Dominik Ziajka

WNIOSKOWANIE ROZMYTEFUZZY INFERENCE

Celem artykułu jest przedstawienie teorii zbiorów rozmytych, wnioskowania roz-mytego oraz porównania ich ze zbiorami przybliżonymi. Wprowadzenie do zbiorówrozmytych ma na celu ukazanie praktycznej strony oraz zastosowania ich w obszarachżycia codziennego. Autor pracy spróbuje omówić zagadnienia, bazując na wzorachmatematycznych, w formie zrozumiałej dla czytelnika, przedstawiając jednocześniekonkretne przykłady umożliwiające głębsze zrozumienie.

Aim of Article is present fuzzy sets, fuzzy inference and to compare them withrough sets. Introduction to fuzzy sets intend to show up practical side of them andapply them into areas of daily life. The Author tries to lay down issues, based onmathematical formulas in a form understandable to the reader, pointing out specificexamples for deeper understanding.

Słowa kluczowe:zbiory rozmyte, wnioskowanie, logika rozmyta, modelowanie rozmyte, zbiory przybli-żone, reguły

Keywords:fuzzy sets, inference, fuzzy logic, fuzzy modeling, rough sets, rules

inż. Dominik Ziajka, Instytut Teleinformatyki, Wydział Fizyki Matematyki i Infor-matyki, Politechnika Krakowska

1. Wstęp do zbiorów rozmytych

Tradycyjne podejście do obliczeń określało pojęcie niepewności jako niepożą-dane. Podejście klasyczne zawiera w sobie jasne ramy problemu, precyzje iliczby reprezentujące dany problem. Z biegiem czasu uczeni uznali, że naukanie może pomijać sytuacji gdzie występuje brak precyzyjności, nieokreślonościi niespójności. Mało tego, niejednoznaczność stała się doskonałym narzędziem.

Pierwszym krokiem wykorzystania niepewności było wykorzystanie me-chanizmów statystyki, gdzie w końcu XIX wieku badano procesy na poziomiecząsteczek. Liczba informacji była i jest zbyt duża aby studiować to zagad-nienie klasycznymi metodami, zarówno w dostępnych mocach obliczeniowychkomputerów, jak i w podstawowych ograniczeniach obliczeń 1.

Dwa podejścia, bezpośrednich liczb oraz wykorzystanie statystyki są skraj-nymi możliwościami podejścia do zagadnienia. Większość problemów znajdujesię jednak pomiędzy nimi, gdzie nie mamy jasno określonych ram lub problemjest zbyt złożony. [GJ95, s. 19].

Teoria zbiorów rozmytych została zaproponowana przez profesora LotfiLadeh, z uniwersytetu UC Berkeley w 1965 roku. Zbiory rozmyte określiłjako zbiory z granicami, które nie są precyzyjne. Wprowadzono pojęcie funk-cji przynależności określającą stopień przynależności danego elementu w celuokreślenia przynależności danego elementu do zbioru rozmytego [GJ95]. Funk-cja ta przyjmuje wartości z zakresu [0, 1], gdzie 0 oznacza brak przynależności,a 1 pełną przynależność.

Zaletą stosowanie zbiorów rozmytych jest możliwość stopniowego opisywa-nia rzeczywistości. W normalnych warunkach opisujemy elementy, nas ota-czające, przez kwantyfikatory duży, średni, mały, bardzo mały itd. Pojęcia tejednak nie są jednoznacznie zdefiniowane ze względu na miarę. Przykładowo,możemy opisywać zjawiska subiektywne, jak pogoda. Uważa się, że dzień zdużym nasileniem słońca i bezchmurny jest słoneczny. Nie oznacza to jednak,że w 100% jest bezchmurny dzień. Wartość ta może wahać się dla jednych po-między 0% a 10%, dla drugich pomiędzy 0% a 20%. Kolejno, pojęcie średniezachmurzenie, też nie jest jednoznaczne. Dodatkowo, pojęcia te przenikająpomiędzy siebie i nie ma jednoznacznej granicy pomiędzy nimi. Zbiory roz-myte umożliwiają opisywanie tych zjawisk przez funkcje przynależności, którew większości przypadków nie opisują skrajnych sytuacji (TAK - 1, NIE - 0), astopień przynależność do danego określenia.

[DD80, s. 261] [WS05, s. 118].

1Limit Bremermanna - maksymalna moc obliczeniowa układu (2 ∗ 1047 na gram) jakąmożna uzyskać niezależnie od stanu wiedzy technicznej.[bre]

2

2. Zbiory rozmyte

Świat rzeczywisty postrzegamy poprzez ocenę przedmiotów, zjawisk czy teżwłasnych subiektywnych odczuć. W przypadku zbiorów rozmytych, element,który podlega analizie nazywamy zmienną lingwistyczną.

Definicja 1. Zmienną lingwistyczną (ang. linguistic variable) jest ta wielkośćwejściowa, wyjściowa bądź zmienna stanu, którą zamierzamy oceniać stosującoceny lingwistyczne, zwane wartościami lingwistycznymi. [Pie99, s. 14]

Przykładami zmiennej lingwistycznej są: wzrost, waga, prędkość wiatru.Każdy z tych elementów możemy ocenić poprzez zastosowanie przymiot-

nika przy danej cesze. Dla zbiorów rozmytych określenie to nazywa się warto-ścią lingwistyczną.

Definicja 2. Wartość lingwistyczna (ang. linguistic value) jest słowną ocenąwielkości lingwistycznej. [Pie99, s. 14]

Przykładami wartości lingwistycznej są: mały, średni, duży, brzydki, po-jemny.

Niedokładne określenie liczb, np. prawie 7, około 4, trochę powyżej 12nazywamy liczbą rozmytą.

Zbiorem wszystkich wartości zbioru rozmytego nazywamy przestrzenią lin-gwistyczną zmiennej.

Definicja 3. Przestrzeń lingwistyczna zmiennej (ang. linguistic term-set)jest zbiorem wszystkich wartości lingwistycznych stosowanych do oceny danejzmiennej lingwistycznej. [Pie99, s. 15]

Wartości, które reprezentuje zmienna lingwistyczna nazywa się przestrze-nią numeryczną zmiennej.

Definicja 4. Przestrzeń numeryczna zmiennej (ang. universe of discourse)jest zbiorem wszystkich wartości numerycznych, jakie może ona realnie przy-jąć w rozpatrywanym systemie lub też takich wartości, które są istotne dlarozwiązywanego problemu (modelu systemu). [Pie99, s. 16]

Przykładowo może być to zakres temperatur w rozpatrywanym modelu od0 do 100 st.C.

Określenie wartości lingwistycznej realizujemy poprzez funkcje przynależ-ności.

3

Definicja 5. Funkcją przynależności zbioru rozmytego A (µA(x)) nazywamyfunkcję która każdemu elementowi x ∈ X przypisuje stopień jego przynależno-ści µ∗A(x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

µA(x) ∈ [0, 1]. (1)

[Pie99, s. 17]

Definicja 6. Funkcją przynależności realizuje odwzorowanie przestrzeni nu-merycznej X danej zmiennej do przedziału [0, 1]:

x : X → [0, 1]. (2)

[Pie99, s. 17]

Definicja 7. Stopniem przynależności (ang. grade of membership) nazywamywartość zwracaną przez funkcję przynależności.

Stopień przynależności określa w jakim stopniu element x należy do zbiorurozmytego A.

Definicja 8. Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) dla pewnej przestrzeni rozważańX, nazywamy zbiór par:

A = {µ∗A(x), x} (3)

[Pie99, s. 17]

2.1. Funkcje przynależności

0

1

T1 T2

Przy

nale

żnoś

ć

Temperatura C,°

bardzo niska niska średnia wysoka bardzo wysoka

Rysunek 1: Przykładowa funkcja przynależności dla określenia temperatury.

4

Tablica 1: Przykładowe funkcje przynależności.

Funkcjaprzynależ-ności

Reprezentacja graficzna Definicja

Singleton µ(

)x

0

1

a x

µ(x, a) =

{1 dla x = a,

0 dla x 6= a

Trójkątna µ(

)x

0

1

a b c x

µ(x; a, b, c) =

0 dla x ≤ a,x−ab−adla a < x ≤ b

c−xc−bdla b < x ≤ c

0 dla x > c

(4)

Trapezowa µ(

)x

0

1

a b c d x

µ(x; a, b, c, d) =

0 dla x ≤ a,x−ab−adla a < x ≤ b

1 dla b < x ≤ cd−xd−cdla c < x ≤ d

0 dla x > d

(5)

Gaussowska µ(

)x

0

1

µ x

µ(x, µ, σ) = exp

(− (x− µ)2

2σ2

), (6)

µ - środek, σ2 - wariancja

3. Logika rozmyta

Klasyczna logika dwuwartościowa opiera się na operacjach logicznych:

• ORAZ (ang. AND) - operator przecięcia (iloczynu logicznego) zbiorów,

• LUB (ang. OR) - operator połączenia (sumy logicznej) zbiorów,

5

• NIE (ang. NOT) - operator negacji (dopełnienia logicznego) zbiorów.

[Pie99]Operacja w niej przeprowadza się na dwóch wartościach 1 (należy do

zbioru), 0 (nie należy). W przypadku zbiorów rozmytych, w większości przy-padku, występuje niepełna przynależność do zbioru, dlatego L.Zadeh zapro-ponował zastosowanie operatora minimum - MIN:

µA∩B(x) =MIN(µA(x), µB(x)),∀x ∈ X. (7)

Był to pierwszy operator rozszerzający operację przecięcia zbiorów nieroz-mytych na zbiory rozmyte [Pie99, p. 111] Alternatywnym rozwiązaniem jestzastosowania operatora iloczynu - PROD określonego jako:

µA∩B(x) = µA(x) · µB(x),∀x ∈ X. (8)

µA ix( )µB ix( )µA B ix( )∩

µA B ix( )∩

MIN−

PROD−

1

0x1 x2 x3 x4

x6x5

Rysunek 2: Porównanie operatora MIN oraz PROD (todo: złożyć to na jednymobrazie).Operator t-normy jest funkcją T modelującą operacją połączenia (AND)

dwóch zbiorów rozmytych A, B o cechach spełnionych dla wszystkich x ∈ X:

1. T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] - przestrzenie odwzorowania,

2. T (0, 0) = 0 - zerowanie,

3. T (µA(x), 1) = µA(x), T (1, µB(x)) = µB(x) - tożsamość jedynki,

4. T (µA(x), µB(x)) = T (µB(x), µA(x)) - przemienność,

6

5. T (µA(x), T (µB(x), µC(x))) = T (T (µA(x), µB(x)), µC(x)) - łączność,

6. µA ≤ µC(x), µB(x) ≤ µD(x) ⇒ T (µA(x), µB(x)) ≤ T (µC(x), µD(x)) -monotoniczność.

Operator s-normy jest funkcją S realizującą operację połączenia LUB dwóchzbiorów rozmytych A i B o własnościach dla wszystkich x ∈ X: [Pie99, s. 127]

1. S : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] - przestrzenie odwzorowania,

2. S(0, 0) = 0 - zerowanie,

3. S(µA(x), 0) = µA(x), S(0, µB(x)) = µB(x) - działanie zawierające ele-ment naturalny równy 0,

4. S(µA(x), µB(x)) = S(µB(x), µA(x)) - przemienność,

5. S(µA(x), S(µB(x), µC(x))) = S(S(µA(x), µB(x)), µC(x)) - łączność,

6. µA ≤ µC(x), µB(x) ≤ µD(x) ⇒ S(µA(x), µB(x)) ≤ S(µC(x), µD(x)) -monotoniczność.

Tablica 2: Komplementarne pary t-norm i s-norm [Pie99, 129]

t-norma kompletarna s-normaMIN MAXiloczyn algebraiczny suma algebraicznailoczyn Hamachera suma Hamacherailoczyn Einsteina suma Einsteinailoczyn drastyczny suma drastycznailoczyn ograniczony suma ograniczonanastawialny operator przecięciazbiorów Hamachera

nastawialny operator połączeniazbiorów Hamachera

nastawialny operator przecięciazbiorów Yagera

nastawialny operator połączeniazbiorów Yagera

Pomiędzy normami T i S zachodzi związek komplementarności:

T [µA(x), µB(x)] = 1− S[1− µA(x), 1− µB(x)] (9)

7

4. Wnioskowanie rozmyte

Rysunek 3: Proces wnioskowania systemu rozmytego

4.1. Blok rozmywania

Systemy z logiką rozmytą operują na zbiorach rozmytych, z tego względu każdąwartość numeryczną należy przekształcić na wejściu systemu w zbiór rozmyty.W systemach sterowania stosuje się operacje rozmywania typu singleton,rzadziej inne funkcje przynależności.

Rozmywanie (ang. fuzzyfication) polega na znalezieniu stopnia przynależ-ności wartości lingwistycznej zmiennej lingwistycznej odpowiadającej liczbiewejściowej, skalarnej czy też rozmytej. [WS05, s. 66]

Przykładowo, posiadając liczbę rozmytą t, której wartości są określone od0 do 100 st. C. Rozmywanie ma za zadanie odwzorować wartość w zmiennąlingwistyczną (niska, średnia, wysoka temperatura) określoną przez funkcjeprzynależności na pełnym zbiorze [0, 100]. [WS05, s. 66]

8

4.2. Baza reguł

Wiedze w systemach rozmytych reprezentuje się poprzez reguły, zwane rów-nież rozmytymi modelami wiedzy. Najczęściej stosowanym rozwiązaniem jestregułowa reprezentacja wiedzy typu JEŻELI-TO.

Ogólna postać regułowej reprezentacja wiedzy zwanej też regułami wnio-skowania lub regułami decyzji sklada się z części warunkowej pr, zwanej prze-słanką bądź poprzednikiem reguły oraz części decyzyjnej qr zwanej konkluzjąbądź następnikiem reguły. W formie ogólnej ma postać:

JEŻELI pr TO qr (10)

Słowa kluczowe JEŻELI (ang. IF) oraz TO (ang. THEN) stanowią słowakluczowe poprzedające odpowiednio przesłankę i konklujzę reguły.

Swoją popularność zawdzięczają swojej prostocie zapisu, interpretacji iwnioskowania. Korzyścią z zastosowania ich jest operacja na znacznie mniej-szej ilości informacji o systemie niż w modelach matematycznych. Występująróżne postaci bazy wiedzy w zależności od zastosowanego modelu. Poniżejzaprezentowano najpopularniejsze z nich.

[Rud11]

5. Modelowanie rozmyte

Modelowanie jest procesem odwzorowanie rzeczywistości w system informa-tyczny. W przypadku zbiorów rozmytych opracowywane są różnorodne mo-dele, różniące się poziomem dokładności, ograniczenia struktury czy też pozio-mem szczegółowości. Podstawową różnicą w stosunku do klasycznych modelijest zmniejszona liczba informacji wymagana do opracowania takowego mo-delu.

W modelach wnioskowania możemy wyróżnić dwie podstawowe grupy:modele lingwistyczne, gdzie podstawą jest zbiór reguł JEŻELI-TO stanowią-cych jakościowy opis systemu, oraz oparte na modelu Takagi-Sugeno-Kanga,w którym są tworzone reguły logiczne mające rozmytą część poprzedników ifunkcyjny następnik (połączenie modelu rozmytego z klasycznym).

5.0.1. Rozmyte modele lingwistyczne (Mamdani)

Model Mamdaniego jest podstawowym modelem wnioskowania rozmytego opie-rającego się na bazie reguł oraz zastosowaniu operatorów lingwistycznych. Za-stosowano w nim model człowieka-regulatora sterującego obiektem. Wykorzy-stuje się go do sterowania rozmytego obiektów dynamicznych. Odwzorowuje

9

wejścia modelu X na wyjście Y : X → Y wykorzystując zbiór rozmytych regułwarunkowych (ang. fuzzy conditional rules) o postaci:

JEŻELI (x jest Ai) TO (y jest Bj), (11)

gdzie x jest zmienną wejściową modelu, y zmienną wyjściową, a Ai, Bj

wartościami zmiennych lingwistycznych.

R1: JEŻELI (x jest A1) TO (y jest B1)

R2: JEŻELI (x jest A2) TO (y jest B2)

. . .

(12)

Każda z reguł określa cechę systemu reprezentowaną na przestrzeni ilo-czynu kartezjańskiego (X × Y ) systemu rzeczywistego (punkty charaktery-styczne). Nie jest wymagane aby każda cecha była zgodnym odwzorowaniemsystemy, ale aby średnia dokładność byłaby odpowiednio wysoka.

R1

R2

R3

*R1

*R2

*R3

*B1

*B2

*B3

B1

B2

B3

model

system

55

4 4

3 3

22

11

00 11

1 100

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

x x

x x

yy

µ( )y µ( )y

µ( )yµ( )y

yy

A1 A2 A3*A1

*A2 A33*

)a )b

Rysunek 4: Przykłady odwzorowania reguł w system rzeczywisty.Funkcja przynależności relacji rozmytej Rij wyznaczna jest przy wykorzy-

staniu operatora t-normy:

10

µRij(x,y) = µAi→Bj (x, y) = T (µAi , µBj(y), (13)

gdzie T jest operatorem t-normy (np. MIN lub PROD).

µ µ

µ µ

µ

µ

µ

B11 B12

B21 B22

Y1

Y2

F

u1 u2

Rysunek 5: Przykład wnioskowania Mamdamiego.Wyjście systemu obliczane jest jako:

y =

R∑i=1

yiµAi(x)

R∑i=1

µAi(x)

(14)

5.0.2. Model Takagi - Sugeno - Kanga

Model Takugi-Sugeno-Kanga, zwanego w skrócie TSK różni się od modeluMamdaniego postacią reguł:

JEŻELI (x jest A) TO (y = f(x)), (15)

gdzie x jest zmienną wejściową modelu, y zmienną wyjściową, A wartościąlingwistyczną, a f nierozmytą funkcją wartości wejśc.

Baza reguł ma postać:

11

R1: JEŻELI (x jest A1) TO (y = f1(x))

R2: JEŻELI (x jest A2) TO (y = f2(x))

. . .

(16)

W porównaniu do modelu Mamdaniego, jako konkluzje otrzymujemy func-kję f(x) zamiast zbioru rozmytego.

Wyjście modelu oblicza się na podstawie stopnia aktywizacji poszczegól-nych konkluzji wyrażonych wzorem:

y =

m∑i=1

µAi(x)fi(x)

m∑i=1

µAi(x)

(17)

5.0.3. Modele relacyjne

Kolejną metodą reprezentacją modelu rozmytego jest rozmyty model relacyjny(ang. fuzzy relational model) zawierający w sobie współczynniki wag. Ogólnapostać reguły ma postać:

R(m) : JEŻELI x1 = A1m I . . . I xN = AN

m TO y = B1/m(w′1/m)

y = Bj/m(w′j/m)

y = BJ/m(w′J/m),

(18)

gdzie N jest liczbą zmiennych wejściowych modelu, M liczbą reguł pli-kowych, x1 . . . xN zmiennymi wejściowymi modelu, y zmienną wyjściową, An

m

wartością lingwistyczną n-tej zmiennej wejściowej, Bj/m wartością lingwistycznązmiennej wyjściowej w j-tej regule elementarnej m-tej reguły plikowej, w′j/mstanowią wagi poszczególnej reguły określane jako współczynniki ufności.

Poszczególne reguły nie są całkowicie prawdziwe, lecz jedynie częściowo.Prawdziwość reguły wynika z tzw. współczynnika ufności w′j/m. Współczyn-nik ten obliczany jest na podstawie teorii równań relacyjnych albo pomiarówdoświadczalnych z użyciem rozmytych sieci neuronowych.

5.1. Blok wnioskowania

Klasyczny rachunek zdaniowy opiera się na czterech podstawowych regułachwnioskowania: modus ponendo ponens (sposób potwierdzenia przez potwier-dzenie), modus tollendo tollens (sposób zaprzeczający przez zaprzeczenie),

12

modus tollendo ponens (sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) oraz modusponendo tollens (sposób zaprzeczający przez potwierdzenie). Modus po-nendo ponens może zostać zapisany jako:

Fakt: X jest A

Reguła: JEŻELI x jest A TO y jest B

Wniosek: y jest B

(19)

Wnioskowanie modus tollendo tollens polega na zamianie ról:

Fakt: X nie jest A

Reguła: JEŻELI x jest A TO y jest B

Wniosek: y nie jest B

(20)

W przypadku zbiorów rozmytych wykorzystuje się, wprowadzoną przez Za-deha, uogólnioną regułę wnioskowania. Umożliwia ona wnioskowanie rozmyteoparte na rozmytych przesłankach i konkluzjach. Różnica w stosunku do kla-sycznego podejścia umożliwia operacje na faktach, które są częściowo znane,w przeciwieństwie gdy w klasycznym podejściu fakt musi być pewny.

Najczęściej stosuje się uogólnioną regułę wnioskowania modus ponendo po-nens, którą można przedstawić jako:

Fakt: x1 = A′1 I . . . I xN = A′N

Reguła: JEŻELI x1 = A1 I . . . IxN = AN TO y = B

Wniosek: y = B′,

(21)

gdzie A′1 . . . A′N (zbiór rozmyty) są wartościami lingwistycznymi zmiennych

lingwistycznych x1 . . . xN , a B′ wynikowym zbiorem rozmytym.

5.2. Blok wyostrzania

W bloku wyostrzania następuje proces odwrotny do rozmywania - wyostrzanie(dezuffyfikacja - ang. defuzzification). Jest to operacja, w której uzyskuje sięwartość numeryczną na wyjściu z modelu. Istnieje wiele metod wyostrzania, wzależności od zastosowania systemu oraz użytych reguł rozmytych. Najczęściejwykorzystywaną metodą jest metoda środka ciężkości (ang. Center of Gravity,w skrócie COG) wyrażona wzorem:

13

y∗ =

∫yµwyn(y)dy∫µwyn(y)dy

, (22)

gdzie y∗ - wartośc numeryczna na wyjściu modelu, y - zmienna wyjściowamodelu, B′ - zbiór rozmyty.

W ramach dopełnienia należy zaznaczyć, że istnieją inne metody wyostrza-nia, takie jak:

1. metoda indeksowanego środka ciężkości,

2. modyfikowana metoda indeksowanego środka ciężkości,

3. metoda średniej środków.

µ( )y

B1 B2

µ ( )ywyn

*y yc=

yc y

1

C

Rysunek 6: Zastosowanie metody środka ciężkości.

6. Zastosowanie zbiorów rozmytych

Rozmytość jest wykorzystywana w grach komputerowych w celu bardziej re-alistycznej ekspresji uczuć, np. poprzez stany emocjonalne miły, wrogi, dobry,zły. Stosuje się je również do sterowania zjawiskami, jak chmury czy porusza-jące się liście pod wpływem wiatru. [War08].

14

6.1. Przetwarzanie obrazów

Zbiory rozmyte są wykorzystywane w rozmytym przetwarzaniu obrazów (ang.Fuzzy Image Processing), takich jak:

Korekcja kontrastu

Korekcie kontrastu - określa się funkcję przynależności bazując na histogramiez danego obrazu oraz stosuje reguły wnioskowania:

JEŻELI ciemny TO ciemniejszyJEŻELI szary TO szaryJEŻELI jasny TO jaśniejszy

Rysunek 7: Funkcja przynależności kolorów do grup: ciemny, szary, jasny

Subiektywne ulepszenie obrazu

Rysunek 8: Obraz przed (po lewej) oraz po (po prawej) algorytmie subiektyw-nego ulepszania obrazu.

Wydzieleniu elementów z obrazu

JEŻELI piksel jest ciemny ORAZ sąsiedzi również są ciemni ORAZ homogoniczniTO należy do tła

15

Wykrywaniu kształtów

[pam]

7. Zbiory przybliżone

Zbiory przybliżone zostały zaproponowane przez prof. Z. Pawlaka w 1982 roku[Paw82]. Wykorzystywane są w bankowości, medycynie czy też innych dzie-dzinach biznesowych. Przykładami takich aplikacji są systemy odkrywaniawiedzy, wspomagających podejmowanie dezycji, czy też w klasyfikacji infor-macji - sztuczna inteligencja.

7.1. System informacyjny

Systemy przetwarzające dane operują na strukturach danych umożliwiającychprzechowywanie różnorodnych danych oraz łatwość analizy modelu. Cechy teodpowiednio nazywane są uniwersalnością oraz efektywnością. Przykłademtakiej struktury jest tablica danych, w której w kolumnach określamy cechyobiektu, wierszami wyróżniamy obiekty, a przęciecimi ich jest przyporządko-wanie danemu obiektowi okręśloną ceszę.

Definicja 9. Systemem informacyjnym (SI) (ang. information system) na-zywamy czwórkę:

SI =< U,A, V, f >, (23)

gdzie:

U - jest niepustym, skończonym zbiorem uniwersum, przy czym elementyzbioru, U nazywamy obiektami U = {x1, x2, . . . , xn},

A - jest niepustym, skończonym zbiorem atrybutów: A = {a1, a2, . . . , an},

V - jest zbiorem wartości atrybutów ze zbioru A : V = ∪a∈AVa, przyczym Va nazywamy dziedziną atrybutu a ∈ A,

f - jest funkcją informacji, odpowiadającą iloczynowi kartezjańskiemuzbioru obiektów i zbioru atrybutów w zbiór wartości atrybutów, co odpo-wiada formule: U ×A→ V , gdzie ∀x∈U

a∈Af(x, a) ∈ Va.

Przykładem takiego systemu może być poniższa tabela:

16

Tablica 3: Przykład systemu informacyjnego

Oprog. Użytkownicy Otwartość Rozwijany FunkcjonalnościDecyzja1 mała tak nie tak nie2 średnia nie tak nie nie3 duża tak tak tak tak4 duża nie tak tak tak5 duża tak nie tak tak6 średnia nie nie nie nie7 duża tak tak nie nie

System ma za zadanie wspomóc podjęcie decyzji o zakupie oprogramo-wania (7 obiektów). Wyróżniono atrybuty liczby użytkowników (zasięg dzia-łalności), otwartość ze względu na upublicznienie kodu źródłowego, czy danysystem jest dalej rozwijany, czy spełnia wymagane funkcjonalności oraz czyjest rozważany do decyzji. Reprezentacja powyższego systemu do systemuinformacyjnego przedstawia się następująco:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

A = {użytkownicy, otwartość, rozwijany, funkcjonalności, decyzja},

V = Vużytkownicy ∪ Votwartość ∪ Vrozwijany ∪ Vfunkcjonalności ∪ Vdecyzja,

Vużytkownicy = {mała, średnia, duża},

Votwartość = {tak,nie},

Vrozwijany = {tak,nie},

Vfunkcjonalności = {tak,nie},

Vdecyzja = {tak,nie},

f : U ×A→ V :

f(2, użytkownicy) = średnia,

f(7, rozwijany) = tak.

17

7.2. Tablice decyzyjne

Zastępując atrybuty (A), w systemie informacyjny, atrybutami warunkowymi(C) oraz decyzyjnymi otrzymujemy tablice decyzyjne (TD). Formalnie tablicadecyzyjna jest określona jako:

Definicja 10. Tablicą decyzyjną nazywamy uporządkowaną piątkę:

SI = (U,C,D, V, f), (24)

gdzie:

C,D ⊂ A; C 6= ∅; C ∪D = A; C ∩D = ∅,

elementy zbioru C nazywamy atrybutami warunkowymi,

elementy zbioru D nazywamy atrybutami decyzyjnymi,

f nazywamy funkcję decyzyjną,

zbiory U i V realizują taką samą funkcję jak w przypadku SI.

Definicja 11. Wartości v dziedzin atrybutów D (v ∈ VD)) nazywamy klasamidecyzyjnymi.

zbiór

klasa abstrakcji

obszar negatywny

dolna aproksymacja zbioru

górna aproksymacja zbioru

brzeg zbioru

Rysunek 9: Ilustracja zbioru przybliżonego

18

8. Porównanie zbiorów rozmytych i przybliżonych

9. Podsumowanie

19

Literatura

[bre] Philosophy of mind: A functionalist primer. [online].http://humanknowledge.net/Philosophy/Epistemology/PhilosophyOfMind.html, dostęp 2012-05-09.

[DD80] Henri Prade Didier Dubois. Fuzzy Sets And Systems Theory AndApplications. Academic Press, Inc., Chestnut Hill, 1980.

[Dom04] Andrzej Dominik. [praca magisterska] Analiza danych z zastosowa-nie zbiorów przybliżonych. Wydział Elektroniki i Technik Informa-cyjnych, Politechnika Warszawska, 2004.

[GJ95] Bo Yuan Goerge J.Klir. Fuzzy Sets And Fuzzy Logic - Theory andApplications. Prentice Hall PTR, New Jersey, 1995.

[IE09] J. Webb I. Elamvazuthi, P. Vasant. [article] The Application ofMamdani Fuzzy Model for Auto Zoom Function of a Digital Camera.International Journal of Computer Science and Information SecurityVol.6, 2009.

[Nowa] Agnieszka Nowak. Teoretyczne podstawy zbiorów przybliżonych.[online]. http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/konspektTD.pdf, dostęp 2012-05-21.

[Nowb] Agnieszka Nowak. Zbiory przybliżone w obszarze systemów eksperto-wych. Institute of Computer Science, University of Silesia.

[pam] Fuzzy image processing. [online]. http://pami.uwaterloo.ca/tizhoosh/examples.htm, dostęp 2012-05-09.

[Paw82] Zdzisław Pawlak. Rought sets. International Journal of Informationand Computer Sciences, 1982.

[Pie99] Andrzej Piegat. Modelowanie i sterowanie rozmyte. AkademickaOficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 1999.

[Rud11] Katarzyna Rudnik. [praca doktorska] Koncepcja i implementacjasystemu wnioskującego z probabilistyczno-rozmytą bazą wiedzy. Wy-dział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki, Politechnika Opol-ska, Opole, 2011.

20

[War08] Krzysztof Wardziński. Przegląd algorytmów sztucznej inteligencjistosowanych w grach komputerowych. Homo Communicativus (5),Zakład Teorii i Filozofii Komunikacji, Poznań, 2008.

[WS05] James J. Buckley William Siler. Fuzzy Expert Systems and FuzzyReasoning. John and Sons, Inc., New Jersey, 2005.

21

Spis treści

1. Wstęp do zbiorów rozmytych

2. Zbiory rozmyte2.1. Funkcje przynależności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Logika rozmyta

4. Wnioskowanie rozmyte4.1. Blok rozmywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Baza reguł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Modelowanie rozmyte5.0.1. Rozmyte modele lingwistyczne (Mamdani) . . . . . . . .5.0.2. Model Takagi - Sugeno - Kanga . . . . . . . . . . . . . .5.0.3. Modele relacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. Blok wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Blok wyostrzania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Zastosowanie zbiorów rozmytych6.1. Przetwarzanie obrazów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Zbiory przybliżone7.1. System informacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Tablice decyzyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Porównanie zbiorów rozmytych i przybliżonych

9. Podsumowanie

Literatura

22