Wedderburn Finito b

Abstraction and Application, Vol. 1, (2009), 59-71. 59

El teorema de Wedderburn para anillos de division finitos

Roger Pacheco, Efren Perez*

Facultad de Ingenierıa, Facultad de Matematicas

Universidad Autonoma de Yucatan

*[email protected]

Abstract

The proof of the classical Wedderburn’s theorem on finite division rings is motivated through abstract

algebra exercises.

Resumen

Uno de los teoremas de Wedderburn nos dice que si D es un anillo de division finito entonces D esun campo; en este escrito motivamos dicho resultado resolviendo ejercicios clasicos de algebra modernay desarrollamos con detalle una prueba del teorema de Wedderburn.

Keywords and phrases : Anillos de division finitos, campos, anillos con potencia, conmutatividad, Wedderburn.

2010 Mathematics Subject Classification 1600, 1601.

1. Introduccion

Uno de los algebristas mas importantes de la historia fue el escoces Joseph Henry MacLagan Wedder-burn (2 de febrero de 1882 - 9 de octubre de 1948). Entre sus principales resultados ([MH]) estan unaparte del conocido Teorema de Wedderburn-Artin acerca de algebras semi-simples, el “Teorema principal deWedderburn” (de acuerdo con [Ro]) que nos dice que si R es una k−algebra de dimension finita con k uncampo perfecto entonces R ∼= S ⊕ rad(R) como S − S−bimodulos y S una k−algebra semisimple, ası comoel teorema que queremos mostrar en este texto, el cual tambien puede ser encontrado con el nombre de“Teorema pequeno de Wedderburn”. Ademas Jacobson [Ja] menciona que Wedderburn creo los anillos depolinomios oblicuos (skew polynomial rings) al mismo tiempo que Oystein Ore [O].

Es interesante que Nathan Jacobson, precisamente el creador del radical de Jacobson, fue el alumno masfamoso de Wedderburn (ver [MGP]).

Uno de los alumnos de Jacobson fue Louis Halle Rowen cuyos libros “Ring Theory” siguen siendo unareferencia obligada.

El teorema de Wedderburn de 1905 (ver [M]) establece que todo anillo de division finito es un campo; aprimera vista es curioso que la finitud y la posibilidad de dividir por elementos distintos de cero impliquenque la multiplicacion del anillo sea conmutativa.

En este escrito vamos a dar una prueba detallada del mencionado teorema, aunque comenzaremos proban-do que, para una infinidad de naturales n, el que un anillo tenga potencia n implica que dicho anillo esconmutativo.

Como un ejemplo de los anillos que estudiaremos, suponga que R es un anillo arbitrario que satisfacex2 = x para toda x en R. Afirmamos que R es conmutativo; sea x ∈ R, entonces 2x = (2x)2 = 4x2 = 4x


por lo cual 2x = 0. En particular esto implica x = −x para toda x ∈ R. Por otro lado, dados x, y ∈ Rarbitrarios, tenemos que

x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y

luego xy + yx = 0. Por lo tanto xy = −yx = yx para toda x, y en R, esto es, R es conmutativo. Como ellector recordara este es un ejercicio clasico de de los cursos de algebra moderna.

La intencion de dedicar la segunda seccion a los anillos con potencia es motivar el teorema de Wedderburny de pasada resolver varios ejercicios que comunmente se ven en el curso de algebra moderna, por lo que elpresente escrito puede ser de utilidad en el aula.

En la tercera seccion estudiamos dos casos de anillos de division que tambien son anillos con potencia,con la intencion de mostrar como usar la teorıa de campos en el resultado principal.

En la cuarta seccion se da una de las pruebas clasicas del teorema de Wedderburn.

Existe una generalizacion de Jacobson hasta anillos acotados (todo anillo con potencia es un anilloacotado) la cual puede encontrar el lector en [He].

Por lo general R denotara un anillo. En este escrito los anillos no necesariamente tienen unitario. Si unanillo R tiene unitario 1R 6= 0R entonces denotamos por R× al grupo de las unidades de R; si R es un anillode division entonces R× = R− {0}.

2. Anillos con potencia

Definicion 2.1 Sea R un anillo. Un entero n > 1 es una potencia del anillo R si xn = x para toda x ∈ R.Denotamos por Pt(R) al conjunto de todas las potencias del anillo R y si Pt(R) 6= ∅ entonces decimos queR es un anillo con potencia.

Observacion 2.2 Notese que un anillo con potencia puede tener varias potencias; de hecho, si n ∈ Pt(R)entonces n2 ∈ Pt(R).

Ejemplo 2.3 Es facil verificar que todo anillo de division finito es un anillo con potencia. Por otro lado,consideremos el anillo R = F2 × F2 × ... = ×i∈NF2, donde F2 es el campo con 2 elementos: R es un anilloinfinito, no es un dominio y Pt(R) = N− {1}.

En la introduccion mostramos que si 2 es potencia del anillo R entonces R es conmutativo. Es bienconocido que si R es un anillo con potencia entonces R es conmutativo [He]; en este escrito no haremosla prueba completa, pero sı veremos que para algunas n particulares, los anillos R con potencia tales quen ∈ Pt(R) son conmutativos. Para lograrlo vamos a obtener algunos resultados acerca de los anillos conpotencia.

Lema 2.4 Sea R un anillo con potencia y sean x, y ∈ R. Si xy = 0 entonces yx = 0.

Demostracion. Como R es un anillo con potencia existe n ∈ Pt(R), luego yx = (yx)n y tenemos que

yx = (yx)(yx) · · · (yx) = y(xy) · · · (xy)x.

Por definicion n > 1, ası que el factor xy aparece al menos una vez; como xy = 0 entonces yx = 0.

�


Definicion 2.5 Recordemos que x ∈ R es un elemento idempotente si satisface la identidad x2 = x. Porotro lado, el centro de un anillo, que denotaremos por Z(R), es por definicion el conjunto

Z(R) = {x ∈ R|xy = yx para toda y ∈ R}.

Es facil verificar que Z(R) es un subanillo de R.

Lema 2.6 Sea R un anillo con potencia. Si y es un elemento idempotente en R entonces y ∈ Z(R).

Demostracion. Sea y un idempotente en R y sea x un elemento arbitrario de R.

y(yx − x) = (y)2x − yx = yx − yx = 0; por el lema 2.4 tenemos que (yx − x)y = 0, por lo tantoyxy = xy.

De manera similar, (xy − x)y = 0, por lema 2.4 se sigue que y(xy − x) = 0, luego yxy = yx.

Hemos probado que xy = yx para toda x en R, ası que y ∈ Z(R).

�

Lema 2.7 Sea R un anillo con potencia y sea n ∈ Pt(R) entonces:

1. xn−1 es idempotente.

2. Si u ∈ N y u = t(n− 1) + r, con t ≥ 0 y 0 < r ≤ n− 1, entonces xu = xr.

Demostracion.

1. Si n = 2 entonces x = x2−1 es idempotente. Si n > 2 entonces(xn−1

)2 = xnxn−2 = xxn−2 = xn−1,luego xn−1 es idempotente.

2. Supongamos que u = t(n− 1) + r con 0 < r ≤ n− 1. Luego xu = xt(n−1)+r = xt(n−1)xr =(xn−1

)txr,

como xn−1 es idempotente entonces xu = xn−1xr; si r = 1 nos queda que xn−1xr = xn = x = xr,mientras que si r > 1 obtenemos que xn−1xr = xnxr−1 = xxr−1 = xr.

�

Observacion 2.8 En la demostracion anterior hemos evitado los exponentes cero, pues la expresion x0

puede no tener sentido cuando no hay elemento unitario en R.

Con las herramientas desarrolladas trabajaremos algunos casos, esto es, suponiendo que n ∈ Pt(R) paraalgunas n particulares. Tambien veremos que esta herramienta no es suficiente para probar el caso general,dado que cada uno de los casos que a continuacion presentamos utilizan metodos distintos y conforme ncrece la dificultad tambien.

Ejercicio 2.9 Si 3 ∈ Pt(R) entonces R es conmutativo.

Demostracion. Como 3 es potencia del anillo R entonces x3 = x para toda x en R. Sea x en R, note quex2 es idempotente para toda x en R por el lema 2.7. Sean x, y ∈ R arbitrarios, luego

xy = (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = x(yx)(yx)y = x(yx)2y,


como (yx)2, x2, y2 son idempotentes entonces por el lema 2.6 x2, y2, (yx)2 ∈ Z(R), por lo cual

xy = x(yx)2y = xy(yx)2 = xyyxyx = xy2xyx = y2x2yx = y3x3 = yx,

luego R es conmutativo.

�

Observacion 2.10 Sea R un anillo, decimos que R tiene caracterıstica n, si n es el entero positivo mınimotal que na = 0 para toda a ∈ R. Si no existe tal entero decimos que R tiene caracterıstica cero. Denotaremosla caracterıstica de un anillo R por car(R).

Lema 2.11 Si n par es una potencia del anillo R entonces car(R) = 2.

Demostracion. Dado x ∈ R, x = xn y (−x)n = −x, como n es par entonces xn = (−x)n por lo cual 2x = 0,de donde se sigue que R tiene caracterıstica 2 (a menos que R = {0} pero este caso carece de interes).

�

Ejercicio 2.12 Sea R un anillo. Si 4 ∈ Pt(R) entonces R es conmutativo.

Demostracion. Como la potencia de R es par, por el lema 2.11 R tiene caracterıstica 2. Luego

(x + x2)2 = x2 + 2x3 + x4 = x2 + x,

es decir que x + x2 es idempotente, ası que por el lema 2.6 x + x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R. Entonces, six, y ∈ R tenemos que (x + y) + (x + y)2, x + x2, y + y2 ∈ Z(R). Como Z(R) es un subanillo de R se sigueque (x + y) + (x + y)2 − (x + x2)− (y + y2) ∈ Z(R); simplificando obtenemos

xy + yx = (x + y) + (x + y)2 − (x + x2)− (y + y2) ∈ Z(R).

En consecuenciax2(x2y + yx2) = (x2y + yx2)x2,

o equivalentemente x4y = yx4, es decir que xy = yx; R es conmutativo.

�


Demostracion. Como x5 = x para toda x ∈ R, tenemos que 2x = (2x)5 = 32x5 = 32x, esto es,

30x = 0 para toda x ∈ R. (2.1)

Por otro lado, por el lema 2.7 x4 es idempotente por lo cual, usando el lema 2.6, x4 ∈ Z(R) para toda x. Deaquı

(x + x3)4 = x4 + 4x6 + 6x8 + 4x10 + x12 ∈ Z(R)

pero usando el lema 2.7 tenemos que x6 = x10 = x2, x8 = x12 = x4, luego

(x + x3)4 = x4 + 4x2 + 6x4 + 4x2 + x4 = 8(x4 + x2) ∈ Z(R).

Puesto que x4 ∈ Z(R) y Z(R) es un subanillo de R se sigue que

8x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R. (2.2)


De (2.1) y (2.2) obtenemos que

2x2 = 4(8x2) ∈ Z(R) para toda x ∈ R. (2.3)

Por otro lado,x + x2 = (x + x2)5 = x5 + 5x6 + 10x7 + 10x8 + 5x9 + x10.

Usando el lema 2.7 obtenemos que x5 = x9 = x, x6 = x10 = x2, x7 = x3, x8 = x4 por lo que

x + x2 = x + 5x2 + 10x3 + 10x4 + 5x + x2

de aquı, cancelando, 5x2 + 10x3 + 10x4 + 5x = 0, multiplicando la igualdad anterior por 3 y usando (2.1)obtenemos 15x2 + 15x = 0, es decir, 15x = −15x2 = 15x2 (usando otra vez (2.1)). Luego (15x)2 = 225x2 =15x2, es decir que 15x2 es idempotente por lo cual

15x = 15x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R. (2.4)

De (2.3) y (2.4) se sigue que

x2 = 15x2 − 7(2x2) ∈ Z(R) para toda x ∈ R. (2.5)

Por lo anterior, tenemos que

xy + yx = (x + y)2 − x2 − y2 ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R. (2.6)

De la identidad(x + x2)4 = x4 + 4x5 + 6x6 + 4x7 + x8 = x4 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4

y de (2.5), tenemos que4(x + x3) = (x + x2)4 − 2x4 − 6x2 ∈ Z(R),

ası que por (2.4)x + x3 = 16(x + x3)− 15(x + x3) ∈ Z(R).

Luego, por lo anterior tenemos que

[((x + y) + (x + y)3

)− (x + x3)− (y + y3)] ∈ Z(R),

es decir quex2y + xyx + yx2 + y2x + yxy + xy2 ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R. (2.7)

Si en la expresion (2.7) consideramos −y en lugar de y y el resultado obtenido se lo restamos a la expresionen (2.7) obtenemos que 2(x2y + xyx + yx2) ∈ Z(R) y por (2.4) tenemos que (x2y + yx2) + xyx ∈ Z(R) dedonde, usando (2.6), se sigue que

xyx ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R. (2.8)

Por (2.8), tenemos que yxy ∈ Z(R), luego y(xyx)(yxy)(xyx) = (xyx)(yxy)(xyx)y, ası que

yx = (yx)5 = (xy)5 = xy

lo cual dice que R es conmutativo.

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Demostracion. Por el lema 2.11, 2x = 0 para toda x en R, ası que para x en R tenemos que

x + x2 = (x + x2)6 = x6 + 6x7 + 15x8 + 20x9 + 15x10 + 6x11 + x12 = x + x8 + x10 + x12.

Ahora usamos la observacion 2.7, para obtener x8 = x3, x10 = x5, x12 = x2 luego

x + x2 = x + x8 + x10 + x12 = x + x3 + x5 + x2.


Por lo cual x3 + x5 = 0, esto es x3 = −x5 = x5 (pues car(R) = 2). Multiplicando la igualdad anterior porx3 y reduciendo los exponentes (usando el lema 2.7) obtenemos que x = x3; es decir que 3 ∈ Pt(R), por loque el ejercicio 2.9 nos dice que R es conmutativo.

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En el ejercicio previo aparece la idea de disminuir la potencia con la que se esta trabajando, lo que nospermite tratar con los anillos tales que 2m +2 ∈ Pt(R), pero para ello vamos a necesitar un resultado previo.

Lema 2.15 Para 2m +2, con m ≥ 2, se tiene que los unicos coeficientes binomiales impares de(

2m + 2n

)

son(

2m + 20

),(

2m + 22

),(

2m + 22m

)y

(2m + 22m + 2

).

Demostracion. Primero veamos que los unicos coeficientes binomiales impares de 2m con

m ≥ 1 son(

2m

0

)y

(2m

2m

). Procedamos por induccion:

i. Para m = 1, los coeficientes binomiales son(

20

),(

21

),(

22

), de los que los unicos impares son(

20

)= 1 y

(22

)= 1.

ii. Supongamos como hipotesis de induccion que el resultado es valido para m = k y demostremos el casom = k +1. Recordemos que los coeficientes binomiales de 2k+1 son los que aparecen en el desarrollo de

(a + b)2k+1

=((a + b)2

k)2

=

2k∑i=0

(2k

i

)aib2k−i

2

.

Usando la identidad

(x0 + x1 + · · ·+ xl)2 = x21 + x2

2 + · · ·+ x2l + 2

∑0≤i<j≤l

xixj

obtenemos que

(a + b)2k+1

=2k∑i=0

(2k

i

)2

a2ib2k+1−2i + 2

∑0≤i<j≤2k

(2k

i

) (2k

j

)ai+jb2k+1−(i+j)

. (2.9)

Ası que por la hipotesis de induccion los unicos terminos con coeficientes impares en el primer sumandoson (

2k

0

)2

a0b2k+1y

(2k

2k

)2

a2k+1b0.

Como en el segundo sumando todos los coeficientes son pares se sigue que los unicos terminos concoeficientes impares en (2.9) son a2k+1, b2k+1 y es bien conocido que sus coeficientes son(

2k+1

0

)y

(2k+1

2k+1

)respectivamente.


Ahora, si m ≥ 2 entonces 2m ≥ 4. Ası en la 2m−esima fila del triangulo de Pascal aparecen al menos 5posiciones las cuales, viendo el triangulo de Pascal modulo 2 tiene un 1 en la primera y ultima posicion yceros en las otras posiciones. A partir de esta fila podemos construir la fila 2m + 1 y la fila 2m + 2 paraobtener el resultado deseado:

2m 1 0 · · · 0 12m + 1 1 1 0 · · · 0 1 12m + 2 1 0 1 0 · · · 0 1 0 1

�

Proposicion 2.16 Sea R un anillo. Si para m ≥ 0 se tiene que 2m +2 ∈ Pt(R) entonces R es conmutativo.

Demostracion. Esta afirmacion es una generalizacion del caso 6 ∈ Pt(R). Por lema 2.11 la caracterısticade R es 2 luego, del lema 2.15 tenemos que

x + x2 = (x + x2)2m+2 = x2m+2 + x2m+4 + x2m+1+2 + x2m+1+4 = x + x2m+4 + x2m+1+2 + x2.

Se sigue que x2m+4 = −x2m+1+2 = x2m+1+2. Usando el lema 2.7 con 2m + 4 = (2m + 1) + 3 y 2m+1 + 2 =(2m +1)+(2m +1) obtenemos que x3 = x2m+1. Multiplicando la igualdad anterior por x, obtenemos x4 = xpara toda x en R, por lo cual 4 ∈ Pt(R); se sigue del ejercicio 2.12 que R es conmutativo.

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Observacion 2.17 El caso anterior nos resuelve muchos mas, por ejemplo:

Suponga que 12 ∈ Pt(R). Sea l ∈ N y x en R. Puesto que x11 es idempotente (por 2.7), se tiene quex12+l(11) = x12

(x11

)l = xx11 = x12 = x; en particular cuando l = 2, x34 = x para toda x en R pero34 = 25 + 2 luego 25 + 2 ∈ Pt(R): por el caso anterior R es conmutativo.

14 ∈ Pt(R). Procediendo del modo analogo al anterior, podemos ver que x14+13l = x en particularpara l = 4, x66 = x para toda x en R pero 66 = 26 + 2 ∈ Pr(R).

Potencia de R igual a 20. En este caso x20+(26)19 = x para toda x ∈ R, sin embargo 514 = 29 + 2 ∈Pt(R).

3. Ejemplos en anillos de division con potencia

El desarrollo de la seccion previa puede haber convencido al lector de que vale la pena cambiar el enfoquey primero tratar de resolver la cuestion de conmutatividad con una hipotesis mas restrictiva, por lo queahora vamos a trabajar con anillos con potencia que ademas son anillos de division.

Definicion 3.1 R es un anillo de division si es un anillo con elemento unitario y ademas cada elemento nocero en R es una unidad, o equivalentemente, el grupo de las unidades de R bajo la multiplicacion (denotadoR×) es R− {0}.

Observacion 3.2 Si R es un anillo de division entonces Z(R), el centro de R, es un campo: sabemos que esun subanillo conmutativo de R y si x ∈ Z(R) con x 6= 0 tendremos que xr = rx para toda r ∈ R y despejandoque rx−1 = x−1r, luego x−1 ∈ Z(R). Notemos que por [Hu, teorema 1.9, pag. 119] p = car(R) = car(Z(R))y, por este mismo teorema, p = 0 o bien p es un numero primo. Luego existe un subcampo F de Z(R) talque Q ∼= F si p = 0 o bien Fp

∼= F si p > 0, este campo es llamado el campo primo de R. Sin perdida degeneralidad, podemos suponer que F = Q o bien F = Fp segun sea el caso.


Para a 6= 0 y F el campo primo de R se denota por F (a) el campo generado por F y a y se caracterizacomo

F (a) = {f(a)/g(a)|f(t), g(t) ∈ F [x] con g(a) 6= 0}

[Hu, teorema 1.3, pag. 232]. Ademas si a es raız del polinomio g(x) que tiene coeficientes en F , entonces por[Hu, teorema 1.6, pag. 234] F (a) visto como un espacio vectorial sobre F es de dimension finita, ası F (a) ∼= Fm

(como F -espacios vectoriales) para algun m ∈ N.

En particular, si F es finito y a es raız de un polinomio g(x) ∈ F [x] entonces F (a) es finito y tiene pm

elementos donde p = car(R), y F (a) ∼= Fm. Mas aun, F (a)× es un grupo cıclico con pm − 1 elementos, porlo cual posee un elemento de orden pm − 1 (ver [Hu, teorema 5.3, pag. 279]).

Veamos que se puede hacer tras la restriccion de trabajar con anillos de division.

Observacion 3.3 Sea R un anillo de division y sea x ∈ R tal que xn = 1 y xm = 1. Entonces xd = 1 donded = (n, m) es el maximo comun divisor.

Ejercicio 3.4 Si R es un anillo de division tal que 7 ∈ Pt(R), entonces R es conmutativo.

Demostracion. La hipotesis implica que x6 = 1 para toda x ∈ R×. Notese que (2x)7 = 128x = 2x por locual 126x = 0 para toda x luego, por el principio del buen orden, existe un natural p (p = car(R)) mınimo talque px = 0 para toda x ∈ R; por lo recordado en la observacion 3.2 se tiene que p es primo. Por minimalidadde p se puede afirmar que p divide a 126 = 2 · 32 · 7, luego p solo puede ser 2, 3 o 7.

Como p > 0 es la caracterıstica de R entonces podemos considerar que el campo Fp esta contenido en R.Si α ∈ R es arbitrario entonces, como α7 − α = 0, se tiene que Fp (α) es un campo finito con pn elementospara algun n ∈ N.

Usando los comentarios anteriores y el hecho de que Fp (α)× es un grupo cıclico bajo la multiplicacion,probaremos que R es conmutativo analizando los siguientes casos:

Si la caracterıstica de R es 2 y α ∈ R× es arbitrario entonces tenemos que 1 = α6 =(α3

)2. En el anillo

de division R la ecuacion x2 = 1 tiene unicamente la solucion x = 1, por lo que α3 = 1 y α4 = α :como α fue arbitrario, tenemos que 4 ∈ Pt(R); por ejercicio 2.12 R es conmutativo.

Ahora supongamos que la caracterıstica de R es 3. Ahora tenemos las identidades 1 = α6 =(α2

)3,

por lo que α2 = 1 y α3 = α : se sigue que 3 ∈ Pt(R) y, por el ejercicio 2.9, que R es conmutativo.

Finalmente supongamos que la caracterıstica de R es 7 y sea α ∈ R×. Entonces F7(α) tiene 7n elementosy el grupo multiplicativo F7(α)× tiene un elemento de orden 7n − 1. Se sigue que 7n − 1 divide a 6,luego n = 1. Tenemos ası que F7(α) = F7 y α ∈ F7 : se sigue que R = F7.

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Observacion 3.5 Veamos que podemos decir del caso 8 ∈ Pt(R) con las ideas ya mostradas. Sea R unanillo tal que 8 es una potencia de R. Por el lema 2.11 R tiene caracterıstica 2, por lo que el campo primode R es F2. Sea α ∈ R×, dado que α8 = α entonces F2 (α) tiene 2n elementos para algun n. Como F2 (α)×

es cıclico, entonces tiene un elemento β de orden 2n − 1. Puesto que β7 = 1 tenemos que 2n − 1 divide a 7,ası que n = 3.

Como podra observar el lector no hemos logrado reducir el analisis a un caso ya conocido, por lo que esnecesario intentar algo nuevo.

A partir de ahora agregaremos la hipotesis de que R es finito. Para obtener mas provecho de esta nuevarestriccion usaremos lo siguiente:


Lema 3.6 Sean R un anillo de division y a ∈ R. Entonces

Ca = {x ∈ R | xa = ax}

es un subanillo de division de R. Ademas Z(R) ⊆ Ca ⊆ R.

Demostracion.

Si x ∈ Z entonces xr = rx para toda r ∈ R, en particular xa = ax, luego x ∈ Ca; se sigue queZ(R) ⊆ Ca.

Sean x, y ∈ Ca, entonces (x + y)a = xa + ya = ax + ay = a(x + y) por lo cual x + y ∈ Ca. Por otrolado (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy) luego xy ∈ Ca.

Sea x ∈ Ca con x 6= 0, como xa = ax entonces a = x−1ax, por lo cual ax−1 = x−1a, esto es, x−1 ∈ Ca.

�

Ya podemos regresar al caso 8.

Ejercicio 3.7 Sea R un anillo de division finito tal que 8 ∈ Pt(R), entonces R es conmutativo.

Demostracion. Para abreviar denotemos por Z al centro de R. Es conocido que Z es un campo queademas es una extension finita (pues R es finito) de F2. Ası que Z tiene que ser una extension simple, estoes, Z = F2 (γ) para algun γ ∈ Z (ver [Hu, corolario 5.4, pag. 279]) y por la observacion 3.5 Z tiene 2 u 8elementos. Sea α ∈ R− Z, de la observacion 3.5 se sigue que F2 (α) tiene 8 elementos.

Notese que F2 (α) ⊆ Cα. Ahora bien, si la contencion fuera propia, existirıa β ∈ Cα − F2(α), luegoF2 (α, β) es un campo que contiene a F2, α y β por lo cual contiene propiamente a F2 (α) , ası que F2 (α, β)tendrıa mas de 8 elementos. Por otro lado, ya que F2 (α, β) es finito entonces F2 (α, β) = F2 (δ) ; esto no esposible, pues cualquier campo contenido en R de la forma F2(δ) tiene a lo mas 8 elementos, por lo tantoF2 (α) = Cα.

Gracias al argumento desarrollado quedan dos casos por verificar:

Si Z tiene 8 elementos entonces Z = Cα para cualquier α ∈ R, lo que implica que R = Z.

Ahora consideremos el caso en que Z tiene 2 elementos. Notemos que R tiene estructura de espaciovectorial sobre el campo Z, por lo cual R ∼= Zn para algun n ∈ N de aquı que R tiene 2n elementos.Ası R× es un grupo bajo la multiplicacion de orden 2n − 1. Si α ∈ R − Z entonces, como en el incisoanterior, Cα es un campo con 8 elementos. Mas aun C×

α es el centralizador de α en el grupo R×.Tambien Z× es el centro de R×. Si hacemos actuar R× sobre sı mismo bajo conjugacion entonces elnumero de conjugados de α ∈ R× es igual al ındice | R× : C×

α | [Du, Proposicion 6, pag. 123]. Laecuacion de clase [Du, Teorema 7, pag. 124], implica:

|R×| = |Z×|+k∑

i=1

|R× : C×αi|

donde α1, α2, ..., αk son representantes de las distintas clases de conjugacion que no estan contenidas enel centro, por lo cual podemos suponer que αi 6∈ Z para cada i = 1, 2, ..., k. Por lo visto anteriormenteCαi

es un campo con 8 elementos, por lo cual |R× : C×αi| = |R×|/|C×

αi| = (2n − 1)/7, luego

2n − 1 = 1 +k∑

i=1

2n − 17

Reescribiendo esta ecuacion obtenemos 7(2n−1) = 7+k(2n−1), o bien, (7−k)(2n−1) = 7. Como 7 esprimo solo tenemos 2 casos. Si 7−k = 1 y 2n−1 = 7 entonces k = 6 y n = 3, luego R tiene 8 elementos;


considere algun αi, como Cαi es un campo de 8 elementos contenido en R entonces R = Cαi , por locual R es un campo. Esto es una contradiccion, pues implica que R = Z y estamos considerando quek = 6. Solamente queda que 7− k = 7 y 2n − 1 = 1, en cuyo caso k = 0 y n = 1, ası que R = Z = F2.

�

4. Un anillo de division finito es un campo

Como vimos en el ultimo ejemplo de la seccion previa, el hecho de que R sea un anillo de division finitopermite usar mas herramientas bien conocidas de los cursos de algebra moderna. Tambien hemos visto en laseccion previa que un anillo de division con potencia 7 es un campo y que un anillo de division finito y conpotencia 8 es un campo.

Teorema 4.1 (Wedderburn) Todo anillo de division finito es un campo.

Demostracion. Sea R un anillo de division finito. Sabemos que Z = Z(R), el centro de R, es un campocontenido en R. Supongamos que Z tiene q elementos. Procediendo como en el ejemplo anterior podemos vera R como un espacio vectorial sobre el campo finito Z. Puesto que R es finito tiene dimension finita comoun Z-espacio vectorial; se sigue que R ∼= Zn para algun n ∈ N. Probaremos que R = Z o, equivalentemente,que n = 1.

Para cada a ∈ R sea Ca = {x ∈ R | xa = ax}. En el lema 3.6 probamos que Z ⊆ Ca y que Ca es unsubanillo de division de R. Ahora, viendo a Ca como un espacio vectorial sobre Z se sigue que Ca tiene qn(a)

elementos para algun n(a) ∈ N.

Afirmamos que n(a) | n : recuerde que los elementos de R× = R − {0} forman un grupo bajo lamultiplicacion cuyo orden es qn−1; como Ca es un subanillo de division de R se sigue que C×

a = Ca−{0} esun subgrupo de R× que tiene qn(a)− 1 elementos. Por el teorema de Lagrange qn(a)− 1 | qn − 1 esto implicaque n(a) | n, para ver esto ultimo, suponga que n = kn(a) + r con 0 ≤ r < n(a), como

qn − 1 = (qn(a) − 1)(qn−n(a) + qn−2n(a) + · · ·+ qn−kn(a)) + (qn−kn(a) − 1),

y qn(a)−1 | qn−1, entonces qn(a)−1 | qn−kn(a)−1, pero r = n−kn(a) < n(a) ası que 0 ≤ qr−1 < qn(a)−1,luego la unica forma de que qn(a) − 1 | qr − 1 es que qr = 1; por otro lado, como 0, 1 ∈ Z entonces q ≥ 2 porlo cual la igualdad qr = 1 implica r = 0, luego n(a) | n.

Observe que Z× es el centro de R× y que C×a es el centralizador de a en R×, entonces por [Du, proposicion

6, pag. 123] el numero de conjugados de a en R× es | R× : C×a |= (qn − 1)/(qn(a) − 1).

Note que si a ∈ Z× entonces a tiene un solo conjugado pues xax−1 = xx−1a = a para toda x ∈ R×,de aquı qn − 1 = qn(a) − 1 esto es n = n(a). Recıprocamente, si n = n(a) entonces R× = C×

a (pues|R× : C×

a | = 1), es decir, ax = xa para toda x ∈ R× luego a ∈ Z×. Hemos probado que n(a) = n si y solo sia ∈ Z×. Por otro lado, si n(a) = 1 entonces Z× = C×

a ; esto implica a ∈ Z× por lo cual, si a 6∈ Z×, entoncesn(a) 6= 1 y n(a) 6= n.

La ecuacion de clase [Du, Teorema 7, pag. 124] implica lo siguiente:

qn − 1 = q − 1 +∑

n(a)|nn(a) 6=n

n(a) 6=1

qn − 1qn(a) − 1

(4.1)

donde la suma del lado derecho no es considerada sobre todas las a tales que n(a) | n con n(a) 6= 1, n(a) 6= n,sino una por cada clase de conjugacion que no este contenida en Z.

Nuestro problema se reduce ahora a demostrar que la ecuacion (4.1) no tiene soluciones enteras. Laprueba de este hecho se basa en demostrar que existe un entero que divide a (qn − 1)/(qn(a) − 1) para todos


los divisores n(a) de n excepto para n(a) = n, pero que no divide a q − 1 lo cual contradice (4.1) a menosque n = 1, con lo cual habremos demostrado el teorema de Wedderburn.

Sea n ∈ N, considere el polinomio xn−1 ∈ C[x]. Como C es algebraicamente cerrado, podemos factorizara xn − 1 del siguiente modo:

xn − 1 =∏

(x− λ)

donde el producto es tomado sobre todas las raıces n-esimas de la unidad, esto es, todas las λ ∈ C tales queλn = 1. Notemos que existen n raıces n-esimas de la unidad todas distintas entre sı, pues (xn − 1)′ = nxn−1 y(xn − 1, nxn−1

)= 1 (ver [Hu, teorema 6.10, pag 161]). El conjunto de todas las λ ∈ C que satisfacen λn = 1

forman un grupo bajo la multiplicacion. Como todo subgrupo finito del grupo de los elementos distintos decero de un campo es cıclico, se sigue que el grupo de todas las raıces n-esimas de la unidad es un grupocıclico. Una raız que es un generador del grupo mencionado es una raız n-esima primitiva de la unidad .

Sea Φn(x) =∏

(x− θ) donde θ recorre todas las raıces n-esimas primitivas de la unidad. Este polinomioes llamado el n-esimo polinomio ciclotomico. A continuacion listamos algunos polinomios ciclotomicos:

Φ1(x) = x− 1.

Φ2(x) = x + 1.

Φ3(x) = x2 + x + 1.

Observe que todos esos polinomios son monicos y con coeficientes enteros. Afirmamos que, en general, Φn(x)es un polinomio monico con coeficientes enteros.

Si d es un divisor de n, cada factor x − θ de Φd(x) es un factor de xn − 1 pues, como θd = 1 tenemosque θn =

(θd

)n/d = 1 y ademas x− θ aparece solo una vez en la factorizacion de xn − 1 pues este ultimo notiene raıces repetidas. Recıprocamente sea x− λ un factor de xn − 1 y sea d el orden de λ en el grupo de lasraıces n-esimas de la unidad, de la definicion de raız primitiva λ es una raız d-esima primitiva de la unidadpor lo que x−λ es un factor de Φd(x) y d | n por el teorema de Lagrange. Con esto hemos probado que paracada divisor d de n los factores de Φd(x) aparecen una vez en la factorizacion de xn − 1 y recıprocamenteque cada factor de xn − 1 es un factor de Φd(x) para algun d divisor de n, es decir,

xn − 1 =∏d|n

Φd(x). (4.2)

Probaremos que Φn(x) es un polinomio monico con coeficientes enteros, por induccion sobre n:

i. Para n = 1, hemos visto que Φn(x) = x− 1.

ii. Supongamos como hipotesis de induccion que Φd(x) es un polinomio monico con coeficientes enterospara d < n.Demostremos el resultado para n. Por la hipotesis de induccion se sigue que en particular Φd(x) es unpolinomio monico con coeficientes enteros para d | n con d < n, luego por (4.2) xn − 1 = Φn(x)g(x)donde g(x) es el producto de los polinomios Φd(x) donde d | n con d < n y como estos polinomiossatisfacen la hipotesis de induccion, se sigue que g(x) es monico y con coeficientes enteros.Como g(x) es monico (esta hipotesis es fundamental) existen polinomios q(x), r(x) unicos y concoeficientes enteros tales que xn − 1 = q(x)g(x) + r(x) donde r(x) = 0 o grado(r(x)) < grado(g(x))[Hu, teorema 6.2, pag. 158], de esto se sigue que g(x)(Φn(x) − q(x)) = r(x): si r(x) 6= 0 entoncesΦn(x) 6= q(x) por lo cual

grado(g(x)) ≤ grado(g(x)) + grado(Φn(x)− q(x)) = grado(r(x)) < grado(g(x))

lo cual es imposible, luego r(x) = 0 y, como g(x) 6= 0, se sigue que Φn(x) = q(x) de aquı Φn(x) es unpolinomio con coeficientes enteros.

El hecho de que sea monico se sigue de que el termino principal de xn − 1 es igual al producto deltermino principal de g(x), que es monico, por el de Φn(x).


Sea d un divisor de n, entonces xd − 1 | xn − 1 este hecho se sigue de la identidad:

xn − 1 = (xd − 1)(xn−d + xn−2d + · · ·+ xn−(k−1)d + 1) , donde n = kd,

ası (xn − 1)/(xd − 1) es un polinomio con coeficientes enteros. Ahora, afirmamos que para cualquier divisord de n, con d < n,

Φn(x)xn − 1xd − 1

en el sentido de que el cociente es un polinomio con coeficientes enteros. Para ver esto, note que

xd − 1 =∏k|d

Φk(x).

Puesto que cada divisor de d es un divisor de n, reagrupando los terminos en (4.2) obtenemos xn − 1 =(xd − 1)p(x) donde p(x) es el producto de las Φk(x) tales que k | n y k - d. Como d < n entonces Φn(x) noaparece en la expresion de xd − 1 como producto de las Φk(x). Ası (4.2) puede ser escrita como xn − 1 =Φn(x)(xd − 1)f(x) donde

f(x) =∏k|nk-dk 6=n

Φk(x)

es un polinomio con coeficientes enteros, ası

xn − 1xd − 1

= Φn(x)f(x),

luego

Φn(x)xn − 1xd − 1

en el sentido de que el cociente, que es f(x), es un polinomio con coeficientes enteros, lo cual demuestra laafirmacion.

Como Φn(x) es un polinomio con coeficientes enteros, tenemos que para cualquier entero t, Φn(t) es unentero que divide a (tn − 1)/(td − 1) para cualquier divisor d de n, con d < n de hecho (tn − 1)/(td − 1) =Φn(t)f(t) con f(t) entero. En particular, retomando el contexto de la ecuacion (4.1), se tiene que

Φn(q)qn − 1

qn(a) − 1

para todas las a consideradas en la suma, esto es, n(a) | n y 1 < n(a) < n. Ademas Φn(q) | qn − 1. Se siguepor (4.1) que Φn(q) | q − 1, lo que implica |Φn(q)| ≤ q − 1.

Sin embargo, afirmamos que si n > 1 entonces |Φn(q)| > q − 1 lo cual demostrarıa que (4.1) no tienesolucion para n > 1. Para demostrar la afirmacion, note que si θ es una raız n-esima de la unidad distintade 1 entonces Re (θ) = cos (2πk/n) < 1, pues 1 < k < n. Luego q − 1 < q − Re (θ) , ası

(q − 1)2 < (q − Re (θ))2 + (Im (θ))2 = (|q − θ|)2 ,

luego q − 1 < |q − θ|, pues q − 1 > 0. De aquı que

|Φn(q)| =∏

i

|q − θi| > q − 1

donde θi son las raıces. Se sigue que Φn(q) no puede dividir a q−1, por lo cual la ecuacion 1 no pude ocurrira menos que n = 1 : hemos completado la demostracion del teorema. �

Agradecimientos

Agradecemos a los arbitros por sus correcciones y sugerencias, especıficamente por indicar maneras deabreviar los argumentos.


Referencias

[Du] D. S. Dummit, R.M. Foot. Abstract Algebra, Tercera Edicion, John Wiley and Sons, Inc., USA 2004.

[He] I. N. Herstein. Topics in Algebra, Second Edition, John Wiley and Sons, Inc., USA, 1975

[Hu] T. W. Hungerford. Algebra, Springer-Verlag New York Inc., Cleveland, 1996.

[Ja] N. Jacobson. Finite-Dimensional Division Algebras over Fields, Springer, Germany, 1996.

[M] J. H. MacLagan-Wedderburn, A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6, no. 3, (1905),349-352.

[MGP] The Mathematics Genealogy Project. http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu

[MH] The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

[O] O. Ore, On a special class of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 35, no. 3, (1933), 559-584.

[Ro] L. H. Rowen, Ring Theory (Student Edition), Academic Press, Inc., USA, 1991.

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