LOGICA Y TEORIA DE LA CIENCIA

P R IN C IP IA M A TH E M A T IC A

hasta * 56

W h ite h e a d y R u s s e ll

P A R A N IN F O

A L F R E D N O R T H W H I T E H E A Dy

B E R T R A N D R U S S E L L , F.R.S.

PRINCIPIA MATHEM ATICA

(HASTA EL *56)

ColeccinLOGICA Y TEORIA DE LA CIENCIA

1981Director:PASCUAL MARTINEZ FREIRE Profesor agregado numerario de Lgica Universidad Complutense de Madrid

DP A R A N IN F O

9

MADRID

Traducido porJ. MANUEL DOMINGUEZ RODRIGUEZ Profesor del Departamento de Lgica de la Universidad Complutense.

Cambridge University Press de la edicin espaola.

Paraninfo, S.A- Madrid, Espaa de la traduccin espaola,

Paraninfo, S.A. Madrid, Espaa

Ttulo original:PRINCIPIA MATHEMATICA

Reservados los derechos de edicin, reproduccin y adaptacin

IMPRESO EN ESPAA PRINTED IN SPAIN

ISBN: 0-521-09187-X (edicin inglesa) ISBN: 84-283-1144-7 (edicin espaola)

Depsito Legal: M-32102-1981

SP A R A N IN F O fe] Magallanes, 25 - MADRID (15) (3-2786)

ALCO, artes grficas. Jaspe, 34 - Madrid-26

CONTENIDO

Pgs-,

PREFACIO.............................................................................................................. 7

LISTA ALFABETICA DE PROPOSICIONES RELACIONADAS POR NOMBRES ......................................................................................................................... 13

INTRODUCCION A LA SEGUNDA EDICION.................................................. 15

INTRODUCCION................................................................................. . ............... 54Capitulo I. Explicaciones preliminares de ideas y notaciones........................ 57Captulo II. La teora de tipos lgicos............................................................. 93Captulo III, Smbolos incompletos................................................................. 124

PARTE I. LOGICA MATEMATICA .................................................................... 145Sumario de la Parte I .......................................................................................... 147Seccin A. La teora de la deduccin............................................................... 150

* 1. Ideas y proposiciones primitivas......................................................... 151*2. Consecuencias inmediatas de las proposiciones primitivas............. 158*3. El producto lgico de dos proposiciones.......................................... 170*4. La equivalencia y las reglas form ales................................................. 176*5. Miscelnea de proposiciones .............................................................. 184

Seccin B. Teora de las variables aparentes..................................................... 188*9. Ampliacin de la teora de la deduccin desde los tipos ms bajos

de proposiciones hasta los ms altos................................................... 188*10. Teora de las proposiciones que contienen una variable aparente. . 199*11. Teora de las dos variables aparentes................................................. 212*12. La jerarqua de tipos y el axioma de la reducibilidad..................... 222*13. La identidad ........................................................................................ 230*14. Las descripciones................................................................................. 235

Seccin C. Clases y relaciones........................................................................... 249*20. Teora general de clases...................................................................... 249*21. Teora general de relaciones................................................................ 263*22. Clculo de clases................................................................................... 269

5

Pgs.

*23. Clculo de relaciones................................... ....................................... 277*24. La clase universal, la clase nula y la existencia de clases . . . . . . . . . 280*25. La relacin universal, la relacin nula y la existencia de relaciones. 291

Seccin D. Lgica de relaciones........................................................................ 294*30. Funciones descriptivas.......................................................................... 295*31. Conversas de relaciones................................................... 301*32. Relacionantes y relacionados de un trmino dado con respecto a

una relacin dada..................................................................... 3

PREFACIO

El tratamiento matemtico de los fundamentos de las Matemticas que es lo que constituye el objeto de este libro ha procedido del engarce de dos estudios distintos, ambos, en lo fundamental, muy modernos. Por un lado, contamos con los trabajos de los analistas y gemetras encaminados a formular y sistematizar sus axiomas, as como con las obras de Cantor y de otros autores sobre materias tales como la teora de conjuntos. Por otra parte, tenemos la lgica simblica que ahora, tras un necesario periodo de maduracin, ha adquirido gracias a Peano y a sus seguidores- la adaptabilidad tcnica y la comprensin lgica que son esenciales a un instrumento matemtico para ocuparse de lo que, hasta este momento, han sido los comienzos de la matemtica. De la combinacin de ambos estudios se derivan estas dos consecuencias: ( 1) que los que antiguamente se consideraron tcita o explcitamente como axiomas son o bien innecesarios o bien demostrables; (2) que los mismos mtodos por los que se demuestran los supuestos axiomas producirn resultados dignos de tenerse en cuenta en ciertas regiones -tales como la del nmero infinito- que anteriormente se haban considerado como inaccesibles al conocimiento humano. De aqu resulta que el campo de accin de la matemtica se agranda, tanto por la inclusin de nuevas materias como por crecimiento, al ocuparse de cuestiones que hasta ahora estaban reservadas a la Filosofa.

Nuestra intencin inicial fue la de incluir este libro en Los Principios de la Matemtica, de forma que constituyese un segundo volumen de la obra. Teniendo presente dicho objetivo, comenzamos a escribirlo en el ao 1900. A medida que avanzbamos, se haca cada vez ms evidente que este trabajo era de una envergadura mucho mayor de lo que habamos supuesto; por otra parte, acerca de muchas cuestiones fundamentales, que en la obra anterior se haban abandonado por oscuras y dudosas, ahora hemos llegado a unas soluciones que creemos que son satisfactorias. Por este motivo se hizo preciso realizar nuestro libro con independencia de Los Principios de la Matemtica. Sin embargo, hemos rehusado tanto la polmica como la filosofa general, de modo que presentamos nuestras exposiciones de una forma dogmtica. La justificacin de este proceder es que la principal razn en favor de cualquier teora acerca de los principios de La matemtica debe ser siempre inductiva, es decir, debe apoyarse en el hecho de que dicha teora nos permita deducir la matemtica ordinaria. Es normal en matemticas que el mayor grado de autoevidencia no se encuentre de manera cabal al comienzo, sino en un momento posterior; por eso, las primeras deducciones, en tanto no se llegue a ese momento, ofrecen ms bien razones para creer en las premisas, (puesto que de ellas

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se siguen consecuencias verdaderas), que para creer en las consecuencias (dado que ellas resultan de las premisas).

Al elaborar un sistema deductivo, tal como el que se contiene en esta obra, han de realizarse simultneamente dos tareas contrapuestas. Por una parte, contamos con el modo de analizar, propio de las matemticas, con miras a averiguar qu premisas se emplean, si stas son coherentes entre s, y si pueden reducirse a otras ms fundamentales. Por otro lado, una vez tomada decisin por nuestras premisas, tenemos que estructurar de nuevo, en la medida en que lo creamos conveniente, los datos que anteriormente ya haban sido analizados, y cuantas otras consecuencias sean de suficiente inters general como para que merezcan exponerse. La labor previa de anlisis no aparece en la presentacin definitiva, la cual simplemente expone el resultado del anlisis de ciertas ideas no definidas y de proposiciones no demostradas. No pretendemos afirmar que dicho anlisis no se pudo haber llevado ms lejos; no tenemos razn alguna para suponer que sea imposible encontrar ideas y axiomas ms simples, mediante los cuales aquellas de las que hemos partido pudieran ser definidas y demostradas. Todo lo que se afirma es que las ideas y los axiomas de los que partimos son suficientes, pero no que sean necesarios.

Al efectuar deducciones partiendo de nuestras premisas, hemos considerado esencial extenderlas hasta el punto en donde hemos probado que resulta verdadero aquello que de ordinario se da por supuesto. Pero pensamos que tampoco es deseable constreirnos demasiado estrictamente a esta tarea. Es habitual considerar slo casos particulares, incluso cuando, con nuestro aparato, resulta igual de sencillo tratar el caso general. As, por ejemplo, la aritmtica cardinal se suele concebir relacionada con los nmeros finitos; sin embargo, sus leyes generales sirven igualmente para los nmeros infinitos, e incluso se prueban ms fcilmente haciendo caso omiso a la distincin entre finito e infinito. De igual modo, muchas de las propiedades que generalmente se aplican asocindolas a las series son vlidas, tambin, para ordenaciones que no son estrictamente seriales, sino que slo gozan de alguna de las propiedades que caracterizan a este tipo de ordenaciones. En tales casos, resulta un defecto de tipo lgico hacer la comprobacin para una clase particular de combinaciones, cuando perfectamente podra hacerse con mayor generalidad. Un proceso anlogo de generalizacin se inserta, en mayor o menor grado, a lo largo de nuestra obra. Siempre hemos procurado encontrar la hiptesis simple, ms razonablemente general, a partir de la cual pueda alcanzarse alguna conclusin dada. Por esta razn, especialmente en las partes ltimas del libro, la importancia de una proposicin suele radicar en su hiptesis. La conclusin ser algo que frecuentemente, en ciertos tipos de casos, resulta familiar; pero la hiptesis ser, en la medida de lo posible, lo suficientemente amplia como para admitir muchos otros casos, adems de aquellos para los que la conclusin sea familiar.

Consideramos necesario ofrecer las pruebas de manera completa puesto que, de otra forma, apenas es posible ver qu hiptesis se necesitan realmente, o si nuestros resultados se siguen de nuestras premisas explcitas. (Recordamos, de nuevo, que nosotros no afirmamos simplemente que tales y cuales proposiciones son verdade

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ras, sino tambin que los axiomas que ofrecemos son suficientes para probarlas). Al propio tiempo, si bien son necesarias pruebas ntegras para evitar errores y para convencer a aquellos que pueden albergar dudas por lo que respecta a nuestra correccin, con todo, las pruebas de las proposiciones puede normalmente omitirlas el lector que no est especialmente interesado por un asunto determinado y que no sienta duda de nuestra exactitud sustancial en dicha materia. Al lector que est de una manera especial interesado en una determinada parte del libro, probablemente le sea suficiente por lo que se refiere a las partes primeras leer los resmenes de las partes previas, secciones y apartados, ya que stos ofrecen explicaciones de las ideas que tienen relacin con ellas, y los enunciados de las principales proposiciones probadas. Las pruebas que se dan en la Parte I, Seccin A, son, sin embargo, necesarias, ya que en el curso de las mismas se explica la manera de hacer el planteamiento de dichas pruebas. Las pruebas de las primeras proposiciones se dan sin omitir ningn paso; pero, conforme avanza la obra, las pruebas se van reduciendo gradualmente, manteniendo sin embargo el suficiente detalle para permitir al lector, mediante la ayuda de referencias, a recomponer las pruebas de forma que no se omita ningn paso.

El orden adoptado es, hasta cierto punto, opcional. Por ejemplo, hemos tratado la aritmtica cardinal y la de las relaciones de tipo aritmtico antes que las series; pero pudimos haber estudiado en primer lugar las series. No obstante, en gran parte, el orden viene impuesto por las necesidades lgicas.

Una gran parte del esfuerzo que supuso escribir el presente trabajo se ha invertido en tratar las contradicciones y paradojas que han infccionado la lgica y la teora de conjuntos. Hemos examinado un gran nmero de hiptesis en relacin con estas contradicciones; muchas de tales hiptesis fueron anticipadas por otros, as como otras muchas han sido inventadas por nosotros mismos. A veces nos ha costado varios meses de trabajo llegar al convencimiento de que una hiptesis era insostenible. En el curso de tan prolongado estudio hemos sido llevados, como era de esperar, a cambiar de vez en cuando nuestro punto de vista; pero gradualmente se nos fue haciendo evidente que, para evitar las contradicciones debera adoptarse alguna forma de teora de tipos. La forma particular de la teora de tipos que se propugna en este trabajo no es, bajo el punto de vista lgico, algo indispensable; existen otras varias formas que son igualmente compatibles con la verdad de nuestras deducciones. Nosotros hemos particularizado porque la forma de la teora de tipos que propugnamos nos parece lo ms probable, y porque creimos necesario ofrecer, al menos, una teora perfectamente definida que evtase las contradicciones. Pero, aunque se adoptase una forma diferente de teora de tipos, difcilmente se cambiara nada de nuestro libro. De hecho podemos ir ms all y decir que, an suponiendo que exista alguna otra forma de evitar las contradicciones, slo una pequea parte de nuestro libro -sin contar la que explcitamente trate de tipos- depende, en alguna manera, de la teora de tipos que se adopte, una vez que se ha visto (como nosotros pretendemos haber mostrado) que es posible construir una lgica matemtica que no lleve contradicciones. Debe observarse que el efecto

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global de la teora de tipos es negativo: impide ciertas inferencias que de otra manera seran vlidas y, sin embargo, no tolera ninguna que sin ella fuese invlida. Por eso, podemos razonablemente confiar en que las inferencias que permita la teora de tipos sigan siendo vlidas an cuando se hubiese encontrado que tal teora no fuese vlida.

Nuestro sistema lgico se contiene ntegramente en las proposiciones numeradas, que son independientes de la Introduccin y de los Sumarios. Tanto la Introduccin como los Sumarios son explicativos en s mismos, y no forman parte de la cadena de deducciones. La explicacin de la jerarqua de tipos que se da en la Introduccin difiere ligeramente de la dada en el apartado *12. Esta ltima explicacin es la ms estricta, y es la que se adopta a lo largo del resto del libro.

La forma simblica del trabajo nos ha venido impuesta por la necesidad: sin su ayuda hubisemos sido incapaces de realizar el razonamiento preciso. Se lia desarrollado como consecuencia de una prctica efectiva, y en modo alguno es un aadido introducido por un mero inters expositivo. El mtodo general que gua nuestro empleo de los smbolos lgicos es el debido a Peano. Su gran mrito consiste, no tanto en sus descubrimientos lgicos bien definidos ni en los detalles de sus notaciones (ambas cosas son excelentes) cuanto en el hecho de que fue el primero que mostr cmo haba que liberar a la lgica simblica de su indebida obsesin por las formas del lgebra ordinaria; de este modo, logr que fuese un instrumento apto para la investigacin. Llevados por nuestro estudio de sus mtodos, hemos hecho uso de una gran libertad al construir, o reconstruir, un simbolismo que fuese adecuado para tratar sobre todas las cuestiones que son de nuestro inters. No se lian introducido smbolos que no estuviesen apoyados en su utilidad prctica para los objetivos inmediatos de nuestro razonamiento.

En las notas y explicaciones se ofrecern un cierto nmero de referencias dadas por anticipado. Aunque, en cada caso, hemos tomado una razonable precaucin para cerciorarnos de la exactitud de estas referencias en avance , no podemos, desde luego, garantizar su exactitud con la misma confianza que tendramos si se tratase del caso de que fuesen referencias a expresiones ya expuestas con anterioridad.

No nos es posible una manifestacin detallada de gratitud a escritores anteriores, ya que hemos tenido que transformar cuanto hemos tomado, a fin de adaptarlo a nuestro sistema y notacin. Nuestros principales reconocimientos sern obvios para todos los lectores familiarizados con la literatura sobre esta temtica. En cuanto a la notacin, hemos seguido en la medida de lo posible a Peano, completndola, cuando fue necesario, con la de Frege o la de Schroder. Sin embargo, gran parte del simbolismo ha tenido que ser nuevo, no tanto debido a la insatisfaccin con el simbolismo de otros, cuanto por el hecho de que nos ocupamos de ideas que no haban sido simbolizadas con anterioridad. En todas las cuestiones de anlisis lgico, nuestra principal deuda es con Frege. En donde diferimos de l se debe, en gran parte, al hecho de que las contradicciones lian mostrado que l -a l igual que

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ha ocurrido con otros lgicos antiguos y modernos haba permitido deslizar algn error entre sus premisas; de no haber sido por esas contradicciones, hubiese sido imposible detectar tales errores. En cuanto a la Aritmtica y a la teora de series, todo nuestro trabajo est basado sobre el Georg Cantor. Por lo que respecta a la Geometra, hemos tenido continuamente presentes los escritos de V. Staudt, Pasch, Pieri y Veblen.

A. N. W.B R

CAMBRIDGE,Noviembre de 1910.

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NOTATodas las referencias cruzadas que aparecen en el texto, incluyendo referencias a definiciones y proposiciones, pertenecen a la segunda edicin (1927)y no necesariamente pueden encontrarse en esta edicin abreviada.

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LISTA ALFABETICA DE PROPOSICIONES, RELACIONADAS POR NOMBRES

N o m b r e N m e r o

A b s * 2 0 1 .

A d d * 1 -3 . h : 7 . D . / > v ?

A s s * 3 3 5 . h r p . p D r / . 3 . ?

A s s o c * 1 -5 . b : p v ( g v > ) . 3 . g v ( p v r )

C o m m * 2 0 4 . b : . p . 3 . g 3 r : 3 : g . 3 . p 3 r

C o m p * 3 4 3 . b : . p 3 g . p 3 r . 3 : p . 3 . g . r

E x p * 3 3 . 1- : . p . g . 3 . r : 3 : p . 3 . g 3 r

F a c t * 3 4 5 . b : . p 3 g . 3 : p . r . 3 . g . r

I d * 2 0 8 . 1- . p 3 p

I m p * 3 3 1 . b : . p . 3 . g 3 r : 3 : p . g . 3 . r

P e r m * 1 4 . b : p v g . 3 . g v p

S i n i p * 2 0 2 . b : g . 3 . p 3 g

* 3 2 6 . b : p . g . 3 . p

* 3 2 7 . b : p . g . 3 . g

S u m * 1 6 . b : . g 3 r . 3 : p v g . 3 . p v r

S y l l * 2 0 5 . h : . g 3 ) ' . 3 : p 3 g . 3 . p 3 r

. . * 2 0 6 . b p 3 g . 3 : g 3 . 3 . p 3 r

* 3 3 3 . b : p 3 g . g 3 r . 3 . p 3 r

>. * 3 3 4 . h : 9 3 r . p 3 q . 3 . p 3 r

T a u t # 1 -2 . b : p v p . 3 . p

T r a n s p * 2 0 3 . b : p 3 ~ g . 3 . g 3 ~ p

t i * 2 1 5 . t - : ~ p 3 g . 3 . ~ g 3 p

H * 2 1 6 . b : p 3 g . 3 . ~ g 3 ~ p

> * 2 1 7 . b : ~ 9 3 ~ p . 3 . p 3 g

1) * 3 3 7 . b p . g . 3 . r : 3 : p . ~ . 3 . ~

t i * 4 1 . b : p 3 g . = . ~ g 3 ~ p

I I * 4 1 1 .

lllilIII5*111

_L

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INTRODUCCION A LA SEGUNDA EDICION (1)

Al preparar esta nueva edicin de los Principia Mathematica, los autores hemos pensado que lo mejor sera dejar el texto intacto (salvo en lo que se refiere a erratas de imprenta y a pequeos defectos (2)), aunque ramos conscientes de que haba posibilidad de mejoras. El principal motivo por el que se ha tomado esta decisin es que cualquier alteracin en las proposiciones traera consigo cambios en las referencias, lo cual supondra un considerable trabajo. Por ello, hemos preferido exponer, en una introduccin, las principales mejoras que parecen deseables. Algunas de ellas apenas estn abiertas a la discusin; otras son, por ahora, materia opinable.

El ms rotundo perfeccionamiento alcanzado en materia de lgica matemtica durante los ltimos catorce aos es la sustitucin, en la Parte I, Seccin A, del indefinible p y q son incompatibles (o, de otro modo, p y q son ambos falsos ) en lugar de los dos indefinibles no-p y p o q". Esto se ha debido al Dr. H. M. Sheffer (3). Consecuentemente, M. Jean Nicod (4) mostr que una sola proposicin primitiva poda sustituir a las cinco proposiciones primitivas *1'2'3'45'6.

De esto se sigue una gran simplificacin en la composicin de proposiciones y matrices moleculares; el captulo *9 queda sustituido por uno nuevo -e l *8, que se ofrece en el Apndice A de este volumen.

Otro punto acerca del que no cabe duda alguna es que no hay necesidad de distinguir entre variables reales y aparentes; tampoco resulta necesaria la idea primitiva de asercin de una funcin proposicional . En todos los casos donde, en los Principia Mathematica, aparezcan proposiciones aseveradas de la forma T . fx o b . / p debe considerarse que tienen, respectivamente, la significacin b . (jc) . fx o b (p) - /p - Por consiguiente, la proposicin primitiva * 1'11 ya no es necesaria. Lo que s es preciso, a fin de adaptar las proposiciones segn este cambio de notacin, es establecer el convenio de que, cuando el alcance de una variable aparente sea la totalidad de la proposicin aseverada en la que tiene lugar, este hecho no se indicar explcitamente, a no ser que contenga algn en lugar de

(1) P.n cuanto a esta introduccin, as como a los Apndices, los autores estn muy agradecidos a Mr. F. P. Ramsey, del Kings Collcge de Cambridge, que lia ledo todo el manuscrito y contribuido con valiosas crticas y sugerencias.

(2) Con respecto a stos, estamos en deuda con muchos lectores, pero especialmente con los Drs. Behmann y Boscovitch, de Gottinga.

(3) Trans. Amer. Math. Soc. VoL XIV. pp. 481-488.(4) Una reduccin en el nmero de proposiciones primitivas de la Lgica. Proc. Camb.

Phl. Soc. Vol. XIX.

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INTRODUCCION

todo". Es decir, | - . x significa b . (x) x \ pero en el caso de b . (3jc) . #x resulta necesario indicar explcitamente el hecho de que interviene algn x (y no todo x).

Es posible indicar ms claramente de lo que se hizo con anterioridad cules son las innovaciones introducidas en la Parte I, Seccin B, al compararlas con la Seccin A. Son tres estas novedades: dos de carcter esencialmente lgico, y la tercera, meramente notacional.

(1) Sustituimos la p que aparece en la Seccin A por x\ de tal manera queen lugar de b . (p) -fp" tenemos b . A0*) - Del mismo modo, si tenemosb -f(p, Q, r> ) > podemos hacer la sustitucin

INTRODUCCION

que todo el contenido del Volumen 1 resulta verdadero (aunque con frecuencia sean necesarias comprobaciones nuevas); la teora de los cardinales y ordinales inductivos se mantiene; por otro lado, parece que tanto la teora del infinito de Dedekin como la de las series bien-ordenadas fracasan en buena parte, de tal manera que ya no pueden ser tratados adecuadamente los nmeros irracionales ni, en forma general, los reales. Tambin la prueba de Cantor, en la que 2" > n, se desmorona, a no ser que n sea finito. Quizs algn axioma posterior, que ofrezca menos objeciones que el de la reducibilidad, podra dar estos resultados; pero no hemos conseguido encontrarlo.

Debe declararse que el Dr. H. M. Sheffer ha inventado un nuevo y poderoso mtodo en Lgica matemtica. Este mtodo, sin embargo, exigira escribir de nuevo, de una manera total, los Principia Mathematica. Recomendamos esta tarea al Dr. Sheffer, puesto que lo publicado tiesta ahora por l apenas permite a otros emprender la necesaria reconstruccin.

A continuacin procedemos al desarrollo detallado del boceto general expuesto.

1. PROPOSICIONES ATOMICAS Y MOLECULARES

Nuestro sistema se inicia con las proposiciones atmicas . Estas las aceptamos como algo dado, puesto que los problemas que suscitan por s mismas pertenecen a la parte filosfica de la Lgica, y no encajan (al menos, por el momento) en un tratamiento matemtico.

Las proposiciones atmicas pueden definirse negativamente diciendo que son aquellas proposiciones cuyas partes no son proposiciones, y que, adems, no contienen las nociones todo ni algn . As, por ejemplo, esto es rojo y esto es anterior a aquello son proposiciones atmicas.

Las proposiciones atmicas tambin pueden definirse positivamente - y esta es la mejor manera diciendo que son aquellas proposiciones de las siguientes ciases:

/?, (ir), que significa x tiene como predicado a R i ;R 2 (x, >) [o xR 2y], que significa x tiene la relacin R 2 (en intensin) con

respecto a y ;R 3 (x , y, z ), que significa x, y, z estn en la relacin tridica R 3 (en inten

sin) ;R* (x, y, z, w), con la significacin x, y, z, w estn en la relacin tetrdica R A

(en intensin) ;y as sucesivamente ad infinitum o, en todo caso, hasta donde sea posible. La Lgica no sabe si hay, de hecho, relaciones n-dicas (en intensin); sta es una cuestin emprica. Conocemos, como un hecho emprico, que hay por lo menos relaciones didicas (en intensin), puesto que sin ellas las series seran imposibles. Pero la Lgica no se interesa por esta cuestin; a ella le incumbe solamente la

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INTRODUCCION

hiptesis sobre la existencia de proposiciones que sean de una forma tal y tal . En ciertos casos, esta hiptesis es en s misma de la forma en cuestin, o bien contiene una parte que es de dicha forma; en estos casos, el hecho de que la hiptesis pueda estructurarse demuestra que es verdadera. Pero, incluso cuando una hiptesis se presenta en Lgica, el hecho de que pueda estructurarse es algo que por s mismo no pertenece a la Lgica.

Dadas todas las proposiciones atmicas verdaderas, juntamente con el hecho de que constituyen la totalidad, cualquier otra proposicin verdadera puede deducirse tericamente por mtodos lgicos. Es decir, todo el material bruto requerido para las pruebas puede quedar reducido a proposiciones atmicas verdaderas, juntamente con el hecho de que toda proposicin atmica verdadera sea una de las siguientes: (aqu vendra la lista). Este mtodo, de emplearse, acarreara, segn cabe sospechar, una enumeracin infinita, ya que parece natural suponer que el nmero de proposiciones atmicas verdaderas es infinita, si bien esto no debe considerarse como cierto. En la prctica, la generalizacin no se obtiene por el mtodo de la enumeracin completa, debido a que exigira un conocimiento mayor del que poseemos.

Debemos pasar ahora a las proposiciones moleculares. Para empezar, simbolicemos las proposiciones atmicas por p, q, r, s, t. Introducimos la idea primitiva

p\q

que puede leerse p es incompatible con q" (8), que ser verdadera siempre que una o ambas proposiciones sean falsas. Por ello, tambin puede leerse as: p es falso o q es falso ; o, de otra manera, **p implica no-q . Pero, como vamos a definir la disyuncin, implicacin y negacin en trminos de plq.es preferible, de momento, evitar estos modos de leer p|q. El smbolo plq se lee p trazo q . Ahora establecemos:

~ p .= .p |p Df, j O j . = .p |~ q Df, p v 9 . = .~ p |~ ^ Df, p . 9 . = .~ (p |? ) Df.

De este modo, todas las funciones de verdad usuales pueden construirse por medio del trazo.

Obsrvese que, en virtud de lo anterior,p D 9 . = .p |( 9 | 9) Df.

Encontramos quep . D . q . r . = . p | (9 1 r).

As, p Dq es un caso que asume a una funcin de tres proposiciones.

(8) Para cuanto sigue, vase Nicod: A reduction in the number of the primitive proposi- tions of logic", Proc. Camb. Soc. VoL XIX. pp. 32-41.

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INTRODUCCION

Podemos construir nuevas proposiciones, indefinidamente, por medio del trazo; por ejemplo, (p\q)\r, p\(q\r), (pl?)l(r|s), y as sucesivamente. Obsrvese que el trazo cumple la ley conmutativa (p\q) = (q\p) pero no la ley asociativa (p\q)\r = p\{q\r). (Por supuesto, estos son resultados que se probarn ms adelante). Advirtase tambin que, cuando construimos una nueva proposicin por medio del trazo, no podemos saber si es verdadera o falsa, a no ser que ocurra una de estas dos cosas: (a) que conozcamos la verdad o falsedad de alguno de sus componentes, o (b) que por lo menos uno de sus componentes aparezca varas veces de un modo adecuado. El caso (a) eleva el inters lgico de la regla de inferencia, que es:

Dados p y p|(q|r), podemos inferir r.Esta, u otra variante, debe considerarse como una proposicin primitiva. De momento, lo aplicamos slo cuando p, q, r sean proposiciones atmicas, aunque, ms adelante, le daremos una amplitud mayor. Consideremos (>) por un momento.

Al construir nuevas proposiciones por medio del trazo, suponemos que ste puede tener en cada uno de sus lados cualquier proposicin construida en la forma dicha, y no necesitamos tener una proposicin atmica a cada lado. As, pues, dadas tres proposiciones atmicas, p, q, r, podemos formar primero p\q y q\r, y, por tanto, (p\q)\r y p|(|f7|(>|))

y, desde luego, otras muchas, permutando p, q .ry s .Las tres proposiciones de arriba son sustancialmente diferentes. De hecho,

tenemos:

1(/>I9>I*I I* - = : . ~ p v ~ j . r : v : ~ .(jl7)(r l*)- = : > - 7 - v . r . s , p |

INTRODUCCION

Las proposiciones atmicas y moleculares juntas constituyen las proposiciones elementales". Por tanto, las proposiciones elementales son los proposiciones atmicas juntamente con todas las que pueden generarse de ellas, por medio del trazo aplicado un nmero finito de veces. Forman un conjunto definido de proposiciones. Por ahora y hasta nuevo aviso emplearemos las letras p ,q , r , s y t para designar proposiciones elementales, y no necesariamente proposiciones atmicas. La regla de inferencia expuesta ms arriba sigue siendo vlida; es decir:

Si P, q y r son proposiciones elementales, dados p y pl(q|r), podemos inferir r.

Esta es una proposicin primitiva.Podemos ocuparnos ahora del punto (b) mencionado antes. Cuando una proposi

cin molecular contiene a una proposicin constituyente, repetida varias veces de una manera adecuada, puede admitirse como verdadera, aunque no tengamos conocimiento de la verdad o falsedad de las proposiciones constituyentes. El ejemplo ms sencillo es

p |(p |p ) .que siempre es verdadero. Significa p es incompatible con la incompatibilidad de p consigo mismo , lo cual es obvio. De nuevo, consideremos p . q . 3 . p . Esta expresin equivale a

Kp 19) I O* I ?)) I(p Ip )-

Tomemos ahora p . D. ~ p \ ~ q Se convierte en

(p|p)ll(plf)IO>l?)l-

Del mismo modo p . 3 . p v q '\ de otra forma es

Pl[((p|p)|(?l9))l (pl>)|(?l9))j.

Todas estas expresiones resultan verdaderas para cualquier eleccin de p y q. Lo cierto es que podemos componer verdades invariables de esta clase que formen proposiciones moleculares importantes en Lgica. La Lgica no aporta nada a las proposiciones atmicas, porque sus verdades o falsedades slo pueden ser conocidas empricamente. Sin embargo, la verdad de las proposiciones moleculares, cuya forma sea adecuada puede conocerse universalmente sin necesidad de evidencia emprica.

Las leyes de la Lgica, en tanto que relacionadas con proposiciones elementales, son todas aserciones por el hecho de que, cualesquiera que sean las proposiciones elementalesp, q, r, ..., una determinada funcin

F(p,q,r,...),

cuyos valores sean proposiciones moleculares construidas por medio del trazo, es siempre verdadera. La proposicin F (p ) es verdadera cualquiera que sea la proposicin elemental p" se representa as:

20

INTRODUCCION

(p).F(p).

Anlogamente, la proposicin F (p, q, r, ...) es verdadera, cualesquiera que puedan ser las proposiciones elementales p, q, r, ... se expresa por

(p, q ,r,...) .F(p, q, r , ...).

Cuando se asevere una proposicin de este tipo, omitiremos (p, q, r)", que figura al principio de la expresin. De este modo,

"t-.F(p ,q ,r . ...)significa la afirmacin (como opuesta a la hiptesis) de que F(p, q, r) es verdadera, cualesquiera que sean las proposiciones elementales p, q, r, ...

(La distincin entre variables reales y aparentes, tal como se encuentra en Frege y en los Principia Mathematica, es innecesaria. Cuanto aparezca como una variable real en los Principia Mathematica puede considerarse como una variable aparente cuyo alcance sea la totalidad de la proposicin aseverada en la que se encuentra.)

La regla de inferencia, en la forma dada ms arriba, nunca se requiere en Lgica, sino slo cuando se trate de Lgica aplicada. Dentro de la Lgica, la regla requerida es diferente. En la Lgica de proposiciones, que es la que nos concierne ahora, la regla que se usa es:

Cualesquiera que sean las proposiciones elementales p, q, r, .... dadas. F (p. q, r ,...) y " h . F (p, q, r , ... )| {G (p, q, r , ... )|H (p, q, r , ...) | , podemos

inferir F . H ip, q, r ,...).Ms adelante nos encontraremos con otras formas de inferencia. Por el momen

to, usaremos la forma que acaba de indicarse.Nicod ha mostrado que, con la ayuda de la regla de inferencia, la Lgica de

proposiciones (* 1*5) puede deducirse a partir de las dos proposiciones primitivas siguientes:

k p Kp Ip )

La primera puede interpretarse como p es incompatible con no-p , o como p o no-p , o como no (p y no-p) , o como p implica p . La segunda puede interpretarse como:

que es una forma del principio del silogismo. Escribindola toda en trminos de trazo, el principio se convierte en

(p I (91 ?)11 [|(* I q) I

INTRODUCCION

fjl(v)r )lItUI(

INTRODUCCION

les o particulares ; los trminos que se presentan tal como se presentan las R se llaman universales .

Podramos resumir nuestra definicin diciendo: un individual es todo cuanto puede ser sujeto de una proposicin atmica.

Dada una proposicin atmica Rn (*1, x%,... x n), a cada una de las* la llamaremos constituyente de la proposicin, y a R componente de la proposicin (9). Lo mismo diremos respecto de cualquier proposicin molecular en la que se presente R (xt , x 2, ... x n). Dada una proposicin elemental p\q, (en donde p y q pueden ser atmicas o moleculares), a p y a q los denominaremos partes de p\q; a su vez, cada una de las partes de p o q se llamarn partes de p\q, y as sucesivamente hasta que lleguemos a las partes atmicas de p\q. De este modo, es lo mismo decir que una proposicin r interviene en p[q, que decir que r es una parte de p\q.

2. Definicin de una funcin elemental de un individual

Dada una proposicin elemental cualquiera que contenga una parte de la cual es constituyente un trmino individual a, pueden obtenerse otras proposiciones sustituyendo a, de manera sucesiva, por otros individuales. De este modo, obtenemos un determinado conjunto de proposiciones elementales. Podemos llamar x. As, pues, * es una funcin cuyo argumento es * cuyos valores son proposiciones elementales. La utilidad esencial de x es que abarca en s un conjunto determinado de proposiciones, a saber, todas aquellas que tienen sus valores con diferentes argumentos.

Ya hemos visto varias funciones especiales de proposiciones. Si p es una parte de alguna proposicin molecular, podemos considerar el conjunto de proposiciones que resulten de sustituir p por otras proposiciones. Si llamamos fp a la proposicin molecular original, el resultado al hacer la sustitucin por q se llama

Cuando un individual o una proposicin aparece dos veces en una proposicin, pueden obtenerse tres funciones segn se cambie slo uno, slo el otro, o ambos. Por ejemplo, p\p es un valor de una de las tres funcionesp\q, q\p, q\q, en donde q es el argumento. Pueden aplicarse consideraciones similares en el caso de que un argumento aparezca ms de dos veces. As, p\(p\p) es un valor de q\(r\r), o de q\(r\q), o de q\(q\r), o de q\(r\r), o de q\(q\q). Cuando aseveremos una proposicin T . (p ). Fp", la p debe cambiarse dondequiera que se encuentre. De igual manera, podemos aseverar una proposicin de la forma (*) . $* , que significa que todas las proposiciones de la constitucin indicada por x son verdaderas ; aqu tambin, cada vez que intervenga * debe cambiarse.

(9) lista terminologa se toma de Wittgenstein.

23

INTRODUCCION

3. Siempre verdadero y algunas veces verdadero

Dada una funcin, puede ocurrir que todos sus valores sean verdaderos; o tambin puede ser que por lo menos uno de sus valores sea verdadero. La proposicin en la que todos los valores de una funcin (x , y, z , ...) sean verdaderos se expresa simblicamente asi:

(*,y,z, ...).(e,y,

a no ser que deseemos aseverarla, en cuyo caso la asercin se escribe:

b (*,.v. .V

Ya hemos visto aserciones de esta clase, en donde las variables eran proposiciones elementales. Ahora precisamos considerar el caso en el que las variables sean individuales y la funcin sea elemental, es decir, en la que todos sus valores sean proposiciones elementales. Ya no queremos constreirnos al caso en que se afirme que todos los valores de t/> (x, y, z, ...) sean verdaderos; lo que deseamos es poder hacer la proposicin

(x,y,z, ...).(x,y,z,...)

parte de una funcin trazo. Sin embargo, de momento, dejaremos de lado este desidertum, del que nos ocuparemos en la Seccin 111 de esta Introduccin.

Adems de la proposicin en la que una funcin (x ,y ,z ,. ..)

Adems de (x, y, z, ...). (x, y, z , ...) y de (3x, y, z, ...). (x, y, z , ...), necesitamos otras varias proposiciones de clase anloga. Consideremos primero una funcin de dos variables. Podemos formar

(a*) (y) (*. y). (*): (a y) (*.y)- (ay ): (*) (*> y)- (y)! (a*) (* y)'

Estas son sustancialmente proposiciones distintas, entre las que no hay dos que sean equivalentes. Parecera natural, al ir formando estas proposiciones, considerar a la funcin (a, y) que contenga una variable y\ as, podemos dar lugar a:

(y)-y) y (ay> ( y)-

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INTRODUCCION

A continuacin, podemos variar la a, obteniendo, otra vez, una funcin de una variable, y conducindonos a las cuatro proposiciones siguientes:

(*) :(y) .0 (x, y), (a*) :(y). (x, y), (x) : (ay ). 0 (, y), (a*): ( a y ) . 0 (x, y).

Pero tambin pudimos haber procedido de otra manera, yendo desde f(a, b) a 0 (jc, ); desde aqu a ( x ) . 0 (x, b) y a (3 x ) . 0 (x, b)\ y desde aqu a:

(y ): (*) 0 (*. y), ( a y ) : (*) 0 (*. y), (y) (a*) 0 (*. y), (ay) = (a*) 0 (*. y)-

A todas stas las llamaremos proposiciones generales ; as, pues, a partir de la funcin 0 (x, y) pueden derivarse ocho proposiciones generales. Tenemos que:

(*): (y ). 0 (a, y ) : s : (y ) : (x ) . 0 (x, y),(a*): (ay) 0 (*. y): 5 (ay) (a*) 0 (*. y)-

Pero no existen otras equivalencias en las que se d la misma particularidad. Por ejemplo, la diferencia que hay entre (x) : (Hj O . 0 (x, y) y (-y): (x ) . 0 (x, y)" es la misma que, en anlisis, hay entre Para cada e, por pequea que sea, existe una 5 tal que... y Existe una 6 tal que, para cada e, por pequea que sea,...

Aunque, en vista de las consideraciones indicadas anteriormente, pudiera parecer ms sencillo estimar cada funcin de varias variables como obtenida mediante etapas sucesivas, en cada una de las cuales slo se afecta a una funcin de una variable, existen, sin embargo, motivos poderosos para considerarlas bajo otro punto de vista. Hay dos razones en favor del mtodo de paso a paso ; primero, que slo las funciones de una variable necesitan ser consideradas como ideas primitivas; en segundo lugar, que definiciones tales como las mencionadas parecen apoyarse en otras en las que varisemos primero la x; manteniendo la y constante, o bien que varisemos primero la y, manteniendo la x constante. Lo primero parece ocurrir en los casos en que (y) o (3 y) estn a la izquierda de (x) o (3x) ; lo segundo, en el caso inverso. Las razones que hay en contra del mtodo de paso-a-paso son: primero, que se interfiere con el mtodo de las matrices, el cual proporciona un orden en lo que se refiere a la formacin sucesiva de tipos de proposiciones y de funciones que maneja la teora de tipos; y, segundo, que nos exige, desde el primer momento, operar con proposiciones tales como ( y ) . $ (a, y), que no son elementales. Tmese, por ejemplo, la proposicin T : q . 3 P v q Esta ser:

l-:.(/>):.(Y):y.:>.yV(/,O l- :.(g ) :. (p) . y . O . p v q,

y, por tanto, implicar todos los valores, o bien deiq) : q . D. p y q considerada como una funcin de p,

o de (p) : q . D. p y q considerada como una funcin de q.

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INTRODUCCION

Esto hace imposible comenzar nuestra lgica con proposiciones elementales, como deseamos hacer. Resultara vano ampliar la definicin de proposiciones elementales, puesto que ello slo hara agrandar los valores de q o p en las funciones indicadas anteriormente. Por lo tanto, parece necesario partir de una funcin elemental

0(*l. J. X ... w),

antes de que pongamos, en lugar de cada x r, (xr)" o (3xr)\ las variables de este proceso tomadas en el orden que queramos. Aqu, 0 (* i, *2, * j , ... x n) se llama matriz , y a lo que le precede se llama prefijo . As, por ejemplo, en

(a*) '(y)- (*, y)0 (x, y)" es la matriz y (3* ): (y) es el prefijo. Por tanto, se ve claro que una matriz que contenga n variables da origen a n ! 2" proposiciones, si ordenamos sus variables de todas las maneras posibles, y distinguiendo, en cada caso, entre (.*>) y (3*r) . (Algunas de ellas, sin embargo, resultarn equivalentes). El proceso de obtencin de tales proposiciones a partir de una matriz se llamar generalizacin , tanto si tomamos todos los valores como si algn valor ; las proposiciones que resulten se llamarn proposiciones generales .

Ms adelante tendremos ocasin de considerar matrices que contengan variables que no sean individuales; podemos, por lo tanto, decir:

Una matriz es una funcin de un cierto nmero de variables (que pueden, o no, ser individuales) que tiene proposiciones elementales como valores suyos, y que se emplea con objeto de generalizar.

Una proposicin general es una proposicin derivada de una matriz mediante una generalizacin. Afadamos ahora una definicin adicional:

Una proposicin de primer orden es la que se deriva, por generalizacin, de una matriz en la cual todas las variables son individuales.

4. Mtodos de comprobacin de las proposiciones generales

Hay dos mtodos fundamentales de comprobacin de proposiciones generales: una para proposiciones universales, y la otra para proposiciones tales como las aserciones de existencia. El mtodo para la comprobacin de proposiciones universales es como sigue. Dada una proposicin

v, r , ...),

en donde F est construido mediante el trazo, y p, q, r, ... son proposiciones elementales, podemos sustituirlas por funciones elementales de individuales, en la forma que deseemos, haciendo

26

p= /i( i.* i. ),

INTRODUCCION

y as sucesivamente, y, a continuacin, aseverar el resultado para todos los valores de Xi, x J t ... xn . Lo que de este modo aseveramos es menos que lo que se afirma en la asercin original, puesto que p, q, r, ... podran originalmente tomar valores que fuesen todos proposiciones elementales, mientras que ahora slo pueden tomar aquellos que sean valores de fy, f - i . f i>... (Dos o ms de las fy , f 3, f 3,... pueden ser idnticas).

Para probar teoremas de existencia contamos con dos proposiciones primitivas, a saber

**1- y*811. h . (at).

INTRODUCCION

De nuevo, ya que 0 (x, y ) . 3 . (3z, w) . 0 (z, w), podemos inferir(a*, y ) /(* . y)

y i- -(ay. *)/(* , y)-Tanto la prueba universal como las de las proposiciones de existencia podemos

ilustrarlas mediante un sencillo ejemplo. TengamosI-.(p).pDp.

De aqu, haciendo la sustitucin 0x en lugar de p:I-. (x) . 0* 3 0*.

A partir de aqu, como en el caso de / (x, x) antes mencionado,h : (a>): (ay) 0* 3 0y. i- : (y): (a*) 0* 3 0y.* (a*, y ). 0 3 0y-

Aparte de los axiomas especiales que aseveran los teoremas de existencia (tales como el axioma de la reducibilidad, el axioma multiplicativo y el axioma del infinito), las dos proposiciones primitivas antes indicadas proporcionan el nico mtodo de probar en lgica los teoremas de existencia. De hecho, ellos siempre se derivan a partir de proposiciones generales de la forma (x) ./(x , x) o (x) . /(x , x, x) o ..., sustituyendo otras variables por alguna de las x que intervienen.

III. PROPOSICIONES GENERALES DE ALCANCE LIMITADO

En virtud de una proposicin primitiva, dados x . 0 (x) y (x) . 0x 3 0x, podemos inferir (x ) . 0x. Sin embargo, hasta ahora, no hemos introducido una notacin que nos permitiese establecer la correspondiente implicacin (como opuesto a inferencia). De nuevo, (3x ) . 0x y (x, y ) . 0x D \/y nos permiten inferir (y) . \/y; aqu, otra vez, deseamos ser capaces de establecer la correspondiente implicacin. De momento, slo hemos definido las intervenciones de las proposiciones generales como proposiciones aseveradas de una manera total. Tericamente, ste es el nico uso, y no es preciso definir ningn otro. Pero, en la prctica, resulta muy conveniente ser capaces de tratarlas como partes de funciones-trazo. Esto no es ms que una cuestin de definicin. Introduciendo definiciones adecuadas, las proposiciones de primer orden pueden exponerse de forma que satisfagan todas las proposiciones de *1*5. Por ello, empleando las proposiciones *1 -*5 , no ser necesario suponer que p, q, r, ... sean elementales.

Las definiciones fundamentales se dan ms adelante.Cuando una proposicin general se presenta como parte de otra, se dice que

tiene un alcance limitado. Si contiene una variable aparente x, el alcance de x se dice que est limitado por dicha proposicin general. As, en p\ {( x ) . 0x | , el alcance de x se limita a (x ) . 0x, mientras que en (x ) . p\

INTRODUCCION

El nuevo captulo *8 (que se da en el Apndice A) debe reemplazar al *9 en los Principia Mathematica. No obstante, su procedimiento general se explicar ahora.

El hecho de que una proposicin general aparezca como parte de una funcin- trazo queda determinado por medio de las siguientes definiciones:

K) 19 = (3*) 9 Df,1(3*) l^y Df,

j>|[(ay)-*yl- = -(y).t>IVr.!/ Df.

Estas determinan, en primer lugar, slo lo que se expresa mediante el trazo cuando ste se encuentra entre dos proposiciones, una de las cuales es elemental, en tanto que la otra es de primer orden. Cuando el trazo se encuentra entre dos proposiciones que sean de primer orden, adoptaremos el siguiente convenio: primero, debe eliminarse la que se encuentre a la izquierda, considerando la de la derecha como si fuese elemental; despus, debe eliminarse la de la derecha, de acuerdo, en cada caso, con las definiciones mencionadas antes. As, pues:

((*) I (y) f.'/!. = : (3*) l(y) i'/l:= : (3*) = (sy) lo cual requiere o bien (jc) . ~ x o bien (-Jy). ~ >py, y entonces es verdadero.

Y (*): (ay) f>/es verdadero en las mismas circunstancias. Esta posibilidad de cambiar el orden de las variables en el prefijo se debe slo a la forma en que ocurre, es decir, al hecho de que x slo se presente en un lado del trazo e y slo en el otro. El orden de las variables en el prefijo es indiferente, siempre que una de ellas aparezca en un lado determinado del trazo, en tanto que las veces que aparezca la otra lo sea slo en el otro lado. En general, no tenemos

(3* ): (y) x

INTRODUCCION

La posibilidad de cambiar el orden de las variables en el prefijo cuando estn separadas por un trazo es una proposicin primitiva. En general, resulta conveniente situar a la izquierda aquellas variables en las que intervengan el todos , y a la derecha las que tengan el algunos, una vez que haya tenido lugar la eliminacin, y suponiendo siempre que las variables se presenten de manera que sea aplicable nuestra proposicin primitiva.

Por lo que respecta a la proposicin primitiva indicada anteriormente, no es preciso que el trazo que separa la x y la y deba ser el trazo principal; por ejemplo

p l tl(a*) **) I {(y) +y)] - = p I [(*) = (ay) I *y] - * (a* ): (y) p ! l+y) := : (y ) : (3 ) .p\(x\ fy ) .

Todo lo que s es necesario es que haya algn trazo que separe lax de la y. Cuando ste no sea el caso, el orden, en general, no puede cambiarse. Consideremos, por ejemplo, la matriz

INTRODUCCION

Las definiciones de ~ p, pv q , p . q, p Dq deben emplearse sin cambio. Por tanto

~ ((*) x 14>y).

~ 1(3*) $*). - : (*) : (y) . (x | y),p . D . (x ). $x : = : p | [((). r} | ((x). x]] :

= -p I fa*) (ay) (* i *y) \= :(* ) : (y) /> I (4>x 14>;/),

(x). x . D . p : = : |(x) . x) | (p | p) :=>: (gx) . #x | (p | p ) : = : (gx). x D p,

(x).

INTRODUCCION

(3) La regla de inferencia, ampliada; esto es: a partir de (x).x y de ( x ) . 0x D \/x, podemos inferir (x ) . \/x, aunque 0 y 0 no sean elementales.

(4) Si todas las x que aparecen se separan de todas las y por medio de un determinado trazo, el orden de las x y de las .y pueden cambiarse en el prefijo; esto es:

En lugar de (3jt) : (y) . 0x|\py podemos poner 0 ') : (3*) . 0x|0y, y viceversa, aunque esto slo sea una parte de la proposicin total aseverada.

Las proposiciones primitivas mencionadas antes son aplicables, no slo en el caso de una variable, sino para cualquier nmero.

Por medio de las proposiciones primitivas anteriormente indicadas, puede probarse que todas las proposiciones del *1 al *5 se aplican igualmente en el caso de que una o varias de las proposiciones p, q, r , ... que intervengan no sean elementales. Para ello, utilizamos el trabajo de Nicod, quien comprob que todas las proposiciones primitivas del *1 pueden deducirse de

(-. p Opy de h . p D 9 . D . ] 7 Dp|

junto con la regla de inferencia: Dados p y p\(q\r) podemos inferir r .Por tanto, cuanto hacemos es mostrar que las proposiciones expresadas antes

siguen siendo verdaderas cuando p, q, s, o algunas de ellas, no sean elementales. Esto se hace en el *8 del Apndice A.

IV. LAS FUNCIONES COMO VARIABLES

El uso esencial de una variable es elegir un cierto conjunto de proposiciones elementales, y capacitamos para afirmar que todos los miembros de esa estructura son verdaderos, o que, al menos, un miembro es verdadero. Ya hemos empleado funciones de individuales, mediante la sustitucin de 0x en lugar de p en las proposiciones de los *1*5, as como por las proposiciones primitivas del *8. Pero, hasta ahora, siempre hemos supuesto que la funcin se mantiene constante mientras se vara la proposicin individual, y no hemos considerado los casos en donde tengamos 30 , o donde el alcance de 0 sea menor que toda la proposicin aseverada. Es necesario, ahora, considerar tales casos.

Supongamos que a es una constante. Entonces, 0a significar, para los diversos valores de 0, todas las diferentes proposiciones elementales de las cuales a sea un constituyente. Esta es una estructura de proposiciones elementales diferente de cualquier otra que pueda obtenerse variando las proposiciones individuales; consecuentemente, esto da origen a nuevas proposiciones generales. Los valores de la funcin son todava proposiciones elementales, igual que cuando el argumento es un individual; pero hay nuevas estructuras de proposiciones elementales, diferentes de las anteriores.

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INTRODUCCION

Como ms adelante tendremos ocasin de considerar funciones cuyos valores no son proposiciones elementales, queremos distinguir las que tienen por valores proposiciones elementales mediante un signo de admiracin colocado entre la letra que simboliza la funcin y la letra que expresa al argumento. As, por ejemplo, ! x es una funcin de dos variables, x y 0 ! f . Esta es una matriz, ya que no contiene variable aparente y tiene como valores a proposiciones elementales. En lo sucesivo escribiremos 0 ! x donde, hasta ahora, habamos puesto

INTRODUCCION

generalizaciones (0) . 0 ! Scrates y (3 0 ). 0 ! Scrates constituyen una clase de proposiciones elementales que no pueden obtenerse de una variable individual. Pero cualquier valor de 0 ! Scrates es una proposicin elemental ordinaria; la novedad introducida por la variable 0 es una novedad de clasificacin, no de material clasificado. Por otra parte, (x ) . x ama a Scrates, (0) . 0 ! Scrates, etc., son nuevas proposiciones no contenidas dentro de las proposiciones elementales. Esta es la cuestin del *8 que muestra que estas proposiciones obedecen a las mismas reglas que las proposiciones elementales. El mtodo de prueba no considera lo que las variables sean, siempre que todas las funciones que intervengan tengan valores que sean proposiciones elementales. Las variables pueden por s mismas ser proposiciones elementales, como ocurre en las * l-* 5 .

Una funcin variable que tiene valores que no son proposiciones elementales inicia un nuevo conjunto. Pero las variables de esta clase parecen innecesarias. Cada proposicin elemental es un valor de 0 ! x; por lo tanto

( p ) . f p . = . ( < ! > , * ) . f p . . (g0.* )./ ( 0 !x).Por consiguiente, todas las proposiciones de segundo orden, en las que la variable es una proposicin elemental, pueden derivarse de matrices elementales. La cuestin acerca de otras proposiciones de segundo orden se tratar en la seccin siguiente. Una funcin de dos variables -digamos 0(x, y ) - abarca una cierta clase de clases de proposiciones. Tendremos la clase 0 (a, y) para una a dada y una variable y, despus la clase de todas las clases 0 (a. y) segn vare a. El considerar a nuestra funcin como dando origen a la clase 0 (a, y ) o a la 0 (x, b) depende del orden de generalizacin que se haya adoptado. As, pues, (3 x ) ; (y) abarca a 0 (a, y), pero (y ) : (3x) abarca a 0 (x, b).

Consideremos, ahora, la matriz 0 ! x como una funcin de dos variables. Si primero variamos la x. dejando fija la 0 (lo que parece ser el orden ms natural), formamos una clase de proposiciones 0 ! x, 0 ! y, 1 z , ... que difieren nicamente en la sustitucin de una proposicin individual por otra. Habiendo realizado una de dichas clases, podemos hacer otra, y as sucesivamente, hasta que hayamos efectuado todos los cambios posibles. Pero supongamos ahora que variamos primero la 0, manteniendo fija la x, e igual a a En este caso, constituimos la clase de todas las proposiciones de la forma 0 ! a, es decir, todas las proposiciones elementales de las que a es un constituyente; a continuacin, formamos 0 ! b\ y as sucesivamente. El conjunto de las proposiciones que son valores de 0 ! a es un conjunto que no puede obtenerse variando las proposiciones individuales, es decir, no es de la forma fie [por cuanto f es constante y x una variable]. Esto es lo que hace a 0 una nueva clase de variable, diferente de x. Esto tambin ocurre porque una generalizacin de la forma (0) . F ! (0 ! z, x) no da lugar a una funcin de la forma / ! x [debido a que la / es constante]. Obsrvese tambin que, mientras a es un constituyente de / ! a, / no lo es; por ello, la matriz 0 ! x presenta la particularidad de que, cuando se asigna un valor a x, este valor es un constituyente del resultado; pero, cuando se asigna un valor a 0, este valor se absorbe en la proposicin resultante y desaparece

34

INTRODUCCION

por completo. Podemos definir una funcin 0 ! x como la clase de semejanza que existe entre proposiciones cuando un resultado procede del otro mediante la sustitucin de una proposicin individual por otra.

Hemos visto que hay matrices que contienen, como variables, funciones de individuales. Podemos simbolizar una matriz de este tipo as:

/ ! (0! 2, 0-! 2, x ! 2, ... x, y, z, ...).Dado que una funcin slo puede tener lugar a travs de sus valores, 0 ! i

(p. ej.) slo puede ocurrir en la matriz anterior por la presencia de

INTRODUCCION

asignan valores no slo a /, sino tambin a 0, 0 , x> *> y> z> > obtenemos una proposicin elemental; pero cuando se asigna un valor slo a f obtenemos una matriz que contiene como variables slo funciones de primer orden e individuales. Esto es semejante a lo que sucede cuando consideramos la matriz 0 ! x. Si damos valores a 0 y a x, obtenemos una proposicin elemental; si damos un valor slo a la 0, obtenemos una matriz que contiene slo un individual como variable.

No existe una matriz lgica de la forma / ! (0 ! ). Las nicas matrices en las que 0 1 z es el nico argumento son aquellas que contienen 0 ! a, 0 I b, 0 ! c, .... en donde a, b, c, ... son constantes; pero stas, derivadas de la matriz lgica 0 ! x, no son matrices lgicas. Ya que 0 slo puede presentarse a travs de sus valores, debe aparecer, en una matriz lgica, con uno o ms argumentos variables. Las funciones lgicas ms simples con slo 0 son ( r ) . 0 l r y (3 x) . 0 1 x, pero stas no son matrices. Una matriz lgica

/ ! ( 0 !2, *,.*. *)siempre se deriva de una funcin-trazo

F(pp p,....p)

sustituyendo 0 ! x t , 0 ! x 2, ... 0 ! xn en lugar de p i , p2. ... pn. Este es el nico mtodo de construir tales matrices. (Podemos, no obstante, tener x r = xs como algunos valores de r y s).

Las funciones de segundo orden gozan de dos propiedades conexionadas que las de primer orden no tienen. La primera de stas es que, cuando a / se le asigna un valor, el resultado puede ser una matriz lgica; la segunda es que pueden asignarse ciertos valores constantes a / sin salirse de la Lgica.

Comencemos por el primer punto: / ! (0 1 f, x), por ejemplo, es una matriz que contiene tres variables, / 0, y x. Las siguientes matrices lgicas (entre un nmero infinito) resultan de la de arriba signando valores a /: 0 ! x, (0 !x)|(0 l x ) , 0 ! x D 0 ! x, etc. Similarmente 0 ! x D 0 ! y, que es una matriz lgica, resulta de asignar un valor a / en / ! (0 ! , x, y). En todos estos casos, el valor constante asignado a / es uno que puede expresarse slo en smbolos lgicos (lo cual era la segunda propiedad de f). Este no es el caso de 0 ! x: a fin de asignar un valor a 0, debemos introducir lo que podemos llamar constantes empricas , tales como Scrates , mortalidad y ser griego . Las funciones de x que pueden formarse sin salir de la Lgica deben contener una funcin como variable generalizada; sern (en el caso ms sencillo) de las formas (0) . 0 ! x y (30). 0 1 x.

Sin embargo, la peculiariedad anterior de funciones de segundo y de rdenes superiores es arbitraria. Pudimos haber adoptado, en Lgica, los smbolos

R\ (*). R>(x,y), R ,(x,y,z),....

en donde /i representa un predicado variable, R- una relacin didica va

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INTRODUCCION

riable (en intensin), y as sucesivamente. Cada uno de los smbolos R i (x), /?2 (x, y), R 3 ( x , y, z), ... es una matriz lgica, de forma que, si la usamos, tendramos matrices lgicas que no contienen funciones variables. Quizs merezca la pena que recordemos el significado de 0 I a , siendo a una constante. El significado es el siguiente. Consideremos un nmero finito de proposiciones de diversas formas R { (x), R2 (x, y ) , ..., y combinmoslas por medio del trazo en la forma que deseemos, permitiendo que cualquiera de ellas pueda repetirse un nmero finito de veces. Si, por lo menos una de ellas, tiene una a como constituyente, esto es, es de la forma

Rn(,a,b, i>... 1),

entonces, la proposicin molecular que construyamos es de la forma 0 ! a. es decir, es un valor de 0 ! a" con una 0 adecuada. Desde luego, esto tambin es vlido para la propia proposicin Rn (a, ... b_ j). No cabe duda de que la Lgicade proposiciones, y, ms an, de las proposiciones generales relativas a un argumento dado, sera intolerablemente complicada si nos abstuvisemos del empleo de funciones variables; pero tampoco puede decirse que ello fuese imposible. En cuanto a la cuestin de las matrices, pudimos formar una matriz f \ ( R i, x), de la cual R (x) fuese un valor. Es decir, las propiedades de las matrices de segundo orden, que hemos discutido, tambin deben pertenecer a las matrices que contengan universales variables. No pueden pertenecer a matrices que contengan slo individuales variables.

Asignando ! y x en / ! (0 ! i, x), mientras se deja la / como variable, obtenemos un conjunto de proposiciones elementales que no pueden obtenerse por medio de variables que representen a individuales y a funciones de primer orden. Esto es el por qu la nueva variable/es til.

Podemos proceder de igual manera con las matrices

!{/ !< 0 !2 .a ),0 !(0 !S , ), ... r/r i S, x l$ , ... x. ...)y as sucesivamente, de forma indefinida. Esto no representa ms que nuevos modos de agrupar proposiciones elementales, llevando a nuevas formas de generalizacin.

V. FUNCIONES QUE NO SON MATRICES

Cuando una matriz contiene varias variables, pueden obtenerse funciones de algunas de ellas cambiando las otras en variables aparentes. Las funciones que se obtienen de esta manera no son matrices, y sus valores no son proposiciones elementales. Los ejemplos ms sencillos son

(y)-!(*.y) y (ay)-0 !(*.y>-

Cuando tenemos una proposicin general () . F ( 0 ! f , x, y , ...) , los nicos valo

37

INTRODUCCION

res que puede tomar 0 son matrices, de forma que no se incluyen funciones que contengan variables aparentes. Podemos, si es nuestro gusto, introducir una nueva variable, para denotar no slo funciones tales como 0 ! , sino tambin como

, ( y ) .0 !(S, y), (y, *). 0 ! (x, y, z), ... (a y)- 0 !

INTRODUCCION

adoptamos ciertas proposiciones primitivas que aseguran solamente que lo que podemos probar en cada caso se mantiene de manera generalizada. Por medio de estas adopciones se hace posible manejar variables tales como 0 ,.

De igual manera, podemos introducir/, (0 , ,. ) , en donde un nmero cualquiera de individuales y de funciones i/ 'i .X i . pueden presentarse como variables aparentes.

Ninguna dificultad esencial surge en este proceso, con tal que las variables aparentes que intervengan en una funcin no sean de un orden superior al del argumento de la funcin. Por ejemplo, x e D' R , que es (rfy). xRy, puede manejarse con tranquilidad, como si fuese de la forma 0 ! x. En virtud del *8, 0 ,.y puede sustituirse por 0 ! x sin influir en la verdad de cualquier proposicin lgica, en la que 0 ! x sea una parte. Anlogamente, cualquier proposicin lgica que sea vlida cuando est referida a / I (0 ,, x) tambin lo ser cuando est referida a / , (0 ,z, y ).

Pero cuando la variable aparente es de un orden superior al del argumento, se presenta una nueva situacin. Los casos ms simples son

(0) . / ! ( 0 !,.r), (30) ,/!. / !

INTRODUCCION

construir 0x, la nica totalidad que interviene es la de los individuales, como ya se presupuso. Pero cuando admitimos que 0 pueda ser una variable aparente en una funcin de x, ampliamos la totalidad de las funciones de x, cualquiera que sea la forma en que se haya definido 0. Por lo tanto, siempre es necesario especificar de qu clase de 0 se trata, dondequiera que 0 aparezca como una variable aparente.

La otra condicin, la de la significacin, viene dada de una forma total por las definiciones del *8, junto con el principio de que una funcin solamente puede darse a travs de sus valores. En virtud de este principio, una funcin de funcin es una funcin-trazo de valores de la funcin. Y, en virtud de las definiciones del *8, un valor de una funcin cualquiera puede sustituir a alguna proposicin en una funcin-trazo, porque las proposiciones que contienen un nmero de variables aparentes siempre pueden sustituirse por proposiciones elementales en una funcin- trazo. Lo que es necesario, a efectos de significacin, es que cada proposicin aseverada totalmente debe derivarse de una matriz mediante generalizacin, y que, en la matriz, la sustitucin de valores constantes por variables siempre dara lugar, en ltima instancia, a una funcin-trazo de proposiciones atmicas. Decimos en ltima instancia" porque, cuando se admiten variables tales como 02z, la sustitucin de un valor en lugar de 02 puede producir una proposicin que todava contenga variables aparentes, y en esta proposicin las variables aparentes deben reemplazarse por constantes antes de que lleguemos a una funcin-trazo de proposiciones atmicas. Podemos introducir variables que requieran varas de dichas etapas, pero el resultado final siempre ser el mismo: una funcin-trazo de proposiciones atmicas.

Parece, sin embargo, (aunque pueda ser difcil probarlo formalmente), que las funciones 0( , f \ no introducen proposiciones que no puedan expresarse sin ellas. Veamos, en primer lugar, un ejemplo muy sencillo. Consideremos la proposicin

(3 0 i) . 0 \X . 0in, a la que llamaremos/(x, a)

Ya que 0t incluye todos los posibles valores de 0 1, as como muchos otros valores de su rango, f (x , a) puede parecer que se hace una asercin menor que la que se hara por

(30) . 0 1 x . 0 ! a, a la que llamaremos f 0 (jc, a).

Pero, de hecho, f (x, a ) .D . f 0 (*, a). Fisto puede verse de la siguiente manera: \X tiene uno de los varios juegos de formas;

(y). 0 ! (jp, y), (y,*). 0 ! (*, y, s)......(ay) 0 (*. y). (ay, *) 0 (*, y,(y ): (a*) 0 * (*. y, *). (ay) (*) 01 (*. y, *)......

Supngase primero que 0i x . = . (y ) . 0 ! (x, y). Entonces0i* 0. = : (y) 0 ! (*, y )! (y). 0 ! (a, y ) :

3 : 0 ! (. 6). 0 ! (a, b):3 : (a0) 0 ! * 0 ! a-

40

INTRODUCCION

A continuacin, supongamos xx . = . (3)>). 0 ! (x, y). Entonces,x. ,a. = : (a.y). 0 ! (x, y) : (a*). 0 ! (a, ) :

3 : (3?/, z) : 0 ! (*, y) v 0 ! (*, r ) . 0 ! (a, y) v 0 I (a, *):

porque 0 ! (.x, 7 ) v 0 ! (jc, z) es de la forma 0 ! x, cuando la v y la z son fijas. Es obvio que este mtodo de prueba es aplicable a los otros casos mencionados anteriormente. Por tanto

(30i) 0i* 4>t = (30 ) I * 0 a.Puede satisfacernos que el mismo resultado tenga validez en la forma general

(3

INTRODUCCION

Aqu se presenta la implicacin conversa que es preciso probar; es decir:(0) . / ! ( 0 ! 2,*). 3 .(0 ,) . / ( 0,2.a).

Esto resulta del caso anterior por transposicin. Tambin puede verse independientemente de la siguiente manera. Supongamos, como antes, que

/ ! (

INTRODUCCION

nos capacita paro sustituir la clase D7?, en donde R es la relacin definida por 0 1 (*. P)i o por ( 3 z ) . 0 ! (x, y, i ), o por otras anlogas. Siempre que una clase o relacin se defina por una funcin que no contenga variables aparentes -excepto las individuales dicha proposicin primitiva nos capacita para tratarla como si hubiese sido definida por una matriz.

Hemos de considerar, ahora, funciones de la forma 02x, donde

).gH 4>Z ,x ).O .gH fa2 ,x ). (A)Comencemos con un importante caso particular. Supongamos

g ! (0 ! 2, x ) . = . 0 ! a D 0 1 x.Entonces, de acuerdo con el *131, (0) . g ! (0 ! i, x) . = . x = a.

Deseamos probar(0) i0 ! a D 0 ! x . 3 . faa D fax,

esto es (0). 0 ! a D 0 ! X. D : (0) . / ! (0 ! 2, o). D . (0) . / ! (0 ! 2, x) :(30) /' (0 ! 2, a) D. (g0) - / ! (0 1 2, *)

A h o ra ,/1 (0 1 f, x) debe derivarse de alguna funcin-trazo

F (p ,q ,r , ...)

sustituyendo en lugar de las p, q, r , ... los valores 0 ! x, 0 ! >, 0 ! c , .... en donde b, c, ... son constantes. Tan pronto como se asigne 0, sta es de la forma 0 ! x. Por tanto,

(0 ). 0 ! o D 0 U . D : ( 0 ) :/ ! ( 0 2 , a) . D ./ ! (0 ! 2, x) :^ : (0) / (0 ! 2, a ) . D . (0) . / ! (0 ! 2, r):

(30) / ! (0 ! 2, o ) . 3 . (3 0 ) ./ ! (0 2. *).

As, pues, generalmente (0 ). 0 ! (0 ! *, 0 !a, 0 ! 6, ...). (B)

Lo que deseamos descubrir es si

43

INTRODUCCION

Ahora (0 ! i, x) se derivar de la funcin-trazoG ( p, q , r , ...)

mediante la sustitucin de 0 ! x, 0 ! a', 0 ! t ,... en lugar de alguna de las p ,q ,r ,... Para obtener g 1 (faz, x), tenemos que poner fax, fa a , fab ,... en G (p, q, r , ...), en vez de 0 ! x, ! a', 0 ! b ', ... As obtendremos una nueva matriz.

Si se sabe que (0 ) . g i (0 ! i, x) es verdadera porque G (p, q, r, ...) es siempre verdadera, entonces g ! (faz, x) es verdadera en virtud del *8, dado que se obtiene de G (p, q, r , ...) mediante la sustitucin de alguna de las letras p, q, r , ... por las proposiciones fax, fa a , fab ,... que contienen variables aparentes. As, pues, en este caso, se garantiza una inferencia.

De este modo, tenemos esta importante proposicin:Siempre que se sepa que (0 ). g ! (0 ! z, x) es verdadera porque g I (0 ! i, x) es

siempre un valor de la funcin-trazo

G ( p , q , r , ...),

que es verdadera para todos los valores de p, q, r , ..., entonces g \ (faz, x) es tambin verdadera, y, desde luego, tambin lo es (fa ) - i ! (fa, x).

Esto, sin embargo, no cubre el caso en donde (0) - g ! (0 I z. x) no sea una verdad lgica, sino una hiptesis, que puede ser verdadera para algunos valores de x y falsa para otros. Cuando ste sea el caso, la inferencia a g ! (faz, x ) algunas veces est legitimada y otras no; los diversos casos deben investigarse separadamente. Veremos un importante ejemplo del fracaso de la inferencia, a propsito de la induccin matemtica.

VI. CLASES

La teora de clases es simple en un sentido y, al propio tiempo, complicada en otro, debido al supuesto de que las funciones slo se dan a travs de sus valores, as como por el abandono del axioma de la reducibilidad.

De acuerdo con esta teora, todas las funciones de funciones son extensionales; esto es

0r s f x . 3 . / ( 0S) = / (0-2),

Esto es obvio, puesto que 0 slo puede presentarse en /(0 z ) mediante la sustitucin de los valores de 0 por p, q, r , ... en una funcin-trazo y, si 0x = 0x, la sustitucin de 0x por p en una funcin-trazo da el mismo valor de verdad a la funcin-trazo que la sustitucin de \/x. Por consiguiente, no hay razn ms fuerte para distinguir entre funciones y clases, por lo que, en virtud de lo anterior, tenemos

44

INTRODUCCION

x =z ifrx . 3 . x), que suele resultar ms conveniente que

INTRODUCCION

R. *pK.

As, pues, /?*a es una clase de segundo orden. Por consiguiente, si tenemos una hiptesis (a ) . fa , en donde a es una clase de primer orden, no podemos suponer

(a) . / a . D ./(R+'a). (A)

Segn la ltima proposicin de la seccin anterior, si (a) . / a se deduce, mediante la Lgica, de una funcin-trazo de proposiciones elementales, que sea universalmente

verdadera, / (R*a) tambin ser verdadera. Por tanto, podemos sustituir R*a en lugar de a en cualquier proposicin aseverada h . / a que se presente en los Principia Mathematica. Pero cuando ( a ) . / a sea una hiptesis, y no una verdad universal, la implicacin (A) no es, prima facie, necesariamente verdadera.

Por ejemplo, si k (/?

INTRODUCCION

al desarrollarse por *8, se reconvierte en:(/9) :: ( g a ) a e K . O . g a : D -.fie k . O . g/3.

Esto es vlido slo si es posible a j3. Por eso, la inferencia sera una falacia si fi fuese de un orden superior al de a.

Apliquemos estas consideraciones a la prueba de Zermelo del teorema de Schrder-Bemstein, que se ofrece en *73'8 ss. Partimos de una clase de clases

* = 5(a C DLR. /9 - CKR C a . R "a Co)

y probamos p e (*73-81), lo cual es admisible en el sentido restringido que se explic anteriormente. Aadimos ahora la hiptesis

e (3 (JR ) u R ,p k\

y pasamos a probar p Cxeic (en la cuarta lnea de la prueba de la *7382). Esto tambin es admisible en el sentido restringido. Sin embargo, en la lnea siguiente de la misma prueba hacemos uso de lo que no es admisible al pasar desde px Cx e k a p'K C i'x, porque

a e k . D . p k C a.

La inferencia desde

# t * 3 . p'k C a ptKitx ttc .'2 .p ,icCp,ic i,x

slo es vlida si p K - i'x es una clase del mismo orden que los miembros de k. No obstante, cuando se transcribe a e k . Da . p x C a , se convierte en

(a) ::: ( g /8 ) ( x ) : :a c .D :./9 c /c .D .a ;e /3 0 .a re a .

Esto se deduce de

a tx .O z . a e x .O .x ta iO .x e a

por el principio de que / ( a , a ) implica (3 /3 )./( , 0). Pero aqu (i debe ser del mismo orden que a, mientras que en nuestro caso a y fino son del mismo orden, si a = p Cx y fi es un miembro ordinario de k. En este caso, en donde infiramos p*K C p*K Cx, la prueba se desmorona.

Es fcil, sin embargo, remediar este defecto en la prueba. Todo lo que necesitamos es

(fi Q R) o R jCk . D. x ~ t p 'k

o, por el contrario,

x ep 'x . D. * e 08 G) R "p ' k.

47

INTRODUCCION

Ahora

xepx . D :.a . D. : a :D, :~(/9 CPU C a i'). v . ~ {/Z(a te)Ca t j :D. : * /9

INTRODUCCION

A !* .D . (3 $ ) . / ! ( * ! * ,! 2, x) . D . A ! a . ^ I y D A ! y, / !< * !* .* ) . / ! (* !* , y ) .3 . * - y , / ! ( ^ ! , * ) . / ! ( ^ ! , ) . 3 . ^ ! y a ir^ !y .

Con estos datos,

a ; a -/J * . = : A la: : / ! ( # ! J,).As, pues, = ((#>: A la: :/!( 2.a;). 3.~!a:j.Por tanto, est definida por una funcin en la que aparezca como una variable aparente. Si aumentamos el rango inicial de , ampliaremos el rango de los valores implcitos en la definicin de . No hay, por tanto, modo de eludir la conclusin de que sea de un orden ms elevado que los de las sub-clases de a, contempladas en la definicin de Cl*a. Por consiguiente, la prueba de 2" > n se cae cuando no se d por supuesto el axioma de la reducibilidad. Encontraremos, sin embargo, que la proposicin sigue siendo verdadera cuando n es finita.

En cuanto a las relaciones, surgen cuestiones similares a las que se presentan con las clases. Una relacin ya no es distinguible de una funcin de dos variables. Tenemos:

son menos usuales. Pero una dificultad muy seria se presenta en cuanto a la semejanza. Tenemos:

asm .3 . (3 -f) . R 1 1 1 ,a = DR . fi = (lR.

Aqu, la R debe quedar limitada dentro de algn tipo; pero en cualquier tipo que elijamos, puede haber un correlato de tipo superior por el que se pueda establecer una correlacin entre a y 0. Por lo tanto, nunca podremos probar ~ (a sm 0), excepto en los casos especiales en los que o a o i sean finitos. Esta dificultad fue puesta de manifiesto por el teorema de Cantor, 2n > n, que acabamos de examinar. Casi todas nuestras proposiciones estn orientadas a probar que dos clases son semejantes, e interpretarlas todas de forma que se mantengan vlidas. Sin embargo, las pocas proposiciones que se ocupan de probar que dos clases no son semejantes fracasan, salvo cuando por lo menos una de las dos sea finita.

VII. INDUCCION MATEMATICA

Todas las proposiciones sobre la induccin matemtica que aparecen en la Seccin E de la Parte II, y en la Seccin C de la Parte III, permanecen vlidas, siempre que se interpreten adecuadamente. Sin embargo, las pruebas de muchas de ellas vienen a ser falaces cuando no se presuponga el axioma de la reducibilidad; en algunos casos, con gran trabajo, pueden obtenerse nuevas pruebas. Desde luego, la

49

iN i K o n u m o N

dificultad se hace patente al observar la definicin de uxR*y" en el *90. Omitiendo el factor x e C R , que para nuestro propsito es irrelevante, la definicin de xR+y" puede escribirse as:

Bw. $ ! f D $ ! w : D* . (A)

esto es, y tiene todas las propiedades elementales hereditarias que posee x". En lugar de las propiedades elementales podemos considerar cualquier otro orden de propiedades; como veremos ms adelante, es ventajoso tomar las propiedades de tercer orden cuando R sea de uno a varios o de varios a uno , y de quinto orden en los dems casos. No obstante, para objetivos preliminares, es indiferente el orden de las propiedades que elijamos, y, por ello, en atencin a la rigurosidad, tomamos, para comenzar, propiedades elementales. La dificultad estriba en que, si fa es una propiedad de segundo orden, a partir de (A) no podemos deducir

zRw. (B)

Supongamos, por ejemplo, que fa z . = . ( 0) . / ! (! , z); entonces, desde (A) podemos deducir

zRw . D,,./!(! 2, z) !>/! !$, t): D: / ! (! $, x) . D*. / ! (

INTRODUCCION

O o NC induct. I a.

Resulta inconveniente, porque, con frecuencia, tales propiedades son hereditarias cuando no figura sola; esto es, podemos tener

xR# z . zRw. . xR* w.Uvcuando no tengamos

! * . zRw .y, de manera semejante, en otros casos.

Estas consideraciones hacen necesario reexaminar todas las pruebas inductivas. En algunos casos son todava vlidas; en otros, son fcilmente rectificables; y, finalmente, en otros la rectificacin puede ser laboriosa, pero siempre posible. El mtodo de rectificacin se explica en el Apndice B de este volumen.

Sin embargo, en tanto no la podamos descubrir, no hay una va por la que nuestras proposiciones primitivas, que acabamos de exponer, puedan adecuarse a las relaciones dedekindianas y a las relaciones bien-ordenadas. El uso prctico de las relaciones dedekindianas depende de las * 2 H 63692, que llevan a las *214 334, mostrando que la serie de partes de una serie es una relacin dcdekin- diana. Sobre esto se apoya la teora de los nmero reales, definidos como partes de la serie de los nmeros racionales. Esta cuestin se trata en el *310. Si pusisemos en duda la proposicin que dice que la serie de los nmeros reales es dedekindiana, este anlisis se derrumbara.

Las pruebas de esta proposicin en los Principia Mathematica depende del axioma de la reducibilidad, puesto que dependen del *211'64, que asevera:

JiC b9 ,, . 3 . A D ,e.Por razones explicadas anteriormente, si a es del orden de los miembros de

X, (a) . /a puede no implicar / ( s X), porque sX es una clase de un orden superior al de los miembros de X. As, pues, aunque tengamos

*X = P'V/V'X,

an no podemos inferir s\ e D'Pe salvo cuando sX o s'Pe\ , por alguna razn especial, sea del mismo orden que el de los miembros de X. Esto se dar cuando X sea finito, pero no necesariamente en otro caso. Por ende, la teora de los nmeros irracionales requerir una reconstruccin.

Dificultades similares se presentan con respecto a las series bien-ordenadas. La teora de las series bien-ordenadas se apoya en la definicin *250 01:

Bord = *(C1 zx'&P C (l'minp) Df,

de donde P Bord. = : a C C*,?. g ! a . D, . 3 ! a Pa.

51

INTRODUCCION

Al hacer deducciones, constantemente sustituimos a por algunas clases construidas de orden superior a CP. Por ejemplo, en *250'122 ponemos en lugar de a laclase CP O p'P(a O CP), que, en general, es de un orden superior a a. Si esta sustitucin es ilegtima, no podemos probar que una clase contenida en CP, y que tenga sucesores, debe tener un sucesor inmediato; si no, la teora de las series bien-ordenadas se hace imposible. Debe salvarse esta dificultad particular; pero es obvio que deben caer muchas proposiciones importantes.

Pudo ser posible sacrificar al rigor lgico la serie infinita bien-ordenada, pero la teora de los nmeros reales es una parte integrante de la matemtica ordinaria, y difcilmente puede ser objeto de una duda razonable. Por tanto, nos justifica el suponer que algn axioma lgico que sea verdadero lo justificar. Se requiere que tal axioma sea ms restringido que el de la reducibilidad, aunque est pendiente de descubrirse que sea as.

Entre las contribuciones a la Lgica matemtica desde que se public la primera edicin de los Principia Mathemtica estn las siguientes:

D. HILBKRT. Axiomatisches Denkcn, Mathematische Annalen, Vol. 78. Dic logischcn Grund- lagen der Mathcmatik, ib. VoL 88. Neue Begrndung dcr Mathematik, Ahhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universital, 1922.

P. BERNAYS. Ueber Hilbcrts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik, Jahresbericht der deutschen Mathematiker- Vereinigung. VoL 31.

IL BLHMANN. Bcitrgc zur Algebra dcr Logik. Mathematische Annalen, Vol. 86.I. CHWlSTliK. Ueber dic Antinoinien der Prinzipien der Mathcmatik, Mathematische

Zeitschrift, VoL 14. The Theory of Constructivo Types. Armales de k Socit Mathmatique de Pobgne, 1923. (Dr. Chwistek has kindly allowed us to read in MS. a longcr work with thc sanie titlc.)

11. WEYL. Das Kontimum, Veit, 1918. Ueber dic neue Grundlagenkrise der Mathematik, Mathematische Zeitschrift, VoL 10. Randbemcrkungcn zu llauptproblcmen der Mathematik, Mathematische Zeitschrift, VoL 20.

L. E. J. BROUWER. Begrndung der Mcgenlehre unabhngig vom logischen Satz desausgesch- lossenen Dritten. Verhandelingen d. K. Akademie v. Wetenschappen, Amstcrdam, 1918, 1919. Intuitionistische Mengcnlchre, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereini- gung, VoL 28.

A. TAJTELBAUM-TARSK1. Sur le terme primitif de la logistique, Fundamenta Mathematicae, Tom. IV. Sur les truth-functions au sens de MM. Russell et Whitehead, ib. Tom. V. Sur quelqucs thormes qui quivalcnt 1axiome du ehoix, ib.

I-'. BERNSTEIN. Dic Mcngenlchrc Gcorg Cantors und der Einitismus, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, VoL 28.

J. KONIG. Neue Grundkgen der Ixrgik, Arithmetik und Mengenlehre, Veit, 1914.C 1. LEWIS. A Survey o f Symbolic Logic, University of California, 1918.H. M. SHEEFER. Total determinations of deductive systems with special reference to thc

Algebra of Logic. Bulletin o f the American Mathematical Society, VoL XVI. Trans. Amer. Math Soc. VoL XIV. pp. 481-488. The general theory o f notationai reiativity, Cambridge, Mass. 1921.

52

INTRODUCCION

J. G. P. NICOD. A reduction in the number of the primitive propositions of logic. Proc. Camb. PftU. Soc VoL XIX.

L. WITTGF.NSTCIN. Tracatus Logico-Philosophicus, Kegan Paul, 1922.M. SCHONWINKKL. Ueber die Bausteinc der mathematischen Logik, Math. Anmlen, Vol. 92.

53

INTRODUCCION

La Lgica matemtica que ocupa la Parte I de este trabajo ha sido elaborada bajo la orientacin de tres objetivos diferentes. En primer lugar, aspira a realizar en el mayor grado posible el anlisis de las ideas acerca de las que trata y de los procesos que canalizan las demostraciones, as como a reducir al mximo el nmero de ideas no-definidas y de proposiciones no-demostradas (llamadas, respectivamente, ideas primitivas y proposiciones primitivas) de las que se parte. En segundo lugar, est construida con vistas a lograr expresiones perfectamente precisas, en sus smbolos, de las proposiciones matemticas. Alcanzar tales expresiones, y conseguirlas con la notacin ms simple y ms conveniente, es el principal motivo para la preferencia por esta cuestin. En tercer lugar, el sistema est especialmente estructurado para resolver las paradojas que en los ltimos aos han preocupado a los estudiantes de Lgica simblica y de Teora de conjuntos. Confiamos en que la teora de tipos, tal como la exponemos en lo que sigue nos lleve tanto a evitar las contradicciones como a detectar las falacias concretas que las ocasionan.

De los tres objetivos mencionados, el primero y el tercero nos impulsan frecuentemente a adoptar mtodos, definiciones y notaciones que son ms complicadas o ms dificultosas que si se tuviese en cuenta slo el segundo objetivo. Esto se aplica especialmente a la teora de las expresiones descriptivas (*I4 y *30) y a la teora de clases y relaciones (*20 y *21). En estos dos puntos y, en menor grado, en los otros, fue necesario sacrificar algo la claridad en pro de la correccin. Sin embargo, tal sacrificio es, en lo principal, slo pasajero: en cada caso, la notacin finalmente adoptada, aunque su significado real fuese muy complicado, tiene una significacin aparentemente simple que, excepto en ciertos puntos crticos, puede, sin riesgo, sustituirse mentalmente por el significado real. Por esto, es conveniente, en una exposicin preliminar de la notacin, considerar estos significados aparentemente simples como ideas primitivas, es decir, como ideas introducidas sin definicin. Cuando la notacin se hace cada vez ms familiar, resulta ms fcil seguir las exposiciones ms complicadas, que es lo que consideramos ms correcto. En la parte principal del trabajo, en donde es necesario ceirse rgidamente al estricto orden lgico, podra no adoptarse el orden ms sencillo de desarrollo; esto, por lo tanto, se ofrece en la Introduccin. Los desarrollos que se dan en el Captulo I de la Introduccin son tales que anteponen la claridad a la correccin; las explanaciones completas se dan, en parte, en los captulos que siguen a la Introduccin, y, en parte, en el cuerpo de la obra.

El empleo del simbolismo (distinto del lingstico) en todas las partes del libro

54

INTRODUCCION

que pretenden incorporar razonamientos demostrativos estrictamente precisos, nos ha venido forzado por la consiguiente bsqueda de los tres objetivos sealados. Hay muchas razones en favor de la ampliacin del simbolismo ms all de la regin habitual del nmero, e ideas asociadas con el:

(1) Las ideas que aqu se utilizan son ms abstractas que las que ordinariamente se consideran en el lenguaje. En consecuencia, no hay palabras que se usen exclusivamente en los sentidos exactos que se exigen en este trabajo. Recurrir a las palabras impondra unas limitaciones, no naturales, a sus significaciones ordinarias; de hecho, esto traera consigo una mayor dificultad para recordar, coherentemente, que se trata de definiciones de smbolos completamente nuevos.

(2) La estructura gramatical del lenguaje se adapta a una amplia variedad de usos. Siendo as, no posee esa simplicidad singular en cuanto a representar los poco simples aunque sumamente abstractos- procesos e ideas que surgen en las cadenas de razonamientos deductivos empleados aqu. De hecho, la muy abstracta simplicidad de las ideas de este trabajo frustran el lenguaje. El lenguaje puede representar, con ms facilidad, las ideas complejas. La proposicin una ballena es grande representa un lenguaje que, en el mejor de los casos, ofrece una expresin concisa de un hecho complejo; mientras que el verdadero anlisis de el uno es un nmero nos lleva, utilizando el lenguaje, a una prolijidad intolerable. De acuerdo con esto, se gana en laconismo si se emplea un simbolismo especialmente diseado para representar las ideas y los procesos de deduccin que se presentan en este trabajo.

(3) La adaptacin de las reglas del simbolismo a los procesos de deduccin presta una ayuda fcil a la intuicin en regiones demasiado abstractas para que la imaginacin pueda ofrecer a la mente la verdadera relacin que existe entre las ideas empleadas. Llegan a hacerse familiares las diversas maneras de colocar los smbolos, como representativas de importantes modos de disponer las ideas; y, a su vez, tambin se hacen familiares las posibles relaciones existentes de acuerdo con las reglas del simbolismo- entre estas colocaciones de smbolos; y, ms an, estas colocaciones representan relaciones todava ms complicadas entre las ideas abstractas. Y, de esta manera, finalmente, se lleva a la mente a construir cadenas de razonamientos en regiones del pensamiento en las que la imaginacin sera enteramente incapaz por s misma de mantenerlas sin la ayuda de la simbologa. El lenguaje ordinario no permite tal ayuda. Su estructura gramatical no representa de manera unvoca las relaciones entre las ideas en cuestin. As, pues, las dos proposiciones una ballena es grande y el uno es un nmero parecen semejantes, de modo que la vista no presta ayuda a la imaginacin.

(4) El laconismo propio de las expresiones simblicas permite que una proposicin entera se presente de un golpe de vista como una totalidad, o, a lo sumo, en dos o tres partes divididas por donde hay separaciones naturales a las que se les concede representacin simblica. Esto parece una modesta propiedad pero, de hecho, es muy importante por lo que respecta a las ventajas enumeradas en el punto (3).

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INTRODUCCION

(5) El logro del objetivo de esta obra mencionado en primer lugar, a saber, la completa enumeracin de todas las ideas y pasos empleados en los razonamientos de matemticas, necesita tanto del laconismo como de la mxima formalidad que permitan sus propias caractersticas.

Una somera consideracin acerca de los lmites del empleo de los mtodos y del simbolismo utilizados en este libro arroja una luz adicional sobre tales mtodos y simbolismo:

(a) La