Agnieszka Rossa, Andrzej Szymański – Uniwersytet Łódzki

Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Zakład Demografii i Gerontologii Społecznej

90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1095 r. nr 41/43

Lesław Socha – Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego

Wydział Matematyczno-Przyrodniczy – Szkoła Nauk Ścisłych, Instytut Informatyki

01-938 Warszawa, ul. Wóycickiego 1/3

RECENZENT

Grażyna Trzpiot

REDAKTOR INICJUJĄCY

Iwona Gos

REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ

Bogusław Pielat

SKŁAD I ŁAMANIE

Agnieszka Rossa

KOREKTA TECHNICZNA

Leonora Wojciechowska

PROJEKT OKŁADKI

Stämpfli Polska Sp. z o.o.

Zdjęcie wykorzystane na okładce: © Shutterstock.com

Wydrukowano z gotowych materiałów dostarczonych do Wydawnictwa UŁ

© Copyright by Authors, Łódź 2015

© Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2015

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Wydanie I. W.07151.15.0.K

Ark. wyd. 11,8; ark. druk. 14,75

ISBN 978-83-8088-041-2

e-ISBN 978-83-8088-042-9

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

90-131 Łódź, ul. Lindleya 8

www.wydawnictwo.uni.lodz.pl

e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl

tel. (42) 665 58 63

Spis tresci

Wst ↪ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Rozdzia l 1. Modele umieralnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralnosci . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Zwi ↪azek kohortowych wspo lczynnikow zgonow i prawdopodo-bienstw zgonow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Modele interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Model interpolacji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Model interpolacji wyk ladniczej . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Inne tablicowe mierniki umieralnosci . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. Zwi ↪azek kohortowych wspo lczynnikow zgonow i nat ↪ezenia zgonow 18

1.7. Prawa umieralnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Wybrane modele umieralnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. Model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.2. Modyfikacje i uogolnienia modelu Lee–Cartera . . . . . . 31

1.8.3. Model rozmyty Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.4. Wybrane dynamiczne modele umieralnosci – modelVasicka i Coxa–Ingersolla–Rossa . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.5. Dynamiczny model umieralnosci Lee–Cartera . . . . . . . 38

1.8.6. Model Milevskiego–Promislowa i model Giacometti . . . . 41

1.8.7. Uogolniony model Milevskiego–Promislowa z wektoro-wym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.9. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Rozdzia l 2. Statyczne i dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . 45

2.1. Statyczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. Dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3. Momentowe modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Rozdzia l 3. Dynamiczne, hybrydowe modele umieralnosci . . . . 61

3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2. Skalarny, hybrydowy model Vasicka . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4

3.3. Skalarny, hybrydowy model Coxa–Ingersolla–Rossa . . . . . . . . 623.4. Skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . 633.5. Uogolniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . 643.6. Uogolnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa . . . . . 66

3.6.1. Model ze skalarnym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . 663.6.2. Model z wektorowym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . 693.6.3. Model z liniowymi, skalarnymi filtrami . . . . . . . . . . . 773.6.4. Model z niezaleznymi, liniowymi, skalarnymi filtrami . . . 79

3.7. Dyskretno-czasowe reprezentacje modeli hybrydowych . . . . . . . 823.7.1. Uogolniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . 823.7.2. Uogolnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa . 823.7.3. Dyskretno-czasowa reprezentacja uk ladu rownan

momentow dla uogolnionych, hybrydowych modeliMilevskiego–Promislowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.8. Estymacja parametrow hybrydowych modeli umieralnosci . . . . 873.8.1. Estymacja parametrow hybrydowego modelu Lee–Cartera 873.8.2. Estymacja parametrow uogolnionego, hybrydowego

modelu Milevskiego–Promislowa . . . . . . . . . . . . . . 883.9. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Rozdzia l 4. Model Koissi–Shapiro opartyna skierowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. Algebra skierowanych liczb rozmytych OFN . . . . . . . . . . . . 924.3. Model umieralnosci typu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . . . . 1034.4. Prze l ↪acznikowa fazyfikacja macierzy obserwacji . . . . . . . . . . 105

4.4.1. Metoda fazyfikacji obserwacji . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.2. Wykrywanie punktow prze l ↪aczenia . . . . . . . . . . . . . 1084.4.3. Podstawy teoretyczne testu JL . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.4. Poszukiwanie punktu prze l ↪aczenia funkcji trendu . . . . . 113

4.5. Estymacja parametrow modelu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . 1224.6. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Rozdzia l 5. Modele umieralnosci oparte na zmodyfikowanychliczbach rozmytych i funkcjach zespolonych . . . . . . . . . . . . 125

5.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2. Model umieralnosci oparty na algebrze zmodyfikowanych liczb

rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2.1. Estymacja parametrow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3. Model umieralnosci oparty na funkcjach zespolonych . . . . . . . 1315.3.1. Estymacja parametrow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.4. Kwaternionowy model umieralnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.4.1. Estymacja parametrow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5

Rozdzia l 6. Estymacja i ewaluacja modeli umieralnosci . . . . . . 145

6.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2. Wyniki estymacji dynamicznego, hybrydowego modelu

Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3. Wyniki estymacji hybrydowego modelu Milevskiego–Promislowa . 1526.4. Wyniki estymacji modelu umieralnosci opartego na

zmodyfikowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.5. Wyniki estymacji modelu kwaternionowego . . . . . . . . . . . . . 1676.6. Uwagi koncowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Dodatek A. Elementy analizy procesow stochastycznychi rownania stochastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.1. Podstawowe definicje procesow stochastycznych . . . . . . . . . . 175A.1.1. Procesy drugiego rz ↪edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.1.2. Procesy stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.1.3. Procesy gaussowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.1.4. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.1.5. Procesy o przyrostach niezaleznych . . . . . . . . . . . . . 182A.1.6. Bia ly szum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.2. Rachunek rozniczkowy i ca lkowy procesow stochastycznych . . . . 186A.2.1. Ca lkowanie oraz rozniczkowanie w sensie srednio-

kwadratowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.2.2. Ca lki stochastyczne wzgl ↪edem procesow dyfuzyjnych . . . 187A.2.3. Formu la Ito dla procesow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . 190A.2.4. Stochastyczne rownania rozniczkowe Ito i Stratonowicza

dla procesow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.3. Rownania momentow w liniowych, stochastycznych uk ladach

dynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.3.1. Uk lady liniowe z addytywnymi wymuszeniami . . . . . . . 196A.3.2. Uk lady liniowe z addytywnymi i parametrycznymi

wymuszeniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.4. Metody dyskretyzacji stochastycznych rownan rozniczkowych . . 201

Dodatek B. Elementy algebry zmodyfikowanych liczbrozmytych i zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

B.1. Zmodyfikowane liczby rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.2. Liczby i funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

B.2.1. Algebra Banacha C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210B.2.2. Algebra Banacha C(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210B.2.3. Przestrzen kwaternionow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Wst ↪ep

Umieralnosc i prawid lowosci z ni ↪a zwi ↪azane s ↪a przedmiotem dociekanod wielu stuleci. Juz z pocz ↪atku III wieku pochodzi tzw. tablica Ulpiana,opracowana dla celow fiskalnych przez rzymskiego prawnika DominatiusaUlpianusa. Tablica przedstawia wartosci dalszego trwania zycia obywa-teli Imperium Rzymskiego. Przekazy historyczne nie zawieraj ↪a wzmiankio zastosowanej metodzie obliczen i materia lach zrod lowych, dlatego ta-blica Ulpiana ma g lownie wartosc historyczn ↪a (por. [93], s. 102–103).

Za ojca metodologii tablic wymieralnosci uznaje si ↪e J. Graunta, ktoryw roku 1662 opublikowa l prac ↪e Natural and Political Observations Madeupon the Bills of Mortality. Przedstawi l w niej porz ↪adek wymierania ge-neracji mieszkancow Londynu w formie liczb osob dozywaj ↪acych wieku6, 16, 26, . . . , 86 lat. Graunt opar l swoje analizy na rejestrach londynskichparafii, nie precyzuj ↪ac jednak, jakiego okresu dotyczy ly.

Kontynuatorem badan Graunta by l angielski astronom E. Halley, ktoryw artykule z roku 1693 An Estimate of the Degrees of the Mortality ofMankind Draws from Curious Tables of the Births and Funerals at the Cityof Breslaw przedstawi l tablice wymieralnosci dla populacji mieszkancowWroc lawia. Inne, wczesne prace na temat modeli umieralnosci pochodz ↪az wieku XIX (np. [40], [106]).

Autorem wspo lczesnej metodologii budowy tablic wymieralnosci jestC. L. Chiang [25]. Obecnie tablice tego rodzaju okresla si ↪e takze mianemtablic trwania zycia (life tables). W Polsce wspomnianego terminu zacz ↪etouzywac w latach siedemdziesi ↪atych ubieg lego wieku.

Gwa ltowny rozwoj teorii i zastosowan modeli umieralnosci obserwu-jemy szczegolnie w ostatnich czterech dekadach, o czym swiadcz ↪a liczneopracowania monograficzne poruszaj ↪ace t ↪e tematyk ↪e (np. [36], [38], [48],[57], [77], [91], [93], [105], [107]).

Opisywane w literaturze matematyczne modele umieralnosci moznapodzielic na dwie grupy [14], tj. na modele statyczne lub stacjonarneoraz modele dynamiczne. Pierwsz ↪a, najliczniejsz ↪a grup ↪e stanowi ↪a mo-dele, w ktorych prawdopodobienstwa zgonow lub cz ↪astkowe wspo lczynniki

8

zgonow s ↪a przedstawiane za pomoc ↪a funkcji zmiennej rzeczywistej lubzmiennej rozmytej z pewnymi, estymowanymi parametrami ([20], [21],[23], [24], [31], [41], [42], [43], [47], [59], [65], [88], [89], [90]). Drug ↪agrup ↪e tworz ↪a modele dynamiczne, w ktorych prawdopodobienstwa lubwspo lczynniki zgonow wyrazane s ↪a m.in. w postaci rozwi ↪azan stocha-stycznych rownan rozniczkowych ([2], [9], [11], [13], [16], [17], [26], [27],[30], [37], [44], [45], [54], [69], [82], [92], [94], [96], [104], [112]). Popu-larny obecnie model Lee–Cartera [65], podobnie jak jego rozmyta wersjaKoissi–Shapiro [59], nalez ↪a do pierwszej grupy. Jednak niektore uogolnie-nia modelu Lee–Cartera mozna zaliczyc rowniez do grupy drugiej. Przyk la-dem jest dynamiczny, hybrydowy model typu Lee–Cartera, zapropono-wany w pracy A. Rossy i L. Sochy [92].

Modele dynamiczne opisane stochastycznymi rownaniami rozniczko-wymi okaza ly si ↪e niewystarczaj ↪ace do opisu procesow demograficznych.Nie nadawa ly si ↪e one zw laszcza do opisu zjawisk zmiennych w czasieci ↪ag lym, z uwagi na odmienne zachowanie w roznych przedzia lach czaso-wych. To sk loni lo naukowcow do zaproponowania nowego rodzaju modeli,zwanych hybrydowymi, w ktorych wyst ↪epuje wzajemna interakcja mi ↪edzyci ↪ag l ↪a i dyskretn ↪a dynamik ↪a.

Wprowadzone modele hybrydowe lub prze l ↪aczaj ↪ace [15] by ly uogol-nieniem modeli z przekaznikami, wyst ↪epuj ↪acych w automatyce oraz modelio zmiennej strukturze [56] opisuj ↪acych zjawiska w mechanice, ekonomii lubw naukach empirycznych. Pojawi ly si ↪e rowniez prace, w ktorych autorzywprowadzili z lozone modele, ktore mozna uznac za modele hybrydowe (np.[12], [13], [44], [92]).

W dalszych rozwazaniach przez uk lad hybrydowy b ↪edziemy rozumielipewn ↪a rodzin ↪e modeli statycznych lub dynamicznych, ktore b ↪ed ↪a prze l ↪a-czane wed lug jakiegos prawa prze l ↪aczen. Dynamiczne modele b ↪ed ↪a opi-sane stochastycznymi rownaniami rozniczkowymi. Z uwagi na to, ze tylkodla niewielkiej klasy rownan mozna znalezc ich rozwi ↪azania analitycznei maj ↪a one dosyc z lozon ↪a budow ↪e, zaproponujemy now ↪a grup ↪e modelihybrydowych, zwanych momentowymi uk ladami hybrydowymi. Idea tychmodeli polega na zast ↪apieniu rownan stochastycznych odpowiadaj ↪acymiim rownaniami rozniczkowymi dla momentow.

G lown ↪a trudnosci ↪a zwi ↪azan ↪a z zastosowaniem popularnego obecniestochastycznego modelu Lee–Cartera jest za lozenie o jednorodnosci sk lad-nika losowego, ktorego zwykle nie potwierdzaj ↪a wyniki analiz empirycz-nych. Trudnosc ta sk lania do poszukiwania rozwi ↪azan, uchylaj ↪acych wspo-mniane za lozenie. Jedn ↪a z mozliwosci jest przeniesienie rozwazan na gruntteorii liczb rozmytych.

9

Prob ↪e tak ↪a podj ↪eli M. C. Koissi i A. F. Shapiro [59], proponuj ↪actzw. rozmyty model Lee–Cartera. W ich modelu zarowno obserwacje em-piryczne, jak i parametry modelu traktowane s ↪a w kategoriach liczb roz-mytych, opisanych trojk ↪atnymi, symetrycznymi funkcjami przynaleznosci.

Model Koissi–Shapiro niesie jednak ze sob ↪a trudnosci zwi ↪azane z esty-macj ↪a parametrow, ktore wynikaj ↪a z koniecznosci poszukiwania minimumfunkcji zawieraj ↪acej operator typu maksimum. Tego rodzaju zadania niemozna rozwi ↪azac za pomoc ↪a standardowych algorytmow optymalizacyj-nych. Problem ten mozna jednak uproscic, wykorzystuj ↪ac algebr ↪e skiero-wanych liczb rozmytych, opracowan ↪a i opublikowan ↪a przez W. Kosinskiegoz zespo lem [61], [62]. Efekty jej zastosowania w odniesieniu do modeluKoissi–Shapiro opublikowane zosta ly w monografii zbiorowej pod redakcj ↪aA. Rossy [91], a takze w artykule A. Szymanskiego i A. Rossy [104].

Dalej id ↪aca modyfikacja umozliwia zast ↪apienie algebry Banacha skie-rowanych liczb rozmytych przez algebr ↪e Banacha C∗. Jej wykorzystaniepozwala odwo lac si ↪e do twierdzenia Gelfanda–Mazura, wskazuj ↪acego naizomorfizm izometryczny pomi ↪edzy algebr ↪a C

∗ a algebr ↪a Banacha funkcjizespolonych. W ten sposob problem optymalizacyjny moze byc przenie-siony na teren analizy zespolonej. Jest to wed lug naszej najlepszej wiedzynowatorskim podejsciem do zagadnienia modelowania umieralnosci.

Struktura ksi ↪azki jest nast ↪epuj ↪aca. W rozdziale 1 zosta ly omowionepodstawowe poj ↪ecia i modele umieralnosci, zaczerpni ↪ete z literatury. Roz-dzia l 2 stanowi wprowadzenie w tematyk ↪e hybrydowych modeli dynamicz-nych. W rozdziale 3 przedstawione zosta ly dynamiczne, hybrydowe modeleumieralnosci, w szczegolnosci hybrydowy model Lee–Cartera oraz uogol-niony model Milevskiego–Promislowa oraz ich wersje dyskretno-czasowe,s luz ↪ace do estymacji parametrow. W rozdziale 4 prezentowane s ↪a teore-tyczne podstawy rozmytych modeli umieralnosci na gruncie algebry skie-rowanych liczb rozmytych, natomiast rozdzia l 5 zawiera kilka propozycjimodeli umieralnosci b ↪ed ↪acych uogolnieniem modelu rozmytego. Opartes ↪a one na algebrze zmodyfikowanych liczb rozmytych oraz funkcji zespolo-nych. W ostatnim rozdziale zawarte zosta ly rezultaty estymacji i ewaluacjizaproponowanych modeli.

Autorzy dzi ↪ekuj ↪a prof. Grazynie Trzpiot za cenne uwagi i sugestie za-warte w recenzji wydawniczej niniejszej monografii. Ksi ↪azka skierowanajest do studentow, doktorantow i specjalistow z zakresu demografii, sta-tystyki i ekonomii.

Publikacja zosta la sfinansowana ze srodkow Narodowego Centrum Na-uki przyznanych na podstawie decyzji nr DEC-2011/01/B/HS4/02882.

Rozdzia l 1

Modele umieralnosci

1.1. Wprowadzenie

Uznaje si ↪e, ze umieralnosc jest relatywnie latwa do modelowania i pro-gnozowania. Jednak w d lugim horyzoncie prognozy, pod wp lywem roz-norodnych zaburzen, mog ↪a zachodzic nieregularne zmiany w przebiegutego procesu. Przyk ladem moze byc kryzys zdrowotny w Polsce w latachsiedemdziesi ↪atych i osiemdziesi ↪atych ubieg lego stulecia ([78]). Kluczow ↪arol ↪e odgrywa wowczas dobor adekwatnego modelu. Przedmiotem modelo-wania s ↪a zazwyczaj tablicowe mierniki umieralnosci, do ktorych nalez ↪ag lownie cz ↪astkowe wspo lczynniki zgonow lub warunkowe prawdopodo-bienstwa zgonow. Na ich podstawie dokonuje si ↪e prognozowania innychwielkosci, np. sredniego czasu dalszego trwania zycia.

1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralnosci

Definicja cz ↪astkowych (grupowych) wspo lczynnikow zgonow odwo lujesi ↪e do ogolnej definicji wspo lczynnika demograficznego, rozumianego jakoiloraz liczby zdarzen demograficznych okreslonego rodzaju do l ↪acznegoczasu ekspozycji na ryzyko wyst ↪apienia zdarzenia w rzeczywistej lub hipo-tetycznej kohorcie ([85], s. 5–32). Dalej przedstawiona zostanie definicjacz ↪astkowych, kohortowych wspo lczynnikow demograficznych, wyznacza-nych dla ustalonej kohorty (generacji) osob. Definicje kohortowo-przekro-jowych lub przekrojowych wspo lczynnikow demograficznych znalezc moz-na w monografii [91], s. 229–231.

Za lozmy, ze rozwazamy pewn ↪a podzbiorowosc jednostek, wyodr ↪ebnio-nych w danej kohorcie s. Oznaczmy t ↪e podzbiorowosc symbolem x. Zwy-kle indeks x wskazuje na podpopulacj ↪e jednostek (osob) wyodr ↪ebnionychze wzgl ↪edu na wiek, a dok ladniej – b ↪ed ↪acych w wieku x ukonczonych lat.W takim przypadku x przybiera wartosci ze zbioru {0, 1, . . . , X}, gdzieX jest gorn ↪a granic ↪a wieku.

12

Kohortowy, cz ↪astkowy wspo lczynnik demograficzny dla osob w wiekux w kohorcie s mozna oznaczyc symbolem W

(s)x . W ogolnym przypadku,

tj. dla grupy wieku [x, x + n) (n > 1, n ∈ N), bardziej adekwatnym jest

oznaczenie nW(s)x .

Definicja 1.1. Cz ↪astkowym, kohortowym wspo lczynnikiem demograficz-nym nazywamy iloraz liczby zdarzen demograficznych Z

(s)x w x-tej pod-

zbiorowosci w kohorcie s, do l ↪acznego czasu ekspozycji K(s)x na ryzyko

wyst ↪apienia danego zdarzenia w tej podzbiorowosci, czyli

W (s)x =

Z(s)x

K(s)x

C, (1.2.1)

gdzie C oznacza zadan ↪a sta l ↪a (np. C = 10 000).

Gdy analizowanymi zdarzeniami demograficznymi s ↪a zgony, wowczaslew ↪a stron ↪e (1.2.1) zwyk lo si ↪e oznaczac symbolem m

(s)x , gdy n = 1 lub

symbolem nm(s)x , gdy n > 1.

Waznymi miernikami w analizie demograficznej, poza wspo lczynnikamicz ↪astkowymi, s ↪a prawdopodobienstwa warunkowe.

Definicja 1.2. Warunkowe, kohortowe prawdopodobienstwo zdarzen de-mograficznych jest ilorazem liczby zdarzen Z

(s)x zaobserwowanych w s-tej

kohorcie osob b ↪ed ↪acych w wieku x ukonczonych lat, do liczby L(s)x osob

dozywaj ↪acych wieku x, czyli

q(s)x =

Z(s)x

L(s)x

. (1.2.2)

W przypadku, gdy rozwazamy przedzia l wieku [x, x + n), dla n > 1,wowczas warunkowe, kohortowe przwdopodobienstwo zdarzen demogra-ficznych oznaczamy symbolem nq

(s)x . Dalej, dla uproszczenia notacji, po-

mini ↪ety zostanie symbol (s), oznaczaj ↪acy kohort ↪e.

1.3. Zwi ↪azek kohortowych wspo lczynnikow zgonowi prawdopodobienstw zgonow

Niech nZx oraz nKx oznaczaj ↪a odpowiednio liczb ↪e zgonow i czas eks-pozycji na ryzyko zgonu w danej kohorcie osob, b ↪ed ↪acych w grupie wieku[x, x+ n) lat.