Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Wielomiany
El»bieta Sadowska-Owczorz
19 listopada 2018
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
De�nicja
Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci
anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci
W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =
n∑k=0
akxk .
De�nicja
Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0
tak¡, »e
stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
De�nicja
Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie
i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)
(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)
Ponadto
st (W + V ) ¬ stW + stV
st (W · V ) = stW · stV
De�nicja
Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦
de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)
Ponadto, je±li a 6= 0,
st (a ·W ) = stW
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Twierdzenie
Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie
jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e
W = P · V + R ,
stR < stV .
De�nicja
Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko
wtedy, gdy R ≡ 0.
Oznaczenie :
V (x) |W (x)
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
De�nicja
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.
Twierdzenie (Bézout)
Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko
wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .
(x − a) |W (x) ⇐⇒ W (a) = 0
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
De�nicja
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦
a, »e
(x − a)k |W (x),
(x − a)k+1 6 |W (x).
Twierdzenie
Je±li wielomian W (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0
stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych ma pierwiastki wymierne,
to s¡ one postacip
q, gdzie p | a0 i q | an.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)
Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi
m∏j=1
(x2 + bjx + cj
)βj,
gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma
pierwiastek zespolony.
Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)
Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:
W (x) = A ·n∏
i=1
(x − ai )αi .