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Wellenoptische Untersuchungen zum ÖffnungsfehlerJoachim Focke aa Mathematisches Institut, LeipzigPublished online: 11 Nov 2010.

To cite this article: Joachim Focke (1956) Wellenoptische Untersuchungen zum Öffnungsfehler, Optica Acta: InternationalJournal of Optics, 3:3, 110-125, DOI: 10.1080/713823660

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i l 0 J . F O C K E [ O P T . Ac'rA

W e l l e n o p t i s c h e U n t e r s u c h u n g e n z u m ( ~ f f n u n g s i e h l e r

Joachim FOCKE

Mathematisches Institut, Leipzig.

Z U S A M M E N F A S S U N G . ---- Die Grandau[gabe der wellenoplisc].ten Bild[ehlerlheorie wird als Einstrahlungsproblera zur Wellengleichung [ormulierl und geliisl. Die bet Spezial is ierung auf den Offnungsfehler za raachenden Vernachldssigungen werden diskutierl, dabei wird au] ein Paradoxon in der Energiebilanz hingewiesen. Zur Berechnung der Intensitdtsverteilung ira Bildraura [~r grosse Wellenaberralion werden /i;Ir Achsenpunkle, achsennahe und achseaferne Au fpunk te drei verschiedene Verfahren angegeben, die wesentlich auf der Verwendung asyraplotischer Enhvicklungen b:ruhen. Hiermit werden urafangreiche lheorelische Unlersuchun- gen ~ber d~'e Liehlverteilung in der axialen Kaus t ik folografisc..her Ob]ektive durchge[iihrl und auch Vergleiche rail dera Exper i - raenl gczogen. Die Frage der optiraalen Feinkorreklion des O[fnangs[ehlers wird diskuliert.

S O M M A I n E . - - Le probl~me [ondamenlal de la thdorie ondulatoire des aberrations esl [ormuld el rdsolu corarae un probl~me de rayon nement lid ~ l'dqualion des ondes. On discute des approximations ~ faire pour ~tre ramend au cas de l'aberralion sphdrique et I'allention est attirde sur un paradoxe darts la rdpartition d'dnergie. Pour le calcul de la rdpartilion d'inlensitd dans l'espace image darts le cas de fortes aberrations de l'onde, on donne trois radlhodes diffdrentes pour les points de l'axe el pour ceux voisins de l 'axe OLt dloignds de l'axe, reposanl essentiellement stir l 'emploi de ddvelopperaenls asyraptotiques. Avec cela on effeclue une large dlude thdorique de la rdparlition de la lumi~re darts la caustique axiale d'objeclifs photographiques, el on fail aussi des comparaisons avec l'expdrience. On discule la question de la correction finale op t imum de l 'aberration sphdrique.

S U M M A n Y . - - The fundamental problem of the wave theory of aberrations is formulated and solved from the wave cqualion. The approximations to be made [or lhe case o / spher ica l aberration are discussed and attention direcled to a paradox in lhe energy balance. In order Iv calculate the distribution o/ intensity in the image space /or large wave aberrations, three different methods

are g i v e n / o r poinls on, near to, or far from the axis, based essentially on the use of asymptotic expansions. A wide theoretical s tudy is then made of the light distribution in the axial caustic of photographic oO]ectives and comparisons are also made with experiment. The question of the op t imum correction o/spherical aberration is discussed.

Einleitung. - - In den letzten ftinfzehn Jahren hat das wissenschaftliche Interesse an der wellenoptischen Bild- fehlertheorie einen bedeutenden Aufschwung genom- men. In den meisten Arheiten werden kleine Wellen- aberrationen, wie bet Fernrohr- und Mikroskopobjek- liven, untersucht. Einen vorziigliehen Uberblick hier- fiber gibt E. WOLF [1]. Grosse Wellenaberrationen, wie sie bet fotografischen Objektiven auftreten, sind dage- gen nur vereinzelt in Angriff genommen wnrden [2]. In der vorliegenden Arheit sell deshalb dieser Fall hinsichtlich des (')ffnungsfehlers eingehend behandelt werden.

i. Die Problemstellung der wellenoptischen Abbil- dungstheorie.- Wir betrachten die Abbildung eines louchtenden Objektpunktes durch ein Linsensystem und wollen die im Bildraum erzeugte Lichterregung bestimmen. Die Verfolgung der vom Objektpunkt ausgehenden Kugelwelle dutch das System auf streng wellenoptischer Grundlage ist infolge der uniiberwind- lichen mathematischen wie auch physikalischen Schwierigkeiten nicht m6glich, 1/isst sich doch schon die Rolle der Linsenfassungen und Blenden im Sinne der elektromagnetischen Lichttheorie kaum erfassen. Auf Grund des Zusammenhanges zwischen Strahlen- und Wellenoptik bietet sich aber ein Kompromiss an, denn bekanntlich werden die Phasenfl~ichen der Wellenop- tik durch die Fl~ichen konstanten Lichtwegs (Wellen- fl~chen) der Strahlenoptik approximier~, abgesehen von der Nachbarschaft der Sehattengrenze und der Bronnfl~ichen. Wit berechnen deshalh zun/ichst den Lichtdurchgang durch das Linsensystem strahlenop- tisch, erhalten also ein in den Bildraum einstrah- lendes Lichtstrahlenbtindel mit seinen geometrischen Wellenfl~chen, begrenzt durch die Austrittspupille,

und schliessen erst hieran die wellonoptische Pro- blemstellung wie folgt an:

Es wird eine im Bildraum regul~ire LSsung der Wellengleichung

2= (1,t) A u + k 2 u = O , k - - , ()~=Wellenl~inge)

gesucht, deren Phasenfl/ichen in grossor Entfernung (gross gegeniiber der Wellenl/~nge) vor dem Gaussschen Bildpunkt asymptotiseh in die geometrisch-optischen Wellenfl~chen des einstrahlonden Lichtstrahlenbiin- dels iibergehen, und deren Amplitudenquadrat dort der einfallenden Strahlungsleistung entspricht ; i m geometrischen Schatten sell die L6sung asymptotisch versehwinden. (Einstrahlungsbedingung)

Geben wir uns das in den Bildraum einstrahlende Lichtbiindel auf seinen Hauptstrahl und eine geeignete Wellenfl/~che (Kennfl~iche) bezogen vet und fiihren folgende Bezeichnungen ein (ffir einen festen Objekt- punkt) : x, y, z reehtwinklige Koordinaten des Bildraums,

z-Achse gleich Hauptstrahl, Nullpunkt in der Gaussschen Bildebene, x-Achse meridional, y-Aehse sagittal.

---- { ~, ~, ~ I Einheitsvektor in Richtung der Bild- strahlen, ~, ~, ~ Richtungskosinus bezogen auf die x, y, z-Achsen.

~(-5, -~) Kennwellenfl~iche, vektoriell darge- stellt beziiglich ~, -~ als Parameter, normiort durch ~, , (0,0) = 0.

Die Kennfl~che geht also durch den Nullpunkt und artet im Falle ether Gaussischen Abbildung zu diesen selbst aus. Eine im Abstand a vor der Kennfl/~che gelegene Wellenfl~iche hat dann die Darstellung

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rot 3, nO $, Sept. 1956] W E L L E N O P T I S C H E U N T E R S i J C H U N G E ~ ZUM O F F N U N G S F E H L E R

((t,2) ~(~ , 7) = ~K(~, ~) - - a ~ .

Ftir a >> ] ~fi)~ t lasst sich auch eine implizite asympto- tisehe Darstellung dieser Wellenfliiche angeben

(t,3) ~ = a + ¢ , + O - - ,

wie man leicht durch iterative AuflSsung yon (1,2) verifiziert. Hierbei ist noch ~ = x ~ + y~ + z ~, 0 >~ 0 und ¢(~, 7) = - - ~ ' ~ ( ~ , ~) gesetzt women. Ent- sprechend (1,3) hat dann ¢ die Bedeutung der radialen Abweichung der Wdlenflache yon der Kugelgestalt (Wellenaberration (~)).

Wir konstruieren nun die gesuchte LSsung u im Auf- punkt g = (x, y, z) dutch Superposition ebener Wellen welehe die Kennflache tangieren.

- - t k ; ; A e i k L d a (1,4) u = 2

L = ( : - - ~ 9 ~ ) . 6 = : . ~ + ¢

Raumwinkel des Strahlenhtindels, begrenzt yon der Austrittspupille

d~ Raumwinkelelement, d~ = ~-~ d~. d q A noch unbest immter Amplitudenfaktor.

Nach Konstruktion ist (1,4) LSsung der Wellenglei- chung (l , l) . Wir zeigen nun, dass (1,4) auch der Ei~ strahlungsbedingung geniigt. Dazu setzen wit

-~ 0 e, p = I : [ u n d untersuchen (1,4) for ~ >> ),

(1,5) u - - 2

Wit entwickeln dazu (1,5) asymptotisch naeh l/k~ unter Verwendung der Methode der stationaren Phase, wie sie veto Verfasser ftir Doppelintegrale ausgearbeitet women ist [4]. Der Wert des Integrals erMlt danach infolge der starken Oszillation des Integranden nur yon den Stellen des Integrationsgebiets einen Beitrag, an welchen die Phasenfunktion stationiir ist. Die runde Klammer in (1,5) kann dahei als ~( langsam >) veran- derliche Amplitudenfunktion angesehen werden. In Anwen4ung yon [4], insbesondere Formel (109), folgt nach kurzer Rechnung :

(1,6) im (~Licht>> :

u = - - e ~- ' + k O((kg) -~/') 9

im Sehatten :

= 0 + k O((k

Die Phasenfliichen q) - - ~ = const, s t immen entspro- chend (i,3) asymptotisch mit den geometrischen Wellenfl~ichen tiberein, A * ist der eintretenden Strah- lungssti~rke gleichzusetzen. Damit erfiillt die aufge-

(1) Vgl. [ 3 ]. Man beachte, dass hier (P nur far hlnreichend weir vor der Gaussschen Bildebene gelegene Wellenfl/ichen die Bedeutung der radialen Abweichung hat. (P ist positiv, wenn die Wellenfl~iche ausserhalb der Bezugskugelliegt.

OPTICA ACTA

l t i

stellte LSsung die geforderte Einstrahlungsbedingung. Im Falle eines zum Haupts t rahl rotationssymme- trischen Bildstrahlenhiindels versagt (1,6) ftir auf dem Hauptstrahl gelegene Aufpunkte. Diese Ausnahmeer- scheinung ist im Spezialfall (I) _~ 0 im Anschluss an die Untersuchungen yon P. DEB'~E [5] mehrfach disku~iert worden [6]. Wir wollen deshalb bier auf diese asymptotische Singularitiit nicht welter eingehen, da sie auf die Intensit~itsverteilung in der Umgebung des Bildpunktes ohne wesentlichen Einfluss sein wird.

Bezeichnen wir den Strahldurchstosspunkt durch die x, y-Ebene mit A r = (Ax, Ay, 0) und geben noch den Zusammenhang mit der Wetlenfl~iche bzw. Wellenaberration an.

(1,7) a r = ~ + ~ ist der Abstand yon 4er Wellenfliiche ~ bis zur x, y-

Ebene liings 6 . Dureh skalare Multiplikation mit ~ erhalten wir unter Beaehtung yon ~ = 1, 6 " ~ = 0 und ~ . ~ = O, (da ~ normal zur Wellenfiache)

~r .®~ = : x = ~ . ® ~ = ~ ( ~ . ~ ) , 04

und auf die Kennwellenflache bezogen

(1,8) ax = - - ( I ) ~ undana log A y = - - ¢ 7 . 1)

Auch die Kaustikfiiiche liisst sich durch die schon in 0,4) benutzte Funktion L = ( g - - ~3K) ' ~ = : " ® + • ausdrticken, welche geometrisch den Abstand des Aufpunktes ~ yon tier durch ~ best immten Tangential- ebene der Kennfliiehe angibt. Denn liegt der Aufpunkt auf der K a u s t i k f l i i c h e - er muss dann Schnit tpunkt zweier infinitesimal henachbarter Lichtstrahlen sein so ist sein Abstand L yon der Kennfl~iche l~ngs dieser beiden Strahlen stationar. Hieraus fliessen ftir die Kaustikfli~che, welche im allgemeinen in zwei Schalen zerfallt oder auch ausarten kann, die Bedingungen

L ~ = ( : - - ~ 3 , ) . ~ = 0 , L ~ = ( ~ i ) K ) . ~

{i,9) 2

L ~ L ~ - - L ~ = 0 .

2. Speztal ls lerung der Problemste i lung aul den Offnungsfehler. - - Wir nehmen an, dass das einfallende Strahlenbtindel nur mit 0ffnungsfehler behaftet ist, legen also den Objektpunkt auf die optischen Aehse. Infolge der Rotationssymmetrie ist dann das Btindel sehon dureh die Strahlen ~ = 0 eharakterisiert. Ftihren wit far diese den in der rechnenden Optik gehrauchlichen Aperturwinkel u ' mit sin u ' = - - ] a ' ] -~< ~]2 ein oder gehen aueh zu h = / sin u ' = - - f ~, / = Brenneweite, tiber, wobei h ftir unendlich fernen Objektpunkt die Bedeutung der StrahleinfallshShe hat, fails das System die Sinusbedingung erftillt. Es ergibt sich dann entspreehend (1,8) :

Sphiirische Querabweiehung : dO

(2,1) Ax = d s i n u ~

Q) Diese Gleichungen zeigen den engen Zusammenhang yon mit dem gemischten Eikonal.

3..

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Sph/~rische Langsabweichung :

d~ d~ As' = c t g u ' - - 2 - -

d sin u' ~ d sin S u' mit 3 % Fehler fiir lit' I ~ 1/4 x)

Nehmen wit nun weiterhin an, dass sieh die Querab- weiehung hinreichend genau dureh einen zweigliedri- gon Ausdruck approximieren lfisst, so erhalten wir mit Bereksehen Bildfehlerkoeffizienten :

Ax = - - - - 1 2 / ( I h ~ 4 - I * h ~)

1 As' = - - - ~ f f ( I h, + I* h,).

(2,2)

Fiir I u n d I* sind vom Verfasser [7] Summenformeln analog den Seidelschon Formeln angegeben worden. Die Darstellungen (2,2) kSnnen abet auch im Ansehluss an eine trigonometrische Durchrechnung als Interpo- lationspol:ynome gewonnen werdon. Zur ¥ermoidung unbequemer Zahlenwerte normieren mir die einge- fiihrten GrSssen beztiglieh einer geeigneten BezugshShe ho, der Wellenzahl k und der Brennweite f. Aufpunktkoordinaten :

ho 1 h2o X = - - k - - f - x , 0 = y , Z = ~ k l- T

Spharisehe Quorabwoiehung :

AX = - - k - ~ hx

Sph~rische L~ngsabweichung :

1 hi Az = k - V as'

Zono )) :

I k h ~ A , A = ~ - 1, Szo.o

Einfallshfho :

h H - -

ho

Strah]richtungen :

ho ho = 7 - - r c ° s a, ~ = 7 r s i n ~ , r > ~ 0

Aberrationskoe ffizionten :

T = 3 H~ A , S = - - 2 H -*

In diesen Einheiten stellt sich dann dar :

(2,3) A X = 4 S H a - 6 T H ~ AZ = ~ 2 SH~ 4-3 TH" 3 T H ~ = ( H ~ - - H~)

(~) Eine Toleranz yon 3 % ftir As ~ en t spf ich t e twa der im allgemeinen experimentel l erreichten Messgenauigkeit.

[OvT. Ac'r.~

He, Hz, H,, sind die normierten EinfallshShen he, h~, h~ des spharisch korrigierten Strahles, des Zonenstrahles und des Randstrahles. Infolge (2,1) und der Rota- tionssymmetrie des Biindels folgt fiir die Wellenaber- ration :

- - k q ) = S r 4 - Tr*

(2,4) 1

- - qbmax = 4 ~ H6c r ) . b e i H = H ~ .

Hiermit l~sst sieh nun die in (1,4) benStigte Phasen- funktion - - k L ~ - - k (5 x 4- ~ z) - - k ¢ aufstellen. Entwiekeln wir

1 = v / ~ - - ~ - - ~? = 1 - - ~- (~, + ~) - - . . .

und breehen naeh dem zweiten Gliod ab. Der entste- hondo Fehler yon h6ehstons t,5 % bei 0ffnungsvorh~il- nis t : 2 kann entspreehend dor sehon fiir ,Xs' zugolas- senen Toleranz vernaehl~ssigt worden.

(2,5) /3

- - k L - - - : X r e o s ~ 4 - Z r 2 4- S r 4 - - T r 6 - - 2 Z - h

Entspreehond (t,9) kSnnen wit noch die Kaustik in Parameterdarstellung angeben.

X ~ 8 S H a - 2 4 T H 5

(2,6) Z ~ - - 6 S H ~ 4- 15 T H 4

Nun zur Aufstellung der LSsung (1,4).

(2,7) H R 2~

u = 27: ) L / J t + V ~ - r ' + " " r d r d ~

o o

Hierbei ist noeh ~--1= t 4- ~-(~ 4- ~2) 4- ... entwiekelt

worden. Beim OffnungsverhMtnis I : 2 liefert sehon das sweite Glied nur 3 % Beitrag zum Integranden. Wie wirkt sieh dies aber auf u aus ? Betraehten wir dazu den Spezialfall der homogenen Kugolwelle, S = T = 0. A = t, ho = h~, H R = t und bereehnen u(X, Z) in der Bronnebene Z = 0.

(2,8) u ( X , o) =

1.2 /'*1 / '2~ ~ | k

"/oj - ~ ~ o- ) e - i x r c°s g 1 4 - ~ ]~ r ' r dr d~

' [ / ' ] h~ ~o( X r) r dr + ~o( Xr) r 3 dr

= - - t k T o V p , / o

2)] =: - - tk fi- R - f , ( x ) + ~ /, \ ~ ) , ( x ) - - ~ ) , ( x )

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vol. 8, n ° 3, Sept. 1956]

Speziell ffir die Brennpunktintensitfit folgt hieraus

(2,9) [u (0,0)]~= k 2 h~ [ I I h~l

Der Einfluss des zweiten Gliedes betr~igt auch hier etwa 3 %. Bereehnen wit aber aus (2,8) noch die Totalbeleuch- tung b~ der ganzen Brennebene

r~¢o

= 2=jo luJ"xdx=2=h~k~.]o/" ['~lu(X'Ol[~Xdi

= 2 , p , . t g o X:t~(X) d X + p j o 3~( )

(2 jo) - - 2 d x

= = ] ~ I ÷ - ~ / ~ j = ~ s i n ~u~ I + - ~ sin 2u :

und vergleichen mit dem in den Bildraum einstrahlen- den Lichtstrom, welcher proportional zum Raum-

!

winkel ~ des Strahlenbfindels ist (u" = uR~.d ) •

(2,11) ! ! 1 l

I I = 2 (1-eo (sin + sin' ...)

In erster Naherung stimmt die Totalbeleuchtung der Bronnebene mit dem einfallenden Lichtstrom fiberein. Beriicksiehtigen wir aber noch das zweite Glied, so ergibt sieh das Paradoxon, dass die Totalbeleuchtung grSsser als der fiberhaupt einfallende Lichstrom wird. Dieser Widerspruch liegt wohl darin begriindet, dass die in der Wellentheorie allgemein verwendete Beziehung : t u ,~ = Intensitfit auch nur eine Approxi- mation darstellt, welche an die Voraussetzung nicht zu grosser Apertur des Strahlenbtindels gekntipft ist. FOr sehr grosse Apertur, 0ffnungsverh/iltnis I : t i s t deshalb unsere Theorie nur mit Vorbehalt anwendbar. Es hat deshalb auch vom physikalischen Standpunkt aus keinen Sinn, das zweite Glied in (2,7) noch zu beriicksichtigen.

Wit ffihren noch folgende Sehreibweisen ein. Wellenfunktion :

U ( X , Z) : 2 /" e--i2Z/2/h o u (X , Z) - - i k h~

(2,12) = --i f H a / '2~ Ae--i~(r'~)r dr d~

~(r,~)---- X r c o s ~ + Z r ~ - k ( I ) ( r ) Lichtintensitat :

,3 = ,3(x, z) = I u ( x , z)l Totalbeleuehtung :

I / ~ . x 3(X, Z) X-dX B -~ B( X, Z) = ~ o

B(X, Z) gibt die Totalbeleuehtung in der Auffangebene , Z ---- const, innerhalb eines Kreises vom Radius X an.

W E L L E N O P T I S C H E U N T E R S U C H U N G E N Z U M O F F N U N G S F E H L E R i13

3 und B sind so normiert, dass die Brennpunktintensi- tiit der entsprechenden stigmatischen Abbildung Jo = 3(0,0) = H i und die Totalbeleuchtung der

2 ganzen Brennebene B~o ---- B(ac, 0) ~ H , wird.

3. Die Lichflntensitiit in Achsenpunkten. - - Wit wo|len nun (2,12) zun~ichst ffir Achsenpunkte X = 0 numerisch auswerten. Dabei wollen wir uns nicht auf kleine Aberrationen [q)m~x [ ~< )" beschr~inken, sondern auch grosse Aberrationen bis etwa 10x zulassen, wie sie bei photographischen Objektiven auftreten. Des weiteren nehmen wir in dieser Arbeit durehweg homo- gene Amplitudenverteilung A--~ I fiber die Austrittspu- pille an, vernachliissigen also Absorptions- und Spiegel- verluste. Somit geht (2,12) fiber in:

(3,t) U(O,Z) = 2 e -i(z~2+sr'- Tre) r dr , t o

--:/3 t 2 Ffihren wir durch r 2 = T t +-~- H e die neue

Integrationsvariable t ein, so ergibt sich :

(3,2) U(0, Z) :

- - i ( + g H : + : TH~c) T--1/a Z b . __ -~- e 4 el(t a qt) dt

I z T1/a ( 1 :) T1/s a - 2 H o , b = H --TH

q ¼ ( Z - - A ) ~/3, T > 0

T > 0 d. h. spMrische Unterkorrektion A < 0 liegt bei photographischen Objektiven meist vor, bedeutet hier aber keine Einschriinkung, da das ganze Problem entspreehend (2,12) in A symmetrisch ist. Mit (3,2) ist U auf ein nnvollstiindiges Airysches Integral zurtickgeffihrt worden, ;b

(3,3) A(q) a = e i(t~-qt) dt t a

eine Bezeichnung, welche in Anlehnung an das (voll- st~indige) Airysche Integral

)1 ~ e i(t"-~0 dt (3,4) A(q) = A(q ,--~o 1)

oo

eingeffihrt sei. A(q) a ist im allgemeinen komplex-

wertig, ffir den lJbergang zum Konjugiertkomploxen gilt :

(q)/b A(q) -~ (3,5) i = a - - b

Die Lichtintensitat selbst l~isst sieh dann durch

(1) In der neueren englischen Literatur wird auch

1.if_~ -~ i(tz+ ~tS) dt, alsoA(q) 2~ ~i / - -q \ ~4~) = e - 3 =

als Airysche Integralfunktion erkl~irt.

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ausdrticken, mit a, b, q entsprechend (3,2). tfieraus kann man sofort folgenden wichtigen Sachverhalt ablesen: Die Intensitfitsverteilung auf der Achse bleibt ffir feste H~ und T beim Ubergang yon positi- vet zu negativer Randstrahll~ingsaberration AZ~ ungefindert, abgesehen yon einer mit A erfolgenden Translation. Denn AZ~ 1 - - A Z , bedeutet nach (2,3)

(H~ - - H~¢)I - (H~ - - H~), dies zieht aber b[ - - a, a 1 - - b nach sieh, und aus (3,5)folgt die Behauptung.

Ffir die unvollst~indige Airysche Integralfunktion liegen am hiesigen Mathematischen Institut folgende numerische Auswertungen vor :

A(q) [ ~ dargestellt in Nomogrammen ffir q = - - 6 bis q = 15,5 in Schritten 0,5 und etwa - - 3 ~_ v -~< 3 kon- tinuierlich. Ablesegenauigkeit 2 Dezimalen, fiir q = 0 his q = 4 auch 3 Dezimalen. Die Nomogramme geben A(q) I ~ ffir jedes feste q in derkomplexen Zahlen- ebene als Funktion des reellen Parameters v wieder. Ihre Anlage entsprieht etwa der Darstellung der Fresnellschen Integrale durch die Cornusche Spirale. Vgl. [8]. Zur Konstruktion wurden folgende konver- genre bzw. asymptotische Reihen aufgestellt :

ov

(3,7) A(q) o

mit b~

wobei

33 V

( - - i F ~! b.~+2 = - - t 3 ( 3 v + 2 )

ao = ! , al = ~ ! ,

1

an -- 3 n ( n - - I) a~_3

~_= x A(q) o ~-~ e--'(~/q/~-r~/') V/3 q

[ 3, , ' 6 , , ' ] + t ~ O a q ) ~-- 4-TO2q)-V--""

~q_~ 3 i q_, + 6 , q _ , _ ] , 1! 2 T ... q > 0

A(q) I x o - f f --v/3 l qI

V 3!! " 6,, ' ] L ~--~l~2ql z +-~., I~2 q[-~-- ...

(3,8)

J. 1*OCKE

[, o, ] + ~ q~' + -~:(Iq~' + ~ . lq~' + ... ,

m i t n ! ! -= 1 . 3 . 5 . . . ( 2 n - - l ) , 0!! = 1

I e i(z3-q~) U (3,9) t)1 L t &q' ," "~ 3 , , - - q

Oev. Ac'rA

q < 0

(3 ~ - -q )~ 9 0 ~ + 6 q + . . . ] (3 ~ - - q? J

fiir v > V/q/3, q~/.O und ~ > 0 , q < 0

;~ I e_i2¢ql- ~ (340) A(q) ~ ~ x

• ~ ' 2 0 1 e ~ - ( 3 q ) - 5 - - - !el-7(3q) 4 2 .1 ! "

3 . 5 (~__) . ei arc ' + ~ , -i- (3 q ) - ~ - -

4 .6 .8 .4r~ lo -] 2~ 3~ 1 ! e 'q-(3 q ) - q - + . . . , ,

i e i (~ -q v ) [ 6 (3,1t) A(q)]~,~ 3 ~ 2 q , _ l - - i (3~__q)~

90 ~ + 6 q J (3 ~2 __ q ) ( + . - " ]

far O .~< "~ < y/ q/3 , q > 0 u n d ~ > 0 , q < 0 .

Die Potenzreihe (3,7) erhfilt man dureh Entwiekeln des Integranden des Airysehen Integrals und ansehlies- sende gliedweise Integration, wobei jedoeh tier Inte- grationsweg geeignet ins Komplexe verlegt werden muss. Die asymptotischen Entwieklungen sind s~imt- lieh mittels tier Methode der station~ren Phase [4J, Formel (38), (41), (49) hergeleitet worden. Ausserdem wurde bei der Konstruktion der Nomogramme yon den geometrisehen Eigensehaften der Kurven Gebraueh gemaeht, welehe sieh unmittelbar aus der Integral- darstellung ergeben :

Riehtungswinkel = ~8 __ q Bogenlfinge = Krtimmungsradius = 1/(3 ~2 __ q).

Die Nomogramme gestatten ausser der Entnahme

von A(q)loz auch A(q)l~ I unmittelbar abzugreifen, was ffir die Auswertung yon (3,6) yon grossem Vorteil ist.

4. Die Lichtintensit i l t in der Naehbarsehaft der Achse. ~ Ffir die Liehtintensitiit in der Naehbarsehaft der Achse stellen wir eine Entwicklung nach Bessel- funktionen auf, welehe sich bis X = 20 noch gut aus- werten lfisst. Wir lehnen uns dabei an das yon Z~aNIaE und NIJt3OER [9] bei kleinen Aberrationen verwen- dete Verfahren an, bringen dies aber je tz t mit den haupts~ichlich auf asymtotisehen Entwicklungen beru- henden Ergebnissen des vorigen Abschnittes in Ver- bindung. Integrieren wir zun~iehst (2,tl) fiber

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vol. 3, n ° 8, Sept. 1956]

F'H~ (4,1) v(x, z)=2Jo ~o(Xr)e-- i (Zr2+Sr4-Tra)rd r

und transformieren auf die neue Variable

s = r ~ 1 1 1 ~ mit a = 2 2 H e .

1 1 T H~'~ ,,~H 2 ~ __1

2

W E L L E N O P T I S C H E U N T E R S U C H U N G E N ZUM O F F N U N G S F E H L E R ~ 5

e--i[{z-- a) (s+8) - T(sq- 81aids.

---F X ~ s q - - ~ - ) im Intervall

(4,5)

t = ~ ( - - l) n 2 (2 n ÷ 1) ~ ),n+~(X) P,(2 s).

n = 0

Setzen wit dies in (4,2) ein. (H~ % 1).

(4,6) U ( X , Z ) = e - i ( ' ' ") ~ ( - - i) n (2n-~- l ) 2 X n = O

}511+1 ( X ) e--i[(Z--A) (s+~)--T(s+~p] ds. t/ h-

Die Gfite der Konvergenz hiingt allein yon dem Faktor 2

(2nq- t) -~ ~2n_~(X) ab, da die Integrale dem Betrag

naeh kleiner als t bleiben. Je nach der geforderten Genauigkeit un4 dem betrachteten X-Weft brechen wir mit n : N ab. Geben wir uns die LEG~DnE- Polynome dutch

n

(4,7) Pn(x) ---- ~ p~) x '~, p~) - -0 fiirnq-~ unger. ~ = 0

P~it--n) = (n - - ix)! (2 iz-- n) l '

vor, gehen damlt in (4,6) ein und ordnen die Summen u m .

N

N,s) u(x, z) ~ el(...) ~ G(z)g~(x) v = 0

(4,9) G~(Z)=

H : - - ~ ( - - 2 s) v e - i [ ( z - A) (s + 8) - - T l s A- ~)al ds ,

2 N (4,1o) g~(x) = X ~ (2 n + ]) v~ ) )~+, (x)

Zur Bereehnung der G~ stellen wir fiir ~>~2 eine Reku- sionsformel durch partielle Integration nach dem Faktor e iTss auf.

--~ 4 S Cv_, + Mv , v >j 2

(4,12) M v - 4 i (t __ 2 H2 )V-2 sin [3 __ sin a } __ 3T

4 - - l ~ - I (1 - - 2 Hi)'--~ cos ~ - - cos ~ 1

a = a ~ - - q a , ~ = b a ' - - q b ,

a, b, q und ~ entsprechend (3,2) bzw. (4,2) Fiir v = 2 ist das Glied Gv_ ° zu streichen. Hiermit lassen sich die G v auf Go und G~ zuriickfiihren.

HR s (sq-~)--T(s+~) s] ds (4,13) Go e -i[(z-a)

T - e i( t~-qt) d t = T ~ A(q a

(4,i4) F'H ~ _ 5

G , = - - 2 ~ ~ ~ se -i[(z-a){s+8)-T(s+~)3] ds

= - - 2 T - ( t T - - ~ - - ~ ) e i(e--qt) dt j a

= 2~ T o A(q) a - - 2 t T 3 dq

Go selbst berechnet sieh unmittelbar aus 4em unvoll- stiindigen Airyschen Integral, G~ noch zusiitzlich aus seiner Ableitung nach q. Zur Berechnung der Ableitung miisste man die im dritten Abschnitt angegebenen Reihen nach q differenzieren. Wit kSnnen uns abet die ziemlich umfangreiche numerisehe Auswer- tung der dann entstehenden Reihen ersparen, indem wir

• A(q) ~ fiir mehrere q-Werte °us unseren Nomogrammen

entnehmen - - man interessiert sich ja sowieso s te t s fiir die Intensit~ttinmehreren benachbartenQuerschnit-

~°( ----q-

Wir entwickeln nun :}o (

1 1 2 ~< s .~ ~ - naeh L~G~.moRE-Polynomen Pn(X).

(4,3) ~o x s + ~ - = ~ c.pn(2s) , n = o

1

c , = ( 2 n A - l ) 1 }0 X Pn(2s) ds. 2

Durch Anwendung einer Integralformel yon ZER- NIKE [10] ergibt sieh far c n :

1 (4,4) % = ( - - t ) ~ 2 ( 2 n + t) N}2n+s(X)

und damit

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116 J. FOCKE

ten - - und die Ableitung d u r c h numerische Differentiation bestimmen. Sind die G~ durch die Rekursionsformel (4,it) aus den Anfangsgliedern (4,i3) und (4,14) und die g~ gemliss (4,10) berechnet, so erhalten wir schliesslich die gesuchte Lichtintensitiit :

(4,15) ,~(x, z ) = ~e c~(z) g~(x) + L V ~ O

~- ~mC~(Z) g,~(X .

Die allgemein fiir H~ ~ ~ geltenden Formeln verein- fachen sich fiir H~ ~ 1, H~ -~ I oder fiir H = t, also

t = ~ - ± Z , . Will man von positiver zu negativer

Randstrahtaberration ~ iibergehen, so hat man nur gem~iss (4,9)

= ( - ' H . =

zu verwenden. Im Gegensatz zur Achsenintensitiit /indert sich hierdurch aber die Intensit/itsverteilung wesentlich. Vom Fall H . = I kann man nachtriiglich durch Beachtung der Relation

(4,17) ,~ = 3(X, Z, T , H ~ , H ~ ) =

( "" ) = H t ,'t H , X , H : Z , H ~ T , - ~ , l

auch zum allgemeinen Fall H~ ~ t tibergehen. Das Verfahren erfasst mit der Aehsennachbarschaft

X ~ 20 ftir Aberration en [ ¢gma x [ ~ 5 ). fast die gesamte Intensit/itsverteilung, da diese weiter ausserhalb prak- tisch auf Null absinkt. Nur bei noch gr6sseren Aberra- tionen sind achsenferne Punkte X > 20 in Betracht zu ziehen, was im n~ichsten Abschnitt geschehen soll.

5. Die Lichtintensit~It in achsenfernen Punkten. - - Ftir grosse X entwickeln wir (2,12) asymptotiseh nach einem im Exponenten eingefiigten Parameter ×

1 f'H n f" 2 r~ . , , (5,1) U ( X ,Z) = - - [ ] e--~×g/r,c¢; r dr d~ ,

~ J o J o entspr. (2,t2) ,

welchen wir am Schluss wieder gleich I setzen. Wir verwenden dabei im Anschluss an van KAMP~ [2] die Methode der station~iren Phase, jedoch in ihrer stren- gen Ausarbeitung [4]. An jedem inneren Punkt ~, station/irer Phase, bestimmt durch

(5,2) ~ r : X c o s ~ + 2 Z r + 4 S r ~ 6 T r ~ = 0

~ = - - X r s i n ~ = 0 ,

erh~lt das Integral entsprechend [4], Formel (109) einen Beitrag :

~OPT, ACTA

i 1 ~rr > 0 , % ~ > 0 ) , - - t fiir %r > 0 , ¢?a~ < 0 I 1)

mit / = t i ~rr ~ < 0

Rierbei ist ~rr ~ O, ~ =:~ 0 vorausgesetzt, der Auf-

punkt X, Y, liegt also nicht auf einer Kaustik. Zur Abschfitzung des asymptotischen Verhaltens yon (5,3) ist vom Verfasser mittels [4], Formel ( l l4) auch noch das zweite Entwicklungsglied berechnet worden, welches wir aber wege~ seiner Kompliziertheit hier nicht wiedergeben wollen. Zu den Beitr/igen der inne- ren Punkte kommen noch entsprechend [4], Formel 023) die Beitrfige der kritischen Randpunkte r, in welchen die Riehtungsableitung ~ der Phasen- funktion ~ liings des Randes verachwindet.

(5,4) U^ A --ci(×~:J :~/ ' ) r 27 O ~ -

mit + ~/4 entspr. ~ > 0. ~)

Je naeh Lage des Aufpunktes gibt es bis zu ftinf innere Punkte station~irer Phase, wie eine graphisehe Dar- stellung yon (5,2) zeigt, und stets zwei kritisehe Rand- punkte } ~ HR, & = 0 bzw. ~ = ~. Die Beitriige (5,3) und (5,4) liefern zusammen die gesuchte asympto- tisehe Darstellung yon (5,t).

(5,5) y(x,z) +

Da ftir z ~ 0 , d. h. k-~ ~ oder hier ×-~ ~ die Wellenop- tik in die geometrische Optik iibergeht, lassen sich die Beitriige der inneren Punkte U 7, ~ geometrisch-optisch

als Strahlbeitriige interpretieren. Denn nimmt man wie etwa E. WANDERSLEB [ t l ] an, dass liings jedes Lichtstrahls eine bestimmte Lichtmenge transportiert wird, so ist die vom Strahl erzeugte Beleuchtungsst~rke proportional dem VerhMtnis von Fliichenelement der Eintrittspupille rdrda zu Fllichenelement der Auffang- ebene X d X d ~ , also gleieh rdr : X d X . Die Gesamtin- tensit~it im Aufpunkt setzt sich dann aus den Anteilen der einzelnen Strahlen zusammen, welche den Auf- punkt treffen. Diese sind abet gerade gem/iss (5,2) und der geometrischen Bedeutung yon v bzw. L (s. Abschn. i) durch ~,~ gegeben und ihre Anteile an der Beleuch- tungsstfirke berechnen sich dementsprechend zu

(5,6) [ r d r l r ] "r,~ - X dX/dr 7,~ =

X ( 2 Z + 12S~ ~ - - 30 T~r ')

(x) Unter ~ bzw. ¢~ usw. ist sinngemfiss der an [, ~ bzw P, & genommene Funktionswert zu verstehcn.

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vol. 8, n ° 8, Sept . 1956]

was in erster Ordnung genau mitlUT,~]2 tiberein-

stimmt. Unsere Darstellung berticksichtigt also tiber die Vorsteilungen der geometrischen Optik hinaus bei der Zusammensetzung der Strahlbeitriige noch ihre Phase und liefert in den Gliedern hSherer Ordnung eine schrittweise Approximation der Wellenoptik. Ausserdem wird durch die Randbeitrfige noch die Beugung an der Blende berticksichtigt.

Im Falle einer einstrahlenden Kugelwelle, S = T : 0 ist die Entwicklung (5,5) bereits 1898 yon K. SCnWARZ- SCmLD [12] aufgestellt worden. Leider hat diese Arbeit zu wenig Beachtung gefunden. Unsere Entwick- lungen versagen ebenso wie die Aussagen der geome- trischen Optik, wenn der Aufpunkt in die Nachbar- schaft einer Kaustikfliiche zu liegen kommt, d. h. wenn zwei Punkte stationiirer Phase koinzidieren. Man kann dann aber die Beitrfige der beiden benachbarten Punkte zu einem Beitrag zusammenfassen, welcher auf einen durch ~ = 0, ~rr = 0 bestimmten Zwischenpunkt r*, ~* bezogen ist. Mit der in [4] dargelegten Methode, insbesonders in Verallgemeinerung der Formeln (151) und (t53) l~isst sich dieser Beitrag durch die Airysche Integralfunktion ausdrticken.

(5,7) Us, 4 + U ~ = Ur,,~, =

WELLENOPTISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUM OFFNUNGSFEHLER t17

Verhaltens gestattet, soll hier ebenfalls verzichtet werden. Die numerischen Auswertungen haben gezeigt, dass die asymptotischen Entwicklungen (5,3), (5,4) bzw. (5,7) ftir achsenferne Aufpunkte X > 20 schon in erster Approximation eine gute N/iherung liefern, dagegen n/iher der Achse schnell unbrauchbar werden, auch wenn man noch weitere Entwicklungs- glieder berticksichtigen wtirde. Man verwen4et dann das im 4. Abschnitt angegebene Verfahren.

6. Die lntensitatsverteilung in der axialen Kaustik des Tessar I : 2,8, 1931. Verglelch mit tier experlmen- tellen Untersuchung. ~ Als erstes Testobjektiv w/ihlen wir ein Tessar I : 2,8, 1931, da fiir dieses umfangreiche experimentelle Untersuchungen von E. WAiNDERSLEB ZU Vergleichszwecken vorliegen. Die Daten sind entsprechend [11], S. 68:

/ - -~52 ,5mm, h ¢ = 9 , 1 5 m m , !

A S z o n e = - - 0,/~2 mm ftir )'e = 546 ~ .

Der Gang der sph/irischen L/~ngsaberration entspricht etwa einer zweigliedrigen Darstellung (2,2). Setzen wit die BezugshShe h o = he, H c ----- I so lauten die entspre- chenden normierten Daten etwa:

---- ~ 75, T -= 100, q)max - ~ - - 8 ) ' "

Der Objektpunkt liege im Unendlichen. Abbildung 1 zeigt die Lichtverteilung auf der optischen Achse bei

2 voller Blende H~ = 1 und bei Abblendung auf 2 H : ---- 0,5 und H R ---- 0,25. Die aufgetragenen Inten-

3~

~25-

0~"

0

0 : 7

Zone 8rennpunkt

_~BB. 1. - - Die I n t e n s i t / i t s v e r t e i l u n g l~ings der op t i schen Achse des Tessa r 1 : 2,8

bei r o l l e r Of fnung (H R = 1) u n d a bgeb l ende t au f 1 : 4 (H~a ' 0,5) u n d 1 : 5,6 (H~ = 0,25).

~ : Sr mit A(q) entspr. (3,4), q = , und

4- ~/4 entspr. +~ <> 0 , ~*, usw. an r*, ~" genommen.

A uf die Wiedergabe des zweiten Gliedes 4er Entwick- lung, welches eine Abschiitzung des asymptotischen

sitiiten sind absolut vergleichbar und entsprechend (2,12) normiert (Abb. 1). Beivoller Offnung H R --~ t zeigt sich bei Z = 0,9 A ein absolutes Intensit~itsmaximum • ~max = 0,27 (entspricht der Definitionshelligkeit) und nach dem Brennpunkt hin eine Anzahl schw~icherer Nebenmaxima. Beim Abblenden verschiebt sich 4as Hauptmaximum nach dem Brennpunkt zu und die Nebenmaxima werden fiacher, bei H~ --~ 0,25 tr i t t

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118 J . FOCKE [OPT. ACTZ,

nur noch das Hauptmaximum wesentlich in Ersehei- hung. Abbildung 2 gibt nochmals gesondert den Wert yon Jmax beim Abblendea wieder. Interessant ist das

2 Ansteigen bei H . = 0,84, we ,5 . . . . . sogar absolut gr6sser ist als bei vol]er C)ffnung. Betrachtet man 3max relativ zum einfallenden Lichtstrom, so zeigt sich deutlich ein nochmaliges Ansteigen bei H2" = 0,25 ((( kritische )> Blende I : 5,6). Beim weiteren Abblenden verhMt sieh 3max wie bei einem fehlerfreien Objektiv, die Bildverundeutlichung durch den 0ffnungsfehler tr i t t nieht mehr wesentlich in Erscheinung.

~ a x

0 30- : '*""

~ 2 0 "

a l O "

0 . . . . , . . . . " ~ H / t " Q5 0

ABB. 2. - - D e r W e r t des a b s o l u t e n I n t e n s i t f i t s - m a x i m u m s ~max des T e s s a r 1 : %8 b e i m A b b l e n d e n ( v o l l e O f f n u n g a u f H n = 1 n o r m i e r t ) .

. . . . • /_/~ - - ~max, ~max/H2n, ~ 0 ] R "

( 3 o = B r e n n p u n k t i n t e n s i t f i t des e n t s p r e c h e n d e n feh le r - f r e i en O b j e k t i v s ) .

Nun zu der ausseraxialen Lichtverteilung. In Abbil- dung 3 ist die Intensit~it in sechs dem absoluten Intensi- t~tsmaximum benachbarten Querschnitten Z = 0,75 ± bis Z = i ± ffir volle Blenden6ffnung dargestellt. Um dengrossen Helligkeitsumfang gut erfassen und bequem mit den Schw~irzungen vergleichen zu kSnnen, sind die Intensitiiten geeignet logarithmisch aufgetragen. Wei- terhin ist die Intensitiit ffir die Blenden6ffnung H R = 0,89 angegeben, was einer Abblendung auf den Wanderslebschen kleinsten Bildkern entsprieht. Tat- siichlich andert sieh die Intensit~it im Bildkern, d. h. ffir etwa x ~ t1,~ nicht merklich. Die Abblendung des Lichtstroms um 20 % geht also v611ig auf Kosten des ~iusseren Lichtschleiers, so dass eine merkliche Kon- traststeigerung eintreten mfisste.

Wir wollen nun unsere theoretischen Ergebnisse mit ten experimentellen Messungen yon E. WAI~DERSLEB [11] vergleichen. Dazu haben wit die unseren Intensi- t~itsquerschnitten entspreehenden Schwarzungsquer- sehnitte aus [ t t ] herausgezeichnet und in Abbildung 4 zusammengestellt. Der Abszissenmassstab ist der gleiche wie in Abbildung 3. Die Ordinaten sind Schwar- zungen, also etwa dem Logarithmus der Intensitat proportional. Die vorhandenen Rotationsunsymme- trien sind beim Umzeichnen ausgemittelt worden. Weiterhin ist zu beaehten, dass die Schw~rzungsquer- schnitte zum Tell verschiedenen Belichtungszeiten der fotografischen Schicht entsprechen. Bei 4 Sekun-

den Belichtung ist dann etwa eine richtige Wiedergabo der Lichtverteilung im Bildkern zu erwarten, wiihrend der iiussere Lichtschleier kaum bi]dwirksam wird. Bei 8 Minuten Belichtung liegen die zentralen Lichtspitzen weit im Bereich der Uberbelichtung und werden gegen- fiber dem jetzt stark betonten iiusseren Ringgebiet nur abgeflacht wiedergegeben. Eine grosse experimentelle Schwierigkeit besteht in der genauen Bestimmung der Lage der Querschnitte. So gibt E. WANDERSLEB auf Grund einer nachtriiglich ausgeffihrten verfeinerten Hartmannschen Messung der sph~irischen Zone eine Korrektur fiir die Lage einiger Querschnitte an [ l l ] , S. 72. Diese ist bei der Gegenfiberstellung in Abbildung 4 berficksiehtigt worden, da schon eine geringe Ver- schiebung der Querschnitte gegen die Sollage zu einer betriichtlichen Anderung in der Liehtverteilung ffihrt. Vergleichen wit nun Abbildung 3 und Abbildung 4. Es fallen sofort die in Abbildung 3 stark ausgepriigten fast bis auf Null absinkenden Intesitiitsminima auf, welche in den Schw~irzungskurven nut andeutungs- weise zum Ausdruek kommen. Das gilt vor allem ffir das erste und zweite Minimum. Ebenso treten die zentralen Liehtspitzen und 4as erste Nebenmaximum in den Schwarzungskurven wesentlich flacher in Erseheinung als in Abbildung 3. Der Grund hierfiir ist einmal in der schon erw~ihnten eventuellen 0ber- bzw. Unterbelichtung und der dadurch bedingten Verzerrung des Schwfirzungsmassstabes zu suchen, zum anderen aber in dem experimentell nicht realisierbaren Objektpunkt. E. WANDERSLEB verwendet als leuchten- den Objekt-(( Punkt ,) ein durcheine Queeksilberh6chst- drucklampe beleuchtetes kreisfSrmiges Loch, dessen aberrationsfreies geometrisches Bild in der Brenn- ebene des Objektivs einen Durchmesser yon etwa 2 ~ hat. Wit k6nnen annehmen, dass von jedem Punkt des Loches ein koh~rentes Strahlenbiindel ausgeht, die Strahlenbtindel der verschiedenen Punkte untereinander aber nieht interferrieren. D ann summie- ren sich die von jedem Punkt des Loehes erzeugten Intensit~itsverteilungen in der Auffangebene, und nur diese Uberlagerung ist experimentell zu beobachten. Ffihren wir diese Integration tiber das Objektloeh auch theoretisch aus, so ergibt 8ich die in Abbildung 3 gestrichelt eingezeichnete Lichtverteilung. Erst diese ist im Grunde mit Abbildung 4 vergleiehbar, und es zeigt sich eine sehr befriedigende 0bereinstimmung mit dem Experiment. Die zentralen Liehtspitzen sind fast auf die Halfte abgesunken (man beachte den logarithmischen Massstab) und das stark ausgepragte erste Minimum und erste Nebenmaximum sind weitge- hend ausgeglichen worden, wie es aueh die Schwar- zungskuiven zeigen. Unter diesen Aspekten liisst sich auch Abbildung i mit dem Experiment verglei- chen. Man wird also l~ings der Achse keine so stark ausgepr~igten Maxima und bis auf Null absin- kende Minima erwarten k6nnen. Die Achsenintesit~it ist von E. WANDERSLEB kontinuierlich nur visuell beobachtet worden [11], S.86. Er findet das absolute Intensitatsmaximum bei Z = 0,9 A, ein erstes Minimum bei Z = 0,8 5, relativ hochliegend,

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vol. 3 , n ° 8, S e p t . | 956] W E L L E N O P T I S E H E U N T E R S U C H U N G E N ZUM O F F N U N G S F E H L E R i t9

~1~ (l÷ 3007/ Ych ~v#rzungen

Z - 0.954

Z - 0.9~

Z - 0.85,t

i j .

[5

0 X ~$~ lOt.z 5 ~

A ~ s . 3. - - D ie L i c h t v e r t e i l u n g in e i n i g e n Q u e r - s c h n i t t e n Z = c o n s t , d u r c h d ie a x i a l e K a u s t i k des Tessar 1 : 2 ,8 .

bei v o l l e r O f f n u n g H ~ = 1 ~ ff l r e i n e n idealen o o o a b g e b l e n d e t a u f H a = 0 ,89 t O b j e k t p u n k t

- - - be i v o l l e r ( ~ f f n u n g H a : I f f l r e in k r e i s f ~ r m i g e s

O b j e k t , 2 t~ ~ bez. Brennebene

Die I n t e n s i t ~ i t e n s i n d l o g a r i t h m i s c h a u f g e t r a g e n .

. . . . . " , 8e//ch/ung/+sec ',, (Abb. ~, ~.Ogz)

Z = O..,05A

Be/ichlun9 ~ sec ,, , , - . . /"',, (Abb. 4,3, ~ = a e z }

"--/ ",._.: ", Z ~ OBSd

(A6~.*z. ~.OSz)

, Belichlung l,, ~c ",, ..- /,-., (Abb *3, ~-aT~:

" - - " , . / , Z = O . . ? 5 , d

5,u lOa 15t~ x

ABB. 4. - - E x p e r i m e n t e l l b e s t i m m t e L i c h t v e r t e i - l u n g in d e r a x i a l e n K a u s t i k des Tessar 1 : 2 .8 z u m V e r g l e i c h m i t A b b . 3, n a c h E. \ V a n d e r s l e b [ 1 1 ] , A_bb. 43 bzw. 47 ( h i e r a u f b e z i e k e : l s i c h die Augaben in d e n I ( l a m m e r n ) . D ie K u r v e n s t e l l e n d i e S c h w i i r z u n - g e n der M i k r o a u f n a h m e n in d e n Q u e r s c h n i t t e n Z = c o n s t , d a r , - - 8 m i n , - - - 4 see Belichtungszeit.

und weitere Maxima in Abstanden von etwa 0,1 :~, dazwischen entsprechende Minima. Diese Beobach- tungen st immen gut mit Abbildung 1, H a = I fiber- ein. Es lassen sich jetzt aueh genaue Angaben fiber die Totalbelouchtung machen, wie sie das Experiment nur schwerlich liefern kann. Im innersten Beugungs-

seheibchen betr~igt sie bei Z = 0,9 ± etwa 2i %, also das Doppelte der Wanderslebschen experimentellen bzw. geometrisch-optischen Sehatzung [1 i ] , S.87, dagegen sind seine Angaben fiber die Totalbeleuchtung im Bildkern etwas zu hoeh. Vergleiche Abbildung 5.

Wo liegt nun die <( beste >> Einstellebene ? Die Ant-

OPTICA ACTA 3. . .

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120 J. FOCKE [OeT. Ac~A

ION

, , . . "...., ~

t' " ' g0 % ,t " .

M ogJ O&~ Z

ABB. 5. - - Die Tota lbe leuch tung B(x,Z) in der axialen Kaus t ik des Tessar 1 : 2,8 in H6henlinien- darstel lung. Die angeschriebenen Zahlen geben B in Prozent an.

wort hfingt weitgehend davon ab, was wit unter (( beste~ verstehen wollen. Sell die Achsenintensitat einen maglichst grossen Wert annehmen, so folgt eindeutig Z = 0,9 ±, ftir diese Einstellebene ist auch die Total- beleuchtung im innersten Beugungsscheibchen mit 21% am grassten. Sieht man aber die Lichtintensitfit in den Ringen rmch als bildaufbauend an, so verschiebt sich die (( beste )> Einstellebene nach dem Brennpunkt hin. Abbildung 5 zeigt die Totalbeleuchtung in Rahen- liniendarstellung. Der 50 % -Bereich hat seine starkste Einschntirung bei Z = 0,85 ±, der 70 °/o-Bereich bei Z ---- 0,80 h, in dieser Einstellebene erhfilt der Bildkern x ~ 11 ~ die grasstmagliche Totalbeleuchtung yon 70°/o . Dies s t immt genau mit der Lage des Wanderslebschen kleinsten Bildkerns iiberein. Blender man auf H . = 0,89 ab, so ~indert sich, wie Abbildung 4 zeigt, die Intensitiit im Bildkern nicht wesentlich, seine Totalbeleuchtung steigt damit aber relativ auf 88 ~o, es geher~ nut noch 12 % des Lichtstroms als Lichtschleier verloren.

7. Die Lichtvertellung in Abhiingigkeit yon tier (irOsse tier sphflrischen Zone. - - Wir untersuchen nun eine Reihe yon Objektiven mit sukzessive wachsender sphfirischer Zone. Die Objektive haben alle das gleiche Offnungsverhi~ltnis und sind randstrahlkorrigiert. Abbildung 6 zeigt die Lichtverteilung auf der opti- schen Achse. Fiir (I,~ . . . . = 0 haben wit die bekannte zum Brennpunkt symmetrische Verteilung mit sehr schwachea Nebenmaxima. Schon bei kleiner sphari- scher Zone, bzw. kleiner Wellenaberration wird die Verteilung merklich unsymmetrisch. Das Hauptmaxi . mum liegt etwa bis (l,m,~x = 2,4 ), bei Z = 0,8 ± wird dann bei 4,8 x betriichtlich breiter und wandert nach der (~ Zone )~ zu aus. Ffir 8 x liegt es etwa bei Z = 0,9 5.

Die Grasse des Hauptmaximums (gleich Definitionshel- ligkeit) n immt mit wachsender Zone bis q)max ---- 4,8 X zun~ichst stark ab, bleibt dann etwa gleich und wird bei 6,4 x sogar wieder etwas grasser, um dann erneut abzufallen. Demgegentiber treten die nach dem Brenn- punkt zu gelegenen Nebenmaxima mit wachsendem (Dma x stiirker in Erscheinung. Bei 4,8 x erreicht das erste Nebenmaximum fast die Grasse des Hauptmaxi- taurus, wird dann aber wieder kleiner.

In Abbildung 7 ist die Liehtverteilung jeweils im Querschnitt durch das Haup tmaximum dargestellt. Die zentrale Lichtspitze wird von eiaem komplizier- ten Ringsystem umgeben. Die Lage des ersten dunklen und ersten hellen Ringes andert sich mit wachsender spharischer Zone fast gar nicht, nur nimmt die Beleuchtungsstiirke des ersten hellen Ringes wie auch der weiteren Ringe betrfichtlich zu. Ffir qJmax = 4,8 X, ffir welches das Haup tmaximum mit wachsendem (~max einen kleinsten Wert annahm, n immt jetzt im Gegen- satz die Intensit~it im ersten hellen Ring eiaen grassten Wert an. Im fiusseren Ringsystem tr i t t mit einer Ver- grasserung der Zone auch eine Strukturiinderung ein. So verschmilzt y o n (:I)ma x = 0 bis 4,8 X der zweite helle Ring vallig mit dem ersten. 0 b e r die mit wach- sender Zone in das Ringsystem abfliessende Lichtener- gie geben die angesehriebenen Werte der Totalbeleuch- tung genaue Auskunft. Im innersten Beugungsscheib- chen X ~ 4 sinkt die Totalbeleuchtung von 84 % auf 34 % bei 4 x und auf 22 % bei 8 x. Selbst in einem Zerstreuungskreis vom Radius X ---- 20 werden bei 4). nut 86 % And bei 8 x nur 66 % der gesamten einstrahl- enden Lichtenergie vereinigt.

In Abbildung 8 und 9 ist ftir 'I'm~ x = 2,4 ~ und 4,8 X noch die Lichtverteilung in der Umgebung des I taupt- maximums in Isophotendarstellung wiedergegeben. Wiihrend Abbildung 8 noch _~hntichkeit mit der bekannten Isophotendarstellung fiir die fehlerfreie Abbildung zeigt [13], bringt in Abbildung 9 der Offnungsfehler eine betr~ichtliche Strukturanderung. Abbildung l0 und l i zeigen die dazugeharige Totalbe- leuchtung ebenfalls in Itahenliniendarstellung. Hieraus lfisst sich wieder eine Angabe fiber die (( beste ~) Einstell- ebeneablesen. Im Falle 4)m, X = 2,4 X liegen die engsten Einschntirungen aller Prozentbereiche der Totalbc- leuchtung und damit auch die beste Einstellebene etwa bei Z = 0,9 ±. Bei ' [ 'max= 4,8 X liegen his zum 50 °/o- Bereich die engsten Einschntirungen wie auch das Hauptmaximum etwa bei 0,9 5, dagegen fiir den 70 °/o- und 80 °/o-Bereich etwa bei 0,8 ±. Die (( beste ~) Einstellebene ist also zwischen beiden WerLen zu suchen, je nachdem welchen Zerstreuungskreis man noch als bildaufbauend ansieht. Interessant ist, dass in beiden FAllen ebenso wie ftir (~'max : 8 k (Abb. 5) der Wanderslebsche kleinste Bildkern, bier dutch den Schnit tpunkt der beiden Kaustikaste bestimmt, stets knapp 70 ~o Totalbeleuchtung crh~ilt.

8. Zur Feinkorrektur des ( } f fnungs feh lers . - Wit wollen abschliessend noch zu der viel diskutierten

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W E L L E N O P T I S C H E UNTERSUCHUNGEN ZUM ( ) F F N U N G S F E H L E R

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-zo - to o to 20 so ~ 5o Z - O S J

A.BB. 6. - - Die I n t e n s i H i t s v e r t e i l u n g l~ings de r o p t i s c h e n A c h s e be i sph f i r i s che r W e l l e n a b e r r a t i o n dPma x ~ 0 b i s 9,6) , bzw. ( n o r m i e r t e r ) sph~i r i scher Zone

A = 3~(bmax/). = 0 b i s 90 u n d R a n d s t r a l ~ l k o r r e k t i o n H n = H c ~ 1. × Z o n e n s t r a h l s c h n i t t p u n k t , o B r e n n p u n k t .

Frage nach der optimalen Feinkorrektur des ()ffnungs- fehlers auf wellenoptischer Grundlage einen Beitrag geben. Bekanntlich ist dutch den Objektivtyp der Koemzient 5. Ordnung des C)ffnungsfehlers T (Typen- koeffizient) weitgehend festgelegt, w~ihrend die Lage des sph~irisch korrigierten Strahls H c 1) und die

(x) E t w a m i t t e l s D u r c h b i e g u n g de r L in sen . S iehe z. B. [ 7 ], S. 154-59.

124

Begrenzung der ()ffnung H , noch variabel sind. Wie ist also bei der Feinkorrektion H c und H , bei featem T zu wahlen, um eir~e (< optimale >> Lichtverteilung zu erhalten ?

Wir untersuchen als erstes ein Objektiv vom ()ff- nungsfehlertyp T = 60 ftir h o = h , , H , ---- 1, das entspricht bei Randstrahlkorrektion dPma x ~ 4~8 )`.

Etwa yon diesem T y p i s t das neue Tessar 1 : 2,8, 1947.

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i , i i i i r i i i O 2 i 6 $ IO 12 14, 16 18 X

A B m 7. - - Die I n t e n s i t ~ i t s v e r t e i l u n g i m Q u e r s c h n i t t d u t c h da s j e w e i l i g e H a u p t m a x i m u m ( A b b . 6) bei sph$i r i scher W e l l e n a b e r r a t i o n d~ma x = 0 bis 8,0 ), u n d

R a n d s t r a h l k o r r e k t i o n H B = H c : 1. 3, . . . . 10 D, die a n g e s c h r i e b e n e n Z a h l e n g e b e n die j e w e i l i g e T o t a l b e l e u c h t u n g in P r o z e n t an .

Wit lassen zunichst die ()ffnung H~ ~ i lest und variieren nur die sphirische Korrektion H c. Abbildung 12 zeigt die sich ergebende Verteilung 4erTotalbeleuch- tung fiir Randstrahlkorrektion und je zwei F i l e sphirischer Randstrahlunter- bzw. -iiberkorrektion. Betrachten wit zunichst die l0 % bis 50 °/o-Bereiche. Mit dem 0bergang yon h~ : h c = 0,87 zu h= : h e ---- 1,21 nimmt die Lichtkonzentration in den inneren Ringen merklich zu. Das ist auf Grund der dutch die Korrek- tionsverschiebung bedingten Verkleinerung 4er Zone yon A = - 78 zu A : - 21 leicht zu erklfiren. Fragen wir dagegen nach der grSsstmSglichen Lichtkon- zentration im Zerstreuungskreis X ~ 20, so ergibt

J . FOCKE [OPT. ASTA

sich ein ganz anderes Bild. Boi h~ : he = 1,2i haben wir z~var ftir X ~ 6 die grSsstmSgliche Totalbeleuch- tung von 50 %, die restlichen 50 % bilden aber einea so dtianen Lichtschleier, class bis X ---- 20 noch nicht 70% erreicht werden. Nach der Unterkorrektion zu

X

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", , ~ 20 ! : Io I ' s I 'so I ~ Z-J IO,I 08d ~8~ Q4J Z

-~BB. 8. - - I s o p h o t e n d a r s t e l l u n g i m M e r i d i a n s c h n i t t be i sph t i r i s che r W e l l e n a b e r r a t i o n ~ m a x = 2,4 ). u n d

R a n d s t r a h l k o r r e k t i o n H R = H c = 1. Die H S h e n -

l in ien g e b e n 100 ~ an,

X

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A.BB. 9. - - I s o p h o t e n d a r s t e l l u n g wie A b b . 8, a b e r (lima x = 4,8 )~.

nimmt zwar die Lichtdichte in den inneren Bereichen ab, dagegen erf ihr t der iussere Schleier eine wesent- liche Konzentration, so dass wir ftir X = 20 bei

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~ol. 3, n ° 8, Sept. |956] WELLENOPTISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUM OFFNUNGSFEHLER 123

X 90 ~ ~'~% "N,\ ~ ,"/" 80%

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zO _ ~i ~ 30 *0

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Z04 ooJ 0.6,1 Z ABB. 1 0 . - T o t a l b e l e u e h t u n g B(X,Z) zu Abb. 8,

(I)ma x ~ 2,4 ),. Die HShen l in ien geben B in P rozen t an.

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rod Ogd 0 8 d 0.7,t Z

A n m 1 1 . - T o t a l b e l e u c h t u n g B ( X , Z ) zu A~b . 9, dPmax= 4,8 X. Die HShenl in ien geben B in P rozen t an.

;! i I . 0 /J 30 1~5 60 75

X A ..

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Hz-076

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., 0 z5-30. *5 60 f . . - - .

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.. ~b ~ao *s "30 is ia

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• o ls~,,~ ~ z-g

~ ' ' - 65

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ABB. 12. - - Die T o t a l b e l e u c h t u n g B(X,Z) bei Versch iebung dcr R a n d s t r a h l k o r r e k t i o n . (gffnung H a = 1 fest , (, TypenkoeiT]zient ~ T = 60 (nor- mie r t ) les t . E n t s p r i c h t fiir h n : h c = 1 einer W e l l e n a b e r r a t i o n (i)ma x = 4,8 ;k. Die HShen l in ien geben B in P r oz e n t an. Die dar t iber gese t z t en Skizzen zeigen den jewei l igen Gang der sph~r ischen L~ingsaberra t ion m i t der sph~irischen Zone A (normier t ) und dem u n t e r s u c h t e n Bereich.

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124 J. FOCKE

h R : h c = 0,93 auf den opt imalenWert von90%Tota l - beleuchtung bei Z - - 5 = 13, d .h . etwa Z = 0 ,8± kommen. Noch st i rkere Unterkorrektion ftihrt dann wieder zur Abnahme der TotaJbeleuchtung.

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~0

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I00

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30

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fO 15 -~{a,b)

A B m 1 3 . - D a s I n t e n s i t i i t s m a x i n m m 3max iu A b - h f i n g i g k e i t y o n de r L a g e de r s p h i i r i s c h e n K o r r e k t i o n H c u n d de r O f f n u n g s b e g r e n z u n g H a be i f e s t e m ~ T y p e n k o e f I i z i e n t e n ,~ T. Die H 6 h e n l i n i e n geben 3max in P r o z e n t s e ines a b s o l u t g r S s s t e n W e r t e s ,~Jopt

6,97 T~[ a an. Die K o o r d i n a t e n s i n d :

b a = n V , b + a ( 1 - - . 2 a / - ~

Lf ings de r 15 ° -- L i n i e n (b - - a) -- (b + a ) = H2c

c o n s t , e r f o l g t r e i n e A b b l e n d u n g , l i i ngs de r H o r i z o n t a -

l e a b - - a = H ~ a / , ~ - = c o a s t , re i l le K o r r e k t u r -

v e r s c h i e b u n g , a u f dc r A c h s c a + b ~ 0 h e r r s c h t R a n d k o r r e k t i o n .

?0

Beziehen wir mm aueh die Frage nach der giinstig- sten Strahlbegrenzung mit in die Diskussion ein. Wir untersuchen zunichst das absolute Intensi t i t smaxi- mum Jm~× in seiner Abhingigkei t yon H~ und H~ bei festem T. Wie Abbildung 13 zeigt, n immt 3m~x fiir

H~ ~ He, H~ T = 30,4 einen absolut grSssten Wert

[OPT. ACTA

an, nimlich 3max = 3opt ~ 6,97T d3. Will man also bei der optimalen Feinkorrektion der zentralen Lichtspitze Jm~x einen grbsstmbglichen Wert geben, so lautet die eindeutige Korrekturvorschrift auf natiir- liche Daten bezogen:

h,~ ' 3'Szo, e -- 7,25, h, : h,:. /2 >.

Es wird also Randstrahlkorrektion gefordert. Aus der HShenliniendarstellung der Abbildung 13 entnimmt man weiterhin, dass bei dieser Strahlbegrenzung eine Verschiebung der Randstrahlkorrektion zu einem stark- en Absinken der zentralen Lichtspitze fiihrt. Das Gleiche gilt auch bei einer VergrSsserung der Offnung. Die dana ebenfalls grSsser werdende sphirische Zone bewirkt ein Abfliessen der Lichtintensi t i t aus dem Zen-

t 6 , . trum. Von ] . T :- 60 ab nimmt -im.,x mit waehsender

()ffnung aber nochmals zu nnd erreicht bei etwa H~ T ~ (30 einen relativ gr5ssten Weft mit 0,88,3or t. Bei

der ('Jffnung H~ T ~ 54 ist das Verhalten yon ,1,,~x bei Verschiebung der Randkorrektion bemorkenswert. [J . . . . . . steigt YOn 0,71 [}ol, t bei H : H,: = l auf0,94 3or t

bei i - - Hz,:/H~, = :i: 0,176 bzw. H~ : H~ 0,92 o d e r H , : H c = 1,1 an.

Betrachten wir nun zu den diskutierten Korrek- t ionszustinden die ausseraxiale Lichtv'erteilung. Abbildung t4 gibt jewels fiir den Querschnitt durch die zentrale Lichtspitze die Intensi t i tsvertei lung und die Totalbeleuchtung wieder. Die angeschriebe- hen H . sind so normiert, dass 3opt fiir H , = 1 angenommen wird. Die grSsste Lichtkonzentration im innersten Beugungsscheibehen tr i t t zwischen

2 2 H,~: = H~ = I u n d H~ = H~ = 0,87 ein. Sie be t r ig t

bei H2 = 0,87 etwa 72 % des einfallenden Lichtstromes.

Korrigiert man fiir kleinere ()ffnungen, so t r i t t zwar die Wirkung des ()ffnungsfehlers immer mehr zuriiek, die Totalbeleuehtung im ersten innersten Beugungs- seheibchen niher t sich relativ den idealen 84%, nimmt abet absolut ab. Auch wird der Durchmesser des Beugungsscheibchens mit I/H~ grSsser. Korrigiert man

fiir grSssere 0ffnungen, so sinkt die absolute Total- beleuehtung im innersten Beugungsscheibehen his H~; :~ H~ ~ 1,5 auf die Hi l f te gegeniiber H, ~, ~ 1, auch in einem Zerstreuungskreis X ~ 10 nimmt sic noch ab. Erst im Zerstreuungskreis X -~ 20 kann man eino geringe Erh6hung der Totalbeleuchtung yon B - 0,9 auf B = :1,0 feststellen, was relatN abet nur noeh 67 % entspricht gegeniiber 90 % bei H:( = 1. Die ErhShung der Liehts t i rke kommt also hauptsiehlich dem iusseren Lichtsehleier zugute. Wesentlich giinsti- gere Verhiltnisse erhalten wir jetzt bei Randstrahlun- terkorrektion H~ = t,22, H~ : He = 0,92. Mit der zentralen Lichtspitze hat auch die Beleuchtungsstirke im inneren Beugungsscheibchen zugenommen, und

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ABB. 14. - - Die Intensitiitsverteilung und Total- beleuchtung in dem Querschnitt durch das Haupt- maximum ftir verschiedene Korrekturzustfinde des Offnungsfehlers bei gleichem (, Typenkoeffizienten ,, 7'. H ist so normiert, dass ~max ftir HR=I seinen grSss- ten Wert 3opt annimmt. . . . . ~ m a x / ~ o p t , . B ( X , Z ) , absolut.

im Zerstreuungskreis X < 20 betr~igt die Totalbeleuch- tung B = l , l , also absolut mehr als bei H _ H c = 2 ~ 1,5,

obwohl die BlendenSffnung auf H : = 1,22 verklei- nert worden ist. Auf den iiusseren Lichtschleier entfallen etwa nut noch 10%. Die entsprechende Randstrahliiberkorrektion H2R = 1,22, H R : H c = l , l , wirkt sich auf die Totalbeleuchtung in X ~ 20 ungiinstig aus; der Schleieranteil steigt wieder auf fiber 25% an. Blendet man 4iesen Korrektur typ auf H : : I ab, so erh~lt man gerade den Fall H : = H • : 1. Vergleicht man beide Kurven der Totalbeleuchtung, so kann man kaum einen Unterschied feststellen, die Lichtverteilung im Bildkern X ~ 20 bleibt also unveriindert, nur 4er iiussere Liehtsehleier wird weggeblendet. Sieht man also einen Zerstreuungskreis vom Radius X = 20 noch als bildaufbauen4 an, so ist die optimale Feinkorrektur etwa bei einer ()ffnungs. begrenzung H : : 1,22 und einer Randstrahlun- terkorrektion H , : Hc : 0,92 in Ubereinstimmung mit den Ergebnissen von Abbildung 12 zu suchen.

Zum Schluss anhand yon Abbildung 14 noch eino Bemerkung zu einer These von E. WANDERSLEB [14], wonach man bei Fixsternaufnahmen mit einem Tessar I : 9 etwa 12 real kiirzer belichten kSnnte als mit oinem Tessar l : 3,5. E. WANDERSLEB schliesst geometrisch- optiseh, class durch die Verkleinerung der Zone bei I : 9 gegentiber I : 3,5 eine t00 fache Lichtstrahlkon- zentration im Bildkern eintritt, so dass trotz 4er Dros- selung des Lichtstromes auf t/7,5 noch eine i3,5 fache Verstiirkung der mittleren Beleuehtungsst~irke im Bildkern resultiert. Hier triigen aber die geometriseh- optischen Vorstelhmgen vSllig. Das Tessar I : 3,5 ent-

2 spricht etwa unserem Fall H~ = 1,5, das Tessar I : 9

dem Fall H~n = 0,2. Bei letzterem hat das inhere Beugungsscheibchen schon einen Durchmesser yon X = 9 und nimmt die absolute Totalbeleuchtung B = 0,17 auf. Bei H~ = 1,5 nimmt derselbe Kreis die Beleuchtungsstfirke B = 0,6, o4er alas innereBeugungs- scheibchen X ~ 3 immer noch B = 0,32 auf. Von ~iner grSsseren absoluten Beleuchtungsstiirke beim Tessar ~[: 9 kann also gar nicht die Rede sein. Die beste Objektivwahl wird bei unserem Fall H2R = H~c = 0,87 mit der Totalbeleuchtung B = 0,63 im inneren Beu- gungsscheibchen liegen, da es bei Fixsternaufnahmen vor allem auf die Beleuchtungsst~irke ira Zentrum ankommt.

Nachwort. - - Der Verfasser dankt hiermit dem Direktor des Mathematischen Insti tuts, Professor Dr E. HSLI)En, durch dessen freundliche Unterstiitzung die Arbeit im Rahmen des Forschungsplanes des Ins- titutes durchgefiihrt werden konnte, weiterhin seinem Mitarbeiter S. FlscHEn und verschiedenen Studenten des Mathematischen Institutes fiir die Ausftihrung der schwierigen Rechnungen un4 Vermessungsingenieur F. FOCKE ftir die sorgfiiltige Anfertigung der graphis- chen Darstellungen.

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126 J. FOCKE [OPt. ACTA

LITERATURHINWEISE

[ 1 ] WOLF, E., Rep. Progr. Phys., 14, 1951, p. 95-120. [2 1 VAN KAMPEN, N. G., Physica, 14, 1949, p. 575-89, 16,

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[9 ] NIJBOER, [3. Ft. A., Thesis, Grouingen, 1942. [ 10 ] ZE~NIKE, F., Physica, 1, 1934, p. 454-57. [11] WANDE~SLEB., E., Die Lichlverleilung in der axialen

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NEWTON, BESSEL, GAUSS, die ihre Linsen z. T. selbst geschliffen haben, und heute die optisehen Werkst~itten, sie alle waren und sind gezwugen, die optischen Einzelteile schon w~ihrend der Herstellung immer wieder einer eingehenden Prfifung zu unterzie- hen. Jeder wendet sein eigenes Verfahren an, das er sieh meist selbst ausgearbeitet hat. Das ist zum ganz wesentlichen Teil eine Folge der mangelnden Kommu- nikation auf diesem Gebiet. Es ist deswegen sehr begrtissenswert, wenn der Verfasser sich nunmehr der Aufgabe unterzogen hat, alle erreichbaren Methoden zusammenzustellen, sie in Bezug auf ihre Empfind- lichkeit und Genauigkeit kritiseh zu priifen und die Literatur dartiber anzugeben. Das Werk gliedert sich in drei Hauptabsehnitte. Im ersten wird die Messung der Elementargr6ssen : Brechwer~ des Glases, Krtim- mungsradien yon Flfichen, Linsendicken ahgehandelt. Der zweite Abschnil~t befasst sich hauptsttchlich mit Prfifverfahren flit die Gfite des Ausgangsmateriales und der Fertigung, z. B. der Politur und der beim Belegen erreichten Beflexminderung. Es liegt auf der Hand, dass sich fiir die Praxis die Begriffe " Messen ',

und " Prtifen " nicht streng voneinander trennen las- sen. Dadurch ist die Einordnung einer bestimmten Aufgabe in den ersten oder zweiten Abschnitt schwie- rig, und auch in der Behandlung jedes einzelnen The- mas stehen Mess- und Priifverfahren nebeneinander. Das ist indessen fiir den praktischen Wert des Buches kein Nachteil sondern eher ein Vorzug. Der drit~e Abschnitt ist der Messung der GrundgrSssen optischer Systeme gewidmet : Schnitt- und Brennweite, Apertur und AuflSsungsverm5gen. Bei diesem letzten Punk~ erwartet man wohl einige Bemerkungen fiber den Begriff der" Bildgfite ", die sehr htiufig mit dem AuflS- sungsvermSgen gleich gesetzt wird, obwohl der Zusam- menhang zwischen beiden sehr viel verwickelLer und heute auch noch nicht ganz klar ist. Es ist deswegen versttindlieh, dass der Verfasser sich dieser Frage gegen- fiber zuriickhtilt.

Ftir den praktischen Optiker wird sich das Buch als unentbehrliches Nachsehlagewerk erweisen, und es ist in hohem Grade erfreulich, dass die Orientierung fiber die Mess- und Priifverfahren in der optisehen Fertigung an ttand dieses Buches verhiiltnism~ssig einfaeh geworden ist. Daftir gebfihrt dem Verfasser besonderer Dank.

FRANKE.

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