WIRTSCHAFTSINFORMATIK Westfälische Wilhelms-Universität Münster WIRTSCHAFTS INFORMATIK Matrixmultiplikation im Rahmen des Seminars Parallele und Verteilte

WIR

TS

CH

AF

TS

INF

OR

MA

TIK

WestfälischeWilhelms-Universität Münster

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

MatrixmultiplikationMatrixmultiplikation

im Rahmen des Seminars

„Parallele und Verteilte Programmierung“

von Lutz Kramer


BeispielBeispiel

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

A=

2

A x B = C

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

-2

7

3

2

5

B=

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12

C=

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

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7

3

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5

15

8

-10

-19

21

3

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1

-14

-4

18

-14

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-9

17

-12


BeispielBeispiel

1

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-1

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A=

2

A x B = C

8

3

0

1

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10

2

2

0

2

6

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7

3

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5

B=

15

8

-10

-19

21

3

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1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12

C=

1 x 8 = 8

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

8

3

0

1

3

10

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2

0

2

6

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7

3

2

5

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

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-9

17

-12


BeispielBeispiel

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

A=

2

A x B = C

8

3

0

1

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10

2

2

0

2

6

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7

3

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5

B=

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12

C=

1 x 8 = 8 + 3 x 3 = 9

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

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7

3

2

5

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12


BeispielBeispiel

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

A=

2

A x B = C

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

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B=

15

8

-10

-19

21

3

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-14

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-14

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-9

17

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C=

1 x 8 = 8 + 3 x 3 = 9 + -4 x 0 = 0

1

1

-1

-3

3

1

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1

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5

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-2

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8

3

0

1

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2

0

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6

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7

3

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5

15

8

-10

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21

3

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-14

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18

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BeispielBeispiel

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

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-2

-3

4

2

A=

2

A x B = C

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

-2

7

3

2

5

B=

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

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-12

C=

1 x 8 = 8 + 3 x 3 = 9 + -4 x 0 = 0 + -2 x 1 = -2

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

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3

0

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0

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6

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7

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5

15

8

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-19

21

3

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-14

-4

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-9

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BeispielBeispiel

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

A=

2

A x B = C

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

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7

3

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5

B=

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12

C=

1 x 8 = 8 + 3 x 3 = 9 + -4 x 0 = 0 + -2 x 1 = -2 = 15

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

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-2

5

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-2

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8

3

0

1

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10

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2

0

2

6

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7

3

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5

15

8

-10

-19

21

3

-5

1

-14

-4

18

-14

-2

-9

17

-12


AgendaAgenda

Theoretische Grundlagen Sequentielle Algorithmen

Intuitiver Algorithmus

Strassen-Algorithmus Parallele Algorithmen

Schleifenparallelisierung

Cannon‘s Algorithmus Vergleich der Algorithmen Kritische Würdigung und Ausblick

3


AgendaAgenda






3


Theoretische GrundlagenTheoretische Grundlagen

Matrix mit n Zeilen und m Spalten -> Ordnung (n,m) Kennzeichnung Großbuchstabe (z.B. A) und Größe n x m Quadratische Matrizen haben Ordnung (n,n) bzw. Größe n x n Es gilt: cij = Σaik bkj für alle k

4

1

m

ij ir rjr

c a b

1

m

ij ir rjr

c a b

a11

...

ai1

...

...

...

a1j

...

aij

...

...

...A(l x n)=

a1n

...

ain

...

al1 ... alj ... aln

b11

...

bi1

...

...

...

b1j

...

bij

...

...

...B(n x m)=

b1m

...

bim

...

bn1 ... bnj ... bnm

c11

...

ci1

...

...

...

c1j

...

cij

...

...

...C(l x m)=

c1m

...

cim

...

cl1 ... clj ... clm

x

=


AgendaAgenda






5


Sequentielle AlgorithmenSequentielle Algorithmen- Intuitiver Algorithmus -- Intuitiver Algorithmus -

01 public static Matrix SequentialMultiplication (Matrix A, Matrix B) throws Exception{02 Matrix C = new Matrix(A.getNumberOfRows(), B.getNumberOfColumns());03 for (int i = 0; i < A.getNumberOfRows(); i++){04 for (int j = 0; j < B.getNumberOfColumns(); i++){05 C.setField(i, j, 0);06 for (int k = 0; k < A.getNumberOfColumns(); k++){07 C.setField(i, j, (C.getField(i, j) + (A.getField(i, k) * B.getField(k, j))));08 }09 }10 }11 return C;12 }

Intuitive, erste Lösung Lösung über 3 Schleifen Laufzeit: Θ(n3), für A(n x n) und B(n x n)

Laufzeit für nicht quadratische Matrizen Θ(l n m)

6


Sequentielle AlgorithmenSequentielle Algorithmen- Strassen-Algorithmus -- Strassen-Algorithmus -

Zerlegung der Matrix A in Submatrizen A11, A12, A21, A22

Gleiches Vorgehen bei Matrix B Berechnung von Zwischenmatrizen P1 bis P7

Berechnung von Teilergebnismatrizen C11, C12, C21, C22 aus P1 bis P7

Zusammensetzen der Endmatrix C

1

1

-1

-3

3

1

-2

1

-4

-2

5

-2

-2

-3

4

2

A11=

A21=

A12=

A22=

7

8

3

0

1

3

10

2

2

0

2

6

-2

7

3

2

5

B11=

B21=

B12=

B22=



1

1

3

1

5

-2

4

2

8

3

3

10

6

-2

2

5+

91

-11

135

40=P1= x +

+38

-31

32

15=P2= x

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

8

3

3

10

-6

-2

-1

3=P3= x

1

1

3

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

8

Zwischenmatrizen:

P1 = (A11 + A22) x (B11 + B22)

P2 = (A21 + A22) x B11

P3 = A11 x (B12 - B22)

P4 = A22 x (B21 - B11)

P5 = (A11 + A12) x B22

P6 = (A21 - A11) x (B11 + B12)

P7 = (A12 - A22) x (B21 + B22)

--48

12

-37

-14=P4= x

5

-2

4

2

8

3

3

10

0

1

2

2

+-20

-2

-1

12=P5= x

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

6

-2

2

5

--41

-32

-85

-40=P6= x +

1

1

3

1

-1

-3

-2

1

8

3

3

10

0

2

7

3

--48

5

-78

-35=P7= x +

5

-2

4

2

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

6

-2

2

5



C11=15

8

21

3==

91

-11

135

40

-48

12

-37

-14

1

1

3

1

-48

5

-78

-35+ - +

C12=-14

-4

-2

-9=

6

-2

-1

3

1

1

3

1+

C21=-10

-19

-5

1=

38

-31

32

15

-48

12

-37

-14+

9

Blöcke der Zielmatrix:

C11 = P1 + P4 - P5 + P7

C12 = P3 + P5

C21 = P2 + P4

C22 = P1 + P3 – P2 + P6

C22=18

-14

17

-12=

91

-11

135

40

38

-31

32

15

6

-2

-1

3

-41

-32

-85

-40+ - +



C11=

C21=

C12=

C22=18

-14

17

-12

-10

-19

-5

1

15

8

21

3

-14

-4

-2

-9

Veröffentlicht im Jahr 1968 Bisher schnellster bekannter Algorithmus Laufzeit von ca. Ω(n2,81) bei quadratischen Matrizen

10


AgendaAgenda




Generelle Annahmen



11


Parallele AlgorithmenParallele Algorithmen- Generelle Annahmen -- Generelle Annahmen -

p verschiede Prozesse

Auf unterschiedlichen Prozessoren

Quadratische Matrizen der Ordnung (n,n)

n ist ein Vielfache von √p

Für das Beispiel gilt:

n = 4 und p = 4

12


Parallele AlgorithmenParallele Algorithmen- Schleifenparallelisierung -- Schleifenparallelisierung -

A

Prozess 1

B C

A

Prozess 2

B C

A

Prozess 3

B C

A

Prozess 1

B C

A

Prozess 2

B C

A

Prozess 3

B C

A

Prozess 1

B C

A

Prozess 2

B C

A

Prozess 3

B C

Erster Kommunikations-

schritt

ZweiterKommunikations-

schritt

Multiplikation eines (n / p) x (n / p) Blocks aus A mit einem (n / p) x n Block aus B

Anzahl der Iterationen ist p Zeit für Multiplikation und Addition Zeit für gesamte Berechnung für einzelnen Prozess:

(n / p) (n / p) n p = n3 / p Neben Berechnungszeit noch Kommunikationszeit

13



Kommunikationszeit Latenzzeit Übertragung von (n / p) x n aus Matrix B Transaktionszeit Zeit pro Kommunikationsvorgang:

+ (( n / p ) n ) /

14



Kommunikationszeit Latenzzeit Übertragung von (n / p) x n aus Matrix B Transaktionszeit Zeit pro Kommunikationsvorgang:

+ (( n / p ) n ) /

Bearbeitungszeit Berechnungszeit + Zeit p. Kommunikationsvorgang Anzahl

Vorgänge Anzahl der Vorgänge p Gesamtbearbeitungszeit:

n3 / p + p + n2 / Berechnungszeit: Θ(n3), Kommunikationszeit: Θ(n2)

14


Parallele AlgorithmenParallele Algorithmen- Cannon‘s Algorithmus -- Cannon‘s Algorithmus -

Aufteilung in Submatrizen, ähnlich denen von Strassen Submatrizen haben Ordnung (b,b) mit b = n / √p Pro Block (Submatrix) aus C ein Prozess Blöcke von A werde nach Links, Blöcke von B nach Rechts

weitergegeben Dabei Multiplikation und Aufsummierung Problem: Anfangsaufteilung

B4,3

B3,3

B1,3

B2,3

A2,2 A2,3 A2,4 A2,1

B1,3

B4,3

B2,3

B3,3

A2,3 A2,4 A2,1 A2,2

B2,3

B1,3

B3,3

B4,3

A2,4 A2,1 A2,2 A2,3

B3,3

B2,3

B4,3

B1,3

A2,1 A2,2 A2,3 A2,4

15



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

16


Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1


16



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

5

-2

4

2

-1

-3

-2

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

Prozess 2

A1,2

B2,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,1

B1,1

B1,2B2,1

A2,1A2,2

16



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

17

11

33

13

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

4

2

18

0

Prozess 3

-4

2

-13

18

Prozess 4

5

-2

4

2

-1

-3

-2

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

Prozess 2

A1,2

B2,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,1

B1,1

B1,2B2,1

A2,1A2,2

16



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

17

11

33

13

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

4

2

18

0

Prozess 3

-4

2

-13

18

Prozess 4

5

-2

4

2

-1

-3

-2

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

Prozess 2

A1,2

B2,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,1

B1,1

B1,2B2,1

A2,1A2,2

16



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

17

11

33

13

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

4

2

18

0

Prozess 3

-4

2

-13

18

Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

-4

-2

-2

-3

1

1

3

1

8

3

3

10

0

1

2

2

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

17

11

33

13

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

4

2

18

0

Prozess 3

-4

2

-13

18

Prozess 4

5

-2

4

2

-1

-3

-2

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

Prozess 2

A1,2

B2,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,1

B1,1

B1,2B2,1

A2,1A2,2

Prozess 2

A1,1

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,2

B2,1

B2,2B1,1

A2,2A2,1

16



Prozess 2

A1,2

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

15

8

21

3

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

-10

-19

-5

1

Prozess 3

18

-14

17

-12

Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

-4

-2

-2

-3

1

1

3

1

8

3

3

10

0

1

2

2

Prozess 1 Prozess 2

Prozess 3 Prozess 4

-1

-3

-2

1

5

-2

4

2

6

-2

2

5

0

2

7

3

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

17

11

33

13

Prozess 1

-14

-4

-2

-9

Prozess 2

4

2

18

0

Prozess 3

-4

2

-13

18

Prozess 4

5

-2

4

2

-1

-3

-2

1

0

2

7

3

6

-2

2

5

1

1

3

1

-4

-2

-2

-3

0

1

2

2

8

3

3

10

A1,1

B1,1

B2,2B2,1

A2,2A2,1

Prozess 2

A1,2

B2,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,1

B1,1

B1,2B2,1

A2,1A2,2

Prozess 2

A1,1

B1,2

Prozess 3 Prozess 4

Prozess 1

A1,2

B2,1

B2,2B1,1

A2,2A2,1

16



Berechnungszeit Multiplikation von ( n / √p ) x ( n / √p ) Elemente aus Matrix A mit

( n / √p ) x ( n / √p ) aus Matrix B pro Iteration Anzahl der Iterationen √p Zeit für Multiplikation und Addition Gesamte Berechnungszeit pro Prozess:

( n / √p )3 √p = n3 / p

17



Berechnungszeit Multiplikation von ( n / √p ) x ( n / √p ) Elemente aus Matrix A mit

( n / √p ) x ( n / √p ) aus Matrix B pro Iteration Anzahl der Iterationen √p Zeit für Multiplikation und Addition Gesamte Berechnungszeit pro Prozess:

( n / √p )3 √p = n3 / p

Anfangs-Aufteilungszeit Zeit zur Übertragung eines Matrixelements 1 / Zeit für Anfangs-Aufteilung

2 ( + n2 / ( p ))

17



Kommunikationszeit Empfang und Versand eines Blockes von A und B bei jeder der

√p Iterationen Benötigte Zeit:

√p * 2 * ( + n2 / ( p ))

18



Kommunikationszeit Empfang und Versand eines Blockes von A und B bei jeder der

√p Iterationen Benötigte Zeit:

√p * 2 * ( + n2 / ( p ))

Bearbeitungszeit Anfangszeit + Berechnungszeit + Kommunikationszeit Gesamtbearbeitungszeit

n3 / p + 2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))

18


AgendaAgenda






19


Sequentielle AlgorithmenSequentielle Algorithmen

Intuitiver Algorithmus Prinzip: 3 Schleifen Leicht zu implementieren Verständlich Laufzeit: Θ(n3) Vergleichszeit für andere

Algorithmen Auch in rekursiver Variante

Möglich, dadurch aber keine andere Laufzeit

20

Strassen-Algorithmus Veröffentlicht: 1968 Prinzip: Aufteilung in

Submatrizen und geschickte Addition, Subtraktion und Multiplikation

Laufzeit: Ω(n2,81) Algorithmus mit der schnellsten

bekannten Berechnungszeit Für Ein-Prozessor-Rechner

bisher ideal


Sequentielle AlgorithmenSequentielle Algorithmen

Intuitiver Algorithmus Prinzip: 3 Schleifen Leicht zu implementieren Verständlich Laufzeit: Θ(n3) Vergleichszeit für andere

Algorithmen Auch in rekursiver Variante

Möglich, dadurch aber keine andere Laufzeit

20

Strassen-Algorithmus Veröffentlicht: 1968 Prinzip: Aufteilung in

Submatrizen und geschickte Addition, Subtraktion und Multiplikation

Laufzeit: Ω(n2,81) Algorithmus mit der schnellsten

bekannten Berechnungszeit Für Ein-Prozessor-Rechner

bisher ideal


Parallele AlgorithmenParallele Algorithmen

Schleifenparallelisierung Prinzip: Multiplikation eines

(n / p) x (n / p) Blocks mit einem

(n / p) x n Block pro Iteration Anzahl Iterationen p Berechnungszeit Θ(n3)

n3 / p Kommunikationszeit Θ(n2)

p + n2 /

21

Cannon‘s Algorithmus Prinzip: Multiplikation eines

(n / √ p) x (n / √ p) Blocks mit einem (n / √ p) x (n / √ p) Block pro Iteration

Anzahl Iterationen √p Berechnungszeit Θ(n3)


2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))



p + n2 / > 2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))

22



p + n2 / > 2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))

p > 2 ( √p + 1 ) p > 2 ( √p + 1 )

22



p + n2 / > 2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))

p > 2 ( √p + 1 ) p > 2 ( √p + 1 )

n2 / > 2 ( √p + 1 ) n2 / ( p ))

22



p + n2 / > 2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))

p > 2 ( √p + 1 ) p > 2 ( √p + 1 )

n2 / > 2 ( √p + 1 ) n2 / ( p ))

Gilt, sofern p > 2 √3 + 4 ≈ 7,46410 und > 0 und > 0 ist. Damit ist Cannon‘s Algorithmus ab 8 parallelen Prozessens besser.

22



Schleifenparallelisierung Prinzip: Multiplikation eines

(n / p) x (n / p) Blocks mit einem

(n / p) x n Block pro Iteration Anzahl Iterationen p Berechnungszeit Θ(n3)

n3 / p2

Kommunikationszeit Θ(n2)

p + n2 /

23

Cannon‘s Algorithmus Prinzip: Multiplikation eines

(n / √ p) x (n / √ p) Blocks mit einem (n / √ p) x (n / √ p) Block pro Iteration

Anzahl Iterationen √p Berechnungszeit Θ(n3)


2 ( √p + 1 ) ( + n2 / ( p ))


Sequentielle vs. Parallele AlgorithmenSequentielle vs. Parallele Algorithmen

Strassen-Algorithmus Aufteilungsprinzip Schnellste Berechnungszeit Keine Kommunikationszeit

benötigt

24

Cannon‘s Algorithmus Aufteilungsprinzip Verbesserung der Bearbeitungs-

zeit durch Aufteilung der Berechnungszeit

Kommunikation kann parallel zur Berechnung erfolgen, sofern genug Speicher vorhanden




benötigt

24




Bearbeitungszeit bei Cannon‘s Algorithmus

<

Berechnungszeit beim Strassen-Algorithmus




benötigt

24




Bearbeitungszeit bei Cannon‘s Algorithmus

<

Berechnungszeit beim Strassen-Algorithmus


AgendaAgenda






25


ZusammenfassungZusammenfassung

26

Überblick über Algorithmen der Matrixmultiplikation

Vergleich sequentieller und paralleler Algorithmen

Ziel



26



Vorstellung von zwei sequentiellen Algorithmen: Intuitiv und Strassen

Vorstellung von zwei parallelen Algorithmen: Schleifen-parallelisierung und Cannon

Ziel Vorgehen



26



Vorstellung von zwei sequentiellen Algorithmen: Intuitiv und Strassen

Vorstellung von zwei parallelen Algorithmen: Schleifen-parallelisierung und Cannon

Bei Paralleler Verarbeitung: Cannon, sofern mehr als acht parallele Prozesse vorhanden sind

Ohne Parallele Verarbeitung: Strassen ABER: „Bester“ Algorithmus für die Multiplikation von Matrizen ist noch

immer nicht gefunden worden. (Sedgewick, S. 604)

Ziel Vorgehen

Ergebnis

Documents

WIRTSCHAFTSINFORMATIK Westfälische Wilhelms-Universität Münster WIRTSCHAFTS INFORMATIK Matrixmultiplikation im Rahmen des Seminars Parallele und Verteilte