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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Zeros de Funcoes
Wellington D. [email protected]
http://pessoal.utfpr.edu.br/previero
Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 1 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Sumario
1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 2 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 3 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Introducao
Objetivo
Estudo de metodos numericos para resolucao de equacoes daforma f (x) = 0.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 4 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Definicao
Um numero real a e um zero da funcao f ou raiz da equacaof (x) = 0 se f (a) = 0.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 5 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Definicao
Um numero real a e um zero da funcao f ou raiz da equacaof (x) = 0 se f (a) = 0.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 5 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 1
a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√
b2−4ac2a (Formula de
Baskara).b) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0→ Metodo de Cardano [1],
[2].c) No caso de polinomios de grau mais alto e no caso de
funcoes mais complicadas, pode ser impossıvel achar oszeros exatamente. Exemplo: f (x) = e−x − x . Por isso,temos de nos contentar em encontrar apenas aproximacoespara esses zeros .
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 6 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 1
a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√
b2−4ac2a (Formula de
Baskara).b) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0→ Metodo de Cardano [1],
[2].c) No caso de polinomios de grau mais alto e no caso de
funcoes mais complicadas, pode ser impossıvel achar oszeros exatamente. Exemplo: f (x) = e−x − x . Por isso,temos de nos contentar em encontrar apenas aproximacoespara esses zeros .
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 6 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 1
a) f (x) = ax2 + bx + c = 0→ x =−b±√
b2−4ac2a (Formula de
Baskara).b) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0→ Metodo de Cardano [1],
[2].c) No caso de polinomios de grau mais alto e no caso de
funcoes mais complicadas, pode ser impossıvel achar oszeros exatamente. Exemplo: f (x) = e−x − x . Por isso,temos de nos contentar em encontrar apenas aproximacoespara esses zeros .
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 6 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 2Se um paraquedista estiver inicialmente em repouso, a suavelocidade v apos t segundos do salto e dada
v(t) =gmc
(1− e−c
t t)
em que c e a constante de arrasto, m e a massa doparaquedista e g a constante gravitacional.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 2Um paraquedista de massa 69,5kg pula de um balao de arquente parado. Considere o valor do coeficiente de igual a12,5kg/s.
a) Use a equacao anterior para calcular para estimar avelocidade de abertura do paraquedas.
b) Determine o coeficiente de arrasto para que umparaquedista de de massa 80kg atinga a velocidade de50m/s apos 8 segundos.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 8 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Os metodos que iremos estudar consistem em encontrar oszeros de uma funcao com uma precisao prefixada.
A ideia principal desses metodos e partir de uma aproximacaoinicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximacaoatraves de um processo iterativo.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 9 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
FASE I: localizar ou isolar as raızes, isto e, obter o intervaloque contem a raiz.
FASE II: melhorar o valor da raiz aproximada, ou seja, refina-laate o grau de exatidao requerido.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Fase I: Isolamento das Raızes
Teorema do Valor IntermediarioSeja f uma funcao contınua num intervalo [a,b]. Sef (a) · f (b) < 0 entao existe pelo menos um ponto entre a e bque e zero de f (x).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 11 / 77
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Fase I: Isolamento das Raızes
Teorema do Valor IntermediarioSeja f uma funcao contınua num intervalo [a,b]. Sef (a) · f (b) < 0 entao existe pelo menos um ponto entre a e bque e zero de f (x).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 11 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Observacoes:
a) Se f (a) · f (b) < 0, entao existe um numero ımpar de raızesno intervalo (a,b).
b) Sob as hipoteses do teorema anterior, se f ′(x) existir epreservar o sinal em (a,b), entao este intervalo contem umunico zero de f (x).
c) Se f (a) · f (b) > 0, entao existe um numero par de raızes ounenhuma raiz no intervalo (a,b).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 12 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Fase II: Refinamento
Estudaremos varios metodos numericos de refinamento deraiz. A forma como se efetua o refinamento e o que diferenciaos metodos.
Metodo da BisseccaoMetodo das CordasMetodo do Ponto FixoMetodo de Newton-Raphson
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 13 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Um metodo iterativo consiste em uma sequencia deinstrucoes que sao executadas passo a passo e que saorepetidas em ciclos.
A execucao de um ciclo recebe o nome de iteracao.
Cada iteracao utiliza resultados das iteracoes anteriores eefetua determinados testes que permitem verificar se foiatingido um resultado proximo o suficiente do resultadoesperado.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Início
Dados Iniciais
k=1
Calcular umanova aproximação
Esta aproximação
está suficientementepróxima da raiz
exata?
k=k+1
Cálculosfinais
Fim
Método Numérico
Critério de Parada
não
sim
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 15 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Início
Dados Iniciais
k=1
Calcular umanova aproximação
Esta aproximação
está suficientementepróxima da raiz
exata?
k=k+1
Cálculosfinais
Fim
Método Numérico
Critério de Parada
não
sim
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Criterios de Parada
O laco de repeticao e finalizado assim que o valor da solucaoaproximada esteja “proximo” da solucao exata.Considere x a solucao exata do problema e xk seu valoraproximado.A atual solucao xk esta suficientemente proxima da raiz exata?Alguns criterios:
Erro real: |x − xk |Erro relativo: |xk+1 − xk |Erro relativo percentual: |xk+1−xk |
|xk |· 100%
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
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Metodo da Bisseccao
Seja f uma funcao contınua num intervalo [a,b] tal quef (a) · f (b) < 0.
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Metodo da Bisseccao
Seja f uma funcao contınua num intervalo [a,b] tal quef (a) · f (b) < 0.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtemos o valor x0. Comesta divisao, temos agora, dois subintervalos, [a, x0] e [x0,b].
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
A raiz estara no subintervalo onde a funcao tem sinais opostosno pontos extremos.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
O novo intervalo [a1,b1] que contem a raiz e dividido ao meio eobtem-se o ponto x1.
O processo se repete ate que se obtenha uma aproximacaopara a raiz exata, com tolerancia desejada.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 21 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 2
Considere a funcao f (x) = x2 − 3 e o intervalo [a,b] = [1,2].Obtenha uma aproximacao para a raiz de f utilizando o criteriode parada |bk − ak | ≤ 0,01.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 22 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 0
Intervalo: [a0,b0] = [1,2]x0 = 1,5f (x0) = −0,75f (1) = −2f (2) = 1
f (x0) · f (2) < 0
Novo intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]
Erro: 0,5
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 0
Intervalo: [a0,b0] = [1,2]x0 = 1,5f (x0) = −0,75f (1) = −2f (2) = 1
f (x0) · f (2) < 0
Novo intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]
Erro: 0,5
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 23 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 1
Intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]x1 = 1,75f (x1) = 0,0625f (1,5) = −0,75f (2) = 1
f (x1) · f (1,5) < 0
Novo intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]
Erro: 0,25
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 1
Intervalo: [a1,b1] = [1,5;2]x1 = 1,75f (x1) = 0,0625f (1,5) = −0,75f (2) = 1
f (x1) · f (1,5) < 0
Novo intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]
Erro: 0,25
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 2
Intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]x2 = 1,625f (x2) = −0,359375f (1,5) = −0,75f (1,75) = 0,0625
f (x2) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a3,b3] = [1,625;1,75]
Erro: 0,125
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 2
Intervalo: [a2,b2] = [1,5;1,75]x2 = 1,625f (x2) = −0,359375f (1,5) = −0,75f (1,75) = 0,0625
f (x2) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a3,b3] = [1,625;1,75]
Erro: 0,125
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Iteracao: k = 3
Intervalo: [a3,b3] = [1,625;1,75]x3 = 1,6875f (x3) = −0,15234375f (1,625) = −0,359375f (1,75) = 0,0625
f (x3) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a4,b4] = [1,6875;1,75]
Erro: 0,0625
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 26 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 3
Intervalo: [a3,b3] = [1,625;1,75]x3 = 1,6875f (x3) = −0,15234375f (1,625) = −0,359375f (1,75) = 0,0625
f (x3) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a4,b4] = [1,6875;1,75]
Erro: 0,0625
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 26 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 4
Intervalo: [a4,b4] = [1,6875;1,75]x4 = 1,71875f (x4) = −0,045898438f (1,6875) = −0,15234375f (1,75) = 0,0625
f (x4) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a5,b5] = [1,71875;1,75]
Erro: 0,03125
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 27 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 4
Intervalo: [a4,b4] = [1,6875;1,75]x4 = 1,71875f (x4) = −0,045898438f (1,6875) = −0,15234375f (1,75) = 0,0625
f (x4) · f (1,75) < 0
Novo intervalo: [a5,b5] = [1,71875;1,75]
Erro: 0,03125
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 27 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 5
Intervalo:[a5,b5] = [1,71875;1,75]x5 = 1,734375f (x5) = 0,008056641f (1,71875) = −0,045898438f (1,75) = 0,0625
f (x5) · f (1,71875) < 0
Novo intervalo: [a6,b6] = [1,71875;1,734375]
Erro: 0,015625
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 28 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 5
Intervalo: [a5,b5] = [1,71875;1,75]x5 = 1,734375f (x5) = 0,008056641f (1,71875) = −0,045898438f (1,75) = 0,0625
f (x5) · f (1,71875) < 0
Novo intervalo: [a6,b6] = [1,71875;1,734375]
Erro: 0,015625
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 28 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 6
Intervalo:[a6,b6] = [1,71875;1,734375]x6 = 1,7265625f (x6) = −0,018981934f (1,71875) = −0,045898438f (1,734375) = 0,008056641
f (x6) · f (1,734375) < 0
Novo intervalo: [a7,b7] = [1,7265625;1,734375]
Erro: 0,0078125 OK!
Solucao: x7 = 1,73046875
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 29 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 6
Intervalo:[a6,b6] = [1,71875;1,734375]x6 = 1,7265625f (x6) = −0,018981934f (1,71875) = −0,045898438f (1,734375) = 0,008056641
f (x6) · f (1,734375) < 0
Novo intervalo: [a7,b7] = [1,7265625;1,734375]
Erro: 0,0078125 OK!
Solucao: x7 = 1,73046875
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 29 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 6
Intervalo:[a6,b6] = [1,71875;1,734375]x6 = 1,7265625f (x6) = −0,018981934f (1,71875) = −0,045898438f (1,734375) = 0,008056641
f (x6) · f (1,734375) < 0
Novo intervalo: [a7,b7] = [1,7265625;1,734375]
Erro: 0,0078125 OK!
Solucao: x7 = 1,73046875
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 29 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 30 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Algoritmo 1: Metodo da BisseccaoEntrada: f (x), a, b, εk ← 0, a0 ← a, b0 ← b;enquanto Criterio de Parada ≥ ε faca
xk ← (ak + bk )/2;se f (ak ) · f (xk ) < 0 entao
ak+1 ← ak ;bk+1 ← xk ;
senaose f (ak ) · f (xk ) < 0 entao
ak+1 ← xk ;bk+1 ← bk ;
senaoPare o laco
fimfimk ← k + 1
fimxk ← (ak + bk )/2 ;Exiba xk ;
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 31 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Observacoes:
a) A convergencia do metodo e garantida, desde que a funcaoseja contınua num intervalo [a,b] e que f (a) · f (b) < 0;
b) Se o intervalo inicial for grande e se ε for pequeno, onumero de iteracoes tende a ser grande;
c) As iteracoes nao envolvem calculos laboriosos.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 32 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 33 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Metodo das Cordas
Seja f (x) uma funcao contınua que tenha a segunda derivadacom sinal constante no intervalo [a,b], f (a) · f (b) < 0 e queexiste somente uma raiz para funcao neste intervalo (f ′(x) naomuda de sinal).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 34 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
O metodo da cordas equivale a substituir a funcao y = f (x) poruma corda que passa pelos pontos A = (a, f (a)) eB = (b, f (b)).
Vamos desenvolver o processo para calcular as aproximacoespara o zero da funcao.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 35 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Supondo que f ′′ tenha sinal constante no intervalo [a,b], temosquatro situacoes:
Se f ′′(x) > 0 :
Figura: Caso 1: f (a) < 0e f (b) > 0
Figura: Caso 2: f (a) > 0e f (b) < 0
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 36 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Se f ′′(x) < 0 :
Figura: Caso 3: f (a) < 0e f (b) > 0
Figura: Caso 4: f (a) > 0e f (b) < 0
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 37 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Para os casos 1 e 3 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (b)(xk − b)
Para os casos 2 e 4 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (a)(xk − a)
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 38 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Para os casos 1 e 3 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (b)(xk − b)
Para os casos 2 e 4 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (a)(xk − a)
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 38 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Para os casos 1 e 3 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (b)(xk − b)
Para os casos 2 e 4 a solucao em cada iteracao e dado por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (a)(xk − a)
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 38 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
O que diferencia a forma geral nos casos 1, 2, 3 e 4 e o pontofixado no inıcio ou no termino da corda. O ponto fixado (a ou b)e aquele no qual o seu sinal em f coincide com o sinal dasegunda derivada de f . Vamos chamar esse ponto de c.
Assim, a solucao geral sera dada por:
xk+1 = xk −f (xk )
f (xk )− f (c)(xk − c)
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 39 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exemplo 3
Calcular o zero da funcao f (x) = ex − sen(x)− 2 com 5iteracoes.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 40 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Figura: Grafico de f (x) = ex − sen(x)− 2 no intervalo [0, π]
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 41 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Inıcio
f ′′(x) > 0
f (0,5) = −0.830704268 < 0
f (1,5) = 1.484194083 > 0
c = 1,5 e x0 = 0,5
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 42 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Inıcio
f ′′(x) > 0
f (0,5) = −0.830704268 < 0
f (1,5) = 1.484194083 > 0
c = 1,5 e x0 = 0,5
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 42 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 0
x0 = 0,5
x1 = 0.5− (−0.830704)(−2.314898) · (−1)
x1 = 0.858851
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 43 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 0
x0 = 0,5
x1 = 0.5− (−0.830704)(−2.314898) · (−1)
x1 = 0.858851
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 1
x1 = 0.858851x2 = 0.858851− (−0.396645)
(−1.880839) ·(−0.641149)x2 = 0.994061
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Iteracao: k = 2
x2 = 0.994061x3 = 0.994061− (−0.136061)
(−1.620255) ·(−0.505939)x3 = 1.036548
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Iteracao: k = 3
x3 = 1.036548x4 = 1.036548− (−0.041185)
(−1.525379) ·(−0.463452)x4 = 1.049061
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Iteracao: k = 4
x4 = 1.049061x5 = 1.049061− (−0.011987)
(−1.496181) ·(−0.450939)x5 = 1.052674
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 47 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
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Algoritmo 2: Metodo das CordasEntrada: f (x), x0, c, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca
xk+1 ← xk − f (xk )f (xk )−f (c)(xk − c);
k ← k + 1fimExiba xk ;
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Observacoes:
a) Condicoes de convergencia: a funcao tem que ser contınuanum intervalo [a,b] tal que f (a) · f (b) < 0 e que f ′(x) naomude de sinal;
b) Requer o calculo de f (x) em um elevado numero deiteracoes;
c) Necessidade de conhecimento previo da regiao na qual seencontra a raiz de interesse;
d) Necessidade de conhecer o sinal da f ′′(x) no intervalo [a,b].
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Metodo do Ponto Fixo
Seja f (x) uma funcao contınua em [a,b], intevalo que contemuma raiz da equacao f (x) = 0.
O Metodo do Ponto Fixo consiste em escrever f (x) = 0 emuma equacao equivalente a x = g(x) e a partir de umaaproximacao inicial x0 gerar a sequencia xk de aproximacoespara a raiz ξ atraves da relacao xk+1 = g(xk ).
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Um funcao g(x) que satisfaz a condicao
f (x) = 0⇔ x = g(x)
e chamada de funcao iteracao.
Observe que se f (ξ) = 0 entao ξ = g(ξ).
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exercıcio 1Determine algumas funcoes de iteracao para a equacaox2 + x − 6 = 0.
Resposta
a) g(x) = 6x+1
b) g(x) =√
6− xc) g(x) = 6− x2
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Exercıcio 1Determine algumas funcoes de iteracao para a equacaox2 + x − 6 = 0.
Resposta
a) g(x) = 6x+1
b) g(x) =√
6− xc) g(x) = 6− x2
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Suponha que g(x) seja uma funcao iteracao da equacaof (x) = 0. Entao a raiz da equacao f (x) = 0 equivale a abscissado ponto de interseccao da reta y = x com a curva y = g(x).
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Suponha que g(x) seja uma funcao iteracao da equacaof (x) = 0. Entao a raiz da equacao f (x) = 0 equivale a abscissado ponto de interseccao da reta y = x com a curva y = g(x).
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Suponha que g(x) seja uma funcao iteracao da equacaof (x) = 0. Entao a raiz da equacao f (x) = 0 equivale a abscissado ponto de interseccao da reta y = x com a curva y = g(x).
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Suponha que g(x) seja uma funcao iteracao da equacaof (x) = 0. Entao a raiz da equacao f (x) = 0 equivale a abscissado ponto de interseccao da reta y = x com a curva y = g(x).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 55 / 77
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Interpretacao Geometrica das Aproximacoes: Dadauma aproximacao inicial x0 e a funcao iteracao y = g(x),as aproximacoes da raiz ξ sao geradas pela relacaoxk+1 = g(xk ). Vamos verificar como sao geradas asaproximacoes da raiz ξ.
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Exemplo 4Considere as funcoes iterativas obtidas no Exercıcio 1.Verifique geometricamente a convergencia (ou nao) dasaproximacoes da raiz de f (x) = x2 + x − 6 atraves da relacaoxk+1 = g(xk ) e x0 = 1.
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Exemplo 4
a) g(x) = 6x+1
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Exemplo 4
b) g(x) =√
6− x
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Exemplo 4
c) g(x) = 6− x2 e x0 = 1,5
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Exercıcio 2Atraves das funcoes iteracoes do Exemplo 4, obtenhanumericamente a aproximacao da raiz de f (x) = x2 + x − 6atraves da relacao xk+1 = g(xk ) e x0 = 1. Faca 4 iteracoes.
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Algoritmo 3: Metodo do Ponto FixoEntrada: g(x), x0, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca
xk+1 ← g(xk );k ← k + 1
fimExiba xk ;
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TeoremaSejam ξ uma raiz da equacao f (x) = 0 isolada num intervalo Ie g(x) uma funcao iteracao. Sea) g(x) e g′(x) sao contınuas em I;b) |g′(x)| < 1 , para todo x em I ec) x0 ∈ I entao a sequencia xn gerada pelo processo iterativo
xk+1 = g(xk ) converge para ξ.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Exercıcio 3Verifique se a funcao iteracao gera uma sequencia convergenteou divergente para o zero da funcao f (x) = x2 + x − 6.a) g(x) = 6− x2
b) g(x) = 6x+1
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Observacoes:
a) Convergencia rapida;b) Necessidade de que a funcao de iteracao e a condicao
inicial x0 satisfacam a condicao de convergencia;
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1 Introducao
2 Metodo da Bisseccao
3 Metodo das Cordas
4 Metodo do Ponto Fixo
5 Metodo de Newton
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Ideia basica:seja f uma funcao contınua cuja raiz chamaremos de ξ.Iniciaremos tomando um valor que sabemos estar proximode ξ, que chamaremos de x0;A partir do ponto (x0, f (x0)) tracamos a reta y = L0(x)tangente a curva nesse ponto.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 67 / 77
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Ideia basica:seja f uma funcao contınua cuja raiz chamaremos de ξ.Iniciaremos tomando um valor que sabemos estar proximode ξ, que chamaremos de x0;A partir do ponto (x0, f (x0)) tracamos a reta y = L0(x)tangente a curva nesse ponto.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 67 / 77
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A aproximacao x1 e o ponto onde a reta tangentey = L0(x) intersepcta o eixo x;Determinamos a reta y = L1(x) tangente ao grafico def (x) no ponto (x1, f (x1)).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 68 / 77
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A aproximacao x1 e o ponto onde a reta tangentey = L0(x) intersepcta o eixo x;Determinamos a reta y = L1(x) tangente ao grafico def (x) no ponto (x1, f (x1)).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 68 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
A aproximacao x1 e o ponto onde a reta tangentey = L0(x) intersepcta o eixo x;Determinamos a reta y = L1(x) tangente ao grafico def (x) no ponto (x1, f (x1)).
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 68 / 77
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Da mesma maneira, a aproximacao x2 e o ponto onde areta y = L1(x) intersepta o eixo x.O processo se repete ate que um criterio de parada sejasatisfeito.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 69 / 77
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De forma geral, a aproximacao xk+1 e dada por
xk+1 = xk −f (xk )
f ′(xk )
.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 71 / 77
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Exercıcio 4
Seja f (x) = x2 + x − 6. Determine uma aproximacao para araiz de f considerando x0 = 1,5. Considere o criterio deparada |f (xk )| ≤ 10−4.
Resposta
n = 0, x1 = 2,062500, |f (x1)| = 0,316406n = 1, x2 = 2,000762, |f (x2)| = 0,003812n = 2, x3 = 2,000000, |f (x3)| = 0
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 72 / 77
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Exercıcio 4
Seja f (x) = x2 + x − 6. Determine uma aproximacao para araiz de f considerando x0 = 1,5. Considere o criterio deparada |f (xk )| ≤ 10−4.
Resposta
n = 0, x1 = 2,062500, |f (x1)| = 0,316406n = 1, x2 = 2,000762, |f (x2)| = 0,003812n = 2, x3 = 2,000000, |f (x3)| = 0
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Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 73 / 77
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Algoritmo 4: Metodo de NewtonEntrada: f (x), f ′(x), x0, εk ← 0 ;enquanto Criterio de Parada ≤ ε faca
xk+1 ← xk − f (xk )f ′(xk )
;k ← k + 1
fimExiba xk ;
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 74 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Observe que se considerarmos
g(x) = x − f (x)f ′(x)
temos que
g(x) = x ⇔ x − f (x)f ′(x)
= x
⇔ f (x)f ′(x)
= 0
⇔ f (x) = 0
Logo a funcao g(x) = x − f (x)f ′(x) e uma funcao iteracao (Metodo
do Ponto Fixo) da equacao f (x) = 0.
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Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Observe que se considerarmos
g(x) = x − f (x)f ′(x)
temos que
g(x) = x ⇔ x − f (x)f ′(x)
= x
⇔ f (x)f ′(x)
= 0
⇔ f (x) = 0
Logo a funcao g(x) = x − f (x)f ′(x) e uma funcao iteracao (Metodo
do Ponto Fixo) da equacao f (x) = 0.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 75 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
A convergencia do Metodo de Newton-Raphson estaragarantida desde que satisfaca o criterio de convergencia doMetodo do Ponto Fixo.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 76 / 77
Introducao Metodo da Bisseccao Metodo das Cordas Metodo do Ponto Fixo Metodo de Newton
Observacoes:
a) Convergencia rapida;b) Necessidade do calculo de f ′(x);c) Calculo do valor numerico de xk em f ′(x) e f (x) em cada
iteracao.
Wellington D. Previero Zeros de Funcoes 77 / 77