WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D. ;

WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;

Biomechanika przepływów


Krew jest mieszaniną osocza i krwinek

Testy wykonane na krwi za pomocą wiskometru, którego wymiar charakterystyczny szczeliny pomiarowej jest dużowiększy od wymiaru charakterystycznego krwinek pozwalają na wysunięcie następującego wniosku:

W dużych naczyniach krwionośnych dla których wymiar charakterystyczny (średnica) jestdużo większy niż charakterystyczny wymiar krwinek, krew może być traktowanajak płyn jednorodny .

Właściwości mechaniczne krwi traktowanej jako płyn jednorodny można ująć definiując odpowiednie równanie konstytutywne.


Zakładamy że jednorodny płyn który przybliża nam zachowanie krwi ma dwie podstawowecechy:

jest izotropowy

jest nieściśliwy

A)

B)

A) bazujemy na założeniu że przy braku naprężeń odkształcenie w płynie zanika i krwinkinie mają żadnego preferowanego kierunku w przestrzeni;

B) wykorzystujemy fakt iż przy ciśnieniach panujących w organizmie człowieka ( normalne warunki fizjologiczne)nie wykazano wpływu ciśnienia na gęstość krwi;


Z obserwacji danych prezentowanych na poprzednim wykładzie można wysnuć wniosek,że reologia krwi różni się od reologii płynu Newtonowskiego zmienna wartością lepkości.

Dla płynu Newtonowskiego równanie konstytutywne wygląda następująco:

ijijij Vp 2

i

j

j

iij x

u

x

uV

21

tensor naprężeń

tensor odkształceń

składowe prędkości

lepkość płynu

0332211 VVVVii

(9.1)


Krew nie spełnia równania (9.1) ponieważ μ nie jest stałą a zmienia się wraz ze zmianą wartości naprężeń. Równanie (9.1) spełnia natomiast osocze krwi pozbawione krwinek. Można więc stwierdzić, że nie – Newtonowska natura krwi bierze się z obecności krwinek zawieszonych w krwi.

Jednym z podstawowych założeń mechaniki ośrodków ciągłych jest to że równania opisująceich dynamikę muszą być zgodne z algebrą tensorów tzn. każdy element musi być tensoremtego samego rzędu.

Postaramy się teraz zmodyfikować równanie (9.1) tak aby opisywało zachowanie się krwi:

Jeżeli decydujemy się aby równanie (9.1) opisywało zachowanie krwi z założeniem o izotropowości zachowań mechanicznych to μ musi być skalarną funkcją tensora odkształceń Vij . Vij jest symetrycznym tensorem rzędu 2 w przestrzeni trójwymiarowej


Vij ma trzy niezmienniki:

3322111 VVVI

1113

3133

3332

2322

2221

12112 VV

VV

VV

VV

VV

VVI

333231

232221

131211

3

VVV

VVV

VVV

I


Założyliśmy, że krew jest płynem nieściśliwym więc I1 = 0, I2 przyjmie więc wartości mniejszeod 0. Korzystniej jest wprowadzić więc nowy niezmiennik zdefiniowany następująco:

ijijVVIIJ21

31

2212

A więc lepkość μ musi być funkcją J2 i I3

Z równania definiującego J2 widać że jest on funkcją odkształcenia, z doświadczeń widać że lepkość krwi zależy od szybkości ścinania a więc można stwierdzić że lepkość krwi jest funkcją J2

Można zaproponować następujące równanie konstytutywne dla przepływu krwi:

ijijij VJp 22

(9.2)

(**)


121

2

2

1 2212 V

xv

xv

hv

szybkość ścinania:

w tym przypadku wszystkie inne elementy tensora Vij wynoszą 0 więc niezmiennik J2 przyjmujepostać:

2122 VJ

(9.3)


a więc z równania na szybkość ścinania (9.3) wynika :

22 J

podczas gdy z równania konstytutywnego postaci (**) wynika:

22212212 22 JJJVJ

Na poprzednim wykładzie przedstawiono dane doświadczalne które spełniały równanie Cassona , które można przedstawić w postaci:

212 y

(9.4)

(9.5)


z porównania równań (9.4) i (9.5) wynika że lepkość krwi może być przedstawiona w postacizależności:

2

y

Pozwala to nam zdefiniować równanie konstytutywne dla krwi w przepływie w postaci:

ijijij VJp 22

2

1

2

2

2

1

2

1

4

1

22

2

2

J

J

Jy

(9.6)


Równanie (9.6) jest słuszne dla J2 różnego od 0 i przyjmującego małe wartości. Jeżeli J2 przyjmuje duże wartości wyniki eksperymentalne redukują się do prostej zależnościμ=const. i wtedy równanie (9.1) może być stosowane do opisu przepływu krwi.

Punkt przejścia pomiędzy zachowaniem Newtonowskim rów. (9.1) a nie Niewtonowskimrów. (9.6) zależy od wartości Hematokrytu.

Hematokryt – objętość czerwonych krwinek do całkowitej objętości.

Dla normalnej krwi z małą wartością Hematokrytu H= 8.25 % lepkość jest wartością stałąw szerokim zakresie naprężeń ścinających od 0.1 to 10000 s-1.Dla wartości Hematokrytu H=18 % krew zachowuje się jak płyn Newtonowski kiedy γ>600 s-1

dla mniejszych wartości naprężeń spełnione jest równanie (9.6)


W przypadku ustania przepływu kiedy Vij=0 równanie konstytutywne (9.6) musi być zastąpione nową relacją naprężenia- odkształcenia.

Dla takiego zachowania krwi posiadamy bardzo mało danych, więc tylkohipotetyczne równania konstytutywne mogą być zaproponowane.

Rozważmy teraz bardzo prosty przypadek laminarnego przepływu krwi przewodemkołowym.

Zakładamy : przewód jest długi a przepływ jest ustalony


Najlepiej rozpatrywać problem wewspółrzędnych cylindrycznych.

Przepływ spełnia równanie Naviera-Stokesadla płynów nieściśliwych. Na ściankachprzyjmujemy warunek brzegowyzerowania się prędkości krwi.

Przepływ jest symetryczny , tylko współrzędnau(r) nie zanika. u(r) jest funkcją tylko r.

Rozpatrzmy cylinder o średnicy r i jednostkowej długości wycięty z przepływu. Doznaje on działania ciśnienia p1 i p2 oraz naprężeń τ na powierzchni bocznej walca.

dxdp

pp 121działa na powierzchnię 2r


natomiast τ działa na powierzchnię 1*2πr

W stanie ustalonym równanie równowagi sił wygląda następująco:

dxdp

rr 22

lub

dxdpr

2 (Stokes, 1851)

Teraz musimy wprowadzić równanie konstytutywne wiążące naprężenia z odkształceniem


płyn Newtonowski

drdu

dxdpr

drdu

2

przy naszych założeniach dp/dx musi byćwartością stałą a wiec po scałkowaniu:

Bdxdpr

u 4

2

stałą B można wyznaczyć z warunku brzegowego:

0u ar

dxdp

rau 22

41

(paraboliczny profil prędkości)


Strumień może być obliczony przez scałkowanie:

a

urdrQ0

2dxdpa

Q

8

4

i średnia prędkość przepływu:

dxdpa

um 8

2


krew z Lepkością opisaną równaniem Cassona:

równanie

dxdpr

2 jest ważne dla każdego rodzaju płynu

Naprężenia ścinające działające na powierzchnięcylindryczną są funkcją promienia r.

ściankagranica płynięcia

brak przepływu

W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruchto tak jak dla bryły sztywnej.

profil prędkości zależy więc od wartości τy i τw


dxdpr

2

dxdpa

w 2

dxdprc

y 2

jeżeli wy nie mamy przepływu 0u

adxdp y2

jeżeli wy

arc

arc adx

dp y2


i profil prędkości musi wyglądać następująco:

dla r<rc profil jest płaski. Dla r>rc i r<a równanieCassona jest spełnione.

ydxdpr

2

rozwiązując względem γ

2

21

ydx

dprdrdu

stąd możemy wyznaczyć profil prędkości:


rarrarra

dxdp

u cc 238

41 2

3

2

322

dla r=rc prędkość przyjmuje wartość

cc rara

dxdp

u31

41 3

Documents

WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D. ;