1

Workshop:

Der Goldene Schnitt und das Pascal-Dreieck

T eil 2 !

2! Fibonacci ! Zahlen 2!2.1! Herleitung der Fibonacci-Zahlen und

rekursive Definition 2!2.2! Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur 5!2.3! Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen 7!

2.3.1! Summen 7!2.3.2! Beziehungen zwischen den Folgegliedern 10!2.3.3! Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-Zahlen 12!2.3.4! Binomialdarstellung der Fibonacci-Zahlen 13!

2.4! Zusammenhang zum Goldenen Schnitt 14!2.4.1! Herleitung über den Quotienten 14!2.4.2! Herleitung über die Linarisierung

der Goldenen Schnittzahl 15!2.5! Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen -

Formel von Binet 17!2.5.1! Folgerungen 19!

2.6! Goldenes Dreieck, Goldenes Rechteck, Goldene Spirale 20!

2

2 Fibonacci ! Zahlen

In der Natur und in der Kunst wird das Auftreten des Goldenen Schnitts häufig an Fibonacci-Zahlen deutlich gemacht, so dass in diesem Kapitel die Eigenschaften dieser speziellen Zahlen behandelt werden.

2.1 Her leitung der F ibonacci-Zahlen und rekursive Definition

Fibonacci oder mit richtigem Namen Leonardo von Pisa war ein bedeutender Mathematiker. Er lebte im 12. Jahrhundert (geb. 1190) und war zu seiner Zeit u.a. bekannt für die Einführung des Zehnersystems und seiner Rechenregeln, die für den Aufschwung des Handels wichtige Begleitumstände waren. Als Sohn von Guido Bonacci (Sohn des Bonacci ); einem Notar am Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), unternahm er mit seinem Vater diverse Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst, die er aber gegenüber der indischen für Irrwege hielt. 1202 kehrt er nach Pisa "#$%&'( #)*( +,-..,( /0( 1./2-$( 323&&/45( -/)-0(63,7-03,/'2#&75( *3+( 3..-(

wichtigen damaligen Erkenntnisse enthielt, das dem damals gebräuchlichen, römischen Zahlensystem überlegene arabische Zahlensystem vor. Als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa bis zu seinem Tod ca. im Jahre 1240.

Abb. 2.1

Erinnert man sich heute an Fibonacci, so denkt man eher an eine spezielle Zahlenfolge, die er als Kaninchen- oder Hasenproblem behandelt hat, oder an den Goldenen Schnitt. Im Liber abaci erscheint dazu folgende Übungsaufgabe zur Addition: Ein neugeborenes Hasenpaar wird in einen umzäunten Garten gesetzt. Jedes Hasenpaar erzeugt während seines Lebens jeden Monat ein weiteres Paar. Ein neugeborenes Paar wird nach einem Monat

3 fruchtbar und bekommt somit nach zwei Monaten seine ersten Nachkommen. Es soll angenommen werden, dass die Hasen nie sterben. Wie viele Hasenpaare sind nach einem Jahr in diesem Garten?1 In der Abb. 2.2 wird das Fortpflanzungsverhalten der Hasen veranschaulicht. Dabei bedeutet N, nicht gebärfähiges Kaninchenpaar und G gebärfähiges Kaninchenpaar. Mit nf bezeichnen wir die Anzahl der Kaninchenpaare, die im n-ten

Monat leben (einschließlich derer, die in diesem Monat geboren werden).

Abb. 2.2

Somit ist 0 0f 1 1f 2 1f 3 2f 4 3f 5 5f 6 8f

7 13f und so weiter bis ein Jahr vorbei ist.

Aber wie geht es weiter? Verfolgt man nun die Zunahme der Hasenpaare über mehrere Monate, stellt man fest, dass die Anzahl in einem Monat gleich der Summe der Hasenpaare der beiden vorhergegangenen Monate ist.

1 Markus Kuhn, Die Fibonacci-Zahlen, Seite 2, frei übersetzt liber abaci, Seite 123 -

124

4 2 1n n nf f f (1)

Zum Beweis betrachten wir die Situation im n-ten Monat. Nach Definition gibt es zu diesem Zeitpunkt genau 1nf Hasenpaare. Von

diesen sind nf im gebärfähigen Alter (Sie sind im (n+2)-ten Monat

mindestens 2 Monate alt.) und gebären zwei Monate später jeweils ein junges Paar. Das heißt im Monat (n+2)

2nf = Leben 1nf Hasenpaare

+ Anzahl die im (n+2)-ten Monat geborenen Hasenpaare nf

= 1nf + nf !

Der Funktionswert 2nf ergibt sich durch Verknüpfung bereits vorher

berechneter Werte 1nf und nf , das heißt er ist rekursiv.

Bei der rekursiven Definition einer Funktion f ruft sich somit die Funktion so oft selbst auf, bis ein vorgegebenes Argument erreicht ist. Dieser Satz ermöglicht nun, die Zahlenfolge 1f , 2f , 3f , nf! rekursiv

auszurechnen. Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch die Zahlen 1f , 2f , 3f , nf! , für die gilt:

1. 1 1f und 2 1f

2. 2 1n n nf f f oder 1 2n n nf f f

Für die Aufgabe aus dem liber abaci war nun 13f gesucht, denn mit

Beginn des 13. Monats ist genau ein Jahr verstrichen. Das heißt es sind 233 Hasenpaare in dem Garten.

n 8 9 10 11 12 13 14 .....

nf 21 34 55 89 144 233 377 ......

Der Name für diese Folge stammt von dem französischen Mathematiker E. Lucas, der die Folge allgemein erfasste und sie zu Ehren von Fibonacci derartig betitelte. Eine Lucas-Folge ist eine Zahlenfolge, die gegeben ist durch

1. die beiden Anfangsglieder a1 und a2 und 2. das (rekursive) Bildungsgesetz an = an-1 + an-2

5 Für den Spezialfall, dass a1 = 1 und a2 = 1 ergibt sich die Fibonacci-Folge.

2.2 Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur

Für das Auftreten oder vermeintliche, zumindest nährungsweise Auftreten der Fibonacci-Zahlen gibt es innerhalb der Mathematik aber auch außerhalb in Kunst, Architektur, Musik, Poesie, Rhetorik und Natur eine erstaunlich große Anzahl von Belegen. Die bekanntesten Beispiele sind die Sonnenblume oder der Tannenzapfen, aber auch die Blattstände mancher Pflanzen weisen in ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind.

Abb. 2.3 Die Schuppen des Tannenzapfens gehören wie in der Abb. 2.3 angedeutet, zu einer links- und einer rechtsdrehenden Spirale. Die Anzahlen der rechts und linksdrehenden Spiralen bei Tannenzapfen sind benachbarte Fibonacci-Zahlen

Abb. 2.4

Bei dem Romanesco-Kohl ist jeder "Hügel" ein kleineres Abbild des ganzen, so dass sich Spiralen einfach erkennen lassen. Man entdeckt Romanesco mit 13 Spiralen oder auch mit 21 Spiralen ! beides Fibonacci-Zahlen. 2

2 Vgl. zu den Bildbeispielen folgende Internetseite: http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.casio-schulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/pineconeyellow.gif&imgrefurl=http://www.casio-schulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/seite%25202.html&usg=__xK5Gvzq7

6

Abb. 2.53 Der Samen in der Sonnenblume ist spiralartig angeordnet, rechtsdrehend 34, linksdrehend 55 Spiralen. Beutelsbacher und Petri führen als mehr oder weniger künstliche Beispiele für die Fibonacci-Zahlen das Treppensteigen, den Stammbaum einer Drohne und Energiezustände eines Elektrons auf.4 Für die Illustration soll ein Beispiel genügen, und wir demonstrieren die Zahlenfolge an dem treppensteigenden Briefträger. !"#$%&'#()*'+,('%-*(#,*%*+,.#/0%(#$(%.1$,(%2reppe nach folgendem Muster empor: Die erste Stufe betritt er in jedem Fall. Von da an nimmt er jeweils nur eine Stufe oder aber zwei Stufen auf einmal. Auf wie viel verschiedene Arten kann der Briefträger die n-te Stufe (''(#/0($34

5

Abb. 2.6

UXCu8a0zT1ukl8c3hG8=&h=279&w=285&sz=59&hl=de&start=135&um=1&tbnid=Vz47z8qLqJMP6M:&tbnh=113&tbnw=115&prev=/images%3Fq%3DTannenzapfen%26ndsp%3D20%26hl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26sa%3DN%26start%3D120%26um%3D1 3 Siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg 4 Vgl.A. Beutelspacher/B. Petri; Der Goldene Schnitt, Seite 89 ff. 5 A. Beutelsbacher/B. Petrie, Der Goldene Schnitt, Seite 89

7 Der Briefträger hat bei der ersten und zweiten Stufe nach Voraussetzung lediglich eine Möglichkeit die Treppe hinauf zu steigen. Wie der Abbildung zu entnehmen ist, ergeben sich ab Stufe drei mehrere Möglichkeiten und zwar gemäß der folgenden Regel: Es existieren einmal die Möglichkeiten, die er bei der vorigen Stufe schon hatte (orange eingefärbt), hier tritt er eine Stufe weiter , und zum zweiten die Möglichkeiten, die er bei der vorvorletzten Stufe hatte, bei denen er nun zwei Stufen auf einmal nimmt. Das heißt:

3 2 1f f f oder allgemein 1 2n n nf f f

Damit erfüllen die Zahlen genau die definierten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen. Also lässt sich die Anzahl der verschiedenen Arten auf die n-te Stufe zu gelangen durch die Fibonacci-Folge angeben.

2.3 Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen

Auf den ersten Blick wirkt die Fibonacci-Folge sehr unregelmäßig, es gibt bei ihr jedoch eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken.

2.3.1 Summen

Um Eigenschaften der Folge zu erschließen, untersuchen wir zunächst verschiedene Summen der Fibonacci-Folge. Wie lautet die Summe von n Folgengliedern?

1

?n

ii

f

Für jedes Glied der Summe lässt sich eine Gleichung schreiben, in der das Glied durch Nachbarglieder ausgedrückt wird. Aus der Definition der Folge

3 2 1f f f

folgt unmittelbar: 1 3 2f f f

Also auch: 2 4 3f f f

3 5 4f f f

4 6 5f f f

!!! 1 1n n nf f f

2 1n n nf f f

Nun addieren wir jeweils die rechten und die linken Seiten. Links ergibt sich die Summe aller Folgenglieder, rechts wird in einer Zeile

8 etwas addiert, was in der nächsten Zeile subtrahiert wird, so dass sich fast alle Summenglieder aufheben und wir erhalten:

1 2 3 1 2 2n n nf f f f f f f"

oder 2 21

n

i ni

f f f

mit 2 1f 21

1n

i ni

f f (2)

Bei der Fibonacci-Folge ist die Summe der Folgenglieder von 1 bis n gleich dem übernächsten Folgenglied minus 1. Die Summe der ersten n Zahlen ist um 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl.

1 1 = 2-1 2 1+1 = 3-1 3 1+1+2 = 5-1 4 1+1+2+3 = 8-1

Ebenso können wir jetzt die Summe der ungeraden bzw. geraden Fibonacci-Folgen-Glieder herleiten: Wir entwickeln analog dem oberen Beispiel die Summe der ungeraden Folgen-Glieder: 1 1 2f f 1 2f f

2 2 4 3f f f 3 4 2f f f

3 4 6 5f f f 5 6 4f f f

4 6 8 7f f f 7 8 6f f f

!!!

n 2 2 2 2 1n n nf f f 2 1 2 2 2n n nf f f

2 1 21

n

i ni

f f (3)

Wir addieren die linke Seite als Summe der ungeraden Folgenglieder. Auf der rechten Seite ergibt sich bei der Addition, dass die meisten Folgenglieder wieder subtrahiert werden. Die Summe der ersten n ungeraden Folgenglieder ist gleich dem Wert des Folgenglieds an der Stelle von 2n.

9 Beispiel: Die Summe der ersten ungeraden Folgenglieder für 4n ist dem Wert des Folgengliedes für 2 8n .

1 3 5 7 8f f f f f

1 2 5 13 21 Analog lässt sich jetzt auch die Summe der ersten n geraden Folgenglieder herleiten. Nr. des Folgen- gliedes 1 1 2f f 2 1f f

2 3 5 4f f f 4 5 3f f f

da: 3 2 1f f f ist

4 5 2 1f f f f

3 5 7 6f f f 6 7 5f f f

4 7 9 8f f f 8 9 7f f f

n 2 1 2 1 2n n nf f f 2 2 1 2 1n n nf f f

Wir addieren wieder einerseits die rechten, andererseits die linken Seiten. Da 1 2 1f f ergibt sich:

2 2 11

1n

i ni

f f (4)

Die Summe der alternierenden Folge:

1 1

11

1 1 1n

i ii i

i

f f (5)

Die Summe der Quadrate:

2

11

n

i n ni

f f f (6)

Die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen ist gleich dem 8$9*#',(3#+(*-$():,-)(#)*(;)<=>:,-)(?/29)3&&/-Zahl. 6

6 Vgl. dazu Goldenes Rechteck

10

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 2

1 1 2 2 3

1 1 2 3 3 5

Anders ausgedrückt: Teilt man die Summe der Quadrate durch die letzte Zahl, die aufaddiert wurde, so erhält man die nächste Zahl der Fibonacci-Folge.

Beispiel: 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 3 5 8 13 21 34 55 4895

2

489589

55 89 55 34

2.3.2 Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Weitere Eigenschaften lassen sich durch die Beziehungen zwischen den Folgegliedern angeben. So ist ab dem zweiten Folgenglied, also für alle 1n , das Quadrat jeder Zahl um 1 kleiner oder größer als das Produkt der vorhergehenden und der nachfolgenden Zahl:

2 22 1 1 2 1f 2 2

3 2 1 3 1f 2 2

4 3 2 5 1f 2 2

5 5 3 8 1f 2 2

6 8 5 13 1f

!!! 2

1 1 1n

n n nf f f (7)

Dieser Satz wurde bereits 1682 von dem französischen Mathematiker und Astronom Cassini entdeckt. Er gilt auch als Spezialfall des Identitätssatzes von Catalan mit 1k .

Das Folgenglied m n lässt sich durch die Summe von zwei

Produkten vier anderer Folgeglieder bestimmen.

1 1n m n m n mf f f f f für alle , 1m n (8)

Beispiel: 13n 13 233f 8m 8 21f

11 12 144f 9 34f

21 12 8 13 9

10.946 144 21 233 34

f f f f f

Da die Fibonacci-Zahlen rekursiv definiert sind, bietet sich bei Beweisen mit ihnen natürlich oft auch ein rekursives Beweisverfahren an: die vollständige Induktion, die wir für diesen Satz exemplarisch ausführen. Für den Induktionsanfang wird gezeigt, dass die Formel für m=1 und m=2 gilt: m sei 1:

1 1

1 1 1 2

1 1

n m n m n m

n n n

n n n

f f f f ff f f f ff f f

Dies ist die Definition. m sei 2:

1 1

2 1 2 3

1 1

1 1

1 1

2

n m n m n m

n n n

n n n

n n n n

n n n

f f f f ff f f f ff f ff f f ff f f

Wir nehmen an, dass

1 1

1 1 1 1 1

n k n k n k

n k n k n k

f f f f ff f f f f

Zu zeigen ist, dass:

2 1 2 3n k n k n kf f f f f

Durch Addition der beiden Annahmen ergibt sich:

1 1 1 1 1 2

2 1 1 1 2

1 1 2 3

n k n k n k n k n k n k

n k n k k n k k

n n k n k

f f f f f f f f f ff f f f f f f

f f f f f

q.e.d.

Das Folgeglied für m n lässt sich durch die Differenz zweier

Produkte von vier anderen Folgegliedern bestimmen.

1 1 1n

m n m n n mf f f f f (9)

12

Das Folgeglied für 2n lässt sich aus den Folgegliedern von n , 1n

und 1n bestimmen.

2 1 1n n n nf f f f (10)

Da aus 1 1n n nf f f folgt, dass 1 1n n nf f f

Gilt für Satz 8 auch: 2 1 1 1 1n n n n nf f f f f 2 2

2 1 1n n nf f f

Das Folgeglied für 3n lässt sich ebenfalls aus den Folgegliedern von

n , 1n und 1n bestimmen.

3 3 3

3 1 1n n n nf f f f (11)

2.3.3 Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-Zahlen

Auch für die Fibonacci-Zahlen lassen sich Teilbarkeitsregeln festhalten.

,,m n ggT m nggT f f f

Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d.h.:

1, 1n nggT f f (12)

| |m nm n f f , falls m > 2 ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesondere

kann fn für n > 4 nur dann eine Primzahl sein, wenn n eine Primzahl ist. Der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers lässt sich durch den Einsatz der Fibonacci-Zahlen ermitteln.

13 2.3.4 Binomialdarstellung der Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich im Pascal-Dreieck entdecken und als Summe von Binomialkoeffizienten darstellen.7

12

10

n

nk

n kf

k (13)

Mit k und !

! 2 !

n k n kk k n k

Die Summe läuft also über alle k, für die 0n k

k ist.

7 Vgl. http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#0002400

14

2.4 Zusammenhang zum Goldenen Schnitt

2.4.1 Herleitung über den Quotienten

Als weitere Eigenschaft untersuchen wir den Quotienten zweier

Folgenglieder der Fibonacci-Zahlen 1n

n

fqf

.

Folgenglied q = Quotient der Folgenwerte 1 1,000000000000 2 2,000000000000 3 1,500000000000 4 1,666666666667 5 1,600000000000 6 1,625000000000 7 1,615384615385 8 1,619047619048 9 1,617647058824 10 1,618181818182 11 1,617977528090 12 1,618055555556 13 1,618025751073 14 1,618037135279 15 1,618032786885 16 1,618034447822 17 1,618033813400

Schon beim 17. Folgenglied weichen die jeweiligen Quotienten bis zur dritten Nachkommastelle nicht voneinander ab, so dass sich die Vermutung aufdrängt, dass der Quotient gegen eine Zahl konvergiert und dass:

1lim n

n n

ff

~ 1,618

Nach Definition ist 2 1n n nf f f

Division durch 1nf ergibt: 2

1 1

1n n

n n

f ff f

Nimmt man an, dass 2

1 1

lim limn n

n nn n

f ff f

15 So erhält man die Gleichung:

11 bzw. die quadratische Gleichung

2 1 oder

2 1 0 Mit der positiven Lösung

1 1 1 51 1,6180

2 4 2

ist gezeigt, dass ein Grenzwert existiert. Die Zahl entspricht genau dem Verhältnis des Goldenen Schnitts, wie in Kapitel 1 berechnet. Damit gilt: Unabhängig von Fibonacci beschäftigte sich der Astronom und Mathematiker Johannes Kepler (1571-1630) mit der Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 . ! . So entdeckte er die Fibonacci-Zahlen bei den Umlaufzeiten von Planeten, und zwar stehen die Umlaufzeiten von Venus und Erde im Verhältnis 8 zu 13. Ebenso war auch ihm schon bekannt, dass sich der der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähert.

1lim n

n n

ff

(14)

2.4.2 Herleitung über die Linearisierung der Goldenen Schnittzahl

In Kapitel über den Goldenen Schnitt8 hatten wir die Eigenschaft der goldenen Schnittzahl dargestellt, dass es möglich ist, alle positiven und

negativen Potenzen in linearer Form a b mit geeigneten

ganzzahligen a und b zu schreiben.

2 1 1 (15)

Hier sieht man, dass das Quadrat von linearisierbar ist durch 1 1

Das heißt für 3 2 21

Durch weiteres Einsetzen von 2 1 ergibt sich: 3 2 1

usw.

8 @A.B(C9$'+79D(1E-$(F9.*-)-$(G&7)/,,(#)*(*3+(83+&3.- Dreieck, Kapitel 1.4, Seite 9

16

2

3

4

5

6

7

1 1

2 1

3 2

5 3

8 5

13 8

Folge der linearen Ausdrücke

Die lineare Darstellung einer Potenz ergibt sich durch die Addition der beiden vorherigen Zeilen.

Das heißt allgemein: n a b na

1

2

( )

( 1)

( )

n a b

a ba ba a ba b a

1 n a b a

Bei dem linearen Ausdruck von 1n ist der Koeffizient des Produktes mit gleich der Summe aus dem Koeffizienten a (und der Konstanten b des vorherigen Folgengliedes in der Folge der linearen Ausdrücke). Die neue Konstante ist der vorherige Koeffizient a. Kennt man also die linearen Ausdrücke für n und 1n , so kann man den linearen Ausdruck für die nächste Potenz 2n

einfach durch Addition erzeugen. Die Potenzen von lassen sich damit schreiben als

11

1

oder

nn n

nn n

a a

a a (16)

Für die ganzen Zahlen na bzw. -1na gilt offensichtlich die Rekursion:

2 1n n nf f f mit den Startwerten 1 2 1f f .

Die Fibonacci-Zahlen erscheinen in den Potenzen von .

1na na

17

2.5 Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen - Formel von Binet -

Bisher mussten wir zur Berechnung einer Fibonacci-Zahl alle vorhergehenden Folgenglieder bestimmen. Das ist ein sehr aufwendiges Verfahren, so dass wir nun überlegen, wie wir zu einem expliziten Ausdruck dieser Folge kommen können Entsprechend der Grenzwert-Berechnung im letzen Kapitel haben wir gesehen, dass der Quotient der Folgenglieder annähernd einer Zahl ist, d. h. wir annähernd durch die Multiplikation mit einem konstanten Faktor von einer Fibonacci-Zahl zur nächsten kommen. Dies ist eine wichtige Eigenschaft einer Exponentialfunktion

( ) nf x x bzw. einer geometrischen Folge 0n

nf a q .

Analogie zu einer geometrischen Folge: Unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge, bei der zwei aufeinanderfolgende Glieder stets den gleichen Quotienten q haben mit:

1n

n

aqa

Damit ist eine geometrische Folge festgelegt durch die Folgenglieder:

1a ,

2 1a a q 2

3 2 1a a q a q

!!!

1 1n

n na a q a q

Nehmen wir jetzt an, dass die Fibonacci-Folge sich als geometrische Folge darstellen lässt, dann muss gelten:

1 1a f

2 2 1a f f q 2

3 3 1a f f q gleichzeitig gilt: 3 2 1f f f ,

also 21 2 1f q f f

oder

da 2 1f f q gilt auch 21 1 1f q f q f

2 1q q 2 1 0q q

18 Für diese quadratische Gleichung erhält man die beiden Lösungen 1q

und 2q bzw. und , die bereits als Zahlen des Goldenen Schnitts

bekannt sind.

für 1

1 51,6180

2q (10)

und für 2

1 50,6180

2q (11)

Beide Zahlenfolgen nnZ und n

nZ erfüllen dann annähernd die

Bedingungen der Fibonacci-Folge. Korrekturfaktoren Eine geometrische Folge, die eine Fibonacci-Folge ist, muss weiterhin folgendermaßen darstellbar sein:

2 1n n nZ Z Z

Für die beiden berechneten Quotienten heißt das:

2 1

nn

n n n

ZZ Z Z

und 2 1

nn

n n n

ZZ Z Z

Wir führen Ausgleichfaktoren ein und multiplizieren die beiden Gleichungen mit 1c bzw. 2c .

1 1 2 1 1n n nc Z c Z c Z und 2 2 2 2 1n n nc Z c Z c Z

Die Addition ergibt:

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 2 1 2 2 2 1 1 2 1

n n n n n n

n n n n n n

c Z c Z c Z c Z c Z c Zc Z c Z c Z c Z c Z c Z

Die Zahlenfolge 1 2n nc Z c Z erfüllt die Form nZ . Damit ist

1 2 1 2n n

n n nZ c Z c Z c c

1c und 2c lassen sich jetzt so bestimmen, dass sich n nZ f ergibt, also

die Zahlenfolge nZ der Fibonacci-Folge f entspricht. Dazu lösen wir

das Gleichungssystem:

0 0

1 1

0

1

Z fZ f

19 I II

0 01 2

1 2

0

0

c cc c

und 1 11 2 1c c

Daraus ergibt sich: I II

2 1c c und eingesetzt

1 11 1

1

1

1 1 5 1 52 2

1

1

1

1

1

1

5

c cc

c

c

c

und damit: 2

1

5c . Als explizite Darstellung der n-ten Fibonacci-

Zahl erhalten wir: 1 1

5 5n n

nf

Diese Formel wurde 1843 von Jacques Philippe Marie Binet veröffentlicht, gelang unabhängig von ihm auch Abraham de Moives im Jahr 1730. Setzen wir für und die weiter oben berechneten

Terme ein (10) und (11) ein, so erhalten wir:

1 1 5 1 1 5

2 25 5

1 1 5 1 5

2 25

n n

n

n n

n

f

f

Faszinierend ist bei diesem Term, dass das Zusammenwirken der irrationalen Zahlen für alle natürliche n immer ganzzahlige Lösungen ergibt.

2.5.1 Folgerungen

Die Formel von Binet erlaubt uns, Summen der Fibonacci-Folgen wie

3 6 9f f f " als endliche geometrische Reihen aufzufassen und

auszurechnen. Beispiele sind wie oben schon angegeben:

3 3 21

11

2

n

k nk

f f

20 2.6 Goldenes Dreieck, Goldenes Rechteck,

Goldene Spirale

Beim goldenen Rechteck verhalten sich die Seitenlängen wie phi: Das goldene Rechteck hat die Eigenschaft, dass nach Wegnahme eines Quadrates der Seitenlänge phi wieder ein (kleineres) goldenes Rechteck übrig bleibt usw. Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, deren Seitenlängen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabei lässt sich die Fläche so eines Fibonacci-Rechtecks als Summe der Quadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen:

2 2 2 2 20 1 2 1

0

n

n i n ni

f f f f f f f"

Beispiele:

6 5 8 13f f 8 9 13 21f f 9 10 21 34f f

Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Eine solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleich ein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale:

!