SERVIÇO DE POS-GRADUAÇÀO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 11.03.2005 ,

Assinatura: •, • ;....

Whitney equisingularidade e invariantes de germes de aplicações de Cn em C3, n > 4

Elíris Cristina Rizziolli

Orientador: Prof. Dr. Marcelo José Saia

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.

USP - São Carlos Março de 2005

Aluno: Elíris Cristina Rizziolli

A Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Marcelo José Saia ç.. <«> >

V Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Prof. Dr. Mareio Gomes Soares

Prof. Dr. Bruno César Azevedo Scárdua

Prof. Dr. Alberto León Kushner Schnur

Aos meus querido avós maternos e paternos

Manoelina Oliveira Modesto & Martins Modesto

e

Antónia Lopes Rizziolli & Virgilio Rizziolli

"Se procurar bem, você acaba encontrando não a

explicação (duvidosa) da vida, mas a poesia (inexplicável)

da vida."

Poema de Carlos Drummond de Andrade

Agradecimen tos

Agradeço a Deus por mais um sonho realizado.

Aos meus pais, Maria Antónia e Elias, exemplos de amor, dedicação, honestidade, otimismo e

paciência. Meu porto seguro.

Aos meus irmãos, Elias Júnior & Miriane e Elínia & Evandro, pela torcida, pelo carinho e por

rirem das minhas piadas.

Ao meu marido, Júnior, por deixar minha vida mais leve.

À Marta e à Djuly, pelo carinho.

Aos meus queridos amigos e amigas, pelos momentos agradáveis que tomamos juntos, quero

dizer, que passamos juntos. Adoro vocês!

Ao meu orientador, Marcelo, por sua atenção, persistência e otimismo.

Ao meu co-orientador, Vitor, pela paciência de me ensinar a mesma coisa várias vezes.

Ao Grupo de Singularidades, que a cada dia se parece mais com uma família.

Aos meus colegas de pós-graduação, pela alegria na hora do café.

A todo ICMC-USP, pela sua disposição e generosidade.

Enfim, a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste.

Este trabalho contou com o apoio financeiro da CAPES.

iv

Resumo

Nesse trabalho estuda-se o seguinte problema:

"Dada uma família a 1-parâmetro de germes de aplicações F : (C" x C, (0,0)) —>• (C p ,0) , en-

contrar invariantes analíticos cuja constância na família implica que esta é Whitney equisingular".

Gaffney descreve este problema para a classe de germes de aplicações finitamente determina-

dos de tipo estável discreto. Para obter a Whitney equisingularidade de tal família, os invariantes

necessários são os invariantes 0-estáveis e as multiplicidades polares das variedades polares as-

sociadas a todos os tipos estáveis. O número de invariantes depende das dimensões (n, p) e esse

número pode ser muito grande s e n e p são grandes. Então aparece uma questão natural:

"Fixado um par de dimensões (n,p), qual é o número mínimo de invariantes no teorema de

Gaffney que são necessários para garantir a Whitney equisingularidade?"

Aqui trata-se dos germes de aplicações em > 4.

Para reduzir o número de invariantes mostra-se relações envolvendo as multiplicidades polares.

Também considera-se o caso especial de quase homogéneos. Obtém-se fórmulas para calcular

os invariantes polares e em termos dos pesos e graus do germe quase homogéneo.

v

Abstract

In this work we study the following problem:

"Given a 1-parameter family of map germs F: (C" x C, (0,0)) (Cp, 0), find invariants whose

constancy in the family implies the family is Whitney equisingular".

Gaffney describes this problem for the class of finitely determined map germs of discrete stable

type. To obtain the Whitney equisingularity of such a family, the necessary invariants are the

zero stable invariants and the polar multiplicities of the polar varieties associated to ali the stable

types. The number of invariants depends on the dimensions (n, p) and this number can be very big

according to n and p are big. Then a natural question arises:

"For a fixed pair of dimensions (n, p), what is the minimum number of invariants in Gaffney's

theorem that are necessary to guarantee the Whitney equisingularity of family?"

Here we deal with the case of map germs in ^ (n , 3), n > 4.

To reduce the number of invariants we show relationships between the polar multiplicities.

We also consider the special case of weighted homogeneous. We get formulae to compute the

polar invariants and ri A 3 in terms of the weights and degree of the germ.

vi

Sumário

Introdução 1

1 Definições básicas e resultados. 3

1.1 Germes de aplicações e estabilidade 3

1.1.1 Ideais Jacobianos 5

1.2 Equisingularidade de Whitney 7

1.2.1 Estratificações de Aplicações 8

1.3 Desdobramentos: bom e excelente 9

1.4 Multiplicidades e anéis Cohen-Macaulay 10

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental 12

2 Germes e Multigermes estáveis de C" C3, n > 4. 16

3 Os invariantes dos tipos estáveis na meta. 19

4 Os invariantes dos tipos estáveis na fonte. 43

4.1 Invariantes dos tipos estáveis em £ ( / ) 43

4.2 Invariantes dos tipos estáveis e m l ( / , ) 46

4.2.1 Pré-requisitos 46

4.2.2 Equisingularidade deX(f) 49

5 Whitney equisingularidade em famílias de germes em ú(n,p),n> 4. 52

5.1 Caso é?(n,3), com n > 4 52

5.2 Caso G(n,p), com n > p 54

6 Invariantes de germes quase-homogêneos em G{n, 3),« > 4 . 55

6.1 Multiplicidades polares 55

6.2 HA3 em G(n,3), n>4 64

Bibliografia 73

vii

Introdução

Nesse trabalho explora-se a seguinte questão: "Dada uma família a 1-parâmetro de germes

de aplicações F(x,t) : (Cn x C,0) (C / ; ,0), quais são os invariantes analíticos cuja constância

garante a Whitney Equisingularidade desta família"?

No caso p = 1, Tessier em [52] mostra que a sequência fi* = (hq, . . . , / !„) forma um conjunto

completo de invariantes para a Whitney equisingularidade.

Em [13], Gaffney resolve esse problema para a classe de germes de aplicações finitamente

determinados de tipo estável finito. Ele mostra que para se obter a Whitney Equisingularidade

desta família os invariantes são as multiplicidades das variedades polares, definidas por Tessier em

[53], associadas aos tipos estáveis e os invariantes O-estáveis.

O número de invariantes depende do par de dimensões (n, p) e em geral este é grande.

Por isso surge uma nova pergunta: "Fixado um par dimensões de (n,p) é possível minimizar a

quantidade desses invariantes"?

Também em [13], Gaffney responde esta pergunta para os pares (2,2) e (2,3). Para n = p = 2

os invariantes analíticos são: o número de cúspides, o número de dobras transversais e a segunda

multiplicidade polar do discriminante do germe. Para n = 2 e p = 3, Gaffney mostrou que o

número de pontos triplos, o número de guarda-chuva de Whitney, a segunda multiplicidade polar

da imagem do germe e a multiplicidade da curva de pontos duplos formam uma lista completa de

invariantes. Ruas mostrou em [49] que em alguns casos particulares, o número de pontos triplos,

o número de guarda-chuva de Whitney e o número de Milnor da curva de pontos duplos são

suficientes.

Jorge Pérez em [27] resolve esse problema para o par (3,3), reduzindo de 25 invariantes para

apenas 07. O caso n = p é resolvido em [28] por Levcovitz, Jorge Pérez e Saia e Jorge Pérez e

Saia exploram em [29] os casos (n,p) ,n < p.

Gaffney e Vohra em [22] caracterizam a Whitney equisingularidade para os pares (n, 2), com

n > 2, através dos números de Lê associados a uma hipersuperfície em C".

2

Este trabalho aborda o caso (n, 3), n > 4. Neste caso, de 6(n + 1) invariantes necessários para o

teorema de Gaffney, com os resultados obtidos mostra-se que este número é reduzido para 2(n + 2),

por exemplo, para o par (4,3) de 30 invariantes são necessários "somente"12.

O método aplicado neste trabalho é o mesmo de Gaffney em [13], a seguir é descrito um roteiro

pra a aplicação deste método.

I o Passo. Descrever quais são os germes estáveis em um par de dimensões (n,p) fixado. Com

o objetivo de estratificar a fonte e a meta por estes tipos estáveis.

Esta estratificação é feita em três conjunto, sendo dois destes na fonte.

- o conjunto singular (fonte);

- a imagem do conjunto singular, ou seja, o discriminante (meta);

- o fecho do conjunto dado pelos pontos da imagem inversa do discriminante que não pertencem

ao conjunto singular (fonte).

2o Passo. São obtidas relações entre invariantes. Para I.C.I.S. o Teorema de Lê-Greuel pode ser

aplicado afim de obter relações entre as multiplicidades polares e o número de Milnor do conjunto

singular. Para as hipersuperfícies sem singularidade isolada, trabalhar com os números de Lê é o

caminho.

3o Passo. Por fim, tendo obtido todas as relações possíveis, aplica-se a propriedade da semi-

continuidade superior para minimizar da quantidade de multiplicidades polares exigidas pelo Teo-

rema de Gaffney.

Este roteiro é aplicado neste trabalho nos capítulos 2, 3, 4 e 5.

O capítulo 6 é dedicado a um estudo sobre os invariantes de germes quase-homogêneos nas

dimensões (n,3), com n > 4.

São descritas fórmulas para o cálculo das multiplicidades polares do discriminante em termos

dos pesos e graus de quase homogeneidade e também do número de singularidade de tipo A3

do germe. A seguir é obtida uma fórmula para o cálculo do (JA3 em termos dos pesos e graus

e finalmente são descritas as multiplicidades polares do discriminante nas dimensões (4,3) em

termos dos pesos e graus.

Capítulo

1

Definições básicas e resultados.

1.1 Germes de aplicações e estabilidade.

O papel desta seção é inserir as notações que são usadas neste trabalho. As obras [55], [56], [23]

e [13] são algumas sugestões para um estudo mais profundo sobre os conceitos fundamentais da

Teoria de Singularidades.

Denota-se por áe(n,p) o conjunto dos germes de aplicações holomorfas / : ( C , 0 ) -» Cp e

por 0(n,p) o conjunto dos germes de aplicações holomorfas / : (Cn ,0) (C p ,0) .

Indica-se por S i (ação à direita) o grupo de germes de difeomorfismos da fonte (C n ,0) e

por (ação à esquerda) o grupo de germes de difeomorfismos da meta (C p ,0) . A ação do

produto (M x Jzf) := resulta na sé - equivalência entre germes de aplicação: f,g e á(n,p)

são sé - equivalentes se existem difeomorfismos na fonte, h : (C n ,0)—»(C",0) , e na meta, k :

( C p , 0 ) — > ( C P , 0 ) , tais que o diagrama

(Cn ,0) - U (C*\0)

h 4- *

( C . O ) - A (C^,0)

comuta.

Neste caso, g está na sé - órbita de / pela ação do grupo sé.

Um germe de aplicação / £ é?(n,p) é k - sé • determinado se para todo g £ &(n,p) tal

que jkg(0) = jkf(Q) tem-se que g é sé - equivalente a f t f é sé - determinado se é k - sé -

determinado para algum k < Reserva-se a frase finitamente determinado para dizer que um

germe é sé - determinado.

1.1 Germes de aplicações e estabilidade. 4

Uma deformação a s-parâmetros de um germe de aplicação / : (C",0) -» (C p ,0) é um germe

de aplicação em é?(n + s,p),

/ : ( C " x C , ( 0 , 0 ) ) ( € p , 0 )

(x,u) f(x,u),

tal q u e / ( * , 0 ) = / ( * ) .

Um desdobramento a s-parâmetros de / é uma aplicação em 6{n + s,p + s),

F : (C" x C , (0,0)) (Cp x Cs, (0,0))

(u,x) v-*F{u,x) = (uj{u,x)),

onde / é uma deformação do germe / .

F é um desdobramento trivial de / se existem desdobramentos a s-parâmetros, R, da iden-

tidade em C" e L, da identidade em Cp, tais que L o F o J ? - 1 = ( i d , f ) , onde id é a aplicação

identidade em Gv. Se R e L são homeomorfismos diz-se que F é topologicamente trivial.

Dois desdobramentos a s-parâmetros de / , Fj e F2, são isomorfos se F2 é igual a composição

Lo F\ oR~~l, onde Le R são desdobramentos das identidades na fonte e na meta, respectivamente.

Um desdobramento F2 a s-parâmetros é induzido de um desdobramento F\ = (id,f) a t-

parâmetros se existe uma aplicação h : (C J ,0) (C',0) tal que F2 é igual a /**Fi = ( i d , f ( h ( s ) , x ) ) .

F é um desdobramento versai de / se todo desdobramento de / é isomorfo a um desdobra-

mento induzido de F.

Um germe / é estável se todo germe em uma vizinhança de / é srf- equivalente à f .

Mather em [40] e [41], desenvolveu a teoria sobre estabilidade de germes de aplicações. Seu

principal resultado é a caracterização de germes estáveis através de desdobramentos versais.

Proposição 1.1. [40] Um germe de aplicação é estável, se e somente se, para qualquer k, todo

desdobramento a k-parâmetros de f é trivial.

Em particular, tratando de multigermes, tem-se o seguinte resultado,

Teorema 1.2. [40] Seja S = {JCJ , • • • ,xm} € Cn, e suponha que f(x\ ) = ••• = f{xm) = z. Seja Ai

o germe em x, do conjunto {jc 6 C" tal que o germe defemxéstf-equivalente ao germe de f em

Xj}. Então o multigerme f : (C",S) ( C p , z ) é estável se e somente se:

1.1 Germes de aplicações e estabilidade. 5

(i) cada germe f : (C n,Xi) (C p,z) é estável, para 1 <i<m,

(ii) o germe de aplicação f x • • • x f : (A\ x • • • x Am,(xu-• • ,xm)) -> (Cp)m é tranversal ao

conjunto AM>/? := {(zi, • • • zm) <E (Cp)m |z; = zj para todo i, j}.

O resultado a seguir caracteriza quando dois germes estáveis são só- equivalentes.

Proposição 1.3. [40] Suponha que f , g G @{n,p) são estáveis. Então f é a?-equivalente a g, se e õ 6

somente se, — n • é isomorfo a - onde f e gi são as funções coordenadas de f e \JU---Jp) {gl,---,gp)

g, respectivamente.

O próximo teorema relaciona determinação finita com estabilidade. Este resultado é válido

para a classe dos germes de aplicações X - finitamente determinados [ver [[56], p.201] para mais

detalhes desse grupo de Mather],

Teorema 1.4. [40] Seja f : (C ' ,0 ) -> (Cp , 0) um germe de aplicação X-finitamente determinado.

Então este germe é srf-finitamente determinado se, e somente se, para cada representante de f ,

existe uma vizinhança u de 0 em CP e V de 0 em Cp tais que se y Ç- V - {0}, f ~1 (>') D Ey H U =

{xj,...,xr}, então o multi-germe de f em {jti,... ,xr} é sí-estável.

Um tipo estável é uma classe de s é - equivalência entre germes estáveis. Um germe finitamente

determinado / tem tipo estável discreto se existe um desdobramento versai de / no qual ocorre

um número finito de tipos estáveis. Se o par (n,p) está nas boas dimensões de Mather, o que é

válido para o caso proposto (n, 3), com n > 4, ou em sua fronteira, então todo germe finitamente

determinado / e á(n,p) tem tipo estável discreto.

1.1.1 Ideais Jacobianos.

Nesta seção trata-se os ideais jacobianos iterados definidos por Morin em [45]. Aqui é seguida a

abordagem desenvolvida em [47],

O principal motivo para o uso desses ideais neste trabalho é o fato que estes definem as var-

iedades de Thom-Boardman, contidas no conjunto singular £ ( / ) . Estas variedades são denotadas

por £ ' ( / ) onde i é o número descrito abaixo (detalhes em [6]).

Dados n, p > 1, denota-se por p) o conjunto dos números de Boardman nessas dimensões.

Um vetor i = (/ ' i , . . . , 4) , de números inteiros positivos, é um número de Boardman se satisfaz as

seguintes condições:

1.1 Germes de aplicações e estabilidade. 6

(i) k> 1;

(ii) n>h>...>ik> 0;

(iii) h>n- p\

(iv) se i\ = n — p então i\ = Í2 = . . . = ik-

Dada uma matriz U = (uij) com entradas em Õn e um inteiro t > 0, denota-se por It (U) o ideal

gerado pelos menores de ordem t em U. Quando a matriz U é de ordem p x q e t > min{p,ç},

convenciona-s eIt(U) = {0}.

Em particular, se / : (C",0) (C p ,0) é um germe de aplicação analítica, It(d(f)) é o ideal

gerado pelos menores de ordem t de sua matriz jacobiana, d ( f ) .

Seja / : (C n ,0) —>• (C p ,0) um germe de aplicação e I um ideal de â n gerado pelos elementos

g\,... ,gr £ I. Para cada m e { 1 , . . . , n ) define-se a extensão jacobiana, de posto m, do par ( / , I)

como:

Am(f,I)=I + Im(d(fl,...,fp,gU...,gr)).

Quando m> n, convenciona-se A m ( f , I ) = / .

Sejam / : ( C , 0) —> ( C p , 0) germe de aplicação analítica e i = (i\,..., i*) e p). Define-se,

indutivamente, a extensão jacobiana iterada de / em relação a i, como segue.

K-ik+i ..,.*(/)) se k> \

Além disso, define-se o número c , ( / ) por

d ( f ) = d im c Ji(f)

Quando seleciona-se um conjunto fixo de coordenadas x n , . . . ,Xjr de C pode-se construir a

extensão jacobiana A m ( / , / ) considerando as derivadas parciais em relação as estas coordenadas.

Nesse caso, denota-se a extensão jacobiana por A O T ( / , / ;*n , . . . a extensão jacobiana iterada

por Ji(f-,xn,... ,xir) e Ci{f\Xi\,... ,xir) a multiplicidade.

1.2 Equisingularidade de Whitney. 7

Proposição 1.5. [47] Suponha que f : C n , 0 —>• € p , 0 seja um germe de aplicação dado por

f(u,x) = (u,g(u,x)), para u G C r , x G e seja i — (i\,.. ,,ik). Então

. 0 , se i\> n — r Ci(f) =[

Ci(g;x), se i\ <n — r

1.2 Equisingularidade de Whitney.

No estudo da Whitney equisingularidade entre famílias de aplicações o primeiro passo é a deter-

minação de estratificações de Whitney em conjuntos analíticos.

Uma estratificação de Whitney de um espaço analítico é uma estratificação tal que para qual-

quer par de estratificações S,S' com S' Ç S, o estrato S é Whitney regular ao longo de S1. Ou seja,

o par S,S' satisfaz as condições (A) e (B) de Whitney, a saber,

(A) Para qualquer sequência de pontos yi G S convergindo para um ponto y G S' com a pro-

priedade de que as direções dos espaços tangentes TsJi convergem para um hiperplano T, tem-se:

TS',y c T-

(B) Dadas sequências de pontos >•/ e 5 e zi G S' com yt y e n — y e tais que converge

para um plano T e a direção da secante ziyl G K" + 1 converge para /, tem-se l c T.

O tipo topológico permanece constante ao longo de cada estrato da Whitney estratificação de

um espaço.

Uma estratificação de Whitney sempre existe no caso analítico complexo local (veja seção 01

de [20]).

Diz-se que um espaço X é Whitney equisingular ao longo de um subespaço Y C X, não singular

em 0 G x , se existe uma estratificação de Whitney de X com Y como um estrato.

Sejam A e B subespaços lineares na origem de CN. Define-se a distância de A para B como,

dist(A,B) = sup „ € f i M o } I M I ||v|| v6 A —{0}

Usando esta distância, a condição A de Whitney pode ser vista de outra maneira. Sejam 5,5 '

como acima, se esse par satisfaz

dist(Ts'io, Ts.v) < C.dist(s, S')e, para todo x próximo de S' (*)

1.2 Equisingularidade de Whitney. 8

então diz-se que o par 5, S' satisfaz a condição A de Whitney com expoente e e 0 £ S'.

Se / é um germe de uma aplicação analítica definida no fecho de um estrato S, a condição A

relativamente a f é obtida substituindo o espaço tangente a S, em (*), pelo espaço tangente a

fibra de / , nos pontos onde / é uma submersão sobre sua imagem. Neste caso, a condição A é

denotada por Af e é conhecida como condição Af de Thom. Em particular, quando trata-se de

uma deformação ft, denota-se a condição A/ por At.

Quando e = 1, em (*), diz-se que esse par satisfaz a condição W de Verdier (veja [54]).

Analogamente a condição A, a condição W relativamente a f é denotada por Wf (ou Wt).

Outra definição usada neste trabalho é a definição de espaço conormal. Um espaço conormal

de um dado espaço analítico Y ÇCN, denotado C(Y), é o fecho em C^ x tf>N-{ dos pares (>', H),

onde y é um ponto regular (suave) de Y e H é um hiperplano tangente a Y em tal ponto. Como

C(F) guarda informações sobre hiperplanos tangentes limitantes a Y isto tem um papel importante

quando trata-se das condições de equisingularidade. O espaço conormal relativamente a f (como

acima), denotado por C(Y,f) é o fecho do conjunto de pares (y,H) em C^ x p ^ - 1 onde / é uma

submersão em y e Y e H é um hiperplano tangente a fibra de / em y.

1.2.1 Estratificações de Aplicações.

A estratificação definida a seguir é essencial quando trata-se das condições de regularidade de

Whitney para um desdobramento F.

Se F : C" -» Cp é um morfismo e A Ç C",A' Ç Cp são subconjuntos tais que F(A) Ç A',

então uma estratificação de F : A —> A' é um par sé') de estratificações de A e A' respecti-

vamente tal que F aplica submersivamente estrato em estrato. Uma dada estratificação (sé, sé')

de F é uma estratificação regular se sé, sé' satisfazem as condições de regularidade de Whit-

ney e todos os pares de estratos que aparecem na fonte satisfazem a condição Af de Thom. Se

F = { f t } é um desdobramento com eixo de parâmetro T, então uma estratificação regular de F é

chamada estratificação Whitney equisingular ao longo de T se T é um estrato de sé e de sé' e as

estratificações sé e sé' são Whitney equisingulares ao longo de T. Neste caso diz-se que F é uma

aplicação Whitney equisingular.

1.3 Desdobramentos: bom e excelente. 9

1.3 Desdobramentos: bom e excelente.

Nesta seção são introduzidos os desdobramentos bom e excelente, que são necessários para o

resultado de Gaffney.

Um desdobramento F a 1-parâmetro de / é um bom desdobramento se existem U eW,

vizinhanças da origem em C x Cn e C x Cp respectivamente, tais que = U, F aplica

UílLf-TemW-Tese (t0,y0) eW-T, onde 5 = F'l(t0,y0) OLF e T = C x {0}, então o

germe ftQ: ( C , S ) -» (C",yo) é um germe estável.

Esta condição "ser bom desdobramento"é uma das exigências para que o desdobramento F não

satisfaça a propriedade "coalescing".

Um desdobramento satisfaz a condição "coalescing"se existe um arco de pontos, C(t), na fonte

(ou na meta) cujo fecho inclui a origem onde o germe de aplicação ft em C(t) não é equivalente

ao germe de ft em qualquer ponto em uma vizinhança. Se F é um bom desdobramento então a

propriedade "coalescing"pode apenas ocorrer em pontos da fonte de ft onde / , tem singularidade

estável 0-dimensional.

A seguir é desenvolvido o conceito de invariante 0-estável, cuja constância em um bom desdo-

bramento garante que a condição "coalescing"não ocorre.

Diz-se que um tipo estável aparece em F se para qualquer representante F = (id,fu(x)) de

F existe um ponto (s,y) e Cs x Cp tal que o germe fu : (C n ,S) —> (Cp ,y) é um germe estável de

tipo onde S = f~1 (y) D £(/«). Os pontos (s,y) e com x £ S são chamados de pontos de

tipo estável «S na meta e na fonte, respectivamente.

Se / é estável denota-se o conjunto de pontos em C s x C p de tipo por J2(f) e o conjunto

£ s ( f ) = r l W ) ) - ^ ( f ) , onde = f ~ \ £ ( f ) ) n L ( f ) .

Se f é finitamente determinado denota-se por ã ( f ) = ({0} x C p)n£(F), J3s(f) = ({0} x

C" ) f l ^s(F) e £ z ( f ) = ({0} x C") C\ãz{F), onde a barra sobre estes conjuntos significa o fecho

destes.

Diz-se que £} é um tipo estável 0-dimensional para o par (n, p) se jS{f) tem dimensão 0 onde

/ é um representante do tipo estável B .

Suponha que J3{F) = {p\,... ,pr} é o conjunto de pontos de tipo 3 para um desdobramento

versai F de / . O invariante 0-estável do tipo J3 de / , denotado por m ( / , £t) é a multiplicidade do

ideal m s G - ã T l f í m em i WBV (n 0\, ver seção 1.4 para definição de multiplicidade.

1.4 Multiplicidades e anéis Cohen-Macaulay. 10

Observe que £l(F) é um conjunto analítico fechado uma vez que

J ( F ) = n F ( j P + 1 F ~ l ( ^ ) )

onde zí é o (p + l)-jato do tipo estável £ e sézi é a órbita (^-órbi ta) de z,.

É mostrado em [[13], p.208] que tipos estáveis na fonte e na meta formam uma estratificação

regular da fonte e da meta, isto é, satisfaz as condições de Whitney.

Diz-se que um bom desdobramento é excelente se f é finitamente determinado de tipo estável

discreto e os invariantes 0-estáveis são constantes em F; se n = p então adiciona-se a exigência

que o grau de / deve ser constante para que o desdobramento seja excelente. O resultado (3.6) em

[[13], p. 192] mostra que um desdobramento excelente não satisfaz a propriedade "coalescing".

1.4 Multiplicidades e anéis Cohen-Macaulay.

Tópicos de Álgebra Comutativa servem como fio condutor para o desenvolvimento de diversas

linhas de pesquisas, em particular aqui seu uso foi fundamental. Dentro da densidade de conteúdo

que a Álgebra Comutativa oferece, alguns resultados são necessários para o desenvolvimento deste

trabalho, que a seguir são descritos. Para mais detalhes, [42] e [10] são sugeridos.

Seja R = ®N>ORN um anel Noetheriano graduado, R = RÇ, D RI D ... D RN D ..com RO

Artiniano e M um /?-módulo graduado finitamente gerado, então cada Mn tem comprimento finito

como /?o-módulo. Define-se série de Hilbert de M a série formal

P(M,t)=Y,l(Mn)tn

n> 0

onde /(M„) é o comprimento de Mn como /?o-módulo, Vrc > 0.

Se M é um /("-módulo graduado finitamente gerado de dimensão d, suponha que R seja gerado

sobre Rq por elementos de grau 1. Então existe um único polinómio QmÍ1) £ Z[t,t~1}:

V 7 (1 -t)d

Sob estas hipóteses, define-se multiplicidade de M como o número e(M) = Qm( 1) 0.

Quando R é de dimensão 0 então e(M) é igual ao comprimento 1{M) de M.

Se R é um anel Noetheriano local e m seu ideal maximal, um ideal / C R é de definição se

1.4 Multiplicidades e anéis Cohen-Macaulay. 11

existe k > 1 tal que mk Ç I. Se M é um /?-módulo finitamente gerado, define-se a multiplicidade InM de M em relação a I, e(M,I), a multiplicidade do anel graduado gn(M) = 8n>o/n+1^-

Quando M = R denota-se e(I,R) por e(I) e este número é chamado de multiplicidade de / . Se

I = m, então e(m,R) é denotado por e(R) e é a multiplicidade de R.

Se (R,m) é um anel local de dimensão d e I C R é um ideal de definição de R, tem-se que

e{I) > 0 e e(l) = l i m „ ^ ( d \ / n ã ) l ( R / I n ) , em particular, e(J) = l(R) quando d = 0.

Seja (R,m) um anel local, Af um /?-módulo e I um ideal em R. Uma sequência de elementos

x\,... ,xn contida em I é M-reguIar se x\ não é divisor de zero em M e X{ não é divisor de zero em

M / , x í ) M , V i = 2,...,N.

Se I = m e M = R, diz-se simplesmente que x\,...,xné uma sequência regular.

Suponha que (R,m) seja um anel local, M um /?-módulo e I um ideal em R. Uma sequência

M-regular x\,...,xn em / é maximal quando JCI , . . . ,xn,x não é uma sequência M-regular, para todo

x£l.

Toda sequência M-regular maximal contida em I tem o mesmo número de elementos. Este

número é chamado profundidade de / em M, e denotado por depth(/, Af). Se I é ideal maximal m

de R, depth(m,M) é denotado por depth(Af) e é chamado de profundidade de Af. Ainda, se Af = R,

escreve-se apenas depth(7).

Se d — dimA/ e JCJ , . . . , JC é uma família de elementos de R que gera um ideal / tal que

d i m ^ = 0, então x\,... ,x(i é chamado um sistema de parâmetros de Af. Se I é gerado por

um sistema de parâmetros x\,... ,xj de Af, I é um ideal de parâmetros de Af. Toda sequência

Af-regular é parte de um sistema de parâmetros e portanto

depthAf < dimAf.

Diz- se que Af é Cohen-Macaulay quando depthAf = dimAf, um anel R é Cohen-Macaulay se

R é um módulo Cohen-Macaulay sobre si mesmo.

Seja R um anel local. R é um anel regular se o ideal maximal de R é gerado por um sis-

tema de parâmetros. Todo anel regular é Cohen-Macaulay. Neste caso as seguintes condições são

equivalentes:

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental. 12

(i) R é Cohen-Macaulay;

(ii) e(I) = l(R/I), para qualquer ideal de parâmetros I de /?;

(iii) e(I) — l(R/I), para algum ideal de parâmetros 1 de R.

O Lema seguinte caracteriza uma classe especial de anéis Cohen-Macaulay.

Lema 1.6. [42] Sejam R um anel de Cohen-Macaulay de dimensão n, M — (ctj) uma matriz de

ordem p x q com entradas em R e Ir o ideal gerado pelos menores de ordem r de M. Então são

válidas:

(i) dim(/?// r) > n — (p — r \ ) ( q — r + \ );

(ii) Se d i m ( R / I r ) — n — (p — r + \)(q — r + 1), então R/Ir é Cohen-Macaulay (neste caso, Ir é

chamado um ideal determinantal).

Seja I — ( / i , • • - ,fd), o ideal gerado por f\,---,fd- Considere

V(I) = {x<E C n - , f i (x) = 0,Vi e {1,• • -,d}}.

Diz-se que X = V(I) é uma interseção completa, se o número de geradores do ideal I que de-

fine X é igual a codimensão de X em C". Assim os geradores deste ideal formam uma sequência

regular. Se X tem singularidade isolada, então X é chamado de interseção completa com singu-

laridade isolada, e abreviado para I.C.I.S.. Neste caso, como f\,-",fd formam uma sequência

regular, X é Cohen-Macaulay.

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental.

Nesta seção são descritas as multiplicidades polares e o Teorema de Gaffney que determina a Whit-

ney equisingularidade em desdobramentos excelentes em função da invariança das multiplicidades

polares e do número de pontos 0-estáveis.

A noção de variedades polares foi desenvolvida para estudar as singularidades de uma var-

iedade analítica. A idéia é com segue.

Suponha que / : X —> S seja um morfismo entre espaços anaíticos reduzidos tal que as fibras de

/ são suaves de dimensão d = dimX - dimS sobre o complementar de um subconjunto analítico

fechado F de X.

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental. 13

Pode-se mergulhar X C S x C ^ (ou Cp x C ^ se S é não suave) tal que o diagrama

X — S x C ^

V / 5

comute.

A k-ésima variedade polar, Pk(X,f), 0 < k < d, é obtida escolhendo uma projeção linear

Pk : C ^ —>• Cd~k + X tal que o núcleo de pk seja um subspaço D^-k+i onde D^-k+i é u m subespaço

linear de (C^,0) de codimensão d — k+1 < k < d — 1, calculando o conjunto dos pontos crítico

da restrição pk\(f~l(s) - (f~l(s) C\F)),\/s e tomando o fecho deste conjunto. Observe que

Po(X,f) = X pois a fibra de / tem dimensão d logo, todo ponto da projeção à Cd+l é crítico.

A projeção com a propriedade acima é chamada de projeção genérica.

O principal invariante de I\(X,f) é sua multiplicidade na origem, mo(Pic(X)), denotada por

mk{XJ).

Se fé uma aplicação constante Pk (X, f ) é denotado por Pk (X) e mk(X, f ) por mk{X) ,0<k<d.

As multiplicidades md(X) não podem ser definidas diretamente como as outras mk(X), 0 <k<

d — 1, pois as singularidades de p \X são pontos isolados. Gaffney em [[13], p.195] define um

novo invariante associado a um desdobramento versai F : C" x C4' —> Cp x Gv de / . Para um tipo

de singularidade estável ou estrato na fonte ou na meta tal que a dim £!(f) > 1, selecione

Di um subespaço linear de (C",0) (ou (C p ,0) se estiver trabalhando na meta) de codimensão 1

e forme Pj(£!(F)) a variedade polar de Jê(F) com a projeção (p, ks) : C" X C M C X C j onde

íf = d i m ^ ( F ) - j .

A d-ésima multiplicidade estável de / , chamada de d-ésima multiplicidade versai , do tipo

£ l ( f ) denotada por md(£}(f )) é a multiplicidade de m s ^ ^ í 0 em ^ ^ y ( 0

Os tipos O-estáveis aparecem no desdobramento versai F de / , portanto sua contribuição deve

ser analisada no cálculo da multiplicidade versai.

Em particular, para uma I.C.I.S., Gaffney em [[14], p.211] mostra uma fórmula para calculá-la.

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental. 14

Teorema 1.7. [5.8, [14]]. A d-ésima multiplicidade versai de (X,0) (X é um I.C.I.S. de dimensão

d) denotada por mci(X) é dada por :

md{X) — dim J{pJ)

onde f : (C",0) -> (C n " d ,0 ) , / " ' (O) = Xd e p : C C é uma projeção linear genérica.

O teorema a seguir é o resultado fundamental para o desenvolvimento deste trabalho. Para

demonstrá-lo, Gaffney usou fortemente a teoria sobre multiplicidades polares desenvolvida por

Tessier em [53].

Teorema 1.8. [[13], p.207]

Suponha que F : C x C n —> C x Cp seja um desdobramento excelente de f £ Ú{n. p). Então F

é Whitney equisingular se e somente se todas as multiplicidades polares de todos os tipos estáveis

definidos em:

1. conjunto singular Z(ft);

2. discriminante A(/,) = /,(L(/,))/

3.X(fl) = { f r l ( A ( f l ) ) - m ) ,

são constantes na origem para todo t.

Esse teorema continua válido se a hipótese "desdobramento excelente"for substituída pelo

termo "um desdobramento a 1-parâmetro que quando estratificado pelos tipos estáveis e pelo

eixo de parâmetros T, possui apenas o eixo de parâmetros T como um estrato 1-dimensional na

origem"(veja [22]).

Neste caso, Gaffney mostra que o desdobramento é topologicamente trivial. Para esta demons-

tração é usado o segundo lema de isotropia de Thom para aplicações analíticas complexas, (veja

[13], p.204).

Para finalizar esta seção é enunciado o Teorema de Lê-Greuel, que relaciona números de Mil-á

nor de I.C.I.S's com a dimensão de álgebras locais de tipo para algum ideal I de germes em

A ^^Yi O cálculo dessas dimensões é feito no anel das séries formais Se dimc — é finita então

dimc — = dimc—.

1.5 Invariantes Polares e Teorema Fundamental. 15

Teorema 1.9. [[32], p.47] Seja Xi um I.C.I.S. com singularidade em 0 G C. Considere X um

I. C.I.S definido em X\ por fk — 0, e sejam f\ os geradores do ideal que define X\ em 0 em

C". Então,

H{X i , 0 ) + / i ( X , 0 ) = dimc {f\, • • • ,fk-i,J{fi, • • • ,fk))

Capítulo

2

Germes e Multigermes estáveis de

Cn —>• C 3 , n > 4 .

Seguindo o roteiro apresentado na Introdução a primeira tarefa é encontrar os germes, monoger-

mes e multigermes, estáveis em 0(n, 3).n> 4. Na literatura, sabe-se a descrição destes apenas para

dimensões baixas. Para este caso específico foi preciso usar o software Transversal, cujo método

para obtenção de germes estáveis é a aplicação do lema de Mather, para mais detalhes consulte

[31].

Inicialmente, foram encontrados os monogermes estáveis em 0(n,3),n > 4. Os multigermes

estáveis são obtidos a partir de cruzamentos normais entre monogermes de dimensão apropriada.

As formas normais de cada um dos germes encontrados com o procedimento acima é mostrada

a seguir em duas tabelas. Em 2.1 são listados os monogermes e em 2.2 os multigermes.

Observe que em cada item, além da forma normal que caracteriza tal germe (a menos de

mudança de váriavel) é mostrado o tipo de singularidade A*, notação introduzida por Arnol'd

em [1]. Ainda é adicionado para os monogermes, seu tipo de singularidade EW, usando a notação

de Thom-Boardman (detalhes em [6]).

Considere (jci . • •,x„) G C" um ponto qualquer.

Tabela 2.1: Monogermes estáveis

Nome EM Ak Forma Normal

Submersão A0 (xhx2,x„)

Dobra £(«-2) AI

Eixo Cuspidal E(N-2,1) A2 (xi,x2,±x^±...±x^_l ±X%+XlXn)

Rabo de Andorinha £(«"2,1,1) A3

17

Tabela 2.2: Multigermes estáveis Nome Ak Forma Normal Pontos Duplos A (M) {(xi,x2,±4±...±xfi_l ±x%);

Cruzamento Normal de um Plano com 0 Eixo Cuspidal

A(l,2)

Pontos Triplos {(xhx2,±xj±...±x^_l±xzn);

{xi,±x%±x%±...±j%_l ±xh,x3);

Além da representação algébrica apresentada pelas tabelas anteriores, os germes estáveis pos-

suem um modelo geométrico. Veja isto nas figuras a seguir.

y -/ \

i . - -

Discriminantes dos tipos estáveis de dimensão 1

H L--T

Discriminantes dos tipos estáveis de dimensão 0

Cada germe estável é um representante de seu tipo estável (veja seção 1.1). Por isso, de

agora em diante, cada germe estável é referido por tipo estável. Assim: Ao é um tipo estável

3-dimensional, Ai é um tipo estável 2-dimensional, A2 e-A(i,t) são tipos estáveis 1-dimensionais e

A3, A(2)i) e A(! 11) são tipos estáveis O-dimensionais.

O próximo passo é estratificar a fonte e a meta por esses tipos estáveis. De acordo com o

Teorema 1.8 a constância das multiplicidades polares de cada tipo estável controla a Whitney

18

Equisingularidade. Tais estratificações são descritas abaixo.

O conjunto singular, denotado por £ ( / ) , é o conjunto de pontos í é C tais que J{f){x) = 0.

O discriminante de / , denotado por A( / ) , é a imagem por / do conjunto de pontos críticos.

Cada estratificação (fonte e meta) é formada pelas partes suaves dos conjuntos.

1. Conjunto singular £ ( / ) c C" (fonte)

1.1 conjunto singular £ ( / ) , 2-dimensional;

1.2 conjunto £( n~ 2 , 1 ) ( / ) , 1-dimensional;

1.3 conjunto dos pontos duplos D 2 ( / | £ ( / ) ) , 1-dimensional.

2. X ( f ) = ( / ~ i ( A ( / ) ) - £ ( / ) ) C C (fonte)

2.1 X ( f ) = ( f - l ( A { f ) ) - L ( f ) ) , (n-l)-dimensional;

2.2 Xi ( / ) = ( / " 1 ( / (£("" 2 ' 1 ) ( / ) ) ) - £ ( / ) n £(«-2.1) ( / ) ) , (n-2)-dimensional;

2.3 X2(f) = ( / - 1 ( / ( S ( " - 2 ' 1 ' 1 ) ( / ) ) ) - £ ( / ) n £ ( " - 2 ' 1 ' 1 ) ( / ) ) , (n-3)-dimensional;

2.4 X 3 ( / ) = ( / - 1 ( / ( D 2 ( / | £ ( / ) ) ) ) - £ ( / ) D D 2 ( / | £ ( / ) ) ) , (n-2)-dimensional;

2.5 X 4 ( / ) = ( / - 1 ( / ( A { i j 2 ) ) ) - S ( / ) n A ( 1 ) 2 ) ) , (n-3)-dimensional;

2.6 X 5 ( / ) - ( / - 1 ( / (Z ) 3 ( / | £ ( / ) ) ) ) - £ ( / ) H D 3 ( / | £ ( / ) ) ) , (n-3)-dimensional.

3. Discriminante A( / ) = / ( £ ( / ) ) C C3 (meta)

3.1 discriminante A( / ) = / ( £ ( / ) ) , 2-dimensional;

3.2 conjunto / (E^" - 2 ' 1 ) ( / ) ) , 1-dimensional;

3.3 conjunto / ( D 2 ( / | £ ( / ) ) ) , 1-dimensional.

Várias observações devem ser feitas a respeito das estraticações acima. Primeiro, note que os

tipos 0-dimensionais não aparecem nas estraticações do conjunto singular e do discriminante. Tais

tipos, ou seja, os 0-estáveis, aparecerem naturalmente quando calcula-se a multiplicidade versai.

Esse fato será visto nas demonstrações do próximo capítulo.

Ainda, os pontos de tipo Ao, submersão, são regulares e neste caso, os únicos de interesse são

os pontos múltiplos que aparecem no conjunto X ( f ) . Ressalta-se que os pontos de tipo Ai, dobras,

estão contidos em £ ( / ) .

A última observação é sobre a notação dos ponto duplos e triplos, denotados respectivamente

por D 2 ( / | £ ( / ) ) e D 3 ( / | E ( / ) ) . Essa notação foi introduzida por Goryunov em [25], seções 4 e 5.

Capítulo

3 Os invariantes dos tipos estáveis na meta.

A E nesse capítulo que inicia-se a minimização da quantidade dos invariantes polares. As relações

aqui obtidas relacionam as multiplicidades polares de cada estrato do discriminante tanto com o

número de Milnor do conjunto singular como com os números de pontos tipos O-estáveis. Como

consequência da semi-continuidade superior desses invariantes segue a redução de sua quantidade.

Estas relações são obtidas seguindo o método utilizado por Gaffney em [13] para minimizar

a quantidade das multiplicidades polares para os casos (2,2) e (2,3). Além das definições de

multiplicidades polares, essas demonstrações usam fortemente o fato que que £ ( / ) e £ -"~ 2 , l ) ( / )

(somente quando / é de coposto 1) são I.C.I.S. já que sob esta hipótese o Teorema 1.9 pode ser

aplicado. Também é usado o seguinte resultado: seja / : (C",0) —> (C p ,0) um germe finitamente

determinado, então,

f : ( Z ( f ) c ( C , 0 ) ) - > ( A ( f ) c ( C , 0 ) )

é bimeromorfa, (veja [16]).

A partir de agora é assumido como hipótese que / € 3), n > 4 é um germe de aplicação

finitamente determinado.

Para um germe h e úe{n,r), J(h) denota o ideal gerado pelo conjunto de menores de ordem

m = min{n, r] da derivada de h. Se h e &e{n, r), J[h] denota o ideal gerado pelo determinante da

derivada de h.

O primeiro teorema relaciona as multiplicidades polares do discriminante, A( / ) , com o número

de Milnor do conjunto singular, £ ( / ) .

20

Teorema 3.1.

M2(A(/)) - m { ( A ( f ) ) +M 0 (A( / ) ) = JU(E(/)) + 1. (/)

Demonstração:

Primeiro escolha uma projeção genérica

pi : C3 C2

tal que o grau de pi |A(/) seja igual a multiplicidade de A( / ) na origem e tal que a variedade polar

Pi (A(/)) seja igual a Epi |A°(/); denota-se por m\(A(/)) a multiplicidade dessa variedade.

A(/ ) c C3

C2

Escolha também uma projeção genérica linear

p:C2^C

tal que o grau de ( p o p ! ) | / ^ ( A ( / ) ) seja mi(A( / ) ) .

Pode-se assumir ainda que a projeção (p o px) p2 seja também genérica e que defina a

variedade polar /^Af^/) ) , ou seja, P2(A(f)) = Lp2\A°(f); denota-se por m2(A(f)) a multiplicidade

dessa variedade.

A ( / ) C C 3

C

Agora defina

x2 = v ( P 2 o f j ( f ) y ,

Xi=V(piof,J(f)).

Observe que as variedades acima são I.C.I.S's pois Xi e X2 são interseções completas pela

própria definição e têm singularidade isolada porque estão contidas em V(J(f)) = £ ( / ) que por

21

sua vez tem singularidade isolada (pois L ( f ) - {0} é regular e locamente só ocorre dobra como

singularidade). Nestas condições pode-se aplicar o teorema 1.9 para X\ e X2 obtendo que:

H(x2) + n{Xi) = dimc f n — ( 1 )

(P2 0 fJ[fUJ[P\ ° f , J [ f } } )

Observe também que além de £ ( / ) ter singularidade isolada ainda é uma interseção completa,

ou seja, £ ( / ) é I.C.I.S.. Assim aplicando o teorema 1.9 para £ ( / ) = V(J(F)) e para X2 tem-se

/ i ( £ ( / ) ) + / i ( X 2 ) = dimc-(J(f),J{P2°f,J{f)))'

e então

Substituindo (2) em (1) resulta

e n ú n d i m c TTÍTTTÍ 7 KF\\\ ~ / * ( £ ( / ) ) + / i C y 1) = d i m c 7 , J ( .. T, rTTTvu- ( 3 ) ( K f ) , K p i ° /, J ( f w ( p i ° f , J { f ) , J { p \ ° f , J { f ) ) )

Sendo X\ I.C.I.S. 0-dimensional tem-se que

H ( X l ) = d e g ( p l o f , J ( f ) ) - l . (4)

Substituindo (4) em (3)

dimc W ) A P 2 ° f A f ) ) ) ~ " m ) ) - ^ ° f A f ) ) - ' =

d ' m c ( P 2 0 / , y ( / ) , J ( P l 0 / , y ( / ) ) ) - ( 5 )

A equação (5) é a base para encontrar a equação (I) a qual relaciona as multiplicidades polares

do discriminante. Na verdade tais multiplicidades estão implicitamente na equação (5). O objetivo

agora é mostrar onde estão.

Começa-se pela multiplicidade mo(A(/)).

22

Para isso considere o diagrama comutativo.

! ( / ) C C " - A A ( / ) C C 3

V ' o / >Í pi

(C2 ,0)

Já se tem que (pela escolha de p\) mo(A(/)) = deg(p\ |A(/)) . Por outro lado, como

/ : £ ( / ) —> A(/) é finita e bimeromorfa tem-se que

rfeg(Pl|A(/)) = d e g ( p , o / | E ( / ) ) = deg(P] o / , J ( / ) ) .

Portanto,

deg(p\ o / , / ( / ) ) = mo(A(/)). (i)

Trabalha-se agora com mi(A(/ ) ) . Considere a seguinte variedade

V' = V{J{f),J{pxof,J(f))).

Observe que / | V é finita e bimeromorfa e que se pode definir P\ (A(/)) de outro modo: seja

g : C 3 —> C tal que g _ 1 (0) = A( / ) e defina a seguinte aplicação.

H : C 3 C 3

( g W . p i W )

Observe que

V(H)\A(f)=Pl(A(f))i

ou seja

v(J[g,pMf}) = Pi(Mf)).

23

Com esta definição de P\(A(f)) e lembrando que V' = V(J(f),J(p\ o / , / ( / ) ) ) tem-se que V'

quando projetada para C por p2of resulta o mesmo que P\ (A(/)) quando projetada para C por p2.

\P2°f x P 2

c

Com isso tem-se

deg(p2of\V') = deg(p2\Pí(A(f))).

Também se tem que (por escolha de p2)

deg(p2\Px(A(f)))=mx{A{f)).

Portanto

ml(A(f)) = deg(p2of\V').

E como V' é I.C.I.S (e portanto o anel Úy é Cohen-Macaulay) segue que

0 deg(p2 o f\V') = dimc-, , r , " r m-

ÍP2 ° f,J[f],AP\ o f , J [ f } ] )

Ou seja

m (A(/)) = d im c , „ " TiTTm • (") (P2 o f , j [ f ] , J[pi o f , J [ f } } )

Finalmente deseja-se mostrar que

w 2 (A( / ) ) = dimc (Ali Ap2°L Af]})'

Esta tarefa é mais delicada pois essa é a multiplicidade em que a contribuição dos tipos 0-

estáveis aparece.

Primeiro escolha um desdobramento versai F de / , a s-parâmetros, então

F ; E F c C " x C — > A F c C 3 x Cs

(x,u) I—• (f(x,u),u) = (fu(x),u).

24

Observe que LF é uma hipersuperfície em C" x C1.

Usando a linearidade da projeção genérica p2 tem-se que

L(((xs,p2)oF)\L(F)) = V(J[F},J[(7is,p2)oF,J[F}}) = VcCnx C.

O invariante «12(A(/)) é controlado pelo grau da projeção (ns,p2)\V, ou seja, pelo compri-

mento e j ( f ) do ideal maximal ms na meta ás. Isto é dado por

e Á f ) = i i m c W ] A P 2 ° f A f ] ] y

Veja que as possíveis componentes de V são os fechos dos seguintes conjuntos:

F'í(P2(A(F),ns)),F-'(A3),F-l(A{h2])cF-1(A{XX{)).

Agora precisa-se contar a contribuição para o grau da projeção (7ts,p2) restrita a cada uma

dessas componentes.

Para tais cálculos escolha uma parâmetro genérico u e vizinhanças U2 C C" x C'ç,U\ C G5

tais que para todo ponto pertencente a U\ existam ej ( / ) pré-imagens em V D U2 contando com as

multiplicidades.

Tem-se então

V1 H' &s+n,x y ••

ks mC (ms,J(f),J((ns,P2)°Mf))) ~ J{fu))Y

onàtS = ns-x(0)nV.

Observe que pela genericidade do parâmetro u podemos supor que fu é estável. Para contar as

contribuições daquelas componentes usa-se as formas normais dos tipos estáveis (veja a seção 2). Contribuição dos tipos O-estáveis:

• Tipo 0-estável A3

Forma normal:

fu{x 1 ,x2, • • •, xn

25

Tem-se que

J(fu) = + lx2xn+x\) .

Ainda supondo que a projeção seja tal que P2(x,y,z) = y tem-se que

(P2°fu)(xi,...,xn) =x2.

Logo,

(J(fu)J(p20fu,J(fu))) =

(*3, • • • ,*n-i,4x„3 + 2x2x„ +xi,J(x2,xjn... ,xn_i,4x„3 + 2x2xn+xi)) =

(x 3 , . . . ,x„_i,4x„3 + 2x2xn + xi,..., 1) .

E então

dimr n ,x c

Wu),J(P2°fu,J(fu)))

^^tx X dim c — — = 0. \*3, • • • ixn-\,4x„3 + 2x2Xn +X\,..., 1)

E isto significa que a contribuição deste tipo estável é nula.

Tipo 0-estável A^ 2)

Forma normal:

fu(x 1

( l l , x 2 , ± ^ ± . . . ± ^ _ | ± X ^ + X ] X n ) } .

Para calcular esta contribuição observe que o ideal J{fu) é gerado pelos geradores dos ideais

jacobianos dos germes que definem /„. Isto é, por

Assim,

j ( f u ) = = (X{ ,X2,X3,...,Xn-i,Xn) .

Consequentemente

Wu),J(P20fu,J(fu))) =

(.ti , X21 x$,..., 1, xn, y(^2, Jíl, X2, X3, . . . , Xn_ 1, ) =

Portanto,

(-Ç], X2, X3, . . . , Xn— | , xn, 1) .

dimc Wu),J(P2°f«,J(fu)))

d i m c 7 — 7 7 = 0 .

E segue que a contribuição do tipo estável Á^>2) é nula.

Tipo 0-estável A (] j j)

Forma normal:

f u ( x \ , x 2 , . . . , x n ) = {{x],x2,±x^±...±x2n_l ±x^)\

±x2n,x3);

Novamente para calcular esta contribuição note que o ideal J{fu) é gerado pelos

dos ideais jacobianos dos germes que definem fu.

Logo,

j{fu) = (xux2,x3,...,xn-i,xn) .

Consequentemente

(J(fu),J(P2ofu,J(fu))) =

(-"•1 ix2ix3> • • • ixn— 1 • • • ixn—\ )Xn)) =

(-*•!15-"-3 j • • • ixn—\ ixni 1) •

Portanto í /2 X

imC Wu)AP2ofu,J(fu)))

dim c t — TV = 0.

Assim a contribuição do tipo estável ] i) também é nula.

Portanto as componentes de V estão no fecho de F "'] (/^(A(F), 7ts)), daí

^ = (HtíAMm = Mas F |V é finita e bimeromorfa, logo

deg({{xs,p2)oF)\V) = deg((KSiP2)\P2{A{F),Ks)) = m2{A{f)).

Por outro lado

, , ( / ) = d im c W ) A ^ f A f ) ) y

Logo

mi{A(/)) = d im c T l ( n ^ .

28

Substituindo, (i), (ii) e (iii) na equação (5) obtém-se (I), ou seja:

M2(A(/)) - m i ( A ( / ) ) + m 0 (A(/ ) ) = M (E( / ) ) + 1.

•

Daqui em diante, considere que / é finitamente determinado e de coposto 1.

A seguir é mostrado como obter o ideal jacobiano, 2 de definição do conjunto e("~2>!) ( / )

[ver seção 1.1.1],

Observação 3.2. Se / é de coposto 1 observe que / pode ser escrito da seguinte forma:

f(x \,x2,...,xn) = (xhx2,g(xux2,...,xn)).

Então,

J{n-2,l)(f)=InW,I3(d(fm,

onde d(h) denota a matriz jacobiana de h e IS{M) é o ideal gerado pelos menores de ordem s da

matriz M.

Portanto, /(„_2 ,i)(/) é dado por

J(n-2,\){f) = (8x3,8x4, • • -,gxn,M),

onde gXi denota a derivada parcial de g em relação a x , e M é o determinante:

•• • Sx-iXn

8X4XJ • • • gx$xn

gx„x 3 • • • gx2

com gXjXj denotando a derivada parcial de gXi em relação a xr

A seguir é obtida a relação para as multiplicidades polares de / ( Z ^ 2 ' 1 ^ / ) ) . Como este con-

junto é 1-dimensional, existem 2 multiplicidades polares. A relação entre estas, além de envolver

o número de Milnor, envolve o número de singularidades de tipo A3, denotado por tf A 3.

29

Teorema 3.3.

mo{f(^n 2 , l \ f ) ) ) 2 '^ ( / ) ) ) = tt 3 — + 1, (//)

Demonstração:

Para obter a equação (II) novamente usa-se uma equação base obtida aplicando o Teorema 1.9

onde uma das exigências é que as variedades envolvidas sejam I.C.I.S.

Primeiro como / é finitamente determinado segue que ! ( / ) tem estrutura reduzida e

como f é de coposto 1 tem-se que I^n~2^(f) = V(J{n_2,i)(f)) é I.C.I.S.

Agora, escolha uma projeção genérica linear

p\ : C 3 C,

de modo que X := lín~2^\f) n [p\ o / " 1 (0)) seja I.C.I.S. e que

moif^-^Hf))) = deg(Pl\(f(Z{n-2>l)(f)))) = ! ) ( / ) , o f ) .

/ ( E ( « - 2 , i ) ( / ) ) c C 3

C

Aplicando o Teorema 1.9 para E^""2-1) ( / ) e para X obtém-se que

f f M 1>(/)) + IL [X) = dimc ^ " m ^ • (1)

\J(n-2,1) (/ ) v 1 ) (/ ), Pl ° f\)

Esta última equação é a base para encontrar a equação (II).

Primeiro observe que X é um I.C.I.S. 0-dimensional então

H{X) = d im c jz % " 1 = deg((pi o/)|I(-2.')(/)). \J(n—2,\)U) i Pi ° f )

Mas ( / ) é bimeromorfa e finita então

30

deg((Plof)\r~2'l(f)) = deg(px\f(Ln-^(f))).

Por outro lado, pela escolha de p\,

Logo

deg((p{ O m ^ X f ) ) = mo(fÇL^Xf))).

E portanto

/i(X) = d im c 77 77. - 1 = m 0 i f ( p n ~ 2 ' l ) i f ) ) ) ~ 1-

ú Em particular observe que mo{f ( f ) ) ) = dimc " (j(n-2,l)(f),Pl°f)'

O próximo passo é trabalhar com m \ { f ( ^ n ~ 2 ' l \ f ) ) ) para encontrar o restante da equação (II).

Mas como dim(/(E"~2 '1 ( / ) ) ) = 1 não se pode esquecer que é neste nível que os tipos 0-

estáveis aparecem, portanto precisa-se contar a contribuição de cada um desses tipos 0-estáveis

para ( / ( E ^ 2 - 1 ) ( / ) ) ) .

Para isso, tome um desdobramento versai F de / , a .s-parâmetros.

F : Zn~2'l(F) c Cn x C4' — F ( i r ~ 2 > l ( F ) ) C C 3 x C

(x,u) I—> (f(x,u),u) = (fu{x),u).

Pela linearidade da projeção genérica p\ tem-se

m^,Pi)o F)\Ll»-2>l\F)) = V(J(n_2fi)(F),J((ns,pi)oF,J(n_2ii){F))) = VcCnx C\

E então o invariante m \ ( f ( ^ n ~ 2 , l \ f ) ) ) é controlado pelo grau da projeção ks restrita a V, ou

seja, pelo comprimento e j { f ) do ideal maximal ms na meta ús. Isto é dado por

e j ( f ) = dimc (J(n-2, \ ) ( f ) , J { P l ° f , J(n—2,1)(/))) '

31

As possíveis componentes dessa variedade V são os fechos dos seguintes conjuntos

Agora, para calcular o grau da projeção ( n s , p i ) conta-se a contribuição da projeção (%s,p\)

restrita a cada uma dessas componentes.

Para tal, escolha uma parâmetro genérico u e vizinhanças t/2 C C" x Cv, U\ c Cç tais que para

todo ponto pertencente a U\ existam <?,/(/) pré-imagens em V n t/2 contando com as multiplici-

dades.

Tem-se então que

e Á f ) = £dimc s+n,x

és (ms,J{n-2,l)(F),J((^s,Pi) oF,J{n_2A)(F)))

y ^jjj^ &n,x

x^S (J(n-2,\) (fu), J(Pl ° fu,J(n-2,1) (fu))) '

o n d e 5 = T r r H ^ n ^ -

Observe que pela genericidade do parâmetro u podemos supor que fu é estável. Para contar as

contribuições daquelas componentes usa-se as formas normais dos tipos estáveis (veja a seção 2).

Contribuição dos tipos O-estáveis:

• Tipo 0-estável A3

Forma normal:

f u ( x \ , X 2 , . . . , X n ) = ± X * ± X l X n ± X 2 j £ ) .

Tem-se que (veja a Observação 3.2)

onde M é o determinante

1 0 0 . . . 0 0

0 1 0 . . . 0 0

0 0 1 . . . 0 0

0 0 0 . . . 1 0

0 0 0 . . . 0 A

com A = 12xn2 + 2x2.

Portanto

J(n-2,1) (fu) = • • • ,x„_i,4x„3 + 2x2xn+xi, 12x„2 + 2*2) •

E então, supondo que a projeção p\ seja tal que p\(x,y,z) = y

(J(n-2,l)(fu),J(Pl°fu,J(n-2,\)(fu))) =

(x 3 , . . . ,x„_1,4x n3 + 2x2xn +xi,\2xn

2 + 2x2,

J(x 2 , X3,..., x„_ i, 4xn3 + 2x2xn + xi,12x„2 + 2x 2 ) ) .

Mas

J[x2,x3,... ,4x„3 + 2x2xnjrx\,\2xn

2 + 2 ^ ] =

0 l 0 0 0 . . . 0 0

0 0 1 o o . . . o o

0 0 0 1 o . . . o o

0 0 0 0 0 . . . 1 o

1 2xn O O O . . . O A

O 2 O O O . . . O B

com B = 24xn.

Logo,

J[x2 4Xn + 2x2xn + XI, 12x„2 + 2x2] = 24x„.

33

Portanto

(J{n-2,l)(fu),J(x2,J(n-2,\) (/«))) =

( x 3 , j c 4 , . . . , x n — i , A x n + 2x2X„ + x \ , I2xn2 + 2x2,24xn)

Consequentemente,

dim. c

dimc

(j(n-2,l){fu),j(x2,j(n-2,l)(fu)))

ti.x

<*3 ,X4 , . . . , x n _ i , 4 x „ + 2x2xn + Xi , 12xn + 2 x 2 , 2 4 x n )

dim c -, — r = 1. Y*"l j x2) 11 • • • : xn— 1 ixn)

Ou seja a contribuição do tipo estável A3 é 1.

Tipo 0-estável 2)

Forma normal:

fu(x\,x2,...,xn) = {(xu±4±xj±...±x2n_l ±x*,x3);

(xi,x2,±x^±...±xjl_i ±x3n+x\xn)}.

Considere

, X 2 , • • • , X n ) — ( j ^ l , ± ^ 2 ± ^ 4 i t . . . á z X „ _ i

f2(xi,x2,...,x„) = (xi,x2,±xl±...±^l ±x3n+xixn).

Para calcular esta contribuição observe que o ideal J(n-2,i) (./») é gerado pelos geradores dos

ideais jacobianos iterados i(„_2,i)(/i) e J(n~2,\){f2) dos germes que definem fu.

Mas

J(n-2,\){f\) = ( * 2 , * 4 , - • • , * « - 1 ,Xn,M),

onde M é o determinante

1 0 0 . . 0 0

0 1 0 . . 0 0

0 0 1 . . 0 0

0 0 0 . . 1 0

0 0 0 . . 0 1

Ou seja, M — 1.

Portanto

J(n-2,\)(f\) = 1)

E mesmo sem calcular J(n-2,\) (/2) pode-se afirmar que

Resultando dimc 'n,x

n—2,1

^H X dimc : — = 0. \X2i • • • )Xn, 1)

Implicando que a contribuição do tipo estável >1(1,2) é n u l a-

35

• Tipo 0-estável

Forma normal:

fu(xi,x2,...,xn) = {(xhx2,±x%±...±xjl_x

[xi,±x%±xl±...±xj;_l ±xji,x3);

{±x2l±xí

4±...±x2n_l±^x2,x3)}.

Considere

/1O1 , X2, . • • , Xn

Í2ÍXI ,X2, • • • ,Xn) — (jC] , ÍX4

h(x\ ) = (±xf ±x% ±...±4_l ±x2n,x2,x3).

Veja que J(n-2,\){fi) é i § u a ' a o^(«-2 , i )( / i) Qu e calculamos no caso anterior (A(12)), ou seja,

E pelo mesmo motivo do caso anterior segue que a contribuição do tipo estável ^(1,1,1)

também é nula.

Portanto

e j ( f ) = £dimc- ^ -~^deg({(KSlp,)oF)\V). {J(„-2,\)Uu),J{Plofu,J(n-2,l){fu)))

Do fato que F\V é finita e bimeromorfa, segue que

36

Por outro lado

e j ( f ) = d im c 6n

(j{n~2,l)(f),J(Pl°f,J(n-2,l)(f))y

Logo

m\ ( / ( I ^ 2 ' 1 ) ( / ) ) + «A3 = d im c \J(n—2,l) ( f ) i J { P \ ° f)J(n—2,1) (•/")))

Substituindo (i) e (ii) na equação (1) obtém-se (II), ou seja:

m 0

Corolário 3.4.

m 1 ( A ( / ) ) = m o ( / ( E " " 2 ' 1 ( / ) ) )

Demonstração:

Primeiro, observe novamente que se / e ^ ( n , 3 ) , « > 4 é um germe de aplicação finitamente

determinado de coposto 1 pode-se escrever / da seguinte maneira

/ ( * 1 , * 2 , = (xi,X2,g(xi,X2, ...,x„))

Consequentemente (veja Observação 3.2)

V 2 , ! ) ( / ) =

onde M é o determinante:

Sxjx„

Sx QXn

gxnx 3

Veja também que no decorrer das demonstrações dos Teoremas 3.1 e 3.3 obtém-se que

mi(A( / ) ) = dimc {P2°f,J(f),J{p\°f,J{f)))

m0(f(Zln-2>V ( / ) ) ) = d im c % = d im c

(J(n-2,1) ( f ) , P l ° f ) (J(n-2,l)(f) , P l ° f )

Observe que para mostrar a igualdade

m 1 ( A ( / ) ) = m 0 ( / ( L ^ 2 ' 1 ) ( / ) ) ) .

Ou seja

e n d i m c {P2°fAf)Apx o / , / ( / ) ) ) dimc {pi ° f , J ( / ) , m)

Logo, basta mostrar (pela genericidade das projeções) que

J { p x o f , J { f ) ) = (M).

Para isso veja que como / é de coposto 1 pode-se escolher p\ dada por

p\{y\,y2,y?i) = (yi,y2)-

Assim,

(p 1 °f)(xi,X2,...,x») = (xifx2),

e portanto

J(piof,J(f))=J(xhx2,J(f)) = (M).

38

Finalmente é obtida a relação para as multiplicidades polares de / ( D 2 ( / | £ ( / ) ) ) .

Como este conjunto é 1-dimensional, existem 2 multiplicidades polares. A relação entre estas,

além de envolver o número de Milnor, envolve os números de singularidades de tipo A3, de tipo

A(12) e de tipo j j), denotados respectivamente por {ÍA3, tJA(1)2) e ttA(i,i,i)-

Teorema 3.5.

2m0(/(D2(/|E(/))))-2m1(/(D2(/|E(/))))+M(/)2(/|I(/))) =

3 M ( l i 2 ) + 3ttA3 + 6 | j A ( 1 ) M ) + l . (IV)

Demonstração:

Inicialmente observe que como o estrato / ( Z ) 2 ( / | L ( / ) ) ) tem dimensão 1 tem-se as seguintes

multiplicidades polares a considerar:

mo(f(D\mf)))),mi(f(D2(mf)))).

Por 8.1 de ([13], p.209) e por ([53], p.294), tomando J = r(™3)0D2(f\z(f))> P o d e - s e escolher

uma projeção linear genérica p, p : C 3 —> C de modo que

e{J) = d e g { p o ( f \ m m m )

e

deg(p\(f((D2(m/m) = m{f(D2{f\L(f)))).

Mas f\(o2(f\z(f))) ~~ W ® u m recobrimento de duas folhas de / ( D 2 ( / | £ ( / ) ) ) — {0} e então

e { f ) = 2deg(p\mD2{mm)) = 2 m 0 ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) .

Portanto

2 m 0 ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) =deg(po(f\{D2(mf)))) = deg(po f,I2(f\Z(f))),

onde / 2 ( / | I ( / ) ) é ideal que define (£>2(/ |L(/))) .

39

Agora, considere os seguintes conjuntos

x2 = v ( i 2 ( m m = D 2 ( m f ) y ,

xl = v ( i 2 ( m f ) ) , p o f ) = D 2 ( m f ) ) n ( p o f ) - \ o ) .

Uma vez que D2(f\L(f)) é I.C.I.S. ambos os conjunto X2 e Xi também são I.C.I.S.. Logo, apli-

cando o teorema 1.9 para X2 e X\ obtém-se que

" W + " W = d i m C ( / 2 ( / | m h J [ p { m m p o f l y ( »

Mas X\ é I.C.I.S. O-dimensional, logo

fi{Xi) = deg(pof,I2(f\L(f))) - 1 = 2m0(f(D2(f\L(f)))) - 1. ( 2 )

Substituindo (2) em (1) tem-se

^ ( / W ) ) ) + W & U W i f i ) - . = ( / 2 ( / | £ ( / ) ) , y [ / ^ / | £ ( / ) ) , p o / i r (3)

Para finalizar esta demonstração é preciso provar que

Veja a seguir que essa igualdade surge naturalmente quando a multiplicidade

m 1 ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) é explorada.

Considere um desdobramento versai F de / , a s-parâmetros,

F : D2(F\Z(F)) C C x C s - > F ( D 2 ( F | £ ( F ) ) ) C C 3 X Ov

(x,u) I—> (f(x,u),u) = (fu(x),u).

40

Pela linearidade da projeção linear genérica p tem-se

L ( ( ( k s , P ) o F ) \ D 2 ( F \ L ( F ) ) ) = V ( I 2 ( F \ L ( F ) ) , J ( ( N s , p ) O F , I 2 ( F \ Z ( F ) ) ) ) = V c C n x C .

E a multiplicidade m\(f (D2(/|£(/)))) é controlada pelo grau da projeção ns restrita a V, ou

seja, pelo comprimento e j ( f ) do ideal maximal ms na meta ás. Isto é dado por

â n e j ( f ) = d im c ( / 2 ( / | E ( / ) ) , J [ / 2 ( / | E ( / ) ) , p o / ] ) -

As possíveis componentes de V são os fechos dos seguintes conjuntos:

Agora precisa-se contar a contribuição para o grau da projeção (7ts,p) restrita a cada uma

dessas componentes.

Para tais cálculos escolha uma parâmetro genérico u e vizinhanças t/2 C Cn x CS,U\ C Gv

tais que para todo ponto pertencente a U\ existam ej ( / ) pré-imagens em V fl í/2 contando com as

multiplicidades.

Tem-se então

e j { f ) = £ dimc ( m í ) / 2 ( F | E ( F ) ) ) / ( ( ^ ) o / , / 2 ( F | E ( F ) ) ) ) =

X"1 A'

ks(HfuWu))Apofuj\fumu)))y

onde S = 7rv_1 (0) fl V. Note que pela genericidade do parâmetro u podemos supor que fu é estável.

Primeiro observe que F~L{P\(F{D2(F\L(F))),NS)) contribui 2 m i ( / ( D 2 ( / | £ ( / ) ) ) ) para esse

grau. Novamente é necessário calcular a contribuição dos tipos 0-estáveis no cáculo do grau de

Contribuição dos tipos 0-estáveis:

Em [[25], p.378], Goryunov mostra que os conjuntos dos pontos duplos que aparecem em

uma suspensão de uma singularidade de tipo A* coincide com o conjunto de pontos duplos que

aparecem nesta singularidade antes da suspensão. Neste caso em particular, pode-se considerar os

germes estáveis em &(n,3),n > 4 como sendo suspensões dos germes estáveis em ^ ( 3 , 3 ) . Logo,

41

as contribuições de cada tipo 0-estável para esta multiplicidade polar coincide com as contribuições

de cada tipo 0-estável do caso ^ ( 3 , 3 ) . Tais contribuições já foram calculadas em [[27], p.l 1]: a

contribuição do tipo A 3 é 3, a contribuição do tipo A^ j 2) também é 3 e finalmente a contribuição

do t i p o A ( 1 1 1 ) é 6 .

Portanto, como

{ H f u W u ) ) A p ° f u , i 2 { f u W u ) ) ) )

<?n deg(((fts,p)oF)\V)

e F\V é finita e bimeromorfa, segue,

deg(((Ks,p)oF)\V) = deg((ns,p)\Pl(F(D2(F\L(F))),Ks)

2mx ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) + 3 ^ 3 + 3ttA(li2) + 6M(i,i,i)-

Por outro lado,

e j { f ) = dimc ( / 2 ( / | E ( / ) ) , 7 ( p o / , / 2 ( / | E ( / ) ) ) -

Logo

dimc < / 2 ( / | Z ( / ) ) , / ( p o / , / 2 ( / | E ( / ) ) )

2mi ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) + 3tfA3 + 3ttA(1)2) + 6tJA(1>1>1) (4).

Substituindo (4) em (3) obtém-se finalmente a igualdade (IV), ou seja:

2 m 0 ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) - 2 m 1 ( / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) ) + M(£ > 2 ( /^ ( / ) ) )

3ttA(li2) + 3|JA3 + 6tJA(1)1)1) + l .

42

Para finalizar este capítulo é dado um exemplo, usando o discriminante A( / ) , de como a semi-

continuidade superior das multiplicidades polares implica a redução da quantidade destas.

Observação 3.6. Como as multiplicidades polares são semi-contínuas superiormente, a relação

no Teorema 3.1 mostra que se m\(A(ft)) e (/ ,)) são constantes na família então ra2(A(/;)) e

mo(A(/ ;)) são também constantes na família.

De fato, tem-se as seguintes igualdades

m2(A(/,)) - m i ( A ( f t ) ) +m 0 (A( / ; ) ) = /i ( ! ( / , ) ) + 1

e

m2(A(/o)) - / « i (A ( /o ) ) +mo(A(/o)) = /Í(E(/O)) + 1.

Subtraindo uma da outra obtém-se,

(m2(A(/,)) -m2(A(/0))) - (m,(A(/0) -mi(A(/0))) + (m0(A(/,)) - m0(A(/0))) =

(liWt))-Hmo)))- (*)

Agora, se mj (A(/ í)) e /i (£( / , ) ) são constantes na família, ou seja,

m 1 (A( / ( ) )=m 1 (A( / 0 ) ) ,V í .

/ i (E( / t ) ) = M W o ) ) , V í .

Tem-se então que a equação (*) se reduz à

(m2(A(/,)) - m2(A(/0))) + (mo(A(/,)) - m0(A(/0))) = 0.

Mas pela semi-continuidade superior de ambas as multiplicidades

(m2(A(/,)) - m 2 ( A ( / 0 ) ) ) > O e ( m 0 ( A ( / , ) ) - m 0 ( A ( / o ) ) ) > 0.

E soma de parcelas positivas resultando zero implica que cada uma das parcelas é nula e então,

m2(A(/,)) = m2(A(/0)),Vr

mo(A(/,)) = mo(A(/o)),Ví

Ou seja, m2(A(/ ,)) e mo(A(/,)) são constantes na família.

Capítulo

4 Os invariantes dos tipos estáveis na fonte.

4.1 Invariantes dos tipos estáveis em L( / ) .

O conjunto £ ( / ) é uma superfície em Cn com singularidade isolada, ou seja é uma I.C.I.S. Sua

estratificação se decompõe em três estratos. O maior, de dimensão 2 é a parte regular de £ ( / ) e os

estratos 1-dimensionais são as partes regulares de e £> 2 ( / | £ ( / ) ) . Se / é de coposto 1

então E ^ - 2 ' 1 ^ / ) e D 2 ( / | £ ( / ) ) também são I.C.I.S.

Tessier em [[53], p.481] relaciona as multiplicidades polares de uma hipersuperfície X, com

singularidade isolada, aos números de Milnor f l ^ das seções planas, = { i ( X n H k ) , onde

Hk é um hiperplano genérico de dimensão k, pelas seguintes igualdades:

onde d = dim(X).

Gaffney em [[17], p.210] mostra que esse resultado também é válido para I.C.I.S.

Quando d = ke supondo que V(pi,f) seja um I.C.I.S. tem-se pelo teorema 1.9 e da definição

1.7 que

mk(X) = ^k+l)(X) + H{k)(X), 0 < k<d- 1,

md(Xd) = íl(Xd)np^( o) + n(xd),

onde / : (Cn ,0) (Cn~d,0), f~~l (0) = Xd e px : Cn C é projeção linear genérica.

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X ( f t ) . 52

Com isso obtém-se:

Teorema 4.1. Seja f £ 0 ( n , 3 ) , n > 4 um germe finitamente determinado. Então

m 2 (E( / ) ) - m i ( E ( / ) ) + m 0 (E( / ) ) = / i (E( / ) ) + 1. (/)

A /ém úÍ/SÍO, se f tem copos to 1:

m 1 ( E ( / ) ) = m 0 ( E ( " - 2 ' 1 ) ( / ) ) . ( / / / )

mi íZ^CriEÍ / ) ) ) - m 0 ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) = M 0 D 2 ( / | £ ( / ) ) ) - 1. (/V)

Demonstração:

Para demonstrar a primeira igualdade, como £ ( / ) é uma superfície com singularidade isolada,

de (*) tem-se que

mQ(L(f)) = ^ ( L ( f ) ) + ^0)W))- (1)

m 1 (E( / ) ) = M ( 2 ) W ) ) + M ( 1 ) (S( / ) ) . (2)

De (1)

(3),

e de (2)

^ 2 t o / ) ) = m , ( E ( / ) ) - M ( 1 ) W ) ) (4)-

Além disso de (**)

m 2 (Z( / ) ) = M ( E ( / ) n p 2 - 1 ( 0 ) ) + / x ( I ( / ) ) , (5)

então

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X ( f t ) . 45

m 2 (E( / ) ) -n(L(f)npíl{0)) = M(I ( / ) ) - (6)

Mas

M(E(/)np2-1(0)) = M ( 2 ) W ) ) , (7)

então substituindo (7) em (6)

m 2 ( E ( / ) ) - A Í ( 2 ) ( E ( / ) ) = M W ) ) . (8)

Agora substitui-se (4) em (8) resultando

m 2 ( E ( / ) ) - m 1 ( E ( / ) ) + M ( 1 ) (E(/ ) ) = M ( E ( / ) ) . (9)

Substituindo (3) em (9)

m2(£(/)) - mi (£(/)) + -mo(Z(f)) ~ 1 - M W ) ) ,

portanto tem-se a igualdade (I)

m 2 (E( / ) ) - m i ( E ( / ) ) + - m 0 ( E ( / ) ) = M ( E ( / ) ) + 1.

Suponha que / tenha coposto 1. Neste caso, £( n~ 2 , 1 ) ( / ) é uma I.C.I.S 1-dimensional e conse-

quentemente são válidas as propriedades (*) e (**), ou seja,

mo(E(" - 2 ' 1 ) ( / ) )=^ ( 1 ) (E( ' I - 2 ' 1 ) ( / ) ) + M ( 0 ) ( I ( n ~ 2 ' 1 ) ( / ) ) . (10)

Que é equivalente a

MW(L(n~2,l)(f}) = mo(L(n-2,l)(/)) _ ^ ( n )

também

m\ ( L ^ l \ f ) ) = p ( Z ^ l \ f ) n p ^ ( 0 ) ) + ^ - 2 ' l \ f ) ) , (12)

mas

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X ( f t ) . 46

^ " - 2 > l \ f ) n p i \ o ) ) = ^ \ z ( n - 2 ' l \ f ) ) . (13)

Substituindo (13) em (12)

mi (X^"-2'1) ( / ) ) = (l(""2.D ( / ) ) + j u ^ - 2 . 1 ) ( / ) ) . ( H )

Finalmente substituindo (11) em (14)

m i ( Z ( " ~ 2 , l ) ( / ) ) _ m o ( E ( n - 2 , l ) ( / ) ) = 2 , l ) ( / ) ) _ L

A igualdade (III) segue imediatamente da definição de multiplicidades polares e usando a gene-

ricidade das projeções.

Para encontrar a igualdade (IV) usa-se o mesmo processo utilizado para obter as equações (I)

e (II).

•

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X(ft).

4.2.1 Pré-requisitos.

0 conjunto X ( f ) é uma superfícies em C", possivelmente sem singularidades isoladas.

Neste caso, os principais invariantes usados para caracterizar a Whitney equisingularidade da

família à um parâmetro {X(ft)} (onde cada X ( f t ) é o fecho do conjunto ft~] (A(/,)) — £( / / ) ) são

os números de Lê. A seguir é dada uma breve introdução sobre estes invariantes e para mais

detalhes consulte [38], [18] ou [22],

Seja h : (C",0) —> (C,0) a aplicação que define um germe de espaço analítico reduzido (n-

1 )-dimensional X C C", ou seja X = 1 (0). Considere o Blowup B de C" ao longo do ideal

jacobiano J(h):

b:B = Blm

com divisor excepcional E := b~l(v(J(h))), onde v(J(h)) é o anulador de J(h).

A aplicação b é chamada aplicação de estrutura do Blowup e é um morfismo próprio.

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X ( f t ) . 47

Observe que B é igual ao fecho em C x T 1 do gráfico da seguinte aplicação

J : ( C " — v ( J ( h ) ) )

z ^ ( ( h Z l ) ( z ) : . . . : ( h Z n ) ( z ) ) .

Se Y é um germe de espaço analítico com estrutura reduzida, então um ciclo analítico em Y é

uma soma formal finita onde cada Wi é um subconjunto analítico irredutível de Y e o coe-

ficiente Ci associado a Wt é um inteiro chamado de multiplicidade algébrica de Wi. Em particular,

o divisor excepcional E é visto como um ciclo, denotado por [£], definido como X/c^W;], onde o

inteiro a é a ordem de anulamento de J(h) sobre a componente irredutível W, de E.

A multiplicidade na origem de um ciclo S := Y.ÍCÍ\WI] é definido como

mult^S^Ci(multo(Wi)). i

O morfismo b induz pela linearidade, um homomorfismo bchamado de "pushforward", do

grupo de ciclos sobre B para o grupo de ciclos na meta, da seguinte maneira: dado um ciclo

jL-Ci.b(Wi), se dimW; = dim(è(Wi))

0, caso contrário

Definição 4.2. Considere, Hj um hiperplano genérico j-dimensional. A variedade Polar Relativa

de h de dimensão k, com k = 0,..., n, denotada por Tk{h), é definida por:

Fn(h):=Cn, para k — n

Tk(h) := b(Hxn.. .nHn_knBlJ{h)£n), para k = l,...,n- 1

A k-ésima multiplicidade polar relativa de h, com k = 0,... ,n — 1, denotada por Yk{h), é

definida por

Yk{h) = multo^ih)).

É provado em [53] que esta multiplicidade é semi-contínua superiomente.

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X(ft). 48

Ainda existe um outro comportamento desses objetos, descrito na observação a seguir, que é

fundamental para demonstrar a proposição 4.7.

Observação 4.3. Se as coordenadas são escolhidas genericamente, então

r*(/0 = b(Hi n . . . n / / „ ^ n B i m c ) c y (h Z k , . . . , h Z n ^)

e a igualdade é válida em pontos regulares de h.

Da descrição acima tem-se que a curva polar relativa (k = 1) é vazia se e somente se a interseção

Z/l D . . . flZ/„_i nBlj{h)<Cn é vazia se e somente se a fibra sobre a origem não pertence a P " - 1 , isto

é, tal fibra não é uma componente do divisor excepcional do Blowup.

Definição 4.4. O ciclo de Lê de h de dimensão i, com i = 0 , . . . ,n — 1, é denotado por A l(h) e

é definido como o pushforward pela aplicação de estrutura do ciclo formado pela interseção do

divisor excepcional E no blowup B com i hiperplanos genéricos. Ou seja,

A \ h ) := fc*([Zs D#1 D . . . nHi ] ) , para i = 0 , . . . , n - 1.

Note que cada componente de Al(h) tem dimensão no mínimo i.

O número de Lê associado a Ai(h) de dimensão i, com i — 0,..., n — 1, é definido por

Xl(h)\= mult0Al(h).

Os números de Lê têm algumas propriedades que devem ser citadas. Quando V(J(h)) tem

dimensão s, os números de Lê de dimensões maiores que s, ou seja, Xs+l(h),Xs+2(/?),...,Xn(h)

são todos iguais a zero. Além disso, estes números são lexicograficamente semi-contínuos supe-

riormente [[18], p. 715], ou seja: se para algum p a aplicação t (A""1 (ht),..., Xn~p(ht)) é

constante em T, então 1(Xn~p+l (ht)) é semi-contínuo superiormente. Em particular, Xn~x{ht)

é sempre semi-contínuo superiormente.

Por fim, além das definições de números de Lê e de multiplicidade polar relativa, ainda é

preciso considerar a característica de Euler, a qual é apresentada em termos das multiplicidades

polares relativas e dos números de Lê (para mais detalhes consulte [38]).

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X(ft). 49

Definição 4.5. A característica de Euler reduzida da fibra de Milnor de h\Hk na origem, é

definida por

X{k) := 7k(h) + Xn~k(h) - Xn^k~l\h) + AB"(*-2) (h) +... + kn~s(h), k=í,...,d

com s = dimV (J(h)) e d = dimV(A).

A característica de Euler, X<'*K é dada pela sequência

A seguir são descritas relações envolvendo XJ' e Jj.

Lema 4.6. ((3.4) e (6.1) de [18])

As seguintes relações envolvendo os invariantes A;(/z), V(h \Hk) e yj(h) são válidas para

k= l,...,d, onde d = dimV(h).

(i) XQ(h\W) = Xn'j(h) + yn_j(h), para j = 2 , . . . ,n - 1;

(ii) Xk^(h | Hk) = com i - 1,..., k - 1 e k = 2 , . . . , d.

4.2.2 Equisingularidade de X ( / ) .

Considere / (E £?(n,3),n > 4 germe finitamente determinado de tipo estável discreto e F : C x

Cn -> C x C um desdobramento de f(x) = F(x,0), tal que F é estratificado por tipos estáveis e

pelo eixo de parâmetros T.

Denote por Xq(F), a equação que define X ( F ) — F~ 1 (A(F)) — E(F) C C x C " com estrutura

reduzida, ou seja, (Xo(F))~1(0) =X(F), ou ainda, V(XO(F)) = X ( F ) .

Para cada t e T, considere / , : ( C , 0 ) (C3 ,0) , na família { f t } t , seja {X(ft)}t a família de

hipersuperfícies reduzidas X ( f t ) = ft~l(A(ft)) — £( / / ) Ç C". De modo análogo a XO(F), denota-

se Xq(ft) a equação que define X(ft).

Teorema 4.7. Suponha que F : (C x C", (0,0)) —> (C x C 3 , (0,0)) ,n > 4 se/a um desdobramento a

1 -parâmetro de um germe de aplicação finitamente determinado f £ 0(n,3),n > 4, o qual quando

estratificado pelos tipos estáveis e pelo eixo de parâmetros T, possua apenas o eixo de parâmetros

T como um estrato 1-dimensional na origem (T é o locus de instabilidade). Então o par (X(f, ). T)

é Whitney equisingular se e somente se a sequência (j\ (Xo(f )),-••, Yn-1 (-Xo{ft)),X*) é indepen-

dente de t.

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X(ft). 50

Observação 4.8. Se o fecho de um estrato S de V(Xq(F)) = X ( F ) é imagem de uma componente

do divisor excepcional do Blowup B = Blj(X(j^F^Cn+] então por razões dimensionais e pelo fato de

que a condição AP ocorre genericamente, esta componente é o espaço conormal de S. Logo, pelo

teorema 6.3 de [20], o Blowup dessa componente pelo "pullback"de fr tem um divisor excepcional

que é equidimensional sobre T. Consequentemente pelo teorema de Tessier (V - 1.2 de [53]) o par

(,S, T) satisfaz a condição WF e portanto tal par é Whiney equisingular.

Demonstração do teorema 4.7:

Primeiro note que X(F) tem uma estratificação pelos tipos estáveis e pelo espaço de parâmetros

T tal que a condição WF é válida para todo par de estratos, exceto possivelmete sobre T.

Pela observação 4.8 é suficiente mostrar que cada tipo estável é a imagem de uma componente

do divisor excepcional do Blowup B = BIj^^f))Cn+1.

Inicialmente são tratados os tipos estáveis representados por monogermes. Neste caso é su-

ficiente mostrar que se f g é um desdobramento estável minimal que representa um tipo estável

J3 que aparece em F com dimensão positiva, então a curva polar relativa de X ( f g ) na origem é

não vazia, pois pela observação 4.3 isto implica que a origem é a imagem de uma componente do

divisor excepcional. Consequentemente, como X ( f g ) é analiticamente um produto cartesiano ao

longo dos estratos de X(F) diferentes de T, o estrato representando o tipo estável B também é

imagem de uma componente do divisor excepcional.

É claro que se a multiplicidade da curva polar relativa é não nula então a curva polar relativa é

não vazia.

Massey observou em [[39], p. 365] que esta multiplicidade é exatamente o número de esferas

no tipo de homotopia do "link"complexo da singularidade independentemente da dimensão do

locus singular. Resta mostrar que esta quantidade é maior do que zero.

E isto é resolvido por um interessante teorema de Damon em [3.1, [7], p. 14], que garante que

para t e e suficientemente pequenos, (Xo(/g))" 1 (0) nBe (ou seja, (X{f£) n B e ) ) , é independente

da estabilização f g e é homotopicamente equivalente a um bouquet de «-esferas reais, isto é, de

n-esferas, o que é diferente de zero pois n > 4.

Portanto, a multiplicidade da curva polar relativa é não nula finalizando esta parte da demons-

tração.

Agora considera-se os tipos estáveis representados por multigermes. Se duas folhas de X(F)

se interceptam, esta interseção tem codimensão 0 em E(X(F)), e isto implica que este estrato é

4.2 Invariantes dos tipos estáveis em X(ft). 51

imagem de uma componente do divisor excepcional.

Caso contrário, pode-se admitir que o conjunto X { f t ) é localmente a união de duas hipersu-

pefíciesXi eX2 mergulhadas em CkxCn~k com equações h\(z\,... ,Zk) = 0eh2(zk+\,---,zn) = 0 .

Existem dois casos a considerar o primeiro, quando k = n — 1 com h2 = zn e o outro quando tanto

h\ quanto h2 definem hipersuperficíes singulares.

Suponha que h2 = zn, então pode-se assumir que 01 parametriza um ramo da curva polar de h\

e que h\Zl o fa é nula para 1 < i < n - 2. Como hx está no fecho integral de J(h\) [ver [51]], tem-se

que {hi/hiz^o fa é um germe analítico if/". Defina (ç> = y/n) então se / = znh\fZi o ç = 0 para

1 < i < n - 2 e (fZn - fZní) o <p = (hi~ znhiZn^) o <p = 0. Logo, <p parametriza o ramo da curva

polar de / . Agora suponha que / = h\h2, pode-se assumir que <pi e parametrizam os ramos das

curvas polares de h\ e h2, respectivamente. Então (p = ((j)], (jh) parametriza uma superfície polar

de / , consequentemente tem-se que fZl o (p — 0 para 1 <i<kt para k + 1 < i < n. Logo, para

quase toda escolha de A e B, (AfZk + BfZn) o <p define uma curva de singularidades cujo ramo seja

parametrizado por i//, por exemplo, logo q> o\j/ parametriza um ramo da curva polar de / .

•

Corolário 4.9. Suponha que F : (C x C , (0,0)) (C x C3 , (0,0)),n > 4 seja um desdobra-

mento a 1-parâmetro de um germe de aplicação finitamente determinado f G &(n,3),n > 4,

o qual quando estratificado pelos tipos estáveis e pelo eixo de parâmetros T, possua apenas o

eixo de parâmetros T como um estrato 1-dimensional na origem (T é o locus de instabilidade).

Então o par (X(f,),T) é Whitney equisingular se e somente se os números de Lê -'(^o(ft)) e

X0(XQ( ft)\HJ), para 2 < j < n — 1, são constantes na origem para ft.

Demonstração:

O resultado acima segue das equivalências abaixo.

A sequência

(yi{Xo(ft)),---,rn-\(Mft)),X*) éconstante

(7\{Xo(ft)),. • •, yn-1(-Xo(/;)), A1 ( X o ( f t ) ) , . . . , X n ~ 2 ( X o ( f c ) ) ) é constante Ã

Xn~j(X0(ft)) eX0(X0(f,)\HJ), para 2 < j < n — são constantes.

A passagem (I) é válida pela definição da característica de Euler; (II) ocorre pois os números

de Lê são lexicograficamente semi-contínuos superiormente , as multiplicidades polares relativas

são semi-contínuas superiormente e pelas relações do Lema 4.6.

Capítulo

5

Whitney equisingularidade em famílias de

germes em ^(n^p)^ > 4.

5.1 Caso com n> 4.

Neste capítulo são relacionados todos os resultados obtidos nos capítulos anteriores, afim de mini-

mizar o número de invariantes exigidos no teorema 1.8.

Para cada variedade d-dimensional existem (d + 1)-multiplicidades polares associadas. Como

£ ( / ) e A( / ) são 2-dimensionais e os conjuntos D 2 ( / | £ ( / ) ) , / ( E ^ 2 ' 1 ) ( / ) ) , / ( D 2 ( / | E ( / ) ) ) e

são 1-dimensionais, somam-se 14 multiplicidades polares definidos sobre estes con-

juntos.

Ainda, X ( f ) é (n-l)-dimensional, X\ ( / ) ( / ) são (n-2)-dimensionaiseX2(/),X4(/) eX$(/)

são (n-3)-dimensionais, logo tem-se mais (6n — 8) multiplicidades polares.

Portanto, para aplicar o teorema 1.8 é necessária a constância de 6 (n + 1) invariantes polares.

Teorema 5.1. Seja f £ Ú(n3),n > 3 um germe de finitamente determinado e F(t,x) = (t,f(x))

um desdobramento excelente de f . Então a família { f t } é Whitney equisingular ao longo do

parâmetro t se e somente se fi(L(ft)), mi(L(ft)), mo^""2'1) (/,)), m^Z^'2^ { f t ) )

mo(D2(ft\L(ft))), m i ( D 2 ( m m , mi(A(/t)), m o i M L ^ ^ m ^ i f ^ - 2 ^ ( f t ) ) )

m0(ft(D2(ft\L(ft)))), m 1 ( / í ( D 2 ( / í | E ( / í ) ) ) ) , A ^ ( X o ( / I ) ) e À 0 ( X o ( / I ) | ^ ) , p a r a 2 < j < n - \ .

são constantes na origem para ft.

Demonstração:

Esta demonstração segue imediatamente de 3.1, 3.6, [4.1 (I)] e 4.9.

5.1 Caso á(n, 3), com n > 4. 53

No caso de germes de coposto 1 este número pode ser reduzido, obtendo:

Teorema 5.2. Seja f (E â'(n,3),n>4 um germe de aplicação finitamente determinado de coposto

1 e F(t,x) = (t.fc(x)) um bom desdobramento de f .Então a família { f } é Whitney equisingular

ao longo do parâmetro t se e somente se ji(L(ft)),n(L^n~2'l\ft)),m\(L(ft)),

Xn-j(X0{ft)) e À°(X()(/Í) |//7), para 2 < j < n — 1 são constantes na origem para f .

Demonstração:

Essa demonstração segue imediatamente dos resultados: 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 4.1 e 4.9.

•

Com esse capítulo encerra-se o objetivo inicial, ou seja, minimizar a quantidade de invariantes

exigidos no Teorema de Gaffney para garantir a Whitney Equisingularidade de uma família a 1-

parâmetro.

Note que pelo Teorema 5.2 conseguiu-se diminuir, a priori, o total de 6 ( n + 1) invariantes

para 2(n + 2) invariantes, ou seja, é necessário apenas calcular 1/3 dos invariantes propostos por

Gaffney. Por exemplo, para n = 4ep = 3a quantidade diminuiu de 30 para 12 invariantes, o que

já é significativo.

O teorema 5.2 também pode ser aplicado para o par (3,3), obtendo 10 invariantes. Entretanto,

Pérez em [27] reduziu para 07 invariantes. Isto foi possível graças as relações de números de Lê

para superfícies em C 3 , obtidas por Gaffney e Gassler em [18].

5.2 Caso p), com n> p. 54

5.2 Caso ^(/i,/?), com n> p.

Além de reforçar o método usado para reduzir os invariantes para os pares (n, 3),n > 4, esta seção

é reservada para explicar qual é o procedimento quando se tratar de pares (n,p) ,n > p.

O primeiro passo é descrever quais são os tipos estáveis nessas dimensões. Os representantes

desses tipos estáveis são os germes (monogermes e multigermes) estáveis, os quais podem ser

obtidos utizando o Transversal ([31]). É claro que, quanto mais alta for dimensão p maior será o

número de germes estáveis.

Tendo os tipos estáveis, deve-se estratificar pelos tipos estáveis três conjuntos:

- o conjunto singular (fonte);

- a imagem do conjunto singular, ou seja, o discriminante (meta);

- o fecho do conjunto dado pelos pontos da imagem inversa do discriminante que não pertencem

ao conjunto singular (fonte).

A seguir, são obtidas relações entre invariantes. Para I.C.I.S. o Teorema de Lê-Greuel pode ser

aplicado afim de obter relações entre as multiplicidades polares e o número de Milnor do conjunto

singular. Para as hipersuperfícies sem singularidade isolada, trabalhar com os números de Lê é o

caminho.

Por fim, tendo obtido todas as relações possíveis, aplica-se a propriedade da semi-continuidade

superior para minimizar da quantidade de multiplicidades polares exigidas pelo Teorema de Gaffney.

Capítulo

6

Invariantes de germes quase-homogêneos em

0{n,3),n>4.

O principal objetivo deste capítulo é uma análise da classe dos germes quase-homogêneos em

3) com n > 4 de coposto 1.

Inicialmente são obtidas fórmulas para o cálculo das multiplicidades polares que surgem nos

estratos da meta em termos dos pesos e graus de quase-homogeneidade.

Estas fórmulas são obtidas em função do número singularidades de tipo A3.

Jorge Pérez em [27] obteve fórmulas para o caso n — p = 3 e aplicou o resultado de [37], que

descreve uma fórmula para o cálculo do número de singularidades de tipo A 3 no caso n — p, para

escrever estas multiplicidades polares em termos dos pesos e graus.

Na segunda seção deste capítulo é mostrada uma fórmula para o cálculo do números de singu-

laridades de tipo A 3 em termos dos pesos e graus no caso n = 4, p = 3.

Consequentemente, para este par de dimensões as fórmulas para o cálculo das multiplicidades

polares na meta são obtidas em termos dos pesos e graus.

6.1 Multiplicidades polares.

Definição 6.1. Um germe de aplicação analítica f : (C", 0) —> (C' ,0), f = ( j).... , f / } ) é quase-

homogêneo se existem inteiros positivos w\,..., wn, os pesos, e inteiros positivos d\,..., dp, os

graus, tais que fi{Xw'xx,..., Xw"xn) = l d i f i , Vx <E C , X G C, i = 1 , . . . , p.

Definição 6.2. Para um germe g 6 ún define-se

supp g = {k GZ" tal que a* / 0 na série de Taylor de

6.1 Multiplicidades polares. 56

Definição 6.3. Um germe de aplicação f : (C",0) —>• (Cp ,0), / = (fi,..-,fp), é semi-quase-

homogêneo de pesos w\,..., wn e graus d\,..., dp se f pode ser escrito como uma soma f —

+ /', onde = (f\\... é um germe finitamente determinado quase homogéneo de pesos

w\,...,wne graus d\,...,dpe f = (/{,..., f ) e cada f[ é um germe de função tal que

w\k\ + ... wnkn > di para todo k= (k{,... ,kn) 6 supp f . O germe f° é chamado de parte inicial

d e f .

A seguir são apresentados os resultados necessários para a determinação das multiplicidades

polares.

Teorema 6.4. ([26], p. 77) Seja f : (C",0) ->• ( (7 ,0) , n > p, f = ( f \ , . . . , f p ) um germe de

interseção completa com singularidade isolada e quase-homogêneo com pesos wi,..., wn e graus

d\,..., dp. Então são válidas as seguintes igualdades:

a) Se d\ = ... = dp = d:

ni/)=(-i+(-i)*-p d" z ( -1 /n (i -l<Vi <. . .<V;<«

b) Se di / dj, para i ^ j:

M C / ) = Ê n G M n ( W ) p= l V=1 V ^ v J K = 1 1 / - 1

Teorema 6.5. ([26], p. 86) Seja f : (C",0) —» (Cp .0) um germe semi-quase-homogêneo que

define uma interseção completa. Então o espaço f~l(0) é um I.C.I.S de dimensão (n — p) e

li{f) = li{f). Teorema 6.6. ([2], 12.3 ou [5], p. 63) Seja h : ( C , 0) ->• ( C , 0), h = (hh ... ,h„) um germe de

aplicação analítica semi-quase-homogêneo com pesos w\,..., wn e graus d\,..., dn. Suponha que

h\,...,hné um sistema de geradores de um ideal I de codimensão finita. Então

Ôn d\...dn dim c — = I W \ . . . W n

6.1 Multiplicidades polares. 57

O Teorema a seguir escreve as multiplicidades polares do conjunto A( / ) em termos de pesos e

graus.

Teorema 6.7. Seja f(x\,x 2,... ,xn) = (x\,x2,g(x\,x2,.... x„)) wm germe de aplicação quase-homo-

gêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos w>i,..., wn, com w\ < w2 e W3 < ... < wn

e seja d o grau de g, d >w\ e d > W2-

Então,

0i)mo(A(f)) = U n ( j=3 VWÍ/

aoMI(A(/)) = E;=1 n"v=, f ^ - 1 ) r r u ( ) +1, \Wv J K^p V õ í - 1 /

com D\ = w\,Ú2 = (n — 2)í/ — 2 £ " = 3 = d — w/,3 < / < n.

Demonstração:

A primeira multiplicidade a tratar é mo(A(/)). Na demonstração de 3.1 obteve-se:

m o(A( / ) ) = deg(p\ o / , / ( / ) ) ,

onde pi é uma projeção linear genérica de C 3 em C 2 .

Pode-se considerar, sem perda de gene-

ralidade, a projeção dada por/>i(x,y,z) = (ai* + fl2y + a3z,b2y + hz)) e que J ( f ) = (gX 3 , . . . ,gXn).

Então,

m 0 (A(/ ) ) = + «2*2 + a3g(xi, • • • ,xn),b2x2 + hgOl, • • •, -hl) 1 gx 3 5 1X4 • • • 7 gxn )

d' (*) C (a\x\ + a2x2 + a3g{x 1,... ,xn), b2x2 + hg(x],... ,xn),gX3, gX4..., gx„)

6.1 Multiplicidades polares. 58

Os n-geradores do ideal / dado por

1 = {a\x\ + a2x2 + a3g(xu...,x„), b2x 2 + b3g(xh...,xn),gX3,gX4...: gXn)

são germes de aplicações semi-quase-homogêneos cujos graus são respectivamente iguais a D\ =

w\,D2 = w2,D3 = d — W3,D4 = D — vt>4, ...,DN = d — WN. Logo, pelo Teorema 6.6 a dimensão (*)

é igual a

DjD2...Dn W\W2...Wn '

Mas Di = wi e D2 = W2, assim, tal dimensão é igual a

£>3£>4...D„ W3W4 . . . w n

Portanto,

mo(A (/)) W3W4 . . . wn

Agora, para exibir mi(A( / ) ) em termos dos pesos e graus de / da demonstração de 3.1 tem-se

a igualdade

onde p2 é uma projeção linear genérica de C 3 em C. Pode-se supor, sem perda de generalidade,

que p2 é dada por p2 (x, y, z) = c\x + C2>' + c3z.

O objetivo agora é mostrar que o ideal J = (p2 o f,J[f],J[p\ o / , / [ / ] ] ) é semi-quase-homogê-

neo e então aplicar o Teorema 6.5.

Para isso é preciso explicitar cada um dos seus geradores.

Começa-se pela composição,

(P2°f)(xi,X2, • • • ,x„) = P2(x\,x2,g(xi,x2, . • • ,XR)) = C\X\ + C2X 2 + C3g(x hX2,. . . ,Xn).

O próximo é / ( / ) o qual é gerado por gXi , . . . ,gX n .

6.1 Multiplicidades polares. 59

Falta ,J[p\ o / , / ( / ) ] , o gerador mais complexo de se obter. Note que

(Pl °/)(*i, • • • ,xn) = {aixx + a2x2 + a3g(xi,...,xn), b2x2 + b3g(x\,... ,xn)).

Assim,

J [ p i ° f , J ( f ) ] = J[aixi + a2Xi + a3g(xu...,xn), b2x 2 + b3g(x{,... ,xn), gXi,..., g j .

E esse último é igual ao ideal gerado pelo determinante da seguinte matriz de ordem n

a 1 ai a3gx3 a38x4 • • • a3gxn

0 b2 b3gx3 hgXA • • • b3gxn

8 x 3 x 1 8 x 3 x 2 8 x j 8x3x4 8 x 3 x „

g)C4X1 8x4x2 8X4X3 8 x 1 • ' ' 8x4Xn

8x„x 1 8x„x 2 &XnX7, 8x4 Xn 8 x 1

Ou seja,

J[p\ o / , / ( / ) ] = (aib2gx2gx2 ...gx2 + termos de graus superiores).

Portanto

J = (clxi+c2x2 + c3g(xhx2,... ,xn),gX3,.. .,gXn,aib2gx2gx2.. + termos de graus maiores).

Agora considere o seguinte ideal,

70 = <*1 , a\b2gx2gx2 • • • gx2 , gx3 > • • • . 8x„) •

cujos graus de seus geradores são respectivamente D\ =w\,D2~ (n - 2)d - 2£"-3 w,-,

Di = d — wi,3 < l < n.

Por hipótese tem-se que w\ <,w2 e w3 < . . . < wn. Logo, J é semi-quase-homogêneo com

parte inicial (da genericidade da projeção p\ tem-se a\b2 / 0) exatamente Jq. Nestas condições,

6.1 Multiplicidades polares. 60

aplicando o Teorema 6.5 obtém-se que n(J) = n(Jo). Consequentemente,

mi(A(f))=ti(J) + l=n(J0) + l

Agora, usando o Teorema 6.4 (item (b)) pode-se calcular /i(/o) e m termos dos pesos e graus

d e /

p = l v = l / XT=1 K^p

Portanto,

» . < A ( / ) ) = Ê n ( ! M n u LT + ' .

P = l v = l \ w v / K = l \ j£- - 1 /

com Di = whD2 = (n — 2) d -2Y!i=3wiiDl = d — wi,3 < l <n.

Resta apenas calcular m 2 (A(/)) em termos dos pesos e graus de / . Do Teorema 3.1 segue a

igualdade,

m 2 (A(/)) = n ( E ( / ) ) - m 0 ( A ( / ) + m , ( A ( / ) ) + 1. (**)

Mas £ ( / ) = v(gx3,...,gxJ, com cada gerador gXl de grau Dt = d - wh 3 < / < n.

Logo, aplicando novamente o Teorema 6.5,

" n ' D p A / 1 *W)) = LT1 n

Portanto, substituindo as expressões encontradas para mo(A(/)), mi(A( / ) ) e para E ( / ) em

termos de pesos e graus de / na igualdade (I), conclui-se

K^p

n n D„ 1 i n H n ^ ,

com £>i = wi, D2 = [n - 2)d - 2 D/ = d - w,, 3 < / < n.

6.1 Multiplicidades polares. 61

No Corolário abaixo as multiplicidades do Teorema 6.7 são explicitadas para o caso n = 4 e

p = 3.

Corolário 6.8. Seja f(x\ = (x\,x2,g(xi,x2,x3,x4)) um germe de aplicação quase-homo-

gêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos w\,w2, w3,wn, com wi < w2 e W3 < W4 e

seja d o grau de g, d >w\ e d >w2 . Então,

W3W4

(ii)

m (A(/)) ~ ——2w3 — 2w4)(2rf —3w3 —2h>4)(2í/ —2w3 —3vv4)(rf —W3)(í/-W4)^ w2 W3W4 (d — 2>V3 — W4) (Ú? — vv3 — 2W4)

(d — w2 — w3)(2d — 2w3 — 2W4) (d — w3 — W4) (d — 2w3) (d — W4)

W2W3W4( — d + W3 + 2w4)(w4 — W3)

(d — w2 — w4)(2d — 2w3 — 2^4 )(d — w3 — w4)(d — w3)(d — 2W4) ^

(iii)

^2(A(/ ) ) =

w2w3wí\(—d-\-2w3 + W4) (W4 — W3)

(d — w\ —w3)(d — w2 — W3) (d — 2w3) (d — w3 — W4) (d — w4) WiW2W3W4(vy4 — W3)

(d — w\— w4) (d — w2 — w4) (d — w3 — W4) (d — 2W4) W1W2W3W4(W4 — W3)

(1d — w3)(d — w4) W3W4

(2 d — w2 — 2 w3 — 2^4) (2í/ — 3vv3 — 2w<\)(2d — 2W3 — 3w4) (d — w3)(d — W4) W2W3W4 (í/ — 2w3 — w4)(d — w3 — 2W4)

(d — w2 — w3)(2d — 2W3 — 2w 4 ) (J — W3 — w4)(íí — 2w3)(d — W4) W2W3W4( — J + W3 +2W4)(W4 — W3)

(d — w2 — w4)(2d — 2w3 — 2w4)(d — w3 — w4)(d — w3)(d — 2w4)

W2 VV3W4( — d + 2w3 + W4)(H>4 — vv3) + 2.

6.1 Multiplicidades polares. 62

O próximo Teorema expressa as multiplicidades polares do conjunto / ( £ ( " ( / ) ) em termos

dos pesos e graus de / .

Teorema6.9. Seja f(xi,x2, • • • ,x„) = (xi ,x2,g(x\,x2, • • • ,xn)) um germe de aplicação quase-homo-

gêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos W],..., wn, com w\ < w2 e < ... < wn

e seja d o grau de g, d > w\ e d > w2. Então,

D0 \ „ I 1 (í) m o ( f f à n ~ 2 ' l H f ) ) ) = Ep=i riv=i

w v m= K^p £p dk - 1

+ 1.

a i ) m t f p w H f ) ) ) = rp=2nnv=1 -1) rru2 [0^—

M 3 + 2 ,

1 tJL _ 1 Di 1

comD\ = w\,D2 = (n —2)J —2£"=3w(',D/ = d — w/,3 < l < n.

Demonstração:

Como f é de coposto 1 segue do Corolário 3.4 que

m i (A(f))=m0(f(L^2'lHf))).

Portanto, usando essa igualdade e o item (i) do Teorema 6.7, obtém-se

m o ( / ( I ( " ~ 2 ' 1 ) ( / ) ) ) = £ n p=1V=1

Dc > n Do

W v ^ - i V g - i (i)

K^p

c o m f l ] =w\,D2 = (n — 2)d — 2 £ " = 3 = d — w/,3 < / < n.

Resta mostrar que mi (/(E^""2 '1) ( / ) ) ) também pode ser expressa em termos de pesos e graus.

Do Teorema 3.3 tem-se a relação

1 ) ( / ) ) ) - mi ( / ( E ^ " 2 ' 1 ) ( / ) ) ) = «As - li(^n-2'X\f)) + 1.

Isso implica que

m i ( f ( ^ n 2 ' l \ f ) ) ) = mo(f(^n2'l\f))) + UA3 — fi(L^n~2'^(f)) + 1.

Pela Observação 3.2 sabe-se que E ^ 2 - 1 ^ / ) = V(/(n-2,i)(/))> c o m

(2)

J(n-2,\)(f) = (gx^gx„---,gxn,M),

6.1 Multiplicidades polares. 63

onde gXi denota a derivada parcial de g em relação a x, e M é o determinante:

Sx]

8X4X3

8xnx 3

8x^xn

8X4X11

com gXjXj denotando a derivada parcial de gXi em relação a xj.

Portanto,

E ( n - 2 , 1 ) ( f ) = V(M,gx^gX4,...,gXn),

com geradores de graus D2 = (n — 2)d — 2 £ " = 3 w,-,D/ = d — w/, 3 < l < n, respectivamente.

Assim, pelo Teorema 6.4,

p=2 v= l \ w v

comD2 = (n — 2)d — 2YH=3Wi,Di = d - w/,3 < l < n.

Substituindo (1) e (3) em (2) tem-se

M n 1

D0 / - 1 ^=2 \ Dk

(3)

n n Dc n 1

+

Dc 1 ^ - E n B - i n , » , .

p = 2 v = l \ WV / k = 2 V TT - 1

com Dl = wi ,D2 = (n - 2)d - 2£? = 3 whD[ = d - w,, 3 < l < n

(4 )

Como D\ = w\ segue que ^ - - 1 = 0 , logo W{

i n p=1 V— 1

Dc i ) n l D í Dk

1 D,

i - I K . . MM Do KT/p

(C=l ff^p

Com essa igualdade e colocando o termo Lp= 211"=1 M ITÍc: Dc

cia na equação (4) obtém-se

em evidên-£ - 1

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 64

o 1 \ VVv / ... o p=2v=l

l

, DP 1 /c=2 \ - f f - ~ 1 M=2 - 1 + 1^3 + 2,

com Di = wi ,D 2 = (n-2)d-2Z,nj=i3wj,Dl = d-wi,3 <l<n

•

Corolário 6.10. Seja f(x\ ,X21x3.X4) — (x\,X2,g(x],X2,x3,X4)) um germe de aplicação quase-

homogêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos w\,..., w\, com w\ < w2 e w3 < W4

e seja d o grau de g, d > w\ e d > w2 . Então,

(i)mo ( / (E ( 2 ' , ) ( / ) ) ) = L Í = 1 n í = i — w v

Dr p = i n v = i \ 1 ) | D

1 1.

r«v (/(E(2.D(/))) = E j = 2 n 4 v = i í — - 0 n 4 , = \wv J

1H3 + 2,

r r ^=2 o. rií _ 1 Di 1

+

com Di = w\, D2 — 2(d — w3 — W4), D3 — d — e D4 = d — W4.

6.2 jjA3 em w > 4.

Nesta seção são obtidas fórmulas para o cálculo do número de singularidades de tipo A3 para

germes em 6(n, 3), n > 4.

A busca por estas fórmulas tem aparecido recentemente em vários trabalhos que relacionam

multiplicidades e equisingularidade como se pode ver em [37], [47], [11] e também em [4] e [5],

O método aplicado nestes cálculos é a determinação destes números como a dimensão de

álgebras ^ f , para ideais de comprimento finito.

Estas dimensões são calculadas através da resolução projetiva destes ideais, que com a gradua-

ção correta permitem a obtenção da série de Hilbert e consequentemente o número de singulari-

dades.

Lema 6.11. Seja f(xi

, X2, • • • i xn , X2, • • •, xn )) um germe de aplicação finitamente

determinado de coposto 1. Então,

jJA3 = d im c 0n

(&c3>&4> • • -^xn,M,MX3,MX4,... ,MXn)'

6.2 tiA3 em 0(n,3), n> 4. 65

onde M é o determinante

Sx\

8x4x3

8x 3X„

8x4xt1

• ' •

<? MXj denota a derivada parcial de M em relação a xi.

Demonstração:

A singularidade de tipoÂ3 na notação de Thom-Boardman corresponde ao tipo L^ 2 - 1 - 1 ) . O

número de singularidades As que aparece em uma deformação genérica de / tem sido denotado

nessa tese por ^ 3 , porém este número é denotado por C(n_2,i,i) (f) s e f ° r seguida a notação usada

nas refêrencias sobre este número [ver [11], [20] e [44]].

Por [4.6-item(6)], 4.3 e 2.5 de [11], segue imediatamente que

tjA3 = d im c •^(rc—2,1,1) ( f )

Na observação 3.2 mostrou-se que/(„_2 j i )( /) = (8x3,8x4, •••,gx„,M), ondeM é o determinante

8x 3Xn

8x4Xn 8x4x3

8xnx 3

Por 1.1.1 tem-se que o ideal / ( n_ 2 , i , i ) ( / ) = InW,hW)),J(n-2,\){f))),

onde d(h) denota a matriz jacobiana de h e IS(A) é o ideal gerado pelos menores de ordem 5 de

uma dada matriz A, ou seja, i(„_2,i,i) ( / ) é gerado pelos menores de ordem n da matriz (n + 2) x n

1 0 0 0

0 1 0 0

8x 1 8x2 8x3 • • 8xn

8x3x1 8x3x2 8X,\ • 8x 3Xn

8xnx 1 8xnx 2 8xnx 3 • • 8 x 1

MXl mX2 MXl - • Mxn

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 66

Logo, /(„_ 2,1,1) ( / ) = (gx3 ,gxt,---,gxn,M,MXi,MXA,...,MXn).

Portanto,

tJi43 = d im c • • -igxn,M,MXi,MX4,. ..,MXn)

A observação a seguir apresenta uma propriedade do número C(„„2,i,,i)(/) quando se trata de

um germe de coposto 1.

Observação 6.12. Como f é de coposto 1, pode-se considerar

f(x I,x2,...,x„) = (xi,X2,g(xi,X2,...,xn)).

Neste caso, pela proposição 1.5,

Em particular, J(n-2,i,i)(g>X3, • • • >xn) é gerado pelos menores de ordem (n — 2) da matriz de

ordem n x (n — 2).

gx 3 gxn

gx3x„

gx„x3 • • • gx2

MX3 ... MXn

A seguir, o número é calculado para germes quase-homogêneos de (C4 ,0) em (C3 ,0) de

coposto 1 .

Da observação 6.12, segue que

$2 $A3 = c(2)ií)i)(g;x3,x4) = dimc- r-

Como essa dimensão é finita,

, 6 2 C[[X3,X4]] dim£ ^ = aim£-

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 67

Logo

tt^3 = C(2,l,l)U;JC3,^4) = àimc-C[[x 3 ,x 4 ] ]

Pelo lema 1.6 o ideal -/(2,i,i)(g;x3,*4) é um ideal determinantal.

A principal ferramenta usada para calcular (*) através de pesos e graus de um germe quase-

homogêneo é o Complexo de Eagon-Northcott (para mais detalhes sobre esse complexo veja [9]

e [4]) o qual fornece uma resolução para ideais determinantais.

Para que essa resolução seja construída considere R — C[[jc3,JC4]], U = («,•_/) a seguinte matriz

4 x 2 ,

U =

gx 3 gxA

gX\ gx 3X4

gx4X3

MX3 MX4

Seja h{U) o ideal gerado pelos menores de ordem 2 de U, logo, h(U) = •/(2,i,i)(g'>x3>-*:4) e

denote por RiiJJ) o quociente ^ .

Defina a matriz deg(U) = (dij), tal que cada entrada djj é o peso do polinómio homogéneo

Uij. Ou seja,

deg(U)

d — W3

d — 2w 3

d — W4 — w3

d — W4

J — W3 — W4

d — 2w4

2 d — 3w3 — 2w 4 2 d — 2wj — 3w4

De acordo com [[3], p. 134], quando a entrada utJ é um polinómio nulo considere djj = — 1.

O próximo passo é encontrar os i?-módulos livres que aparecem na resolução.

Por [4], sob certas condições, para cada matriz U de ordem nxm, n> m, cada f?-módulo livre

Fk,0 < k < n — m é dado por

Fk= © R \<h<-<h<m

1<!1 <...<im+k<n

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 68

com posto igual a n!(m + fc- 1)!

(m + i f e ) ! ( n - m - i k ) ! m - 1 )\k\ e base canónica dada por

Bk — {eh,...,im+k,j\,---Jk} l</i< • <jk<m 1 <h<-..<im+k<n

Os /?-homomorfismos livres entre os ^-módulos, F*, 0 < k < n — m são dados por

dk+\,k • Fk+\ Fk,

tal que

3 ( \ V V-1 ( i \ a + l ók+\Meiu-Jm+k, h, A) = L L U'ajpeiu ...,ía, ...,

a= 1 /3=1 'm+i, 711 •••, J f j , Jk'

e o /^-homomorfismo livre entre Fq e /?, v : Fq —>• R, é definido por

V ( l ' i , . . . , i m ) =

"ii.l í i ,m

uim, 1 ••• M*m,«

então para n = 4 e m = 2 tem-se 0 < k < 2 e portanto os /?-módulos são os seguintes,

F0 = © R, Fi = © K e F2 l < i i < i 2 < 4 l < i i < 2

l < i ' l < ( 2 < i 3 < 4

© R-1 < ; I < 7 2 < 2

1 < l ' l < / 2 < Í 3 < 1 4 < 4

Usando a definição da base Bk, tem-se

^ 0 = ( « 1 , 2 , « 1 , 3 , « 1 , 4 , « 2 , 3 , « 2 , 4 , « 3 , 4 ) ;

= ( « 1 , 2 , 3 , 1 , « 1 , 2 , 4 , 1 , « 1 , 3 , 4 , 1 , « 2 , 3 , 4 , 1 , « 1 , 2 , 3 , 2 , « 1 , 2 , 4 , 2 , « 1 , 3 , 4 , 2 , « 2 , 3 , 4 , 2 } ' ,

F i = ( « 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 1 , « 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , « 1 , 2 , 3 , 4 , 2 , 2 ) ;

Nesse caso, são três /Miomomorfismos para considerar, a saber, ^2,1, ^1,0 e v

6.2 t|A3em 0(n, 3), n > 4. 69

Sob essas condições, pelo Lema 5.2 de [4], a sequência

F o / ? 2 ( í / ) — > 0 . (/)

é exata.

A sequência (I) também pode ser vista como

3 8 6

/=1 m= 1

Tanto quanto os /^-módulos F*, 0 < k < 2 são anéis graduados. Porém, os 7?-homomorfismos

d2,\, dlfi e v não são homomorfismos graduados pois estes não preservam os elementos ho-

mogéneos. Por isso, é preciso modificar a graduação dos /^-módulos afim de que se tenha ho-

momorfismos de grau zero. Essa nova graduação é feita da seguinte maneira,

Fk= 0 R[diuX + . . . + di2i2 + di2+uh + . . . + dÍ2+kJk], i<h<-<jk<2

1<(1<...<Í2+í<4

onde /?[«] significa a graduação do anel R subtraído por n, por exemplo, o elemento 1 tem grau n.

Dessa forma, pelo Lema 5.3 de [4], tem-se uma nova sequência exata de anéis graduados, com

todos os /?-homomorfismos de grau 0.

0 —» F2 FI F0 R —> R2(U) —> 0. (III)

Logo, sob estas novas condições, pode-se aplicar o Teorema 5.4, para obter a série de Hilbert

de R2(U),

P(R2(U),t) = P(R,t) L 2 ( -\k+1

k=0

V

I < i<m<-</*<2

l < í ' l < . . . < í ' 2 + t < 4

'li+--+"imm+"lm+ul + - n+kJk

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 70

Consequentemente, usando o Lema 5.5 de [4], tem-se finalmente

= e(R2(U)) = e(R) £ ^f,^^-!)^^-!) = 1 <í i <12<13<4

e(R)(d\\d2\d^\ + d\\d2\dáa + d \ \ d y i d ^ d22dyid^) =

e(R)((d - w3)(d - 2w3)(d - w3 - w4) + (d - w3)(d - 2w3)(2d - 2w3 - 3w4) +

(d — w3)(d — 2w4)(2d — 2w3 — 3w4) + (d — w3 — w4)(d - 2w4)(2d — 2w3 — 3w4)).

Mas, e(R) = e(R,m), onde mé o ideal maximal de /? (vide Capítulo 1, seção 1.2).

A multiplicidade e(R) pode ser calculada usando o [Lema 2.8 [5]], diz que se I é um ideal

monomial de um anel A então

e(I) — nl v (7) , (**)

onde v(7) é o volume do conjunto R " \ r + com o poliedro de Newton de I.

Neste caso,

e(R) = n\ v ( m ) = 2! ^ = 1.

Portanto,

ttA 3 — {d — w3)(d — 2 w3)(d — w3 — w4) + (d — w3)(d — 2w-$)(2d — 2w3 — 3w 4 )+

(d - w 3 ) ( J — 2w4)(2úf — 2W3 — 3W4) + (d - w3 - w4)(d — 2w4)(2d - 2w3 - 3w4).

Com isso está provado o seguinte teorema,

Teorema 6.13. Seja f(x],x2,x3,x4) = (xi,x2,g(x\,x2,x3,x4)) um germe de aplicação quase-homo-

gêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos w\, h'2, vv3. w4, com w\ < vv2 e < w4 e

seja d o grau de g, d > w\ e d >

Então,

jJA3 — (d — W3)(d — 2ws)(d — W3 — w4) + (d -w3)(d — 2w3)(2<i — 2w3 - 3w4) +

(d-wi)(d- 2w4)(2d - 2w3 - 3w4) + (d - w3 - w4)(d - 2w4)(2d - 2w3 - 3w4).

6.2 flA3 em á(n, 3), n > 4. 71

Exemplo. Considere o seguinte germe de (C4 ,0) em (C 3 ,0) ,

f(x 1,^2,^3,^4) = (XX2,X2X3+XIX4+XI+XI).

Esse germe é 3-determinado e quase-homogêneo com pesos wj = 2 — e w3 — 1 = W4 e grau

d = 3.

Tem-se ainda que,

X2 + 3^3 X\ + 3^4

6x3 0

0 6x4

36x4 36x3

U =

Então,

deg(U) =

Portando, pelo Teorema 6.13, segue que

2

1

UA3 = ( 2 . 1 . ( - l ) + 2 .1 .1+2.1 .1 + ( - l ) . l . l ) = ( 4 - 3 ) = 1.

Portanto, fjÂ3 = 1.

Note que, esse resultado pode ser comprovado usando as igualdades (*) e (**).

Ou seja,

ÍJA 3 = dimc C[[s3,*4]]

Mas y(2,i,i)(g;^3^4) = (*3,*4), então

ttA3 = ^ c Q I ^ l = n ! v ( { x 3 , x 4 ) ) = 2! 1 = 1. (x3,x4) 2

6.2 pA3 em Õ[n, 3), n> 4. 72

Para finalizar esta seção o corolário 6.14 é reescrito usando 6.13,

Corolário 6.14. Seja f(x\,x2,x3,x4) = (x\,x2,g(x\,x2,x3,x4)) um germe de aplicação quase-

homogêneo de coposto 1 finitamente determinado com pesos W],..., W4, com w\ < w2 e W3 < W4

e seja d o grau de g, d > w\ e d > w2 . Então,

(i) m o ( / ( ^ 2 , 1 ' ( / ) ) ) — Lp=l FIv=l wv / - - s H g +1.

mx{fv.™m = i í = 2 n 4v = i ( ^ - 0 1 T U 2 ' 1 rr

1 J"=2 | Dfj,

Di

(d-w3)(d- 2w3)(d - W3 - W4) Jt-(d-w3)(d- 2w3)(2d - 2w3 - 3w>4) +

(rf - w3)(ú? - 2w4)(2d - 2w3 - 3w4) + (d-w3- w4)(d - 2wA)(2d - 2w3 - 3w4) + 2,

com D\=w\, D2 = 2(rf - w3 — W4), D3 = d— w3 e D4 = d - W4.

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