Embed Size (px)
Citation preview
1
ภาคตัดกรวย ( Conic Section ) วงกลม ( Circle) นิยาม วงกลมคือ เซตของจุดทกุจุดบนระนาบที่อยูห่า่งจากจุดคงที่จุดหน่ึง เป็นระยะทางเท่ากันจุดคงท่ีคือจุดศูนยก์ลางของวงกลม ใชเ้ป็นพกิัด ( h ,k)ระยะทางคงท่ีคือรศัมขีองวงกลมใชเ้ป็น r
เมื่อกระจายเทอม กำาลังสอง จะได้สมการวงกลมเป็น x2+ y2−2hx−2ky+h2+k2−r2=0
ให ้ -2h = D ; -2k = E ; h2+k 2−r2=¿ Fจะได้สมการวงกลมรูปแบบทัว่ไปเป็น x2+ y2+Dx+Ey+F=0
โดย h= D−2
;k= E−2
แบบฝึกหัดเรื่องวงกลม
4
2
2
4
5
x
y
2
2
4
5
y
x(h,k)
o
x
สมการของวงกลมเมื่อ จุดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด (0 , 0)
สมการของวงกลมเมื่อ จุดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด (h , k)
(x−h)2+¿
2
1. จงหาสมการวงกลมท่ีมจุีดศูนยก์ลางอยูท่ี่ จุด ( 0,0) มรีศัมเีท่ากับ 3.........................................................................................................................................................2. จงหาสมการวงกลมท่ีมจุีดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด ( 4 , -2) รศัมเีท่ากับ 5..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. จงหารศัมขีองวงกลม และจุดศูนยก์ลางของวงกลมเมื่อวงกลมมีสมการเป็น 3.1 x2+ y2+6x−2 y+3=0
........................................................................................
.................................................................
........................................................................................
................................................................. 3.2 4 x2+4 y2−36 x−24 y+8=0
........................................................................................
.................................................................
........................................................................................
.................................................................4. จงหาสมการวงกลมท่ีมจุีดปลายของเสน้ผ่านศูนยก์ลางอยูท่ี่ 4.1 ( -1 , 2 ) และ ( 4 , 5 )……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.2 ( -1 , 0 ) และ ( 5 , 6 )
3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. จงหาสมการวงกลมท่ีมจุีดศูนยก์ลางท่ีจุด ( 3 ,1 ) และสมัผัสกับเสน้ตรง 2x +y -3 = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. จงหาสมการวงกลมท่ีมจุีดศูนยก์ลางท่ีจุด ( 5 ,4 ) และสมัผัสกับเสน้ตรง y = -2x+4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. จงหาความสมัพนัธข์องวงกลมที่ผ่านจุดตัดของเสน้ตรง 3x+2y+6 = 0 กับแกน y และมแีกน x เป็นเสน้ สมัผัส…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………8. จงหาสมการวงกลมท่ีผ่านจุด ( 3 ,6) และมจุีดศูนยก์ลางอยูบ่นเสน้ตรง 2x + y - 4 = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………9. วงกลมสองวงมสีมการ x2+ y2−4 x+2 y+4=0 และ x2+ y2−2x+2 y=0
ตัดกันที่จุด P และ Q สามเหล่ียมที่เกิดจากการโยง จุด P , Q และจุดกำาเหนิดมพีื้นท่ีกี่ตารางหน่วย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10. วงกลม C มจุีดศูนยก์ลางท่ีจุดตัดของเสน้ตรง 2x + y -1 = 0 และเสน้ตรง x –y +3 = 0 มคีวามยาวของ รศัมเีท่ากับ 2 จงหาสมการของวงกลม C………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5
11. วงกลม O วง P สมัผัสกับแกนพกิัดฉาก และสมัผัสกันที่จุด ( 3 , 3) ถ้าใหจุ้ดศูนยก์ลางของวงกลม O เป็น จุดศูนยก์ลางของวงกลม R และจุดศูนยก์ลางของวงกลม P เป็นจุดท่ีอยูบ่นวงกลม R จงหาสมการ ของวงกลม R………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………12. จงหาสมการวงกลมซึ่งสมัผัสกับเสน้ตรง 2x –y+1 = 0 ท่ีจุด ( 2 , 5) และมจุีดศูนยก์ลางอยูบ่นเสน้ตรง x + y = 9………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………13. จงหาสมการของวงกลมท่ีมจุีดศูนยก์ลางอยูบ่นแกน y และสมัผัสเสน้ตรง 3y -4x +11 = 0 ท่ีจุด ( 2 , -1 )………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
( 0,c)
y = -cเส้นไ ดเรคตริกซ์
c
v(0,0) c
F
y
x
y = c
x
y
F
cv(0,0)
c
เส้นไ ดเรคตริกซ์
( 0,-c)
cc
เส้นไ ดเรคตริกซ์ x = -c
v(0,0)
( c ,0)F
y
x ลาตัสเรคตัม 4c
y
x
เส้นไ ดเรคตริกซ์ x = c
c
c v(0,0)F(-c,0)
6
………………………………………………………………………………………………………………14. จุดศูนยก์ลาง C(h,k) ของวงกลมวงหน่ึงอยูบ่นเสน้ตรง 2x-y-1 = 0 ถ้าวงกลมน้ีผ่านจุด P (2 ,-1) และ Q ( -2 , 0) แล้วจงหา ค่าของ
1. h , k ,r 2. ความชนัของ CP 3. ความยาวของด้าน CP
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
พาราโบลานิยาม พาราโบลาคือเซตของจุดทกุจุดบนระนาบซึ่งอยูห่า่งจากเสน้ตรงคงท่ีเสน้หน่ึงและจุดคงที่จุดหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากัน
x2=4 cy x2=−4cy
y = k+c
c
c
F( h ,k-c)
เส้นไ ดเรคตริกซ์
y
xO(0,0)
V (h,k)
ลาตัสเรคตัม
O(0,0)
เส้นไ ดเรคตริกซ์ y = k-c
y
x
c
cF(h ,k+c)
v ( h,k)
ลาตัสเรคตัม 4c
x = h-cเส้นไ ดเรคตริกซ์
V (h ,k) F ( h+c ,k) แกนพาราโบลา
x
y
O (0,0)
cc
ไ ดเรคตริกซ์ x = h+c
ลาตัสเรคตัม
F (h-c ,k)แกนพาราโบลาV(h ,k )
y
xO (0,0)
y
xO (0,0)
7
แบบฝึกหัดเรื่องพาราโบลา1. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรคตรกิซแ์ละแกนสมมาตรของพาราโบลาต่อไปน้ี พรอ้มทัง้เขยีน กราฟอยา่งครา่วๆ 1.1 1.2
y2=4cx y2=−4cx
(x−h)2=4c ( y−k ) (x−h)2=−4c ( y−k )
( y−k )2=4 c (x−h) ( y−k )2=−4 c (x−h)
y2+6 x=12 y2−6 x=18
ความยาวของ Latuc
y
xO (0,0)
y
xO (0,0)
y
xO (0,0)
y
xO (0,0)
8
1.3 1.4
1.5 1.6
2. จงหาสมการพาราโบลา ซึ่งมจุีดยอดอยูท่ี่ จุด ( 1 , 3 ) และมจุีด ( 3 ,5 ) และ ( 3 ,1) เป็นจุดปลายของ ลาตัสเรคตัม………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
x2+7x=−21 y2+6 y−4 x−2=0
4 x2−12x−64 y+137=0 9 y2−72 y+6 x+361=0
9
3. จงหาสมการพาราโบลาท่ีมจุีดโฟกัสอยูท่ี่จุด (2 ,3) ไดเรคตรกิซ์ขนานแกน x และจุดยอดอยูบ่นเสน้ตรง 2x - y -3 = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. จงหาสมการพาราโบลาและสมการไดเรคตรกิซเ์มื่อพาราโบลามจุีดยอดเป็นจุดตัดจุดหนึ่งของเสน้ตรง x+y = 0 และวงกลม x2+ y2+4 y=0 และผ่านจุดตัดอีกจุดหน่ึงของวงกลมและเสน้ตรงดังกล่าว………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ให ้M (t , 19 ) และ N (3 ,t ) เป็นจุดยอดสองจุดบนพาราโบลา y=a x2 โดย
a และ t เป็นจำานวนจรงิ จงหาสมการไดเรคตรกิซแ์ละจุดโฟกัสของพาราโบลา…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. จงพจิารณาขอ้ความต่อไปน้ี ก . สมการพาราโบลาที่มจุีดยอดอยูท่ี่จุด ( 2 , 3) และมจุีดโฟกัสอยูท่ี่ ( 2 , 1) คือ ( x−2 )2=−4 ( y−3 )
ข. ( y+1 )2=−12 ( x−4 ) เป็นพาราโบลาที่มจุีดยอดอยูท่ี่ ( 4 , -1 ) และมีเสน้ตรง x = 4 เป็นแกนของพาราโบลา ขอ้ใดต่อไปน้ีถกูต้อง
1. ( ก ) ถกู และ( ข ) ถกู 2. ( ก ) ถกู แต่ ( ข ) ผิด
3. ( ก ) ผิด แต่ ( ข ) ถกู 4. ( ก ) ผิด และ( ข ) ผิด……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. กำาหนดให ้A และ B เป็นจุดสองจุดบนพาราโบลา x2=4 py ; p>0โดยท่ีเสน้ตรงลากผ่านจุด A ,B ท่ีจุดโฟกัสขนานกับแกน x ถ้าให ้ C เป็นจุดใดๆบนพาราโบลาน้ีค่าสมับูรณ์ของผลต่างระหวา่ง ความชนัของด้าน CA และ CB เท่ากับเท่าใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………8. ถ้ากำาหนด y2=8 x เป็นสมการพาราโบลา แล้วความยาวของสว่นของเสน้ตรงที่มจุีดปลายทัง้สองอยู่ บนพาราโบลาโดยลากผ่านโฟกัสและขนานกับเสน้ตรง y=2√2x+1 มีค่าเท่าใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C
y
x
FB
A
D (h ,k)
Latus Rectum
Latus Rectum
P(x,y)
B2(h,k-b)
B1(h , k+b)
V2(h-a ,k )V1 (h+ a,k)
F2( h -c,k) F1(h+c , k )C(h,k)
F1(h , k+c )
V1 (h,k+a)
P(x,y)
Latus Rectum
12
………………………………………………………………………………………………………………9. จากรูปสมการพาราโบลาคือ x2−10 x−32 y−39=0 มจุีด F เป็นจุดโฟกัส จุด A คือจุด ( 5 , 8 ) อัตราสว่นของพื้นที่ของรูปสามเหล่ียม BCD กับพื้นท่ีรูปสามเหล่ียม ABF เท่ากับเท่าใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
วงรีนิยาม วงรคืีอเซตของจุดทกุจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยงัจุดคงที่สองจุดมค่ีาคงที่เสมอ
รูปท่ี 1 แกนเอกขนาน
F1(h , k+c )
V1 (h,k+a)
P(x,y)
Latus Rectum
y
xC(0,0)F1(c , 0 )F2 (-c,0)
V1 ( a,0)V2(-a ,0 )
B1(0 , b)
B2(0,-b)
P(x,y)
Latus Rectum
Latus Rectum
13
V 1V 2 เรยีกแกนเอก ( major axis ) = 2a B1B2 เรยีกแกนโท ( minor axis ) = 2b F1F2=2c
ความสมัพนัธร์ะหวา่ง a , b , c คือ a2=b2+c2
ผลบวกคงตัว = 2a ความยาวของ Latus Rectum = 2b2
a
ค่าเยื้องศูนย ์(Eccentricity) = ca
รูปท่ี 2 แกนเอกขนาน
รูปท่ี 3 แกนเอกทับ
สมการ มาตรฐานx2
a2 + y2
b2 =1 , a≠b≠0 a>b>0
เขยีนเป็นรูปทัว่ไปเป็น A x2+B y2+C=0 , A≠ B≠0 A<B A และ B เครื่องหมายเหมอืนกัน
สว่นประกอบต่างๆ
O( 0,0)
y
x
C(h,k) F1(h+c , k )F2( h -c,k)V1 (h+ a,k)V2(h-a ,k )
B1(h , k+b)
B2(h,k-b)
P(x,y)Latus Rectum
Latus Rectum
14
y
x
Latus Rectum
Latus Rectum
P(x,y)
B2(-b,0) B1(b , 0)
V2(0 ,-a )
V1 (0,a)
F2( 0 ,-c)
F1(0 , c )
C ( 0 , 0 )
รูปท่ี 4 แกนเอกทับ
สมการ มาตรฐานx2
b2 + y2
a2 =1 , a≠b≠0 a>b>0
เขยีนเป็นรูปทัว่ไปเป็น A x2+B y2+C=0 , A≠ B≠0 A>B A และ B เครื่องหมายเหมอืนกัน
รูปท่ี 5 แกนเอกขนาน
สมการ มาตรฐาน(x−h)2
a2 +( y−k)2
b2 =1 , a≠b≠0a>b>0
เขยีนเป็นรูปทัว่ไปเป็น A x2+B y2+Cx+Dy+E=0 , A≠B≠0 A<B A และ B เครื่องหมายเหมอืน
y
x
C(0,0)
Latus Rectum
Latus Rectum
P(x,y)
B2(h-b,k) B1(h+b , k)
V2(h ,k-a )
V1 (h,k+a)
F2( h ,k-c)
F1(h , k+c )
C ( h , k )
15
แบบฝึกหัดเรื่องวงรี1. จากสมการวงรใีนแต่ละขอ้ต่อไปน้ี จงเขยีนกราฟอยา่งครา่วๆ และหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวของ ลาตัสเรคตัม ผลบวกคงตัว และค่าเยื้องศูนยข์องแต่ละขอ้
1.1 x2
16+ y
2
25=1
1.2
x2
25+ y
2
16=1
1.3 36 x2+16 y2=576 1.4 9 x2+16 y2=144
สมการ มาตรฐาน(x−h)2
b2 +( y−k)2
a2 =1 , a≠b≠0a>b>0
เขยีนเป็นรูปทัว่ไปเป็น A x2+B y2+Cx+Dy+E=0 , A≠B≠0 A>B A และ B เครื่องหมายเหมอืน
รูปท่ี 6 แกนเอกขนาน
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
16
1.5 ( x−3 )2
49+ ( y+1 )2
25=1 1.6
( x+3 )2
64+
( y−1 )2
100=1
1.7 9 x2+ y2+10 y+16=0 1.8 25 x2+9 y2−150 x−18 y+9=0
2. จง เขยีนสมการของวงร ีและกราฟอยา่ง ครา่วๆตามเง่ือนไขท่ีกำาหนดใหใ้นแต่ละขอ้ 2.1 โฟกัสอยูท่ี่จุด (-5 ,0 ) และ ( 5 ,0) ผลบวกคงตัวเท่ากับ 26
O(0,0)
y
xO(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
................................
..............................................................................................
........
y
x
O(0,0)
17
2.2 โฟกัสจุดหน่ึงอยูท่ี่ ( -5 , 1) จุดศูนยก์ลางอยูท่ี่ ( 0,1) แกนโทยาว 12 หน่วย
2.3จุดยอดจุดหนึ่งอยูท่ี่ ( -3 , 10 ) จุดศูนยก์ลางอยูท่ี่ ( -3 ,2) ระยะหา่งระหวา่งจุดคงที่ทัง้สองเท่ากับ 8 หน่วย
3. จากรูป สมการวงรคีือ 9 x2+25 y2−18x−150 y+9=0 จงหาพื้นที่สว่นที่แรเงา
O(0,0)
y
x
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
................................
..............................................................................................
........
..............................................................................................
........
O(0,0)
y
x
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
................................
..............................................................................................
........
..............................................................................................
........
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
................................
..............................................................................................
........
..............................................................................................
........
150 ฟุต
50 ฟุต45 ฟุต
18
4. วงรวีงหน่ึงมจุีดศูนยก์ลางรว่มกับจุดศูนยก์ลางของวงกลม x2+ y2−6 x−8 y+16=0
และสมัผัสวงกลมน้ีที่จุดยอดของวงร ีถ้าแกนเอกของวงรขีนานกับแกน y และโฟกัสจุดหน่ึงอยูท่ี่ ( 3,6) จงหาสมการของวงรวีงน้ี………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. ซุม้ดอกไมว้นัรบัน้องใหมข่องมหาวทิยาลัยแหง่หน่ึงทำาเป็นรูปโค้งครึง่วงรดัีงรูปโดยท่ีฐานของซุม้กวา้ง 150 ฟุต ตรงจุดกึ่งกลางของฐานซุม้สงู 45 ฟุต จงหาความสงูของซุม้ในตำาแหน่งท่ีหา่งจากจุดรมิสดุ 50 ฟุต
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
F2 F1C
19
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. จงหาสมการวงรทีี่มจุีดศูนยก์ลางอยูบ่นเสน้ตรง y = -3 โดยท่ีจุดยอดจุดหน่ึงของวงรอียุท่ี่โฟกัสของ พาราโบลา x2−8 x−4 y+24=0 และจุดโฟกัส ของวงรจุีดหน่ึงอยูท่ี่จุดยอดของพาราโบลารูปน้ี………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. จากรูปสมการของวงรคืีอ 21 x2+25 y2−126 x−200 y+64=0 ; F1 และF2
เป็นจุดโฟกัส ของวงร ี ม ี C เป็นจุดศูนยก์ลางรว่มของวงกลมท่ีม ี|F1F2| เป็นความยาวของเสน้ผ่านศูนยก์ลางของ วงกลมพื้นที่แรเงาเท่ากับกี่ตารางหน่วย
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
................................
..............................................................................................
........
..............................................................................................
........
แกนสมมาตร
L2L1
Latus RectumLatus Rectum
V2(h-a ,k) V1(h+a ,k)F2(h-c ,k) F1(h+c ,k)
B1(h,k+b)
B2(h,k-b)
C(h,k)
20
ไฮเพอรโ์บลา นิยาม ไฮเพอรโ์บลาคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดนี้ไปยงัจุดคงท่ีสองจุดบนระนาบมค่ีาคงตัวเสมอ
สว่นประกอบต่างๆของไฮเพอรโ์บลา
C(h , k) จุดศูนยก์ลาง V 1 ,V 2 จุดยอด F1 , F2 จุดโฟกัส L1 , L2 เสน้กำากับ V 1V 2 แกนตามขวาง = 2a B1B2 แกนสงัยุค = 2b F1F2 = 2c ความยาวของ Latus Rectum = 2b2
a
ค่าเยื้องศูนย์ = ca
y
x
C(0,0)
B2(0,-b)
B1(0,b)
F1(c ,0)F2(-c ,0)V1(a ,0)V2(-a ,0)
Latus RectumLatus Rectum
L1L2
แกนสมมาตร
21
รูปท่ี 1 แกนสมมาตร
สมการมาตรฐานของไฮเพอรโ์บลาx2
a2 −y2
b2 =1
สมการเสน้กำากับ x2
a2 −y2
b2 =0
หรอื
แกนสมมาตร
L2 L1
Latus Rectum
Latus Rectum
V2(0 ,-a)
V1(0 ,a)
F2(0 ,-c)
F1(0 ,c)
B1(b,0)B2(-b,0)C(0,0) x
y
รูปท่ี 2 แกนสมมาตร
สมการมาตรฐานของไฮเพอรโ์บลาy2
a2 −x2
b2 =1
สมการเสน้กำากับ y2
a2 −x2
b2 =0
หรอื
O(0,0)
y
x
C(h,k)
B2(h,k-b)
B1(h,k+b)
F1(h+c ,k)
F2(h-c ,k)
V1(h+a ,k)V2(h-a ,k)
Latus RectumLatus Rectum
L1L2
แกนสมมาตร
รูปท่ี 3 แกนสมมาตร
(0,0)
x
y
22
สมการมาตรฐานของไฮเพอรโ์บลา (x−h)2
a2 −¿¿
สมการเสน้กำากับ (x−h)2
a2 −( y−k )2
b2 =0
หรอื
C(h,k)B2(h-b,k) B1(h+b,k)
F1(h ,k+c)
F2(h ,k-c)
V1(h ,k+a)
V2(h ,k-a)
Latus Rectum
Latus Rectum
L1L2
แกนสมมาตร
xO(0,0)
y
รูปท่ี 4 แกนสมมาตร
สมการมาตรฐานของไฮเพอรโ์บลา ( y−k )2
a2 −¿¿
สมการเสน้กำากับ ( y−k )2
a2 −( x−h)2
b2 =0
หรอื เมื่อ A , B , C , D ,E เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้วรูปทัว่ไปของไฮเพอรโ์บลาคือ
A x2−B y2+Cx+Dy+E=0 ; A>0 ,B>0
แกนสมมาตรขนานแกน xA y2−B x2+Cx+Dy+E=0 ; A>0 ,B>0
(0,0)
y
x
ไฮเพอรโ์บลา
(0,0)
x
y
O(0,0)
y
x
23
แบบฝึกหัดเรื่องไฮเพอรโ์บลา1. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกสงัยุค ความยาวของลาตัสเรคตัม ค่าเยื้องศูนย ์ และสมการเสน้กำากับของไฮเพอรใ์นแต่ละขอ้พรอ้มกับวาดกราฟอยา่งครา่วๆ
1.1 x2
16− y2
9=1 1.2
y2
16− x
2
9=1
(h,k)
(0,0) x
y
xy = C C > 0 xy = C C < 0
(x-h)(y-k) = C C > 0
O(0,0)
y
x
24
1.3 16 x2−9 y2=144 1.4 16 y2−25 x2=400
1.5 ( x−3 )2
49−
( y−1 )2
16=1 1.6 ( y−3 )2
25−
( x−1 )2
16=1
1.7 16 x2−9 y2−64 x+18 y−89=0 1.8 9 x2−4 y2−54 x+40 y−19=0
1.9 xy=4 1.10 xy=−100
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
xO(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
25
1.11 (x−1)( y+2)=16 1.12 xy−x+2 y+1=0
2. จงหาสมการ ไฮเพอรโ์บลาในแต่ละขอ้ 2.1 ผลต่างของจุดใดๆที่อยูบ่นไฮเพอรโ์บลาไปยงัจุด ( 0 , 13 ) กับ ( 0 , -13 ) ยาว 10 หน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 จุดยอดอยูท่ี่จุด ( 4 , 0) กับ ( -4 , 0) และมโีฟกัสจุดหน่ึงอยู่ท่ี ( 5 ,0)………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
O(0,0)
y
x
O(0,0)
y
x
26
2.3 ไฮเพอรโ์บลามแีกนสงัยุคและแกนตามขวางอยูบ่นแกน x และ แกน y มจุีดยอดจุดหน่ึงอยูท่ี่ ( 6 , 0) และ โฟกัสจุดหน่ึงอยูท่ี่จุด ( -10 , 0)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.4 ไฮเพอรโ์บลามจุีดศูนยก์ลางที่จุด ( 4 , -2 ) มจุีดโฟกัสจุดหน่ึงอยูท่ี่ ( 4 , -5 ) และแกนตามขวางยาว 4 หน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 P เป็นจุดใดๆบนไฮเพอรโ์บลา ผลต่างของระยะทางจากจุด P ไปยงัจุด ( 4 , 6) กับ ( -4 ,6) เท่ากับ 8 หน่วย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
27
2. ไฮเพอรโ์บลาท่ีมจุีดยอดอยูท่ี่จุดโฟกัสของวงร ี x2
25− y2
16=1 และมแีกน
สงัยุคยาวเท่ากับแกนโทของ วงรน้ีีจะมสีมการอยา่งไร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. ใหไ้ฮเพอรโ์บลา H มจุีดโฟกัสท่ีจุด F1 (−3 ,0 ) และ F2 (3 ,0 ) ถ้า P เป็นจุดใดๆบน H แล้ว |P F1|−|PF2|=2√5 สมการของวงรท่ีีมจุีดยอดรว่มกับ H และมีความยาวแกนโทเท่ากับความ ยาวแกนสงัยุคของ H จะมสีมการอยา่งไร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. จงหาสมการวงรทีี่มแีกนตามขวางและแกนสงัยุคของไฮเพอรโ์บลา 9 x2−4 y2−54 x+8 y+41=0
เป็นแกนโทและแกนเอกตามลำาดับ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
28
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ถ้าให ้F1 และ F2 เป็นโฟกัสของไฮเพอรโ์บลา 16 y2−9 x2+36 x−32 y−164=0 และ V เป็น จุดศูนยก์ลางของวงกลม x2+ y2+2 x−4 y+1=0 แล้ว ความยาวของเสน้รอบรูปของสามเหล่ียม F1F2V เท่ากับกี่หน่วย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
29
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
