[]-Phuong Trinh Luong Giac

WWW.ToanCapBa.Net

Ths. L Vn onPhng trinh lng giac va ng dung (Nng cao)Phng trinh lng giac va ng dung (Nng cao) WWW.ToanCapBa.Net Ths. L Vn on

MUC LUC

Trang

Cng thc lng giac cn nm vng 2A Phng trinh lng giac c ban 5

Bai tp ap dung 5

Hng dn giai bai tp ap dung 8

Bai tp ren luyn 29B Phng trinh bc hai va bc cao i vi mt ham lng giac 32

Bai tp ap dung 33


Bai tp ren luyn 56C Phng trinh bc nht theo sin va cos 59

Bai tp ap dung 59


Bai tp ren luyn 81D Phng trinh lng giac ng cp 84

Bai tp ap dung 85


Bai tp ren luyn 92E Phng trinh lng giac i xng 93

Bai tp ap dung 94

Bai tp ren luyn 96F Phng trinh lng giac cha cn thc va tri tuyt i 97

Bai tp ap dung 97

Bai tp ren luyn 99G Phng trinh lng giac khng mu mc 101

Bai tp ap dung 102

Bai tp ren luyn 104H Phng trinh lng giac cha tham s Hai phng trinh tng ng 106

Bai tp ap dung 106

Bai tp ren luyn 112I H phng trinh lng giac 116

Bai tp ap dung 117J H thc lng trong tam giac Nhn dang tam giac 121

Bai tp ap dung 122

Bai tp ren luyn 125CAC CNG THC LNG GIAC NM VNG

(((( Cng thc c ban

( Cng thc cung nhn i Cng thc ha bc Cng thc cung nhn ba

( Cng thc cng cung

( Cng thc bin i tng thanh tich

( Cng thc bin i tich thanh tng

( Mt s cng thc thng dung khac

( Mt s lu y:

iu kin co nghim cua phng trinh la: .

Khi giai phng trinh co cha cac ham s hoc , co mu s hoc cn bc chn thi nht thit phai t iu kin phng trinh xac inh.

Phng trinh cha , iu kin: . Phng trinh cha , iu kin: .

Phng trinh cha ca va , iu kin: .

Khi tim c nghim phai kim tra (so) vi iu kin. Ta thng dung mt trong cac cach sau y kim tra iu kin:

Kim tra trc tip bng cach thay gia tri cua vao biu thc iu kin. Nu khi th vao, gia tri y lam ng thc ung thi nhn nghim, nu sai thi loai nghim.

Dung ng tron lng giac, nghia la biu din cac ngon cung cua iu kin va cung cua nghim. Nu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghim, nu khng trung thi ta nhn nghim.

Cach biu din cung goc lng giac trn ng tron: " Nu cung hoc goc lng giac co s o la vi thi co im trn ng tron lng giac cach u nhau".

Vi du 1: Nu s thi co mt im tai vi tri (ta chon ).

Vi du 2: Nu s thi co 2 im tai vi tri va (ta chon ).

Vi du 3: Nu s thi co 3 im tai cac vi triva , .

Vi du 4: Nu s thi co 4 im tai cac vi tri ,, ; (ng vi cac vi tri ).

Vi du 5: Tng hp hai cung va

Biu din cung trn ng tron thi co 2 im tai cac vi tri: va

Biu din cung trn ng tron thi co 2 im tai cac vi tri: va .

Tng hp hai cung gm 4 im nh hinh ve va

cung tng hp la:

i vi phng trinh ta khng nn giaitrc tip vi khi o co ti 4 nghim, khi kt hp va so sanh vi iu kin rt phc tap, ta nn ha bc la ti u nht. Nghia la:

. Tng t i vi phng trinh ta khng nn giai nh th, ma nn bin i da vao cng thc . Luc o:

S dung thanh thao cu thn chu: '' Cos i Sin bu Phu cheo '' y co th xem la cu thn chu ''n gian, d nh'' trong lng giac nhng no lai ong vai tro la mt trong nhng nhn t cn thit, hiu qua nht khi giai phng trinh lng giac.

Cos i, nghia la cos cua hai goc i nhau thi bng nhau, tc la , con cac cung goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:

Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu nhau thi bng nhau, tc la , con cac cung goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:

Phu cheo, nghia la vi hai goc phu nhau (co tng bng 900) thi sin goc nay bng cos goc kia va ngc lai, tc la:

Ta hay th n vi vi du nho sau y thy c hiu qua cua '' cu thn chu '' nay:

Giai phng trinh lng giac:

Ro rang, phn phng trinh lng giac c ban, ta chi bit cach giai sao cho phng trinh , vy con phng trinh thi sao ?

Cu tra li y chinh la phu cheo, bi:

.

Qua vi du nay, chc hn nu trong bai gp nhng phng trinh dang nh

thi cac ban hoc sinh se khng con cam thy lung tung na.

Mt s cung goc hay dung khac: va .

A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

( Dang:

c bit:

( Dang:

c bit:

( Dang: c bit:

( Dang:

c bit:

BAI TP AP DUNG

Bai 1. Giai phng trinh:










Bai 11.




Bai 15. Giai phng trinh: .

Bai 16. Giai phng trinh: .



































HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

(((

( Li binh: T vic xut hin ba cung , giup ta lin tng n vic a chung v cung mt cung. Nhng a v cung hay cung ? Cac ban co th tra li cu hoi o da vao quan nim sau: " Trong phng trinh lng giac tn tai ba cung , ta nn a v cung trung gian nu trong biu thc co cha sin2x (hoc cos2x). Con khng cha sin2x (hoc

cos2x), nn a v cung ".

Bai giai tham khao

.

.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: T vic xut hin cac cung va , chung ta nghi ngay n vic a chung v cung mt

cung x bng cng thc nhn ba va cng thc nhn i cua ham cos

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: T vic xut hin cua cung va cung ma ta nghi n vic chuyn cung v cung

bng cng thc nhn i cua ham sin va cos, t o xut hin nhn t chung hai v

.

( Li binh: T vic xut hin hai cung va giup ta suy nghi n vic a hai cung khac nhau nay v cung mt cung chung la . lam c iu o, ta co th dung cng thc cng cung hoc dung cu thn chu "cos i sin bu phu cheo''. Ta thc hin hai y

tng o qua hai cach giai sau y

Bai giai tham khao

Cach giai 1. S dung cng thc cng cung:

iu kin: .

.

Cach giai 2. S dung "cos i sin bu phu cheo''

Ta co:

. Giai tng t nh cach giai 1.

( Li binh: T tng hai cung giup ta lin tng n cu ''phu cheo'' , tht vy: . Cng vic con lai cua chung ta la dung cng thc: . Nu khng co nhn xet nay, ma ta tin hanh bin i tan, ri qui ng thi bai toan

tr nn rt phc tap, cha tinh n vic i chiu nghim vi iu kin.

Bai giai tham khao

K: .

.

Bai giai tham khao

K: .

Ta co: .

.

( Lu y, ta co th thc hin bin i mu s bng cng thc cng theo tan nh sau

.

( Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cng thc cng cung theo sin, hoc xet tng cung cua chung, . nhng ng vi lam nh th, no se kho i n kt qua. Ta hay xem gia hai cung va co mi lin h gi hay khng ? Tht vy: . T o, ta se t va s dung cng thc nhn ba la ti u nht.

Bai giai tham khao

Ta co: .

.

t . Va

.

Bai giai tham khao

Ta co:

t . Luc o

.

Bai giai tham khao

Ta co: .

Phng trinh: .

t . Luc o:

.

Bai giai tham khaoCach giai 1.

t . Luc o:

.

( Li binh: Trong , ti a s dung ki thut ghep cng thc . Vy trong giai phng trinh lng giac, du hiu nh th nao bit ghep nh th ? Cu tra li rt n gian: " Khi bc cua sin va cos khng ng bc va hn kem nhau hai bc, ta nn ghep

phng trinh tr nn n gian hn ".

Cach giai 2.

.

Cach giai 3.

Vi khng phai la nghim cua phng trinh nn chia hai v cua phng trinh cho , ta c:

Giai phng trinh theo tanx ta c nghim: .

Bai giai tham khaoCach giai 1.

t . Luc o:

.

Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai

( Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mt ham bc nht lng giac cos (hoc sin hoc ca sin va cos) dang tng (hoc hiu). Ta nn ghep cac s hang nay thanh cp sao cho hiu (hoc tng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay y va . Tai sao phai ghep nh vy ? Ly do rt n gian, chung ta cn nhng "tha s chung" nhom ra ngoai, a bai toan v dang phng trinh tich s.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: Vi nhng phng trinh co nhng hang t bc hai theo sin va cos, ta thng dung cng

thc ha bc bai toan tr nn n gian hn.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: T vic xut hin cac cung va nhn xet , ta co th inh hng nhom , lai vi nhau, sau khi dung cng thc tng thanh tich va ha bc nhm xut hin nhn t chung va cui cung a ta c phng trinh tich s n gian hn.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

( Cach giai 1

.

( Cach giai 2

.

Bai giai tham khao

.

( Cach khacDo khng la nghim cua phng trinh

Chia hai v cua cho , ta c:

.

Bai giai tham khao

( Li binh: Ta nhn thy trong phng trinh co cha ln , nu ta s dung cng thc nhn ba khai trin cung i n kt qua cui cung, nhng no tng i phc tap. Chinh vi th, y ta kheo leo phn tich ap dung cng thc tich thanh tng co xut hin s nhm ti gian c vi s phc tap bn v phai cua phng trinh.

.

Bai giai tham khao

( Li binh: Trong bai toan xut hin bn cung khac nhau, giup ta lin tng n vic a chung v cung mt cung. lam vic nay ta se suy nghi n vic dung cng thc , nhng no thi khng kha quan cho my, bi th phng trinh se tr thanh phng trinh bc cao, vic giai se gy kho khn. Nhng y rng, cac cung nay ln lt gp i nhau, ta cht nh n cng thc nhn i cua , bng cach nhn thm hai v cua cho . am trong phep nhn, ta nn kim tra xem co phai la nghim hay khng trc khi nhn.

Nhn thy: nn (v nghim) nn khng la nghim cua

Nhn ca 2 v cua phng trinh cho , ta c:

vi .

Bai giai tham khao

Do khng la nghim phng trinh , nn nhn hai v cho , ta c:

.

Bai giai tham khao Khi thi khng co nghim .

Khi . Nhn hai v cua cho , ta c:

.

.

Bai giai tham khao( Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co n mu hay cn bc chn, ta phai c iu kin phng trinh xac inh. c bit i vi nhng bai toan co cha tan (hoc cot), ta hay thay th chung bng nhm muc ich " n

gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thi.

Ta se dung cac cach sau y kim tra xem co nhn nghim hay khng

Thay cac gia tri x tim c vao iu kin xem co thoa khng. Nu thoa thi ghi nhn nghim y, nu khng thoa thi loai.

Hoc biu din cac ngon cung iu kin va ngon cung nghim trn cung mt ng tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghim khi co trung vi ngon cung cua iu kin.

Hoc so vi iu kin trong qua trinh giai phng trinh.

iu kin:

.

So vi iu kin, ho nghim cua phng trinh la .

Bai giai tham khao iu kin:

.

So vi iu kin, ho nghim phng trinh la .

Bai giai tham khao iu kin: .

.

Kt hp vi iu kin, phng trinh co 2 ho nghim: .


So nghim vi iu kin:

Cach 1: Khi thi (nhn).

Cach 2: Biu din cac ngon cung iu kin va ngon cung nghim, ta thy khng co ngon cung

nao trung nhau. Do o: la nghim cua

phng trinh. (Cach 2 nay mt nhiu thi gian).

Cach 3: Nu thi

(v li vi ).

Vy ho nghim cua phng trinh la: .


.

Thay vao nghim vao iu kin, thoa. Vy ho nghim cua phng trinh la

.

Bai giai tham khaoiu kin: .

.

Bai giai tham khaoiu kin:

Ta co: .

Luc o:

.


Ta co: .

(Nhn do )

.


.

Bai giai tham khaoK:

.


(nhn do )


.

So vi iu kin:

Vi thi loai nu k le.

Vi thi (nhn).


.


Ta co:

(Nhn do )

.


.

Cach khac:

(Giai tng t nh trn)


.

So vi iu kin, ho nghim cua phng trinh la .BAI TP REN LUYNCu 1. Giai phng trinh: .

Cu 2. Giai phng trinh: .

















































B PHNG TRINH BC HAI VA BC CAO I VI MT HAM LNG GIAC

(((Dang

t n phuiu kin

Nu t hoc th iu kin l

(tng t cho )

Mt s hng ng thc lng giac va mi lin h

(mi lin h gia sinx va cosx)

BAI TP AP DUNG



















































HNG DN GIAI PHNG TRINH BC HAI VA BC CAO I VI MT HAM LNG GIAC(((( Li binh: Trong bai toan toan co cha hai cung va nn ta a v cung mt cung la bng cng thc nhn i cua va cng thc ha bc . T o, a ta v phng trinh bc hai theo .

Bai giai tham khao

.

( Li binh: Trong vi du nay, cung tn tai hai cung khac nhau va nn ta a v cung mt cung la , nhng ln nay cn phai kt hp gia hng ng thc va cng thc nhn i: . Con ta se

ap dung cng thc nhn i nh trn c phng trinh bc hai theo .

Bai giai tham khao

.

( Li binh: Trong bai toan nay, co cha ng thi ba cung va ta khng th a cung cua v cungc (khng co cng thc lng giac nao), do o chi con cach duy nht la a ba cung nay v cung cung. Nhn thy rng, trong v trai phng trinh co cha , ta nn phn tich hai thanh phn nay trc tranh lp lai va dai dong khi giai phng trinh. Con tt nhin a v cung bng cng thc nhn i: , nhng trong ba cng thc o, ta se ap dung cng thc nao ? Cu tra li la "da vao s bin i cua v trai chon

cng thc phu hp".

Bai giai tham khao

iu kin: .

Ta co:

.

.

Kt hp vi iu kin, ta c ho nghim la do .

( Li binh: T vic xut hin hai cung , ta co th a chung v cung mt cung theo cng thc nhn ba va cng cung xut hin nhn t chung (cach giai 1). Hn na, trong bai xut hin s va , ta cung co th tach va nhom chung mt

cach kheo leo lai vi nhau, ap dung cng thc tng thanh tich (cach giai 2).

Bai giai tham khao

Cach giai 1

EMBED Equation.DSMT4


.

Cach giai 2



.

Giai tng t nh trn.

Bai giai tham khao

iu kin:

Cach giai 1

Vy phng trinh v nghim.

Cach giai 2

Vy phng trinh v nghim.WWW.TOANCAPBA.NET

Bai giai tham khao

Cach giai 1

.

Cach giai 2

.

Cach giai 3. Phng trinh lng giac khng mu mc

.

Cach giai 4. Phng trinh lng giac khng mu mc

.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: T vic xut hin cac s la nhng bi s cua , lam ta lin tng n cu "cos i sin bu phu cheo", tht vy, cac ban y cach giai sau:

Bai giai tham khao

.

Vi .

Vi Khng tn tai nn loai nghim .

Vi .

Bai giai tham khao

iu kin: .

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

iu kin: .

Thay vao k: nn ho nghim phng trinh la .

Bai giai tham khao

iu kin:

.

Bai giai tham khao

iu kin:

.

Vy ho nghim cn tim la .

Bai giai tham khao

iu kin:

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

iu kin:

.

Bai giai tham khao

iu kin: .

Do nn chia hai v cho , ta c:

.

Bai giai tham khao

.

( Li binh: T vic xut hin va , ta xem chung co mi h nh th nao ? Co a v nhn t chung hay cung mt cung hay khng ? Cu tra li nm u : "cac hng ng thc lng giac va mi lin h". Tht vy, ta co:

.


.

Bai giai tham khao

iu kin:

.

Bai giai tham khao

iu kin: .

Cach giai 1

.

Cach giai 2

.

Bai giai tham khao

Ta co:

.

Bai giai tham khao

Ta co:

.

Bai giai tham khao

Do

Nn khng la nghim .

Nhn hai v cho , ta c:

vi

Bai giai tham khao

iu kin:

Ta co:

.

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khaot:

.


.

Ta co:

.


Ta co:

.

Bai giai tham khao

Giai

Giai : Ta co (v ly)

V nghim.

Vy ho nghim cua phng trinh la: .

Li binh. Khi gp phng trinh lng giac dang vi R la ham hu ty thi ta t . Khi o: . Hin nhin, luc nay phng trinh a cho a v phng trinh ai s vi bin t ma ta co th giai d dang tim . Lu y

rng, y X co th la


t .

(Nhn do )


t:

.


t

.


.

Bai giai tham khao



.


.


.

Bai giai tham khao

.


t

.



.


Cach giai 1

.

Cach giai 2 (Phng trinh i xng theo tan va cot) t .

.

Bai giai tham khao

Bai giai tham khao

.

Bai giai tham khao

Bai giai tham khao

.


V nghim.

Bai giai tham khao

.

BAI TP REN LUYNCu 51. Giai phng trinh:

Cu 52. Giai phng trinh:

















































C PHNG TRINH BC NHT THEO SIN VA COS (PT C IN)

(((Dang:

Phng phap 1:

iu kin phng trinh co nghim:

Chia 2 v phng trinh cho , ta c: .

t . Phng trinh tr thanh: a bit cach giai.

Phng phap 2:

Kim tra xem co phai la nghim hay khng ? Nu phai thi ghi nhn nghim nay.

Vi , ta t:

. Thay vao phng trinh, ta c:

.

Vi nn co nghim khi: .

Giai phng trinh , ng vi mi nghim ta co phng trinh: BAI TP AP DUNG































EMBED Equation.DSMT4 Bai 131. Giai phng trinh:




















HNG DN GIAI PHNG TRINH BC NHT THEO SIN VA COS (PT C IN)

(((

Bai giai tham khao


Vy nghim cn tim cua phng trinh la: .

Bi gii tham kho


.

Bi gii tham kho

iu kin:

Thay vo , ta c h nghim phng trnh l: .

Li binh. i vi phng trinh bc nht vi sin va cos dang: thi cac ban hoc sinh co th giai mt cach d dang bng cach chia hai v cho . Nhng nu gp dang: thi hng giai quyt nh th nao ? C binh tinh, ta xem v trai cua la phng trinh bc nht theo sin va cos thi cach lam cung tng t nh dang: . Con i vi dang , ta coi hai v cua phng trinh la hai phng trinh bc nht i vi sin va cos, hin nhin cach giai cung tng t. Nhng lu y rng, ta phai chuyn v sao cho v trai la cung mt cung, v phai la cung mt cung. Hay chim nghim hng suy nghi o qua li giai sau.Bi gii tham kho

iu kin:

.

Thay vo , ta c nghim ca phng trnh l: .

Bi gii tham kho

iu kin:

Thay vo , ta c h nghim phng trnh l: .

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

Gii

Gii Phng trnh v nghim do .

Vy h nghim ca phng trnh l: .

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

iu kin:

Thay vo h nghim phng trnh l .

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

iu kin: .

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

Phng trinh a cho v nghim do

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho Ta co:

t

.

Bi gii tham kho

Ta co:

t . Ta co:

Do o:

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

Bi gii tham kho

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

iu kin: .

.

Bi gii tham kho

iu kin: .

.

Thay nghim vao , ho nghim phng trinh la: .

Bi gii tham kho

Ta co:

.

t .

.

.

Bi gii tham kho

iu kin:

.

Thay vao , ho nghim phng trinh la .

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

iu kin:

.

Thay vao , ho nghim phng trinh la: .

Bi gii tham kho

iu kin:

.

Thay vao , ho nghm phng trinh la: .

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

Bi gii tham kho

.

Bi gii tham kho

.



















































D PHNG TRINH LNG GIAC NG CP(((( Dang 1. .

Phng phap 1. Chia hai v cho (hay ).

Bc 1. Kim tra xem co phai la nghim cua phng trinh hay khng ? Nu phai thi ghi nhn nghim nay.

Bc 2. Khi . Chia hai v cua cho (hay ), ta c:

.

Bc 3: t a v phng trinh bc hai ma bit cach giai.

Phng phap 2: S dung cng thc ha bc va nhn i Bc 1: Th va vao va rut gon lai, ta c:

Bc 2: Giai phng trinh , tim nghim. y la phng trinh bc nht i vi va

(phng trinh c in) ma a bit cach giai.

( Dang 2.

Phng phap: Chia hai v cua cho (hay ) hoc chia hai v cua cho

(hay ) va giai tng t nh trn.

BAI TP AP DUNG



















































HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC NG CP

(((

Bai giai tham khao Khi thi v nghim.

Do khng la nghim cua nn chia hai v cho , ta c:

.



.



.



.



.


Ta co: .

Thay vao , ho nghim phng trinh: .

Bai giai tham khao

Khi thi v nghim.


.


Khi thi v nghim.


Phng trinh v nghim.WWW.TOANCAPBA.NET



.



.

Thay vao , ho nghim phng trinh la: .



.



.

Bai giai tham khao

Khi thi v nghim.


.






















E PHNG TRINH LNG GIAC I XNG

(((( Dang 1.

.

( Dang 2.

.

( Dang 3.

.

.

( Dang 4.

.

.

( Dang 5.

.

( Dang 6.

.

( Dang 7.

.

( Dang 8.

.

( Dang 9.

BAI TP AP DUNG











































































Giai phng trinh: WWW.TOANCAPBA.NETF PHNG TRINH LNG GIAC CHA CN VA CHA TRI TUYT I

(((Phng phap:

( Phng trinh cha cn thc: Ap dung cng thc

Lu y: Khi giai , ta ap dung phng phap th lai.

( Phng trinh cha gia tri tuyt i

Cach 1. M gia tri tuyt i da vao inh nghia

Cach 2. Ap dung cng thc

BAI TP AP DUNG


















































Bai 300. Giai phng trinh: vi









Cu 204.


























G PHNG TRINH LNG GIAC KHNG MU MC

(((( Loai 1. Tng hai s khng m:

( Loai 2. Phng phap i lp dang 1:

( Loai 3. Phng phap i lp dang 2:

c bit

BAI TP AP DUNGBai 301. Giai phng trinh:












































































































H PHNG TRINH LNG GIAC CO CHA THAM S

HAI PHNG TRINH TNG NG NHAU

(((Phng phap: Ta co nhng phng phap thng dung thng gp nh sau:

( Phng phap lng giac:

Phng trinh co dang: co nghim khi va chi khi: .

Phng trinh co dang: co nghim khi va chi khi: .

Lu y: Nu min trn khng phai la thi no chi la iu kin cn.

( Phng phap ai s:

Tach m ra khoi tham s, va t ham con lai la .

Khao sat ham trn min xac inh suy ra gia tri m cn tim.

( Hai phng trinh tng ng:

Nu hai phng trinh lng giac c goi la tng ng nhau khi va chi khi nghim cua phng trinh nay cung la nghim cua phng trinh kia.

BAI TP AP DUNGBai 351. Cho phng trinh:

a/ Giai phng trinh khi .

b/ Tim tham s m phng trinh co nghim trn .

Bai 352. Cho phng trinh:


b/ Tim tham s m phng trinh co ung hai nghim trn .



b/ Tim tham s m phng trinh co nhiu hn mt nghim trn .

c/ Tim tham s m phng trinh co hai nghim phn bit trn .



b/ Tim tham s m phng trinh co hai nghim trn .






b/ Tim tham s m phng trinh co nghim.



b/ Tim tham s phng trinh co nghim.












b/ Tim tham s m phng trinh co nghim .



b/ Tim tham s m phng trinh co ung 7 nghim trn .






b/ Tim tham s m phng trinh co hai nghim phn bit trn .






b/ Khi va thi phng trinh co bao nhiu nghim trn .





a/ Chng minh rng nu thi phng trinh v nghim.

b/ Giai phng trinh khi .












b/ Tim tham s m phng trinh co duy nht mt nghim trn .






b/ Tim tham s m phng trinh co it nht mt nghim thuc .












b/ Tim tham s phng trinh co nghim.


















b/ Tim tham s m phng trinh co ung hai nghim trn .



b/ Tim tham s m phng trinh co nhiu hn mt nghim trn .



b/ Giai va bin lun phng trinh trn .



b/ Giai va bin lun phng trinh theo m.

Bai 388. Cho ham s


b/ Cho . Tim m phng trinh co nghim.




Bai 390. Tim tham s m hai phng trinh sau tng ng



Bai 393. Tim tham s a va b hai phng trinh sau tng ng






Bai 399. Tim tham s m hai phng trinh sau tng ng:

Bai 400. Tim tham s m hai phng trinh sau tng ng:

BAI TP REN LUYNCu 278. Tim tt ca cac tham s m phng trinh: co nghim ?

Cu 279. Tim tham s m phng trinh: co nghim ?


Cu 281. Xac inh tham s m phng trinh: co ung mt nghim ?

Cu 282. Giai va bin lun phng trinh:



Cu 285. Tim tham s m phng trinh: v nghim ?

Cu 286. Cho phng trinh:

a/ Tim tham s m phng trinh co nghim ?

b/ Tim tham s m phng trinh co ung ba nghim ?

Cu 287. Cho phng trinh: . Tim phng trinh co nghim ?

Cu 288. Cho phng trinh: . Tim m phng trinh co 2 nghim thoa .

Cu 289. Cho phng trinh: . Tim m phng trinh co nghim ?

Cu 290. Cho phng trinh: . Tim tham s m phng trinh co nghim ?

Cu 291. Cho phng trinh: . Tim m phng trinh co nghim .


Cu 293. Xac inh tham s m : co nghim ?




Cu 297. Xac inh tham s m phng trinh: co nghim ?

Cu 298. Tim tt ca cac gia tri nguyn dng cua m phng trinh: co nghim ?



Cu 301. Cho phng trinh: . Tim m co ung 4 nghim thuc .

Cu 302. Cho phng trinh: . Tim m co ung 2 nghim phn bit thuc .

Cu 303. Cho phng trinh: . Tim m phng trinh co it nht 1 nghim .

Cu 304. Tim a co nghim.


Cu 306. Giai va bin lun phng trinh: ?

Cu 307. Cho phng trinh: . Tim m co nghim .Cu 308. Cho phng trinh:

Xac inh m phng trinh co ba nghim phn bit .


Xac inh m phng trinh co ba nghim phn bit .



Xac inh m phng trinh co nghim .


Cu 313. Xac inh tham s m phng trinh: co nghim duy nht .


Xac inh m phng trinh co nghim .

Cu 315. Cho phng trinh: . Xac inh m phng trinh co ung hai nghim .

Cu 316. Cho phng trinh: . Tim tham s m phng trinh co nghim .

Cu 317. Tim a phng trinh: co nghim ?

Cu 318. Cho phng trinh: . Tim tham s m phng trinh v nghim.

Cu 319. Tim tt ca cac gia tri cua tham s m phng trinh: co nghim ?

Cu 320. Tim tham s m phng trinh: co nghim.




Cu 324. Cho phng trinh: . Xac inh tham s m phng trinh co it nht mt nghim .

Cu 325. Tim tham s m phng trinh: co nghim .

Cu 326. Tim tham s m phng trinh: co nghim


Cu 328. Xac inh tham s a phng trinh: co nghim .


Cu 330. Xac inh tham s m : co nghim duy nht

Cu 331. Xac inh tham s m : co nghim duy nht

Cu 332. Xac inh tham s m : co nghim


Cu 334. Xac inh m : co nghim duy nht trn

Cu 335. Cac tham s a, b thoa man iu kin gi phng trinh: co nghim ?



Cu 338. Tim a phng trinh sau co nghim ?


Cu 340. Cho phng trinh: . Tim tham s m phng trinh co nghim .

Cu 341. Cho phng trinh: . Xac inh m phng trinh co nghim

Cu 342. Cho phng trinh: . Xac inh tham s m phng trinh co nghim duy nht .

Cu 343. Cho phng trinh: . Xac inh phng trinh co nghim ?

Cu 344. Cho phng trinh: . Xac inh m phng trinh co nghim ?

Cu 345. Cho phng trinh: . Xac inh m phng trinh duy nht thuc oan ?

Cu 346. Cho phng trinh: . Xac inh m phng trinh co nghim ?

Cu 347. Tim tt ca cac gia tri m phng trinh: co ung hai nghim phn bit trong

I H PHNG TRINH LNG GIAC

(((Phng phap: Ta co nhng phng phap thng dung thng gp nh sau

Phng phap th.

Phng phap cng.

Phng phap t n phu.

Phng phap bt ng thc, tng hai s khng m (h khng mu mc).

BAI TP AP DUNGBai 401. Giai h phng trinh:

Bai 402. Giai h phng trinh:









































Bai 443. Cho h phng trinh:

a/ Giai h phng trinh khi .

b/ Tim tham s m h co nghim.


Tim tham s m h phng trinh co nghim.




Bai 446. Cho h phng trinh: . Tim tham s m h co nghim duy nht.




Bai 448. Cho h phng trinh: . Tim tham s a h co nghim duy nht.

Bai 449. Tim iu kin cn va iu kin u h sau co nghim:




J H THC LNG TRONG TAM GIAC NHN DANG TAM GIAC

(((( inh li ham s sin va cosinCho ABC co a, b, c ln lt la ba canh i din cua va R, S tng ng la ban kinh ng

tron ngoai tip va din tich ABC.

( inh li v ng trung tuynCho ABC co trung tuyn AM thi

( Din tich tam giacGoi S : la din tich ABC.

R : ban kinh ng tron ngoai tip ABC.

r : ban kinh ng tron ni tip ABC.

p : na chu vi cua ABC.

( Ban kinh ng tron

Goi R : ban kinh ng tron ngoai tip ABC.

r : ban kinh ng tron ni tip ABC.

( inh li ham s tan va cot

BAI TP AP DUNGBai 451. Chng minh cac ng thc c ban trong ABC

a/

b/

c/

d/

e/

f/

g/

h/

i/

j/

Bai 452. Chng minh trong ABC, ta lun co:

Bai 453. Cho ABC. Bit . Chng minh: .

Bai 454. Cho ABC co ba goc A, B, C theo th t tao thanh cp s nhn cng bi . Chng minh:

a/ .

b/ .

c/ .

d/ .

Bai 455. Cho . Chng minh:

Bai 456. Cho ABC. Bit rng: . Tinh cac goc cua ABC.

Bai 457. Cho ABC. Bit rng co ba goc A, B, C tao thanh mt cp s nhn co cng bi .

Gia s . Chng minh: .

Bai 458. Cho ABC. Chng minh: .

Bai 459. Cho ABC. Bit . Chng minh:

Bai 460. Cho ABC. Chng minh rng nu cotA, cotB, cotC tao thanh mt cp s cng thi a2, b2, c2

cung theo th t o lp thanh cp s cng.

Bai 461. Cho ABC. Chng minh: .

Bai 462. Cho ABC. Chng minh:








Bai 470. Cho ABC co AM la ng trung tuyn, la din tich ABC vi .

a/ Chng minh: .

b/ Gia s . Chng minh: .

Bai 471. Cho ABC co trung tuyn xut phat t B va C la mb, mc thoa .

Chng minh rng: .

Bai 472. Chng minh rng nu ABC co trung tuyn AA' vung goc vi trung tuyn BB' thi .

Bai 473. Cho ABC. Chng minh rng: .

Bai 474. Cho ABC. Chng minh rng: .

Bai 475. Cho ABC co trong tm G va . Chng minh rng: .

Bai 476. Cho I la tm ng tron ni tip ABC. Chng minh:

a/ .

b/ .

Bai 477. Cho ABC co ng tron ni tip tip xuc cac canh ABC tai A', B', C'. A'B'C' co cac canh la a', b', c' va din tich la S'. Chng minh:

a/ .

b/ .

Bai 478. Cho ABC co trong G va tm ng tron ni tip I. Bit GI vung goc vi ng phn giac trong cua goc . Chng minh: .

Bai 479. Tinh cac goc cua ABC bit: .

Bai 480. Tinh cac goc cua ABC bit: .

Bai 481. Chng minh ABC co nu: .

Bai 482. Tinh cac goc cua ABC bit s o ba goc tao thanh mt cp s cng va thoa: .

Bai 483. Tinh cac goc cua ABC nu bit

Bai 484. Cho ABC khng tu thoa: . Tinh 3 goc ABC.

Bai 485. Chng minh ABC co it nht mt goc khi va chi khi .

Bai 486. Cho ABC co . Chng minh ABC vung.

Bai 487. Chng minh ABC vung tai A nu : .

Bai 488. Cho ABC co . Chng minh ABC vung.

Bai 489. Chng minh ABC vung nu: .

Bai 490. Cho ABC co: . Chng minh ABC vung.

Bai 491. Chng minh nu ABC co thi no la mt tam giac cn.Bai 492. Chng minh ABC cn nu: .

Bai 493. Chng minh ABC cn nu: .

Bai 494. Chng minh ABC cn nu: .

Bai 495. Chng minh ABC u nu: .

Bai 496. Chng minh ABC u nu:





BAI TP REN LUYNCu 348. Tinh cac goc ABC bit:

Cu 349. Tinh cac goc ABC bit:

Cu 350. Tinh goc cua ABC bit:

Cu 351. Tinh goc cua ABC bit:

Cu 352. Chng minh ABC vung nu:






















Cu 374. Chng minh ABC cn nu:


























Cu 400. Chng minh ABC u nu:





















Cu 421. Chng minh ABC u nu: vi la ba ng trung tuyn.





Cu 426. ABC la tam giac gi nu:























Cu 449. Cho ABC. Chng minh:












































Cu 493. Cho ABC co chu vi bng 3. Chnh minh rng: .

Cu 494. Cho ABC nhon. Chng minh rng:

Cu 495. Cho ABC nhon. Chng minh rng:

Cu 496. Cho ABC. Chng minh rng:

Cu 497. Cho ABC co . Chng minh rng:

Cu 498. Cho ABC nhon thi ta lun co:

Cu 499. Cho ABC nhon thi:

====== (((((((((((( HT (((((((((((( ======WWW.TOANCAPBA.NET giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng dung cua no, cac ban hoc sinh cn nm vng tt ca nhng cng thc lng giac. o la hanh trang, la cng cu cn thit nht chinh phuc th gii mang tn: "Phng trinh lng giac"

(/3

5(/6

4(/3

(/6

O

Bai 1. Giai phng trinh: EMBED Equation.DSMT4

Trich thi tuyn sinh ai hoc khi D nm 2002






Trich thi tuyn sinh ai hoc khi B nm 2005




Trich thi tuyn sinh ai hoc khi A nm 2008


Trich thi tuyn sinh ai hoc Giao Thng Vn Tai Tp. HCM nm 1999


Trich thi tuyn sinh ai hoc Xy Dng nm 1997


Trich thi tuyn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001


Trich thi tuyn sinh Hoc Vin Bu Chinh Vin Thng nm 1999


Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Gia Ha Ni nm 1999


Trich thi tuyn sinh Phn Vin Bao Chi Truyn Thng nm 1998


Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Gia Tp.HCM nm 1998


Bai 15. Giai phng trinh: EMBED Equation.DSMT4 .

Trich thi tuyn sinh Cao ng S Pham Hng Yn khi A nm 2000

Bai 16. Giai phng trinh: EMBED Equation.DSMT4 .

Trich thi tuyn sinh ai hoc S Pham Ki Thut Tp. HCM khi A nm 2001


Trich thi tuyn sinh ai hoc Kinh t Quc Dn nm 1999




Trich thi tuyn sinh ai hoc Th Duc Th Thao nm 2001




Trich thi tuyn sinh ai hoc nm khi A nm 2007



Trich thi Tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 1999





Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Qua Ha Ni Khi B nm 1999


Trich thi tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng Tp.HCM khi D 2000


Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc gia Ha Ni khi D 1998


Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Qua Tp.HCM 1998 1999 t 1



Trich thi tuyn sinh ai hoc Kinh t Quc Dn nm 1998








Trich thi tuyn sinh ai hoc Giao Thng Vn Tai Tp.HCM nm 1998



(/4

(/6

(/2

3(/4

5(/6

7(/6

5(/4

3(/2

7(/4

11(/6





Trich thi Tuyn Sinh ai hoc Mo ia cht nm 2000



Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Gia Tp.HCM nm 1998 1999


Trich thi tuyn sinh ai hoc Tai Chinh K Toan nm 2000

(Loai do EMBED Equation.DSMT4 )

(Nhn)




Trich thi Tuyn sinh Cao ng Kinh t Cng Nghip Tp. HCM nm 2007



Trich thi tuyn sinh ai hoc Bach Khoa nm 2000


Trich thi tuyn sinh ai hoc Dc Ha Ni nm 2001




(Trich thi tuyn sinh Cao ng khi A, B, D nm 2011)


(Trich thi tuyn sinh Cao ng Xy dng s 2 nm 2007)


(Trich thi tuyn sinh ai hoc khi A nm 2002)


(Trich thi tuyn sinh ai hoc Thuy Li nm 2000)


(Trich thi tuyn sinh ai hoc Mo ia Cht nm 1997)




(Trich thi tuyn sinh ai hoc khi D nm 2005)



(Trich thi tuyn sinh ai hoc khi B nm 2004)










(Trich thi d bi 2 tuyn sinh ai hoc khi A nm 2002)



(Trich thi d bi 1 ai hoc khi B nm 2003)


(Trich thi d bi 1 khi B nm 2003)




Trich thi tuyn sinh Hoc Vin Qun Y nm 1997


(Trich thi tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 1995)








Trich thi tuyn sinh ai hoc Mo ia Cht nm 2001


Trich thi tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 2000




Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Gia Ha Ni khi A nm 2001



(Trich thi d bi 1 ai hoc khi A nm 2003)





(Trich thi Tuyn sinh ai hoc Quc Gia Ha Ni nm 1996)



(Trich thi Tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 2000)


(Trich thi Tuyn sinh ai hoc Lut nm 2000)













Trich thi tuyn sinh ai hoc Kinh t Quc Dn nm 1997 1998




Trich thi tuyn sinh ai hoc Lut nm 1998










Trich thi tuyn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 1997 1998



Trich thi tuyn sinh ai hoc Quc Gia Tp.HCM nm 2001


Trich thi tuyn sinh ai hoc Nng Nghip I khi B nm 2001







Trich thi tuyn sinh ai hoc Thuy San nm 1996



Trich thi tuyn sinh Hoc vin Bu Chinh Vin Thng nm 2001





Bai 125. Giai phng trinh: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4










Trich thi tuyn sinh Cao ng khi A nm 2004


Trich thi tuyn sinh Cao ng nm 2008









Trich thi D bi 1 ai hoc khi A nm 2005


Trich thi tuyn sinh Hoc Vin Ky Thut Qun S nm 1998


Trich thi Cao ng S pham Th Duc TW2 nm 2002


Trich thi tuyn sinh Cao ng Kim Sat phia Nam nm 2000


Trich thi tuyn sinh Cao ng S pham nm 2005


Trich thi Cao ng Hai Quan nm 1998 1999


















A

B

C

b

c

a

A

B

C

b

c

ma

a

M

Page - 130 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"" Cn cu bu thng minh"

Page - 129 -

_1408007392.unknown

_1408007684.unknown

_1408007959.unknown

_1408008118.unknown

_1408011210.unknown

_1408011247.unknown

_1408011282.unknown

_1408011299.unknown

_1408011308.unknown

_1408011317.unknown

_1408011322.unknown

_1408011326.unknown

_1408011328.unknown

_1408011330.unknown

_1408358837.unknown

_1408011329.unknown

_1408011327.unknown

_1408011324.unknown

_1408011325.unknown

_1408011323.unknown

_1408011319.unknown

_1408011321.unknown

_1408011320.unknown

_1408011318.unknown

_1408011313.unknown

_1408011315.unknown

_1408011316.unknown

_1408011314.unknown

_1408011310.unknown

_1408011312.unknown

_1408011311.unknown

_1408011309.unknown

_1408011304.unknown

_1408011306.unknown

_1408011307.unknown

_1408011305.unknown

_1408011302.unknown

_1408011303.unknown

_1408011300.unknown

_1408011301.unknown

_1408011290.unknown

_1408011295.unknown

_1408011297.unknown

_1408011298.unknown

_1408011296.unknown

_1408011293.unknown

_1408011294.unknown

_1408011292.unknown

_1408011291.unknown

_1408011286.unknown

_1408011288.unknown

_1408011289.unknown

_1408011287.unknown

_1408011284.unknown

_1408011285.unknown

_1408011283.unknown

_1408011264.unknown

_1408011273.unknown

_1408011277.unknown

_1408011279.unknown

_1408011280.unknown

_1408011281.unknown

_1408011278.unknown

_1408011275.unknown

_1408011276.unknown

_1408011274.unknown

_1408011269.unknown

_1408011271.unknown

_1408011272.unknown

_1408011270.unknown

_1408011266.unknown

_1408011267.unknown

_1408011268.unknown

_1408011265.unknown

_1408011255.unknown

_1408011260.unknown

_1408011262.unknown

_1408011263.unknown

_1408011261.unknown

_1408011258.unknown

_1408011259.unknown

_1408011257.unknown

_1408011256.unknown

_1408011251.unknown

_1408011253.unknown

_1408011254.unknown

_1408011252.unknown

_1408011249.unknown

_1408011250.unknown

_1408011248.unknown

_1408011228.unknown

_1408011238.unknown

_1408011242.unknown

_1408011245.unknown

_1408011246.unknown

_1408011243.unknown

_1408011244.unknown

_1408011240.unknown

_1408011241.unknown

_1408011239.unknown

_1408011233.unknown

_1408011235.unknown

_1408011236.unknown

_1408011234.unknown

_1408011230.unknown

_1408011232.unknown

_1408011231.unknown

_1408011229.unknown

_1408011219.unknown

_1408011224.unknown

_1408011226.unknown

_1408011227.unknown

_1408011225.unknown

_1408011221.unknown

_1408011223.unknown

_1408011222.unknown

_1408011220.unknown

_1408011215.unknown

_1408011217.unknown

_1408011218.unknown

_1408011216.unknown

_1408011212.unknown

_1408011213.unknown

_1408011214.unknown

_1408011211.unknown

_1408008160.unknown

_1408011193.unknown

_1408011202.unknown

_1408011206.unknown

_1408011208.unknown

_1408011209.unknown

_1408011207.unknown

_1408011204.unknown

_1408011205.unknown

_1408011203.unknown

_1408011197.unknown

_1408011199.unknown

_1408011200.unknown

_1408011201.unknown

_1408011198.unknown

_1408011195.unknown

_1408011196.unknown

_1408011194.unknown

_1408008169.unknown

_1408008173.unknown

_1408010177.unknown

_1408011192.unknown

_1408011191.unknown

_1408008175.unknown

_1408008176.unknown

_1408008174.unknown

_1408008171.unknown

_1408008172.unknown

_1408008170.unknown

_1408008164.unknown

_1408008166.unknown

_1408008168.unknown

_1408008167.unknown

_1408008165.unknown

_1408008162.unknown

_1408008163.unknown

_1408008161.unknown

_1408008139.unknown

_1408008149.unknown

_1408008154.unknown

_1408008157.unknown

_1408008159.unknown

_1408008158.unknown

_1408008156.unknown

_1408008155.unknown

_1408008151.unknown

_1408008153.unknown

_1408008152.unknown

_1408008150.unknown

_1408008144.unknown

_1408008147.unknown

_1408008148.unknown

_1408008145.unknown

_1408008146.unknown

_1408008142.unknown

_1408008143.unknown

_1408008140.unknown

_1408008141.unknown

_1408008129.unknown

_1408008134.unknown

_1408008137.unknown

_1408008138.unknown

_1408008135.unknown

_1408008136.unknown

_1408008132.unknown

_1408008133.unknown

_1408008130.unknown

_1408008131.unknown

_1408008123.unknown

_1408008126.unknown

_1408008128.unknown

_1408008127.unknown

_1408008125.unknown

_1408008124.unknown

_1408008121.unknown

_1408008122.unknown

_1408008119.unknown

_1408008120.unknown

_1408008040.unknown

_1408008079.unknown

_1408008098.unknown

_1408008108.unknown

_1408008113.unknown

_1408008116.unknown

_1408008117.unknown

_1408008115.unknown

_1408008114.unknown

_1408008111.unknown

_1408008112.unknown

_1408008109.unknown

_1408008110.unknown

_1408008103.unknown

_1408008106.unknown

_1408008107.unknown

_1408008105.unknown

_1408008104.unknown

_1408008101.unknown

_1408008102.unknown

_1408008099.unknown

_1408008088.unknown

_1408008093.unknown

_1408008096.unknown

_1408008097.unknown

_1408008095.unknown

_1408008094.unknown

_1408008090.unknown

_1408008092.unknown

_1408008091.unknown

_1408008089.unknown

_1408008084.unknown

_1408008086.unknown

_1408008087.unknown

_1408008085.unknown

_1408008081.unknown

_1408008082.unknown

_1408008083.unknown

_1408008080.unknown

_1408008060.unknown

_1408008069.unknown

_1408008075.unknown

_1408008077.unknown

_1408008078.unknown

_1408008076.unknown

_1408008073.unknown

_1408008074.unknown

_1408008071.unknown

_1408008072.unknown

_1408008070.unknown

_1408008065.unknown

_1408008067.unknown

_1408008068.unknown

_1408008066.unknown

_1408008062.unknown

_1408008063.unknown

_1408008064.unknown

_1408008061.unknown

_1408008051.unknown

_1408008056.unknown

_1408008058.unknown

_1408008059.unknown

_1408008057.unknown

_1408008053.unknown

_1408008055.unknown

_1408008054.unknown

_1408008052.unknown

_1408008045.unknown

_1408008049.unknown

_1408008050.unknown

_1408008047.unknown

_1408008048.unknown

_1408008046.unknown

_1408008043.unknown

_1408008044.unknown

_1408008041.unknown

_1408008042.unknown

_1408007998.unknown

_1408008020.unknown

_1408008029.unknown

_1408008035.unknown

_14080080

Documents

[]-Phuong Trinh Luong Giac