❑⇒h=mИймдө ндө р ,медиан2давхцажбайгаатулABC нь

адил хажуут △

200. ABC

△−ы хувьд √sinA√sinB+√sinC−√sinA

+ √sinB√sinA+√sinC−√sinB

+ √ sinC√sinB+√sinA−√sinC

≥3тэнцэтгэл бишбиелэхийгбатал

a:b:c=sinA:sinB:sinC(синусүүдийн теоромоор) тул өгөгдсөн тэнцэтгэл биш

√a√b+√c−√a

+ √b√a+√c−√b

+ √c√b+√a−√c

≥3тэнцэтгэлбиштэй адилболно .Энднэмэгдэх үү нтус б ү рийн хуваарь , х ү ртвэр үү дб ү г д эерэг

√b+√c−√a=x √a+√c−√b= y√b+√a−√c=z гэвэл y+z2

=√a x+z2=√b

x+ y2

=√cболох тул дээрх тэнцэтгэл биш нь y+ z2 x

+ x+z2 y

+ x+ y2 z

≥3 хэлбэртэйболно .Үү нийг

y+ z2 x

+ x+z2 y

+ x+ y2 z

= 12 ( yx + z

x+ xy+ zy+ xz+ yz )=1

2 [( xy + yx )+( xz + z

x )+( zy + yz ) ]

гэж хувиргаад нэмэгдэхүүн тус бүрд Кошийн тэнцэтгэл биш y+ z2 x

+ x+z2 y

+ x+ y2 z

≥ 12

(2+2+2 )=3болно.

БГД-ийн Тэргүүний 47-р сургуулийн математикийн багш С.Бямбаа


Documents

Web viewtg20°tg40°tg80°= sin20°sin40°sin80° cos20°cos40°cos80° sin20°sin40°sin80°= 1 2 sin20° cos40°-cos120° = 1 2 sin20° cos40°+sin30° = 1 2 sin20