wierdzenieT Picarda - Politechnika Gdańska · Równania ró»niczkwoe I rz¦du (RRIR) wierdzenieT Picarda Anna D¡browska WFTiMS 23 marca 2010 Anna D¡browska wierdzenieT Picarda

Równania ró»niczkowe I rz¦du (RRIR)

Twierdzenie Picarda

Anna D¡browska

WFTiMS

23 marca 2010

Anna D¡browska Twierdzenie Picarda


Spis tre±ci

1 Równania ró»niczkowe I rz¦du (RRIR)De�nicja RRIRZagadnienie pocz¡tkoweIstnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za« RRIRInterpretacja geometryczna RRIRZako«czenie



De�nicja RRIRZagadnienie pocz¡tkoweIstnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za« RRIRInterpretacja geometryczna RRIRZako«czenie

De�nicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz¦du)

Równaniey ′ = f (t, y) (1)

nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz¦duw postaci normalnej.




Uwaga 1

Ogólna (uwikªana) forma równania ró»niczkowego rz¦du pierwszegojest postaci

F (t, y , y ′) = 0. (2)

Uwaga 2

Forma ró»niczkowa równania ró»niczkowego rz¦du pierwszego jestpostaci

P(t, y)dt + Q(t, y)dy = 0. (3)

W tym przypadku traktujemy pochodn¡ y ′ jako iloraz rózniczek dydt.




Uwaga 1

Ogólna (uwikªana) forma równania ró»niczkowego rz¦du pierwszegojest postaci

F (t, y , y ′) = 0. (2)

Uwaga 2

Forma ró»niczkowa równania ró»niczkowego rz¦du pierwszego jestpostaci

P(t, y)dt + Q(t, y)dy = 0. (3)

W tym przypadku traktujemy pochodn¡ y ′ jako iloraz rózniczek dydt.




Przykªad 1

Przykªady równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du w postacinormalnej:

y ′ = ty

y ′ = sint

y ′ = t2 − ty

y ′ = y




Przykªad 1


y ′ = ty

y ′ = sint

y ′ = t2 − ty

y ′ = y




Przykªad 1


y ′ = ty

y ′ = sint

y ′ = t2 − ty

y ′ = y




Przykªad 1


y ′ = ty

y ′ = sint

y ′ = t2 − ty

y ′ = y




Przykªad 1


y ′ = ty

y ′ = sint

y ′ = t2 − ty

y ′ = y




Przykªad 2

Przykªad równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du w trzechpostaciach:

posta¢ normalnay ′ = 4y + t3 − ty

posta¢ ogólna (uwikªana)

y ′ − 4y − t3 + ty = 0

forma ró»niczkowa

(4y + t3 − ty)dt − dy = 0




Przykªad 2




y ′ − 4y − t3 + ty = 0

forma ró»niczkowa

(4y + t3 − ty)dt − dy = 0




Przykªad 2




y ′ − 4y − t3 + ty = 0

forma ró»niczkowa

(4y + t3 − ty)dt − dy = 0




Przykªad 2




y ′ − 4y − t3 + ty = 0

forma ró»niczkowa

(4y + t3 − ty)dt − dy = 0




De�nicja 2 (rozwi¡zanie równania ró»niczkowego I rz¦du)

Rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego (1) na przedziale (a, b)nazywamy funkcj¦ ró»niczkowaln¡ y(t) tak¡, »e

y ′(t) ≡ f (t, y(t)). (4)

Wykres rozwi¡zania równania ró»niczkowego nazywamy jego krzyw¡

caªkow¡.

Uwaga 3

Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego rz¦du pierwszego w postaciuwikªanej

φ(t, y) = 0 (5)

nazywamy caªk¡ tego równania.




De�nicja 2 (rozwi¡zanie równania ró»niczkowego I rz¦du)

Rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego (1) na przedziale (a, b)nazywamy funkcj¦ ró»niczkowaln¡ y(t) tak¡, »e

y ′(t) ≡ f (t, y(t)). (4)

Wykres rozwi¡zania równania ró»niczkowego nazywamy jego krzyw¡

caªkow¡.

Uwaga 3

Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego rz¦du pierwszego w postaciuwikªanej

φ(t, y) = 0 (5)

nazywamy caªk¡ tego równania.




Wykres 1

Rysunek: Wykres rozwi¡zania równania ró»niczkowego nazywamy krzyw¡

caªkow¡.




De�nicja 3 (zagadnienie pocz¡tkowe)

Równanie ró»niczkowe (1) oraz warunek

y(t0) = y0 (6)

nazywamy zagadnieniem pocz¡tkowym lub zagadnieniem

Cauchy'ego.

Uwaga 4

Zagadnienie pocz¡tkowe b¦dziemy zapisywali w postaci

y ′ = f (t, y), y(t0) = y0. (7)

Liczby y0 i t0 nazywamy warto±ciami pocz¡tkowymi, a warunek (6)warunkiem pocz¡tkowym.




De�nicja 3 (zagadnienie pocz¡tkowe)

Równanie ró»niczkowe (1) oraz warunek

y(t0) = y0 (6)

nazywamy zagadnieniem pocz¡tkowym lub zagadnieniem

Cauchy'ego.

Uwaga 4

Zagadnienie pocz¡tkowe b¦dziemy zapisywali w postaci

y ′ = f (t, y), y(t0) = y0. (7)

Liczby y0 i t0 nazywamy warto±ciami pocz¡tkowymi, a warunek (6)warunkiem pocz¡tkowym.




De�nicja 4 (rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego)

Funkcj¦ y(t) nazywamy rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego

(7), je»eli jest rozwi¡zaniem równania (1) na pewnym przedzialezawieraj¡cym punkt t0 i speªnia warunek (6).

Uwaga 5

W interpretacji geometrycznej rozwi¡zanie zagadnieniapocz¡tkowego polega na wskazaniu w±ród krzywych caªkowychrównania (1) tej, która przechodzi przez punkt (t0, y0).




De�nicja 4 (rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego)

Funkcj¦ y(t) nazywamy rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego

(7), je»eli jest rozwi¡zaniem równania (1) na pewnym przedzialezawieraj¡cym punkt t0 i speªnia warunek (6).

Uwaga 5

W interpretacji geometrycznej rozwi¡zanie zagadnieniapocz¡tkowego polega na wskazaniu w±ród krzywych caªkowychrównania (1) tej, która przechodzi przez punkt (t0, y0).




Wykres 2

Rysunek: Krzywe caªkowe i w±ród nich jedna, która przechodzi przezpunkt (t0, y0).




Twierdzenie 1 (istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za« RRIR)[Twierdzenie Picarda]

Je»eli funkcja f (t, y) oraz jej pochodna cz¡stkowa ∂f /∂y(t, y) s¡ci¡gªe na obszarze D ⊂ R2 oraz (t0, y0) ∈ D, to zagadnieniepocz¡tkowe

y ′ = f (t, y), y(t0) = y0

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.

Uwaga 6

Dla dowolnego punktu (t0, y0) z obszaru D istnieje rozwi¡zaniezagdnienia pocz¡tkowego (7). Je»eli dane s¡ dwa rozwi¡zania otych samych warto±ciach pocz¡tkowych (6), przy czym ka»de z nichokre±lone jest na pewnym przedziale zawieraj¡cym punkt t0, topokrywaj¡ si¦ one na wspólnej cz¦±ci rozwa»anych przedziaªów.




Twierdzenie 1 (istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za« RRIR)[Twierdzenie Picarda]

Je»eli funkcja f (t, y) oraz jej pochodna cz¡stkowa ∂f /∂y(t, y) s¡ci¡gªe na obszarze D ⊂ R2 oraz (t0, y0) ∈ D, to zagadnieniepocz¡tkowe

y ′ = f (t, y), y(t0) = y0

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.

Uwaga 6

Dla dowolnego punktu (t0, y0) z obszaru D istnieje rozwi¡zaniezagdnienia pocz¡tkowego (7). Je»eli dane s¡ dwa rozwi¡zania otych samych warto±ciach pocz¡tkowych (6), przy czym ka»de z nichokre±lone jest na pewnym przedziale zawieraj¡cym punkt t0, topokrywaj¡ si¦ one na wspólnej cz¦±ci rozwa»anych przedziaªów.




Przykªad 3

Korzystaj¡c z Twierdzenia Picarda uzasadni¦, »e zagadnienie

pocz¡tkowe y ′ = t − y2, y(0) = 0 ma jednoznaczne rozwi¡zanie.

Niech D = R2. Mamy punkt (t0, y0) = (0, 0) z okre±lonymiwarto±ciami pocz¡tkowymi. Nasza funkcja f (t, y) = t − y2, jejpochodna cz¡tkowa ∂f /∂y(t, y) = −2y . Widzimy, »e obie tefunkcje s¡ ci¡gªe na R2 (znamy ich wykresy) oraz (0, 0) ∈ R2.Zatem nasze zagadnienie pocz¡tkowe ma jednoznaczne rozwi¡zanie.




Interpretacja geometryczna

Niech funkcja f (t, y) w równaniu (1) b¦dzie ci¡gªa na obszarzeD ⊂ R2. Przez ka»dy punkt (t0, y0) tego obszaru przeprowadzimyodcinek o dªugo±ci np. 1 i ±rodku w tym punkcie, le»¡cy na prostej,której wspóªczynnik kierunkowy jest równy f (t0, y0). Odcinki tenazywamy kierunkami rówania ró»niczkowego (1).




Wykres 3

Rysunek: Kierunki równania ró»niczkowego (1).




Interpretacja geometryczna c.d.

Równanie ró»niczkowe okre±la na obszarze D pole kierunków (Wyk.

4b). Niech y = y(t) b¦dzie krzyw¡ caªkow¡ równaniaró»niczkowego (1). Gdy krzywa ta przechodzi przez punkt(t0, y0) ∈ D, to oczywi±cie y0 = y(t0) oraz

y ′(t0) = f (t0, y(t0)) = f (t0, y0).

Krzywa caªkowa jest wi¦c w punkcie (t0, y0) styczna do kierunkurównania. Na odwrót, je±li krzywa y = y(t) le»y w obszarze D i wka»dym jej punkcie (t, y) krzywa ta jest styczna do kierunkurównania (1), to y ′(t) = f (t, y(t)), a wi¦c y = y(t) jest krzyw¡caªkow¡ tego równania. Zatem scaªkowa¢ równ. ró»n. (1) naobszarze D, znaczy znale¹¢ na tym obszarze wszystkie krzywe, którew ka»dym punkcie b¦d¡ styczne do kierunku równania (Wyk. 4b).




Wykres 4

Rysunek: a) Pole kierunków dla równania y ′ = y , b) krzywe caªkowe tegorównania.




Koniec

Dzi¦kuj¦ za uwag¦.


Documents

wierdzenieT Picarda - Politechnika Gdańska · Równania ró»niczkwoe I rz¦du (RRIR) wierdzenieT Picarda Anna D¡browska WFTiMS 23 marca 2010 Anna D¡browska wierdzenieT Picarda