Webktématu:Integrálnípočetv Rxschlesi/bakalarka/neurciteintegraly.pdf · Kapitola 1 Primitivní funkce 1.1 Deﬁnice primitivní funkce Deﬁnice 1. Je-li I ⊂ R interval a funkce

Masarykova univerzitaPřírodovědecká fakulta

Bakalářská práce

Web k tématu: Integrální počet v R

Eva Schlesingerová

Brno 2006

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci dělala sama, pouze za po-moci RNDr.Romana Plcha, Ph.D. a uvedených zdrojů.

V Brně dne 9.května 2006 . . . . . . . . . . . .

1

Poděkování

Děkuji panu RNDr.Romanu Plchovi, Ph.D. vedoucímu mé bakalářsképráce, za čas strávený zkoumáním textů, za cenné připomínky a zaspousty námětů a dobrých rad při zpracovávání této práce. Dále děkujipanu RNDr.Karlu Šrotovi za poskytnutí skriptů pro převod z LATEXudo HTML napsané v jazyku Python a Jaromíru Vitekerovi za jejichúpravu.

2

Obsah

Úvod 5

1 Primitivní funkce 61.1 Definice primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Tabulka neurčitých integrálů . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Pravidla a metody určování primitivních funkcí 92.1 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Substituční metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 První substituční metoda . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Druhá substituční metoda . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Integrace racionálních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Integrace iracionálních funkcí . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1 Integrace funkcí typu R(x, n

√x) . . . . . . . . . 24

2.4.2 Integrace funkcí typu R(

x, n

√

ax+bcx+d

)

. . . . . . 25


x,√

ax2 + bx+ c)

. . 272.4.4 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Integrace trigonometrických funkcí . . . . . . . . . . . 312.5.1 Substituce univerzální . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2 Substituce speciální . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3 Integrace funkcí typu sinmx · sinnx . . . . . . . 342.5.4 Integrace funkcí typu cosmx · cosnx . . . . . . 352.5.5 Integrace funkcí typu sinmx · cosnx . . . . . . 362.5.6 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Trigonometrické substituce . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.1 Integrace funkcí tvaru R(x,

√a2 − x2) . . . . . 37

2.6.2 Integrace funkcí tvaru R(x,√

a2 + x2) . . . . . 39

3


x2 − a2) . . . . . 402.6.4 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Neurčité integrály s Maplem 433.1 Úvod do programu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Výpočet primitivní funkce s Maplem . . . . . . . . . . 453.3 Integrační metoda per partes s Maplem . . . . . . . . . 453.4 Integrace substitucí s programem Maple . . . . . . . . 483.5 Rozklad na parciální zlomky s programem Maple . . . 493.6 Integrování trigonometrických funkcí s Maplem . . . . 503.7 Trigonometrické substituce pomocí programu Maple . . 53

Rejstřík použitých příkazů . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Závěr 56

Literatura 57

4

Úvod

Cílem této práce je přiblížit středoškolským a vysokoškolským studen-tům základní metody výpočtů neurčitých integrálů, seznámit je s pro-gramem Maple a ukázat možnosti jeho použití při integrování. Propraktické využití je tato práce prezentována také ve webové podobě naadrese http://www.math.muni.cz/~xschlesi/bakalarka/integraly.

Co lze v práci najít

Obsahem práce je část látky, jež je probírána na Přírodovědecké fakultěMasarykovy univerzity v povinném předmětu Matematická analýza 2studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání. Tento před-mět navazuje na předmět Matematická analýza 1, který je taktéž po-vinným předmětem tohoto studia. Proto jsou u čtenářů předpokládányzákladní znalosti spojené s látkou Diferenciální počet funkcí jedné pro-měnné, jež je v tomto předmětu probírána.Práce obsahuje základní věty a definice potřebné k zvládnutí výpočtůneurčitých integrálů, vzorové příklady s postupem řešení a příkladyk procvičení s výsledky. V práci jsou též obsaženy příklady na výpočtyneurčitých integrálů pomocí programu Maple. Texty vět a definic jsoučerpány převážně ze skript [7]. Vydatným zdrojem příkladů se mi stalyvlastní poznámky ze cvičení k předmětu Matematická analýza 2.Práce je rozdělena do tří kapitol. První kapitola obsahuje základní in-formace spojené s pojmem primitivní funkce a přibližuje problematikuneurčitých integrálů. Do druhé kapitoly jsem zařadila pravidla pro ur-čování primitivních funkcí. Podrobně jsou zde popsány jednotlivé me-tody integrace racionálních, iracionálních a trigonometrických funkcí.Třetí kapitola čtenáře blíže seznamuje s programem Maple, popisujezde použité příkazy a ukazuje jejich aplikaci na řešení integrálů z ob-lastí pokrytých v kapitole 2. Pro snažší orientaci je seznam použitýchpříkazů uveden v rejstříku na konci kapitoly.

5

Kapitola 1

Primitivní funkce

1.1 Definice primitivní funkce

Definice 1. Je-li I ⊂ R interval a funkce f : I → R a F : I → R

takové, že funkce F má v každém bodě x ∈ I vlastní derivaci F ′(x)a platí F ′(x) = f(x) pro každý bod x ∈ I, pak funkce F se nazýváprimitivní funkcí k funkci f na I.

Věta 1.1. Primitivní funkce F (x) je v intervalu I vždy spojitá, protožejak známo z diferenciálního počtu, jestliže má funkce F (x) v bodě x ∈ Iderivace, je v tomto bodě spojitá.

Poznámka. Hledat primitivní funkci je opačný úkol než najít derivacik dané funkci. Je to úkol najít funkci, jejíž derivace je daná. Proto sev literatuře (zejména cizí) primitivní funkce někdy vyjadřuje pod po-jmem Antiderivace.

Příklad 1. Funkce x4+7 je primitivní funkcí k funkci 4x3 v intervalu(−∞, ∞), neboť (x4 + 7)′ = 4x3.Věta 1.2. Má-li funkce f na intervalu I jednu primitivní funkci, májich nekonečně mnoho.

c ∈ R : F1(x) = F (x) + c

Na obrázku 1.1 je graf funkce 4x3. Vedle toho, na obrázku 1.2, jsou grafyfunkcí x4, x4 + 3, x4 + 5, x4 + 7, které jsou k funkci 4x3 primitivní.Vidíme, že se liší pouze o konstantu. Funkci 4x3 dostaneme, pokudfunkce x4, x4 + 3, x4 + 5, x4 + 7 derivujeme (viz příklad 1).

Věta 1.3 (o struktuře množiny primitivních funkcí). Je-li Fprimitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak množina všech funkcí,které jsou primitivní k f na I, je množina funkcí

{F + c | c ∈ R}.

6

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Obr. 1.1: Integrovaná funkce Obr. 1.2: Primitivní funkce

Definice 2. Množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervaluI se nazývá neurčitý integrál a značí se

∫

f(x) dx, x ∈ I.

Jestliže bude zřejmé, o který interval se jedná, budeme používat místo∫

f(x) dx, x ∈ I stručnější zápis∫

f(x) dx. Nalezení nějaké primitivnífunkce k funkci f na intervalu I je úloha totožná s nalezením neurčitéhointegrálu z funkce f na I. Proto se postup při vyhledávání primitivnífunkce nazývá integrování. Funkci f(x) nazýváme integrovanou funkcí,x integrační proměnnou a c integrační konstantou.

7

1.2 Tabulka neurčitých integrálů∫

dx = x+ c platí na R

∫

xa dx = xa+1

a+1+ c (a ∈ R, a 6= −1)

∫

dxx= ln |x|+ c platí pro x ∈ R, x 6= 0

∫

ex dx = ex + c platí na R

∫

ax dx = ax

ln a+ c (a > 0, a 6= 1), platí na R

∫

cosx dx = sin x+ c platí na R

∫

sin x dx = − cosx+ c platí na R

∫

dxcos2 x

= tg x+ c platí na (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), kde k ∈ Z

∫

dxsin2 x

= − cotg x+ c platí na(

kπ, (k + 1)π)

, k ∈ Z

∫

dxa2+x2

= 1aarctg x

a+ c (a 6= 0), platí na R

∫

dx√a2−x2

= arcsin xa+ c (a 6= 0), platí na 〈−a; a〉

∫

dx√x2+a

= ln |x+√

x2 + a|+ c x2 + a > 0

∫ f ′(x)f(x)dx = ln |f(x)|+ c platí na intervalech, kde je f(x) 6= 0 spojitá

Poznámka. K opravdu korektním výpočtům je třeba posuzovat, na kte-rých intervalech primitivní funkce skutečně existují.

8

Kapitola 2

Pravidla a metody určováníprimitivních funkcí

Věta 2.1. Nechť n ∈ N, nechť f1, f2, . . . , fn jsou funkce definovanéna intervalu I. Jsou-li funkce F1, F2, . . . , Fn primitivní funkce po řaděk funkcím f1, f2, . . . , fn na témže intervalu I, pak pro libovolná číslaa1, a2, . . . , an ∈ R je funkce

a1F1 + a2F2 + · · · + anFn

primitivní k funkci

a1f1 + a2f2 + · · · + anfn

na I.

Poznámka. Za uvedených předpokladů v předchozí větě tedy platí:∫

(a1f1(x)+· · ·+anfn(x)) dx = a1

∫

f1(x) dx+· · ·+an

∫

fn(x) dx, x ∈ I.

Příklad 2. Vypočtěte neurčitý integrál∫

√x−2 3

√x

x2dx na intervalu (0, ∞).

∫ √x − 2 3√x

x2dx =

∫(

x1/2

x2− 2x

1/3

x2

)

dx

=∫

(

x−3/2 − 2x−5/3)

dx

=∫

x−3/2 dx − 2∫

x−5/3 dx

=x−1/2

−1/2 − 2x−2/3

−2/3 + c

=−2√

x+33√

x2+ c

9


√x−5x32x+3x2

x3dx na intervalu

(0, ∞).

∫ √x − 5x32x + 3x2

x3dx =

∫(

x− 52 − 2x5 + 31

x

)

dx

=∫

x− 52 dx − 5

∫

2x dx+ 3∫

dxx

= −23x−3/2 − 5 2

x

ln 2+ 3 lnx+ c

= −231√x3

− 5 2x

ln 2+ 3 lnx+ c

2.1 Metoda per partes

Věta 2.2. Jsou-li u, v funkce mající derivaci na intervalu I a je-li Fprimitivní funkce k funkci u′v na I, pak funkce G = uv−F je primitivnífunkce k funkci uv′ na I.

Pravidlo pro integraci per partes zapisujeme ve tvaru∫

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−∫

u′(x)v(x) dx, x ∈ I. (2.1)


x ex dx na intervalu (−∞, ∞).

∫

x ex dx =

∣

∣

∣

∣

u (x) = x u′(x) = 1v′(x) = ex v (x) = ex

∣

∣

∣

∣

= x ex −∫

ex dx

= x ex − ex + c


x sin x dx na intervalu (−∞, ∞).

∫

x sin x dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = x u′(x) = 1v′(x) = sin x v(x) = − cosx

∣

∣

∣

∣

∣

= − x cosx+∫

cosx dx

= − x cosx+ sin x+ c

Poznámka. Obecněji: pro∫

xkf(x) dx uplatňujeme integraci per partesopakovaně (k-krát po sobě). Totéž platí pro

∫

P (x)f(x) dx, kde P (x)je polynom.

10


x2ex dx na intervalu (−∞, ∞).

∫

x2ex dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = x2 u′(x) = 2 xv′(x) = ex v(x) = ex

∣

∣

∣

∣

∣

= x2ex −∫

2 x ex dx

=

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = x u′(x) = 1v′(x) = ex v(x) = ex

∣

∣

∣

∣

∣

= x2ex − 2(

x ex −∫

ex dx)

= x2ex − 2 x ex + 2 ex + c


arctg x dx na intervalu (−∞, ∞).

∫

arctg x dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = arctg x u′(x) = 11+x2

v(x)′ = 1 v(x) = x

∣

∣

∣

∣

∣

= x arctg x −∫

x dx1 + x2

= x arctg x − 12

∫

2x dx1 + x2

= x arctg x − 12ln (1 + x2) + c


ln x dx na intervalu (0, ∞).

∫

ln x dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = ln x u′(x) = 1x

v′(x) = 1 v(x) = x

∣

∣

∣

∣

∣

= x lnx −∫

1x

x dx

= x lnx −∫

dx

= x lnx − x+ c

11


arcsin x dx na intervalu 〈−1, 1〉.

∫

arcsin x dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = arcsin x u′(x) = 1√1−x2

v′(x) = 1 v(x) = x

∣

∣

∣

∣

∣

= x arcsin x −∫

x√1− x2

dx

=

∣

∣

∣

∣

∣

t = 1− x2

dt = −2x dx

∣

∣

∣

∣

∣

= x arcsin x+12

∫

dt√t

= x arcsin x+12

∫

t−1/2 dt

= x arcsin x+122 t1/2 + c

= x arcsin x+√1− x2 + c

V následujícím příkladu si ukážeme řešení neurčitých integrálů meto-dou per partes vedoucí na rovnici.

Příklad 10. Vypočtěte neurčitý integrál I =∫

ex sin x dx na intervalu(−∞, ∞).

∫

ex sin x dx =

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = ex u′(x) = ex

v′(x) = sin x v(x) = − cosx

∣

∣

∣

∣

∣

= − cosxex +∫

ex cosx dx

=

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = ex u′(x) = ex

v′(x) = cosx v(x) = sin x

∣

∣

∣

∣

∣

= −ex cosx+ ex sin x −∫

ex sin x dx

Poslední integrál převedeme na levou stranu:

2∫

ex sin x dx = ex sin x − ex cosx+ c∫

ex sin x dx =ex

2(sin x − cosx) + c

12

Příklad 11. Nyní odvodíme rekurentní formuli pro výpočet integráluKn(x) =

∫

dx(1+x2)n

na intervalu (−∞, ∞), kde n ∈ N, x ∈ R. Pro n = 1platí

K1(x) = arctg x+ c.

Další integrály K2, K3, . . . se dají počítat postupně (rekurentně) po-mocí integrace per partes.

Kn(x) =∫

dx(x2 + 1)n

=

∣

∣

∣

∣

∣

u(x) = 1(x2+1)n

u′(x) = −n 2x(x2+1)n+1

v′(x) = 1 v(x) = x

∣

∣

∣

∣

∣

=x

(x2 + 1)n+ 2n

∫

x2 + 1− 1(x2 + 1)n+1

dx

=x

(x2 + 1)n+ 2n

∫

dx(x2 + 1)n

− 2n∫

dx(x2 + 1)n+1

Kn(x) =x

(x2 + 1)n+ 2n Kn(x)− 2n Kn+1(x) + c

Z této rovnice vyjádříme Kn+1 pomocí Kn:

Kn+1 =x

2n (x2 + 1)n+2n − 12n

Kn(x) + c

Poznámka. Pro zajímavost:

K2(x) =x

2(x2 + 1)+12arctg x+ c

K3(x) =x

4(x2 + 1)2+

3x8(x2 + 1)

+38arctg x+ c

2.1.1 Příklady k procvičení

Metodou per partes vypočtěte:

•∫

x2 sin x dx [−x2 cosx+ 2x sin x+ 2 cosx+ c]

•∫

(x3 + x2) ex dx [exx3 − 2exx2 + 4xex − 4ex + c]

•∫

x cos2 x dx[

14

(

x2 + x sin 2x+ 12cos 2x

)

+ c]

13

•∫

ex cosx dx[

ex

2(sin x+ cos x) + c

]

•∫

ln3 x dx[

x ln3 x − 3x ln2 x+ 6x ln x − 6x+ c]

2.2 Substituční metoda

2.2.1 První substituční metoda

Věta 2.3. Má-li funkce ϕ : I1 → I2 derivaci v každém bodě intervaluI1 a je-li F primitivní funkce k funkci f : I2 → R na intervalu I2,pak složená funkce g(x) = f

(

ϕ(x))

ϕ′(x) má na I1 primitivní funkci

G(x) = F(

ϕ(x))

.

Vzorec pro integraci substitucí zapisujeme ve tvaru∫

f(

ϕ(x))

ϕ′(x) dx =∫

f(t) dt (2.2)

kde t = ϕ(x). V zápisu neurčitého integrálu∫

f(x) dx má symbol dxvýznam činitele rovného diferenciálu proměnné x.Při záměně proměnné určujeme vztah mezi diferenciály nové a staréproměnné, a ten pak dosazujeme do integrálu.


dxx ln3 x

na intervalu (0, 1) a(1, ∞).

∫

dx

x ln3 x=

∣

∣

∣

∣

∣

t = ln xdt = dx

x

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

dx

x ln3 x

=∫

dtt3

=∫

t−3 dt

=t−2

−2 + c

=−12 ln2 x

+ c

14


tg x dx na intervalu(−π/2 + kπ, π/2 + kπ).

∫

tg x dx =∫

sin x

cosxdx

=

∣

∣

∣

∣

t = cosxdt = − sin x dx

∣

∣

∣

∣

= −∫

dtt

= − ln t+ c

= − ln (cosx) + c


sinx√1−(3 cos x+5)2

dx na inter-

valu 〈−2, −43〉.

∫

sin x√

1− (3 cosx+ 5)2dx =

∣

∣

∣

∣

∣

t = 3 cosx+ 5dt = −3 sin x dxdx = −dt

3 sinx

∣

∣

∣

∣

∣

= −13

∫

dt√1− t2

= −13arcsin t+ c

= −13arcsin(3 cosx+ 5) + c


x tg (1− x2) dx prox2 6= 1− π

2+ kπ.

∫

x tg (1− x2) dx =

∣

∣

∣

∣

t = 1− x2

dt = −2x dx

∣

∣

∣

∣

= −12

∫

tg t dt

= −12

∫

sin t

cos tdt

=12ln | cos t|+ c

=12ln | cos (1− x2)|+ c

15


sinx√2+cos x

dx na intervalu(−∞, ∞).

∫

sin x√2 + cosx

dx =

∣

∣

∣

∣

t = 2 + cosxdt = − sin x dx

∣

∣

∣

∣

= −∫

dt√t

= −∫

t−1

2 dt

= −2√

t+ c

= −2√2 + cosx+ c


1x lnx ln (lnx)

dx pro x 6= 0, x 6=1, x 6= e.

∫

1x ln x ln (ln x)

dx =

∣

∣

∣

∣

t = ln xdt = 1

x

∣

∣

∣

∣

=∫

dtt ln t

= ln | ln t| + c

= ln | ln (ln x)|+ c

2.2.2 Druhá substituční metoda

Věta 2.4. Nechť f je funkce definovaná na intervalu I1, ϕ je funkcemající nenulovou derivaci na intervalu I2 a nechť ϕ(I2) = I1. Pakplatí: má-li funkce f

(

ϕ(t))

ϕ′(t) primitivní funkci F na intervalu I2, jeF (ϕ−1) primitivní funkce k funkci f na intervalu I1.

Také tento vzorec lze zapsat ve tvaru∫

f(x) dx =∫

f(

ϕ(t))

ϕ′(t) dt (2.3)

kde t = ϕ−1(x).

16


x5√1−x2dx na intervalu (−1, 1).

∫

x5√1− x2

dx =

∣

∣

∣

∣

x = sin tdx = cos t dt

∣

∣

∣

∣

=∫

sin5 t√

1− sin2 tcos t dt

=∫

sin5 t√cos2 t

cos t dt

=∫

sin5 t dt

=∫

(1− cos2 t)2 sin t dt

=

∣

∣

∣

∣

cos t = k− sin t dt = dk

∣

∣

∣

∣

= −∫

(1− k2)2 dk

= −∫

(1− 2k2 + k4) dk

= −k + 2k3

3− k5

5+ c

Nyní se vrátíme k substitucím, ze kterých k = cos t, t = arcsin x, potomtedy

= − cos t+ 23cos3 t − 1

5cos5 t+ c

= − cos (arcsin x) +23cos3 (arcsin x)− 1

5cos5 (arcsin x) + c.


1. Metodou substituce vypočtěte:

•∫

xe−x2 dx[

−12e−x2 + c

]

•∫

1x2sin 1

xdx

[

cos 1x+ c]

•∫

4x3√1−x4dx

[

−2√1− x4 + c

]

•∫

esinx cos x dx[

esinx + c]

17

•∫

11−x2

ln 1+x1−xdx

[

14ln2 1+x

1−x+ c]

2. Kombinováním metody per partes a metody substituce vypočtěte:

•∫

arcsin x3dx

[

x arcsin x3+ 3√

1− x2

9+ c

]

•∫

arctg√

x dx [x arctg√

x −√x+ arctg

√x+ c]

•∫

x3ex2

dx[

12ex2

(x2 − 1) + c]

•∫

ln (x+√1 + x2) dx

[

x ln (x+√1 + x2)−

√1 + x2 + c

]

•∫

x2 arccosx dx[

x3

3arccosx − 1

9

√1− x2(x2 + 2) + c

]

2.3 Integrace racionálních funkcí

Obecný postup

Racionální funkci vyjádříme jako součet polynomu a ryze lomené ra-cionální funkce, kterou pak rozložíme na součet parciálních zlomků.Získaný rozklad integrujeme člen po členu.

2.3.1 Parciální zlomky

Při rozkladu ryze lomené racionální funkce postupujeme tak, že nejprverozložíme jmenovatele v R, napíšeme si formální tvar rozkladu na par-ciální zlomky (viz [3, strana 43]) a určíme konstanty. V tomto rozkladuvystupují zlomky tvaru:

A

x − x0,

A

(x − x0)n,

Bx+ C

(x2 + px+ q),

Bx+ C

(x2 + px+ q)m

kde A, B, C, p, q jsou reálné konstanty, n, m jsou přirozená čísla a po-lynom x2 + px+ q nemá reálné kořeny.

Jak integrovat jednotlivé zlomky:

1. Integrace zlomků Ax−x0

a A(x−x0)n

je poměrně jednoduchá. Použi-jeme substituci x − x0 = t a obdržíme:

•∫

Adxx−x0

= A∫

dtt= A ln |t|+ c = A ln |x − x0|+ c

•∫

Adx(x−x0)n

= A∫

dx(x−x0)n

= A∫

dttn= A

∫

t−n dt = A−n+1

t−n+1 =A

(1−n)(x−x0)n−1 + c

18

2. Zlomek Bx+C(x2+px+q)

nejprve upravíme takto:

Bx+ C

x2 + px+ q=

B2(2x+ p) +

(

C − Bp2

)

x2 + px+ q

=B2(2x+ p)

x2 + px+ q+(

C − Bp

2

)

1x2 + px+ q

Nyní integrujeme∫

(Bx+ C) dxx2 + px+ q

=B

2

∫

(2x+ p) dxx2 + px+ q

+(

C − Bp

2

)∫

dxx2 + px+ q

.

Pro výpočet prvního integrálu použijeme substituci

t = x2 + px+ q

dt = (2x+ p) dx

a platí tedy

B

2

∫

(2x+ p) dxx2 + px+ q

=B

2

∫

dtt=

B

2ln |t|+ c

=B

2ln |x2 + px+ q|+ c.

Zbývá nám vyřešit výpočet druhého integrálu. Nejprve výrazx2+ px+ q doplníme na čtverec:

(

x+ p2

)2+ q − p2

4a poté výrazy

p2a q − p2

4nahradíme takto:

(

x+ p2

)2+ q − p2

4= (x + u)2 + v2,

kde u ∈ R a v > 0. Potom(

C − Bp

2

)∫

dxx2 + px+ q

=(

C − Bp

2

)∫

dx(x+ u)2 + v2

=

(

C − Bp

2

)∫

dx

v2(

(

x+uv

)2+ 1)

=∣

∣

∣

x+ u

v= t, dx = v dt

∣

∣

∣

=(

C − Bp

2

)∫

v dtv2(t2 + 1)

=

(

C − Bp

2

)

v−1

∫

dtt2 + 1

=(

C − Bp

2

)

1varctg t

=(

C − Bp

2

)

1varctg

x+ u

v.

19

3. Podobně upravíme zlomek

Bx+ C

(x2 + px+ q)m=

B2(2x+ p)

(x2 + px+ q)m+

(

C − Bp

2

)

1(x2 + px+ q)m

a integrujeme podobně jako u předcházejícího zlomku. Vyjde námtedy

B

2

∫

(2x+ p) dx(x2 + px+ q)m

+(

C − Bp

2

)∫

dx(x2 + px+ q)m

.

Pro výpočet prvního integrálu opět použijeme substituci

t = x2 + px+ q

dt = (2x+ p) dx,

která nám dává

B

2

∫

(2x+ p) dx(x2 + px+ q)m

=B

2

∫

dttm

=B

2(1− m)1

tm−1

=B

2(1− m)1

(x2 + px+ q)m−1.

Při výpočtu druhého integrálu postupujeme opět stejně, použi-jeme stejné nahrazení, poté stejnou substituci a dostáváme

∫

dx((x+ u)2 + v2)m

=∫

dx

v2m(

(

x+uv

)2+ 1)m

=∫

v dtv2m(t2 + 1)m

= v1−2m∫

dt(t2 + 1)m

.

Poslední problém: určit Kn(x) =∫

dx(x2+1)n

, pro n = 1, 2, 3, . . . .Pro výpočet tohoto integrálu jsme v příkladu 11 odvodili reku-rentní vzorec

Kn+1 =x

2n (x2 + 1)n+2n − 12n

Kn(x) + c.

20


x2−3x+1(x+3)(x2−2x+5) dx pro x 6= −3.

Nejprve rozložíme funkci x2−3x+1(x+3)(x2−2x+5) na parciální zlomky. Nalezneme

konstanty A, B, C tak, aby platila identicky rovnost

x2 − 3x+ 1(x+ 3)(x2 − 2x+ 5) =

A

x+ 3+

Bx+ C

x2 − 2x+ 5 .

To znamená:

x2 − 3x+ 1 = A(x2 − 2x+ 5) + (Bx+ C)(x+ 3)

x2 − 3x+ 1 = A(x2 − 2x+ 5) +B(x2 + 3x) + C(x+ 3)

Srovnáním koeficientů u x2, x1 a x0 dostáváme soustavu tří lineárníchrovnic

1 = A+B

−3 = −2A+ 3B + C

1 = 5A+ 3C.

Řešením této soustavy dostaneme A = 1920

, B = 120

, C = −54. Platí tedy

rozklad

x2 − 3x+ 1(x+ 3)(x2 − 2x+ 5) =

1920(x+ 3)

+120

x − 54

x2 − 2x+ 5 .

Potom∫

x2 − 3x+ 1(x+ 3)(x2 − 2x+ 5) dx =

∫(

1920(x+ 3)

+120

x − 54

x2 − 2x+ 5

)

dx

=1920

∫

dxx+ 3

+∫ 1

40(2x − 2)− 5

4+ 240

x2 − 2x+ 5 dx

=1920ln |x+ 3|+ 1

40

∫

2x − 2x2 − 2x+ 5 dx−

− 2420

∫

dxx2 − 2x+ 5

=1920ln |x+ 3|+ 1

40ln |x2 − 2x+ 5|−

− 65

∫

dx(x − 1)2 + 4

=

∣

∣

∣

∣

∣

x − 1 = 2tdx = 2dt

∣

∣

∣

∣

∣

=1920ln |x+ 3|+ 1

40ln |x2 − 2x+ 5|−

21

− 65

∫

2 dt4t2 + 4

=1920ln |x+ 3|+ 1

40ln |x2 − 2x+ 5|−

− 35arctg

x − 12+ c.


1(x−3)3 dx pro x 6= 3.

∫

1(x − 3)3 dx =

−12(x − 3)2 + c


2x3

x+1dx pro x 6= −1.

∫

2x3

x+ 1dx = 2

∫(

x2 − x+ 1− 1x+ 1

)

dx

= 2(

x3

3− x2

2+ x

)

− 2∫

dxx+ 1

=2x3

3− x2 + 2x − 2 ln |x+ 1|+ c


x+5x2−4x+9 dx na intervalu

(−∞, ∞).

∫

x+ 5x2 − 4x+ 9 dx =

∫ 12(2x − 4) + 2 + 5

x2 − 4x+ 9 dx

=∫

12· 2x − 4x2 − 4x+ 9 dx+

∫

7x2 − 4x+ 9 dx

=12ln |x2 − 4x+ 9|+ 7

∫

dx(x2 − 4x+ 4) + 5

=12ln |x2 − 4x+ 9|+ 7

∫

dx(x − 2)2 + 5

=12ln |x2 − 4x+ 9|+ 7√

5arctg

x − 2√5


x2

(x2+1)2dx na intervalu (−∞, ∞).

Nejprve rozložíme funkci x2

(x2+1)2na parciální zlomky takto:

x2

(x2 + 1)2=

Ax+B

x2 + 1+

Cx+D

(x2 + 1)2

22

Tuto rovnici vynásobíme (x2 + 1)2 a obdržíme

x2 = (Ax+B)(x2 + 1) + Cx+D

= Ax3 +Bx2 + (A+ C)x+ (B +D).

Porovnáním koeficientů dostaneme A = 0, B = 1, C = 0, D = −1 aplatí tedy rozklad

x2

(x2 + 1)2=

1x2 + 1

− 1(x2 + 1)2

.

Potom∫

x2

(x2 + 1)2dx =

∫

dxx2 + 1

−∫

dx(x2 + 1)2

= arctg x − K2(x)

a podle příkladu 11 dále obdržíme

= arctg x − x

2(x2 + 1)− 12arctg x+ c

=12

(

arctg x − x

x2 + 1

)

+ c.


1x4+64

dx na intervalu (−∞, ∞).

∫

1x4 + 64

dx =∫

dx(x2 + 8)2 − 16x2

=∫

dx(x2 + 8− 4x)(x2 + 8 + 4x)

=∫(

Ax+B

x2 − 4x+ 8 +Cx+D

x2 + 4x+ 8

)

dx

Rozkladem na parciální zlomky obdržíme A = − 164

, B = 116

, C =164

, D = 116a tedy

=∫( − 1

64x+ 1

16

x2 − 4x+ 8 +164

x+ 116

x2 + 4x+ 8

)

dx

= − 116

∫ 14x − 1

x2 − 4x+ 8 dx+116

∫ 14x+ 1

x2 + 4x+ 8dx

= − 116

∫ 18(2x − 4)− 1 + 1

2

x2 − 4x+ 8 dx+116

∫ 18(2x+ 4) + 1− 1

2

x2 + 4x+ 8dx

23

= − 1128

∫

2x − 4x2 − 4x+ 8 dx+

132

∫

dxx2 + 4x+ 8

+

+1128

∫

2x+ 4x2 − 4x+ 8 dx+

132

∫

dxx2 + 4x+ 8

= − 1128ln |x2 − 4x+ 8|+ 1

32

∫

dx(x2 − 4x+ 4) + 4 +

+1128ln |x2 + 4x+ 8|+ 1

32

∫

dx(x2 + 4x+ 4) + 4

= − 1128ln |x2 − 4x+ 8|+ 1

64arctg

x − 22+

+1128ln |x2 + 4x+ 8|+ 1

64arctg

x+ 22+ c.


Vypočtěte neurčité integrály:

1.∫

dx(x+6)5

[

−14(x+6)4

+ c]

2.∫

3x2−10x+4x3−x2−4x+4 dx

[

ln∣

∣

∣

(x−1)(x+2)3

x−2

∣

∣

∣+ c]

3.∫

dxx3+1

[

16ln (x+1)

2

x2−x+1+

√33arctg

√3(2x−1)3

+ c]

4.∫

dxx4−1

[

14ln∣

∣

x−1x+1

∣

∣ − 12arctg x+ c

]

5.∫

3x3−14x2+27x−16(x2−4x+3)(x2−2x) dx

[

−3 ln |x − 2|+ 83lnx+ 10

3ln x − 3 + c

]

2.4 Integrace iracionálních funkcí

V některých případech lze vhodnými substitucemi integraci iracionál-ních funkcí převést na integraci racionálních funkcí.

2.4.1 Integrace funkcí typu R(x, n

√x)

Symbol R značí racionální funkci dvou proměnných, n ∈ N r {1}.Při integrování funkcí tohoto typu použijeme substituci x = tn, čímžpřevedeme integrál z iracionální funkce na integrál z funkce racionální.

24

Příklad 25. Vypočtěte neurčitý integrál∫ 3

√x

x(√

x+ 3√

x)dx na intervalu

(0, ∞).

∫

3√

x

x(√

x+ 3√

x)dx =

∣

∣

∣

∣

∣

x = t6

dx = 6t5 dt

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

t2 6 t5 dtt6(t3 + t2)

= 6∫

t7 dtt8(t+ 1)

= 6∫

dtt(t+ 1)

= 6∫(

A

t+

B

t+ 1

)

dt

= 6∫(

1t− 1

t+ 1

)

dt

= 6 (ln |t| − ln |t+ 1|) + c

= 6 ln|t|

|t+ 1| + c

= 6 ln| 6√x|

| 6√x+ 1| + c

= ln|x|

( 6√

x+ 1)6+ c


x, n

√

ax+bcx+d

)

R značí racionální funkci dvou proměnných, a, b, c, d ∈ R, n ∈ N r

{1}. Zahrnuje i integrály∫

R(

x, n

√ax+ b

)

dx, (pro c = 0, d = 1).Budeme předpokládat, že ad− bc 6= 0, v opačném případě, tedy kdybyplatilo ad − bc = 0, byl by výraz pod odmocninou konstantní. Pomocí

substituce t = n

√

ax+bcx+d

tento integrál převedeme na integrál racionálnífunkce proměnné t, který počítat už umíme.

tn =ax+ b

cx+ dtn(cx+ d) = ax+ b

ctnx+ tnd = ax+ b

x(ctn − a) = b − tnd

25

x =b − tnd

ctn − a= Q(t) . . . racionální funkce

dx = Q′(t) dt

Nakonec∫

R

(

x,n

√

ax+ b

cx+ ddx

)

=∫

R (Q(t), t) Q′(t) dt,

kde R (Q(t), t) Q′(t) je racionální funkce.


x√x+1− 3

√x+1dx na intervalu

(−1, 0) a (0, ∞).

∫

x√x+ 1− 3

√x+ 1

dx =

∣

∣

∣

∣

∣

x+ 1 = t6

dx = 6 t5 dt

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

t6 − 1t3 − t2

6 t5 dt

= 6∫

(t8 + t7 + t6 + t5 + t4 + t3) dt

= 6[t9

9+

t8

8+

t7

7+

t6

6+

t5

5+

t4

4

]

dt

= 6[19(x+ 1)3/2 +

18(x+ 1)4/3 +

17(x+ 1)7/6+

+16(x+ 1) +

15(x+ 1)5/6 +

14(x+ 1)2/3 + c


2+√

x+1(x+1)2−

√x+1dx na intervalu

(−1, 0) a (0, ∞).

∫

2 +√

x+ 1

(x+ 1)2 −√

x+ 1dx =

∣

∣

∣

∣

∣

t =√

x+ 1x = t2 − 1dx = 2t dt

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

2 + t

t4 − t2t dt

= 2∫

t+ 2t3 − 1 dt

= 2∫(

1t − 1 −

t+ 1t2 + t+ 1

)

dt

= 2 ln |t − 1| −∫

2t+ 2t2 + t+ 1

dt

26

= ln(t − 1)2 − ln(t2 + t+ 1)−∫

dtt2 + t+ 1

= ln(t − 1)2

t2 + t+ 1−∫

dt(

t+ 12

)2+ 34

= ln(t − 1)2

t2 + t+ 1− 43

∫

dt(

2(t+1/2)√3

)2

+ 1

= ln(t − 1)2

t2 + t+ 1− 43

∫

dt(

2t+1√3

)2

+ 1

= ln(t − 1)2

t2 + t+ 1− 43arctg

2t+ 1√3

√32+ c

= ln(t − 1)2

t2 + t+ 1− 2

√33arctg

2t+ 1√3+ c

= ln(√

x+ 1− 1)2x+ 2 +

√x+ 1

− 2√33arctg

2√

x+ 1 + 1√3

+ c


x,√

ax2 + bx+ c)

Omezíme se pouze na případ, kdy a, b, c ∈ R, a 6= 0; ax2+bx+c nemádvojnásobný kořen. Kdyby

ax2 + bx+ c = a(x − x0)2 ⇒√

ax2 + bx+ c =√

a |x − x0|.

α) Nyní budeme předpokládat, že polynom ax2+bx+c má dva reálnékořeny x1, x2, kde x1 < x2. Potom

√ax2 + bx+ c =

√

a(x − x1)(x − x2).

Pro a > 0 odmocnina existuje na intervalu (−∞, x1〉 a 〈x2, ∞).Na libovolném z těchto dvou intervalů platí:

√

a(x − x1)(x − x2) =

√

a(x − x1)2x − x2x − x1

=√

a |x − x1|√

x − x2x − x1

Provedeme substituci t =√

x−x2x−x1, která vede na integrál z racio-

nální funkce proměnné t. Potom

t2 =x − x2x − x1

, x = Q(t), dx = Q′(t) dt.

27

Nakonec∫

R(

x,√

ax2 + bx+ c)

dx =∫

R (Q(t), |Q(t)− x1| t) Q′(t) dt.

Pro a < 0 odmocnina existuje na intervalu 〈x1, x2〉. Na tomtointervalu platí:

√ax2 + bx+ c =

√

−a(x − x1)2x2 − x

x − x1

=√−a(x − x1)

x2 − x

x − x1

Opět použijeme substituci x2−xx−x1

= t2.

β) Nechť polynom ax2 + bx + c nemá reálné kořeny. Odmocnina√ax2 + bx+ c je definována pro každé x ∈ R; a > 0, c > 0.Metoda řešení těchto integrálů spočívá v tzv. Eulerových substi-tucích.

a) První Eulerova substituce:Pro a > 0 zavádíme substituci

√ax2 + bx+ c = ±

√a x ± t,

kde můžeme volit libovolnou kombinaci znamének. V dalšímkroku tuto substituční rovnici umocníme a vypočteme x adx, to je

ax2 + bx+ c = ax2 ± 2√

a xt+ t2,

odkud

x =t2 − c

b ± 2t√a.

V nové proměnné t dostaneme integrál z racionální funkce.

b) Druhá Eulerova substituce:Pro c ≥ 0 zavádíme substituci

√ax2 + bx+ c = ±x t ±

√c,

provedeme umocnění a vypočteme x a dx, to je

ax2 + bx+ c = x2t2 ± 2 x t√

c+ c,

odkud

x =± 2 t√c − b

a − t2

28


dx(x+1)

√x2+x+1

pro x 6= −1.

Zavedeme substituci√

x2 + x+ 1 = t+ x, odtud

x2 + x+ 1 = t2 + 2tx+ x2

x(1− 2t) = t2 − 1

x =t2 − 11− 2t

dx =2t(1− 2t)− (t2 − 1)(−2)

(1− 2t)2 dt

=2t − 4t2 + 2t2 − 2(1− 2t)2 dt

dx =2(−t2 + t − 1)(1− 2t)2 dt

a potom

∫

dx

(x+ 1)√

x2 + x+ 1=∫ 2(−t2+t−1)

(1−2t)2(

t2−11−2t + 1

) (

t+ t2−11−2t

) dt

=∫ 2(−t2+t−1)

(1−2t)2 dtt2−1+1−2t1−2t

t−2t2+t2−11−2t

=∫

2(−t2 + t − 1)(t2 − 2t)(t − t2 − 1) dt

= 2∫

dtt(t − 2) .

Rozkladem na parciální zlomky dostaneme

=

(−1t+1

t − 2

)

dt

= − ln |t|+ ln |t − 2|+ c

= − ln |√

x2 + x+ 1− x|+ ln |√

x2 + x+ 1− x − 2|+ c

= ln

∣

∣

∣

∣

∣

√x2 + x+ 1− x − 2√

x2 + x+ 1− x

∣

∣

∣

∣

∣

+ c.

29


x−2−√−x2−4x+4

x2√−x2−4x+4

dx pro x 6= 0.

Zavedeme 2. Eulerovu substituci:√−x2 − 4x+ 4 = tx+ 2, odkud

−x2 − 4x+ 4 = t2x2 + 4tx+ 4

x2(1 + t2) + 4x(1 + t) = 0

x(1 + t2) = −4(1 + t)

x =−4(1 + t)1 + t2

dx =−4(1 + t2) + 4(1 + t) · 2t

(1 + t2)2dt

=−4− 4t2 + 8t+ 8t2

(1 + t2)2dt

dx =4(t2 + 2t − 1)(1 + t2)2

dt

a potom

∫

x − 2−√−x2 − 4x+ 4

x2√−x2 − 4x+ 4

dx =∫ −4−4t

1+t2− 2−

(

t −4−4t1+t2

+ 2)

16(1+t)2

(1+t2)2·(

t −4(1+t)1+t2

+ 2) · 4(t

2 + 2t − 1)(1 + t2)2

dt

=∫ −8(1 + t2)2

32(t2 + 2t+ 1)(−t2 − 2t+ 1) ·4(t2 + 2t − 1)(1 + t2)2

dt

=∫

dt(t+ 1)2

=−1

t+ 1+ c

=−1

√−x2−4x+4−2

x+ 1+ c

=−x√

−x2 − 4x+ 4− 2 + x+ c.



1.∫ 1−

√x

1+√

xdx [−x+ 4

√x − 4 ln |√x+ 1|+ c]

2.∫

dx(x−1)

√x2−3x+2

[

2√(x−2)(x−1)

x−1 + c

]

30

3.∫

dx√x2+6x+5

[

ln |3 +√

x2 + 6x+ 5 + x|+ c]

4.∫

1x·√

x−1x+2dx

[

ln

∣

∣

∣

∣

1+q

x−1

x+2

1−q

x−1

x+2

∣

∣

∣

∣

− 2√2arctg

(√2√

x−1x+2

)

+ c

]

2.5 Integrace trigonometrických funkcí

Integraci funkcí typu R (sin x, cosx) lze vždy převést na integraci ra-cionálních funkcí použitím vhodné substituce.

2.5.1 Substituce univerzální

Na libovolném intervalu ((2k − 1)π, (2k + 1)π), k ∈ Z lze použít sub-stituci

tgx

2= t,

ze které dále plyne

x

2= arctg t

x = 2 arctg t

dx =2dt1 + t2

.

Z pravoúhlého trojúhelníku:

√1 + t2

t

1

x2

plyne sin x2= t√

1+t2a cos x

2= 1√

1+t2. Potom

sin x = 2 sinx

2cos

x

2

= 2t√1 + t2

· 1√1 + t2

=2t1 + t2

31

a

cos x = cos2x

2− sin2 x

2

=11 + t2

− t2

1 + t2

=1− t2

1 + t2.


dx5+3 cos x

na intervalu (−π, π).

Zvolíme substituci tg x2= t, potom dx = 2 dt

1+t2, cosx = 1−t2

1+t2.

∫

dx5 + 3 cosx

=∫

1

5 + 31−t2

1+t2

· 2 dt1 + t2

=∫

2 dt(

5 + 31−t2

1+t2

)

(1 + t2)

=∫

2 dt5 + 5t2 + 3− 3t2

=∫

dt4 + t2

=14

∫

dt1 + ( t

2)2

=14arctg

t

22 + c

=12arctg

(

12tg

x

2

)

+ c


1sinxdx pro x 6= kπ, k ∈ Z.

Zavedeme substituci tg x2= t, odtud dx = 2 dt

1+t2a sin x = 2t

1+t2. Po-

tom∫

1sin x

dx =∫ 2

1+t2

2t1+t2

dt

=∫

dtt

= ln |t|+ c

= ln∣

∣

∣tg

x

2

∣

∣

∣+ c.

32

2.5.2 Substituce speciální

• Je-li R(sin x, cos x) lichou funkcí vzhledem ke cosx, pak zavede-ním substituce

sin x = t

cosx dx = dt

převedeme integrál∫

R(sin x, cosx) dx na integrál z racionálnífunkce.

• Je-li R(sin x, cosx) lichou funkcí vzhledem k sin x, pak substituce

t = cosx

dt = − sin x dx

převede výpočet integrálu∫

R(sin x, cosx) dx na integraci racio-nální funkce.

• Při integraci funkce tvaru R(tg x) použijeme substituci

tg x = t

x = arctg t

dx =dt1 + t2

.

Tím integrál∫

R(tg x) dx převedeme na integrál racionální funkce.


sin2 x cos3 x dx na R.

Zvolíme substituci t = sin x, potom dt = cos x dx; sin2 x = t2; cos2 x =1− sin2 x = 1− t2.

∫

sin2 x cos3 x dx =∫

t2(1− t2) dt

=∫

(

t2 − t4)

dt

=13t3 − 1

5t5 + c

=13sin3 x − 1

5sin5 x+ c

33


sin5 xcos4 x

dx na intervalu(−π/2 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ Z.Zavedeme substituci t = cos x, odkud dt = − sin x dx; cos4 x = t4,sin4 x = (1− t2)2.

∫

sin5 xcos4 x

dx =∫

(1− t2)2(−dt)t4

= −∫

1− t2 + t4

t4dt

= −∫

(t−4 − 2t−2 + 1) dt

=t−3

3− 2t−1 − t+ c

=1

3 cos3 x− 2cosx

− cos x+ c


dxsin4 x cos2 x

pro x 6= kπ ax 6= kπ/2, k ∈ Z.Použijeme substituci t = tg x, potom dt = dx

cos2 x; sin4 x = t4

(t2+1)2.

∫

dxsin4 x cos2 x

=∫

(t2 + 1)2

t4dt

=∫

(1 + 2t−2 + t−4) dt

= t − 2t−1 − 13t−3 + c

= tg x − 2tg x

− 13 tg3 x

+ c

2.5.3 Integrace funkcí typu sinmx · sin nx

Platí pro m ± n 6= 0, x ∈ R. Při integrování těchto funkcí se využívajísoučtové vzorce

cos (α − β) = cosα cosβ + sinα sin β

cos (α + β) = cosα cosβ − sinα sin β.

Po odečtení druhé rovnice od první dostaneme

cos (α − β)− cos (α+ β)2

= sinα sin β.

34

Potom∫

(sinmx sinnx) dx =12

∫

(cos (mx − nx)− cos (mx+ nx)) dx

=12

∫

cosx(m − n) dx − 12

∫

cosx(m+ n) dx

=12· sin (m − n)x

m − n− 12· sin (m+ n)x

m+ n+ c.


sin x sin 3x dx na R.

∫

sin x sin 3x dx =12

∫

(cos (x − 3x)− cos (x+ 3x)) dx

=12

∫

cos (−2x) dx − 12

∫

cos (4x) dx

=12· sin 2x2

− 12· sin 4x4+ c

=sin 2x4

− sin 4x8+ c

2.5.4 Integrace funkcí typu cosmx · cosnx

Opět využijeme součtové vzorce, ale tentokrát rovnice sečteme a do-staneme

cos (α + β) + cos (α − β)2

= cosα cosβ.

Potom∫

(cosmx cos nx) dx =12

∫

(cos (mx+ nx) + cos (mx − nx)) dx

=12

∫

cosx(m+ n) dx+12

∫

cos x(m − n) dx

=12· sin (m+ n)x

m+ n+12· sin (m − n)x

m − n+ c.


cos 2x cos 6xdx na R.

35

∫

cos 2x cos 6xdx =12

∫

(cos (2x+ 6x) + cos (2x − 6x)) dx

=12

∫

cos (8x) dx+12

∫

cos (−4x) dx

=12· sin 8x8+12· sin 4x4+ c

=sin 8x16

+sin 4x8+ c

2.5.5 Integrace funkcí typu sinmx · cos nx

Zde využijeme vzorec

sinα cosβ =12[sin (α + β) + sin (α − β)].

Potom∫

(sinmx cosnx) dx =12

∫

(sin (mx+ nx) + sin (mx − nx)) dx

=12

∫

sin x(m+ n) dx+12

∫

sin x(m − n) dx

= −12· cos (m+ n)x

m+ n− 12· cos (m − n)x

m − n+ c.


(sin 5x cos 3x) dx na R.

∫

(sin 5x cos 3x) dx =12

∫

(sin (5x+ 3x) + sin (5x − 3x)) dx

=12

∫

sin 8x dx+12

∫

sin 2xdx

= −12· cos 8x8

− 12· cos 2x2+ c

= −cos 8x16

− cos 2x4+ c



•∫

cos3 xsin2 x

dx[

−1sinx

− sin x+ c]

•∫

cotg xsinx+cosx−1 dx

[

−12 tg(x

2 )+ 12ln∣

∣tg(

x2

)∣

∣ + c

]

36

•∫

dx1+3 sin2 x

[

12arctg(2 tg x) + c

]

•∫

sin 2xcos4 x

dx[

1cos2 x

+ c]

•∫

1+cos xsin3 x

dx[

−14 tg2 x

2

+ 12ln∣

∣tg x2

∣

∣ + c]

•∫

sin x3cos 2x

3dx

[

32cos x

3− 12cos x+ c

]

2.6 Trigonometrické substituce


a2 − x2)

Při integrování funkcí tvaru R(x,√

a2 − x2) budeme vycházet z pravo-úhlého trojúhelníku, jehož strany označíme vhodnými proměnnými.

ax

√a2 − x2

t

Ze známých vztahů v pravoúhlém trojúhelníku je sin t = xa, odkud

x = a sin t. Volíme tedy substituci x = a sin t.

Příklad 38. Vypočtěte neurčitý integrál∫ √

a2 − x2 dx na intervalu〈−a, a〉.

∫ √a2 − x2 dx =

∣

∣

∣

∣

∣

x = a sin tdx = a cos t dt

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

√

a2 − a2 sin2 t a cos t dt

= a2∫

√

1− sin2 t cos t dt

= a2∫ √cos2 t cos t dt

= a2∫

cos2 t dt

= a2∫

1 + cos 2t2

dt

=a2

2

∫

(1 + cos 2t) dt

37

=a2

2

(

t+sin 2t2

)

+ c

Víme, že sin 2t = 2 sin t cos t, proto

=a2

2(t+ sin t cos t) + c.

Ze substituce x = a sin t plyne sin t = xa, odkud t = arcsin x

a. Protože

cos2 t = 1 − sin2 t, pak cos t =√

1− sin2 t, kde dosazením xaza sin t

dostaneme cos t =√

1− x2

a2. Potom

=a2

2

(

arcsinx

a+

x

a

√

1− x2

a2

)

+ c

=a2

2

(

arcsinx

a+

x√

a2 − x2

a2

)

+ c

=a2

2arcsin

x

a+

x

2

√a2 − x2 + c.

Příklad 39. Vypočtěte neurčitý integrál∫ √1− x2 dx na intervalu

〈−1, 1〉.

∫ √1− x2 dx =

∣

∣

∣

∣

∣

x = sin tdx = cos t dt

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

√

1− sin2 t cos t dt

=∫

cos2 t dt

=∫

1 + cos 2t2

dt

=12

∫

(1 + cos 2t) dt

=12(t+

12sin 2t)

=12(t+ sin t cos t)

=12(t+ sin t

√

1− sin2 t)

=12(arcsin x+ x

√1− x2) + c

38


a2 + x2)

Při výpočtu neurčitého integrálu tvaru∫

R(x,√

a2 + x2) dx budemeopět vycházet z pravoúhlého trojúhelníku, jehož strany označíme vhod-nými proměnnými.

√a2 + x2

x

a

t

Potom tg t = xa, použijeme tedy substituci x = a tg t.

Příklad 40. Vypočtěte neurčitý integrál∫ √1 + x2 dx na R.

∫ √1 + x2 dx =

∣

∣

∣

∣

∣

x = tg tdx = dt

cos2 t

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

√

1 + tg2 tdtcos2 t

=∫

√

1 +sin2 tcos2 t

dtcos2 t

=∫

√

cos2 t+ sin2 tcos2 t

dtcos2 t

=∫

√

1cos2 t

dtcos2 t

=∫

dtcos3 t

=

∣

∣

∣

∣

∣

sin t = kcos t dt = dkdt = dk

cos t

∣

∣

∣

∣

∣

=∫

1cos3 t

· dkcos t

=∫

dkcos4 t

=∫

dk(1− sin2 t)2

=∫

dk(1− k2)2

39

=∫

dk[(1− k)(1 + k)]2

=∫

dk(1− k)2(1 + k)2

Rozkladem na parciální zlomky obdržíme

=14

∫

dk1− k

+14

∫

dk(1− k)2

+14

∫

dk1 + k

+14

∫

dk(1 + k)2

= −14ln |1− k|+ 1

411− k

+14ln |1 + k| − 1

411 + k

+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + k

1− k

∣

∣

∣

∣

+1 + k − 1 + k

4(1− k2)+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + k

1− k

∣

∣

∣

∣

+2k

4(1− k2)+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + k

1− k

∣

∣

∣

∣

+k

2(1− k2)+ c.

Nyní se vrátíme k substitucím. Za k dosadíme zpět sin t, z x = tg t sivyjádříme t = arctg x a dosadíme.

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + sin t

1− sin t

∣

∣

∣

∣

+sin t

2(1− sin2 t) + c

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + sin (arctg x)1− sin (arctg x)

∣

∣

∣

∣

+sin t

2 cos2 t+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

1 + sin (arctg x)1− sin (arctg x)

∣

∣

∣

∣

+sin (arctg x)2 cos2 (arctg x)

+ c


x2 − a2)

Výpočet neurčitého integrálu tvaru∫

R(x,√

x2 − a2) dx si opět usnad-níme pomocí pravoúhlého trojúhelníku, jehož strany označíme vhod-nými proměnnými.

xa

√x2 − a2

t

Potom sin t = ax, použijeme tedy substituci x = a

sin t.

40

Příklad 41. Vypočtěte neurčitý integrál∫ √

x2 − 1 dx na intervalech(−∞, −1〉 a 〈1, ∞).

∫ √x2 − 1 dx =

∣

∣

∣

∣

x = 1sin t

dx = − cos tsin2 t

dt

∣

∣

∣

∣

=∫

√

1sin2 t

− 1 − cos tsin2 t

dt

= −∫

√

1− sin2 tsin2 t

· cos tsin2 t

dt

= −∫

√

cos2 tsin2 t

· cos tsin2 t

dt

= −∫

cos2 tsin3 t

dt

=

∣

∣

∣

∣

∣

cos t = u− sin t dt = dudt = −du

sin t

∣

∣

∣

∣

∣

= −∫

u2

sin3 t· −dusin t

=∫

u2 dusin4 t

=∫

u2 du(1− cos2 t)2

=∫

u2 du(1− u2)2

=∫

u2

(1− u)2(1 + u)2du

Rozkladem na parciální zlomky dostaneme

=∫(

141

u − 1 +14

1(u − 1)2 +

14

1(u+ 1)2

− 141

u+ 1

)

du

=14ln |u − 1| − 1

41

u − 1 −141

u+ 1− 14ln |u+ 1|+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

u − 1u+ 1

∣

∣

∣

∣

− 14

(

1u − 1 +

1u+ 1

)

+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

u − 1u+ 1

∣

∣

∣

∣

− 142u

u2 − 1 + c.

41

Vrátíme se k substituci u = cos t, odkud

=14ln

∣

∣

∣

∣

cos t − 1cos t+ 1

∣

∣

∣

∣

− 12cos t

cos2 t − 1 + c

=14ln

∣

∣

∣

∣

cos t − 1cos t+ 1

∣

∣

∣

∣

+12cos t

1− cos2 t + c

=14ln

∣

∣

∣

∣

cos t − 1cos t+ 1

∣

∣

∣

∣

+12cos tsin2 t

+ c.

Nyní si ze substituce sin t = 1xvyjádříme t = arcsin 1

xa dosadíme.

=14ln

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

arcsin 1x

)

− 1cos(

arcsin 1x

)

+ 1

∣

∣

∣

∣

∣

+12x2 cos

(

arcsin1x

)

+ c

Jiné možné ukončení příkladu: můžeme použít cos t =√

1− sin2 t =√

1− 1x2=

√x2−1x. Potom

14ln

∣

∣

∣

∣

cos t − 1cos t+ 1

∣

∣

∣

∣

− 12cos t

cos2 t − 1 + c =14ln

∣

∣

∣

∣

∣

√x2−1x

− 1√

x2−1x+ 1

∣

∣

∣

∣

∣

+12x2

√x2 − 1x

+ c

=14ln

∣

∣

∣

∣

∣

√x2−1−x

x√x2−1+x

x

∣

∣

∣

∣

∣

+12x√

x2 − 1 + c

=14ln

∣

∣

∣

∣

√x2 − 1 + x√x2 − 1− x

∣

∣

∣

∣

+12x√

x2 − 1 + c.



•∫

dx√4−x2

[

arcsin (x2) + c

]

•∫

dx(16+x2)2

[

132(16+x2)

+ 1128arctg (x

4) + c

]

•∫

dx√9−4x2

[

12arcsin 2

3x+ c

]

•∫

x2√16−x2

dx[

−12x√16− x2 + 8 arcsin 1

4x+ c

]

42

Kapitola 3

Neurčité integrály s Maplem

3.1 Úvod do programu Maple

Co je Maple

Maple je systémem počítačové algebry (CAS, Computer Algebra Sys-tems), což jsou interaktivní programy modelující matematické operacese symbolickými výrazy. Samotný název programu si můžeme vysvětlitdvěma způsoby. Jako první se nabízí zkratka anglického ”mathematicspleasure” (matematika potěšením). Druhou možností je odvodit si jejz toho, že byl vyvinut převážně v Kanadě na University of Waterloo, aproto dostal jméno Maple (javor).Maple budeme používat pro jeho snadné ovládání a rozšíření na vy-sokých školách v České republice. Umožňuje provádět jak symbolickéa numerické výpočty, tak i tvorbu grafů funkcí a jejich uložení. Jehoprocedury pokrývají širokou oblast matematiky od základů diferenci-álního a integrálního počtu, lineární algebry až k diferenciálním rovni-cím, geometrii a logice. V následujícím textu si ukážeme využití Maplupři výpočtech neurčitých integrálů. Více o tomto programu se dozvítena www stránce http://www.maplesoft.com.

Základní příkazy

Nyní si vysvětlíme některé příkazy a symboly, které budeme v dalšímtextu používat. Příkazem x := a Maple provede přiřazení hodnoty aproměnné x. Symbol % odkazuje na poslední vyhodnocený výsledek.Algebraický výraz V lze zjednodušit příkazem simplify(V ) . Příkazsubs(x = t, f) použijeme, pokud potřebujeme za proměnnou x dosa-dit výraz t. Příkaz D(f) použijeme, jestliže chceme nějakou funkci fv Maplu derivovat.A nyní již přejděme k neurčitým integrálům. Příkaz Int(f(x), x) ne-

43

určitý integrál vypíše. Tento příkaz slouží převážně k přehlednějšímzápisům neurčitých integrálů a ke kontrole zadání.

Příklad 42.> Int(4*x^3,x);

∫

4 x3 dx

Příkaz int(f(x), x) neurčitý integrál dané funkce vyhodnotí.

Příklad 43.> int(4*x^3,x);

x4

Příklad 44.> Int(4*x^3,x)=int(4*x^3,x);

∫

4 x3 dx = x4

Vyhodnocení neurčitého integrálu, který je již zapsán pomocí příkazuInt, lze provést zadáním příkazu value .

Příklad 45.> Int(sqrt(x),x):%=value(%);

∫ √x dx =

23

x(3/2)

Příkaz integrand(I) vypíše z integrálu I integrovanou funkci.

Příklad 46.> Int(12*x,x);

∫

12 x dx

> integrand(%);

12 x

Pokud Maple neumí daný integrál vypočítat, pouze jej vypíše nebozjednoduší.

Příklad 47.> int(1/(x+exp(x)),x);

∫

1x+ ex

dx

44

Vyšší verze programu Maple poskytují další příkazy, které lze využít přiintegrování. Jde například o příkazy Hint a Rule, které jsou dostupnéod verze 8. Aplikací příkazu Hint na neurčitý integrál nám Maple po-radí metodu, kterou je vhodné při výpočtu daného integrálu použít.Tuto radu aplikujeme příkazem Rule. Více se o této problematice do-zvíte na internetové stránce http://cgi.math.muni.cz/~xsrot/int,kde je k dispozici práce Mgr. Pavla Kříže a RNDr.Karla Šrota Inte-grální počet v R s programem Maple, zápisník pro program Maple 8s procedurou VypocetIntegralu a řešené příklady pomocí této pro-cedury.

3.2 Výpočet primitivní funkce s Maplem

Poznámka. Ze znalostí získaných v kapitole 1 víme, že k integrovanéfunkci existuje na příslušném intervalu nekonečně mnoho primitivníchfunkcí lišících se o konstantu (viz věta 1.2). Maple automaticky volíintegrační konstantu nulovou.

Příklad 48. S využitím programu Maple si ukážeme, že funkce x3

je primitivní funkcí k funkci 3x2 na intervalu (−∞, ∞).

> int(3*x^2,x);

x3

3.3 Integrační metoda per partes s Maplem

Vzoreček pro výpočet neurčitých integrálů metodou per partes (viz 2.1)lze pomocí programu Maple zapsat takto:

> with(student):> Int(u(x)*Diff(v(x), x),x)=intparts(Int(u(x)*Diff(v(x),x), x),u(x));

∫

u(x) ( ∂∂xv(x)) dx = u(x) v(x)−

∫

( ∂∂xu(x)) v(x) dx

Nyní si na příkladě 4 ukážeme, jak můžeme integrovat metodou perpartes s využitím programu Maple. Nejprve musíme zavolat knihovnustudent, což provedeme příkazem with(student): . Pro výpočet inte-grálu metodou per partes použijeme příkaz intparts(Int(f(x), x), u),kde f(x) značí funkci, kterou budeme integrovat a u značí proměnnouve vzorci 3.3, kterou budeme derivovat.

45

Poznámka. Knihovnu student zavoláme u prvního příkladu a u dalšíchpříkladů už načítání této knihovny neuvádíme.


x ex dx s pomocí programuMaple.

> with(student):

> f:=intparts(Int(x*exp(x), x), x);

f := x ex −∫

ex dx

> value(f);

x ex − ex


x cosx dx s pomocí pro-gramu Maple.

> g:=intparts(Int(x*cos(x),x),x);

g := x sin(x)−∫

sin(x) dx

> value(g);

x sin(x) + cos(x)

Také příklady vedoucí na rovnici (viz příklad 10) lze vyřešit pomocíMaplu. Potřebujeme k tomu znát příkaz isolate, který danou rovnicipřevede do tvaru, kde je na levé straně rovnice výraz, který chcemevyjádřit, a na pravé straně je hodnota vyjadřovaného výrazu. Tentopříkaz má dva povinné parametry. Prvním je rovnice, ze které budemevyjadřovat. Druhý parametr obsahuje výraz, který chceme vyjádřit.Jako třetí, nepovinný, parametr můžeme zadat číslo udávající maxi-mální počet úprav, které mohou být při výpočtu provedeny. Příkazrhs(%) odkazuje na pravou stranu rovnice v posledním vyhodnocenémvýsledku. Příkaz lhs(%) odkazuje na levou stranu rovnice v poslednímvyhodnoceném výsledku.


ex cosx dx pomocí programuMaple.

> i:=Int(exp(x)*cos(x), x);

i :=∫

ex cos(x) dx

46

> i=intparts(i, exp(x));∫

ex cos(x) dx = ex sin(x)−∫

ex sin(x) dx

> i=intparts(rhs(%), exp(x));∫

ex cos(x) dx = ex sin(x) + ex cos(x) +∫

− ex cos(x) dx

> simplify(%);∫

ex cos(x) dx = ex sin(x) + ex cos(x)−∫

ex cos(x) dx

> isolate(%, i);∫

ex cos(x) dx =12

ex sin(x) +12

ex cos(x)


(x2 + 1)e−2x dx pomocíprogramu Maple.

> i:=Int((x^2+1)*exp(-2*x), x);

i :=∫

(x2 + 1) e(−2x) dx

> i=intparts(i, x^2+1);∫

(x2 + 1) e(−2x) dx = −12(x2 + 1) e(−2x) −

∫

− x e(−2x) dx

> simplify(%);∫

(x2 + 1) e(−2x) dx = −12

e(−2x) x2 − 12

e(−2 x) +∫

x e(−2 x) dx

> i=intparts(rhs(%), x);∫

(x2 + 1) e(−2x) dx = −12

e(−2 x) x2 − 12

e(−2x) − 12

x e(−2x) −∫

− 12

e(−2 x) dx

47

> i=value(rhs(%));∫

(x2 + 1) e(−2x) dx = −12

e(−2x) x2 − 34

e(−2 x) − 12

x e(−2 x)

Nyní si výsledek ověříme přímým výpočtem takto:

> value(i);

−12

e(−2x) x2 − 34

e(−2 x) − 12

x e(−2 x)

3.4 Integrace substitucí s programem Maple

Nyní si ukážeme, jak lze příklad 13 vypočítat s programem Maple.Pro integraci substitucí existuje v Maplu příkaz changevar(f(x) =g(t), Int(f(x), x), t), kde f(x) = g(t) je vyjádření substituce a t je nováintegrační proměnná. Abychom mohli tento příkaz použít, musíme opětzavolat knihovnu student. Tu zavoláme u prvního příkladu a u dalšíchpříkladů již její načtení neuvádíme.


tg x dx s využitím pro-gramu Maple. Nejprve si tg x rozepíšeme na sinx

cos xa na tento zlomek

nyní uplatníme příkazy pro integraci substitucí v Maplu.

> with(student):

> S:=changevar(cos(x)=t,Int(sin(x)/cos(x),x),t);

S :=∫

− 1t

dt

> S1:=value(S);

S1 := −ln(t)

> changevar(t=cos(x),S1,x);

−ln(cos(x))

48


lnxxdx pomocí programu

Maple.

> changevar(ln(x)=t,Int(ln(x)/x,x),t);∫

t dt

> value(%);

12

t2

> changevar(t=ln(x),t^2/2,x);

12ln(x)2

> Int(ln(x)/x,x)=int(ln(x)/x,x);∫

ln(x)x

dx =12ln(x)2

3.5 Rozklad na parciální zlomky s programemMa-ple

Program Maple umožňuje rozložit racionální lomenou funkci f na par-ciální zlomky (viz 2.3.1)příkazem convert(f ,parfrac,proměnná).

Příklad 55. Rozložte racionální lomenou funkci 12x+7x2−9x+18 na parciální

zlomky s využitím programu Maple.

> convert((12*x+7)/(x^2-9*x+18),parfrac,x);

−4331

x − 3 +7931

x − 6Příklad 56. Vypočtěte neurčitý integrál

∫

xx3−1 dx pomocí pro-

gramu Maple.

> convert(x/(x^3-1),parfrac,x);

131

x − 1 −13

x − 1x2 + x+ 1

49

> int(%,x);

13ln(x − 1)− 1

6ln(x2 + x+ 1) +

13

√3 arctan(

13(2 x+ 1)

√3)


x7+7x−1x9+2x6+x3

dx pomocí pro-gramu Maple.

> convert((x^(7)+7*x-1)/(x^(9)+2*x^(6)+x^(3)),parfrac,x);

− 1x3+ 71x2+

1(x+ 1)2

+3191

x+ 1− 191 + 31 x

x2 − x+ 1− 13

7 + x

(x2 − x+ 1)2

> int(%,x);

121x2

− 7 1x− 1

x+ 1+319ln(x+ 1)− 31

18ln(x2 − x+ 1)−

−73

√3 arctan(

13(2 x − 1)

√3)− 1

915 x − 9

x2 − x+ 1

3.6 Integrování trigonometrických funkcí s Maplem

Také neurčité integrály, při jejichž řešení používáme univerzální substi-tuci tg x

2= t (viz 2.5.1), lze řešit s Maplem. U následujícího příkladu

použijeme pro substituci příkaz subs.


dx2+sinx+cos x

pomocí pro-gramu Maple.

> i:=1/(2+sin(x)+cos(x));

i :=1

2 + sin(x) + cos(x)

> subs(sin(x)=2*t/(1+t^2),cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2),dx=2/(1+t^2),i*dx);

21

(2 + 2t

1 + t2+1− t2

1 + t2) (1 + t2)

> simplify(%);

21

3 + t2 + 2 t

50

> int(%,t);√2 arctan(

14(2 t+ 2)

√2)

> subs(t=tan(x/2),%);√2 arctan(

14(2 tan(

12

x) + 2)√2)

Nyní příklad 31 vypočteme s Maplem užitím příkazu changevar asprávnost výsledku ověříme derivací pomocí příkazu diff(f, x). K ově-ření, zda se výsledek derivace shoduje s původní integrovanou funkcí,použijeme příkaz testeq(derivace=integrand). Tento příkaz vypíšehodnotu true, pokud se derivace a integrovaná funkce shodují. V opač-ném případě vypíše hodnotu false.


1sinxdx pomocí programu

Maple.> with(student):

> i:=Int(1/sin(x), x);

i :=∫

1sin(x)

dx

> i=changevar(cos(x)=t, i, t);∫

1sin(x)

dx =∫

− 11− t2

dt

> simplify(%);∫

1sin(x)

dx =∫

1−1 + t2

dt

> integrand(rhs(%));

1−1 + t2

> convert(%, ’parfrac’, t);

51

121

t − 1 −121

t+ 1

> int(%, t);

12ln(t − 1)− 1

2ln(t+ 1)

> v:=subs(t=cos(x), %);

v :=12ln(cos(x)− 1)− 1

2ln(cos(x) + 1)

> diff(v,x);

−12sin(x)cos(x)− 1 +

12sin(x)cos(x) + 1

> testeq(%=integrand(i));

true

Integrování trigonometrických funkcí užitím speciální substituce (viz2.5.2) provedeme příkazem changevar.


sin3 x cos3 x dx pomocí pro-gramu Maple.

> with(student):

> i:=Int(sin(x)^3 *cos(x)^2, x);

i :=∫

sin(x)3 cos(x)2 dx

> i=changevar(cos(x)=t, i, t);∫

sin(x)3 cos(x)2 dx =∫

− (1− t2) t2 dt

> value(rhs(%));

15

t5 − 13

t3

52

> i=subs(t=cos(x), %);∫

sin(x)3 cos(x)2 dx =15cos(x)5 − 1

3cos(x)3

3.7 Trigonometrické substituce pomocí programuMaple

Také neurčité integrály iracionálních funkcí s využitím trigonometric-kých substitucí (viz 2.6) lze počítat pomocí programu Maple. U násle-dujících příkladů budeme postupovat takto: nejprve definujeme funkci,kterou chceme v Maplu integrovat, poté si zvolíme vhodnou trigono-metrickou substituci a aplikujeme ji příkazem changevar (viz 3.4).Pokračujeme výpočtem integrálu funkce s novou proměnnou a nakonecprovedeme zpětné nahrazení příkazem subs.


x3√4− x2 dx pomocí

programu Maple.

> i:=x^(3)*sqrt(4-x^2);

i := x3√4− x2

> with(student):

> changevar(x=2*sin(t),Int(i,x),t);∫

16 sin(t)3√

4− 4 sin(t)2 cos(t) dt

> value(%);

−325sin(t)2 (1− sin(t)2)(3/2) − 64

15(1− sin(t)2)(3/2)

> subs(sin(t)=x/2,%);

−85

x2 (1− 14

x2)(3/2) − 6415(1− 1

4x2)(3/2)

53


dx9+x2

pomocí programuMaple.

> i:=1/(9+x^2);

i :=1

9 + x2

> with(student):

> changevar(x=tan(t),Int(i,x),t);∫

1 + tan(t)2

9 + tan(t)2dt

> value(%);

13arctan(

13tan(t))

> subs(tan(t)=x,%);

13arctan(

13

x)

54

Rejstřík použitých příkazů

:=, 43

changevar, 48, 51, 52convert, 49

D(f), 43diff(f, x), 51

Int(f(x), x), 43int(f(x), x), 44integrand, 44intparts, 45isolate, 46

lhs(%), 46

rhs(%), 46

simplify, 43subs, 43, 50, 53

testeq, 51

value, 44

with(student):, 45

55

Závěr

Jak již bylo řečeno v Úvodu, obsah této práce je prezentován také vewebové podobě, a to na adrese http://www.math.muni.cz/~xschlesi/bakalarka/integraly. Její textová verze ve formátu pdf je k dispozicina http://www.math.muni.cz/~xschlesi/bakalarka.Odpověď na otázku, jak převést text vytvořený v LATEXu do podobyhtml, aby výstup na obrazovce neodlákal čtenáře, není nijak jednodu-chá.Základním nástrojem pro převod LATEXu do html je program latex2html.Ten je dodáván jako součást standardní distribuce TEXu na unixovýchplatformách. Jeho použití je velmi jednoduché a přímočaré, ovšem ty-pograficky náročné dokumenty, jako je například tato práce, nepřevádízcela korektně. Při použití tohoto programu jsem se setkala s těmitonedostatky:

• Kvalita výsledných obrázků nebyla vždy dostačující.

• Převod dokumentu trval poměrně dlouhou dobu.

Další možností je převést dokument do podoby hypertextového pdf,což ale nevyhovuje všem uživatelům.Pro převod této práce jsem nakonec použila sadu skriptů, které vytvořila neustále zdokonaluje RNDr. Karel Šrot. Při použití těchto skriptů jekvalita výsledných obrázků ve srovnání s programem latex2html mno-honásobně vyšší. K jejich dalším výhodám patří zejména to, že jsounapsány v jazyku Python. Python patří do rodiny interpretovanýchskriptovacích jazyků. Právě díky tomu má uživatel možnost jednodušezasahovat přímo do zdrojového kódu skriptů a tím ovlivňovat výsled-nou podobu generované stránky. Jejich přímou editaci usnadňují takébohaté a věcné komentáře.Při převodu tyto skripty postupují podobně jako program latex2html.Textové informace převedou přímo do jazyku html. Matematická pro-středí a jiné náročné části dokumentu převedou na obrázky, které ná-sledně vloží do vytvořené stránky. Obrázky jsou vytvářeny podle ná-sledujícího schématu: ”latex -> dvi -> ps -> png”.

56

Vzhledem k tomu, že v době převodu této práce nebyly skripty zceladokončeny, musela jsem věnovat poměrně dlouhou dobu úpravám vý-sledného html souboru. Jednalo se zejména o zarovnání obrázků k účaří,doplnění ilustrací, přetvoření seznamů, atd. Celou práci jsem upravilatak, aby ji korektně zobrazovaly dva nejrozšířenější webové prohlížeče– Firefox a Internet Explorer. Přesto jsou zde vidět jisté rozdíly. Jdenapříklad o to, že Internet Explorer nepodporuje průhlednost v pngobrázcích.I přes jisté nesnáze, kterým jsem při použití těchto skriptů musela če-lit, je vřele doporučuji všem, kteří jednou budou TEXový dokument dowebové podoby převádět. S jistotou mohu říct, že splnily svůj účel avýrazně mi usnadnily práci. Navíc mě seznámily se základy programo-vání, s jazykem html a kaskádovými styly.Na závěr bych ještě dodala, že tato stránka vznikla za účelem usnad-nit studentům učitelské matematiky na PřF MU (ale jistě nejen jim)studium neurčitých integrálů. Je sice pravda, že učební materiály o ne-určitých integrálech existují, ale nepokrývají zcela přesně látku probí-ranou v již dříve zmíněném předmětuMatematická analýza 2. Většinoujsou zaměřeny na problematiku integrálů hlouběji, než potřebují stu-denti učitelské matematiky. Proto všechny náročnější čtenáře odkazujina literaturu uvedenou na konci práce.

57

Literatura

[1] David J. Benny, Harvey P. Greenspan, James E. Turner, Calcu-lus:an introduction to applied mathematics, 1986.

[2] Boris Pavlovič Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematickéanalýzy, 2003.

[3] Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jednéproměnné, Brno 2003.

[4] Robert P. Hostetler, Roland E. Larson, Calculus with analyticgeometry, 1986.

[5] Vojtěch Jarník, Integrální počet (1), 1974.

[6] Zdeněk Jelínek, Olga Samotná, Matematika, Brno 1980.

[7] Vítězslav Novák, Integrální počet v R, Brno 2001.

[8] http://www.math.muni.cz/~plch/ 2006

[9] http://www.vsb.cz 2006

[10] http://www.fzu.cz 2006

58

Documents

Webktématu:Integrálnípočetv Rxschlesi/bakalarka/neurciteintegraly.pdf · Kapitola 1 Primitivní funkce 1.1 Deﬁnice primitivní funkce Deﬁnice 1. Je-li I ⊂ R interval a funkce